Resumen Formulas para Bachillerato 2015, 11ºmoColegio Bilingüe de Palmares Profesor: Danny González Alvarado.

Elementos de la circunferencia

Centro: O

Radio: OK

Diámetro: AB

Cuerda: DC

Secante: MN

Tangente: FG

Ángulo central:

∠ AOB

Arco menor: AB

Arco Mayor: ACB

Tipos de Circunferencias.En los dibujos que es muestran a continuación, “r” representa el radio de la circunferencia menor, “R” el radio de la circunferencia mayor y “K” la distancia entre los centros de ambas circunferencias.1-Circunferencia Concéntricas.

2-Circunf. Tangentes Externamente.

3-Circunf. Tangentes Internamente

4-Circunferencias Secantes

- Propiedades asociadas al Círculo

Teorema Representación Teorema

Una recta perpendicular a un radio en su extremo, es tangente a la circunferencia.

Toda tangente a la circunferencia es perpendicular al radio, en su punto de tangencia

En una misma circunferencia o circunferencias congruentes, dos cuerdas congruentes equidistan del centro.

En una misma circunferencia o en circunferencias

congruentes, las cuerdas equidistantes del centro, son congruentes

Área del Circulo Semicírculo Longitud de Circunferencia

- Fórmulas de Polígonos

A =π r2 A = π r 2

2 C = 2π r

1. Suma de los ángulos internos S=(n – 2)180° .

2. Medida de un ángulo interno de un polígono regular: mi

= (n−2)¿180°

n .

3. Total de diagonales: D=¿

n¿(n−3)2 .

4. Diagonales desde un vértice: d=n – 3.

5. Medida de un ángulo central: .

6. Medida de un ángulo externo: .

7. Número de lados conociendo la suma de los ángulos internos:

8. Número de lados conociendo la medida de un ángulo interno de un polígono regular

9. Área de un Polígono Regular:

A = n¿ l¿a

2.

Cuadrado Triangulo Equilátero Hexágono Relación:

Apotema: a= l

2

Área: A= l2 ó d2

2

Relación: l=r ¿ √3

Apotema:

Altura:

Área: A= l2

¿ √3

4

Relación: l=r .

Apotema: a= l √3

2

Área: A=3 l2

√32

- Funciones Trigonométricas

Dominio Ámbito Int. Eje “x”

Int. Eje “y”

Puntos de Discontinuidad

Periodo

Sen x ℝ [−1,1 ] (kπ ,0 )

(0,0 ) No hay 2

Cos x ℝ [−1,1 ] (kπ /2,0 ) impar

(0,1 ) No hay 2

Tan x *** ℝ (kπ ,0 ) (0,0 ) (kπ /2, 0 ) impar

AC

Características principales de las figuras sólidas

Nombre Dibujo Área Basal (AB ) Área Lateral (AL ) Área Total (AT )

EL CUBO AB = 2•l2

AL = 4•l2

AT = 6•l2

d = l√3

EL PRISMA

(cualquier base)

AB =Pb ∙ ab

o

AB =2 ∙ Ab

AL =Pb ∙ h AT =Pb (h+ab )

EL CILINDRO AB =2 π r2 AL =2 πr hAT =2 πr (r+h )

LA PIRÁMIDE

(cualquier base)Ab =

Pb ∙ab

2AL =

Pb ∙ ap

2AT =

Pb ∙ (a p+ab )2

EL CONOAb =π r2

AL =πr g AT =πr (r+g )

LA ESFERA*** *** A = 4 π r2

Notación: a = arista, g = generatriz h = altura, r = radio, Ab = área de la base, l = lado

n = número de lados, ap = apotema de la pirámide ab = apotema de la base

Resumen de Funciones Funciones: f: A → B

r

h

r

g

r

h

l

r ab

h

l

A: Dominio (x, preimágenes, abscisas, variable independiente --“igualar”)

B: Codominio, ámbito ( imágenes, ordenadas, variable dependiente, …”sustituir”).

Para ser función: cada preimagen tiene una única imagen, todos los elementos del dominio están relacionados.

Función inyectiva: cada imagen tiene una única preimagen.

Función sobreyectiva: codominio es igual al ámbito.

Función biyectiva: es inyectiva y sobreyectiva.

Función inversa: se despeja la ecuación en términos de x y se cambian las variables al final.

A- Función Lineal Ecuación de la recta: f (x)=mx+b ò y=mx+b

Formulas: b= y−mx

Monotonía: m: pendiente → Si m>0 la función es Creciente

→ Si m=0 la función es Constante

→ Si m<0 la función es Decreciente

La intersección con el eje “ y” La intersección con el eje “x”

es en el punto: es en el punto:

Rectas paralelas Rectas perpendiculares

Las rectas paralelas no tienen intersección.

gf mmgf //

Tienen la misma pendiente

Las rectas perpendiculares se intersecan formando un ángulo recto.

1 gf mmgf . (se le da vuelta a la pendiente y se

cambia el signo)

( 0 , b ) ( −bm

, 0 )

eje y

eje x

f(x) = mx + b

Corte con el "eje x".

0,

mb

B- Función Cuadrática Característica Análisis

Concavidad( parábola)

Representa el sentido de la gráfica:*Si a > 0 (positiva) * Si a < 0 (negativa)Es cóncava hacia arriba Es cóncava hacia abajo ⋃

Discriminante( = b2 – 4ac)

Si > 0 (positivo) entonces la parábola

interseca al eje de “X” en dos puntos

Si < 0 (negativo) entonces la parábola no interseca al eje X.

Si = 0 entonces la parábola interseca al eje X en un único punto

Intersección X(calc. mode 5-3)

Es la solución de la ecuación cuadráticaPares Ordenados ( x1 , 0 ) y ( x2 , 0 )

Intersección Y( 0, c )

Es el valor de “c”, en el punto ( 0, c )

Eje de Simetría

X =−b2a

Es quien parte a la mitad a la parábolaSe mide con el eje X

X =−b

2a

Pto mínimo oMáximo

Y=− Δ4 a

Se mide con el eje Y=−Δ

4 a*Si a > 0 (positiva) Es punto mínimo

*Si a < 0 (negativa) Es punto máximo

Vértice

(−b2 a

, −Δ4 a )

El punto más alto (punto máximo) o más bajo (punto mínimo) que una parábola pueda alcanzar, simbólicamente denotado con V. Es la unión del eje de simetría con

dicho punto. V= (−b2 a

, −Δ4 a )

Inter. CrecienteEje x

*Si a > 0 * Si a < 0

] −b

2a , + [ ] - , −b

2a [

Inter. DecrecienteEje x ] - ,

−b2a [ ]

−b2a , + [

ÁmbitoEje y [

−Δ4 a ,+ [ ] - ,

−Δ4 a ]

Se representa por f (x)=a x2+bx+c, donde a , b , c ∈ ℝ; a≠ 0

xy

f

1

C- Función Exponencial y Logarítmica

Función Exponencial Función Logarítmica Ecuación f (x)=ax donde a 0 , a ≠ 1Dominio : ℝ Ámbito: ℝ+

Intersecciones;Eje “X” : no hay Eje “y”: (0,1)

Graficas Caso I Caso II a10<a<1

Creciente Decreciente

Ecuación f (x)=loga x donde a 0 , a≠ 1Dominio : ℝ+ Ámbito: ℝ

Intersecciones;Eje “X” :(1,0) Eje “y”: no hay

Graficas Caso I Caso IIa1 0<a<1

Creciente Decreciente

USO DE CALCULADORA

Memorizar valores Se recomienda los números primos: 13, 17, 19, 23, 29, 31,…etc.Guardar#SHIFT RCLletra elegida a usar los valores de a, b y c son:a=2, b=-3 y c=-9, los cuales deben ser ingresados a la calculadora. Para el modelo SacarALFA letra elegida

Factorización : Preguntan: un factor.1- Guardar valores para las letras2- Escribir en fracción:expresion planteada

opciones

3- La opción que de un # ENTERO es la correcta., e ingresar los

Equivalencia : Preguntan: la expresión equivalente, factorización completa, al simplificar, el resultado de1- Guardar valores (principalmente para “x” y “y”)2- Escribir la expresión planteada, calcularla y anotar el resultado ()3- Escribir las 4 opciones planteadas, la que dé el mismo resultado es la opción

correcta.Ecuaciones :

Se cambia el valor de la variable por las posibles opciones, el que cumpla la igualdad es la correcta.

Sistemas de ecuaciones

1- Acomodar de la forma:{x ± y=¿x ± y=¿

2- Presionar MODE 5 1Sistema incompatible → no tiene solución (las rectas son paralelas)Sistema indeterminado → tiene infinitas soluciones (las rectas quedan una sobre otra)

Dominio máximo Resumen de Casos:

D-Función Inversa :

Función Función Inversa Grafica

f−1 :B→ A

Dominio Máximo :

Caso Procedimientos Ejemplos: Notación del dominio

1. Función polinomial.

No se realiza procedimiento alguno.

2. Función algebraica racional

Se iguala el denominador a cero y se resuelve la ecuación.

3. Función radical de índice impar

No se realiza procedimiento alguno.

4. Función radical de índice par

Se anota el polinomio del subradical ( ≥ 0) y se resuelve la inecuación resultante

LENGUAJE COMUN EXPRESADO EN LENGUAJE ALGEBRAICOLos enunciados de un problema de planteo conllevan un lenguaje simbólico

entregado por la lógica y matemática, este lenguaje nos permite plantear y resolver los problemas siguiendo los pasos que nos permite el álgebra en la resolución de ecuaciones o sistemas de ecuaciones simultáneas. Algunas expresiones más comunes son:

a) Un número cualquiera o un dato desconocido : x

b) El doble o duplo de un número : 2x.

c) El triple o tres veces un número : 3x

d) Cuatro veces o cuádruplo un número : 4x

e) El cuadrado de un números : x2

f) "aumentado" significa suma y diferencia o "disminuido" significa resta. “Producto” es multiplicación y “cociente” es división.

g) Un número aumentado en 8 unidades : x + 8

h) El triple de un número disminuido en 7 unidades: : 3x - 7

i) El doble de un número aumentado en 5: : 2x + 5

j) El inverso de un número :1x .

k) La mitad de un número :x2. .

l) La tercera parte de un número aumentado en cinco :x3

+5.

m) La quinta parte de diferencia entre un número y 8 :x−8

5n) El doble de la suma entre un número y 7 : 2(x+7)

o) La suma de dos números es 56: 1er : x / 2dº: 56-xp) Tres números enteros consecutivos: 1erº: x / 2dº: x +

1 / 3rº: x + 2 .q) Tres números pares consecutivos: 1erº: x , / 2dº: x + 2 , /

3rº: x + 4 .r) Tres números impares consecutivos: 1erº: x + 1, / 2dº: x

+ 3, / 3rº: x + 5.

s) La edad de Miguel dentro de diez años : x + 10.t) La edad de Miguel hace diez años : x 10.u) Pedro tiene 7 años más que Luis Luis: x /Pedro: x + 7