René Solís 8-854-1582

ENGRANES

1. Fundamentos

Se denomina engranaje al mecanismo utilizado para transmitir potencia mecánica entre las distintas partes de una máquina. Los engranajes están formados por dos ruedas dentadas, de las cuales a la mayor se le denomina corona y al menor piñón. Un engranaje sirve para transmitir movimiento circular mediante contacto de ruedas dentadas. Una de las aplicaciones más importantes de los engranajes es la transmisión del movimiento desde el eje de una fuente de energía, como puede ser un motor de combustión interna o un motor eléctrico, hasta otro eje situado a cierta distancia y que ha de realizar un trabajo. De manera que una de las ruedas está conectada por la fuente de energía y es conocido como engranaje motor y la otra está conectada al eje que debe recibir el movimiento del eje motor y que se denomina engranaje conducido. Si el sistema está compuesto de más de un par de ruedas dentadas, se denomina tren de engranajes.

La principal ventaja que tienen las transmisiones por engranaje respecto de la transmisión por poleas es que no patinan como las poleas, con lo que se obtiene exactitud en la relación de transmisión.

1.1. Acción Conjugada

La siguiente exposición supone que los dientes están perfectamente formados y lisos, y que son rígidos por completo. Desde luego que dicho supuesto no es real, debido a que la aplicación de fuerzas causará deflexiones.

El acoplamiento de dientes de engranes que actúan entre sí para producir movimiento rotatorio es similar al de las levas. Cuando dos perfiles de dientes o levas se diseñan para producir una relación constante de velocidades angulares durante el acoplamiento, se dice que tienen una acción conjugada. En teoría, al menos, es posible seleccionar de manera arbitraria cualquier perfil para un diente, y luego determinar un perfil para los dientes de acoplamiento que producirá la acción conjugada. Una de estas soluciones es el perfil involuta, que con algunas excepciones se utiliza de manera universal para dientes de engranes, por lo que es el único que se estudiará.

Cuando una superficie curva empuja contra otra (figura 1), el punto de contacto se presenta donde las dos superficies son tangentes entre sí (punto c), de modo que en cualquier instante las fuerzas están dirigidas a lo largo de una normal común ab a las dos curvas. La línea ab, que representa la dirección de acción de las fuerzas, se denomina línea de acción, e intersectará la línea de centros O-O en algún punto P. La relación de la velocidad angular entre los dos brazos es inversamente proporcional a sus radios respecto del punto P. Los círculos que se trazan a través del punto P, desde cada centro, se llaman círculos de paso; el radio de cada círculo se llama radio de paso. El punto P se conoce como punto de paso.

La figura 1 resulta útil para hacer otra observación. Un par de engranes en realidad es un par de levas que actúan a través de un arco pequeño y, antes de terminar el recorrido del contorno involuta, se reemplazan por otro par idéntico de levas. Las levas funcionan en

cualquier sentido y se configuran para transmitir una relación constante de velocidad angular. Si se emplean curvas involutas, los engranes son tolerantes a los cambios en la distancia entre centros sin mostrar variación en la relación constante de la velocidad angular. Además, los perfiles de la cremallera se configuran con flancos rectos, lo que hace más simple el maquinado de conformación primario.

Figura 1: Contacto de leva A y su seguidor B. Cuando las superficies de contacto son perfiles involutas, la acción conjugada que resulta produce una relación de velocidad

angular constante.

Para transmitir movimiento a una relación constante de velocidad angular, el punto de paso debe permanecer fijo; es decir, todas las líneas de acción de cada punto instantáneo de contacto deben pasar por el mismo punto P. En el caso del perfil involuta, se demostrará que todos los puntos de contacto ocurren sobre la misma línea recta ab, que todas las normales a los perfiles de dientes en el punto de contacto coinciden con la línea ab, y, de esta manera, que dichos perfiles transmiten movimiento rotatorio uniforme.

1.2. Propiedades de la Involuta

Una curva involuta se genera como se muestra en la figura 2a. Una brida parcial B se fija al cilindro A, alrededor del cual se arrolla una cuerda def que se mantiene tirante. El punto b en la cuerda representa un punto de trazo, y a medida que la cuerda se arrolla o desenrolla respecto del cilindro, el punto b trazará la curva involuta ac. El radio de la curvatura de la involuta varía en forma continua, de cero en el punto a hasta un máximo en el punto c. En el punto b, el radio corresponde a la distancia be, puesto que b gira de manera instantánea respecto del punto e. Así pues, la recta generatriz de es normal a la involuta en todos los puntos de intersección y, al mismo tiempo, siempre es tangente al cilindro A. El círculo sobre el que se genera la involuta se llama círculo base.

Figura 2: a) generación de una involuta. b) acción de la involuta

Ahora se examina el perfil de la involuta para ver cómo satisface el requisito de transmisión de movimiento uniforme. En la figura 2b se muestran dos discos para engranes con centros fijos en O1 y O2 con círculos de base cuyos radios respectivos son O1 a y O2 b. Ahora imagínese que se arrolla una cuerda en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del círculo base del engrane 1, manteniéndose tirante entre los puntos a y b, y arrollada en el sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del círculo base del engrane 2. Si ahora los círculos base se hacen girar en sentidos opuestos para mantener la cuerda tirante, un punto g en la cuerda trazará las involutas cd en el engrane 1 y ef en el engrane 2. De esta manera, las involutas se generan en forma simultánea por el punto de trazo. Por consiguiente, el punto de trazo representa el punto de contacto, en tanto que la porción de la cuerda ab es la recta generatriz. El punto de contacto se mueve a lo largo de la recta generatriz, la cual no cambia de posición, porque siempre está tangente a los círculos base; y debido a que la recta generatriz siempre es normal a las involutas en el punto de contacto, se satisface el requisito de movimiento uniforme.

1.3. Relación de Contacto

La zona de acción de dientes de engranes acoplados se ilustra en la figura 2. Cabe recordar que el contacto del diente comienza y termina en las intersecciones de los dos círculos de la cabeza con la línea de presión. En la figura 2 el contacto inicial ocurre en a y el contacto final en b. Los perfiles de los dientes determinados por estos puntos intersecan el círculo de paso en A y B, respectivamente. Como se muestra, la distancia AP se llama arco de ataque qa y la distancia PB arco de salida qr. La suma de estas distancias proporciona el arco de acción q t.

Ahora, considere una situación en la que el arco de acción es exactamente igual al paso circular; es decir q t=p. Esto significa que un diente y su espacio ocuparán todo el arco AB.

En otras palabras, cuando un diente apenas inicia el contacto en a, simultáneamente, el diente anterior está terminando su contacto en b. Por lo tanto, durante la acción del diente de a a b, habrá sólo un par de dientes en contacto.

Acto seguido, considere una situación en la cual el arco de acción es mayor que el paso circular, pero no mucho, digamos, q t=1.2p, lo que significa que cuando un par de dientes apenas entra en contacto en a, otro par, que ya está en contacto, todavía no habrá hecho contacto con b. Así, durante un corto periodo, habrá dos dientes en contacto, uno en la vecindad de A y otro cerca de B. A medida que procede el acoplamiento, éste cesa el contacto, dejando sólo un par de dientes en contacto, hasta que el proceso se repite de nuevo.

Figura 3: Definición de la relación de contacto.

Debido a la naturaleza de esta acción entre dientes (de uno o de dos pares de dientes en contacto), resulta conveniente definir el término relación de contacto mc como.

mc=qt

p

El cual indica el número promedio de pares de dientes en contacto. Observe que dicha relación también es igual a la longitud del contacto dividida entre el paso base. En general, los engranes no se deben diseñar con relaciones de contacto menores que aproximadamente 1.20, porque las inexactitudes en el montaje podrían reducir la relación de contacto aún más, lo cual incrementaría la posibilidad de impacto entre los dientes así como el nivel de ruido.

Una forma más fácil de obtener la relación de contacto consiste en medir la línea de acción ab, en vez de la distancia del arco AB. Como ab en la figura 2 es tangente al círculo base cuando se extiende, se debe emplear el paso base pb para calcular mc, en vez del paso circular como en la ecuación anterior. Si la longitud de la línea de acción es Lab, la relación de contacto se calcula mediante

mc=Lab

p cos (ϕ)

1.4. Interferencia

El contacto de partes de los perfiles de dientes no conjugados se llama interferencia. Considere la figura 4, donde se ilustran dos engranes de 16 dientes que se cortaron con el ahora obsoleto ángulo de presión de 14.5°. El impulsor, engrane 2, gira en el sentido de las manecillas del reloj. Los puntos de contacto inicial y final se designan A y B, respectivamente, y se ubican en la línea de presión. Ahora observe que los puntos de tangencia de la línea de presión con los círculos base C y D se localizan dentro de los puntos A y B. Por lo tanto, existe interferencia.

Figura 4: Interferencia en la acción entre dientes.

La interferencia se explica como sigue. El contacto se inicia cuando la punta del diente impulsado hace contacto con el flanco del diente impulsor. En este caso el flanco del diente impulsor primero hace contacto con el diente impulsado en el punto A, lo cual ocurre antes

de que la parte involuta del diente impulsor entre en acción. En otras palabras, el contacto ocurre debajo del círculo base del engrane 2, en la parte no involuta del flanco. El efecto real es que la punta o cara involuta del engrane impulsado tiende a penetrar en el flanco no involuta del impulsor.

En este ejemplo ocurre nuevamente el mismo efecto, a medida que los dientes dejan de estar en contacto. El contacto debe terminar en el punto D o antes. Como no termina hasta el punto B, el efecto consiste en que la punta del diente impulsor penetra, o interfiere, con el flanco del diente impulsado. Cuando se producen los dientes de engranes mediante un proceso de generación, la interferencia se elimina de manera automática porque la herramienta de corte remueve la parte interferente del flanco. Este efecto se denomina rebaje, pero si éste es muy pronunciado, el diente rebajado se debilita considerablemente. De esta forma, el efecto de la eliminación de la interferencia mediante un proceso de generación sólo sustituye el problema original por otro.

El menor número de dientes en un piñón y engrane rectos,1 con relación de engranes uno a uno, que pueden existir sin interferencia es Np. Este número de dientes de engranes rectos está dado por donde k = 1 en el caso de dientes de profundidad completa y 0.8 en el de dientes cortos y φ = ángulo de presión.

N p=2 k

3 sen (φ )2(1+√1+3 sen (φ )2)

2. Sistemas de Dientes

Un sistema de dientes es una norma que especifica las relaciones que implican la cabeza, la raíz, la profundidad de trabajo, el espesor del diente y el ángulo de presión. Al principio, las normas se planearon para posibilitar el intercambio de engranes con cualquier número de dientes, pero con el mismo ángulo de presión y paso.

La tabla 1 contiene las normas más empleadas para engranes rectos. En algún tiempo se usó un ángulo de presión de 14.5° para estos engranes, pero en la actualidad esta medida es obsoleta, ya que los engranes resultantes tenían que ser relativamente mayores para evitar problemas de interferencia

Tabla 1: Sistemas de dientes estándar y comúnmente usados para engranes rectos

La tabla 2 resulta particularmente útil para seleccionar el paso o el módulo de un engrane. Por lo general, se dispone de cortadoras para los tamaños que se proporcionan en esta tabla.

Tabla 2: Tamaño de dientes de uso general.

En la tabla 3 se enumeran las proporciones estándar de dientes de engranes helicoidales. Las proporciones de los dientes se basan en el ángulo normal de presión; dichos ángulos están estandarizados de la misma forma que para los engranes rectos. Aunque hay excepciones, el ancho de la cara de los engranes helicoidales debe ser de al menos 2 veces el paso axial, a fin de obtener una buena acción del engrane helicoidal.

Tabla 3: Proporción estándar de dientes de Engranes helicoidales

Las formas de los dientes para engranajes de tornillo sinfín no se han estandarizado, tal vez porque no ha habido necesidad. Los ángulos de presión que se utilizan dependen de los ángulos de avance y deben ser lo suficientemente grandes para evitar rebaje del diente de la rueda en el lado donde termina el contacto. Se obtiene una profundidad satisfactoria del diente, que sigue teniendo aproximadamente la proporción adecuada para el ángulo de avance, si la profundidad presenta una proporción del paso axial circular. En la tabla 4 se resume lo que se considera como una buena práctica para los ángulos de presión y la profundidad del diente.

Tabla 4: Ángulos de presión y profundidades de dientes recomendados para engranajes de tornillo sinfín

El ancho de la cara FG del tornillo sinfín debería ser igual a la longitud de una tangente al círculo de paso del tornillo sinfín entre sus puntos de intersección con el círculo de la cabeza.