Contents

1 Propiedades del producto y la suma 31.1 Propiedades basicas de la igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Axiomas de la suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Axiomas del producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Lemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1 Lemas de la suma y el producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2 Lemas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Propiedades de los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.1 Propiedades de suma y producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Propiedades de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Valor Absoluto 72.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Lemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Cotas 83.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Corolarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 Lemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Conjunto denso 104.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Lemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Funciones 115.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Composicion de funciones 126.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1

7 Funcion Inversa 137.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.2 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.3 Lemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

8 Sucesiones 148.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148.2 Lemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.3 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.4 Corolarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

9 Subsucesiones 169.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169.2 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169.3 Lemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169.4 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

10 Lımites de funciones 1710.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.2 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.3 Corolarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1810.4 Lemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1810.5 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1910.6 Lımites notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2

“Resumen de Analisis Matematico”

Franco Golfieri

FaMAF - Universidad Nacional de Cordoba

Aca van todos las definiciones, axiomas, lemas , corolarios y teoremas visto en el teorico;y tambien le anexe las propiedades obtenidas en los ejercicios del practico 1:

1 Propiedades del producto y la suma

1.1 Propiedades basicas de la igualdad

I1) Reflexiva: a = a

I2) Simetrica: a = b ⇒ b = a

I3) Transitiva: (a = b ∧ b = c) ⇒ a = c

I4) Propiedad uniforme de la suma: a = b ⇒ a + c = b + c

I5) Propiedad uniforme del producto: a = b ⇒ (ac = bc)

1.2 Axiomas

1.2.1 Axiomas de la suma

A1) Ley de asociatividad de la suma: ∀ a, b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c

A2) Existencia del neutro en la suma: ∃ a ∈ R | a + 0 = a

A3) Existencia del opuesto en la suma: ∀ a ∈ R ,∃ (−a) ∈ R | a + (−a) = (−a) + a = 0

3

A4) Propiedad conmutativa de la suma: ∀ a, b ∈ R , a + b = b + a

1.2.2 Axiomas del producto

A5) Propiedad asosiativa del producto: ∀ a, b, c ∈ R , a (bc) = (ab) c

A6) Existencia del neutro en el producto: ∃a ∈ R | a.1 = 1.a = a ∧ 1 6= 0

A7) Propiedad del inverso en el producto: ∀ a 6= 0 , ∃ a−1 ∈ R |a.a−1 = a−1.a = 1

A8)Propiedad conmutativa del producto: ∀ a, b ∈ R , a.b = b.a

A9)Propiedad distributiva del producto: ∀ a, b, c ∈ R , a (b + c) = ab + ac

1.2.3 Axiomas de orden

A10) Ley de Tricotomıa: ∀a ∈ R , a = 0 Y a ∈ R+ Y−a ∈ R+

A11) La suma es cerrada: ∀a, b ∈ R+ , a + b ∈ R+

A12) El producto es cerrado: ∀a, b ∈ R+ , ab ∈ R+

1.2.4 Axioma del supremo

A13) Propiedad del supremo: Sea A un conjunto, tal que: A ⊆ R , A 6= ∅ y est acotadosuperiormente, entonces A tiene supremo. Dicho supremo se denota como Sup A.

1.3 Lemas

1.3.1 Lemas de la suma y el producto

L1) Unicidad del cero: ∃x ∈ R | a + x = x + a ⇒ x = 0

L2) Unicidad del opuesto: ∀a ∈ R , ∃b ∈ R| (a + b = 0 ⇒ b = −a)

L3) −(−a) = a

4

L4) b. (−a) = −ba ∨ −ab

L5) (−b) (−a) = ab ∨ ba

L6) ∀a ∈ R , a.0 = 0

1.3.2 Lemas de Orden

L6) a<0 ∧ b<0 ⇒ ab>0

L7) a>0 ⇒ a−1>0

L8) a<b ∧ c ∈ R ⇒ a + c<b + c

L9) a<b ∧ c>0 ⇒ ac<bc

L10) a<b ∧ c<0 ⇒ ac>bc

L11) a<b ⇒ −a>− b

L12) (a>0 ∧ b>0) ∨ (a<0 ∧ b<0) ⇔ ab>0

L13) a2 ≥ 0 ∀a ∈ R, a 6= 0

1.4 Propiedades de los ejercicios

1.4.1 Propiedades de suma y producto

P1) ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0

P2) ax = a, a 6= 0 ⇒ x = 1

P3) a (b− c) = ab− ac ∀a, b, c ∈ R

P4) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

P5) x2 − y2 ⇒ x = y ∨ x = −y

5

P6) a, b 6= 0 ⇒ (ab)−1 = a−1b−1

1.4.2 Propiedades de orden

P7) a<b ⇒ a + c<b + c

P8) a<b ∧ c>0 ⇒ ac<bc

P9) a<b ∧ c<0 ⇒ ac>bc

P10) a>1 ⇒ a<a2

P11) 0<a<1 ⇒ a2<a

P12) ab>0 ⇐⇒ (a>0 ∧ b>0) ∨ (a<0 ∧ b<0)

P13) a2<b2 ∧ a>0 ⇒ b>a ∨ b<a.

P14) a2 = 1 ⇒ a = 1 ∨ a = −1

1.5 Notaciones

N1) a− b = a + (−b)

N2) a.a = a2

N3) a + a = 2a

6

2 Valor Absoluto

2.1 Definicion

Valor absoluto: El valor absoluto de a ∈ R es:

|a| =

a si a ≥ 0

−a si a ≤ 0

2.2 Lemas

L14) |a| ≥ 0, ∀a ∈ R

L15) | − a| = |a|

L16) a 6= 0 ⇒ |a−1| = |a|−1

L17) ∀a, b ∈ R ⇒ |a.b| = |a|.|b|

L18) Sea b ≥ 0. Entonces:

|a| ≤ b ⇐⇒ −b ≤ a ≤ b

|a| ≥ b ⇐⇒ a ≥ b ∨ a ≤ −b

2.3 Teoremas

T1)Desigualdad Triangular: |a + b| ≤ |a|+ |b|

¿Cuando se da la igualdad |a + b| = |a|+ |b|?

- Cuando a = 0 ∨ b = 0- Cuando tanto a como b tienen el mismo signo

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3 Cotas

3.1 Definiciones

Cota superior: Un conjunto A de numeros reales, es decir un subconjunto de los reales(A ⊆ R), se dice acotado si existe un numero real x tal que x ≥ a ∀a ∈ R. Un numero xcon esta propiedad se dice una cota superior de A. Si x ∈ A y x es cota superior de A, xse dice que es un maximo de A.Si A esta acotado superiormente existen infinitas cotas superiores.

Supremo: Dados A ⊆ R se dice que x ∈ R es una cota superior mınima (o supremo) deA si x es cota superior de A y si y ∈ R es otra cota superior, entonces x ≤ y

Infimo:: Dados A ⊆ R se dice que x ∈ R es una cota inferior maxima(o ınfimo) de A six es cota inferior de A y si y ∈ R es otra cota inferior, entonces x ≥ y

3.2 Proposicion

Sea A ⊆ R, A 6= ∅ un conjunto acotado inferiormente entonces:

−A = {−a|a ∈ A} esta acotado superiormente−A 6= ∅−Sup (−A) = Inf (A)

3.3 Teoremas

T2) N no esta acotado superiormente.

3.4 Corolarios

C1) Propiedad arquimedeana: ∀ε>0, ∃n ∈ N| 1n<ε

C2) Z no esta acotado superior ni inferiormente.

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3.5 Lemas

L19) Sea A ⊆ R ∧ A 6= ∅

a) α es cota superior ⇒ α = SupA ⇐⇒ Sea b<α,∃x ∈ A|b<x ≤ α

b) α es cota inferior ⇒ α = InfA ⇐⇒ Sea b>α,∃x ∈ A|b>x ≥ α

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4 Conjunto denso

4.1 Definicion

Conjunto denso: Sea A ⊆ R se dice que A es denso si todo intervalo abierto de Rcontiene un punto de A, es decir, A ∩ (x, y) 6= ∅ ∀x<y

4.2 Lemas

L20) Dado x ∈ R existe un unico l ∈ Z tal que l ≤ x ≤ l + 1

4.3 Teoremas

T2) Q es denso

T3) R - Q es denso

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5 Funciones

5.1 Definiciones

Funcion: Una funcion f de un conjunto X a un conjunto Y es un subconjunto deX × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y } que cumple: si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f , entonces b = c.

Dominio: Sea f una funcion de X en Y . Se llama dominio de f a:Dom f= {x ∈ X : ∃y ∈ Y | (x, y) ∈ f}

Imagen: Sea f una funcion de X en Y . Se llama imagen de f a:Im f= {y ∈ Y : ∃x ∈ X| (x, y) ∈ f}

Funcion inyectiva:: Sea f : D → Y . Dicha funcion f se dice inyectiva si f (x1) 6=f (x2) ∀x1, x2 ∈ D que cumplen x1 6= x2

Funcion suryectiva: Sea f : D → Y . Dicha funcion f se dice suryectiva si Imf = Y

Funcion biyectiva: Una funcion f se dice biyectiva si es suryectiva e inyectiva.

Dominio maximo: Si f ⊆ X ×Y es funcion, el dominio maximo de f es el subconjuntomas grande de X tal que f : D → Y es funcion.

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6 Composicion de funciones

6.1 Definicion

Composicion de funciones: Sea f una funcion de X a Y , y g una funcion de Y aZ. La funcion de f y g es la funcion de X a Z y se denota como g ◦ f , definida por:(g ◦ f) (x) = g (f (x))Su dominio se expresa como: Dom g ◦ f = {x ∈ Domf |f (x) ∈ Domg}

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7 Funcion Inversa

7.1 Definicion

Funcion Inversa: Sea f ⊆ X × Y . Se define la inversa de f , denotada por f−1 alconjunto: f−1 = {(y, x) ∈ Y ×X : (x, y) ∈ f}

7.2 Teoremas

T4) Sea f unafuncion de X a Y . Entonces, f−1 es una funcion si y solo si f es inyectiva.

T5) Si f y g son funciones inyectivas, entonces:a) f ◦ g es inyectivab) (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1

7.3 Lemas

L21) Dom (f−1) = Im (f)

L22) Im (f−1) = Dom (f)

L23) (f−1)−1

= f

L24) f es inyectiva si y solo si f−1 es inyectiva

L25) x ∈ Dom f ⇒ f−1 (f (x)) = x

L25) x ∈ Dom f−1 ⇒ f (f−1 (x)) = x

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8 Sucesiones

8.1 Definicion

Sucesion: Una sucesion de numeros reales es una funcion de N a R.

Convergencia de una sucesion: Una sucesion {an} converge a l si ∀ε>0,∃N ∈ N :|an− l|<ε ∀n ≥ N. Tambien se usa lim

n→∞an = l.

Sucesion acotada superiormente: Una sucesion {an} se dice acotada superiormentesi ∃c|an ≤ c, ∀n ∈ N

Sucesion acotada inferiormente: Una sucesion {an} se dice acotada inferiormente si∃c|an ≥ c, ∀n ∈ N

Sucesion acotada: Una sucesion {an} se dice acotada si lo es superior e inferiormente.Es decir si ∃c1, c2|c1 ≤ an ≤ c2,∀n ∈ N

Divergencia de una sucesion: Decimos que {an} diverge, si {an} no converge a ningunl ∈ R

Concepcion de que una sucesion tiende a infinito: Se dice que {an} tiende a infinito(denotaremos lim

n→∞an = ∞) si ∀M>0,∃N ∈ N : n>N ⇒ an>M

Concepcion de que una sucesion tiende a menos infinito: Se dice que {an} tiendea menos infinito (denotaremos lim

n→∞an = −∞) si ∀M>0,∃N ∈ N : n>N ⇒ an<M

Sucesion creciente: Una sucesion {an} se dice creciente si an+1>an,∀n ∈ N

Sucesion decreciente: Una sucesion {an} se dice creciente si an+1<an,∀n ∈ N

Sucesion no decreciente: Una sucesion {an} se dice creciente si an+1 ≥ an,∀n ∈ N

Sucesion no creciente: Una sucesion {an} se dice creciente si an+1 ≤ an,∀n ∈ N

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8.2 Lemas

L26) Sea {an} una sucesion que converge a α y a β. Entonces α = β.

L27) Lema del Sandwich: Sean {an}, {bn} y {cn} sucesiones tales que an ≤ bn ≤ cn∀n ∈ N.lim

n→∞an = l = lim

n→∞cn ⇒ lim

n→∞bn = l

L28) Sea {an} una sucesion. Entonces se cumplen las siguientes propiedades.a) lim

n→∞an = l ⇒ lim

n→∞|an| = |l|

b) limn→∞

|an| = 0 ⇒ limn→∞

an = 0

8.3 Teoremas

T6) Si una sucesion {an} es convergente entonces es acotada.

T7) Sean {an} y {bn} tales que limn→∞

an = l y limn→∞

bn = m Entonces se cumplen las sigu-

ientes propiedades:a) lim

n→∞an + bn = l + m

b) limn→∞

an.bn = l.m

c) bn 6= 0 ∧m 6= 0 ⇒ limn→∞

an

bn

=l

m

T8) Si {an} es una sucesion no decreciente y acotada superiormente, entonces {an} esconvergente.

T9) Si {an} es una sucesion no creciente y acotada inferiormente , entonces {an} es con-vergente.

8.4 Corolarios

C3) Si {an} es convergente ∃c > 0 : |an| ≤ c.

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9 Subsucesiones

9.1 Definicion

Subsucesion:Sea g : N → N una funcion creciente, es decir g (k + 1) >g (k) ,∀k ∈ N.Entonces la funcion a o g : N → R, se dice una subsucesion de a. Denotaremosank

= a (g (k)).

Sucesion de Cauchy: Una sucesion an se dice una sucesion de Cauchy si ∀ε > 0,∃N ∈N : n, m>N ⇒ |an − am|<ε

9.2 Teoremas

T9) Teorema de Bolzano - Weienrtness: Toda sucesion acotada posee una subsucesionconvergente.

T10) Una sucesion an es convergente si y solo sı es de Cauchy.

9.3 Lemas

L29) Cualquier sucesion an contiene una subsucesion que es o bien decreciente, o bien nocreciente.

L30) Si an es una sucesion convergente entonces toda subsucesion es convergente y con-verge al mismo lımite.

L31) a > 1 ⇒ limk→∞

ak = ∞

L32) a > 1 ⇒ limk→∞

b1k = 1

L33) n ≥ 5 ⇒ 2n > n2

L34) Toda sucesion an contiene una subsucesion ankque es o bien no creciente o bien no

decreciente.

9.4 Corolario

C4) Si una sucesion tiene dos subsucesiones convergentes queconvergen a distintos lımites,entonces la sucesion original no es convergente.

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10 Lımites de funciones

10.1 Definiciones

Lımite de una funcion: La funcion f tiende al lımite l en b(limx→b

f(x) = l)

si ∀ε>0,∃δ :

0<|x− b|<δ ⇒ |f(x)− l|<ε

Lımite de una funcion cuando tiende por derecha: Diremos que el lımite de

f(x) cuando x tiende a b por derecha

(lim

x→b+f(x) = l

)cuando ∀ε>0,∃δ>0|0<x− b<δ ⇒

|f(x)− l|<ε

Lımite de una funcion cuando tiende por izquierda: Diremos que el lımite de f(x)

cuando x tiende a b por izquierda

(lim

x→b−f(x) = l

)cuando ∀ε>0,∃δ>0|0<b − x<δ ⇒

|f(x)− l|<ε

Lımite de una funcion cuando x tiende a infinito: limx→∞

f(x) = l si ∀ε>0,∃M>0 :

x>M ⇒ |f(x)− l|<ε

Lımite de una funcion cuando x tiende a menos infinito: limx→−∞

f(x) = l si

∀ε>0,∃M>0 : x<−M ⇒ |f(x)− l|<ε

Lımite de una funcion cuando tiende a infinito: limx→a

f(x) = ∞ si ∀M>0,∃δ>0 :

0<|x− a|<δ ⇒ f(x)>M

Lımite de una funcion cuando tiende a menos infinito: limx→a

f(x) = −∞ si ∀M>0,∃δ>0 :

0<|x− a|<δ ⇒ f(x)<−M

10.2 Teoremas

T10) Sea f una funcion definida en I \ {c} donde I es un intervalo que contiene a c.Asumios que lim

x→bf(x) = l.

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a) Sea {an} una sucesion tal que:i) Cada an pertenece a I \ {c}ii) lim

n→∞an = c

Entonces limn→∞

f(an) = c

b) Recıprocamente si vale que limn→∞

f(an) = l para toda sucesion que satisface (i) y (ii)

entonces limn→∞

f(x) = l

T11) limn→∞

f(x) = l ∧ limn→∞

f(x) = m ⇒ m = l

T12) Existe limx→b

f(x) si y solo si existen ambos lımites laterales y coinciden. Es decir:

limx→b+

f(x) = limx→b−

f(x)

10.3 Corolarios

C5) Decir que una que limx→b

f(x) 6= l es decir que: ∃ε>0 : ∀δ>0,∃x ∈ R : 0<|x − b|<δ :

|f(x)− l| ≥ ε

C6) Si existen {an} y {bn} dos sucesiones tales que limn→∞

an = limn→∞

bn = c pero limn→∞

f(an) 6=lim

n→∞f(bn), entonces @ lim

x→cf(x)

10.4 Lemas

L35) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x en un entorno de b y ademas limx→b

f(x) = limx→b

h(x) =

l ⇒ limx→b

g(x) = l

L36) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),∀x>xo ∧ limx→∞

f(x) = limx→∞

h(x) = l ⇒ limx→∞

g(x) = l

L37) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),∀x<xo ∧ limx→∞

f(x) = limx→∞

h(x) = l ⇒ limx→∞

g(x) = l

L38) f(x) ≤ g(x) para todo x en un entorno b y limx→b

f(x) = ∞⇒ limx→b

g(x) = ∞

L39) f(x) = g(x) para todo x en un intervalo que contiene a b y limx→b

g(x) = −∞ ⇒limx→b

f(x) = −∞

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10.5 Propiedades

limx→a

f(x) = l ∧ limx→a

g(x) = m entonces:

a) limx→a

(f + g) (x) = l + m

b) limx→a

(f.g) (x) = l.m

a) limx→a

f(x)

g(x)(x) =

l

msi m 6= 0

10.6 Lımites notables

limx→0

sin(x)

x= 1

limx→0

1− cos(x)

x2= 1

limx→0

1− cos(x)

x= 1

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