ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES

DIFERENCIALES

FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

Convolución de fuciones

Y Transformada de

Laplace

Objetivos

Definir la convolución de dos funciones.

Calcular la transformada inversa de Laplace,

aplicando el teorema de convolución.

Aplicar los métodos estudiados a diferentes

problemas aplicativos del contexto real.

Producto convolutivo

Sean 𝒇 y 𝒈 funciones continuas por partes para

𝒕 ≥ 𝟎. La convolución de 𝒇 y 𝒈, que se denota

𝒇 ∗ 𝒈, se define como:

𝒇 ∗ 𝒈 𝒕 = 𝒇 𝝉𝒕

𝟎

𝒈 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉

Propiedades:

Sean 𝒇; 𝒈; y 𝒉 tres funciones continuas por partes

para 𝒕 ≥ 𝟎, se cumple:

1) 𝒇 ∗ 𝒈 = 𝒈 ∗ 𝒇

2) 𝒇 ∗ 𝒈 + 𝒉 = 𝒇 ∗ 𝒈 + (𝒇 ∗ 𝒉) 3) 𝒇 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝒇 ∗ (𝒈 ∗ 𝒉) 4) 𝒇 ∗ 𝟎 = 𝟎

Teorema de convolución

Sean 𝒇 y 𝒈 funciones continuas por partes para 𝒕 ≥ 𝟎

y de orden exponencial 𝜶; sean 𝑭 𝒔 = 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔) y

𝑮 𝒔 = 𝓛 𝒈 𝒕 (𝒔) entonces:

𝓛 (𝒇 ∗ 𝒈)(𝒕) 𝒔 = 𝑭 𝒔 . 𝑮(𝒔)

O, de manera equivalente:

ℒ−𝟏 𝑭 𝒔 𝑮(𝒔) 𝒕 = (𝒇 ∗ 𝒈)(𝒕)

Ejercicios

1) Use el teorema de convolución para determinar:

a) 𝓛−𝟏𝟏

𝒔𝟐+𝟏𝟐

b) 𝓛−𝟏𝒔+𝟏

(𝒔𝟐+𝟏)𝟐

Solución

Ejercicios

2) Use el teorema de convolución para evaluar cada

una de las siguientes transformadas de Laplace:

a) 𝓛 𝒆−𝒓𝒕

𝟎𝒄𝒐𝒔𝒓𝒅𝒓

b) 𝓛 𝒆𝟐𝒕 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝒕

Solución:

Ejercicios

3) Determine 𝓛−𝟏𝒆−𝟐𝒔

𝒔𝟐 y bosquejar su gráfica.

4) Halle la solución de: 𝒕𝒚′′ − 𝒚′ = 𝒕𝟐, 𝒚 𝟎 = 𝟎

5) Halle 𝒇(𝒕) para la siguiente ecuación integral:

𝒇 𝒕 + 𝒇 𝝉 𝒅𝝉𝒕

𝟎

= 𝟏

Solución

Bibliografía

2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau

Xie

3. Fundamentals of Differential Equations – Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur

1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de

modelado- Dennis G. Zill

4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime

Escobar A.