1. Introducción: Las leyes que rigen el equilibrio

mecánico de los cuerpos se obtienen como un caso particular de las leyes generales de

la dinámica newtoniana con la sola condición de hacer que todas las aceleraciones

valgan cero. Por lo tanto, que la estática es un capítulo más de la física es aceptado

con total naturalidad desde que Newton estableció las bases de la mecánica clásica.

Pero estas dos disciplinas, estática y dinámica, tienen historias diferentes, con

encuentros y desencuentros, hasta el Renacimiento. Aristóteles, en su física, consideró

al movimiento como el concepto central "ya que la naturaleza es un principio de

movimiento y de cambio (...) no podemos dejar de investigar qué es el movimiento"

(Física, III, 1, 200b1-3). El concepto de movimiento para Aristóteles es mucho más

amplio que el de desplazamiento o cambio de lugar. Además dicho concepto está

fuertemente comprometido con las concepciones metafísicas y cosmológicas de su

filosofía. Aristóteles y los aristotélicos en la Antigüedad, en la Edad Media y en el

Renacimiento se ocuparon en particular del movimiento local como un aspecto

particular de la física. Esa ciencia del movimiento local presentaba ciertos conflictos

con la observación, mientras que la estática parecía ajustarse perfectamente a ella. En

la física aristotélica, ocupa un lugar central la causa final que sería la respuesta a la

pregunta: ¿Hacia dónde se dirige espontáneamente la naturaleza para producir el

orden y la perfección que la caracterizan? Entonces para Aristóteles el movimiento

natural es un proceso teleológico. En particular, el movimiento natural local no es

un estado de las cosas ante el cual éstas se muestran indiferentes, sino un proceso que

conduce a actualizar el lugar propio que corresponde a cada cuerpo en el cosmos

ordenado espacialmente. La estática, dentro de las ciencias griegas de la Antigüedad,

estaría ubicada dentro de las ciencias matemáticas aplicadas, también llamadas

Estática

Unidad n°2

"ciencias mixtas". El objeto de tal disciplina es el estado de equilibrio mecánico de los

cuerpos. Las leyes de la estática fueron establecidas inicialmente por Arquímedes

utilizando una geometrización de los fenómenos y formuladas en un sistema

axiomático riguroso. El rigor del enfoque de Arquímedes se logró a costa de restringir

el tipo de problemas tratados y los conceptos básicos empleados (cf. Solís & Sellés,

2005).Entre Aristóteles y Arquímedes está el texto Problemas mecánicos. Esta obra

está incluida en el corpus aristotélico ya que durante mucho tiempo se creyó que el

autor era el propio Aristóteles. Se supone que se escribió después de la muerte del

estagirita y antes del nacimiento de Arquímedes y que el autor pudo haber sido un

discípulo de aquel. En dicha obra del siglo III a.C. encontramos planteados, como su

nombre lo indica, un conjunto de problemas o preguntas referidas a cuestiones

relativas a las máquinas simples. Desde entonces se inició un camino que con el correr

de los siglos llevaría a reajustar la relación entre matemática y física, para lo que

contribuyo, en particular en la estática, los diversos intentos de deducir las leyes de la

estática a partir de principios dinámicos basados en la física aristotélica.

2. Definición: Estática es un vocablo de origen griego, de “statikos” que significa

estacionado o quieto o en equilibrio. Algo decimos que está estático, cuando se halla

inmóvil, carente de movimiento. Lo opuesto a la estática, es la dinámica, que implica

movimiento.

La estática es una rama de la ciencia Física que estudia cómo actúan las fuerzas sobre

los cuerpos quietos.

La estática es la parte de la mecánica que se ocupa del estudio y como llegar

al equilibrio de las fuerzas en oportunidad de un cuerpo en reposo. Por esta cuestión

es que la estática resulta ser una materia indispensable en carreras y trabajos como los

que llevan a cabo la ingeniería estructural, mecánica y de construcción, ya que siempre

que se quiera construir una estructura fija, como ser, un edificio, en términos un poco

más extendidos, los pilares de un rascacielos, o la viga de un puente, será necesario e

indiscutible su participación y estudio para garantizar la seguridad de aquellos que

luego transiten por las mencionadas estructuras.

3. Suma de vectores: para sumar dos o más vectores pueden utilizarse varios métodos:

métodos gráficos (triángulo, del polígono o el paralelogramo) y el método analítico

(matemático).La regla del paralelogramo consiste en trazar por el extremo de cada

vector una paralela al otro. El vector resultante de la suma tiene su origen en el origen

de los vectores y su extremo en el punto en el que se cruzan las dos paralelas que

hemos trazado. Esta regla equivalente a unir el origen de un vector con el extremo del

otro.

Aunque en física es común encontrarse una suma de cantidades vectoriales, y aunque

podemos recurrir a diversos métodos como el del triángulo, del polígono o el paralelogramo,

es importante tener en cuenta que la forma analítica nos conducirá a un resultado más exacto.

Ahora veamos que necesitamos para comprender por completo el método analítico, además

de resolver varios ejemplos paso a paso. Cuando tenemos más de dos vectores para

sumar, es mejor aplicar el método analítico o matemático.

Método analítico: este método consta de los siguientes pasos:

Llevar todos los vectores a un plano cartesiano haciendo que sus puntos iniciales coincidan

con el origen o centro del plano

Expresar cada vector en sus componentes rectangulares

Determinar la sumas de vectores horizontales o en x y verticales o en y

∑ Fx∑ Fy

Aplicar las fórmulas

(∑ F )2¿ (∑ Fx )2+(∑ Fy )2 Magnitud del vector resultantes

tan α=∑ Fy

∑ Fx Dirección del vector resultante

A. Hallar la magnitud y la dirección del vector resultante de la suma de los siguientes

vectores:

a)

Si nosotros realizáramos el método grafico podríamos determinar la magnitud y la

dirección de la resultante a+b

Sin embargo al realizar la medida nos sus valores serán muy imprecisos, por esto es

importante utilizar el método analítico.

Obtengamos las componentes rectangulares de cada vector

Ahora determinemos las sumatorias de las componentes horizontales (x) y verticales

(y)

∑ Fx=85cos35 °−75cos65°=37,93

∑ Fy=85 sen35°−75 sen 65°=−19,22

(∑ F )2¿ (∑ Fx )2+(∑ Fy )2

(∑ F )2¿(37,93)2+(−19,22)2

√(∑ F )2 = √(37,93)2+(−19,22)2

(∑ F )=¿ 42,52 Magnitud del vector resultante.

Por ultimo determinemos la dirección del vector resultante.

tan α=∑ Fy

∑ Fx

tan α=−19,2237,93

α = -26,87° Dirección del vector resultante

b.

Ahora determinemos las sumatorias de las componentes horizontales (x) y verticales

(y)

∑ Fx=36cos50 °−120cos 60°−28cos40 °=−58,31

∑ Fy=−36 sen50°−28 sen40 °+120 sen60 °=58,35

(∑ F )2¿ (∑ Fx )2+(∑ Fy )2

(∑ F )2¿(−58,31)2+(58,35)2

√(∑ F )2 = √(−58,31)2+(58,35)2

(∑ F )=¿ 82,49 Magnitud del vector resultante.

Por ultimo determinemos la dirección del vector resultante.

tan α=∑ Fy

∑ Fx

tan α=−58,3158,35

α = -44,98° Dirección del vector resultante

c.

Ahora determinemos las sumatorias de las

componentes horizontales (x) y verticales

(y)

∑ Fx=16cos60 °+8cos 40°−12cos48 °=6.10

∑ Fy=16 sen60 °−8 sen40 °+12 sen48 °=17,63

(∑ F )2¿ (∑ Fx )2+(∑ Fy )2

(∑ F )2¿(6,10)2+(17,63)2

√(∑ F )2 = √(6,10)2+(17,63)2

(∑ F )=¿ 18,66Magnitud del vector resultante.

Por ultimo determinemos la dirección del vector resultante.

tan α=∑ Fy

∑ Fx

tan α=17,636.10

α = 70,91° Dirección del vector resultante

4. Condiciones de equilibrio: para que un cuerpo este “quieto” o en equilibrio no debe

trasladarse ni debe rotar. Estas dos condiciones básicas del equilibrio son, por un lado

que el resultado de la suma de fuerzas sea nulo y por el otro, que el resultado de la

suma de momentos respecto a un punto sea nulo. Analicemos estas dos condiciones

en detalle:

A. Equilibrio de traslación: Para que un cuerpo se halle en equilibrio se necesita

que la suma vectorial de todas las fuerzas que sobre él actúan, sea nula. Esta

condición es llamada equilibrio de traslación y puede entenderse

matemáticamente así:

∑ F=0

Si la fuerza resultante es cero entonces ∑ Fx=0 y∑ Fy=0 , ya que para la

fuerza resultante se cumple que:

(∑ F )2¿ (∑ Fx )2+(∑ Fy )2

A. Un objeto de 300N cuelga sostenido de tres cuerdas, como se observa en la figura.

Encuentre las tensiones en las cuerdas A, B Y C.

Resolvamos primero la situación de la cuerda de abajo

∑ Fx=¿¿N0 tiene

∑ Fy=T 3−300N=0

T 3=300 N

Continuamos con la parte de superior

Ahora determinemos las sumatorias de las componentes horizontales (x) y verticales (y)

1.∑ Fx=T 1 cos50 °−T 2cos 40 °=0

2.∑ Fy=T1 sen50 °+T 2 sen40 °−300N=0

En 1. T 10,64−T 20,77=0

EN 2. T 10,77+T20,64−300N=0

Resolvamos este sistema por eliminación

1.0,77T 10,49−T20,59=02.−0,64−T 10,49−T 20,41+192 N=0

−T2.1+192N=0−T2.+192N=0192 N=T 2.

Para obtener el valor de la otra tensión reemplazamos el valor de T 2.=192 Nen cualquiera

de las ecuaciones del sistema, preferiblemente la más simple, en este caso en 1.

T 10,64−T 20,77=0

T 10,64−192 N .0,77=0

T 10,64−147,84 N=0

T 10,64=147,84 N

T 1=147,84N0,64

T 1=231N

B. Un bloque de 20 N se suspende por medio de una cuerda sin peso, que se mantiene

formando un ángulo de 60º con la vertical, mediante una cuerda horizontal. Hallar la

magnitud de las tensiones T1 y T2

Ahora determinemos las sumatorias de las componentes horizontales (x) y verticales (y)

1.∑ Fx=T 2−T 1 cos30°=0

2.∑ Fy=T1 sen30 °−20N=0

En 1 T 2−T 1 .0,87=0

EN 2. T 10,5−20N=0

Resolvamos este sistema despejando y sustituyendo ya que una de las ecuaciones es muy

simple o se despeja de manera directa.

En 2.T 10,5−20N=0

T 10,5=20N

T 1=¿ 20N0,5

T 1=40N

Por último sustituimos T 1=40N en la ecuación 1.

T 2−T 1 .0,87=0

T 2=T 1 .0,87

T 2=40N .0,87

T 2=348 N

La obra del matemático y físico alemán Albert Einstein le ha convertido en uno de los científicos

más famosos de la historia. Sus teorías acerca de la relatividad introdujeron un nuevo y

revolucionario modo de pensar en el espacio, el tiempo y el Universo. También estableció la

relación entre masa y energía con la famosa ecuación E=mc2.

Einstein adquirió la ciudadanía estadounidense en 1940. Se

opuso a la guerra a pesar de que, paradójicamente, sus teorías

fueron utilizadas para fabricar bombas nucleares, las armas

más destructivas que han existido jamás. Einstein vio muchas

de sus teorías confirmadas experimentalmente mientras vivió.

C. El sistema mecánico mostrado se encuentra en equilibrio. Sabiendo que: W = 15N y P

= 25 N, determinar la reacción que genera P.

Iniciemos con el cuerpo de la izquierda

1. ∑ Fy=T−W=0

Ahora el cuerpo de la derecha

2. ∑ Fy=T +N−P=0

Tenemos entonces un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas T y N

EN 1. T=W

T=15N

En 2. T+N−P=0

N=P−T

N=25N−15N

N=10N Reacción que genera P por estar sobre una superficie

D. El sistema mecánico mostrado se encuentra en equilibrio. Sabiendo que: W = 15N y P

= 13N, determinar la tensión en la cuerda (1)

Iniciemos con el cuerpo de la izquierda

1. ∑ Fy=T 2−W=0

T 2=W

T 2=15N

Ahora consideremos el cuerpo de la derecha

∑ Fy=T 2−T 1−P=0

T 2−T 1−P=0

T 2−P=T 1

15N−13N=T1

2N=T 1

E. En la figura la esfera está en equilibrio. La tensión en la cuerda JK mide 13 N y la

reacción normal de la pared mide 5N. No hay rozamiento. Hallar el peso de la esfera.

Ahora determinemos las sumatorias de las componentes horizontales (x) y verticales (y)

1.∑ Fx=T X−5N=0

2.∑ Fy=TY−W=0

Nos queda un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas T X , T y y W.

Debemos encontrar una tercera ecuación, en este caso aplicaremos el teorema de

Pitágoras

3.(13N )2=T X2+TY

2

Iniciemos la solución con la ecuación 1.

T X−5N=0

T X=5N

En 3.(13N )2=T X2+TY

2

(13N )2=(5N )2+TY2

169N2=25 N2+TY2

169N2−25N2=T Y2

144N2=T Y2

√144N2=√T Y2

12N=T Y

EN 2.

T Y−W=0

T Y=W

T Y=12N

F. El sistema mecánico mostrado se encuentra en equilibrio. Sabiendo que W = 20N y P

= 40N. Hallar el peso del bloque R. No hay rozamiento.

Empecemos el análisis de la estructura por la izquierda o parte inferior

Para W

∑ Fy=T 1−W=0

T 1=W

T 1=20N

Para P

2.∑ Fx=T2−T 1−Psen30 °=0

3.∑ Fy=N−Pcos30 °=0

En 2. T 2−T 1−Psen30 °=¿0

T 2=T 1+Psen30 °

T 2=20N+40Nsen30°

T 2=20N+20N

T 2=40N

EN 3. N−Pcos30 °=0

N=Pcos30 °

N=40Ncos 30°

N=34,64N

Para R

4. ∑ Fy=T 2−R=0

T 2=R

40N=R

G. Determine el valor de la tensión y la masa m2 para que el sistema se conserve en equilibrio. Se sabe que m1=24kg

Para m1

1.∑ F x=−¿T+m1gsen30 °=0

2.∑ F y=N−gcos30 °=0

Para m2

3.∑ F y=T−m2g=0

En 1. −¿T+m1gsen30 °=0

m1gsen30 °=T

24kg.10mseg2

sen30 °=T

120N=T

En 3. T−m2g=0

T¿m2g

Tg=m2

120N

10 mseg2

=m2

120 kg mseg2

10 mseg2

=m2

12kg=m2

H. Determine el valor de la tensión y las masas sabiendo que el sistema está en equilibrio y que m2=3m1−10kg

Para m1

1.∑ F x=T−m1gsen30 °=0

2.∑ F y=N 1−m1gcos30 °=0

Para m2

3.∑ F x=−¿T+m2gsen 45 °=0

4.∑ F y=N2−m2gcos45 °=0

Pero m2=3m1−10kg

∑ F x=−¿T+(3m1−10 kg)gsen 45°=0

∑ F x=−¿T+3m1gsen 45°−10kggsen45 °=0

En1.T−m1gsen30 °=0En3.−T +3m1gsen45 °−10kggsen45°=0

−m1gsen30 °+3m1gsen 45°−10kggsen45 °−m1gsen30 °+3m1gsen 45°=10kggsen45 °m1g (−sen30°+3 sen45 ° )=10 kggsen45 °

m1g=10kggsen45 °

(−sen30 °+3 sen 45 ° )

m1=10 kggsen45 °

g (−sen30 °+3 sen 45 ° )

m1=10kg .10 m

seg2sen45 °

10 mseg2

(1,62 )

m1=70,71kg m

seg2

16,2 mseg2

m1=4,36kg

Como m2=3m1−10kg entonces:

m2=34,36kg−10kg

m2=3,08 kg

Ahora encontremos el valor de la tensión

T−m1gsen30 °=0

T¿m1gsen30 °

T= 4.36kg .10mseg2

sen30 °

T = 21,8 N

I. Determine los valores de las la tensiones en las cuerdas y las masas para que el sistema esté en equilibrio, teniendo en cuenta que m2=2m1, m3=4m1+20kg, m4=5m1−10 kg

Para m1

1.∑ F x=T 1−T 2+m1gsen45 °= 0

2.∑ F y=N 1−m1gcos45 °= 0

Para m2

3.∑ F x=T 2−T 3−m2gsen30 °= 0

4.∑ F y=N2−m2gcos30 °= 0

Para m3

5. ∑ F x=T 3−m3gsen30°=0

6.∑ F y=N 3−m3gsen30 °=0

Para m4

7.∑ F x=−T 1+m4gsen 45°=0

8.∑ F y=N 4−m4 gsen45 °=0

Este sistema contiene demasiadas incógnitas y teniendo en cuenta que se desprecia el rozamiento y que no preguntan por las fuerzas normales, podemos no tener en cuenta las ecuaciones que involucran las fuerzas normales lo cual simplifica el problema.

En1.T1−T 2+m1gsen 45 °=0En3.T 2−T3−m2gsen30 °=0En5.T 3−m3gsen30 °=0En7.−T 1+m4gsen 45°=0

¿¿

m1 gsen45 °−m2gsen30°−m3gsen30 °+m4gsen 45 °=0¿

gsen45 ° ¿)−gsen30 °(m2+m3) = 0

Teniendo en cuenta que m2=2m1, m3=4m1+20kg y m4=5m1−10kg y sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos:

gsen45 ° ¿)−gsen30 °(2m1+4m1+20kg) = 0

gsen45 ° ¿)−gsen30 °(6m1+20kg) = 0

6 gsen45 ° m1−10gsen 45° kg−6 gsen30 °m1−20 gsen30 ° kg=0

6 gm1 (sen 45°−sen30° )=10gkg (sen45 °+2 sen30 °)

m1=10gkg (sen 45 °+2 sen30 °)6 g ( sen45 °−sen30 ° )

m1=13,74 kg.

Ahora encontremos el valor de las otras masas.

m2=2m1=2.13,74 kg=27.48

m3=4m1+20kg=4.13,74 kg+20 kg=74,96 kg

m4=5m1−10kg=5.13 .74 kg−10 kg=58,7 kg

Por ultimo encontremos el valor de las tensiones.

En 7. −T 1+m4gsen 45°=0

m4 gsen45 °= T 1

58,7kg10.mseg2

sen45°= T 1

415,07N= T 1

En 1. T 1−T 2+m1gsen45 °= 0

T 1+m1gsen 45°= T 2

415,07N+13,74kg10mseg2

sen45°= T 2

512,23N= T 2

En 5. T 3−m3gsen30°=0

T 3=m3gsen30 °

T 3=74,96 kg10mseg2

sen30°

T 3=374,8N