Revista Digital (Aplicación de Derivadas)

Aplicación de Derivadas

Calcul

o

Integrantes:• Agrela, Kenedy• Dos Santos, Edgar• Escorcia, Stephany• Oropeza, Jiselis• Suarez, Maria

Aplicación de Derivadas

Derivadas Implícitas

Gottfried

Leibniz

CÁLCULO

INVENTOR

DEL

Gottfried Wilhelm nació en Leipzig, Alemania. Se graduó y fue profesor de la universidad de Altdor. Se desenvolvió con excelencia en varios campos: Matemática, Filosofía, Diplomacia, etc.

En 1684 se publicaron sus investigaciones de lo que seria el Calculo Diferencial e Integral. El, junto con Newton, son considerados como creadores del calculo. Invento una maquina de multiplicar.

Siendo embajador de Paris, conoció a científicos, como Huygens, quienes reforzaron su interés por la matemática.

En 1712, surgió una larga e infortunada discordia entre Newton y sus seguidores, por un lado, y Leibniz y sus seguidores, en otro lado, sobre quien de los matemáticos realmente invento el calculo. Se lanzaron acusaciones mutuas de plagio y deshonestidad. Los historiadores zanjaron la disputa dando merito a cada uno. Dicen que cada cual, Newton y Leibniz, lograron sus resultados independientemente.

Gottfried Leibniz

1646 - 1716

Ejemplos de Ejercicios De

Derivación Implícita

Ejemplo 1 Hallar si

Ejemplo 1 Hallar si

𝑑𝑑𝑥

(𝑥3 𝑦 )− 𝑑𝑑𝑥

( 𝑦7𝑥 )= 𝑑𝑑𝑥

(5 )→[𝑥3 dy𝑑𝑥 +𝑦 𝑑𝑑𝑥

(𝑥3 )]−[𝑦7 𝑑𝑥𝑑𝑥 +𝑥 𝑑𝑑𝑥

( 𝑦7 ) ]=0→𝑥3

𝑑𝑦𝑑𝑥

+3 𝑦 𝑥2− 𝑦7−7 𝑥 𝑦6𝑑𝑦𝑑𝑥

=0→𝑥3dy𝑑𝑥−7 𝑥 𝑦6

𝑑𝑦𝑑𝑥

=𝑦7−3 𝑦 𝑥2

→ (𝑥3−7 𝑥 𝑦6 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥

=𝑦 7−3 𝑦 𝑥2→ 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 𝑦7−3 𝑦 𝑥2

𝑥3−7𝑥 𝑦6

Solución

Derivamos término a término

Ejemplo 2 Hallar si

Ejemplo 2 Hallar si

Solución

→𝑑𝑦𝑑𝑥

=62

𝑑𝑑𝑥

(6 𝑥−2 𝑦 )=0 6−2𝑑𝑦𝑑𝑥

=0

(Despejando )

(Efectuando las Derivadas)

→6=2𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑥

=3

Ejemplo 3 Hallar si

Ejemplo 3 Hallar si

Solución

𝑑𝑑𝑥

(𝑥2+𝑦2−7)=0

→2𝑥+2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥−0=0(Efectuando las derivadas)

→2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥

=−2𝑥 (Despejando )

→𝑑𝑦𝑑𝑥

=−2 𝑥2 𝑦

Ejemplo 4 Hallar si

Ejemplo 4 Hallar si

Solución𝑑𝑑𝑥

(𝑥2 𝑦−𝑥𝑦2+𝑦 2 )= 𝑑𝑑𝑥

(7 ) (Aplicando en ambos miembros)

→2𝑥𝑦+𝑥2 𝑑𝑦𝑑𝑥−(1 𝑦2+𝑥 2 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 )+2 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥=0 (Efectuando los derivados indicados)

→2𝑥𝑦+𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑥− 𝑦2− 𝑥2 𝑦

𝑑𝑦𝑑𝑥

+2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥

=0

→𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑥−𝑥 2 𝑦

𝑑𝑦𝑑𝑥

+2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥

=−2𝑥𝑦+𝑦2(Agrupando terminos semejantes)

→𝑑𝑦𝑑𝑥

(𝑥2−𝑥2 𝑦+2 𝑦 )=−2 𝑥𝑦+𝑦 2(Factor común ) 𝑑𝑦𝑑𝑥

= −2 𝑥𝑦+𝑦 2

(𝑥2−𝑥2 𝑦 +2 𝑦 )

Ejemplo 5 Hallar si

Ejemplo 5 Hallar si

Solución

𝑑𝑑𝑥

( 𝑥2 sin (𝑥+ 𝑦 )−5 𝑦 𝑒𝑥 )= 𝑑𝑑𝑥

(−3)

→2𝑥 sin(𝑥+ 𝑦 )+𝑥2cos (𝑥+ 𝑦 )+𝑥2cos (𝑥+𝑦 )(1+ dy𝑑𝑥 )−(5 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑒𝑥+5 𝑦 𝑒𝑥)=0(Aplicando en ambos miembros)

(Efectuando los derivados indicados)

→2𝑥 sin (𝑥+𝑦 )+𝑥2 cos (𝑥+𝑦 )+𝑥2 cos (𝑥+𝑦 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥−5

𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑒𝑥−5 𝑦 𝑒𝑥=0

→𝑥2 cos (𝑥+ 𝑦 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥−5

𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑒𝑥=−2𝑥 sin (𝑥+𝑦 )−𝑥2 cos (𝑥+𝑦 )+5 𝑦 𝑒𝑥(Agrupando términos semejantes)

→dydx

¿ (Factor Común)

→𝑑𝑦𝑑𝑥

=−2 𝑥 sin (𝑥+𝑦 )−𝑥2cos (𝑥+𝑦 )+5 𝑦 𝑒𝑥

𝑥2cos (𝑥+𝑦 )−5𝑒𝑥

Ejercicios PropuestosDe

Derivación Implícita

En los ejercicios del 1 al 10, derivar implicitamente. Donde “a”, “b” y “c” son constantes.

3 𝑥2−4 𝑦=11 2

3 4

5 6

7 8

9 10

3 𝑥 𝑦2−𝑥2 𝑦2=𝑥+1

tan 𝑦=𝑥𝑦 𝑥𝑦− 𝑥2=5

1𝑥

+𝑦2=2𝑥 𝑥2−2𝑎𝑥𝑦+𝑦2=0

cos (𝑥− 𝑦 )=𝑦 sin𝑥 cot (𝑥𝑦 )=𝑥𝑦

𝑦𝑥−𝑦

−𝑥3−1=0 𝑥+2√𝑥𝑦+𝑦=𝑏

Derivadas de Orden Superior

Definición

Al derivar una función “f” obtenemos la función derivada “f´” podemos volver a derivarla obteniendo otra nueva función “(f´)´”, cuyo dominio es el conjunto de todos los puntos “x” del dominio “f´” para los cuales “f´” es derivable en “x”; o sea todos los puntos “x” del dominio “f´” para los cuales existe el siguiente limite:

( 𝑓 ´ ) ´ (𝑥)=limh→ 0

𝑓 ´ (𝑥+h )− 𝑓 ´ (𝑥)h

La función “(f´)´” se llama segunda derivada de “f” y se denota por “f´´”. Si “f´´(a) existe, diremos que “f” es dos veces diferenciable en “a” y que “f´´(a)” es la segunda derivada de “f” en “a”.

Con las otras notaciones, la segunda derivada de se escribe así:

, , ,

En vista de que “f´´” es la segunda derivada de “f”, a “f´” la llamaremos primera derivada de “f”.

Derivada

sde

Orden

Superior

Ejemplos de Ejercicios de Derivación de

Orden Superior

Ejemplo 1 Hallar la primera y segunda derivada de cada una de las siguientes funciones:

; ;

𝑐 .¿𝑢=1𝑡

Ejemplo 1 Hallar la primera y segunda derivada de cada una de las siguientes funciones:

; ;

𝑐 .¿𝑢=1𝑡

Solución

𝑎 .¿ 𝑓 ´ (𝑥 )=2 𝑥

→ 𝑓 ´ (𝑥 )=2→

𝑑2𝑦𝑑 𝑥2

=6 𝑥−14

𝑏 .¿𝑑𝑦𝑑𝑥

=3𝑥2−14 𝑥−2

𝑐 .¿𝑑𝑢𝑑𝑡

=−1

𝑡 2

→𝑑2𝑢𝑑𝑡 2

=− 𝑑𝑑𝑡

(−𝑡−2 )=− (−2 )𝑡−3= 2𝑡 3

Ejemplo 2 Hallar todas las derivadas de la función


Solución

𝑓 ´ (𝑥 )=3 𝑥2 𝑓 (2) (𝑥 )=6𝑥 𝑓 (3) (𝑥 )=6

𝑓 (4) (𝑥 )=0 𝑓 (𝑛) (𝑥 )=0 , para


Solución

𝑓 ´ (𝑥 )= (3 )´ (2𝑥−1 ) (3 ) (2 𝑥−1 ) ´(2𝑥−1 )2

¿ 𝑓 ´ (𝑥 )= −3 ∙2

(2𝑥−1 )2¿ 𝑓 ´ (𝑥 )= −6

(2𝑥−1 )2

𝑓 ´ ´ (𝑥 )=(−6 ) ´ (2𝑥−1 )− (−6 ) [ (2𝑥−1 )2 ] ´

(2𝑥−1 )4

¿ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=(−6 )´ (2 𝑥−1 )− (−6 ) [ (2𝑥−1 )2 ] ´

(2 𝑥−1 )4


Solución

𝑓 ´ (𝑥 )= (3 )´ (2𝑥−1 ) (3 ) (2 𝑥−1 ) ´(2𝑥−1 )2

¿ 𝑓 ´ (𝑥 )= −3 ∙2

(2𝑥−1 )2¿ 𝑓 ´ (𝑥 )= −6

(2𝑥−1 )2

𝑓 ´ ´ (𝑥 )=(−6 ) ´ (2𝑥−1 )− (−6 ) [ (2𝑥−1 )2 ] ´

(2𝑥−1 )4

¿ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=(−6 )´ (2 𝑥−1 )− (−6 ) [ (2𝑥−1 )2 ] ´

(2 𝑥−1 )4

¿ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=− (−6)´. [2(2 x−1)2] (2 𝑥−1 )4

¿24 (2 x−1)

(2 𝑥−1 )4¿24

(2𝑥−1 )2

f´´(x) =

f´´(x) = = f´´(x)=

Ejercicios Propuestos de Derivación de

Orden Superior

En los ejercicios del 1 al 5, hallar las derivada de segundo orden

𝑦=𝑋 5−4 𝑥3−2 𝑥+21 2

3 4

5

𝑦=√𝑥

h (𝑥 )= 𝑥2+𝑥 𝑦=𝑥 sin 𝑥

𝑦=(𝑥2+1 )3

Teorema del Valor Medio

Es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo. El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

El teorema del valor medio es un resultado fuerte. Gracias a él podemos obtener información de la función F a partir de su función derivada F'. Por ejemplo, es fácil demostrar, usando este teorema, que si F'(x) es positiva en un intervalo, entonces F ha de ser creciente en ese intervalo.

Numero crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.1 2 El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.

Ejemplo: La función ƒ(x) = x2 + 2x + 3 es diferenciable en todo lugar, con la derivada ƒ′(x) = 2x + 2. Esta función tiene un único punto crítico −1, debido a que es el único número x0 para el cual 2x0 + 2 = 0. Este punto es un mínimo global de ƒ. El correspondiente valor crítico es ƒ(−1) = 2. La gráfica de ƒ es una parábola cóncava hacia arriba, el punto crítico es la abscisa del vértice, donde la línea tangente es horizontal, y el valor crítico es la ordenada del vértice y puede ser representado por la intersección de esta línea tangente y el eje y.

Ejemplo 1 Compruebe la hipótesis del teorema del valor medio para la función es el.Hallar el valor de “c” que satisface la conclusión del teorema del valor medio.

𝑓 (𝑥 )=𝑥2+2 𝑥−1

Solución

𝑓 ´ (𝑐 )=𝑓 (𝑏 )− 𝑓 (𝑎)

𝑏−𝑎𝑓 ´ (𝑐 )=

𝑓 (1 )− 𝑓 (0)1−0

𝑓 (1 )=(1 )2+2 (1 )−1=1+2−1=2𝑓 (0 )=02+2 (0 )−1=0+0−1=1𝑓 ´ (𝑥 )=2𝑥+2

Así,

Ahora,

𝑓 ´ (𝑐 )=𝑓 (1 )− 𝑓 (0)1−0

2 𝑥+2=2−(−1)1

Luego,

2𝑐−1=0→2𝑐=1→𝑐=12

(2 𝑥+2 )× (1 )=32 𝑥+2=3→2𝑥+2−3=0

2 𝑥−1=0

∴𝑐=12

al

Ejemplo 3 Hallar todos los números “c” que satisfacen la conclusión del teorema del valor medio, la función en𝑓 (𝑥 )=𝑥3+𝑥2−𝑥 [−2,1 ]

Solución

Espacio para el texto

Ejemplos

Ejemplo 1 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=𝑥4 ∙𝑒𝑥

b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).

a.) Numero critico ;

c.) Los Extremos ; d.) Intervalo de Concavidade.) Puntos de

Inflexión.

Ejemplo 1 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=𝑥4 ∙𝑒𝑥




Inflexión.Solución

a.) Números Críticos

𝑓 ´ (𝑥 )=0

(Sacando Factor Común )

(Derivando)

𝑥=0

(Igualamos “a” con la derivada y despejamos “a” ; “x” )

4𝑒−𝑥−𝑥 ∙𝑒−𝑥=0𝑒−𝑥(4− 𝑥)=0

𝑥=4

Luego, los numero críticos son

Y

𝑥=0

𝑥=4

b.) Intervalos de Monotonía

0 4−1 1 5

𝑓 ´ (𝑥 )=¿ 𝑓 ´ (𝑥 )=¿− +¿ −

Decreciente Creciente Decreciente

−∞ +∞

La función “f” es decreciente en ( y creciente en

c.) Extremos Absolutos

Si observamos el cuadro anterior podemos observar que según el criterio de la función derivada es:

es un mínimo local es un máximo local

d.) Intervalo de la Concavidad

𝑓 (𝑥 )=𝑥3𝑒−𝑥 (4−𝑥 ) 𝑓 ´ (𝑥 )=𝑥3𝑒−𝑥 4−𝑥4 ∙𝑒−𝑥

𝑓 ´ ´ (𝑥 )=12𝑥2𝑒−𝑥+4 𝑥3−𝑒−𝑥− ¿→12𝑥2𝑒−𝑥−4 𝑥3𝑒−𝑥−4 𝑥3𝑒−𝑥+𝑥4𝑒−𝑥

→𝑥2𝑒−𝑥 (12−4 𝑥−4 𝑥+𝑥2)→𝑥2𝑒−𝑥 (12−8 𝑥+𝑥2)

igualamos a “0” la segunda derivada

𝑥2𝑒−𝑥=0𝑥−6=0𝑥−2=0

𝑥2=0 𝑥=0𝑥=6𝑥=2

0 6−1 1 3

𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿+¿ +¿

Decreciente Creciente Decreciente

−∞ +∞

Los números críticos de segundo orden son: 0, 6, 2

2 7

𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿− 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿+¿

La función es cóncava hacia arriba en y cóncava hacia arriba. Y cóncava hacia abajo en

e.) Puntos de Inflexión

Así, sus puntos de inflexión son

Ejemplo 2 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥2−8 𝑥+3




Inflexión.

Ejemplo 2 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥2−8 𝑥+3






𝑓 ´ (𝑥 )=−4 𝑥−8𝑓 ´ (𝑥 )=0 −4 𝑥−8=0

−4 𝑥=8 𝑥=8−4

→4−2

=−2

Luego, el punto critico es


−2−3 0

𝑓 ´ (𝑥 )=¿ +¿ −

Creciente Decreciente

−∞ +∞𝑓 ´ (𝑥 )=¿

Luego, la función es creciente en y decreciente en

c.) Extremos Relativos

Observando el cuadro anterior por el criterio de la función derivada podemos ver que:

es un máximo local

d.) Intervalos de Concavidad

no tiene …


𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥2−8 𝑥+3

La función es una parábola cóncava hacia abajo en y, por ello, no posee puntos de inflexión

Ejemplo 3 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=𝑥3−3 𝑥+1




Inflexión.

Ejemplo 3 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=𝑥3−3 𝑥+1






𝑓 ´ (𝑥 )=3 𝑥2−3𝑓 ´ (𝑥 )=00=3 𝑥2−33=3 𝑥233=𝑥2 𝑥2=1

𝑥=1 𝑥=−1


−1 1−2 0 2

𝑓 ´ (𝑥 )=¿ 𝑓 ´ (𝑥 )=¿+¿ − +¿

Creciente Decreciente

−∞ +∞

Creciente

Luego, la función es creciente en los intervalos y decreciente en


Observando el cuadro anterior, según el criterio de la función derivada, tenemos que:

es un máximo y es un mínimo

0−1 1

𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿− +¿

Decreciente

−∞


𝑓 ´ (𝑥 )=3 𝑥2−3𝑓 ´ ´ (𝑥 )=6 𝑥𝑓 ´ ´ (𝑥 )=00=6 𝑥 𝑥=0

El numero critico de segundo o orden es

+∞

Creciente

La función es cóncava hacia abajo en y cóncava hacia arriba en


Al observar el cuadro anterior, podemos apreciar que sus puntos de inflexión es

Ejemplo 4 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=(𝑥−6)√𝑥




Inflexión.

Ejemplo 4 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=(𝑥−6)√𝑥






𝑓 ´ (𝑥 )=1√𝑥+(𝑥−6 ) 12√𝑥

𝑓 ´ (𝑥 )=2 (√𝑥 )2+(𝑥−6)

2√𝑥𝑓 ´ (𝑥 )=√𝑥+

(𝑥−6)2√𝑥

→ 𝑓 ´ (𝑥 )=2𝑥+𝑥−62√𝑥

𝑓 ´ (𝑥 )=3 𝑥−62√𝑥

𝑓 ´ (𝑥 )=3 (𝑥−2)2√𝑥

𝑓 (𝑥 )=0 0=3(𝑥−2)2√𝑥 0=3 (𝑥−2)

→0=(𝑥−2) 𝑥=2


21 3

𝑓 ´ (𝑥 )=¿ − +¿

CrecienteDecreciente

−∞ +∞𝑓 ´ (𝑥 )=¿

Luego, la función es creciente en y decreciente en



es un mínimo


𝑓 ´ (𝑥 )=3 𝑥−62√𝑥

→ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=(3 𝑥−6 ) ∙ (2√𝑥 )−(3𝑥−6) ∙(2√𝑥 )

2 (√𝑥 )2

→ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=3 ∙ (2√𝑥 )− (3 𝑥−6 ) ∙2∙ 2

2√𝑥4 𝑥

→ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=6√𝑥− 3 𝑥−6

√𝑥4 𝑥

𝑓 ´ ´ (𝑥 )=6 (√𝑥 )2−3 𝑥−6

4 𝑥

→ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=6 𝑥−3𝑥−64 𝑥

𝑓 ´ ´ (𝑥 )=3 (𝑥−2)4 𝑥

𝑓 ´ ´ (𝑥 )=3 𝑥−64 𝑥

𝑓 ´ ´ (𝑥 )=0 0=3 (𝑥−2 )4 𝑥

0=3 (𝑥−2) 0=𝑥−2

𝑥=2

21 3

𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿− +¿

Decreciente

−∞

El numero critico de segundo o orden es 2

+∞

Creciente

Como el cuadro no satisface la segunda derivada, podemos decir que la función es cóncava hacia arriba en


Ejemplo 5 Dada la función , hallar: 𝑔 (𝑥 )=𝑥4 ∙2𝑥2+4




Inflexión.

Ejemplo 5 Dada la función , hallar: 𝑔 (𝑥 )=𝑥4 ∙2𝑥2+4






𝑔 ´ (𝑥 )=4 𝑥3−4 𝑥

𝑔 ´ (𝑥 )=0 0=4 𝑥3−4 𝑥 4 𝑥 (𝑥2−1 )=0

→4 𝑥=0 𝑥=0 ˄ x2−1=0 x2=1

x2=1 x2=1


−1 1−2 −1 /2

𝑔 ´ (𝑥 )=¿ g− +¿

Decreciente Creciente

−∞ +∞0 2

g − g +¿1/2

Decreciente Creciente

La función es creciente en y y decreciente en y



𝑔 (−1 )=3𝑔 (1 )=3

Mínimos Locales 𝑔 (0 )=4 Máximo local


𝑔 ´ (𝑥 )=4 𝑥3−4 𝑥

𝑔 ´ ´ (𝑥 )=12 𝑥2−4

𝑔 ´ ´ (𝑥 )=0 0=12 𝑥2−4 0=4 (3 𝑥2−1)

412

=𝑥226=𝑥2

26=𝑥2

13=𝑥2

→𝑥=± √1√3

𝑥=1

√3𝑥=−

1

√3y

Números críticos de segundo orden

2−2 3

𝑔 ´ ´ (𝑥 )=¿ 𝑔 ´ ´ (𝑥 )=¿+¿ −−∞ +∞

CrecienteCreciente Decreciente

𝑔 ´ ´ (𝑥 )=¿+¿+∞

La función es cóncava hacia arriba en y y cóncava hacia abajo en


Al observar el cuadro anterior, podemos apreciar que sus puntos de inflexión son

Ejercicios Propuestos

Dada las siguientes funciones, hallar:

b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).a.) Numero critico ;


Inflexión.

𝑓 (𝑥 )=𝑥4+2𝑥3−3 𝑥2−4 𝑥+11 2

3 4

5

𝑓 (𝑥 )=𝑥 𝑒𝑥

h (𝑥 )= 𝑥𝑥−2

𝑓 (𝑥 )=9 𝑥𝑒−𝑥

h (𝑥 )=𝑥− ln𝑥

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