Schrodinger Deducido de Hamilton Jacob

7/30/2019 Schrodinger Deducido de Hamilton Jacob

1/62

1

CONTENIDO

PG.

INTRODUCCION.....3

1. DESCRIPCIN Y JUSTIFICACIN DEL PROBLEMA....5

1.1. JUSTIFICACIN....5

1.2. OBJETIVOS....6

1.2.1. OBJETIVO GENERAL6

1.2.2. OBJETIVOS ESPECFICOS.

2. MARCO TERICO6

2.1. LA ECUACIN DE SCHRDINGER DEPENDIENTE DEL TIEMPO.7

2.2. CALCULO DE VARIACIONES..10

2.2.1. PRINCIPIO DE LA INTEGRAL .......10

2.3. PRINCIPIO DE HAMILTON Y ECU. DE LAGRANGE....15

2.4. FUNCIN DE HAMILTON....17

2.5. ECUACIN DE HAMILTON DEL MOVIMIENTO...19

2.6. PRINCIPIO DE FERMAT..21

2.6.1. CAMINO PTICO21

2.6.2. PROPAGACIN RECTILNEA DE LA LUZ EN MEDIOSHOMOGNEOS.....22

2.6.3. LEY DE LA REFLEXIN...22

2.6.4. LEY DE LA REFRACCIN24

2.6.5. CONSERVACIN DEL PLANO DE INCIDENCIA..25

2.6.6. REVERSIBILIDAD DE LAS TRAYECTORIAS LUMINOSAS26

2.7. COORDENADAS CCLICAS.27


2/62

2

2.7.1. TRANSFORMACIONES CANNICAS.28

2.8. TEORA DE HAMILTON-JACOBI..30

2.8.1. ECUACIONES DE HAMILTON-JACOBI, PARA LA FUNCINPRINCIPAL DE HAMILTON....31

2.9. CORCHETES DE LAGRANGE Y POISSON......37

2.9.1. CORCHETES DE POISSON...39

2.9.2. PROPIEDADES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES DE LOSCORCHETES DE POISSON .....40

2.9.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO EN FUNCIN DE LOS

CORCHETES DE POISSON .41

2.10. APROXIMACIN GEOMTRICA Y PTICA DE RAYOS...42

2.10.1. ONDAS LOCALMENTE PLANA....42

2.10.2. EIKONAL Y VECTOR RAYO...42

2.10.3. ECUACIONES FUNDAMENTALES......44

2.10.4. EL PRINCIPIO DE FERMAT....46

2.11. MECNICA Y PTICA GEOMTRICA..48

3. PROPUESTA DE HAMILTONJACOBI...52

3.1.APROXIMACIN PTICA....53

3.2. ONDAS DESDE EL FORMALISMO CLSICO DE HAMILTON-

JACOBI....55

4. CONCLUSIN...61

5. BIBLIOGRAFA..62


3/62

3

INTRODUCCIN

En el proceso histrico, se puede decir que la raz de la moderna mecnicacuntica ondulatoria pudo surgir desde de la teora clsica de Hamilton-Jacobi.

De los principios variacionales en mecnica clsica es muy conocido el principiode mnima accin de Hamilton el cual plantea que entre todo los caminos posiblesentre dos puntos compatibles con la conservacin de la energa, el sistema fsicose mueve siguiendo una trayectoria muy particular para la cual el tiempo esmnimo o estrictamente un extremal.

En nuestro trabajo es primordial este principio, as como tambin el tratado de lastransformaciones cannicas, deduccin de las ecuaciones del movimiento deHamilton a partir de las transformaciones de legendre, ya que este ser un trabajodesde un punto de vista histrico de alrededor de la tercera dcada del siglodiecinueve.

As el principio de mnima accin nos recuerda el principio de Fermat de pticageomtrica (el rayo luminoso recorre entre dos puntos un camino tal que el tiempoen recorrerlo es el mnimo).

Es aqu donde encontramos una primera conexin entre el punto figurativo de una

partcula clsica y un rayo de luz segn lo define la ptica geomtrica, los cualeseran ya aceptados por la comunidad cientfica de la poca del siglo diecinueve.

Los notables descubrimientos de este siglo nos proporcionan innumerables ejemplos

de fenmenos inexplicables para la mecnica clsica. La estabilidad de los tomos,el efecto fotoelctrico y el experimento de Davisson-Germer sobre la difraccin de

electrones, por no citar ms que unos pocos, son ejemplos de este tipo, todos loscuales han servido para el progreso de nuestra visin actual sobre el

comportamiento de las partculas en microscpicas regiones del espacio. La falla

de la fsica clsica en la explicacin del comportamiento aparentemente extrao de

las partculas en microscpicas regiones del espacio, no es tan sorprendente si se

tiene en cuenta que dicha ciencia supone naturaleza que es continua y quecuando tratamos del comportamiento de los bloques fundamentales que forman la

naturaleza, las partculas fundamentales, estamos investigando aquellas partes de

la misma que son discontinuas. Por esta razn y por otras que se exponen

extensamente en los libros de mecnica cuntica, la fsica clsica no se puede

aplicar al estudio de la creacin, destruccin o interaccin entre las partculas

fundamentales.


4/62

4

Las partculas de las microscpicas regiones del espacio exhiben propiedades

ondulatorias. Por otra parte, la radiacin electromagntica que, en fsica clsica,

se describe como una onda, tiene caractersticas corpusculares (o de partculas).

El punto de vista actual de la mecnica cuntica, sugerido por primera vez en

1924 por Luis de Broglie, es que es natural que las partculas, en ambienteapropiado, muestren propiedades ondulatorias y que, a su vez, las ondas exhiban

propiedades corpusculares. Existe, entonces, una dualidad de onda y partcula enla naturaleza siendo la descripcin corpuscular el lmite de la ondulatoria. La

descripcin corpuscular es buena, cuando el movimiento ondulatorio se desarrolla

en una regin en que las propiedades que influyen en la propagacin de la onda

no varan apreciablemente en distancias iguales a la longitud de onda. Desde este

punto de vista la analoga entre ptica geomtrica y mecnica, es ms

fundamental de lo que podemos inferir. 1

En este trabajo monogrfico el objetivo principal es imaginar como puede ser

justificada la ecuacin ondulatoria de schrdinger. Desde el punto de vistahistrico del desarrollo de las ideas, en este proceso de justificacin se utiliza laaproximacin ptica, utilizando ondas desde el formalismo clsico de Hamilton-Jacobi.

1Walter Hauser, INTRODUCCION A LOS PRINCIPIOS DE MECANICA.


5/62

5

1. DESCRIPCIN DEL PROBLEMA

1.1. JUSTIFICACIN

El propsito es ayudar a construir un proceso histrico que le sirva a losestudiantes, a profundizar un poco sobre cmo pudo ser la deduccin de laecuacin cuntica del modelo ondulatorio de Erwin Schrdinger, utilizando una

justificacin desde una perspectiva histrica de la mecnica clsica.

Dado que esta ecuacin viene como un principio en algunos libros de mecnicacuntica.

Aqu se pretende mostrar una justificacin histrica que arranca desde la terceradcada del siglo diecinueve con las ecuaciones fisicomatemtica de Hamilton-Jacobi.


6/62

6

1.2. OBJETIVOS

1.2.1. OBJETIVO GENERAL.

A partir de la ecuacin clsica de Hamilton-jacobi, justificar laecuacin ondulatoria de schrdinger.

1.2.2. OBJETIVOS ESPECFICOS.

Encontrar la ecuacin clsica de Hamilton-jacobi, a partir deprincipios variacionales de mnima accin.

Mostrar un smil entre la ptica geomtrica (el rayo de luz) y la teorade la partcula de Hamilton-jacobi


7/62

7

2. MARCO TERICO

2.1. LA ECUACIN DE SCHRDINGER DEPENDIENTE DEL TIEMPO.

Se comienza primordialmente el estudio haciendo una comparacin entremecnica clsica y su lmite hacia la mecnica cuntica.

La mecnica clsica es solo aplicable a partculas macroscpicas. Parapartculas microscpicas es necesaria una nueva forma de mecnica que sedenomina mecnica c unti ca.

En mecnica clsica el movimiento de una partcula est gobernado por lasegunda ley de Newton:

= = 22 (1)Donde es la fuerza que acta sobre la partcula, es su masa, es el tiempoy es la aceleracin, que viene dada por = = = 22 , donde es la velocidad.

La funcin de energa potencial mecanoclsica de una partcula que se mueveen una dimensin satisface la relacin

, / = (, ) (1.2)Por ejemplo, para una partcula que se mueve en el campo gravitacional terrestretenemos / = = , e integrando queda que = + , donde es una constante arbitraria. Se puede fijar el cero de energa potencial como sequiera. En este caso, tomando = 0 se obtiene; = para la funcin deenerga potencial.

La palabra estado en mecnica clsica significa la especificacin de la posicin yla velocidad de cada partcula del sistema en algn instante del tiempo, ms laespecificacin de las fuerzas que actan sobre las partculas.

Aunque la mecnica clsica es determinista, en el ao de 1970 se tuvoconocimiento de muchos sistemas mecanoclsicos (por ejemplo, en un pnduloque oscila bajo la influencias de la gravedad, sujeto a una fuerza de friccin y unafuerza impulsadora peridica) muestra un comportamiento catico para ciertosconjuntos de valores de los parmetros del sistema. En un sistema catico, el


8/62

8

movimiento es extraordinariamente sensible a los valores inciales de lasposiciones y velocidades de las partculas y a las fuerzas que actan sobre ellas.

Conociendo de forma exacta el estado presente de un sistema mecanoclsico,podemos predecir su estado futuro. Sin embargo, el principio de incertidumbre deHeisenberg pone de manifiesto que no podemos determinar simultneamente la

posicin y la velocidad exacta de una partcula macroscpica, de modo que nopodemos disponer de la informacin que requiere la mecnica clsica parapredecir el movimiento futuro del sistema. En mecnica cuntica debemoscontentarnos con algo menos que la prediccin completa del movimiento futuroexacto del sistema.

Para describir el estadode un sistema en mecnica cuntica, postulamos laexistencia de una funcin de las coordenadas de las partculas, llamada funcinde ond a o funcin de estado.Para un sistema unidimensional de una sola partcula tenemos = (, ).Para encontrar el estado futuro de un sistema mecanocuntico conociendo elestado presente necesitamos una ecuacin que nos diga cmo cambia la funcinde onda con el tiempo. Para un sistema un idimen sion al de un a sola partculase pos tula que esta ecuacin es.

( ,). = 22 2( ,).2 + (, )(, ). (1.3)Donde la constante (- barra) se define como

2 (1.4)En el concepto de funcin de onda y la ecuacin que proporciona la forma en laque dicha funcin cambia con el tiempo fueron descubiertos en 1926 por el fsicoaustraco Erwin Schrdinger (1887-1961). En esta ecuacin, conocida comoecuacin de sch rding er dependient e del tiempo (o ecuacin de ond a de

sch rding er), = 1, es la masa de la partcula, y (, ) es la funcin deenerga potencial del sistema.

La funcin de onda contiene toda la informacin que es posible conocer sobre el

sistema. No podemos esperar que proporcione una especificacin concreta dela posicin, como hace el estado mecanoclsico del sistema. La respuestaconcreta a esta pregunta la dio Max Born poco despus de que Schrdingerdescubriese su ecuacin. Born postulo que la cantidad

(, )2 (1.5)


9/62

9

Da laprobabilidadde encontrar a la partcula en el tiempo t en la regin del eje xcomprendida entre y + . La funcin (, )2 es la densidad deprobabi l idadde encontrar a la partcula en cualquier lugar infinitesimal del eje x

Para establecer una relacin precisa entre

(

,

)

2 Y las medidas

experimentales, tendramos que tomar un gran nmero de sistemas idnticos nointeraccionantes, en el mismo estado , y medir la posicin de la partcula encada uno de ellos. Si tenemos sistemas y realizamos medidas, y si esel nmero de medidas en las que encontramos a la partcula entre y + ,entonces el cociente

da la probabilidad de encontrar la partcula en y + , de este modo,

= (, )2

La representacin grafica (1/) / frente a proporciona la densidad deprobabilidad 2 en funcin de .La mecnica cuntica tiene una naturaleza bsicamente estadstica. Conociendoel estado del sistema, no podemos predecir el resultado de una medida de laposicin con certeza. Solo podemos predecir las probabilidades de obtener losdiferentes resultados posibles.

La mecnica cuntica no afirma que un electrn se encuentre repartido en unaamplia regin del espacio, como ocurre con una onda. Son las distribuciones deprobabilidad (funciones de onda) que se utilizan para describir el movimiento del

electrn, las que tienen un comportamiento ondulatorio y satisfacen una ecuacinde ondas.

Aunque es algo extrao que se haya escrito la ecuacin de schrdinger sinprobarla. Estableciendo analogas entre ptica geomtrica y mecnica clsica porun lado, y la ptica ondulatoria y la mecnica cuntica por otro lado, pudemostrarse la verosimilitud de la ecuacin de schrdinger. La ptica geomtrica esuna aproximacin a la ptica ondulatoria, valida cuando la longitud de onda de laluz es mucho ms pequea que el tamao del aparato. Del mismo modo, lamecnica clsica es una aproximacin a la mecnica cuntica, valida cuando lalongitud de onda de la partcula es mucho ms pequea que el tamao delaparato. Resulta plausible, por tanto, derivar una ecuacin apropiada para lamecnica cuntica a partir de la mecnica clsica, basndonos en la relacinexistente entre las ecuaciones de la ptica geomtrica y la ondulatoria2.

2Ira N. Levine (Qumica Cuntica quinta edicin. Pg. 7)


10/62

10

2.2. ALGUNAS TCNICAS DEL CLCULO DE VARIACIONES

2.2.1. PRINCIPIO DE LA INTEGRAL

Antes de demostrar que las ecuaciones de LaGrange se deducen del principio demnima accin de Hamilton3, debemos hacer una digresin acerca de los mtodosdel clculo de variaciones, ya que uno de los principales problemas de este clculoes hallar la curva para la cual una integral curvilnea dada tenga un valorestacionario.

Consideramos esencialmente el problema en forma unidimensional: Consideremosprimordialmente una funcin (, , ) definida sobre una curva = ()entre dos valores 1 y 2, donde = .Queremos encontrar una curva particular ()tal que la integral curvilnea dela funcinentre 1 y 2,

= (, ,)21 , = (2)tenga un valor estacionario relativo a las curvas que difieren infinitesimalmente de

la funcin (). La letra desempea el papel de parmetro o variableindependiente, y solo consideramos curvas variadas para las cuales

(

1) =

1 ,

(2) = 2Y caminos variados en el problema de extremos unidimensionales.

X

Planteemos el problema en una forma que nos permita utilizar los mtodosconocidos del clculo diferencial para hallar los puntos estacionarios de una

3La deduccin se toma del libro Mecnica Clsica (GHOLDSTEIN) capitulo 2.


11/62

11

funcin. Comodebe tener un valor estacionario para la curva correcta (camino)relativa a toda curva prxima, la variacin debe ser cero relativa a algn conjuntoparticular de curvas vecinas sealadas por un parmetro infinitesimal . Talconjunto de curvas podramos representarlas por

(

,

), representado a

(

, 0)

al camino correcto.

Si tomamos como ejemplo la eleccin de una funcin cualquiera (x) que seanule en = 1 y = 2 un conjunto de posibles curvas variadas sera

(,) = (, 0) + () (2.1)Por sencillez, supongamos que tanto la curva () como la funcin auxiliar() sean funciones continuas y sin singularidad entre 1 y 2, con primera ysegunda derivadas continuas en el mismo intervalo. Para cualquiera de talesfamilias de curvas paramtrica, la integral ser tambin funcin de : () = (,), (,), 21 (2.2)Y, (

)=0 = 0 es la condicin de obtencin de un punto estacionario.Por los mtodos usuales de derivacin bajo el signo de integracin tenemos:

= { fy y + f 21 } (2.3)Considerando la segunda de esta integrales

f

21 = f

2y

21 E integrando por parte tenemos

= = .


12/62

12

= dd () = =

f

.

2

1 = f

2

1 - ()2

1 Las condiciones impuestas a todas las curvas variadas son las que pasan por los

putos (1 , 1),(2, 2) y por tanto en 1 y 2 se anular la derivada parcial de yrespecto a . La ecuacin anterior se reduce a f dx = ()

21

21

Por tanto la ecu. (2.3.) tendr la forma

= { fy . y () x2x1 } = (fy ) 2x1 , aplicando la condicin de valor estacionario

=0 = f

y y

0x2

x1 =0 (2.4)Obtenemos una ecuacin muy conocida en el clculo de variaciones, podemosentonces aplicar a la ecu. (2.4.) el llamado lema fundamental del clculo devariaciones que dice que si

Mx.21 (x) = 0 (2.5)

para todas las funciones arbitrarias (x) continas hasta la segunda derivada,Mx deber ser idnticamente nula en el intervalo

1 ,

2

. La ecuacin (2.5)

puede entonces ser vlida solamente si M

x

se anula en un punto elegido

arbitrariamente, la que demuestra que Mx debe ser nula en todo el intervaloDe la ecu. (2.4) y del lema fundamental se deduce por tanto, que slo puedetener un valor estacionario si

= 0 (2.6)


13/62

13

La cantidad diferencial ( )0 = (2.7)

representa el apartamiento infinitesimal de la curva variada respecto a la curvacorrecta

(

) en el punto

y por tanto corresponde al desplazamiento virtual (de

aqu la notacin). Anlogamente, la variacin de respecto al camino correctopuede designarse(

)0 = (2.8)La aseveracin de que es estacionaria para el camino correcto podr, pues,escribirse de la forma

= = 021

La ecuacin anterior se puede escribir as exigiendo que y(x) satisfaga laecuacin diferencial (2.6).

El problema fundamental del clculo de variaciones se generaliza fcilmente alcaso en que la funcin sea funcin de varias variables independientes y desus derivadas i, todas funcin de la variable paramtrica . entonces unavariacin de la integral, = f1x,2x, ,1x, 2x, , x21 (2.9)Como en el razonamiento anterior, considerando a funcin de un parmetro que rotula un posible conjunto de curvas (,). As, podemos introducir haciendo

1, = 1, 0 + 1()2, = 2, 0+ 2()3(,) = 3(, 0 ) + 3() (2.10)

. . .

. . ., = , 0+ ()


14/62

14

Donde 1(, 0), 2(,0),, etc. Son soluciones del problema de extremos(aobtener) y 1, 2 , etc, son funciones de independientes que se anulan en lospuntos terminales y que son continuas hasta la segunda derivada, pero que por lodems son completamente arbitraria.

El clculo tiene ligar como antes, la variacin de se escribe = ( f . + i )21 (2.11)Integrando por partes el segundo miembro de la sumatoria

=

,

=

x

= ddx () , = = 21 = 21 21 La primera parte de la integral se anule debido a que todas las curvas pasan porlos puntos terminales fijos. Sustituyendo en la ecuacin (2.9)

queda

= 21 ,Donde la variacin es = ( )0

Como las variables

son independientes, las variaciones

tambin lo sern.

Luego por una ampliacin del lema fundamental ecu. (2.5), la condicin que lavariacin de la integral sea cero exige que se anulen los coeficientes porseparados de las ,

= 0 = 1,2,3, , (2.12)


15/62

15

Estas ecuaciones representan la generalizacin de (2.6) apropiada para variasvariables y se conocen con el nombre de ecuaciones diferenciales de Euler-LaGrange. Sus soluciones son curvas para las cuales la variacin de una integralde la forma dada en (2.9) se anula.

Para los fines de este trabajo, es suficiente lo que hemos deducido hasta aqu, ycontinuamos con enunciar un principio muy importante en mecnica clsica, y quederiva del principio variacional.

2.3. PRINCIPIO DE HAMILTON Y ECU. DE LAGRANGE

En este captulo se deducirn las ecuaciones de LaGrange utilizando el principiode Hamilton. El principio de Hamilton es un principio integral4 que describe el

movimiento de los sistemas mecnicos para los cuales todas las fuerzas puedenderivar de un potencial escalar generalizado que puede ser funcin de lascoordenadas velocidad y del tiempo, y se enuncia de la siguiente manera.

El movimiento del sistema entre el tiempo t1 y el tiempo t2 es tal que la integralcurvilnea es

= 21 (2.3.1)dnde = , tiene un valor estacionario para el camino correcto. En otraspalabras, podemos decir que entre todos los caminos posibles por los cuales el

punto representativo del sistema en el espacio de las configuraciones podra ir desu posicin en el instante t1 a su posicin en el instante t2, recorrer en larealidad el camino para el cual el valor de la integral (2.3.1) sea estacionario.

Esta definicin es muy usual en dinmica clsica y se conoce con el nombre depropiedad fundamental integral de accin. Podemos resumir el principio deHamilton diciendo que el movimiento es tal que la variacin de la integralcurvilnea para 1 y 2 fijos, es nula:

=

(q1,

2

1q2,

, qn ,

,

1,

2 ,

,

)

= 0 (2.3.2)

4Tomado del GHOLDSTEIN, pag. 44


16/62

16

La que la integral del principio de Hamilton

= (qi , , ) 21

Tiene exactamente la forma estipulada en (2.9) con las transformaciones

,

,

(

,

,

)

Y las ecuaciones de Euler- LaGrange correspondientes a la integral seconvierten entonces en las ecuaciones de LaGrange del movimiento,

L = 0 i= 1, 2, 3 n (2.3.3)Y se han demostrado las ecuaciones del movimiento de LaGrange a partir delprincipio de Hamilton para sistemas mecnicos.

Camino del punto representativo

del sistema en el espacio de las

configuraciones.


17/62

17

2.4. FUNCIN DE HAMILTON

En esta parte deduciremos el teorema de conservacin que conlleva a la funcinconstante del movimiento de Hamilton para sistemas mecnicos con fuerzasconservativas5.

Partiendo de la ecuacin de Lagrange (2.3.3).

L = TU TU =0 (2.4.1)Donde ( , , ) es la energa potencial y = , son las fuerzas generalizadas en trminos de .El trabajo realizado por las fuerzas generalizadas para cambios infinitesimales delas coordenadas generalizadas es:

= = La ecu (2.4.1) indica que para un desplazamiento infinitesimal se tiene que:

U

= T

o U T = 0

T + T d = 0

q = 0 (2.4.2)

Donde = , es el lagrangiano del sistema y utilizando la relacin.

5Introduccin a los principios de mecnica (Walter Hauser)


18/62

18

= - = - Se expresa la ecu. (2.4.2) as

q = 0 q + = 0 + = 0

L

+

= 0

Ya que , , = + q + . Ahora si el lagrangiano nocontiene explcitamente el tiempo, significa que

= 0 , entonces (2.4.3) L = 0 (2.4.4)

Que da el teorema de conservacin

L = . (2.4.5)La derivada parcial del Lagrangiano con respecto a la velocidad generalizada es lacantidad de movimiento generalizado , (llamado tambin cantidad demovimiento cannico); por tanto la ecu. (2.4.5) en funcin de las cantidades demovimiento generalizado expresa que siempre que se satisfaga la ecu. (2.4.3) lacantidad L es una cte. del movimiento.Esto es siempre que el Lagrangiano no sea una funcin explcita del tiempo, la

funcin. = P L (2.4.6)Denominada Hamiltoniano del sistema es una constante del movimiento.


19/62

19

2.5. ECUACIN DE HAMILTON DEL MOVIMIENTO

Con la funcin de Hamilton ya en nuestro conocimiento, el siguiente paso esdeducir las ecuaciones dinmicas del movimiento de Hamilton.

La variacin de la ecu. (2.4.6) es

= = + (2.5.1) = + = q + (2.5.1a)Para valores de , , que satisfacen = (2.5.2)

Los trminos ,de la ecu. (2.5.1a) se anulan no quedando ningn termino en en el segundomiembro lo que implica que;

= 0 (2.5.3)Ya que se limito al empleo de aquellos valores de , , que satisfacen a(2.5.2). Por otro lado como el Hamiltoniano est en funcin de , , y texplcitamente, esto es , , , implica entonces = q + q q + p . + (a)Como = 0 por (2.5.3) y comparando con la ecu. (2.5.1) tenemosentonces = (b)Como la diferencial de (a) es igual a la de (b) entonces =


20/62

20

q + p . + = Obtenindose entonces

H = = (2.5.4)H = = (2.5.5) = = , > 0 (2.5.6)

La ecu. (2.5.3) demuestra lo que se quera demostrar y que para valores de

, , que satisfacen la ecu. (2.5.2), la funcin Hamiltoniana puedeconsiderarse funcin de , , . Empleando ahora las ecu. del movimientode Lagrange, la ecu. (2.5.4), se escribe as.

= (2.5.7)Que junto con la ecu. (2.5.5)

= Constituyen las ecuaciones del movimiento de Hamilton.


21/62

21

2.6. PRINCIPIO DE FERMAT

Otros de los principios importantes de la fsica, anlogo al principio deHamilton, es el muy mencionado principio de Fermat de la fsica ptica, yque tambin pertenece a la categora de los llamados principios variacionales.

Para dilucidar el principio de Fermat, debemos definir primero lo que es elcamino ptico.

La definicin de este principio ser enunciado en la unidad APROXIMACINGEOMTRICA Y PTICA DE RAYOS (Pg. 45).

2.6.1. CAMINO PTICO.

En un medio homogneo con cierto ndice de refraccin . sean A y B, losextremos de un tramo R sobre un rayo de luz luminoso; sea

la

velocidad de propagacin de la onda en el punto M y la longitudelemental MM del rayo. M B

R M A

El tiempo que tarda la onda en recorrer ser, = () = () ,Durante este tiempo la luz recorre en el vacio un camino

= = () = Recibe el nombre de camino ptico entre A Y B la longitud del tramo Rdada por la integral

= = .


22/62

22

El principio de Fermat nos dice entre todos los caminos posibles que puede tomarla luz para ir de un punto A, a otro punto B, esta recorre el camino ms corto, elque le tome menos tiempo6(este principio se profundiza en la secc. 2.10.4)

De esta formulacin se derivan las cinco leyes ms fundamentales de laptica geomtrica que son:

1) La propagacin rectilnea de la luz en medios homogneos.2) La ley de la reflexin.3) La ley de la refraccin.4) La conservacin del plano de incidencia.5) La reservisibilidad de las trayectorias luminosas.

Veremos cmo se aplica la condicin del principio de Fermat para demostrarsolo las tres primeras leyes, las otras dos restantes solo se enunciaran dadoque no es de importancia para nosotros su demostracin.

2.6.2. PROPAGACIN RECTILNEA DE LA LUZ EN MEDIOSHOMOGNEOS.

La condicin de camino ptico mnimo establecido por el principio deFermat exige que en medios homogneos el camino recorrido por la luzcuando esta va de un punto A, a otro punto B, sea una recta, por seresta la distancia ms corta entre estos puntos.

Y fig. (1)

A (0,yA)

B (xB,yB)

X

Algunos caminos pticos entre los punto A y B, despus de reflejarse la luz en un espejoplano.

2.6.3. LEY DE LA REFLEXIN.

Supongamos que muchos rayos de luz salen del punto A, e inciden sobreuna superficie plana, que en este caso ser un espejo plano, y sepropagan hasta el punto B. fig. (1). Se quiere determinar, de todos los

6Tomado de ptica, curso de ciencias fsica (R. Annequin y J. Boutigny)


23/62

23

caminos pticos posibles, el que seguir la luz para ir de A hasta B previareflexin en el espejo.

A (0,yA) B(xB,yB)

1 ' 2fig. (2)

La funcin camino ptico ser:

= 1 + 2 = (1 + 2) , donde1 = 2 + 2 Y 2 = ( )2 + 2 = (2 + 2 + ( )2 + 2 )El principio de Fermat requiere que se cumpla la condicin

= 0As derivando la funcin camino ptico e igualando a cero tenemos:

=

2 +

2 ( )

(

)2 +

2

= 0

2 + 2 =( )( )2 + 2 ()

De la figura (2) se observa que:


24/62

24

sin = 1 = 2+ 2 y sin = ()2 = ()()2+2 De manera que la ecu. (a), puede expresarse como

sin = sinLo que establece la ley de la reflexin, es decir = .2.6.4. LEY DE LA REFRACCIN.

La siguiente figura indica los posibles caminos que podra seguir la luz alpropagarse de A. a B. previa refraccin en un dioptrio plano que separa dosmedios de ndices n y n, con n


25/62

25

Realizando como en caso de la reflexin la funcin camino ptico ser:

= 1 + 2 = 2 + 2 + ( )2 + 2Derivando e igualando a cero como lo exige la condicin de mnimocamino ptico ;

= 2+ 2 ()()2+2 = 0, donde 2+2 = ()

()2+2.en la fig. (4) se puede observar que;

sin = 2+ 2 Y sin

=

(

)

()2+ 2Sustituyendo estos valores en la ltima ecuacin tenemos sin = sin , que es la famosa ley de la refraccin.2.6.5. CONSERVACIN DEL PLANO DE INCIDENCIA.

La conservacin del plano de incidencia es consecuencia inmediata de lacondicin de mnimo del principio de Fermat.

Si entre dos puntos A y B trazamos todas las trayectorias posibles queinciden sobre la superficie de separacin, el principio de Fermat obliga quela ms corta este contenida en el plano de incidencia.

Para cualquier otra trayectoria que no est contenida en el plano deincidencia, siempre es posible encontrar una proyeccin sobre l, ms cortaque la considerada inicialmente, tanto para el caso de la reflexin fig. (5),como de la refraccin fig. (6).


26/62

26

2.6.6. REVERSIBILIDAD DE LAS TRAYECTORIAS LUMINOSAS.

Otra consecuencia del principio de Fermat es la reversibilidad de lastrayectorias luminosas, ya que si la trayectoria en una direccin determinada

es mnima, la trayectoria en sentido opuesto tambin lo ser.


27/62

27

2.7. COORDENADAS CCLICAS

En la teora clsica de Hamilton7, las coordenadas cclicas son aquellas que nointervienen explcitamente en el Lagrangiano; y segn las ecuaciones de

LaGrange, su momento conjugado ser constante si se anula, y tambin se anulara, por tantos, las coordenadas cclicas tampoco figuran en lahamiltoniana. Recprocamente, si una coordenada no aparece en la , sumomento conjugado es constante. Sin embargo, cuando alguna coordenada (p.ej. ) es cclica, la lagrangiana como funcin de y es

= (1, 2, . . . ,1, 1, 2 , , , )En ella siguen apareciendo todas las velocidades generalizadas que en general,sern funciones del tiempo.

El problema, que es necesario resolver sigue teniendo 2n+1 grados de libertadaun cuando un grado de libertad corresponde a una coordenada cclica.

Por otra parte, en la formulacin Hamilton una coordenada cclica mereceverdaderamente la designacin de > pues en la misma situacin es cierta constante , y tiene la forma

= (1, 2 , . . . , 1,1,2 , ,1,, )La hamiltoniana describe ahora un problema con n-1 grados de libertad, quepuede resolverse completamente prescindiendo de la coordenada cclica excepto

en que se manifiesta en la constante de integracin , la cual se determina apartir de las condiciones incialesEl comportamiento de la coordenada cclica con el tiempo se obtiene integrando laecuacin del movimiento

=

7GHOLDSTEIN capitulo 8.


28/62

28

2.7.1. TRANSFORMACIONES CANONCAS

Consideramos el caso en que sea una constante del movimiento y todas las cclicas. En tal supuesto los momentos conjugados

sern todos constantes

= Cuando no sea funcin explicita del tiempo, ni las coordenadas cclicas,tendremos que: = (1, ,).En consecuencia, las ecuaciones de Hamilton para las se reducen a

= = (2.7.1)Donde son funciones solo de las y, por tanto, tambin constante en eltiempo. Las ecu. (2.7.1) admiten las soluciones inmediatas = + (2.7.2)Donde son constantes de integracin, determinadas por las condicionesinciales.En las transformaciones se considera el paso de un conjunto de coordenadas a otro nuevo mediante ecuaciones de transformaciones de la forma.

=

(

,

) (2.7.3)

As, por ejemplo, las ecuaciones de una transformacin ortogonal, o el paso decoordenadas cartesianas a polares, tambin de la forma general (2.7.3)denominada transformaciones puntuales.

Ampliando el concepto de transformacin de coordenadas para la transformacinsimultanea de las coordenadas y momentos independientes, , a otro nuevoconjunto ,con ecuaciones de transformaciones

=

,

,

=

(

,

,

) (2.7.4)

As, las nuevas coordenadas quedaran definidas no solo en funcin de lasprimitivas, sino tambin de los antiguos momentos.En el desarrollo de las mecnica Hamiltoniana solo nos interesan aquellastransformaciones para las cuales las nuevas y sean coordenadas canoncas yse verificaran estas condiciones siempre que exista cierta funcin (,, ) tal


29/62

29

que las ecuaciones del movimiento en el nuevo sistema tengan la formahamiltoniana.

=

,

=

(2.7.5)

Las transformaciones para las que se verifica (2.7.5) se llaman cannicas, y lafuncin desempea el papel de Hamiltoniana en el nuevo conjunto y las y deben ser coordenadas cannicas, que habrn de satisfacer un principio deHamilton multiplicando, de la forma:

(,, )21 = 0 (2.7.6)Al propio tiempo, las coordenadas antiguas satisfacen un principio anlogo:

(,, ) = 021 (2.7.7)La validez simultnea (2.7.6) y (2.7.7) no significa que ambos integrando seaniguales, sino que a lo sumo diferirn en la derivada total de una funcin arbitraria. La integral entre los dos extremos del trmino en cuestin es entonces

21 = 2 (1)Y la variacin de esta integra ser automticamente nula para cualquier funcin

,

pues la variacin se anula en los extremos. La funcin arbitraria se llamafuncin generatriz de la transformacin, y una vez conocida las ecuaciones detransformacin quedan determinadas por completo.

Un ejemplo de ecuaciones de transformacin. Suponga que se tiene una funcingeneratriz (,, ), los integrando de las ecuaciones (2.7.6) y (2.7.7) estnligados por la relacin

= + (, , ) (2.7.8)

Donde = + +

Entonces nos queda que


30/62

30

= + + + (

(

)

) + (

(

)

)

=

+

(2.7.9)

Considerando las y independientes, (2.7.8) solo se verificar idnticamentesi se anulan por separados los coeficientes de las y en (2.7.8); entonces

, = 0 = (2.7.9a) , = 0 = (2.7.9b) + = 0 = + (2.7.9c)

Las ecuaciones (2.7.9a) son relaciones entre , , , , que podrnresolverse para las , en funcin de , , , con ello se obtiene la primeramitad de la ecuacin de transformacin (2.7.4). Una vez establecida la relacinentre y ( , ), la ecuacin (2.7.9b), proporcionan la mitad restante de lasecuaciones de transformaciones, donde en funcin de ( , ), para completarla ecuacin (2.7.9c) que nos da la nueva relacin entre la nueva hamiltoniana yla antigua

.

Se utiliza el mismo proceso para otras transformaciones generatrices como = (,, ), (,, ), (,, )2.8. TEORA DE HAMILTON-JACOBI

Las transformaciones cannicas pueden emplearse de manera general en laresolucin de los problemas de la mecnica; Si se conserva la Hamiltoniana seobtiene una solucin pasando a nuevas coordenadas cannicas que son todas

cclicas, y al integral de esta nueva ecuacin resulta casi inmediataOtro mtodo consiste en buscar una transformacin cannica que haga pasar delas coordenadas y momentos y en un instante , a un nuevo conjunto demagnitudes constantes, por ejemplo, los 2n valores inciales 0 y 0 para = 0,en tal transformacin las ecuaciones que relacionan las variables antiguas y lasnuevas resuelven el problema:


31/62

31

= (0 ,0 , ) = (0 ,0 , )

Que proporcionan las coordenadas y los momentos en funcin de sus valoresinciales y del tiempo.

2.8.1. ECUACIONES DE HAMILTON-JACOBI, PARA LA FUNCIN PRINCIPALDE HAMILTON

Se puede asegurar automticamente que las nuevas variables son constantes enel tiempo en la hamiltoniana transformadas, K, es idnticamente nula unaconstante, las ecuaciones del movimiento son:

= = (2.8.1)Donde K se relaciona con la antigua hamiltoniana y con la funcin generatriz,

mediante la ecuacin

= +

Por tanto, ser nula si , satisface la relacin(,, t ) + = 0 (2.8.2)Por conveniencia se elige de modo que sea funcin de las antiguascoordenadas , de los nuevos momentos constantes y del tiempo; la funcingeneratriz ser ,, .Para escribir la Hamiltoniana de (2.8.2), en funcin de las mismas variablesemplearemos las ecuaciones de transformadas:

= Con lo que (2.8.2) se convierte en


32/62

32

1 , , , , 1 , , , t+ = 0 (2.8.3)

, , t = Esta es la ecuacin clave y fun damenta para el trabajo q ue se p retendedesarrol lar.Esta ecuacin con derivadas parciales, con + 1 variables 1 , , , ,constituyen la llamada ecuacin diferencial de Hamilton -Jacobi.La solucin de esta ecuacin se acostumbra a designarse por y se denominafuncin pr incip al de Hamil tonPor consiguiente una solucin completa, ha de tener

+ 1 constantes de

integracin independientes 1, , ,+1. por tanto una solucin completa de(2.8.3) ser de la forma = 1, , ,1, ,n, (2.8.4)Donde ninguna de las constante es puramente aditiva. Se tiene libertad parahacer que las constantes de integracin sean los nuevos momentos(constantes) = (2.8.5)Tal ecuacin no contradice la afirmacin hecha, de que los nuevos momentos

estn relacionados con los valores inciales de y en el instante 0 .Las ecuaciones de transformacin se escriben ahora en la formai = ,, (2.8.6)En el instante 0 , estas constituyen ecuaciones que relacionan las con losvalores inciales de y , permitiendo calcular las constantes de integracin enfuncin, de las condiciones inciales.La otra mitad de las ecuaciones de transformaciones de las que se deducen lasnuevas coordenadas constantes, adoptan la forman

=

=

,

,

(2.8.7)

Donde las constante se obtienen de modo anloga a partir de las condicionesinciales, sin ms que calcular el segundo miembro de la ecu. (2.8.7), para = 0con los valores inciales conocidos entonces se pueden resolverse lasecuaciones (2.8.7) con el fin de obtener en funcin de , ,


33/62

33

= , , (2.8.8)Lo que resuelve el problema, ya que se conocen las coordenadas en funcin deltiempo y las condiciones inciales.

La funcin principal de Hamilton es as la generatriz de una transformacin decontacto que permite el paso a coordenadas y momentos constantes; al resolver laecuacin de Hamilton-Jacobi se ha obtenido al mismo tiempo una solucin delproblema mecnico

El examen de la derivada total respecto del tiempo sirve para profundizar en elsignificado fsico de esta funcin.Dicha derivada puede calcularse a partir de la frmula

= + (2.8.9)Pues las no depende del tiempo, segn (2.8.6) y (2.8.3), esta relacin seexpresa tambin en la forma

= = (2.8.10)Por lo que la funcin principal de Hamilton difiere a lo sumo en una constante de laintegral indefinida de lagrangiana.

= + (2.8.11)Ahora bien; el principio de Hamilton se refiere a la integral definida de , y a partirde ella se resuelve el problema mediante las ecuaciones de Lagrange.

Como aclaracin de la tcnica de Hamilton-Jacobi para la resolucin de problemasmecnicos, se considera con detalles el problema del oscilador armnico lineal.

La hamiltoniana del sistema en forma general es:

= 2

2 + ()Para el caso que queremos tratar, la hamiltoniana ser: = 22 + 22

Donde K es la constante del resorte, la ecuacin de Hamilton-jacobi para este, seobtiene igualando


34/62

34

= Y sustituyendo en la hamiltoniana, la condicin de que se anule, la nuevahamiltoniana se convierte en

1

2 2 + 22 + = 0 (2.8.12)Como la dependencia explicita de respecto de , aparece solo en ltimo trmino,podr ayarse una solucin de (2.8.12) de la forma

,, = , (2.8.13)Donde es una constante de integracin.

Aplicando las respectivas derivadas y remplazando en (2.8.12)

= y = Queda

1

2 2 + 22 = 0,1

2 2 + 22 = (2.8.14)1

2

2

=

2

2

2 = 2 2 2 = 2 2 = 2 2 Integrando tenemos

= 2 2 = 2 2 (2.8.15)


35/62

35

La integral que resulta en (2.8.15) en realidad resulta innecesaria, ya que no es lo que se busca sino sus derivadas parciales.

La solucin para se obtiene a partir de las ecuaciones de transformacin (2.8.7), = = 12 2 21 2 2 = = 22

= = 22 , y que al integrar nos queda que + = (2 ) (2.8.16)Poniendo = , podemos invertir (2.8.16), con lo que obtendremos enfuncin de y , (cte. de integracin) = 2 cos ( + ), = Que es la solucin conocida del oscilador armnico. Supngase ahora que para = 0 la partcula esta inicialmente fija (0 = 0), pero desplazada de la posicinde equilibrio una distancia 0.El procedimiento directo para hallar consiste en calcular (2.8.12) para t = 0:

0 = 0 = 2 0

2

2

0 = 022

, = 022

=202

2(2.8.18)


36/62

36

La constante es por tanto la energa total del sistema.En realidad, se podra haber deducido directamente la identidad de con laenergatotal, a partir de (2.8.13) y de la relacin,

+

= 0que da

= = .Poniendo en funcin de 0 , la solucin para (ecu. (2.8.17)) se reduce a = 2 022 cos ( + ),

=

0

2 cos

(

+

),

= 0 cos ( + ),Que demuestra que = 0 en las condiciones inciales dadas.En funcin de (2.8.18) la funcin principal de Hamilton puede escribirse.

= 02 2 2022 O sustituyendo en (2.8.17)

= 22 (2 12)Ahora bien la lagrangiana es

= 22 22

2

= 222

22 = 22 2 12Por lo que es la integral respecto a de , de acuerdo con la relacin general(2.8.11)


37/62

37

2.9. CORCHETES DE LAGRANGE Y POISSON.

La siguiente deduccin no es un tanto trivial por tanto en su mayora sernenunciados que asumiremos ya demostrados8, el objetivo es representar lasecuaciones de movimiento en trminos de los corchetes de Poisson, esteformalismo matemtico para representar las ecuaciones de movimiento fueintroducido en la tercera dcada del siglo diecinueve por el fsico-matemticofrancs Simon Denis Poisson.

La condicin de invariancia de la suma de jacobianos

(,)( ,) = ( ,)( ,) puede escribirse:

( ,

)=

( ,

) (2.9.1)

donde cada uno tiene la forma de corchete de Lagrange de ,, que se definepor la igualdad., , = ( , )

La ecu. (2.9.1) expresa que los corchetes de Lagrange son invariantes respectoa las transformaciones de contacto.

Tomando como relacin general y omitiendo los subndices y ; la forma, = , (2.9.2)Y , , son coordenadas de una regin bidimensional del espacio de fases, se

puede tomar como tal regin el plano ,. Al calcular el correspondientecorchete de Lagrange de , , puede usarse cualquier conjunto decoordenadas cannicas.

Cabe as desarrollar el corchete de Lagrange en la forma

,

=

( , ,

,

,

,

)

Como las coordenadas y , son independientes se deduce que

8Para una mejor profundizacin, consultar GHOLDSTEIN mecnica clsica capitulo 8.


38/62

38

, = 0 = , (2.9.3)

De donde se deduce que

,

= 0

Y anlogamente tambin ocurrir que , = 0Ahora si tomamos a, = , = el corchete de lagrange ser , = ( )El segundo miembro del parntesis es nulo, por la ecu. (2.9.3). las derivadasparciales que figuran en este trmino, tiene los valores:

= , = El corchete de Lagrange se reduce a

, = (q q . pp ) = ( ) = (2.9.4)Las ecu. (2.9.4) son validas evidentemente para todos los conjuntos de variablescnicas y suelen denominarse corchetes de Lagrange fundamentales.


39/62

39

2.9.1. CORCHETES DE POISSON

No detendremos nuestra atencin en la deduccin de los corchetes de Poissondado que intensifica un poco ms la labor desvindonos de nuestro trabajo, por loque asumimos ya su demostracin y procedemos a enunciarlos.

Se definen por

, , = ( ) (2.9.5)Junto con la identidad

, = , (2.9.6)Existe una estrecha relacin entre los corchetes de lagrange y de Poisson.

Si se consideran nicamente como expresiones matemticas, prescindiendo decualquier significado fsico puede enunciarse el siguiente teorema, el cual soloser enunciado puesto que su demostracin requiere de mucha rigurosidadmatemtica.

Si , = 1,2, ,2, es un conjunto de 2 funciones independientes, tales quecada es funcin de las 2 coordenadas 1, , , 1 , , se tiene que ,2=1 , = = (2.9.7)

As la ecu. (2.9.7) es invariante respecto a todas las transformaciones decoordenadas sean o no cannicas.

Como funciones elegiremos el conjunto de 2 funciones1, 2 , , ,1 , 2 , , y adems haremos que las sean las y las las .Como es coordenada y es momento, las dos funciones no podrn seridnticas para ningn valor de ioj. y (2.9.7) se convierte en

, , +,

, = 0

Como , = y ,=0Para todas las coordenadas cannicas, se deduce que


40/62

40

, = 0 (2.9.8)Anlogamente, se anular tambin el corchete de Poisson de

, = 0 (2.9.9)Finalmente si = y = la suma de la ecu. (2.9.7) toma la forma ,

, + ,

, = Que se reduce a

, = , = , = (2.9.10)

2.9.2. PROPIEDADES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES DE LOSCORCHETES DE POISSON

A partir de su definicin, el corchete de Poisson de una funcin consigo misma esnulo.

[, ] = 0 (2.9.11), no depende de p, q. [,] = 0 (2.9.12)

[ + ,] = [,] + [,] (2.9.13)[,] = [,] + [,] (2.9.14)

El corchete de Poisson de la mecnica clsica le corresponde en mecnicacuntica a

2 multiplicado por el conmutador de las dos 2 magnitudes, 2


41/62

41

2.9.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO EN FUNCIN DE LOS CORCHETESDE POISSON

Si la funcin es la hamiltoniana, tendremos que , = = (2.9.15) , = (2.9.16)

Son las dos relaciones que constituyen las ecuaciones del movimiento en funcinde los corchetes de Poisson.

Tambin es posible cuantizar las ecuaciones (2.9.11)-(2.9.14) para obtener losconmutadores cunticos y cumplen con la misma algebra, pero este formalismo sesale de los propsitos de este trabajo.


42/62

42

2.10. APROXIMACIN GEOMTRICA Y PTICA DE RAYOS

Ya se ha dilucidado una parte de la mecnica clsica de Hamilton, lo suficientecomo para comenzar a darle raz a la deduccin de nuestro objetivo general. Lo

siguiente es mostrar la similitud que tiene la ptica con la mecnica, para estonecesitamos recordar algunos tratados de sobre ondas planas y los masimportante para nosotros que sera el eikonal9 o vector de rayo para frentes deondas que se propagan en medios donde el ndice de refraccin varia muylentamente.

2.10.1. ONDAS LOCALMENTE PLANA.

La onda plana tiene la propiedad fundamental de que tanto la direccin en que sepropaga como su amplitud son las mismas en todo punto del espacio y en todoinstante. En el caso de una onda real que se puede considerar plana solo

aproximadamente, en general la amplitud es funcin de las coordenadas y eltiempo, y la fase no tiene una forma tan simple como en la onda plana 10.

, = + (2.10.1) , = , (,)Donde

,

es una magnitud cualquiera que describe el campo de la onda

(campos ).

2.10.2. EIKONAL Y VECTOR RAYO

La aproximacin geomtrica implica tomar la onda no plana como localmenteplana, es decir, plana en pequea regin del espacio que se considere. Para ello

es necesario que la magnitud , vare muy poco a lo largo de una distanciadel orden de la magnitud

0

desempeando el papel de una

amplitud, en tanto que la magnitud (, ) llamada eikonal, debe ser unamagnitud grande que vare en 2 en una distancia muy pequea como es , ydesempea el papel de fase.

9Eikonal (del alemn eikonal del griego , imagen )

10Tomado del libro ptica Electromagntica capitulo 11. vol. 1.


43/62

43

En estas condiciones se pueden introducir las superficies de onda, como aquellasen las cuales todos los puntos estn en fase en un instante dado es decir, = para = . Si la onda es aproximacin plana en cada pequearegin del espacio, al igual que ocurre en una onda plana, la direccin en que se

propaga es perpendicular a la superficie de onda , = .Por tanto, la direccin de propagacin es la del gradiente que define laperpendicular a la superficie. Al mismo tiempo se puede introducir el concepto derayo como la lnea cuya tangente en cada punto coincide con la direccin de

propagacin de la onda, la de . As el vector rayo queda definido comos = , vector unitario en la direccin de propagacin de la luz. Lasconsideraciones anteriores se concretan analticamente como sigue: la fase

(

,

) de la onda localmente plana se desarrolla enserie de pequeo incrementos

espacio-temporales. Para ello se toma los orgenes de coordenadas y de tiempolocal, es decir, en el punto considerado de modo que 0 y 0 sean cero, ydespreciando los trminos de orden superior. Tomando la aproximacin lineal,entonces se puede escribir:

, = 0 0 + 0 (2.10.2)Si comparamos esta expresin con la fase de la onda plana dada en (2.10.1) quees,

, = + (2.10.3)La condicin , = , suponiendo que las derivadas se toman en el origenlocal implica:

= , ; () = , (2.10.4)Donde se apuesto de manifiesto el hecho de que el vector de onda varia deunos puntos a otros del espacio (aunque en forma suave), y la frecuencia ()hace otro tanto respecto al tiempo. Estas dos relaciones son ecuaciones bsicasque permiten tratar una onda localmente plana como una onda aproximadamenteplana.


44/62

44

En el caso importante de una onda localmente plana monocromtica, el eikonal(2.10.2) se puede escribir separando las variables de espacio y tiempo as:

,

=

0

(2.10.5)

= , y el eikonal o fase esta determinado por la longitud que tienedimensiones de longitud suele recibir el nombre de camino ptico. En este caso,la primera de las (2.10.4) toma la forma:

= 0 = 0 . (2.10.6)2.10.3. ECUACIONES FUNDAMENTALES

En general las relaciones (2.10.4) deben satisfacer la condicione 2

=2

2 ,caracterstica de toda onda plana, que en este caso se expresa: , 2 = , 2,2 (2.10.7)Este es una ecuacin en derivadas parciales de primer orden llamadas ecuacioneseikonal o tambin llamadas ecuacin fundamental de la ptica geomtrica.

En el caso de una onda monocromtica localmente plana, la (2.10.7) queda:

2 = 22 = 22 = 2 (2.10.8).Donde n es el ndice de refraccin, que en un medio inhomogneo, es una funcindel punto del medio. Haciendo explicita esta ecuacin, se tiene. 2 + 2 + 2 = 2 (2.10.9)Esta es por tanto la ecuacin del eikonal para una onda monocromtica, que

determina la fase o el camino ptico en funcin del ndice de refraccin .Segn (2.10.8) = , la (2.10.6) tambin se puede escribir como;


45/62

45

= 0 = = (2.10.10)Siendo

=

el vector unitario paralelo a

, el vector rayo (fig. 1)

fig.1

Esta ecuacin recibe el nombre de ecuacin diferencial de los rayos; y usndola

se puede obtener una expresin de la variacin de la magnitud a lo largo dela trayectoria (curva en general) de un rayo.

La derivada de respecto al arco vendr dada por;() = = = (2.10.11)Y por tanto,

= = = (2.10.12)Es decir, es el producto del ndice de refraccin por el camino recorrido por laluz en el medio; o bien, la distancia que la luz recorrera en el vaco durante el

mismo tiempo

que ha empleado en el medio material. Por esta razn, la

magnitud se denomina normalmente camino ptico.


46/62

46

2.10.4. EL PRINCIPIO DE FERMAT

Histricamente, la ptica geomtrica se desarroll a partir de un principiovariacional, el principio de Fermat como postulado nico a partir del cual se

obtienen todas las propiedades de los rayos de luz, en particular las ecuacionesfundamentales que hemos visto.

El principio de Fermat afirma que la trayectoria que sigue la luz para viajar de unpunto A hasta otro B (fig. 2), es aqulla para la cual el camino ptico asociado esel mnimo de entre todas las posibles trayectorias prximas a ella.

fig.

En particular, si se pasa de la trayectoria a la + por variacionesinfinitesimales de primer orden, el camino ptico se mantendr estacionario;

Es decir;

=

=

=

=

0 (2.10.13)

(Para rayos de luz)

Tambin recibe el nombre de principio del camino ptico mnimo o del tiempo

mnimo por ser = .El paralelismo formal entre ptica geomtrica y mecnica clsica es un tanto

gigantesco; Dado que la variable de la fase = 0 lecorresponde la variable de accin = (donde es Lagrangiano de lapartcula); a la ecuacin de los rayos le corresponde las ecuaciones de Lagrange;

a las ecuaciones de onda localmente plana le corresponden las ecuaciones deHamilton-jacobi, y en definitiva, a los rayos de luz le corresponde las trayectoriasde las partculas.


47/62

47

ptica geomtrica

= 0 = = =

Mecnica Clsica

=

= s = =


48/62

48

2.11. MECNICA Y PTICA GEOMTRICA.

Existe una interesante analoga entre la trayectoria de una partculasometida a una fuerza conservativa y la trayectoria de seguida por un rayode luz en una regin del espacio en que el ndice de refraccin es unafuncin de posicin que varia muy lentamente. Esto es, el ndice derefraccin no vara apreciablemente en una distancia igual a la longitud deonda de la luz en el medio. En esta circunstancia, la naturaleza ondulatoriade la luz no es manifestada por la onda luminosa, y su propagacin por elmedio es exactamente descrita por la propagacin de los puntos de susfrentes de onda a lo largo de las trayectorias de los rayos normales adichos frentes.

Cuando un rayo de luz pasa de un medio con determinado ndice derefraccin a otro de diferente ndice, lo hace de acuerdo con la ley deSnell. Esta ley establece

2 fig.1Rayo de luz 1 1 2

Que la cantidad permanece constante, siendo el ngulo queforma la trayectoria del rayo con la normal a la superficie que separa losdos medios y el ndice de refraccin del primer medio considerado(figura 1).

Esta ley nos permite determinar grficamente la trayectoria de un rayo deluz a travs de un medio cualquiera. Subdividiendo si es posible, la regin

por la que se propaga el rayo en cierto nmero de superficies de ndicesde refraccin constante, determinado por

,, = 0,, +, = 0,1,2,,(Figura 2a), donde 0(, , ) es la superficie de ndice constante que pasapor la posicin inicial del rayo y es un cambio infinitesimal del ndice;


49/62

49

0 0 + 2 0 + 4 0 + 12 0 + 52

(a) (b)

0 + 0 + 3 0 + 32 0 + 72

fig. 2. Mtodo grafico para determinar trayectorias de rayos.

Podemos valorar aproximadamente el ndice de cada regin por su valormedio en toda la regin (figura(2b)). Entonces, el paso del rayo por elmedio, se determina aproximadamente por la trayectoria discontinua queseguira el rayo en la regin discontinua de la figura (2b). esta trayectoriase determina aplicando la ley de Snell en cada frontera de discontinuidad.

Por el movimiento de una partcula en un campo de fuerzas conservativas,vemos que hay una formula anloga a la ley de Snell. Consideremos unapartcula que se mueve de una regin a otra en la que la energapotencial cambia discontinuamente de

1 a

2 a medida que la partcula

atraviesa la frontera entre las dos regiones (figura(3)).

fig.3

1 1 22

1 2 11 = 22

Un cambio de la energa potencial de la partcula provoca un cambio en suvelocidad, producido por la variacin de la componente de la velocidadnormal a la superficie en que la energa potencial cambia discontinuamente.El efecto de la discontinuidad en la funcin de energa potencial esequivalente al impulso de energa en la direccin normal a la


50/62

50

superficie de discontinuidad. Este impulso hace que se modifique la energacintica de la partcula en la cantidad = = 1 2, lo queorigina una variacin en la componente de la velocidad normal a lasuperficie de discontinuidad. Pero la componente tangencial permanece

invariable, de modo que 11 = 22Donde 1 2 son los ngulos que forman los vectores velocidad de lasdos regiones con la normal a la superficie (figura 3).

1 < 2 < 3 < 4 1 > 2 > 3 > 4

fig.4. Medio convergente. fig.5. Regin convergente.

La magnitud del vector velocidad en los dos regiones se halla utilizando el

principio de conservacin de la energa, que nos dar la ecuacin 11 = 22 Se debe entender claramente que, en los problemas en que el ndice de

refraccin, (,, ) y la funcin (,, ) tienen la mismadependencia funcional de la posicin, la trayectoria de un rayo de luzcuya posicin inicial y cuya direccin de propagacin coinciden con las deuna partcula de energa total ser la misma que la trayectoria de lapartcula.

Cualitativamente, por ejemplo, encontramos que los rayos de luz de unfrente de onda que se propagan en una regin en que las superficies dendice constante son curvas, y varan como se indica en la figura(4), securvaran uno hacia el otro.

Un medio de este tipo recibe el nombre de medio convergente.


51/62

51

Anlogamente en una regin en que las superficies de energa potencialconstante varan como se muestra en la figura(5), las trayectorias prximasseguidas por partculas que salen de un punto dado con la mismavelocidad, se curvarn, tambin una hacia la otra.


52/62

52

3. PROPUESTA DE HAMILTON JACOBI.

Se encuentra una ecuacin en derivadas parciales, la cual surge de la necesidadde buscar una transformacin cannica que lleve de las coordenadas y cantidades

de movimiento (, ) en un instante , a un nuevo sistema de cantidadesconstantes que pueden ser las 2n constantes de movimiento o constantes inciales(0 , 0) en = 0. , , + = 0, = = (3.1)Donde se ha dicho que es el Hamiltoniano del sistema y es una funcinllamada Generatriz de Transformacin (ECUACIONES DE HAMILTON-JACOBI, PARA LA

FUNCION PRINCIPAL DE HAMILTON. Ecu. (2.8.3)).Cuando se resuelve (1) se tiene:

= ( ;; ) , con = 1,2,3,4Donde las son las constantes de integracin las cuales se les asocian connuevas cantidades de movimiento constante = de la transformacinbuscada. La solucin se la conoce como funcin principal de Hamilton.Teniendo la solucin

estamos resolviendo el problema mecnico. Para sistemas

en los cuales la Hamiltoniana sea una constante de movimiento y se identifica conla energa total. La funcin principal se puede presentar como:

( ,, ) = ( , ) (3.2)Entonces la ecuacin de Hamilton-Jacobi (1) se transforma a:

, = E (3.3)Siendo la energa del sistema y la Hamiltoniana.


53/62

53

3.1. APROXIMACIN PTICA

La funcin (,, ) puede presentarse como un frente de onda ya que lasuperficie avanzara desde

0 = 0hasta

0 + en un tiempo

.

0 + =

fig.1 0 fig.2

0

=

0

El movimiento de la superficie es anlogo al movimiento de una onda.Podemos considerar que las superficies de constante son frentes deonda que se propagan en el espacio de las configuraciones (1, 2 , ,).Es posible calcular el valor de la velocidad de este frente de onda.Tomemos el caso sencillo de una sola partcula, donde el espacio deconfiguraciones es el tridimensional ordinario.

Este frente se desplaza una distancia (fig. 2) perpendicular al frente deonda, en un tiempo .Entonces = , es la velocidad del frente de onda en un punto definido,para un frente de onda constante: = , de otro lado, = = , donde es perpendicular al frente de onda, y la velocidad es entonces; = = = =

=

= = Es la velocidad del frente onda causado por el movimiento de la partcula.Puesto que:


54/62

54

= = = , = 22 + () energa total del sistemaentonces = es perpendicular a la superficie S, y de

= 2

2 + ()22 = () = 2( ()), Implica entonces que 2 = 2 = 2( ()) = 2( ()) y la velocidad de la onda es: = = 2(()) = 2 , siendo T energa cintica, ahora como = 1222 = 22 = 2, Tenemos que = 2 = ,

= sea que podemos expresar la velocidad de la onda en trminos de lacantidad de movimiento.

Un frente de onda de una partcula tiene una velocidad y la partculatiene un momento = perpendicular al frente de onda, sea que desdela perspectiva de Hamilton hay frentes de ondas asociadas al movimientode la partcula y las partculas avanzan perpendicular a estos frentes, comosi fueran rayos pticos.

0 1


55/62

55

Las superficies S de accin se han caracterizado como frentes de onda porque se propagan por el espacio de configuraciones de igual manera quelas superficies de onda de fase constante en el espacio fsico.

3.2. ONDAS DESDE EL FORMALISMO CLSICO DE HAMILTON-JACOBI.

Consideremos la funcin de accin ,, = , con la que sedeterminar una fase ,, = ( , ,) , con una constante con unidadesde accin11, entonces;

,, = ( , ,) = 1 (, ) (3.4)Supongamos que la onda propagada es de la forma convencional conocidaen ptica(el eikonal en ptica) :

,, = , , =( , ,) = ( ,) (3.5)Esta sera la onda de propagacin de frentes de accin cuando se mueveuna partcula clsica, en el sentido como se interpreta en el siglo 19 ao1836.

Ahora con un poco de matemticas averigemos cual es la ecuacindiferencial de movimiento que cumple

(

,

,

) compatible con las

ecuaciones de Hamilton-Jacobi (3.1) y (3.3)., = 22 + () ; = ( ,,) La ecuacin es

, , , + = 0 , entonces 12 ()2 + + = 0 (3.6)el objetivo es calcular las derivadas de respecto al tiempo y a laposicin, con la idea de llegar a una ecuacin diferencial en derivadasparciales y en trminos de la funcin (,, ).Derivando la funcin definida en (3.5) respecto a la coordenada tenemos: =

=

11Artculo: R. Carrillo, H. Paz, J. Pacheco (REVISTA COLOMBIA DE FSICA, VOL., 38 N0 .04, 2006)


56/62

56

= Aplicando la segunda derivada y despejando el trmino (

)2

= 2 2 = 22 = 2 2 + 22 = 2 2 + ( )2

2=

2

2

2

(

)2 ,

2 =

1

22 22 = 2 ()22 (22 22 ) = ()22 22 + 2 22 = ()2

22

2+ J

2

2= (

)2 (3.7)

Y la derivada de la funcin (3.5) respecto al tiempo es

=

J

= J = J Despejando la derivada de S con respecto al tiempo

=J

(3.8)Remplazando (3.7) y (3.8) en (3.6) tendremos la ecuacin diferencial defrente de onda como sigue:

1

2 2 22 + 22 + + = 0


57/62

57

22

22 + J2 22 + + J = 0

22

2

2+

=

J

J2

2

2

22

22 + = J J2 222

2 22 + = J2 22 (3.9)

La ecuacin definida en (3.9) es muy parecida a la ecuacin ondulatoria deschrdinger pero no es una ecuacin cuntica, sigue siendo clsica en losconceptos, puesto que tanto como varan explcitamente con eltiempo esto es que se pueden encontrar trayectorias de partculas en todo elimaginario fsico del siglo diecinueve, ao 1834. Esta ecuacin espera 90aos hasta 1925 y de pronto evoluciona a una ecuacin cuntica debido ados hechos solidarios: existen experimentalmente los electrones y ladifraccin de ellos que muestran un comportamiento ondulatorio de laspartculas y el otro hecho es un rompimiento conceptual: las coordenadasp y q no varan explcitamente con el tiempo , esto es que noexiste el concepto de trayectorias de partculas como los electrones y portanto

=

,

=

,

=

En trminos matemticos lo que significa es que las coordenadas y sonnteramente independientes, y que no estn en funcin de un parmetro .En consecuencia el trmino

2

22 = J2 = J2 = J2 = 0Se hace igual a cero en la ecuacin (3.9) y llegamos finalmente a una

ecuacin de la forma;

(,,) + (,, ) = (,,) (3.10)


58/62

58

Y con estas ideas caemos a la ecuacin (3.10) que ahora es unaecuacin cuntica, donde a

la podemos asimilar con la constante de

Plank , que ya era conocida en 1925.Se ha llegado a una ecuacin cuntica muy importante a partir de los principiosclsicos de Hamilton y Jacobi, pero la curiosidad histrica no termina aqu.Pues desde la teora de Hamilton-Jacobi de 1834 pueden deducirse losoperadores cunticos modernos, como son el operador de energa y de momentolineal.

En mecnica cuntica se postula que la ecuacin de Schrdinger dependiente deltiempo que establece la variacin temporal de la funcin de estado, tiene la formadada por la ecuacin

= = , donde se tiene que = , es el operador de energa del sistema que toma como funcinpropia.

Esto puede intuirse del formalismo de Hamilton si tomamos una funcin parecidaa la que se define en (3.5)

(

,

,

) =

(

)

(3.11)

Despejando S en esta ecuacin se tiene que

= ln = + = + , donde = = . = (3.12)

La cual es la funcin principal de Hamilton.

Para la ecuacin diferencial de Hamilton definida en (3.6)

, , = , calculando la derivada de S (ecu.(3.12)) con respecto altiempo se tiene, = ( ) = 1


59/62

59

= 1 y remplazando este valor en la ecuacin diferencial deHamilton tenemos;

= (3.13)multiplicando la ecu. (3.13) por la derecha por la funcin = , como la funcin es una magnitud diferente de cero ( 0)Si se asimila con la forma del operador de energa . = , donde (3.14)Y as se afirma que desde Hamilton-Jacobi se puede representar tambin a como el operador de energa.En el caso de que sea una funcin de fase separable como por ejemplo: =()() (3.15)

Aplicando el operador de energa ecu.(3.14) a la funcin (3.15)

= = ( ) = 2

= , donde

1 =

.

Claramente se puede observar que es un valor propio del operador y seidentifica con la energa del sistema mediante = , sea que

= (3.16)que coincide con la moderna ecuacin cuntica de estado estacionario.

Para la representacin del operador cantidad de movimiento lineal tomamos losmomentos cannicos provenientes de la formulacin Hamiltoniana que son

= (3.17)Donde S es la funcin principal de Hamilton ecu.(3.12) con = 0.

Aplicando la respectiva derivada espacial a la funcin S.


60/62

60

= 1 , remplazando este resultado en la ecuacin (3.17), elmomento queda entonces

= , si multiplicamos esta ecuacin a la derecha por la funcin tenemos = , aplicando el mismo tratado para la energa con 0, yasimilando a con el operador de momento lineal tenemos entonces que: = , donde sale el operador buscado .Obsrvese que esta semblanza de coincide con el operador cuntico moderno

de momento de la teora de operadores y mecnica cuntica que es

= en la direccin del eje de las .


61/62

61

4. CONCLUSIN

Desde una mirada histrica se puede considerar la opcin en la cual, la ecuacin

ondulatoria de Schrdinger no es un principio en si como se muestra en

algunos de los textos, si no que desde mucho antes Hamilton y Jacobi haban

trazado un camino conceptual y matemtico para que sta ecuacin se diera.

Hemos mostrado en esta monografa un camino terico que comienza desde la

ecuacin de Hamilton-Jacobi y los conceptos envolventes, y concluye con una

semblanza de la ecuacin de schrdinger.

Creemos que este pudo ser el camino que siguieron los tericos para llegar a la

ecuacin cuntica y no un principio para justificar los experimentos modernos del

siglo veinte. Esperamos que sea de gran ayuda para los estudiantes a los cual va

dirigido este trabajo.

Como una sugerencia de esta conclusin, se pueden trabajar las ecuaciones

dinmicas (2.9) descritas en trminos de los corchetes de Poisson para obtener

las ecuaciones en trminos de los corchetes cunticos conmutadores.


62/62

5. REFERENTES BIBLIOGRFICOS.

Antonio Fernndez Raada, DINMICA CLSICA

Levine, Ira N.QUIMICA CUANTICA, 5ta Edicin. PEARSON EDUCACIN S.A.

Madrid,2001

Walter Hauser, INTRODUCCION A LOS PRINCIPIOS DE MECANICA

Gholdstein, MECNICA CLSICA, AGUILAR S.A., De Ediciones 1963

Jos Manuel Cabrera, Fernando J. Lpez Y Fernando A., PTICAELECTROMAGNTICA, 2da vol. I Fundamentos

R. Carrillo, H. Paz, J Pacheco REVISTA COLOMBIANA DE FSICA, VOL. 38,No. 4, 2006

Schrodinger Deducido de Hamilton Jacob

Documents

Transcript of Schrodinger Deducido de Hamilton Jacob