Resumen: Vector Calculus (MAT1630, 2015-1)Juyoung Wang

Pontificia Universidad Catolica de Chile

Seccion I: Derivadas parciales

1: Funciones de varias variables

Funcion de n variables

Sea A el dominio de una funcion f , lo llamaremos como una funcion de n variables, si (x1, · · · ,xn) ∈U ⊂Rn con n > 1. Se denota mediante la siguiente notacion:

f : U ⊂ Rn→ R (1)

• Grafico de f :Sea f : U ⊂ Rn, definiremos el grafico de f como el subconjunto de Rn+1 y lo denotaremos como:

Gra f ( f ) = {(x1, · · · ,xn, f (x1, · · · ,xn)) ∈ Rn+1|(x1, · · · ,xn) ∈ Rn} (2)

Figure 1: Curva de nivel de R2

• Conjunto de nivel:Sea f : U ⊂ Rn→ R y sea c ∈ R, entonces el conjunto de nivel del valor c se define como aquellospuntos x ∈U para los cuales f (x) = c.

{x ∈U | f (x) = c⊂ Rn} (3)

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Limites y continuidad

• Conjunto abierto:Sea U ⊂ Rn, decimos que es un conjunto abierto, cuando:

∀x0 ∈U,∃r > 0 | Br(x0) ∈U (4)

donde:

– Br(x0) es el interior de una bola de radio r con su centro en x0. Se define como el conjunto detodos los puntos x tales que ‖x− x0‖< r. Es decir, no incluye el borde.

– ∂A es la frontera del conjunto A.

Figure 2: Disco abierto de radio r

y por convencion, diremos que un conjunto vacio es un conjunto abierto.

• Limite:Sea f : U ⊂ Rn→ R, donde U es conjunto abierto, sea x0 un punto en U o en su frontera, y sea Vuna vecindad de b ∈ R, decimos que f esta eventualmente en V con x tendiendo a x0, si existe unavecindad A de x0 tal que x 6= x0,x ∈ A y entonces x ∈U implica f (x) ∈V . Dicho de manera massimple, podemos decir que f (x) tiende a b.

limx→x0

f (x) = b (5)

– Teorema de unicidad de limite:

Si limx→x0

f (x) = b1∧ limx→x0

f (x) = b2⇒ b1 = b2. (6)

– Argumento Epsion Delta para el limite de una funcion de varias variables:Sea f : A⊂ Rn→ R una funcion dada, entonces f es continua, ssi:

∀ε > 0,∃δ > 0 | (x ∈ A∧‖x− x0‖< δ )⇒‖ f (x)− f (x0)‖< ε (7)

– Propiedades del limite:Sean f : A⊂ Rn y g : A⊂ Rn, con x0 ∈ (A∨∂A), con limx→x0 f (x) = b1 y limx→x0 g(x) = b2entonces:

∗ limx→x0( f (x)±g(x)) = b1±b2

∗ limx→x0 f (x) ·g(x) = b1 ·b2

∗ limx→x0f (x)g(x) =

b1b2

, ssi b2 6= 0

∗ c · limx→x0 f (x) = c ·b1, donde c ∈ R.

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• Continuidad:Sea x0 ∈ D, sea f : D⊆ Rn→ R una funcion y D un conjunto abierto, diremos que f es continuaen x0 si:

limx→x0

f (x) = f (x0) (8)

Utilizando esto, podemos definir la siguiente propiedad: Sea f ∧g funciones continua en x0 ∈ Dcon f : D⊆ Rn→ R, entonces:

– f ±g tambien es continua en x0.

– f ·g tambien es continua en x0.

– fg tambien es continua en x0, ssi g(x0) 6= 0.

• Tecnicas para verificar la existencia del limite:Primeramente, deberiamos verificar si los valores de los limites iterados son distintos:

lim(x,y)→(x,0)

f (x,y) ∧ lim(x,y)→(0,y)

f (x,y) (9)

– Si son distintos: No existe el limite.

– Si son iguales:

∗ Usar y = kx ∨ y = xm.

∗ Usar una conversion adecuada, haciendo que no sea cero, el valor del denominador, comopor ej: (tn, tm),(tn− t, t),etc.

∗ Usar Teorema de Sandwich.

∗ Usar coordenadas polares: Si logramos obtener algun valor definido mediante estaconversion, entonces el limite tendra ese valor. Sino, no podemos afirmar nada acerca dellimite.

x = r · cos(θ) ∧ y = r · sin(θ) (10)

∗ Usar el argumento ε y δ .

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Diferenciabilidad

• Derivada parcial:Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U ⊂ Rn → R una funcion con valores reales, entoncesdefiniremos la derivada parcial de f respecto a j-esimo variable como:

fx j(x1. · · · ,x j, · · · ,xn) =∂ f∂x j

(x1. · · · ,x j, · · · ,xn) = limh→0

f (~x+h · e j)− f (~x)h

(11)

y esto lo podemos calcular, tomando las variables distintas de x j como constantes.

– Gradiente:Se define como un vector compuesto por las derivadas parciales de las variables de una funcionf : Rn→ R.

∇ f = [∂ f∂x1

, · · · , ∂ f∂xn

] (12)

∗ Propiedad: Sea z = f (x,y) = p(x)+q(y)+r(x,y) una funcion, esto lo podemos despejarde manera que S : p(x)+ q(y)+ r(x,y)− z = 0. De esta manera, definiremos la nuevafuncion F(x,y,z) = p(x)+ q(y)+ r(x,y)− z, donde S es una superficie de nivel de lafuncion F con c = 0. Con esto, podemos afirmar que:

∇F(x0,y0,z0) =⊥ S (13)

Es decir, ∇F es el vector normal de la superficie S.

– Tecnica para evaluar la diferenciabilidad y la continuidad de una funcion:

∗ Para una funcion no cortada:Basta con verificar si en todos los puntos, sus derivadas parciales son continuas.

∗ Para una funcion cortada:Para que una funcion sea diferenciable en el punto (x0,y0), debe satisfacer las siguientescondiciones:

· Condicion 1: ∃ fx∧ fy

· Condicion 2:

lim(h,k)→(0,0)

f (x0 +h,y0 + k)− f (x0,y0)−h · ∂ f∂x (x0,y0)− k · ∂ f

∂y (x0,y0)√

h2 + k2= 0 (14)

Para ver si una funcion es continua en un punto dado, tenemos que calcular el limitede esa funcion respecto al punto dado.

∗ Propiedades:Si f ,g son diferenciables en (x0,y0), entonces:

· f ±g ∧ f ·g son diferenciables en (x0,y0).

· fg es diferenciable en (x0,y0), ssi g(x0,y0) 6= 0

∗ Resumen:

fx∧ fy continuas→ f es diferenciable→ f es continua.Satisface la Condicion 1 y la Condicion 2→ f es diferenciable.

f no es continua→ f no es diferenciable.

Esta relacion es unidireccional. No cumple hacia el otro lado.

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– Teorema de Schwartz (O de Clairaut):Sea f una funcion de clase C 2, entonces:

fxy = fyx (15)

donde:

fxy =∂

∂y∂ f∂x

=∂ 2 f

∂y∂x∧ fyx =

∂

∂x∂ f∂y

=∂ 2 f

∂x∂y(16)

– Plano tangente en 3D:Sean fx j =

∂ f∂x j

continuas ∀ j ∈ N, sea t el vector tangente a la curva C de f parametrizados,definiremos el plano tangente al punto P(x0,y0,z0) como:

z = f (x0,y0)+ [∂ f∂x

(x0,y0)] · (x− x0)+ [∂ f∂y

(x0,y0)] · (y− y0) (17)

o tambien lo podemos escribir como:

∇F(x0,y0,z0) · (x− x0,y− y0,z− z0) = ( fx, fy,−1) · (x− x0,y− y0,z− z0) (18)

donde F(x0,y0,z0) es una funcion que tiene la funcion f como su superficie de nivel.

• Derivada direccional:Sea f : D⊆ Rn→ R, se define la derivada de f en la direccion del vector~v en el punto ~x0 como:

ddx

f (x0 + t~v)∣∣∣t=0

= ∇ f (~x0) · v̂ = ‖∇ f (~x0)‖ · ‖v̂‖ · cos(α). (19)

y dado que el valor de ‖∇ f (~x0)‖ ∧ ‖v̂‖ son fijas, esto tomara su maximo valor cuando cos(α) = 1.Es decir, la derivada direccional de una funcion tomara su maximo valor, cuando el sentido delvector dado y el sentido del gradiente de la funcion son iguales.

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• Maximos y minimos:Sea ~x0 un punto critico, donde ∇ f (~x0) = 0, podemos calcular si es maximo local o minimo local deuna funcion f : D⊆ Rn→ R, verificando si cumplen con las siguientes condiciones:

Sea H una matriz Hessiana:

H =

(fxx fxy

fyx fyx

)(20)

Minimo local: ∇ f~x0 =~0 ∧ fxx(P0)> 0 ∧ det(H(P0))> 0Maximo local: ∇ f~x0 =~0 ∧ fxx(P0)< 0 ∧ det(H(P0))> 0Punto silla: det(H(P0))< 0

– Tecnicas para buscar maximos y minimos:

∗ Analizar en el interior de la funcion, buscando los puntos criticos, y luego, revisar lamatriz Hessiana.

∗ Buscar en la frontera de la funcion. Para esto, tenemos que parametrizar la frontera enuna variable.

– Metodo de Lagrange:Sea f : D⊆Rn→R una funcion de clase C 2, sea S : {g(~(x0)) = c} una superficie o una curvade nivel, sea x0 ∈ D un punto tal que g(x0) = c, con ∇g(x0) 6=~0,

Si f |S( f restringida en S) posee un maximo o un minimo local en x0, entonces se tieneque:

∇ f (~x0) = λ ·∇g(~x0) (21)

donde λ es el Multiplicador de Lagrange.

Este metodo nos permite encontrar los maximos y los minimos de una funcion restringidapor la otra. Sin embargo, mediante esta manera, no podemos saber la cantidad de los puntoscriticos que podemos calcular mediante la ecuacion dada.

∗ Teorema:Si f |S posee un maximo o un minimo en el punto ~x0, entonces ∇ f (~x0)⊥ S en el punto ~x0.

Figure 3: Explicacion grafica del metodo de Lagrange

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