Richard Feynman Traducción de Antoni Bosch. El Carácter de La Ley Física 2000

5/24/2018 Richard Feynman Traduccin de Antoni Bosch. El Carcter de La Ley Fsica 2000

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Premio Nobel de Fsica

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Ttulo original: The Character of Physical Law

1.a edicin: diciembre 20002. a edicin: septiembre 2005

Richard P.Feynman, 1965

de la traduccin: Antoni Bosch, 2000Diseo de la coleccin: Llus Clotet y Ramn bedaReservados todos los derechos de esta edicin paraTusquets Editores, S.A. - Cesare Cant, 8 - 08023 Barcelonawww.tusquets-editores.esISBN: 84-8310-718-XDepsito legal: B. 30.058-2005

Fotocomposicin: David PabloImpreso sobre papel Goxua de Papelera del Leizarn, S.A. - GuipzcoaLiberdplex, S.L. - Constitucin, 19 - 08014 BarcelonaEncuademacin: ReinbookImpreso en Espaa


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ndice

P. 11 1. La ley de la gravedad, un ejemplo de ley fsica

39 2. La relacin de las matemticas con la fsica

67 3. Los grandes principios de conservacin

95 4. Simetra y ley fsica

121 5. La distincin entre pasado y futuro

141 6. Probabilidad e incertidumbre: la visin de lanaturaleza a travs de la mecnica cuntica

165 7. En busca de nuevas leyes


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1La ley de la gravedad, un ejemplo de ley fsica

Es bien curioso, pero en las pocas ocasiones en que hesido requerido para tocar el bongo en pblico, al presentadornunca se le ocurri mencionar que tambin me dedico a la f-sica terica. Pienso que esto puede deberse a que respetamosms las artes que las ciencias. Los artistas del Renacimientodecan que la principal preocupacin del hombre deba ser elhombre, pero en el mundo hay otras cosas interesantes. In-cluso a los artistas les interesan las puestas de sol y las olasdel mar y el curso de las estrellas en el cielo. As pues, est

justificado hablar de otras cosas de vez en cuando, si mira-

mos a otro nivel, a un nivel, por as decirlo, de mayor placeresttico. Pero hay tambin ritmos y formas en los fenmenosnaturales que no son aparentes a simple vista, sino slo me-diante la lupa del anlisis. Estos ritmos y formas son eso quellamamos leyes fsicas. En esta serie de conferencias quierodiscutir acerca de las caractersticas genricas de estas leyesfsicas. Nos situaremos, por lo tanto, a otro nivel, a un nivel

de mayor generalidad que el de las propias leyes. En rea-lidad, de lo que se trata es de la naturaleza tal como se lacontempla tras un anlisis detallado, aunque quiero hablar

primordialmente de las cualidades ms generales de la natu-raleza.

Lo que ocurre es que la propia generalidad del tema haceque tienda a derivar demasiado hacia la filosofa, y cuando

se generaliza tanto todo el mundo cree que lo ha compren-dido, y que se trata de algo profundsimo desde el punto devista filosfico. Yo quisiera ser bastante ms concreto y as-

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piro a ser entendido de una manera franca y no vaga. Porello, en vez de hablar de generalidades, en esta primera con-ferencia voy a intentar presentar un ejemplo de ley fsicapara que todos ustedes tengan claro el tipo de cosas a las que

voy a referirme. De esta manera, adems, podr echar manode este ejemplo una y otra vez a modo de ilustracin y paradar cuerpo a algo que de otra forma resultara demasiadoabstracto. He elegido como ejemplo concreto de ley fsica lateora de la gravedad y los fenmenos gravitatorios. No la heelegido por ninguna razn especial. Fue una de las primerasgrandes leyes que se descubrieron y tiene una historia intere-

sante. Alguno de ustedes quizs est pensando: Pero no esuna antigualla? Me gustara que me hablaran de algo msmoderno. Ms reciente quiz, pero dudo que ms moderno.La ciencia moderna pertenece a la misma tradicin que laley de la gravedad. La diferencia es slo cronolgica. As

pues, no lamento en absoluto hablar de la ley de la gravedad,porque al describir su historia y sus mtodos, el carcter de

su descubrimiento, sus caractersticas propias, estoy siendocompletamente moderno.

De esta ley se ha dicho que es la mayor generalizacinlograda por la mente humana, aunque ya puede deducirsede mi introduccin que no me interesa tanto la mente hu-mana como la maravilla de una naturaleza que es capaz deobedecer una ley tan simple y tan elegante como la ley de la

gravedad. En consecuencia no me voy a concentrar en lo lis-tos que somos por haber descubierto todo esto, sino en lolista que es la naturaleza al obedecer a la ley.

La ley de la gravedad afirma que dos cuerpos ejercenuna fuerza recproca que vara inversamente con el cuadradode la distancia que los separa y directamente con el productode sus masas. Matemticamente, la ley puede expresarse me-

diante la frmula:

mmr = Lr :'

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una constante multiplicada por el producto de ambas masas,dividido por el cuadrado de la distancia. Si a esto aado elcomentario de que un cuerpo responde a una fuerza acele-rndose, es decir, cambiando su velocidad cada segundo en

relacin inversa a su masa, o que el cambio de velocidad estanto mayor cuanto menor es su masa, entonces habr dichotodo lo que hay que decir sobre la ley de la gravedad. Todolo dems es una consecuencia matemtica de estas dos co-sas. Ya s que no todos ustedes son matemticos y que no

pueden captar de inmediato todas las consecuencias de estasdos observaciones. Por ello, lo que me gustara hacer a con-

tinuacin es contarles brevemente cmo se descubri, culesson algunas de sus consecuencias, qu impacto tuvo su des-cubrimiento sobre la historia de la ciencia, qu clase de mis-terios entraa esta ley, hablar un poco de los perfecciona-mientos aadidos por Einstein y posiblemente de su relacincon las dems leyes de la fsica.

Su historia, brevemente, es sta. En la antigedad se des-

cubri por primera vez el movimiento aparente de los plane-tas en el cielo y se lleg a la conclusin de que todos ellos,incluida la Tierra, giraban alrededor del Sol. Esto mismo fueredescubierto por Coprnico despus de que la gente lo hu-biera olvidado. La pregunta que sigui fue: cmo se mue-ven exactamente los planetas alrededor del Sol, es decir, conqu tipo de movimiento? Ocupa el Sol el centro de una cir-cunferencia o bien trazan los planetas otro tipo de curva? Aqu velocidad se mueven?, etc. Las respuestas a estas pre-guntas tardaron ms en llegar. La poca posterior a Copr-nico fue un periodo de grandes debates sobre si la Tierra sehallaba en el centro del universo o tambin giraba alrededordel Sol junto a los otros planetas. Fue entonces cuando a unhombre llamado Tycho Brahe* se le ocurri que quiz fueseuna buena idea hacer observaciones muy precisas de la posi-

cin de los planetas en el cielo para as distinguir unas teo-

* Tycho Brahe, 1546-1601, astrnomo dans.

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ras de otras. sta es justamente la base de la ciencia mo-derna y el principio del verdadero conocimiento de la natura-leza: la idea de fijarse en una cosa, anotar los detalles y con-fiar en que esta clase de informacin pueda contener la clave

para distinguir una interpretacin terica de otra. Con estaidea en mente, Tycho, que era un hombre rico, habilit gran-des circunferencias de bronce y varios puestos especiales deobservacin en una isla que posea cerca de Copenhague yse dedic a anotar la posicin de los planetas noche tras no-che. Slo a base de trabajar duro puede descubrirse algo.

Una vez recopilados los datos, stos llegaron a manos deKepler,* quien intent analizar el tipo de trayectoria que des-criben los planetas alrededor del Sol. Para ello emple elmtodo de prueba y error. En cierta ocasin pens que habadado con la respuesta. La idea era que los planetas trazabancircunferencias con el Sol desplazado del centro; pero Ke-

pler vio que un planeta (creo que era Marte) estaba fuera de

sitio por unos ocho minutos de arco y decidi que la diferen-cia era demasiado grande para pensar que Tycho Brahe sehaba equivocado, por lo que no poda dar su respuesta por

buena. As pues, gracias a la precisin de las mediciones deTycho Brahe, Kepler continu probando para llegar final-mente a descubrir tres cosas.

Lo primero que descubri es que los planetas describan

elipses alrededor del Sol, con ste en uno de los focos. stasson curvas conocidas de todos los dibujantes porque soncomo un crculo aplastado. A los nios tambin les resultanfamiliares, porque alguna vez les han contado que si se ataun anillo a una cuerda fija por sus extremos y se coloca unlpiz en el anillo, se puede dibujar una elipse (figura 1).

Los dos puntos A y B son los focos. La rbita de un pla-

neta es una elipse con el Sol en uno de los focos. La pre-gunta siguiente es: de qu manera describe el planeta la

* Johann Kepler, 1571-1630, astrnomo y matemtico alemn, ayudantede Brahe.

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Figura 1

elipse? Va ms rpido cerca del Sol? Va ms despacio le-jos del Sol? Kepler tambin dio con la respuesta a esta cues-tin (figura 2).

Si se fija primero la posicin de un planeta en dos mo-mentos distintos separados por un lapso de tiempo determi-nado (pongamos tres semanas) y posteriormente, en otraparte de la rbita, se fijan otras dos posiciones del planeta se-paradas de nuevo por un lapso de tres semanas y se trazanlas lneas que unen el Sol con el planeta (radios vectores, enlenguaje tcnico), el rea definida por el arco de la rbita

planetaria, correspondiente al recorrido del planeta en unlapso de tres semanas, y los dos radios es la misma en cual-

Posiciones del planetaen un Intervalo detres semanas

Figura 2

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quier parte de la rbita. En consecuencia, el planeta tieneque ir ms deprisa cuando est prximo al Sol y ms despa-cio cuando est lejos (de lo contrario las dos reas no seranidnticas).

Algunos aos ms tarde, Kepler descubri una terceraregla relativa al tiempo que tarda un planeta en dar unavuelta completa alrededor del Sol. Este tiempo se relacionacon el tamao de la rbita, entendido como la longitud deldimetro mayor de la elipse, y vara segn la raz cuadradadel cubo del tamao de la rbita. Las tres leyes obtenidas porKepler se resumen diciendo que la rbita tiene forma de

elipse, que reas iguales se cubren en tiempos iguales y queel tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta entera esproporcional al tamao de la rbita elevado a tres medios.Estas tres leyes de Kepler ofrecen una descripcin completadel movimiento de los planetas alrededor del Sol.

La siguiente pregunta fue: qu es lo que hace que losplanetas se muevan alrededor del Sol? Una de las respuestasque se dieron en tiempos de Kepler fueque detrs de los pla-netas haba ngeles que los impulsaban batiendo sus alas.Como veremos, esta respuesta no est tan lejos de la verdad.La nica diferencia es que los ngeles estn sentados en unadireccin diferente y sus alas empujan hacia dentro.

Mientras tanto, Galileo estaba investigando las leyesdel movimiento de los objetos terrestres. De su estudio y decierto nmero de experimentos encaminados a entender, por

ejemplo, de qu manera rodaba una bola sobre un plano in-clinado o cmo se mova el pndulo, Galileo descubri ungran principio, el llamado principio de inercia, que esta-

blece lo siguiente: si nada acta sobre un objeto y steavanza a una velocidad determinada en lnea recta, esta ve-locidad se mantendr para siempre y el objeto seguir des-cribiendo la misma lnea recta. Por increble que pueda pa-

recemos si alguna vez hemos tratado de conseguir que unabola no pare de rodar, en el caso de que esta idealizacinfuera correcta y nada, ni siquiera la friccin del suelo, influ-

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yera sobre ella, entonces la bola conservara su velocidadpara siempre.

El siguiente descubrimiento lo hizo Newton, quien con-sider otra cuestin: Si el objeto no va en lnea recta, qu

pasaentonces?. La respuesta que dio es que se necesita unafuerza para modificar de alguna manera la velocidad. Porejemplo, si se empuja la bola en el sentido del movimiento,crecer su velocidad. Si resulta que cambia de direccin, en-tonces la fuerza debe haberse aplicado lateralmente. Lafuerza puede medirse por el producto de dos efectos. Qucambio experimenta la velocidad en un pequeo intervalo de

tiempo? A esto se le llama aceleracin, y cuando se multi-plica por el coeficiente de inercia de un objeto (es decir, sumasa) se obtiene la fuerza.Y la fuerza es medible. Por ejem-plo, si tenemos una piedra atada a un cordel y la hacemos gi-rar alrededor nuestro, descubrimos que hay que tirar del cor-del porque, aunque la velocidad de la piedra no cambiamientras gira sobre nuestra cabeza, su direccin s que lo

hace. Por lo tanto, debe existir una fuerza que tire constante-mente hacia dentro, y esta fuerza es proporcional a la masa.De manera que si cogemos dos objetos distintos y los hace-mos girar uno tras otro alrededor nuestro a la misma veloci-dad, y medimos la fuerza de cada uno de ellos, resultar queuna fuerza ser tanto mayor que la otra cuanto mayor sea lamasa del primer objeto respecto de la del segundo. Esta es

una manera de medir las masas a partir de lafuerzanecesariapara cambiar la velocidad. De ah Newton sac la conclusinde que si un planeta, por poner un ejemplo sencillo, describeun crculo alrededor del Sol, no es necesaria fuerza alguna

para hacer que escape en lnea recta, tangencialmente; deno existir fuerza alguna continuara en lnea recta. Pero no esesto lo que ocurre; el planeta no escapa, sino que se inclina

hacia el Sol (figura 3). En otras palabras, su velocidad, sumovimiento, han sido desviados hacia el Sol. As, lo que losngeles tienen que hacer es batir sin parar sus alas en direc-cin al Sol.

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Movimiento sin la accinde una fuerza

Desviacin del movimientoen lnea recta Movimiento real

OSol

Figura 3

Pero el movimiento en lnea recta de un planeta no tieneexplicacin. La razn por la cual las cosas se mueven en l-

nea recta para siempre no ha sido descubierta. La ley de lainercia no tiene un origen conocido. Aunque los ngeles noexistan, s existe la continuacin del movimiento, pero paraconseguir el movimiento de cada hacia abajo hace falta unafuerza. Resultaba claro que el origen de la fuerza estaba enel Sol. De hecho, Newton pudo demostrar que la afirmacinde que se cubren reas iguales en tiempos iguales era una

consecuencia directa del simple principio de que todos loscambios de velocidad estaban dirigidos exactamente hacia elSol, incluso en el caso de rbitas elpticas, y en la prximaconferencia describir en detalle cmo ocurre esto.

A partir de esta ley, Newton confirm la idea de que lafuerza se dirige hacia el Sol y, sabiendo cmo varan los pe-riodos de los distintos planetas segn su distancia al Sol, le

fue posible determinar de qu forma se debilita dicha fuerzaal aumentar la distancia. Encontr que la fuerza debe variaren proporcin inversa al cuadrado de la distancia.

Hasta ahora Newton no ha dicho nada nuevo, porque seha limitado a establecer dos cosas que Kepler ya haba dichode otra manera. Una es exactamente equivalente a la afirma-cin de que la fuerza se dirige hacia el Sol, y la otra es exac-

tamente equivalente a la afirmacin de que la fuerza es in-versamente proporcional al cuadrado de la distancia.Pero la gente haba observado a travs de telescopios

cmo los satlites de Jpiter giraban alrededor de ese planeta,

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cosa que recordaba el sistema solar, como si los satlites fue-ran atrados por Jpiter. La Luna es atrada por la Tierra ygira a su alrededor de la misma manera. Era como si todas lascosas se atrajeran mutuamente, por lo que no es de extraar

que el enunciado siguiente consistiera en expresar esta obser-vacin en trminos generales, afirmando que todo objetoatrae a todo objeto. Si esto fuera as, la Tierra tirara de laLuna de la misma manera que el Sol tira de los planetas. Peroadems se sabe que la Tierra tira de las cosas (todos los aqu

presentes estn perfectamente sentados en sus asientos a pe-sar de sus deseos de flotar por los aires). La atraccin de la

Tierra sobre los objetos era de sobra conocida a travs de losfenmenos de la gravedad, y fue idea de Newton pensar quequiz la gravedad que mantena la Luna en su rbita era lamisma gravedad que tiraba de los objetos hacia la Tierra.

Es fcil calcular la distancia que cae la Luna en un se-gundo, porque conocemos el tamao de su rbita y sabemosque la Luna tarda un mes en dar una vuelta alrededor de la

Tierra. Si calculamos la distancia que recorre en un segundopodemos hallar la medida en que el crculo que describe laLuna en su rbita ha cado por debajo de la lnea recta quehubiese seguido si las cosas no fueran como son. La distan-cia aproximada es de 1,40 mm. Nosotros estamos a unos6500 km del centro de la Tierra y la Luna est a 390.000 km,de manera que la Luna est alejada del centro de la Tierraunas sesenta veces ms que nosotros. Si la ley de la inversadel cuadrado es correcta, un objeto sobre la superficie de laTierra debera caer en un segundo una distancia de 1,40 x3600 (el cuadrado de 60) porque la misma fuerza, hasta lle-gar a la Luna, se ha debilitado en 60 x 60, segn la ley de lainversa del cuadrado. El resultado de 1,40 x 3600 es aproxi-madamente 5 metros, distancia que, de acuerdo con las me-diciones de Galileo, era la recorrida en un segundo por un

cuerpo en cada libre sobre la superficie de la Tierra. Estosignificaba que Newton estaba en el buen camino y que yano haba vuelta atrs, porque un hecho nuevo, el periodo de

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la rbita Lunar y su distancia a la Tierra, se acababa de vin-cular con otro hecho totalmente independiente en principiocomo es la distancia recorrida en un segundo por un objetoen cada libre sobre la superficie de la Tierra. sta fue la

asombrosa comprobacin de que todo estaba en regla.Adems, Newton pudo hacer un sinfn de predicciones.

Calcul la forma que deba tener la rbita si la ley era la dela inversa del cuadrado y descubri que, efectivamente, tenaque ser una elipse (con lo que puede decirse que obtuvo trescosas por el precio de dos). Result que buen nmero de fe-nmenos tena nuevas explicaciones obvias. Uno de ellos

era el de las mareas. stas se deban al tirn de la Luna sobrela Tierra y sus aguas. Era una explicacin que ya se habaconsiderado antes, pero que entraaba la dificultad de que sirealmente la Luna tirase de las aguas, elevando en conse-cuencia la altura de la superficie ocenica frente a ella, sola-mente existira una marea diaria (figura 4), cuando sabemosque las mareas se dan aproximadamente cada doce horas.Sin embargo, otra escuela lleg a conclusiones diferentes. Suteora consista en que era la Tierra la que era atrada por laLuna, dejando atrs sus aguas. Newton fue realmente el pri-mero en advertir lo que estaba ocurriendo: que la fuerzade la Luna sobre la Tierra y sobre sus aguas es la misma ala misma distancia, y que el agua en y est ms cerca de laLuna que la rgida Tierra y sta, a su vez, est ms cerca dela Luna que el agua enx. Eny el agua es ms atrada por laLuna, pero enx lo es menos que la Tierra, y es la combina-cin de ambos hechos lo que explica las dos mareas diarias.En realidad, la Tierra hace lo mismo que la Luna: gira des-cribiendo un crculo. La fuerza de la Luna sobre la Tierraest equilibrada, pero cmo? Por el hecho de que, as comola Luna describe un crculo para compensar la fuerza de laTierra, la Tierra tambin gira en crculo. El centro del crculo

est en algn lugar del interior de la Tierra. Ambos cuerposgiran alrededor de un centro comn, de manera que para laTierra las fuerzas estn equilibradas, pero el agua en x es

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Q Luna

El mar es parcialmente

atrado por la Luna

O

La Tierra es parcialmenteatrada por la Luna

O

Situacin real

Figura 4

menos atrada por la Luna, mientras que eny es ms atrada,de manera que sobresale por ambos lados. Sea como sea, seexplicaron las mareas junto con el hecho de que haya dosdiarias. Tambin se aclararon muchas otras cosas: el hechode que la Tierra sea redonda, puesto que todo es atrado ha-cia el centro; el hecho de que no sea exactamente redonda,

porque est rotando y la parte exterior se proyecta un pocohacia fuera;el hecho de que el Sol y la Luna sean redondos,etc.

A medida que la ciencia fue avanzando y las medicionesfueron ganando en precisin, la verificacin de la Ley deNewton se hizo ms rigurosa. Las primeras comprobacionesse hicieron sobre las lunas de Jpiter. Mediante la observa-cin precisa de sus movimientos durante periodos de tiempolargos deba ser posible comprobar que todo ocurra segn loestablecido por Newton. Pero result no ser as: las lunas de

Jpiter se retrasaban unas veces y se adelantaban otras enhasta ocho minutos respecto del tiempo calculado segn lasleyes de Newton. Se comprob que las lunas se adelantaban

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cuando Jpiter se acercaba a la Tierra y se retrasaban en casocontrario, una circusntancia un tanto inslita. Roemer,* cuyaconfianza en la ley de la gravedad era absoluta, lleg a la in-teresante conclusin de que la luz tarda cierto tiempo en via-

jar desde las lunas de Jpiter hasta la Tierra, y que cuandolas contemplamos no las estamos viendo en su estado actual,sino tal como eran en el instante anterior correspondiente altiempo que tard la luz en alcanzarnos. Cuando Jpiter estms cerca de nosotros la luz tarda menos tiempo en llegar, ytarda ms cuando est ms lejos, de manera que Roemer co-rrigi las observaciones eliminando la diferencia de tiempo

y, teniendo en cuenta los adelantos y atrasos, pudo determi-nar la velocidad de la luz. sta fue la primera demostracinde que la luz no era un material de propagacin instantnea.

Traigo a colacin este tema concreto porque sirve parailustrar el hecho de que, cuando una ley es correcta, sirve

para descubrir otras. Si tenemos confianza en una ley, laconstatacin de que algo no cuadra puede sugerirnos otro fe-

nmeno. De no haber conocido la ley de la gravedad nos ha-bra costado mucho ms descubrir la velocidad de la luz,porque no habramos sabido qu podamos esperar de los sa-tlites de Jpiter. Este proceso ha dado lugar a una verdaderaavalancha de descubrimientos, cada uno de los cuales es uninstrumento para hacer otros muchos descubrimientos. Nosestamos refiriendo al comienzo de una avalancha ininterrum-

pida que se inici hace 400 aos y sigue avanzando a granvelocidad.

Ms tarde surgi otro problema: en realidad, los planetasno deberan describir elipses perfectas ya que, segn las le-yes de Newton, los planetas no son slo atrados por el Sol,sino que tiran un poco los unos de los otros. Muy poco, escierto, pero lo suficiente para alterar algo las rbitas planeta-rias. Jpiter, Saturno y Urano eran grandes planetas ya cono-cidos, de manera que se efectuaron observaciones y clculos

* Olaus Roemer, 1644-1710, astrnomo holands.

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para comprobar lo poco que diferan los movimientos realesde estos planetas de las elipses perfectas de Kepler. Una vezcompletados los clculos, se comprob que Jpiter y Saturnose movan segn lo esperado, mientras que a Urano le pa-

saba algo raro.Otra oportunidad para demostrar que las leyes de New-ton no eran del todo perfectas. Pero no nos desanimemos!Dos hombres, Adams y Leverrier,* que hicieron los mismosclculos de forma independiente y casi simultnea, atribuye-ron los movimientos errticos de Urano a la presencia de unplaneta desconocido y escribieron cartas a sus respectivos

observatorios en las que decan: Enfocad vuestros telesco-pios hacia all y encontraris un planeta. Qu absurdo!,pensaron en uno de los observatorios, cmo nos va a decirdnde encontrar un nuevo planeta un tipo que trabaja sen-tado en su mesa con papel y lpiz? El otro observatorio erams..., en fin, tena una administracin diferente, y descu-brieron Neptuno!

En fecha algo ms reciente, a principios de siglo, se com-prob que el movimiento de Mercurio no era exactamentecomo deba ser. Esto dio lugar a muchos quebraderos de ca-

beza, hasta que Einstein demostr que las leyes de Newtonno eran lo bastante exactas y deban modificarse.

Tratemos de responder a la siguiente pregunta: hasta qudistancia se extiende la aplicacin de las leyes de Newton?Ms all del sistema solar? Djenme ensearles, en el gra-

bado 1, una muestra de que la ley de la gravedad tiene un do-minio de aplicacin que se extiende ms all del sistema so-lar. En este grabado tenemos una serie de tres fotos de unaestrella binaria, como lo llaman los astrnomos. Por suerte,en la imagen aparece una tercera estrella que nos permite cer-tificar que las estrellas realmente giran una alrededor de laotra y descartar que alguien haya dado la vuelta a la fotogra-

* John Couch Adams, 1819-92, astrnomo matemtico. Urbain Leverrier,1811-77, astrnomo francs.

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Fotografa 1. Tres fotografas tomadas en momentos distintos del mismosistema binario.

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Fotografa 3. Galaxia espiral

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Fotografa 4. Cmulos de galaxias

Fotografa 5. Estrellas y nebulosa de gases


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*Fotografa 6. Demostracin de la creacin de nuevas estrellas

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fa, cosafcilcuando se trata de fotos de astros. En la figura 5podemos ver la rbita que describen. Est claro que una tirade la otra y que giran describiendo una elipse, como era deesperar. Se trata de una sucesin de posiciones, en instantes

distintos, que avanzan en el sentido de las agujas delreloj.Demanera que todo ir perfectamente hasta que alguien descu-

bra, si es que alguno de ustedes no lo ha hecho ya, que el cen-tro no es el foco de una elipse, sino que est un poco des-viado. As pues, algo pasa con la ley, verdad? Pues no; Diosno nos ha concedido ver esta rbita de frente, sino inclinadaen un curioso ngulo. Si tomamos una elipse, marcamos un

foco, la inclinamos de cualquier manera y luego la observa-mos en proyeccin, veremos que el foco no tiene por qucoincidir con el foco de la imagen proyectada. Si la rbita seve de esta manera es porque est inclinada en el espacio.

Y qu ocurre a una distancia mayor? En el ejemplo an-terior la fuerza se ejerce entre dos estrellas, pero alcanza

ESCALA

Figura 5

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distancias superiores a dos o tres sistemas solares? En lafotografa 2 observamos un objeto que tiene un dimetroequivalente a unas cien mil veces el del sistema solar. Ahhay un nmero enorme de estrellas. La mancha blanca noes un punto blanco homogneo; si lo parece es por la im-precisin de nuestros instrumentos, pero dentro hay punti-tos muy pequeos, igual que las dems estrellas, claramenteseparados unos de otros, sin colisiones entre ellos, cada unomovindose de un lado a otro en este gran cmulo globular.Se trata de uno de los objetos ms hermosos del cielo, tantocomo las olas del mar o las puestas de sol. La distribucin

de la materia que lo compone est perfectamente clara. Loque mantiene unida a esta galaxia es la atraccin gravitato-ria entre cada una de las estrellas. La distribucin de la ma-teria y el sentido de la distancia nos permite descubrir cules la ley de la fuerza entre las estrellas... y, naturalmente,se corresponde aproximadamente con la inversa del cua-drado. Las mediciones a estas distancias no son ni de le-

jos tan precisas como las efectuadas dentro del sistemasolar.

La fuerza de la gravedad se extiende an ms all. Estecmulo no es ms que un puntito en el interior de la gran ga-laxia de la fotografa 3, una galaxia tpica. De nuevo resultaobvio que este objeto se mantiene unido gracias a algunafuerza, y el nico candidato razonable es la gravedad. A es-

tas escalas ya no hay manera de comprobar si se cumple laley de la inversa del cuadrado, aunque no cabe duda de queen estas inmensas aglomeraciones de estrellas (estas galaxiastienen un dimetro de 50.000 a 100.000 aos luz, mientrasque la distancia de la Tierra al Sol es tan slo de ocho minu-tos luz) contina rigiendo la gravedad. En la fotografa 4 te-nemos la prueba de que su influencia se extiende an ms

lejos. Lo que se muestra es un cmulo de galaxias; stas for-man un solo bloque anlogo a un cmulo de estrellas, peroen este caso las unidades que se agrupan son grandullonescomo los de lafotografa3.

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Hemos llegado a una dcima, quizs una centsima,parte del tamao del universo, la distancia para la cual tene-mos pruebas directas del alcance de la fuerza gravitatoria.As pues, la gravedad de la Tierra no tiene lmite, aunque a

veces leamos en los peridicos que algn objeto ha escapadodel campo gravitatorio terrestre. ste se va debilitando en

proporcin inversa al cuadrado de la distancia, lo que quieredecir que se divide por cuatro cada vez que multiplicamos ladistancia por dos, hasta perderse en la confusin de los fuer-tes campos de las estrellas. Junto con la de las estrellas cer-canas, la gravedad terrestre tira de las otras estrellas para for-

mar nuestra galaxia, y todas ellas tiran de otras galaxias paradar lugar a un cmulo de galaxias. As pues, el campo gravi-tatorio de la Tierra nunca se acaba, sino que va difuminn-dose lentamente segn una ley precisa, probablemente hastael lmite del universo.

La ley de la gravedad es diferente de la mayora de lasotras leyes. Est claro que es muy importante en lo que res-

pecta al funcionamiento de la maquinaria el universo; a es-cala universal se aplica a multitud de fenmenos. Pero, cu-riosamente, tiene relativamente pocas aplicaciones prcticasen comparacin con las dems leyes de la fsica. Se puededecir que he escogido un ejemplo atpico, aunque, en reali-dad, es imposible escoger algo que no sea atpico en algnsentido; ah reside la maravilla del mundo. Las nicas apli-

caciones que se me ocurren seran las prospecciones geofsi-cas, la prediccin de las mareas y, en la actualidad, el clculode las trayectorias de los satlites artificiales y cohetes quemandamos al espacio. Otra aplicacin reciente sera el cl-culo de las posiciones de los planetas, de gran utilidad paralos astrlogos que confeccionan los horscopos de las revis-tas. Es un mundo extrao ste, en el que tantos avances denuestro conocimiento se usan slo para insistir en tonterasque tienen 2000 aos de antigedad.

Debo mencionar los casos ms importantes en los que lagravedad tiene un efecto real sobre el universo, y uno de los

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ms interesantes es la formacin de nuevas estrellas. La foto-grafa 5 muestra una nebulosa gaseosa del interior de nuestragalaxia; no se trata de un montn de estrellas, sino de un gas.Las manchitas negras son zonas en las que el gas se ha com-

primido, es decir, se ha atrado a s mismo. Quizs al princi-pio tenga lugar algn tipo de colisin, pero el resto del fen-meno se explica por el efecto de la gravedad que comprimeel gas cada vez ms, de forma que grandes volmenes de gasy polvo se aglomeran y, a medida que continan cayendo ha-cia su propio centro, el calor generado por esta cada en-ciende la masa de gas convirtindola en una estrella. En la fo-

tografa 6 parece constatarse la creacin de nuevas estrellas.As es como nacen las estrellas, cuando en virtud de la

gravedad se aglomera una cantidad suficiente de gas. Cuandolas estrellas explotan escupen gases y polvo, que se vuelven aaglomerar dando lugar a nuevas estrellas: se dira que es unmovimiento perpetuo.

Ya he indicado que la gravedad abarca grandes distan-

cias, pero Newton tambin dijo que todo era atrado portodo. Es realmente cierto que dos cosas se atraen mutua-mente? Podemos verificarlo directamente sin tener que es-tudiar el movimiento de los planetas? Una verificacin di-rectafuellevada a cabo por Cavendish* con un equipo comoel que aparece en la figura 6. El montaje consista en una ba-rra colgada de una fibra de cuarzo muy delgada con dos bo-

las en sus extremos, frente a las cuales se colocaron dosgrandes bolas de plomo. Aunque la fuerza gravitatoria entreobjetos corrientes es ciertamente minscula, la fibra experi-mentaba una pequea torsin debido a la atraccin de las bo-las. De esta manera se consigui medir la fuerza de torsingenerada por las masas de plomo. Cavendish denomin aeste experimento pesaje de la Tierra. Con una enseanza

tan pedante y puntillosa como la actual, hoy en da no se per-mitira a nuestros estudiantes decir tal cosa: habra que decir

* Henry Cavendish, 1731-1810, fsico y qumico ingls.

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Figura 6

medicin de la masa de la Tierra. Mediante un experi-mento directo, Cavendish consigui medir la fuerza, las dosmasas y la distancia entre ambas, lo que le permiti determi-

nar el valor de G, la constante gravitatoria. Alguno de uste-des pensar: Muy bien, sabemos cunto vale la atraccin,cules son las masas de los objetos atrados y la distanciaque los separa, pero seguimos sin conocer la masa de la Tie-rra. Pero una vez conocida la constante y el valor de la ace-leracin gravitatoria en la superficie de la Tierra, podemosdeterminar su masa.

Aunque de forma indirecta, este experimento fue el pri-mero en determinar lo pesada o masiva que es la esfera sobrela que nos encontramos. Se trata de un logro sorprendente, ycreo que fue por esto por lo que Cavendish denomin a suexperimento pesaje de la Tierra y no determinacin de laconstante de la frmula de Newton. Dicho sea de paso, Ca-vendish estaba al mismo tiempo pesando el Sol, porque la

atraccin gravitatoria del Sol tambin es conocida.Hay otro experimento muy interesante para verificar laley de la gravedad: se trata de saber si la fuerza atractiva esexactamente proporcional a la masa. Si es as, entonces los

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movimientos inducidos por fuerzas gravitatorias, los cam-bios de velocidad, son inversamente proporcionales a lamasa del objeto. Esto significa que dos objetos de masas di-ferentes se acelerarn de la misma manera en un campo gra-

vitatorio; es decir, dos objetos distintos en el vaco caern dela misma manera hacia la Tierra cualquiera que sea su masa.ste es el viejo experimento de Galileo desde la torre incli-nada de Pisa. Significa, por ejemplo, que un objeto colocadodentro de un satlite artificial describir la misma rbita alre-dedor de la Tierra que uno situado en el exterior, por lo que

parecer que est flotando. El hecho de que la fuerza sea

exactamente proporcional a la masa tiene esta interesanteconsecuencia.

Hasta qu punto se cumple esta propiedad? Un fsicollamado Eotvs* la verific experimentalmente en 1909 y,ms recientemente, Dicke** hizo lo propio con mayor preci-sin, de manera que hoy sabemos que se cumple con unerror inferior a 1/10.000.000.000. Las fuerzas son exacta-

mente proporcionales a las masas. Cmo es posible medircon tanta precisin? Supongamos que queremos comprobarsi la proporcionalidad es cierta en el caso del Sol. Sabemosque el Sol est tirando de nosotros, como tambin de la Tie-rra, pero supongamos que queremos saber si la atraccin esexactamente proporcional a la inercia. El experimento co-rrespondiente se llev a cabo inicialmente con madera de

sndalo; luego se usaron plomo y cobre, y en la actualidad seefecta con polietileno. Como la Tierra gira alrededor delSol, todos los objetos en su superficie son lanzados haciafuera en una medida proporcional a su propia inercia. Perotambin son atrados por el Sol en proporcin a su masa, se-gn la ley de la gravedad. As pues, si dos objetos distintosson atrados por el Sol en proporcin distinta a la que son ex-

pelidos por inercia, uno se mover en direccin al Sol mien-

* Barn Roland von Eotvos, 1848-1919, fsico hngaro.** Robert Henry Dicke, fsico americano.

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tras que el otro se alejar, de manera que si los colocamos enlos extremos de una barra colgada de una fibra de cuarzo,como en el experimento de Cavendish, todo el aparato girarhacia el Sol. Pero, con la precisin indicada, se comprueba

que no gira, lo que nos confirma que la atraccin del Sol so-bre ambos objetos es exactamente proporcional al efectocentrfugo, que es la inercia; en consecuencia, la fuerza deatraccin sobre un objeto es exactamente proporcional a sucoeficiente de inercia; en otras palabras, a su masa.

Hay algo particularmente interesante que quiero desta-car. La ley de la inversa del cuadrado vuelve a aparecer en

otros contextos, como, por ejemplo, en las leyes de la electri-cidad. La electricidad tambin ejerce fuerzas proporcionalesa la inversa del cuadrado de la distancia, esta vez entre car-gas, de manera que uno podra pensar que esta relacin ma-temtica est imbuida de algn significado profundo. Nadieha conseguido hacer de la gravedad y la electricidad aspec-tos distintos de una misma cosa. Las teoras fsicas actuales,

nuestras leyes de la fsica, constituyen una multitud de pie-zas distintas que no encajan del todo bien. No poseemos unaestructura de la cual se deduzca todo; tenemos varias piezasque todava no encajan con exactitud. As pues, en estas con-ferencias no podr decirles cul es la ley de la fsica, y metendr que conformar con hablar de los aspectos comunes alas distintas leyes, porque todava no comprendemos la co-

nexin existente entre ellas. Pero lo verdaderamente extraoes que haya aspectos compartidos. Veamos de nuevo la leyde la electricidad.

Las fuerzas gravitatoria y elctrica son inversamenteproporcionales al cuadrado de la distancia, pero lo realmentenotable es la tremenda diferencia de intensidad entre ambas.Aquellos que busquen un mismo fundamento para la grave-

dad y la electricidad se encontrarn con que la segunda esmucho ms fuerte que la primera, por lo que cuesta creer quetengan un origen comn. Cmo puedo decir que una cosaes ms fuerteque otra? Todo depende de la cantidad de carga

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que se tenga y de la masa que se posea. No podemos hablarde lo fuerte que es la gravedad diciendo tomemos un pe-dazo de esta medida, porque la medida la escoge unomismo. Si queremos obtener algo producido por la Natura-

leza (un nmero puro que no tenga nada que ver con cent-metros o aos o cualquier cosa relativa a nuestras escalas di-mensionales) podemos proceder de la siguiente manera: sitomamos una partcula elemental, como el electrn (cada

partcula distinta nos dar un nmero distinto, pero para fijarideas tomemos el electrn), resulta que dos electrones sondos partculas elementales que se repelen debido a la electri-

cidad en proporcin inversa al cuadrado de la distancia y seatraen debido a la gravedad en proporcin inversa al cua-drado de la distancia.

Pregunta: cul es la relacin entre la fuerza gravitatoriay la fuerza elctrica? La respuesta se ilustra en la figura 7.La razn entre la atraccin gravitatoria y la repulsin elc-trica viene dada por un nmero con una cola de 42 cifras.

Ahora bien, aqu yace un misterio muyprofundo. De dndesurge un nmero tan monstruoso? Si en algn momento con-siguiramos una teora de la que pudieran derivarse ambasfuerzas, cmo podra conseguirse tan exagerada despropor-cin? Qu ecuacin admite una solucin con una razn tanfantstica entre una fuerza atractiva y otra repulsiva?

Los fsicos han buscado proporciones de este calibre enotras partes, con la esperanza de encontrar algn otro n-mero de tal magnitud. Puestos a buscar un nmero grande,por qu no tomar la razn entre el dimetro del universo yel de un protn? Cosa sorprendente, ste tambin es un n-mero de 42 cifras. Por eso alguien propuso que ambas pro-

porciones eran la misma. Pero el universo se expande con eltiempo, lo que significa que la constante gravitatoria deberacambiar con el tiempo, una posibilidad de la que no hay evi-

dencia alguna. Existen indicios parciales de que la constantegravitatoria no ha cambiado en la forma prevista, de maneraque este inmenso nmero contina siendo un misterio.

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ENTRE DOS ELECTRONES

Atraccin gravitatoria = 1 / 4 )7 x 1q1 2

Repulsin elctrica

= / 4 . l 7 0 . 0 0 0 . 0 nuO

OOo

0 o o o o 0 0

oooo

0-0oo

Figura 7

Para acabar con la teora de la gravedad, debo aadir doscosas. Una es que Einstein tuvo que modificar la ley de lagravitacin de acuerdo con sus principios de la relatividad.El primero de estos principios afirma que X no puede ocu-rrir instantneamente, mientras la teora de Newton sostenaque la fuerza actuaba de forma instantnea. Pero las modifi-caciones introducidas por Einstein tienen unos efectos mni-mos. Una de estas modificaciones se refiere a que todas lasmasas caen. La luz tiene energa, y la energa es equivalentea la masa; en consecuencia, la luz tambin cae. Por ello laluz que pasa cerca del Sol debe desviarse, y as lo hace. Ade-ms, en la teora de Einstein la fuerza de gravedad cambiaalgo, lo justo para dar cuenta de la pequea discrepanciaregistrada en el movimiento de Mercurio. Por ltimo, encuanto a las leyes de la fsica aplicadas a pequea escala, seha descubierto que el comportamiento de la materia a muypequea escala obedece a leyes muy distintas de las que ri-

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gen los objetos a gran escala. La pregunta que surge deforma natural es: qu aspecto tiene la gravedad a pequeaescala? Esto se conoce como teora cuntica de la gravedad.En la actualidad no existe una teora cuntica de la grave-

dad. Todava no se ha logrado construir una teora que seaconsistente con la mecnica cuntica y el principio de incer-tidumbre.

Se me preguntar: Muy bien, ya nos ha dicho lo queocurre, pero qu es la gravedad? De dnde viene? No nosdir que un planeta mira al Sol, advierte la distancia a la quese encuentra, calcula la inversa del cuadrado de la distancia

y decide moverse en consecuencia?. En otras palabras, aun-que he enunciado la ley matemtica, no he ofrecido ningnmecanismo. Discutir esta posibilidad de explicacin en la

prxima conferencia, La relacin de las matemticas con lafsica.

Para acabar, quiero subrayar las caractersticas que la leyde la gravedad comparte con las otras leyes que he mencio-nado a lo largo de esta conferencia. En primer lugar, es ma-temtica en su expresin; las dems tambin lo son. En se-gundo lugar, no es exacta: Einstein tuvo que modificarla ysabemos que an no es del todo correcta, porque tiene queincorporrsele la teora cuntica. Esto mismo ocurre con to-das las otras leyes: no son exactas. Siempre queda un picede misterio, una zona en la que todava faltan algunos reto-ques. sta puede ser o no una propiedad de la Naturaleza,

pero lo cierto es que es comn a todas las leyes tal como hoylas conocemos. Puede que slo sea el reflejo de un conoci-miento incompleto.

Pero lo ms impresionante de todo es que la gravedad essimple. Es simple enunciarla completamente en sus princi-

pios, de forma que no quede flotando ninguna vaguedad quepermita a alguien cambiar la esencia de la ley. Es simple y,

en consecuencia, bella. Es simple en su forma, no necesaria-mente en su accin (los movimientos de los diversos plane-tas y sus perturbaciones mutuas pueden ser muy complica-

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dos de expresar en detalle, y seguir el movimiento de todaslas estrellas de un cmulo globular est ms all de nuestrascapacidades). Es complicada en sus acciones, pero su forma

bsica, es decir, el sistema que subyace tras ella, es simple.

Esto es comn a todas nuestras leyes; todas resultan ser sim-ples, aunque complejas en sus acciones.Finalmente, quiero resaltar la universalidad de la ley de

la gravedad y el hecho de que se extienda a lo largo de tangrandes distancias, de tal forma que Newton, ocupado en elsistema solar, pudo predecir lo que iba a ocurrir en el experi-mento de Cavendish, mientras que el pequeo modelo de

Cavendish (las dos esferas atrayndose mutuamente) debemultiplicarse por diez billones para convertirse en el sistemasolar. Si lo ampliamos por un factor de otros diez billonesnos encontramos con las galaxias atrayndose mutuamentesegn la misma ley. La naturaleza utiliza solamente las he-

bras ms largas para tejer sus formas, de manera que cadapequeo rincn de su tela revela la organizacin de la totali-dad del tapiz.

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La relacin de las matemticas con la fsica

Pensando en las aplicaciones de las matemticas y de lafsica, parece natural que las matemticas sean de utilidad

cuando estn en juego nmeros grandes en situaciones com-plejas. En biologa, por ejemplo, la accin de un virus o unabacteria no es matemtica. Si se observa un virus concretoal microscopio, ste puede descubrir un lugar de la superfi-cie bacteriana (cada bacteria tiene su forma propia) pordonde introducir su ADN, o puede no hacerlo. Pero si expe-rimentamos con millones y millones de bacterias y virus po-

demos aprender mucho sobre ellos haciendo promedios.Podemos emplear las matemticas para hallar los prome-dios, para descubrir si los virus se desarrollan dentro de las

bacterias, si surgen nuevos tipos y en qu proporciones, y apartir de ah hacer un estudio gentico considerando susmutaciones, etc.

Por poner otro ejemplo an ms trivial, imaginemos un

inmenso tablero de damas. La operacin misma de efectuaruna jugada no es matemtica (o al menos es de una gransimplicidad matemtica). Pero es fcil ver que sobre un ta-

blero enorme, con una gran cantidad de piezas, el anlisis delas jugadas buenas y malas debe requerir alguna clase de ra-zonamiento profundo. Aqu es donde entran en juego lasmatemticas, que requieren un razonamiento abstracto. Otroejemplo podra ser la puesta en marcha de una computadora.No hay nada demasiado matemtico en accionar el interrup-tor que apaga y enciende el aparato, aunque a los matemti-cos les gusta empezar por ah. Pero entender lo que hace un

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sistema muy grande, con todos sus empalmes y conexiones,exige matemticas.

Antes que nada, quiero decir que las matemticas son deenorme utilidad en fsica cuando se trata de abordar un anli-

sis detallado de los fenmenos que ocurren en situacionescomplicadas para extraer las reglas fundamentales del juego.Esto es algo a lo que dedicara la mayor parte de mi tiemposi slo tuviera que hablar de la relacin entre la matemticay la fsica. Pero, puesto que esta conferencia forma parte deuna serie sobre el carcter de la ley fsica, no tengo tiempode discutir lo que ocurre en situaciones complicadas, por lo

que voy a pasar enseguida a otra cuestin, a saber, el carcterde las leyes fundamentales.

Si volvemos a nuestro juego de damas, las leyes funda-mentales son las reglas segn las cuales movemos las piezas.Las matemticas pueden utilizarse en una situacin compli-cada para encontrar, en las circunstancias dadas, la mejor ju-gada. Pero, en el caso de las damas, el carcter simple y fun-

damental de sus leyes bsicas hace que se necesiten muypocas matemticas para expresarlas. En realidad, son expre-sables en lenguaje coloquial.

Lo curioso de la fsica es que incluso las leyes funda-mentales tienen carcter matemtico. Voy a dar dos ejem-

plos, uno que requiere matemticas y otro que no. En primerlugar, existe en fsica una ley, la ley de Faraday, que esta-

blece que, en la electrlisis, la cantidad de material deposi-tado es proporcional al tiempo durante el que circula la co-rriente y a la intensidad de la misma. Lo cual significa que lacantidad de material depositado es proporcional a la cargaelctrica que discurre por el sistema. Todo esto parece muymatemtico, pero lo que realmente ocurre es que cada elec-trn que circula por el hilo conductor porta una carga. Por

poner un ejemplo concreto, digamos que para que se depo-site un tomo hace falta la colaboracin de un electrn, demanera que el nmero de tomos depositados es necesaria-mente igual al nmero de electrones que pasan y, en conse-

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cuencia, proporcional a la carga que pasa por el conductor.As, una ley en apariencia matemtica no tiene como basenada demasiado profundo ni requiere un verdadero conoci-miento de las matemticas. Supongo que el hecho de que se

necesite un electrn por cada tomo que se deposita es en smismo matemtico, pero no es la clase de matemticas a laque me estoy refiriendo.

Por otro lado, tomemos la ley de la gravedad de Newton,de la que ya hemos hablado. He aqu la ecuacin:

La expongo slo para impresionarles por la rapidez conque los smbolos matemticos pueden proporcionar informa-cin. Dije que la fuerza de gravedad entre dos objetos es pro-

porcional al producto de sus masas e inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia que los separa, y tambinque los cuerpos reaccionan a las fuerzas cambiando de velo-cidad, o de movimiento, en la direccin de la fuerza, enmagnitud proporcional a la fuerza e inversamente proporcio-nal a la masa. No hay duda de que esto son palabras y de queno he tenido ninguna necesidad de escribir la ecuacin. Sinembargo, se trata de una descripcin que tiene algo de mate-mtico, y cabe preguntarse cmo algo as puede ser una leyfundamental. Qu es lo que hace el planeta? Acaso mira alSol, evala la distancia a la que se encuentra y decide poner

en marcha su calculadora interior para hallar la inversa delcuadrado de la distancia y as saber cmo moverse? Quinva a creerse que esto sea una explicacin del funcionamientode la gravedad! Quiz queramos, como han hecho otros, irms all. A Newton se le recrimin que su teora no signi-fica nada, no nos dice nada, a lo que l contest: Nos dicecmo se mueve, y esto debera ser suficiente. Pero la gente

suele quedarse insatisfecha si no se le ofrece un mecanismo,y me gustara describir una de entre las muchas teoras que

pretenden explicar el porqu. Esta teora afirma que el efecto

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de la gravedad es el resultado de un gran nmero de accio-nes, lo que explicara su carcter matemtico.

Supongamos que por todas partes hay un gran nmerode partculas volando a gran velocidad. Vienen por igual de

todas direcciones. Tanto nosotros como el Sol somos paraellas prcticamente transparentes. Prcticamente, pero no deltodo, porque algunas de ellas impactan contra nosotros. Vea-mos lo que ocurre entonces (figura 8).

S representa el Sol y T la Tierra. Si el Sol no estuvieradonde est, de todas direcciones llegaran a la Tierra partcu-las que impactaran con nosotros propinndonos empujonci-tos. Como vendran tantas partculas de un lado como deotro, la Tierra no se movera en ninguna direccin concreta.

Cuando el Sol est presente, sin embargo, las partculas quevienen en su direccin son parcialmente absorbidas por l,

puesto que no todas lo atraviesan. En consecuencia, el n-mero de partculas en la direccin del Sol es menor que el delas que nos llegan de otras direcciones. Es fcil ver quecuanto ms lejos se halle el Sol de nosotros menor ser elnmero de partculas que dejen de llegarnos. El Sol parecer

ms pequeo (en realidad, en proporcin inversa al cuadradode la distancia). Como consecuencia, la Tierra experimentarun impulso hacia el Sol que variar en funcin inversa delcuadrado de la distancia; y ello ser resultado de un gran n-

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mero de operaciones muy simples, un golpecito tras otro, entodas direcciones. De esta forma el carcter extrao de la re-lacin matemtica quedar ciertamente atenuado, porque laoperacin fundamental es mucho ms simple que el clculo

de la inversa del cuadrado de la distancia. La frmula es sus-tituida por una descripcin basada en partculas que rebotan.

El nico problema con esta idea es que no funciona.Cualquier teora que inventemos debe contrastarse conside-rando todas sus posibles consecuencias para ver si predicealgo ms, y sta lo hace. Si la Tierra se mueve, recibir msimpactos de frente que por detrs. (Si corremos bajo la llu-

via, nos caer ms agua en la cara que en el cogote, porquecorremos hacia la lluvia.) As pues, la Tierra avanzar hacialas partculas que le llegan por delante y se alejar de las quele llegan por detrs, con lo cual habr ms impactos por de-lante que por detrs, lo que dar lugar a una fuerza que seopondr a su avance. Esta fuerza frenara la velocidad de laTierra en su rbita, por lo que que sta no habra podidomantenerse girando alrededor del Sol durante tres o cuatromil millones de aos, como mnimo. As pues, hay que des-cartar esta teora. Pero bueno, pensar alguien, no estabatan mal, y me permiti prescindir de las matemticas; quiz

pueda inventarse una mejor. Y puede que tenga razn;quin sabe lo que puede ocurrir en ltima instancia. Pero,desde los tiempos de Newton hasta hoy, nadie ha inventadootra descripcin de la maquinaria matemtica subyacente

tras esta ley que no sea una repeticin de lo mismo con otraspalabras, o que no complique las matemticas, o que no hagapredicciones falsas. Actualmente no existe ningn modelo dela teora de la gravedad aparte de su expresin matemtica.

Si sta fuera la nica ley as, ello sera tan interesantecomo enojoso. Pero resulta que cuanto ms investigamos,cuantas ms leyes descubrimos, cuanto ms profundamente

penetramos en la naturaleza, tanto ms persiste la enferme-dad. Cada una de nuestras leyes es una afirmacin pura-mente matemtica, expresada en unas matemticas ms bien

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complejas y abstrusas. La expresin de Newton de la ley dela gravedad es, desde el punto de vista matemtico, relativa-mente simple. Pero se hace cada vez ms abstrusa a medidaque avanzamos. Por qu? No tengo la menor idea. Mi pro-

psito hoy es el de informarles de este hecho. El objetivo deesta conferencia es simplemente subrayar que es imposiblecomunicar honestamente la belleza de las leyes de la natura-leza, de manera que la gente pueda realmente sentirla, si lagente no posee un conocimiento profundo de las matemti-cas. Lo siento, pero as parece.

Alguien podr decirme: Muy bien, pues si no existe ex-

plicacin alguna de la ley, al menos dgame qu es la ley?Por qu no me lo dice en palabras en vez de decrmelo consmbolos? Las matemticas no son ms que un lenguaje, yquiero ser capaz de traducir este lenguaje. De hecho podrahacerlo, con paciencia, e incluso creo que hasta cierto puntoya lo he hecho. Podra aadir de forma ms concreta que laecuacin significa que si la distancia es el doble, la fuerza no

es ms que la cuarta parte, y as sucesivamente. Sera posibleconvertir todos los smbolos en palabras. Dicho de otra ma-nera, podra ser amable con el hombre de la calle que ha ve-nido hasta aqu con la esperanza de que yo vaya a explicarlealgo. Uno puede ganarse una buena reputacin si es capaz deexplicar al hombre de la calle, en el lenguaje del hombrede la calle, temas tan abstrusos y difciles como stos. Y el

hombre de la calle busca y rebusca en un libro tras otro conla esperanza de eludir las complejidades que finalmente aca-ban imponindose, incluso con la ayuda del mejor divulga-dor. A medida que lee va encontrndose con una confusincada vez mayor, con proposiciones cada vez ms complica-das, con una dificultad tras otra, carentes todas ellas de cone-xin aparente. Ante tamaa oscuridad confa en que quizsencontrar la explicacin en otro libro... Este ltimo autorse acerc bastante, quiz la solucin est en el prximo.

Yo no creo que sea posible, porque las matemticas noson simplemente otro lenguaje. Las matemticas son otro

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lenguaje ms razonamiento; son un lenguaje ms una lgica.Las matemticas son un instrumento para razonar. De hecho,son una gran coleccin de resultados obtenidos por un cuida-doso proceso de pensamiento y razonamiento. Mediante las

matemticas es posible establecer una conexin entre unaafirmacin y otra. Por ejemplo, puedo decir que la fuerzaest orientada hacia el Sol. Tambin puedo decir, como ya hehecho, que los planetas se mueven de tal manera que si trazouna lnea desde el Sol hasta uno de ellos y dibujo la mismalnea en un momento posterior, digamos tres semanas mstarde, resulta que el rea recorrida por la lnea del planeta al

girar ste alrededor del Sol es exactamente la misma que laque recorrer durante las prximas tres semanas y durantelas tres semanas posteriores. Puedo explicar detalladamenteambas afirmaciones, pero no puedo explicar por qu ambasson idnticas. Las enormes complejidades aparentes de lanaturaleza, con todas sus curiosas reglas y leyes, estn estre-chamente vinculadas entre s. Esto es cierto, pero sin mate-

mticas no es posible descubrir, entre la enorme variedad dehechos, la lgica que permite pasar de una a otra.

Quiz parezca increble que pueda demostrarse quese cubren reas iguales en tiempos iguales si las fuerzas seorientan hacia el Sol. Por ello, si se me permite, voy a de-mostrar que ambas cosas son de hecho equivalentes, con laintencin de que puedan ustedes ver ms all de la simple

descripcin de ambas leyes. Voy a mostrar que las dos leyesestn vinculadas de tal forma que puede pasarse de una aotra mediante un razonamiento simple, y las matemticas noson ms que razonamiento organizado. Con ello podrnapreciar la belleza de la relacin entre ambas afirmaciones.Voy a demostrar la relacin que existe entre afirmar que lasfuerzas estn orientadas hacia el Sol y que se cubren reasiguales en tiempos iguales.

Empecemos con un sol y un planeta (figura 9) y supon-gamos que en un instante determinado el planeta se halla enla posicin 1. El planeta se mueve de tal manera que un se-

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Sol

/Planeta

Altura comn delos tringulos

Figura 9

gundo ms tarde se halla en la posicin 2. Si el sol no ejer-ciera fuerza alguna sobre el planeta, por el principio de iner-cia de Galileo, ste describira una lnea recta, de maneraque al cabo de otro segundo se habra desplazado exacta-mente la misma distancia sobre la misma lnea recta, hasta la

posicin 3. Primero voy a mostrar que, sinoexiste fuerza al-guna, entonces se cubren reas iguales en tiempos iguales.

Quiero recordarles que el rea de un tringulo es igual a unmedio de la base por la altura, y que la altura es la distanciavertical hasta la base. Si el tringulo es obtuso (figura 10), laaltura es la distancia vertical AD y la base es BC. Compare-mos a continuacin las reas recorridas si el sol no ejercierafuerza alguna (figura 9).

Recurdese que las dos distancias 1-2 y 2-3 son iguales.

La cuestin es si tambin las dos reas son iguales. Consid-

A

B C

Figura 10

D

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rese el tringulo formado por el sol y los puntos 1 y 2. Cules su rea? Es el producto de la base 1-2 por la mitad de ladistancia perpendicular entre la base y S. Qu pasa con elotro tringulo, el formado al desplazarse el planeta de 2 a 3?

Su rea es la base 2-3 multiplicada por la mitad de la altura.Ambos tringulos tienen la misma altura y, tal como hemosindicado, la misma base, por lo que deben tener la mismarea. De momento, pues, todo bien. Si el sol no ejercierafuerza alguna, se barreran reas iguales en tiempos iguales.Pero el sol ejerce una fuerza. Durante el intervalo 1-2-3 elsol tira del planeta hacia s y cambia la direccin del movi-

miento. Con el fin de obtener una buena aproximacin, con-sideraremos la posicin central, o posicin media, en 2, yasumiremos que el efecto de la accin de la fuerza durante elintervalo 1-3 consiste en cambiar en alguna medida el movi-miento del planeta en la direccin de la lnea 2-S (figura 11).

Esto significa que, aunque el planeta se mova sobre lalnea 1-2 y hubiese continuado en esa direccin de no existiruna fuerza, la influencia del sol altera el movimiento de ma-nera que se orienta en una direccin paralela a la lnea 2-S.Por lo tanto, el movimiento siguiente estar compuesto de loque el planeta hubiera querido hacer ms el cambio inducido

por la accin del sol. En consecuencia, el planeta se sita enla posicin 4 en lugar de 3. Ahora nos interesa comparar las

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reas de los tringulos 23S y 24S, y me propongo demostrarque son iguales. Ambos tienen la misma base S-2. Tienentambin la misma altura? Por supuesto, pues se trata de rec-

tas paralelas comprendidas entre paralelas. La distancia de 4al segmento S-2 es la misma que la distancia de 3 al seg-mento S-2 (una vez prolongado), lo que implica que el readel tringulo S24 es la misma que la del tringulo S23. An-tes he demostrado que las reas S12 y S23 eran iguales, porlo que S12 = S24. As pues, en el movimiento orbital verda-dero del planeta, el rea recorrida durante el primer segundo

es igual al rea recorrida durante el segundo siguiente. Enconclusin, el razonamiento anterior nos permite constatar laconexin entre el hecho de que la fuerza se dirija hacia el soly el hecho de que las reas sean iguales. No es ingenioso?Pues lo he tomado prestado directamente de Newton. Hastael diagrama procede de los Principia. nicamente los sm-

bolos son distintos, porque l escriba en latn y yo he usado

nmeros rabes.Todas las demostraciones de Newton son geomtricas.

Actualmente no se utiliza este tipo de razonamiento, que hasido sustituido por el razonamiento analtico mediante sm-

bolos. Hace falta mucha habilidad para dibujar los tringuloscorrectamente, apreciar el tamao de las reas y conseguirdemostrar que son iguales. Desde entonces se han mejora-

do los mtodos analticos, que son ms rpidos y eficientes.Quiero mostrarles qu aspecto tiene el mismo razonamientocon una notacin matemtica ms moderna, en la que parallegar al resultado apetecido lo nico que se hace es escribirun montn de smbolos.

Queremos afirmar algo sobre la rapidez con que cambian

las reas, y esto lo representamos por . El rea cambia algirar el radio, y la rapidez del cambio viene dada por el com-ponente de la velocidad perpendicular al radio multiplicadopor la longitud del radio.

= r x r

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La siguiente cuestin es cmo cambia a su vez la propiatasa de cambio del rea. Sabemos que, segn nuestra ley, nodebe haber cambio. As pues, tenemos que diferenciar otravez la expresin, lo que significa utilizar un truco consistente

en poner unos puntitos en los lugares debidos, y eso es todo.Claro que hay que aprender el truco, pero todo se reduce auna serie de reglas que se han demostrado muy tiles paraeste fin. As que escribimos:

A = r X r + r X r = r X F/m

El primer trmino nos dice que debemos tomar el compo-nente de la velocidad perpendicular a la velocidad. Es cero,porque la velocidad va en la misma direccin que s misma.La aceleracin, que es la segunda derivada (r con dos pun-tos) o la derivada de la velocidad, es la fuerza dividida por lamasa.

Todo ello nos dice que la tasa de cambio de la tasa decambio del rea es la componente de la fuerza perpendicularal radio; pero, si la fuerza va en la direccin del radio, enton-ces

r x Flm = 0 o = 0

tal como dijo Newton; es decir, no hay fuerza perpendicularal radio, lo que significa que la tasa de cambio del rea no

cambia. Esto es una simple ilustracin del poder del anlisismatemtico. Newton saba ms o menos cmo efectuar esteanlisis con una notacin algo distinta, pero prefiri escri-

birlo todo en forma geomtrica porque quiso facilitarle alpblico la lectura de sus obras. El fue el inventor del clculoinfinitesimal, el tipo de matemticas que acabo de utilizar.

Este es un buen ejemplo de la relacin de las matemti-

cas con la fsica. Cuando en fsica un problema se complica,solemos acudir a los matemticos, quienes pueden haberloestudiado y, en consecuencia, concebido una lnea argumen-

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tal que podemos seguir. Si no es as, no nos queda ms reme-dio que inventar nuestro propio razonamiento, que luegoofrecemos a los matemticos. Cualquiera que razone cuida-dosamente sobre cualquier cosa est contribuyendo al cono-

cimiento de lo que ocurre cuando se piensa en algo; si sehace abstraccin de ese algo y se enva el resultado a la fa-cultad de ciencias exactas, en seguida se convierte en unarama de las matemticas. As pues, las matemticas son unmodo de pasar de un conjunto de proposiciones a otro. Suutilidad en fsica es evidente, porque tenemos tantas manerasdistintas de hablar de las cosas, y las matemticas nos permi-

ten obtener consecuencias, analizar situaciones e ir cam-biando las leyes para conectar las distintas proposiciones. Enrealidad, la cantidad total de cosas que sabe un fsico es muy

pequea. Tiene nicamente que recordar las reglas de trasla-cin de una cosa a otra, porque todas las afirmaciones sobretiempos iguales, sobre la fuerza en la direccin del radio,etc., estn interrelacionadas por el razonamiento.

Surge ahora una cuestin interesante. Existe un sitiopor donde empezar a deducir todo lo dems? Existe en lanaturaleza algn orden o forma particular que nos permitadecir que un cierto conjunto de proposiciones es ms funda-mental, o que otro conjunto es ms derivado? En matemti-cas hay dos enfoques que, para nuestros propsitos, voy allamar tradicin babilnica y tradicin griega. En las escue-

las babilnicas de matemticas el estudiante aprenda practi-cando con numerosos ejemplos hasta que retena la regla ge-neral. Adems aprenda tambin mucha geometra, muchas

propiedades de los crculos, el teorema de Pitgoras, frmu-las para las reas de los cubos y tringulos. Tambin se le

proporcionaba cierto nivel de argumentacin que le permi-tiera pasar de una cosa a otra. Haba tablas numricas que le

permitan resolver ecuaciones complicadas. Todo estabaorientado a calcular cosas. Pero Euclides descubri que exis-ta un procedimiento por el cual podan obtenerse todos losteoremas de la geometra a partir de un conjunto muy simple

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de axiomas. La actitud babilnica (o lo que yo llamo mate-mticas babilnicas) consiste en saberlo todo sobre los dife-rentes teoremas y muchas de las conexiones existentes entreellos, pero sin haber constatado nunca que todo puede obte-

nerse a partir de un puado de axiomas. La matemtica msmoderna se centra en unos axiomas y unas demostracionesdentro de una estructura muy definida de convenios sobre loque puede y no puede aceptarse como un axioma.

La geometra moderna parte de axiomas como los de Eu-clides, aunque perfeccionados, y a continuacin deduce todoel sistema. Por ejemplo, no cabe esperar que un teorema

como el de Pitgoras (segn el cual el cuadrado de la hipote-nusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de loscuadrados de los catetos) se acepte como un axioma. Porotra parte, desde otro enfoque de la geometra, el enfoque deDescartes, el teorema de Pitgoras es un axioma.

As que lo primero que debemos aceptar es que inclusoen matemticas se puede partir de sitios distintos. Si todos

estos teoremas estn conectados mutuamente por el razona-miento, entonces no puede decirse stos son los axiomasms fundamentales, porque si partiramos de otros tambin

podramos llegar a los mismos resultados. Es como un puen-te construido sobre muchos pilares, todos ellos conectadosentre s ms de lo necesario, de manera que si alguna de lasconexiones se desmorona, siempre se pueden restablecer loscontactos por otro camino. La tradicin matemtica contem-

pornea consiste en elegir unas ideas concretas como axio-mas por algn tipo de convencin y construir a partir de ellastoda la estructura. Lo que he llamado enfoque babilnicoconsiste en decir: Resulta que conozco esto, y tambinaquello, y quiz tambin eso otro; y de ah voy sacndolotodo. Maana quiz me olvide de algo que es verdad, perorecordar otra cosa que es cierta, de manera que podr re-

construirlo todo otra vez. No s nunca dnde se supone quetengo que comenzar o dnde tengo que terminar. Me bastacon recordar siempre lo suficiente para que, si me olvido de

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algo o algunas partes se pierden, pueda reconstruirlo todo denuevo.

El mtodo de partir siempre de axiomas no es muy efi-ciente si se trata de obtener teoremas. Si se est trabajando

con algn problema geomtrico es poco prctico volver a em-pezar cada vez desde los axiomas. Es cierto que si slo pu-diramos recordar unas pocas cosas, con recordar los axio-mas podramos siempre llegar a cualquier parte, pero esmucho ms eficiente obrar de la otra manera. Decidir culesson los mejores axiomas no es necesariamente la manerams eficiente de ir de un sitio a otro. En fsica necesitamos el

mtodo babilnico y no el euclidiano o griego. Me gustaraexplicar por qu.

El problema del mtodo euclidiano es conseguir algoms interesante o importante a partir de los axiomas. En elcaso de la gravedad, por ejemplo, lo que nos plantearamossera: es ms importante, ms bsico, o es mejor comoaxioma decir que la fuerza tiene la direccin del sol, o decir

que se barren reas iguales en tiempos iguales? Desde ciertaperspectiva, el enunciado en trminos de fuerza es mejor.Basta con expresar las fuerzas a las que nos referimos para

poder analizar sistemas de muchos cuerpos cuyas rbitas yano son elipses, porque la proposicin en trminos de fuerzanos habla de las respectivas atracciones mutuas. En este casono nos sirve el teorema en trminos de reas iguales. Por

esta razn, pienso que es la ley en trminos defuerza,y no laotra, la que debera considerarse un axioma. Por otra parte,el principio de reas iguales puede generalizarse al caso deun sistema de muchos cuerpos en trminos de otro teorema,

bastante complicado de expresar y mucho menos bonito quela proposicin inicial en trminos de reas iguales, pero queclaramente se deriva de l. Considrese un sistema con un

nmero elevado de cuerpos, por ejemplo Jpiter, Saturno, elSol y numerosas estrellas, todos en mutua interaccin, ycontmplese desde muy lejos proyectado sobre un plano (fi-gura 12). Como los cuerpos se mueven en mltiples direc-

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ciones, tmese cualquier punto y calclese el rea cubiertapor los radios trazados desde ese punto a cada uno de loscuerpos. En este clculo,

sin embargo, debe tenerse en cuenta que las masas mayorescontarn ms; para concretar, si un cuerpo pesa el doble queotro, su rea valdr tambin el doble. De manera que con-tando las reas recorridas en proporcin a la masa del cuerpo

que define el rea y sumando todas las reas, encontramos queesta cantidad total no cambia con el tiempo. Esta magnitudse denomina momento angular, y el resultado obtenido es laley de la conservacin del momento angular. Conservacinsignifica simplemente que se mantiene constante.

Una consecuencia de este resultado es la siguiente. Ima-ginemos una multitud de estrellas que caen las unas hacia lasotras formando una nebulosa o una galaxia. Al principio es-tn muy lejos, en el extremo de unos radios muy largos, mo-vindose despacio y cubriendo reas pequeas. A medidaque se van acercando unas a otras, sus distancias al centrodisminuyen, y cuando estn muy cerca sus radios sern muy

pequeos, de manera que para cubrir la misma rea por uni-dad de tiempo tendrn que moverse mucho ms rpido. Nosencontramos con que a medida que las estrellas se acercan al

centro giran cada vez ms deprisa, lo que nos permite com-prender de manera cualitativa la forma de las nebulosas espi-rales. De la misma manera podemos entender la forma en

Figura 12

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que un patinador gira en torno a s mismo. Empieza a girardespacio con una pierna extendida, pero a medida que en-coge la pierna va adquiriendo velocidad. Con la pierna ex-tendida traza cierta rea por segundo, pero cuando recoge la

pierna debe girar mucho ms rpido para cubrir la mismarea. Lo cierto es que este resultado no lo hemos demostradoen el caso del patinador: ste utiliza la fuerza de sus mscu-los, mientras que la gravedad es una fuerza distinta. Sin em-

bargo, tambin se cumple para el patinador.Pero ahora tropezamos con un problema. A menudo re-

sulta que de una parte de la fsica, como la ley de la grave-

dad, se puede deducir un principio de validez mucho msamplia. Esto no ocurre en matemticas: los teoremas no apa-recen donde no les toca. En otras palabras, si dijramos queel postulado de la fsica es la igualdad de las reas en la leyde la gravedad, de ahi podramos deducir la ley de la conser-vacin del momento angular, pero solamente para el caso dela gravedad. Sin embargo, descubrimos experimentalmen-

te que la ley de la conservacin del momento angular es deaplicacin mucho ms amplia. Newton haba establecidootros postulados a partir de los cuales poda obtener la ley deconservacin del momento angular en sus trminos ms am-

plios. Pero esas otras leyes de Newton eran falsas. En ellasno haba fuerzas,y s bastantes tonteras, los cuerpos no des-criban rbitas, etc. Sin embargo, la transformacin exacta

del principio de igualdad de reas en el principio de conser-vacin del momento angular s que es correcta. Tambin loes en el caso de los movimientos atmicos de la fsica cun-tica y, en la medida en que podemos juzgarlo, todava hoynos parece exacta. En fsica poseemos estos vastos princi-

pios que abarcan diferentes leyes y cuya derivacin no con-viene tomar demasiado al pie de la letra, porque si creemos

que un principio es vlido solamente si lo es el precedenteno seremos capaces de entender las interconexiones entre lasdiferentes ramas de lafsica.Algn da, cuando la fsica estcompleta y conozcamos todas sus leyes, quiz podamos par-

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tir de ciertos axiomas y de ah deducir todo el resto. Peromientras no conozcamos todas las leyes, podemos valemosde algunas de ellas para especular sobre teoremas que no po-demos demostrar. Para comprender la fsica hay que mante-

ner un adecuado equilibrio y tener en la cabeza las distintasproposiciones y sus interrelaciones, porque las leyes a me-nudo tienen implicaciones que van ms all de lo deducible.Esto slo dejar de tener importancia cuando se conozcantodas las leyes.

Otra cosa interesante, y muy rara, en cuanto a la relacinentre las matemticas y la fsica es el hecho de que mediante

argumentos matemticos podamos demostrar que es posibletomar puntos de partida en apariencia muy distintos para lle-gar al mismo resultado. Esto est bastante claro. En vez deaxiomas se puede utilizar alguno de los teoremas; pero en re-alidad las leyes de la fsica estn construidas de manera tandelicada que sus distintas proposiciones, aunque equivalen-tes, tienen un carcter cualitativamente tan distinto que ello

las hace mucho ms interesantes. A modo de ilustracin per-mtanme enunciar la ley de la gravedad de tres formas distin-tas, todas ellas equivalentes aunque suenen de manera muydiferente.

El primer enunciado es el de que existen fuerzas entreobjetos que cumplen la ecuacin que ya conocemos.

Cada objeto, al sentir la presencia de la fuerza, acelera ocambia de movimiento en una determinada cantidad por se-gundo. Esta es la forma normal de enunciar la ley que lla-mar de Newton. Este enunciado de la ley afirma que lafuerza depende de algo que se halla a una distancia finita.Tiene lo que llamamos un carcter no local. La fuerza sobreun objeto depende de dnde se halle otro objeto.

Quiz no les guste la idea de accin a distancia. Cmo

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puede un objeto saber lo que pasa en otro sitio? Por elloexiste otra manera, muy extraa, de expresar las leyes: enforma de campos. Es difcil de explicar, pero me gustaradarles una idea aproximada de en qu consiste. Existe un n-

mero en cada punto del espacio (se trata de un nmero, no deun mecanismo: esto es lo problemtico de lafsica,que debeser matemtica) y los nmeros cambian cuando nos despla-zamos de un sitio a otro. Si un objeto est situado en un

punto del espacio, la fuerza ejercida sobre l se dirige haciadonde el nmero cambia ms deprisa (le voy a dar su nom-

bre habitual, potencial, de manera que la fuerza va en el sen-

tido del cambio de potencial). Adems, la fuerza es propor-cional a la rapidez con que cambia el potencial a medida quenos desplazamos. sta es una parte del enunciado, aunquefalta algo, porque an no les he dicho la manera de determi-nar la variacin del potencial. Podra decirles que el poten-cial vara en funcin inversa a la distancia entre cada objeto,

pero esto significara volver a la idea de accin a distancia.

La ley puede enunciarse de otra manera, segn la cual nohay por qu saber nada de lo que ocurre fuera de una pe-quea esfera. Si se quiere saber cul es el potencial en elcentro de la esfera, basta con medir el potencial de la super-ficie de la esfera, por pequea que sea. No hay que buscarfuera de ella, basta con que sepamos cul es el potencial enun entorno y cunta masa contiene la esfera. sta es la regla.

El potencial en el centro es igual al potencial medio de la su-perficie de la esfera, menos la misma constante G que en laotra ecuacin, dividido por el doble del radio de la esfera(que denominaremos a) y multiplicado por la masa conte-nida en la esfera, siempre que sta sea lo bastante pequea.

Potencial enelcentro == potencial mediosobre la esfera (masa contenida)2a

Est claro que esta ley es distinta de la anterior, porque

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nos dice lo que ocurre en un punto en trminos de lo queocurre en un entorno muy cercano del mismo. La ley deNewton nos dice lo que ocurre en un instante del tiempo entrminos de lo que ocurre en otro instante. Nos proporciona

una manera de entender lo que ocurre de un instante paraotro, pero en trminos espaciales salta de un lugar a otro. Elsegundo enunciado es local tanto en el tiempo como en el es-

pacio, porque depende solamente de lo que ocurre en un en-torno reducido. Pero ambos enunciados son matemtica-mente equivalentes.

Existe an otra manera completamente distinta de expre-

sar la ley, distinta tanto por la filosofa que la inspira comopor el tipo de ideas a las que recurre. Acabo de mostrarlescmo se puede sortear la idea de accin a distancia si es queno les gusta. Ahora quiero presentarles una proposicin que,desde el punto de vista filosfico, es justo la opuesta. Aquno se discute en absoluto cmo se transmite el efecto de laley de un sitio a otro; como vamos a ver, el enunciado dela ley es de carcter global. Cuando se tiene cierto nmerode cuerpos y se quiere saber cmo se desplaza uno de ellos deun sitio a otro, lo que se hace es inventar una posible trayec-toria en un periodo de tiempo determinado (figura 13). Su-

pongamos que el objeto quiere ir de X a Y en una hora y que-remos saber el camino que puede seguir. Lo que hacemos esinventar varias trayectorias y calcular para cada una de ellascierta magnitud. (No quiero decirles de qu magnitud se

trata, pero, para quienes estn familiarizados con estas cues-tiones, el valor correspondiente a cada camino es la media dela diferencia entre la energa cintica y la energa potencial.)Si se calcula este nmero para dos caminos distintos obten-dremos un valor diferente para cada camino. Sin embargo,existe un camino al que le corresponde el nmero ms pe-queo posible y ste es el camino que realmente sigue la

partcula en la naturaleza! Estamos ahora describiendo la tra-yectoria real, la elipse del planeta, mediante un comentariosobre la totalidad de la curva. Hemos perdido la idea de cau-

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salidad, de que la partcula siente la atraccin y se mueve enrespuesta a ella. En vez de esto, y de forma ciertamente ma-gistral, la partcula huele todas las trayectorias, todas las po-sibilidades, y decide la que quiere seguir (escogiendo aque-lla para la cual nuestro nmero es el mnimo).

ste es un ejemplo de la diversidad de maneras, todasellas hermosas, de describir la naturaleza. Cuando se nosdice que la naturaleza debe contener un elemento de causali-dad, podemos usar la ley de Newton; cuando se nos dice quela naturaleza debe describirse en trminos de un principiomaximal o minimal, la ltima manera es la adecuada; o si seinsiste en que la naturaleza debe describirse en trminos decampos locales, bueno, pues adelante. La cuestin es: culde estas interpretaciones es la correcta? Si estas distintas al-ternativas no fueran exactamente equivalentes desde el puntode vista matemtico, es decir, si tuvieran consecuencias dife-rentes, lo que habra que hacer es determinar experimental-mente de qu forma se comporta realmente la naturaleza.Claro que, desde el punto de vista filosfico, a uno puedegustarle ms una interpretacin que otra; pero hemos com-

probado reiteradamente que todas las intuiciones filosficassobre el comportamiento de la naturaleza estn abocadas alfracaso. Lo nico que se puede hacer es examinar todas las

posibilidades, verificar todas las alternativas. Pero en el caso

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concreto que estamos considerando, las distintas teoras sonexactamente equivalentes. Matemticamente, cada una de lastres formulaciones, la ley de Newton, el mtodo de campolocal y el principio del mnimo, tiene exactamente las mis-

mas consecuencias. Entonces qu hay que hacer? Ustedesleern en todas partes que no es posible decidir cientfica-mente entre unas u otras. Esto es cierto. Cientficamente sonequivalentes. Es imposible escoger entre ellas, porque si susconsecuencias empricas son las mismas no hay forma expe-rimental posible de distinguir unas de otras. Pero psicolgi-camente son muy distintas, de dos maneras: primero, desde

el punto de vista filosfico unas gustan ms que otras, y sloa base de mucho entrenamiento es posible curarse de estaenfermedad; segundo, desde el punto de vista psicolgico sondistintas porque pierden totalmente su equivalencia cuandose trata de imaginar nuevas leyes.

Mientras la fsica sea incompleta e intentemos compren-der nuevas leyes, las distintas formulaciones posibles puedendarnos la clave de lo que puede ocurrir en circunstancias di-ferentes. En este caso dejan de ser equivalentes, porque nossugieren la forma que pueden tener las leyes de la fsica enun contexto ms amplio. Por poner un ejemplo, Einstein ad-virti que las seales elctricas no podan propagarse a unavelocidad superior a la de la luz. Pero intuy que se hallabaante un principio ms general. (Se trata del mismo juego dela imaginacin que consiste en tomar el momento angular y

generalizarlo del caso en el que se ha demostrado el princi-pio al resto de los fenmenos del universo.) Sospech Eins-tein que se trataba de algo que era verdad en todos los casos,y por lo tanto tambin en el caso de la gravedad. Si las sea-les no pueden transmitirse a una velocidad superior a la de laluz, resulta que el mtodo de describir las fuerzas como siactuaran instantneamente deja mucho que desear. Por ello,

en la generalizacin de la gravedad debida a Einstein, la for-mulacin de Newton resulta totalmente inadecuada y enor-memente complicada, mientras que el mtodo de campos es

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claro y simple, lo mismo que el principio del mnimo. Peroan no hemos escogido entre estos dos.

Resulta que en mecnica cuntica ninguno de los dos escorrecto tal como los he enunciado, pero el hecho de que

exista un principio mnimo resulta ser una consecuencia deque, a pequea escala, las partculas se comportan segn los

principios de la mecnica cuntica. La mejor ley, tal comose entiende en la actualidad, es en realidad una combinacinde ambas, y en ella se utiliza tanto el principio del mnimocomo leyes de carcter local. Actualmente creemos que lasleyes de la fsica deben poseer tanto el carcter local como el

principio del mnimo, pero en realidad no lo sabemos a cien-cia cierta. Cuando se posee una estructura que slo es co-rrecta en parte y en la que por fuerza algo tiene que acabarfallando, si se consigue enunciar esta estructura de forma

precisa con los axiomas adecuados, quiz slo falle uno deellos y se puedan mantener los dems, con lo que solamentehabr que cambiar una mnima parte. Pero si se enuncia con

otro conjunto de axiomas puede ocurrir que todos se hundanpor apoyarse precisamente en el que falla. No es posible, sinalgn tipo de intuicin, prever por adelantado la mejor ma-nera de enunciar las leyes de la fsica. Debemos tener siem-

pre

Richard Feynman Traducción de Antoni Bosch. El Carácter de La Ley Física 2000

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