Análisis deClusters dePuestos Técnicos

Estimando el productopoblacional en la ocasiónactual

El coste del 20-J, delPrestige y delapoyo al ataquealiado a Irak

Problemas deInvestigaciónOperativa con Excel

6 9 11 15

Número 1 • 1er semestre 2004

Edita:Asociación Nacional de Profesionales

de la EstadísticaFacultad de Ciencias

c/ Prado de la Magdalena, s/nValladolid

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ANAPES no se hace responsable de los conteni-dos firmados por cada autor, ni tiene por quécompartirlos. Queda autorizada la reproducciónparcial o total, citando su procedencia.

SIGMA tiene una difusión de 300 ejemplaresen soporte papel, y es de periodicidadsemestral. La revista es de difusión gratuitaentre sus asociados, y está disponible paratodos aquellos profesionales del sector, enformato eléctrónico en la página WEB deANAPES.

Índice

Editorial 3

Actualidad y Noticias 5

Artículos

Análisis de Clusters de Puestos de Técnicos.Un caso concreto de aplicación en la Administración General del País Vasco 6

Estimando el producto poblacionalen la ocasión actual 9

El coste del 20-J, del Prestige y del apoyoal ataque aliado a Irak 11

Estadística e Informática

Problemas de Investigación Operativa con Excel 15

Enlaces y Direcciones de Interés 19

Pasatiempos 20

Normas de Publicación 23

2 Índice

3Editorial

Editorial

Un impulso por la Estadística del siglo XXIQueridos compañeros,

Es muy grato para mi aprovechar esta oportunidad que me brinda la Revista ΣΙσΜΑ para saludaros.

Nuestro objetivo constante es, ser una organización capaz de satisfacer las expectativas personali-zadas e individualizadas de los socios, para ello estamos en la tarea de lograr una continua mejora de losservicios existentes y en el proceso de innovación permanente para ofrecer otros nuevos.

La Asociación Nacional de Profesionales de la Estadística (ANAPES) es una organización flexible,abierta y cuyo fin es que todos encontremos en ella algo de lo que necesitamos o de los que nos gusta,LA ESTADÍSTICA. Ésta es nuestra identidad, identidad que nos impulsa a ser y actuar con un conjunto devalores, creencias y maneras que guian nuestro comportamiento y que a su vez se proyecte como imagena nuestra audiencia.

Para transmitir esta identidad y crear un punto de encuentro entre todos los profesionales relacio-nados con la estadística en España, se ha editado la Revista ΣΙσΜΑ.

La Revista, es una publicación semestral editada por ANAPES, que comienza a publicarse con estenúmero I, en el primer semestre de 2004 con el nombre de SIGMA, representada con los símbolos ΣΙσΜΑtan usados en nuestra profesión estadística.

Los objetivos con los que se inicia la revista son dar a conocer las investigaciones originales y losestudios técnicos del personal estadístico nacional, así como los trabajos y documentos de proce-dencia extranjera que son de interés para la Estadística Nacional.

Además esta revista consta de su publicación electrónica en la red Internet y en formato CD-ROM.Con su presencia en Internet nos proponemos que la Revista ΣΙσΜΑ continúe cumpliendo los objetivospara los que ha sido creada, y que durante los próximos años, siga contribuyendo a la difusión de los prin-cipales trabajos de investigación que se realizan en nuestro país.

La revista cuenta con un sistema de revisión externa por parte de expertos en temas los investigadosy en las metodologías utilizadas (peer-review), y se han adoptado normas de publicación a seguir.

Esperando que esta revista cumpla los objetivos del mundo estadístico y que sirva para dar un nuevoimpulso a la estadística del siglo XXI.

Noelia González RodríguezPresidenta de la Asociación Nacional de Profesionales de la Estadística (ANAPES)

Email: noelia.gonzalez@anapes.com

5Actualidad y Noticias

Actualidad y noticias

Cursos y SeminariosLa Escuela de Estadística de las Administraciones Publicas del INE va ha realizar los siguientes cursos y seminarios:

Tratamiento de la falta de respuesta, por imputación y reponderación. Dos módulos 8 al 11 y 15 al 18 de SeptiembreExplicar la problemática de la falta de respuesta en encuestas y los distintos métodos que se pueden emplear para su tratamiento, espe-cialmente la imputación y la reponderación. Se explicará la teoría estadística necesaria y se verán dos programas de ordenador (IVEwa-re y CALMAR) que permiten realizar estas tareas. También se expondrán aspectos más técnicos, como la estimación de varianzas enpresencia de imputación, con algunas aplicaciones prácticas. El curso se divide en dos módulos que se impartirán en dos semanas con-secutivas. En el primer módulo se expondrá la parte básica y en el segundo los temas más avanzados.

Modelos lineales generalizados 3, 10, 17, 24 y 31 de octubre (solo mañanas)Dar una introducción a la Teoría General de los Modelos Lineales Generalizados aplicando la misma al desarrollo y análisis de algunosmodelos de regresión específicos. Se presentaran ejemplos y ejercicios y se darán instrucciones básicas para resolver problemas con SAS.

Confidencialidad Estadística 7 y 8 de OctubreOfrecer un conocimiento de la legislación en la Unión Europea en materia de confidencialidad estadística. Dar información sobre la coor-dinación, organización y mecanismos necesarios para su implantación.

Tratamientos Informáticos para la producción de Estadísticas del INE 13 al 17 de OctubreDar a conocer una serie de consideraciones sobre la elaboración de un sistema informático de soporte para la elaboración de estadísti-cas. Infraestructura física y lógica de sistemas y comunicaciones.

Encuestas y trabajos realizados por el INE 20, 21, 22 y 23 de OctubreDar a conocer una serie de consideraciones sobre la elaboración y la producción estadística del INE y sus posibilidades de utilización enlos ámbitos sociales, económicos y culturales.

Trabajos de campo en las encuestas del INE 4, 5 y 6 de NoviembreOfrecer los principios generales que rigen la recogida de datos de las encuestas, así como los métodos aplicados en las encuestas del INE,con ejemplos de dos encuestas concretas, una del ámbito de los hogares y otra del ámbito de las empresas. El curso incluirá la realiza-ción de encuestas concretas CATI por los asistentes.

Depuración de datos cuantitativos 11, 12 y 13 de NoviembreEs un curso sobre la depuración e imputación de datos cuantitativos. Se repasan las últimas técnicas en esta materia. El curso dedicauna especial atención a la depuración de encuestas económicas y, en particular, a los métodos de depuración selectiva basados en mode-los de series temporales.

Proyecciones de Población 25, 26 y 27 de NoviembreDar a conocer la metodología empleada para el cálculo de la población futura, su estructura por sexo y edad, el análisis y la evaluaciónde los resultados obtenidos, el mecanismo de revisión de las proyecciones de población así como la obtención y análisis de los indica-dores básicos.

Los cursos de la EEAP son gratuitos. La solicitud de cada uno de ellos debe hacerse a la dirección siguiente: Escuela de Estadística de las Administraciones Públicas. Instituto Nacional de EstadísticaPº de la Castellana, 183 (Despacho 219) - 28071 Madrid. Fax: 91 5837781 ó 91 5839520Correo electrónico: csaizb@ine.es o carnieto@ine.es

Congresos y ConferenciasSurvey and Statistical Computing IV 17, 18 y 19 de SeptiembreSurvey and Statistical Computing IV - The Impact of Technology on the Survey Process, organised by the Association for Survey Compu-ting, to be held at Warwick University. U.K. Information: Diana Elder, ASC Administrator, P.O. Box 60, Chesham, Bucks HP5 3QH, U.K.E-mail: Admin@asc.org.uk - Website: www.asc.org.uk - Phone/Fax: +44(0)1494 793033.

VI Congreso Nacional de Estudiantes de Estadística 24, 25 y 26 de SeptiembreIV edición del Congreso Nacional de Estudiantes de Estadística, organizado por la Universidad Miguel Hernández, y que tendrá lugar enBenidorm (Alicante). El tema principal del Congreso será las Estadísticas en el Sector Turístico y los alumnos podrán exponer trabajostutelados por los profesores de las Universidades. Para más información consultar la página web: http://dema.umh.es/6congreso

Puedes enviar información sobre cursos, congresos, conferencias, notas de prensa, etc. a:revistasigma@anapes.com

La dispersión organizativa, esdecir, el solape de las funciones delos distintos puestos ha sido unarealidad obvia de los puestos de losGrupos A y B (Técnicos Superiores yMedios) de la Administración Gene-ral de la Comunidad Autónoma delPaís Vasco. Prueba de ello es que lamedia de trabajadores por puesto nollega a 2. Una de las condiciones deeste trabajo era reducir el númerode puestos manteniendo el númerode trabajadores.

El trabajo se dividió en tres partes:

Patricia Calvo GarridoJefa de Sección de Planificación yCoordinación Estadísticas de la D. G.de Estadística de la Consejería deHacienda de la Junta de Castilla yLeónEn el momento del estudio trabajabaen el Área de Metodología del Insti-tuto Vasco de Estadística (EUSTAT)Email: Patricia.Calvo@ceh.jcyl.es

A. Análisis Ocupacional

Se recopilaron todas las mono-grafías1 correspondientes a lospuestos de trabajo de la Administra-ción Vasca. De ellos se extrajeronenunciados referidos a tareas o fun-ciones, que estaban redactados sincriterio previo. A partir de aquí seaplico la siguiente metodología:

1. La diferenciación entre función ytarea en las monografías. Las funciones identifican lo quehay que hacer y las tareas cómose debe de hacer algo.

2. La descomposición de la funciónen sus componentes: Verbo deAcción, Objeto General y Espe-cialidad o Ámbito de Actuaciónque mejor represente al enuncia-do original, pero esta vez concomponentes comunes y por

tanto comparables entre sí, locual permite una descripciónhomogénea y comparativa de lospuestos de trabajo.

3. La utilización del ámbito comoforma de incorporar a los clientes,sus necesidades y sus contextos,en la función.

Muchos puestos enfrentaban elanálisis de cluster con pocas funcio-nes, bien porque sus monografíastenían muchos enunciados inservi-bles o porque su descripción habíasido redundante. En cualquier caso,se entendió que todos los puestosdebían enfrentar el análisis de clus-ters con una variabilidad homogé-nea. Por ello se pidió a losdirectores/as que escogiesen entreun rango de 4 a 6 funciones a lahora de definir un puesto.

6 Artículos

Análisis de Clusters de Puestos deTécnicos. Un caso concreto de

aplicación en la Administración Generaldel País Vasco

Se presenta un método de Análisis Ocupacional diseñado a partir de un proyecto que tuvo comoobjetivo racionalizar y homogeneizar la estructura de puestos de trabajo de los técnicos superio-res y medios (Grupos A y B) de la Administración General de la Comunidad Autónoma Vasca,mediante la tipificación de sus funciones y posterior estudio cuantitativo (Análisis de Clusters) ycualitativo.

1 Las monografías son los documentos quedescriben los puestos de trabajo en la Admi-nistración Vasca. Son documentos cuyoscontenidos se refieren a factores de valora-ción, objetivo original de la descripción depuestos.

Mikel Gorriti BontiguiJefe de Proyectos de la Oficina parala Modernización de la Vicepresiden-cia del Gobierno Vasco.Dirección de la Oficina para laModernización de la Administración,Secretaría General de la Vicepresi-dencia, Vicepresidencia del GobiernoVasco, Gobierno VascoEmail: M-Gorriti@ej-gv.es

B. Análisis de Clusters

Como resultado de la fase ante-rior, cada código de puesto quedócaracterizado por las funciones quedesempeñaba. Se organizó estainformación en una matriz de cerosy unos, donde cada fila representa-ba un puesto y cada columna unafunción. Así, un “1” en la posición(i,j) significaba que el puesto i rea-liza la función j y un “0” que no larealiza. Como el tamaño de la matriz(la última 1184*788) impedía elagrupamiento de puestos manual-mente, se recurrió a técnicas deestadística multivariante. Dado queno se quería fijar el número de gru-pos de antemano, se optó en estetrabajo por someter a un Análisis deClusters la resultante matriz depuestos y funciones, que permitieraconocer cómo se parecen o diferen-cian los puestos entre sí y cómo serelacionan. Una clasificación depuestos óptima será aquella queagrupa puestos administrativamentehomogéneos, en relación a las fun-ciones que realizan y esto pasa poranalizar con esos criterios “adminis-trativos” la composición de los clus-ters en diferentes etapas.

Primero, se tuvo que definir unamedida de similaridad para poderllegar a afirmar consistentementeque dos puestos realizan funcionessimilares. Se probaron dos coefi-cientes para datos dicotómicos: elcoeficiente de Jaccard y el de Dice,Czekanowski y Sorenson (Czeka-nowski en adelante), se optó poréste último para definir la similari-dad entre pares de puestos ya quepuntúa doblemente la coincidenciade funciones en diferentes puestos.Este coeficiente para los puestos r ys viene dado por:

coef_Czekanowski (r,s)= 2a2a + b + c

donde:

a: número de veces que los pues-tos r y s tienen un 1 en la mismafunción

b: número de veces que el pues-to r tiene un 1 y el puesto s un 0 enla misma función

c: número de veces que el pues-to r tiene un 0 y el puesto s un 1 enla misma función

Este coeficiente se programó enel paquete SAS para todos los paresde puestos y se obtuvieron medidasde disimilaridad mediante la trans-formación: disimilaridad (r,s) = 1 –coef_Czekanowski (r,s). Se obtuvo,entonces la matriz simétrica de disi-milaridades entre puestos.

Una vez determinadas las disimi-litudes entre los puestos, se proce-dió a ejecutar el algoritmo queforma las diferentes agrupaciones oclusters de puestos. Se optó poraplicar el Método de Varianza Míni-ma de Ward que es un método deagrupamiento jerárquico quecomienza con tantos clusters comopuestos hasta finalizar con un únicocluster que incluye todos los pues-tos. En cada etapa de la jerarquía seagrupan aquellos dos clusters de laetapa anterior que minimizan elincremento de la “suma de erroresintra-cluster total al cuadrado”.

El Método de Ward está imple-mentado en el paquete SAS. Intro-duciendo como input la matriz dedisimilaridades se obtendrá comoouput el dendograma correspon-diente. Un dendograma es un dia-grama que muestra las fusiones depuestos en cada paso del procedi-miento jerárquico. Lo que hay queaveriguar es con qué número declusters entre N (número total depuestos) y 1 quedarse. Existen paraello diferentes estadísticos que tra-tan de cuantificar la idoneidad delcluster formado en cada etapa nentre 1 y (N-1) y que pueden asistira la hora de escoger el corte óptimoen el dendograma. Se computaron,para ello, dos estadísticos propues-tos en la literatura e implementados

en SAS: la pseudo-F y el pseudo-t2.Se recomienda fijar la atención enaquellos cortes de n clusters paralos que el estadístico pseudo-Falcanza un máximo local y el esta-dístico pseudo-t2 presenta un valorpequeño seguido de un valor mayoren el siguiente corte n+1.

Otra de las posibilidades técni-cas que posibilita el Análisis deClusters es que genera una relaciónmatemática entre todos los puestosoriginales del estudio. Desde estarealidad y teniendo conciencia deque se necesitaba un instrumentopara simular asignaciones de funcio-nes, se elaboró un Simulador dePuestos. Mediante la asignación defunciones a un puesto existente o auna propuesta de nueva creación, elsimulador calcula el porcentaje depertenencia de este puesto a cadauno de los clusters de la estructuraexistente, así como las distanciasmedias, distancias máximas y dis-tancias mínimas entre el puesto encuestión y los clusters. Esta infor-mación permite a los responsablesde validar las propuestas organizati-vas de la Administración Vasca,asignar nuevos puestos a clustersexistentes o generar puestos nue-vos, todo ello de forma rápida y másobjetiva.

C. Fase Cualitativa

El proyecto realizó un proceso deretroalimentación entre el resultadoestadístico y la propia realidad orga-nizativa que pretendía conseguir undoble objetivo:

• Captar la estructura de puestossubyacente manifestada por laexistencia de un grupo establede agrupaciones a lo largo de losdiferentes clusters realizados (entotal 7 análisis).

• Analizar dicha estructura y suserrores a la luz del conocimientoorganizativo que los miembrosdel equipo tenían de esta Admi-nistración y de su futuro.

7Artículos

D. Conclusiones

Como consecuencia de iniciar unAnálisis Ocupacional en la Adminis-tración Vasca para solventar unadiagnosticada dispersión organiza-tiva, se ha desarrollado una meto-dología rigurosa y, en algunos de suspasos novedosa, cuyas principalescaracterísticas son las siguientes:

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WARD, J.H. Jr., VAUGHAN, D.S., MIT-CHELL, J.L., DRISKILL, W.E., andRUCK, H.W. The Ultimate Person-JobMatch; A key to Future Worker Pro-ductivity. Presented at the 34thAnnual Conference of the Militarytesting Association, San Diego, CA.1992.

WEISSMULLER, J.J., & STALEY, M.R.atCODAP: A model for minimizinglogistical requirements. Proceedingsof the Ninth International Occupa-tional Analysts Workshop. San Anto-nio, TX: Air Force OccupationalMeasurement Squadron. 1995.

• La diferenciación entre funcionesy tareas.

• La división y taxonomización delas funciones en tres componen-tes: verbo, objeto y ámbito.

• El Análisis de Clusters como con-tinuo proceso de retroalimenta-ción entre una parte cuantitativay otra cualitativa que contextua-liza los resultados y las propues-tas de agrupación.

• La realidad operativa para esce-narios de los clusters, posibilitaun instrumento de simulación depuestos que permiten ver elcomportamiento organizativo dedeterminadas asignaciones defunciones, prever ubicaciones depuestos, referenciarlos a existen-tes o justificar nuevos, de mane-ra que se pueden cualificardecisiones organizativas

8 Artículos

9Artículos

Las circunstancias de la encuestay las características que se quieranestimar, son determinantes para ele-gir el tipo de diseño muestral másadecuado. Existen varias posibilida-des:1. Extraer una nueva muestra en

cada ocasión (muestreo repeti-do).

2. Utilizar la misma muestra entodas las ocasiones (muestreopanel).

3. Realizar un reemplazamientoparcial de unidades de una oca-sión a otra (muestreo en oca-siones sucesivas), o tambiénllamado muestreo rotativocuando los elementos tienenrestringido el número de etapasen las que van a formar partede la muestra, como es el casode la E.P.A., de periodicidad tri-mestral, y de la mayoría de lasencuestas familiares elaboradaspor el I.N.E.

Si existe una relación entre elvalor de un elemento de la pobla-ción en un período de tiempo, y elvalor del mismo elemento en elperíodo siguiente, entonces esposible emplear la informacióncontenida en la muestra del perío-do precedente, para mejorar laestimación actual del parámetro

poblacional. En este sentido, paraque sea posible utilizar la informa-ción muestral precedente, se debeobtener la muestra de manera quelos elementos muestrales en losdos períodos sucesivos tenganalgunos elementos comunes.

Esta última posibilidad ha sidoestudiada con profundidad, paraestimar la media de la ocasiónactual y otros parámetros como larazón de dos medias poblacionales(Okafor 1992; Artés y García 2001,2002; García 2003). En las encues-tas continuas, resulta de interéspráctico la estimación del produc-to de dos medias poblacionales, P

2,

para la ocasión actual.

Esquema de muestreo

Suponemos que el muestreo esaleatorio simple, donde la pobla-ción es de tamaño suficientemen-te grande como para poderprescindir del factor de correcciónpor finitud, y los tamaños de lasmuestras son los mismos en ambasocasiones.

Sea N el tamaño de la pobla-ción, de la que se extrae en la pri-mera ocasión una muestraaleatoria simple de tamaño n. Seauna muestra aleatoria simple de

tamaño m=pn (0<p<1) (muestracomún) submuestreada de las nunidades, que se retiene para lasegunda ocasión. Además, sea unamuestra aleatoria simple de tama-ño u=qn (q=1-p) (muestra nocomún) tomada en la segunda oca-sión del Universo N-m que quedadespués de omitir las m unidades.

Para cubrir un amplio rango desituaciones prácticas, se va a desa-rrollar la teoría en muestreo suce-sivo para construir el estimadoróptimo del producto de las mediasen la segunda ocasión combinandoun estimador del producto tiporazón de doble muestreo para laparte común de la muestra y parala no común se utiliza un estima-dor directo del producto. La utili-zación del estimador del productotipo razón de doble muestreo sehace al principio para obtenerestimaciones separadas de lasmedias poblacionales.Este estima-dor supone que los valores de lascaracterísticas y y x, en la primeray segunda ocasión están correla-cionadas positivamente. Los dosestimadores independientes delproducto poblacional son entoncesfavorables para formar un únicoestimador. La forma general del

AMELIA V. GARCÍA LUENGOProfesora Universidad de Almeríae-mail: amgarcia@ual.es

Estimando el productopoblacional en la ocasión actual

Se propone un estimador óptimo del producto poblacional utilizando el muestreo en dos ocasio-nes. Este estimador se construye combinando dos estimadores del producto: un estimador indirectode doble muestreo para la parte común de la muestra y un estimador simple del producto para laparte no común. Se comprueba que para ciertos valores del coeficiente de correlación, el estima-dor propuesto es mejor que el usual.

10 Artículos

estimador propuesto, P’2, en la

ocasión actual es

P’2=Q P’

2m+(1-Q) P’

2u

P’2m

=(p2m

/p1m

)P’1n, es el estima-

dor para P2, basado en la muestra

apareada de pn unidades seleccio-nadas en la segunda ocasión.

P’1n, es el producto de las

medias muestrales de ambas carac-terísticas basado en las n unidadesseleccionadas en la primera oca-sión.

phm

, es el producto de lasmedias muestrales de ambas carac-terísticas basado en las pn unida-des apareadas en las h=1,2ocasiones.

P’2u, es el estimador de P

2, basa-

do en la muestra no apareada deqn unidades seleccionadas en lasegunda ocasión.

Q, es una constante escogidapara que el error cuadrático de P’

2

sea mínimo. Denotando:

r12(y) el coeficiente de correla-

ción entre los valores de y en laprimera y segunda ocasión, r

12(x)

el coeficiente de correlación entrelos valores de x en la primera ysegunda ocasión, r

ij(x,y) el coefi-

ciente de correlación entre y y x enla i,j=1,2 ocasiones y CV el coefi-ciente de variación. Y suponiendoque

r12(y)=r

12(x)=r

0;

r11(x,y)=r

22(x,y)=r

12(x,y)=r

21(x,y)=r;

CV(x1)=CV(x

2)=CV(y

1)=CV(y

2)=C

0

obtendríamos el error cuadráticomedio del estimador propuesto.

V(P’2)=(2 P

22C

02

(1+r))(1+qZ)/n(1+q2Z);Z=(1-r-2r

0)/(1+r)

Minimizando, V(P’2), con res-

pecto a q, la fracción óptima desolapamiento (figura 1), tendríala expresión

popt

=(1+Z-(1+Z)1/2)/Z;Z=(1-r-2r

0)/(1+r)

rear varía con r, en la práctica,solamente se puede usar un soloporcentaje para todas las caracte-rísticas de una encuesta.

Referencias

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ARTÉS, E Y GARCÍA, A. V. Estimation ofcurrent population ratio in successi-ve sampling, Journal of the IndianSociety of Agricultural Statistics,54(3), 2001, 342-354.

ARTÉS, E Y GARCÍA, A. V. Diseños mues-trales en el tiempo, Servicio dePublicaciones de la Universidad deAlmería, 2002.

GARCÍA, A. V. Mejora de estimadores enmuestreo en ocasiones sucesivas,Servicio de Publicaciones de la Uni-versidad de Almería, 2003.

OKAFOR, F. C. (1992), “The theory andapplication of sampling over twooccasions for the estimation ofcurrent population ratio”, Statisti-ca, 1, 137-147.

El mejor porcentaje a aparearnunca excede el 50% y disminuyeconstantemente conforme raumenta. Asimismo, la gananciaen precisión (figura 2), del esti-mador propuesto con respecto a laestimación del producto usualsería la siguienteG

opt=((1+q2Z)/(1+qZ))-1; q=1-p

opt;

Z=(1-r-2r0)/(1+r)

La ganancia en precisión másgrande que se puede obtener es100% cuando r=1. Si r no es alto,las ganancias son modestas. Aun-que el porcentaje óptimo para apa-

Figura 2

Figura 1

11Artículos

El coste del 20-J, del Prestige ydel apoyo al ataque aliado a Irak

El centro-derecha sumó en Espa-ña el 51.77% de los votos emitidosen las elecciones generales de 2000.Era su primera mayoría absolutadesde la reinstauración de la Demo-cracia en 1977. Pero a los 28 mesesde aquellos comicios la HuelgaGeneral del 20-J alteró la correla-ción de fuerzas, por primera vez en

Durante todo el invierno se mantu-vo el centro-izquierda 4 puntos porencima del centro-derecha. Pero lle-gada de la primavera los aliados ata-can Irak y automaticamente labrecha entre ambos bloques ideoló-gicos se incrementó de nuevo y enesta nueva ocasión aumentó a 8puntos.

Finalizaba un ciclo de tres añosde hegemonía del centro derecha,período durante el que siempre con-

servó más del 50% de la intenciónde voto de los ciudadanos.

más de seis años de gobierno popu-lar la suma de la intención de votoal centro-derecha (48,99%) queda-ba igualada con la del centro-izquierda (47,72%). Esta situaciónde equilibrio se mantuvo hasta ini-ciado el Otoño .

Un segundo terremoto sacudió lasociedad española en noviembre de

ese mismo año, la crisis del petrole-ro Prestige . Sus consecuencias elec-torales fueron inmediatas, a pocosmeses del séptimo aniversario delprimer triunfo en las urnas del P.P.,la intención de voto a los partidosde centro-izquierda (50.53%) supe-ró a la que registraban los partidosdel centro-derecha (46,08%).

JOSÉ RAMÓN LORENTE FERRERDirector de InvestigaciónCELESTELe-mail: encuesta@celeste-tel.com

Repaso a los últimos tres años en la evolución del voto al centro-derecha y al centro-izquierda enEspaña. Constatación de un cambio en la orientación política del electorado hacia el centro-izquierda impulsado por tres acontecimientos recientes, Huelga General 20-J, Prestige e Irak.

Intención de voto Elecciones Generales

12 Artículos

En marzo de 2002 el centro-dere-cha era mayoritario entre los mayo-res de 44 años, se encontraba

Un año después hay cambios; entodos los segmentos de edad la pre-sencia del centro-derecha se reduce,menos entre los más jóvenes, másentre las edades intermedias y sobre

El coste en votos por estos tresacotencimientos ,con los que se ini-cia un nuevo rumbo político en elpaís, sólo para el Partido Popular esde 852.304 votos, un 8,80% de su

electorado del año 2.000, entoncesalcanzó los 10.321.178 votos, ahorarecibiría el apoyo de 9.468.874votantes en caso de celebrarse unaelecciones generales.

Con la siguiente secuencia tem-poral podremos determinar las mer-mas sufridas por el P.P.:

todo entre los mayores de 64 años.Entre los menores de 31 años el cen-tro izquierda continúa recibiendo elapoyo de 3/5 partes de los votantesy el centro derecha sigue conservan-

do 2/5 partes. En las edades inter-medias avanza de forma moderadael centro izquierda, pero es entre losmayores de 64 en donde se reducenotablemente la diferencia.

empatado con el centro-izquierda enel grupo de 31/44 años y era supe-

rado por éste entre los menores de31 años.

Centro-Derecha

Centro-Izquierda

Otros

Centro-Derecha

Centro-Izquierda

Otros

Centro-Derecha

Centro-Izquierda

Otros

13Artículos

efectivos de marzo de 2000, el otro19% cambia de opción; el 10,01%(1.032.677 votantes populares demarzo de 2000) votarán ahora alPSOE, el 5,13% (529.926 votantes)no votarán y el 4,15% restanteescoge otros partidos.

La composición y estructuraelectoral actual del Partido Popular:

El 87,98% de los que ahora vota-ría en unas elecciones generales alPartido Popular ya lo hicieron en lasanteriores del 2000, mientras que el12,02% corresponde a renovaciónde su electorado con nuevas aporta-ciones procedentes fundamental-mente de los nuevos electores yabstención del años 2.000 (863.192

El apoyo a los aliados le ha cos-tado al Partido Popular 306.747votos, los problemas de los dos pri-meros años del actual gobierno(Delincuencia, Inmigración ,Refor-

ma educativa, etc...) 224.398 votos,la Huelga General del 20-J ha salidopor 208.959 votos y el Prestige hacostado 112.200 votos. EL PartidoPopular conserva al 81% de sus

votantes) que representan el 9,12%del actual voto popular, exvotantesdel PSOE representan el 1.79%(169.848 votantes) y el 1,11% pro-cede de otros partidos (105.306votantes).

Mientras que los socialistas man-tendrían fidelizado al 90,95% de suelectorado de marzo de 2000,sufiendo fugas de votos del 9,05%,que tienen como principales desti-natarios a Izquierda Unida que reci-be el 2,19% y 173.245 votantes,Partido Popular que recoge el 2,14%y a 169.848 exvotantes socialistas yel restante 4.72% se reparte entrediversos partidos y la abstención ysuman 373.667 votantes.

Su actual estructura electoralesta formada por un 73,51% devotantes que ya apoyaron al PSOEen marzo de 2000, al que se les uneun 26,49% de nuevos votantes pro-cedentes principalmente de los quevotan por primera vez y la absten-ción de 2000, que representan el12.31% del actual voto socialista yque son 1.206.042 votantes, otro10,54% proceden del P.P. y son1.032.677 votantes, el 2.29% vienedesde Izquierda Unida y se cuantifi-can en 224.200 votantes y el 1.35%restante llega desde diversos parti-dos políticos.

81%

10%5% 4%

88%

15Estadística e Informática

Introducción

Las hojas de cálculo se han con-vertido en herramientas obligadasde análisis de datos. Sin embargo,no siempre se aprovechan todas suspotencialidades. La hoja de cálculomás difundida en el mercado esExcel, que viene incluida en elpaquete Office de Microsoft.

Para resolver y optimizar ecua-ciones mediante el uso de métodosnuméricos en Excel, utilizamos laherramienta incorporada en Excel:Solver.

Para comenzar a trabajar con Sol-ver se ha de abrir el modelo de lahoja de cálculo que se vaya a utili-zar y, a continuación, en el menúHerramientas, eligir Solver1.

Cuando se utiliza Solver de Micro-sof Excel con su modelo de hoja decálculo, en primer lugar se define elproblema a resolver identificandouna celda objetivo, las celdas cam-biantes (variables de decisión), y lasrestricciones que desee incluir en elmodelo.

Una vez definido el problema einiciado el proceso de resolución,

Solver halla los valores que satisfa-cen las restricciones y producen elvalor deseado para la celda objetivo,luego muestra la solución en la hojade cálculo.

La ventana de diálogo que tene-mos que completar siempre que que-ramos resolver un problema es lasiguiente:

Noelia González RodríguezDirector técnico Grupo Telecyl(noelia.gonzalez@telecyl.com)

Problemas de InvestigaciónOperativa con Excel

Los estadísticos estamos acostumbrados a utilizar software especifico como SAS, SPSS, S-PLUS, etc.Pero, ¿Qué sucede en aquellas ocasiones que no disponemos de este software?, ¿Dependemos deeste tipo de programas? La respuesta es NO, un buen estadístico debe ser capaz de trabajar conlos medios que dispone. Tenemos que ser capaces de hacer nuestros propios programas y trabajarcon Software común y accesible. Es cierto que los programas anteriormente mencionados son pro-gramas de calidad y que nos facilitan bastante nuestra labor, pero en muchas ocasiones no exis-ten medios para disponer de ellos, aquí es donde surge el gran problema ¿cómo manejar ese granvolumen de datos o resolver determinados problemas? Por todas estas razones la revista ANAPESva a ofrecer una serie de artículos dedicados a resolver problemas estadísticos con software acce-sible o convencional como Microsoft Excel, R, etc.

1 Si no aparece la opción Solver enel menú herramientas, ir al menúherramientas la opción Complemen-tos y seleccionar Solver. Figura 1: Cuadro de diálogo de Solver

16 Estadística e Informática

Una vez especificados estos ele-mentos estará preparado para resol-ver el problema. También podráestablecer los parámetros que con-trolan las opciones de informes, laprecisión y el método matemáticopara llegar a una solución.

Cuando Solver se detiene antesde encontrar una solución

Cuando Solver está resolviendoun problema, es posible que sedetenga antes de encontrar unasolución óptima o incluso antes dehallar una solución factible. Si estosucede, aparecerá un cuadro de diá-logo con uno de los mensajes definalización de Solver y tendrá laopción de conservar los valores másrecientes de las celdas cambiantes ode restaurar los valores originales.

Entre las razones por las que estoocurre se encuentran:

• El valor de la celda en “Celdaobjetivo” aumenta o disminuyesin límite.

• La opción “Adoptar modelo line-al” está seleccionada y el proble-ma no es lineal.

• Tiene un modelo complejo quecontiene restricciones de enterosy necesita ajustar la configura-ción de “Tiempo máximo” o de“Iteraciones”.

• Necesita seleccionar la opción“Usar escala automática” porquealgunos de los valores de entra-da se diferencian en varios órde-nes de magnitud o difieren de losvalores de salida en varios órde-nes de magnitud.

Cuando Solver encuentra unasolución

Cuando Solver encuentre unasolución al problema, mostrará unode lo siguientes mensajes:

• Solver ha hallado una solución.Se han satisfecho todas las restric-ciones y condiciones óptimas. Sehan satisfecho todas las restriccio-nes dentro de las configuracionesde precisión y tolerancia de ente-ros y, si corresponde, se ha encon-trado un valor máximo o mínimo,o un valor objetivo para la celdadel cuadro “Celda objetivo”.

• Solver ha llegado a esta solu-ción. Se han satisfecho todas lasrestricciones. El valor de la celdaespecificada en el cuadro “Celdaobjetivo” ha permanecido prácti-

Información de la Solución delproblema

El proceso de solución del pro-blema se inicia al elegir el botón“Resolver”.

El tiempo de solución del proble-ma depende de:

• El número de celdas cambiantes.

• El tamaño y complejidad de lahoja de cálculo.

• La dificultad del problema.

Solver de Microsof Excel proporcionatres tipos de informes para resu-mir los resultados, que almacenaen una hoja distinta del libro detrabajo activo.

Informe de Sensibilidad

El informe de sensibilidad contie-ne información que demuestra lo sen-sible que es una solución a loscambios en las fórmulas utilizadas enel problema. Si ha seleccionado laopción “Adoptar modelo lineal” delcuadro de diálogo Opciones de Sol-ver, este informe tiene dos versiones.

camente intacto en las últimascinco soluciones de prueba. Esposible que se haya encontradouna solución, pero también esposible que el proceso de solu-ción iterativo progrese lenta-mente y falte mucho paraencontrar una solución, y que laconfiguración “Precisión” (esta-blecida con el cuadro “Precisión”en el cuadro de diálogo Opcio-nes de Solver) sea demasiadobaja, o bien, que los valores ini-ciales para las celdas cambiantesestuviesen muy alejados de lasolución.

Figura 2: Cuadro de diálogo de Solver

17Estadística e Informática

Informe de sensibilidad paraproblemas no lineales

• Gradiente reducido Mide elincremento de la celda objetivopor unidad incrementada en lacelda cambiante.

• Multiplicador Lagrange Mide elincremento en la celda objetivopor unidad incrementada de larestricción correspondiente.

Informe de sensibilidad paraproblemas lineales:

Esta versión del informe de sen-sibilidad aporta la siguiente infor-mación para cada celda cambiante:

• Costo reducido: Reemplaza elGradiente reducido y mide elincremento en la celda objetivopor unidad incrementada en lacelda cambiante.

• Coeficiente objetivo: Mide larelación relativa entre una celdacambiante y la celda objetivo(función objetivo).

• Aumento permisible2: Muestrael cambio en el coeficiente de lacelda objetivo antes de que pro-duzca un incremento en el valoróptimo de cualquier celda cam-biante.

• Disminución permisible: Mues-tra el cambio en el coeficiente dela celda objetivo antes de que se

produzca una disminución en elvalor óptimo de cualquier celdacambiante.

Para cada celda de restricción seagrega la siguiente información:

• Precio sombra: Reemplaza elmultiplicador de Lagrange y mideel incremento en el objetivo porunidad incrementada en el ladoderecho de la ecuación de res-tricción.

• Restricción lado derecho: Pre-senta una lista de los valores derestricción especificados.

• Aumento permisible: Muestra elcambio en el valor de la columnaRestricción lado derecho antesde que se produjese un aumentoen el valor óptimo de cualquierade las celdas cambiantes.

• Disminución permisible: Mues-tra el cambio en el valor de lacolumna Restricción lado dere-cho antes de que se produjeseuna disminución en el valor ópti-mo de cualquiera de las celdascambiantes.

Informe de respuestas

Este informe muestra:

• La celda objetivo (introducida enel cuadro “Celda objetivo” delcuadro de diálogo Parámetros deSolver).

• Las celdas cambiantes, con losvalores originales y los valoresfinales.

• Las restricciones y la informaciónsobre las mismas.

En las columnas de Estado yDivergencia se muestra informaciónacerca de las restricciones. Estascolumnas indican la precisión con la

que se ha cumplido cada una de lasrestricciones.

En la columna Estado se muestrauno de los siguientes valores:

• Obligatorio El valor final de lacelda es igual al valor de la res-tricción. Por ejemplo, si la res-tricción es C11<=200 y el estadoes Obligatorio, el valor final de lacelda será 200.

• Opcional Se cumple la restric-ción, pero no es igual al valor dela restricción. Por ejemplo, siC11 contiene 150 y la restricciónes C11<=200, el estado seráOpcional.

La columna divergencia indica ladiferencia entre el valor mostradoen la celda en el momento de lasolución y el valor de la restricciónoriginal para esa celda. Por ejemplo,si la restricción es C11<=400 y lacelda C11 contiene 350, la diver-gencia será 50. Cuando el estado esObligatorio, el valor de la divergen-cia es cero.

El informe de límite

El informe de límite muestra unalista de la celda objetivo y las celdascambiantes, junto con el valor, ellímite inferior y el límite superior,así como el resultado.

• Límite inferior Es el valor míni-mo que puede adoptar una celdacambiante manteniendo fijo elresto de las celdas cambiantes ysin dejar de satisfacer las restric-ciones.

• Límite superior Es el valormáximo que puede adoptar unacelda cambiante manteniendofijo el resto de las celdas cam-biantes y sin dejar de satisfacerlas restricciones.

2 Nota: Si las columnas Aumentopermisible o Disminución permisiblecontiene valores sumamente altos (por ejemplo, 1E+30) y dicho resul-tado le perece incorrecto, agreguerestricciones que indiquen que lasceldas cambiantes correspondientesdeben ser mayor o menor que cero.

18 Estadística e Informática

• Resultado Es el valor de la celdaobjetivo cuando la celda cam-biante alcanza el límite inferior osuperior.

Tipos de problemas que Solveranaliza

Los tres tipos de problemas queSolver analiza son:

• Problemas de programación lineal.

• Problemas de programación nolineal.

• Problemas de programaciónentera.

Si el problema a resolver es deprogramación lineal o un sistemalineal de ecuaciones, puede acelerarel proceso de resolución seleccio-nando la casilla de verificación“Adoptar un modelo lineal” en elcuadro de diálogo Opciones de Sol-ver. Esto es importante si la hoja decálculo es grande y se tarda muchotiempo en volver a calcularla.

Se utiliza la restricción de ente-ros cuando un valor o el resultado deun problema deba ser sí o no (1 ó 0)o bien, cuando no desee obtenervalores decimales. El usar el métodode enteros puede aumentar conside-rablemente el tiempo que Solvernecesita para hallar una solución.

PROS Y CONTRAS

Empezando por los CONTRAS sur-gen las siguientes cuestiones:

• Si queremos mantener un proble-ma a largo plazo y que se puedausar para otros modelos. Paraestos casos se sugiere utilizar losdiagramas de flujo incorporadosen Excel. Sin embargo, aunque seutilice esta herramienta, la hoja

de cálculo todavía es difícil dedocumentar el problema.

• Si queremos cambiar el númerode variables del modelo, tenemosque volver a modificar todas lasfórmulas y la hoja de cálculo.

Pero no todo son CONTRAS porquetambién tiene importantes PROS:

• La forma en la que nos propor-ciona la solución es amena y fácilde entender.

• Podemos escribir las fármulas delmodelo interactivamente y sereproducen bastante bien en lahoja de cálculo.

• Los problemas se resuelven deforma rápida y sin necesidad dedemasiados recursos.

• Los problemas pueden difundirseen un inmenso público en todo elmundo a través de Internet ensegundos.

En este trabajo se procura daruna sencilla explicación de su usocomo herramienta de optimización.

Bibliografía

• “Investigación de Operaciones”Wayne L. Wiston, Indiana Uni-versity, G.

• “Manual de Usuario de MicrosoftExcel”

• “Weighing the Pros and Cons ofdecision tecnology in Spreadshe-ets” Sam Savage, OR/ MS TODAY.

• “Spreadsheet Optimizacion” CliffT. Ragsdale, PH.D. , CompassNews.

• “Matemáticas con Excel” DavidSjöstrand, Universidad Pontificiade Comillas.

• “Excel: Herramienta Solver” Bea-triz Loubet, Universidad Nacionalde Cuyo.

19Enlaces y Direcciones de Interés

Enlaces y direcciones de interésDepartamentos de Estadística de las Universidades Españolas

Universidad de Alicantewww.eio.ua.es

Universidad de Almeríawww.eio.ua.es

Universidad Autónoma de Barcelonamat.uab.es/estad/

Universitat de Barcelonawww.ub.es/dpees/

Universidad de Cantabriamatsun1.matesco.unican.es

Universidad Carlos III www.uc3m.es/uc3m/dpto/DEE/departamento.html

Univ. Politécnica de Catalunyawww-eio.upc.es

Universidad de Córdobawww.uco.es/organiza/departamentos/estadistica/

Universidad de Jaénestio.ujaen.es

Universidad de La Lagunawww.ull.es/docencia/departamentos/datos0001/estadistica.htm

Universidad Complutense de Madridwww.mat.ucm.es/deptos/es/

Universidad Miguel Hernández de Elcheestadistica.umh.es

Universidad de Murciawww.um.es/dp-estio/

Universidad de Salamancawww.usal.es

Universidad de Santiago de Compostela eio.usc.es

Universidad de Sevillawww.us.es/destadio/

UNEDwww.uned.es/dpto_esi/index.htm

Universitat de Valenciamatheron.uv.es

Univ. Politécnica de Valenciawww.upv.es/informa/info/DEIO/index_3f200c.html

Universidad de Valladolidwww.eio.uva.es

Universidad de Vigoeioweb.uvigo.es

20 Pasatiempos

PasatiemposRESUELVE ESTE PROBLEMA Y GANA UNA SUSCRIPCIÓN GRATUITA A LA REVISTA ΣΣΙΙσσΜΜΑΑ:

Entre todos aquellos que nos enviéis la solución de este problema resuelto de forma correcta entrareis en el sorteo de una suscripcióngratuita anual de la Revista ΣΙσΜΑ . La resolución de este problema se facilitará en el siguiente número de esta revista así como el agra-ciado con la suscripción anual de Revista Sigma.

Se plantea el siguiente problema:

Tenemos una serie infinita de cajas, algunas vacías, otras con piedras. Las piedras se han ido metiendo en las cajas al azar. Por térmi-no medio, hay una piedra por caja. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja tenga una o más piedras?

Indicaciones:

La principal dificultad de este problema radica en interpretar adecuadamente el enunciado. Frecuentemente se tiene la impresión de quefaltan datos para obtener un resultado concreto, pero esto no es cierto. La solución es totalmente precisa, aunque para obtenerla en tér-minos matemáticos exactos hacen falta algunos conocimientos de Análisis.

Lo único que sabemos es:

• el suceso es aleatorio (o sea, imprevisible: no ocurre siguiendo pautas) • puede ocurrir con igual probabilidad en un año que en otro • en promedio, a lo largo de un cierto número de años, la frecuencia será aproximadamente de una vez por año.

Intenta traducir la situación a otra más abstracta (las típicas bolas o cajas de los problemas de probabilidad). Piensa en qué significanlas condiciones anteriores para un número finito de años.

ENVÍA TUS RESPUESTAS:

Envía las respuestas a este problema indicando el número de la revista, tu nombre y apellidos, dirección, número teléfono, dirección decorreo electrónico y al número de Fax: 983 42 82 23 o a la dirección de correo electrónico: revistasigma@anapes.com

Sólo se admitirá una respuesta a la solución del problema por persona. Quedan excluidos de este concurso todos los miembros de ANAPESencargados de la elaboración de la Revista ΣΙσΜΑ .

OPINIONES

NOMBRE Y APELLIDOS:DIRECCIÓN: LOCALIDAD:PROVINCIA: CÓDIGO POSTAL: TELÉFONO:E-MAIL:

OPINO QUE... las cuestiones de actualidad más interesantes sobre el mundo estadístico son las siguientes, por orden de preferencia:

1.2.3.

PROPUESTA DE TITULOS:

• La Educación y la Estadística.Sobre el cometido de la Estadística dentro de la Educación, los estudios Universitarios, la orientación profesional al mundo estadís-tico desde las escuelas, etc.

• Estadística ¿Pública o privada?Sobre la financiación de la estadística pública, sobre la fiabilidad de la estadística pública y la privada, etc.

• Código ético Estadístico.Sobre la ética estadística, el comportamiento de los profesionales estadísticos, etc.

ENVÍA TUS PROPUESTAS:

Envía las propuestas sobre las opiniones que consideras más interesantes para incluir un articulo en la Revista ΣΙσΜΑ al número de Fax:983 42 82 23 o a la dirección de correo electrónico: revistasigma@anapes.com.

FRASES CURIOSAS

“Si se reúnen suficientes datos, se puede demostrar cualquier cosa con ayuda de la estadística”. (Ley de Williams y Holland) “Un político promete que si sale elegido subirá los sueldos, de forma que nadie cobre por debajo de la media nacional”.“Manolo, ¿qué temperatura consideras la ideal para ver la televisión? - Una media de 20 - Pues, mete un pie en la estufa a 6 y el otro enel frigorífico a -20”.

22 Boletín de Inscripción / Próximo Número

Boletín de Suscripción a ΣΣΙΙσσΜΜΑΑ

Los Socios de ANAPES reciben gratuitamente y sin cargo alguno la revista.

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Próximo número

“LA ESTADÍSTICAEN

LA ADMINISTRACIÓNPÚBLICA ESPAÑOLA”

Los contenidos y artículos que se publicaran en el número 2 de la revista ΣΙσΜΑ , estarán relacio-nados con la estadística en el sector público en España.

Todos los interesados en incluir información o artículos relacionados con este tema pueden contac-tar con los redactores de la revista en el siguiente correo electrónico:

redaccion@anapes.com

Normas parala presentación de artículos1. La Revista ΣΙσΜΑ es una publicación de la Asociación Nacional de Profesiona-

les de la Estadística (ANAPES) orientada principalmente a la divulgación y pro-moción de la estadística.

2. Sólo se recibirán para su publicación trabajos inéditos o con escasa difusión,actualizados, y que signifiquen una aportación de relevancia o cualquier opinión.

3. La recepción de un trabajo no implicará ningún compromiso de la Revista parasu publicación.

4. El Consejo de Redacción procederá a la selección de los trabajos de acuerdo conlos criterios formales y de contenido de esta publicación.

5. Los trabajos no sobrepasarán las 3 páginas y deberán ser presentados por unasola cara, a espaciado 1,5 líneas y preferiblemente en formato Word 97 o ver-siones anteriores.

6. Cada trabajo deberá incluir, en hoja aparte, un resumen del mismo no superiora 6 líneas.

7. Todas las páginas deberán estar numeradas, incluyendo la bibliografía, gráficos,tablas, etc.

8. Al final del trabajo se incluirá la lista de referencias bibliográficas, por ordenalfabético, que deberá ajustarse a la siguiente estructura: - Libros: el apellidodel autor en mayúsculas, seguido del nombre en minúsculas, título del librosubrayado, lugar de edición, editorial y año de edición. - Revistas: el apellidodel autor en mayúsculas, seguido del nombre en minúsculas, título del trabajo,nombre de la revista subrayado, número de volumen, número de la revista cuan-do proceda (entre paréntesis), año de publicación y las páginas que comprendeel trabajo dentro de la revista.

9. Las notas a pie de página tendrán una secuencia numérica y se debe procurarque sean pocas y escuetas.

10. En hoja aparte deberá incluirse el nombre del autor, su dirección, institucióndonde trabaja y cargo que desempeña, así como el número de teléfono, fax y e-mail.

11.Los autores incluirán también un breve curriculum vitae y una fotografía recien-te, con el fin de que sea publicado conjuntamente con el trabajo presentado.

12.Los originales enviados no serán devueltos. 13.La corrección de pruebas se hará cotejando con el original, sin corregir el esti-

lo usado por los autores. 14.Todos los trabajos enviados serán revisados por un equipo científico formado por

profesionales reconocidos del sector estadístico.15.Los trabajos serán remitidos a Noelia González en la siguientes dirección de

correo electrónico: noelia.gonzalez@anapes.com

FORMATO PARA TRABAJO Y RESUMEN

Tanto el resumen como el trabajo deberán estar escritos con el siguiente formato:– Con el procesador de texto Microsoft Word 97 o anterior.– Los números de las páginas deben estar centrados.– Los márgenes de las páginas del resumen deben ser:

Izquierda: 2.5 cmDerecha: 2 cmSuperior: 3 cmInferior: 3 cm

– Está permitido el uso de negrita y cursiva.– El interlineado en los párrafos debe ser de 1,5 líneas. – El Formato del texto debe ser Comic Sans MS, tamaño 11– Las tablas y las figuras deberán estar centradas, pudiendo usar color y blanco y

negro a elección del autor.

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23Normas de Publicación