SCTM03 - MODULO 1 - MATERIAL DE TRABAJO

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Aula

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10-21 de marzo de 2003

Magna de las Facultades de Matemticas y Fsica Matemticasy Sociedad MATERIAL DE TRABAJtp://www.anamat.ull.es/sctm03

Cursos Universitarios Interdisciplinares 2003 Vicerrectorado de Extensin Universitaria Universidad de La Laguna

http://www.anamat.ull.es/sctm03

Programa

Mdulo 1: Matemticas y Sociedad 10-21 de marzo, 18:00-20:00 horas Coordinadores: Jos Barrios Garca, Mara Isabel Marrero Rodrguez

Contactos de las Matemticas con la Sociedad Luis Balbuena Castellano

lunes 10

Catedrtico de Matemticas del IES Viera y Clavijo de La Laguna y miembro fundador de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemticas

Las Matemticas y la Cultura: Matemticas, Arte y Ciencia en los comienzos de la Revolucin Cientfica Jess Snchez Navarro

martes 11

Profesor Titular de Lgica y Filosofa de la Ciencia de la Universidad de La Laguna y Director de Investigacin de la Fundacin Canaria Orotava de Historia de la Ciencia

De la necesidad de contar a la necesidad de escribir: Orgenes numricos de la escritura cuneiforme Jos R. Barrios Garca

mircoles 12

Profesor Titular de Anlisis Matemtico de la Universidad de La Lagunay miembro de la African Mathematical Union Commission on the History of Mathematics in Africa

Naturaleza del conocimiento matemtico y sus implicaciones en la Enseanza de las Matemticas en la Educacin Secundaria Martn M. Socas Robayna

jueves 13

Catedrtico de Didctica de la Matemtica de la Universidad de La Laguna y miembro de la Comisin de Educacin de la Real Sociedad Matemtica Espaola

Aplicaciones estadsticas en las Ciencias Sociales Juan Camacho Rosales

viernes 14

Profesor Titular de Metodologa de las Ciencias del Comportamiento de la Universidad de La Laguna

Modelos de Aproximacin Racional en Economa Concepcin N. Gonzlez Concepcin

lunes 17

Catedrtica de Economa Aplicada de la Universidad de La Laguna

La Matemtica y la sabidura popular de los canarios Jos M. Gonzlez Rodrguez

martes 18

Catedrtico de Economa Aplicada de la Universidad de La Laguna

1Curso Universitario Interdisciplinar Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas 2003

Mdulo 1: Matemticas y Sociedad Programa

Optimizacin Matemtica: Ejemplos y aplicaciones Juan J. Salazar Gonzlez

mircoles 19

Profesor Titular de Estadstica e Investigacin Operativa de la Universidad de La Laguna

Ciencia Computacional y Finanzas Jos L. Fernndez Prez

jueves 20

Catedrtico de Anlisis Matemtico de la Universidad Autnoma de Madrid y Director Gerente de Consultora de Riesgos e I+D de Tecnologa, Informacin y Finanzas (Grupo Analistas)

La proyeccin social de las Matemticas

Mesa redonda

Coordinador: Ramn . Orive Rodrguez Profesor Titular de Matemtica Aplicada y Decano de la Facultad de Matemticas de la Universidad de La Laguna Ponentes: Javier Ariz Tellera Licenciado en Ciencias Biolgicas e Investigador del rea de Pesca del Centro Oceanogrfico de Canarias Luis Balbuena Castellano Catedrtico de Matemticas del IES Viera y Clavijo de La Laguna y miembro fundador de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemticas Alfredo Bermdez de Castro Catedrtico y Director del Departamento de Matemtica Aplicada de la Universidad de Santiago de Compostela Jorge Casas Prez Tcnico de General Electric y alumno de la Facultad de Matemticas de la Universidad de La Laguna lvaro Dvila Gonzlez Director del Instituto Canario de Estadstica Jos L. Fernndez Prez Catedrtico de Anlisis Matemtico de la Universidad Autnoma de Madrid y Director Gerente de Consultora de Riesgos e I+D de Tecnologa, Informacin y Finanzas (Grupo Analistas) Laureano Gonzlez Vega

viernes 21

Catedrtico de lgebra y Decano de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cantabria


Contactos de las Matemticas con la Sociedad

Luis Balbuena Castellano Catedrtico de Matemticas del IES Viera y Clavijo de La Laguna Miembro fundador de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemticas

1. Introduccin

Me parece que el tema escogido para el ciclo es muy oportuno porque la ciencia y la

tecnologa son siempre actualidad y porque es bueno que hablemos de estos asuntos en todo tiempo y lugar. Adems, es importante que hablen los cientficos, principalmente por dos razones. Por una parte, porque hay mucho aventurero de la palabra que habla de la ciencia y la tecnologa sin saber bien de qu est hablando. Y, por otro lado, porque los cientficos tienden con frecuencia a vivir en unas urnas de cristal que contienen bibliotecas y laboratorios dentro; estn as felices y pierden el contacto con lo que hay fuera de su urna.

No quiero empezar mi intervencin con definiciones y clarificaciones conceptuales porque temo no ser preciso y, por tanto, deslizar incorrecciones. Creo que casi todos tenemos unas ideas ms o menos claras para dilucidar si un asunto es estrictamente cientfico o estrictamente tcnico, pero estoy seguro de que tambin existe una especie de tierra de nadie en la que es difcil establecer con nitidez las fronteras entre una y otra. La historia parece que ha otorgado a la ciencia el saber por qu y a la tcnica el saber hacer, pero el aspecto eminentemente emprico de la tcnica ha proporcionado elementos de observacin para la construccin de la ciencia, y tambin la elaboracin de teoras cientficas ha proporcionado herramientas de gran potencialidad al desarrollo de la tcnica. Hay quienes van ms all y afirman que una y otra han creado un nuevo producto de conocimiento, que es la tecnologa, que viene a ser una especie de sntesis por cuanto que el tecnlogo, opinan, emprende investigaciones y aplica tanto los conocimientos cientficos como la experiencia tcnica de que dispone.

Pero no quiero seguir por ese camino porque en el ciclo intervienen personas cualificadas para clarificar todos estos trminos y explicarnos las distintas teoras existentes.

El contenido de este ciclo es casi el ttulo de una de las optativas que se han venido ofertando a los alumnos del Bachillerato surgido de la LOGSE. Supongo que la mayora o la totalidad de los que estamos ligados a la ciencia o a la tecnologa estaremos de acuerdo con la presencia de esta opcin dentro del plan de estudios. Esto significa, entre otras cosas, el reconocimiento de la importancia que tienen estas reas en la formacin de las personas. No creo que sea necesario insistir en esto.

La ciencia y la tecnologa suelen deslumbrar a la mayor parte de los ciudadanos no cientficos y, en cierta manera, tambin a los cientficos. Bien es verdad que el avance ha sido tan rpido y tan espectacular que la capacidad de asombro se ha ido llenando con la misma rapidez, y pocas veces ya nos emocionamos con lo nuevo. En efecto, lo ltimo en lo que sea ya no nos lleva a hacer exclamaciones de asombro ni a tener apreciaciones ciertamente pintorescas y cercanas algunas veces a la mitologa, como ocurra no hace mucho tiempo. Por ejemplo, cuando las vas frreas empezaron a invadir los campos llevando gente y mercancas de un lugar

1 Curso Universitario Interdisciplinar Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas 2003

Mdulo 1: Matemticas y Sociedad Contactos de las Matemticas con la Sociedad

a otro, hubo en Inglaterra psiquiatras que advirtieron de los peligros de esas ruidosas mquinas y de los riesgos que conllevara estar mucho tiempo sometido a enloquecedoras velocidades de ms de 40 km/h. Poco menos que en cada estacin habra que montar un servicio de urgencia para atender a quienes llegaran con los sntomas y unas ambulancias para evacuar a los ms por el exceso de velocidad.

A principios del siglo XX se produjo un acontecimiento tecnolgico que deslumbraba a la humanidad de manera especial porque, adems, haba sido algo en lo que siempre se so. Desde el mtico Ddalo hasta aquel momento de cambio de siglo, pasando por el genio de Leonardo da Vinci, hubo muchos intentos y se derroch mucha fantasa en torno a ese objetivo. Me refiero a volar, a despegarse del suelo para desplazarse de un lugar a otro a capricho, esto es, dirigiendo el vuelo hasta posarse de nuevo sin peligrar la integridad del que lo hace. En ese momento, esa capacidad de levantar vuelo es lo que produce el asombro, la admiracin y la veneracin de la ciudadana por la ciencia y la tecnologa. Es el gran logro cuyo mrito se aplica a los hermanos Wrigth, Orville y Wilbur, dos norteamericanos que, aunque recibieron educacin superior, no llegaron a licenciarse. Posean un gran talento para la mecnica y desde jvenes se interesaron por la aeronutica. Empezaron montando un taller en el que vendan, reparaban e incluso llegaban a fabricar bicicletas. Esto les proporcion medios para poder dedicarse a fondo al tema que les atraa. Y como suele ocurrir en casi todos los casos, empezaron a estudiar lo que ya otros haban elaborado y avanzado hasta ese momento. En este caso, estudiaron las obras de los ingenieros Lilienthal, Chanute y Langley, lo que nos permite afirmar, una vez ms, que siempre hay hombros de gigantes en los que subirse para poder seguir avanzando.

El impacto de la aviacin fue tal, que los futuristas llegaron a predecir avances realmente espectaculares. Pero siempre considerando el lado amable del invento, sus aportaciones a la calidad de vida de los ciudadanos y con un convencimiento en que se seguira adelante con ms y ms inventos y, por tanto, con una progresiva mejora de esa calidad de vida.

Pero toda esa fe y toda la admiracin de la sociedad en general por la ciencia y la tecnologa sufrieron una fractura cuando en pocos segundos se fue capaz de matar de modo directo a ms de cien mil personas en Hiroshima, o cuando el DDT empez a daar de manera irreversible a suelos y animales. La sociedad empez entonces a dotarse de instrumentos para defenderse de los ataques que reciba de los intereses que empezaron a explotar la ciencia y la tecnologa. As, por ejemplo, en 1969 naci Greenpeace. Por si fuera poco el problema de la desconfianza, hay otro frente que la aumenta y es que el desarrollo tecnolgico es uno de los criterios que se valoran a la hora de medir el grado de desarrollo de un pas. La ONU publica con cierta periodicidad una especie de ranking utilizando para elaborarlo unos criterios que tienen que ver con la calidad de vida. La ltima de estas listas sali el mes de julio del pasado ao. Qu enormes abismos existen entre los primeros y los ltimos! Pero al decir los ltimos no hay que pensar que se trata de los diez del final. Desgraciadamente, se pueden considerar con ese calificativo desde ms arriba de la mitad

2. La cultura cientfica y su divulgacin

(Voy a intentar penetrar en campos en los que me desenvuelvo mejor y en los que

puedo ofrecerles experiencias personales y conclusiones a las que he podido llegar). Se sigue considerando como algo normal que la cultura permanezca ligada casi en

exclusiva a los conocimientos relacionados con los que comnmente se llaman humansticos. No parece que los conocimientos cientficos o tecnolgicos deban formar parte del perfil de persona culta, que acepta, sin ms, no saber nada de Isaac Newton o de los fundamentos de la



qumica, y no digamos nada cuando se trata de conocimientos de matemticas. En este caso, alardear de no saber nada, a veces, parece como un mrito aadido.

Quiero aclarar, antes de seguir y para que no se me malinterprete, que no estoy tratando de decir que haya que sustituir unos conocimientos por otros. En absoluto. Se trata de un adems de, y no de un en lugar de.

Se vienen haciendo grandes esfuerzos para que la cultura cientfica se difunda y pase a formar parte del bagaje cotidiano de conocimientos de los ciudadanos. Creo que aqu es donde hay que buscar gran parte de las causas de ese desconocimiento y despego de la sociedad por la ciencia, por la tcnica y por lo que representa. El investigador estudia y logra resultados que raramente vende al gran pblico porque, desde mi punto de vista, en esa cadena de la comunicacin hay una especie de eslabn perdido. Y ese eslabn lo forman los llamados comunicadores. La ciencia se comunica en muy pequeas dosis, y no siempre de la forma adecuada. Es una evidencia de nuestra cultura actual que lo que no se comunica, lo que no aparece en los medios de comunicacin, no existe. Incluso podra afinarse un poco ms ese axioma estableciendo categoras entre los medios, pues no es lo mismo que lo que se quiere comunicar aparezca slo en los peridicos o que lo haga en la televisin.

Hay que indicar, no obstante, que algunos campos del saber cientfico se abren camino en el mundo de la comunicacin de tal forma que estn permitiendo que personas no especialistas hablen de ello en conversaciones cotidianas, comparables a cuando hablan de arte o de literatura. Es el caso de ciertos documentales que ofrecen algunas cadenas de televisin, centrados especialmente en aspectos relacionados con las ciencias naturales (incluida la medicina). La sociedad se acerca as a las ciencias. Pero no todas tienen el mismo tratamiento. En efecto, una intuitiva ordenacin las colocara as: tras las ciencias naturales, se situara la fsica, asociada sobre todo a la astrofsica; algo ms lejos, la qumica y la geologa; y a una distancia sensible, las matemticas.

En el mes de marzo de 1999 se celebr en Granada un Congreso bajo el ttulo Comunicar la ciencia en el siglo XXI. Se presentaron ciento setenta comunicaciones, de las cuales slo tres estn dedicadas explcitamente a divulgacin matemtica, dos de ellas centradas en el reparto de escaos en unas elecciones. El dato es para preocuparse y demuestra, por si alguien no lo haba palpado an, el enorme abandono que tienen las matemticas por parte de los que comunican ciencia. Quiz los que enseamos esta disciplina deberamos revisar nuestro rol y pensar en si no deberamos incluir en l una parcela de divulgadores. Al fin y al cabo, muchsimos de nuestros alumnos y alumnas slo tienen contacto con las matemticas a travs de nuestras enseanzas. El dato que les he apuntado me dej una honda preocupacin, hasta el punto de estimularme a pasar a la accin.

Con motivo de la celebracin del 2000 como Ao Mundial de las Matemticas, se celebr en la Universidad de Verano de Adeje un curso sobre Las Matemticas y el Periodismo. Los diferentes expertos que pasaron por aquella tribuna declararon insistentemente la dificultad de transmitir matemticas. Nombraron tambin la falta de objetivos institucionales consistentes en acercar la ciencia a la ciudadana, salvo la creacin de Museos de la Ciencia que, afortunadamente, empiezan a cubrir el vaco casi total que ha existido. Manuel Calvo Hernando, presidente de la Asociacin de Periodistas Cientficos y uno de los ponentes del citado curso, ha publicado un declogo del divulgador de la ciencia en el que seala como punto de partida que la misin del divulgador es poner al alcance de la mayora el patrimonio cientfico de la minora. A nadie se le oculta lo difcil que es llevar a la prctica este objetivo, sobre todo en algunos campos del saber cientfico. En otro de los mandamientos de su declogo indica que frente a tanto temor y tanta desconfianza parece necesario humanizar la ciencia al presentarla



al pblico, y situarla entre nosotros de modo entraable y cordial, sin por ello restarle seriedad y trascendencia.

Este Congreso me indic que deberamos hacer un esfuerzo para conseguir divulgar el conocimiento matemtico ms all de lo que puede conseguirse en las aulas dentro de los currculos de las enseanzas regladas. Esto es lo que hemos hecho siempre, y ya ven con qu resultados. Por esta razn he tratado de desarrollar algunos proyectos con ese objetivo, y es lo que voy a explicar sucintamente en lo que sigue. Quiero aclarar que no me considero un especialista en la divulgacin cientfica ni he acudido a escuela alguna para ello. Tan slo he tratado de aprovechar las oportunidades que me han ofrecido para poner mi granito de arena en la divulgacin de las matemticas, lanzndome a ello con slo mis intuiciones y los consejos de amigos, no todos periodistas.

3. Contactos con la sociedad a travs de las matemticas

3.1. Radio

Hace unos aos el hoy director de COPE Tenerife, D. Jos Carlos Marrero, me sugiri la idea de preparar un programa de radio en el que tratar temas relacionados con las matemticas. La posibilidad me result sugerente, pero le ped tiempo para reflexionarlo y preparar guiones que pudieran tener inters y coherencia. Tras varias conversaciones con l, quien como especialista en la comunicacin me orient con maestra, y utilizando por mi parte el consabido mtodo de ensayo y error, logr lanzar por las antenas un programa semanal de media hora de duracin que titulamos Un Sorbito de Ciencia. Me pareci excesivamente arriesgado que el sorbito fuese slo de matemticas (por eso lo de ciencia), pues tena la impresin de que era demasiado tiempo para dedicarlo slo a matemticas. El reto propuesto sali por fin a los aires y tuvo una buena aceptacin, por cuanto que las llamadas y felicitaciones llegaban de sitios y personas muy diversas. Fue una favorable acogida que nos sorprendi.

El esquema del programa consista en lo siguiente: tras la presentacin de las personas que hablaramos y de comentar aquellas noticias de carcter cientfico producidas durante la semana, se propona a los oyentes un acertijo para ser resuelto durante el tiempo que durara el programa. Se trataba de sencillos problemas de matemtica recreativa del estilo de: Si un tapn y su botella cuestan 1.10 euros y la botella es 1 euro ms cara que el tapn, cunto cuesta cada una?; o este otro: Si en un cubo de un metro de lado caben mil litros de agua, cuntos litros caben en un cubo que tenga medio metro de lado?. Cada uno de los acertijos y de los problemas planteados van acompaados de explicaciones y repeticiones suficientes como para ser comprendidos por los oyentes. Precisamente, una de las limitaciones importantes que me he encontrado es la necesidad de encontrar cuestiones en las que la imagen no fuera imprescindible.

A continuacin se entrevistaba, durante unos diez minutos, a alguna persona relacionada con aspectos de la ciencia, tratando de acercar a los oyentes el trabajo y las investigaciones que realizan esas personas a las que llamamos cientficos en centros de Canarias. As, por ejemplo, fueron entrevistados D. Antonio Gonzlez Gonzlez, D. Francisco Snchez (Director del IAC), D. Jos Mndez (catedrtico de Anlisis Matemtico), D Marisa Tejedor (catedrtica de Edafologa), D. Manuel Ibez (especialista en la construccin de relojes no mecnicos), etc.

La seccin llamada El Problema de la Semana cre cierta expectacin, porque se centraba en proponer un problema un poco ms complejo que los acertijos, que requera una discusin y una reflexin para llegar a la solucin, la cual se daba y explicaba en el programa siguiente. Quedaba, por tanto, planteado durante una semana, y en muchas ocasiones me



llegaron a llamar conocidos o llamaban oyentes a la emisora para saber si la solucin a la que haban llegado era correcta. En el momento de dar la respuesta a estas cuestiones, y tambin en la de los acertijos, aprovechaba la oportunidad para lanzar mensajes en los que aconsejaba a los oyentes compartir la resolucin del problema con otras personas, hacindoles ver que la solucin se consegua aportando razonamientos para convencer a los dems y no utilizando el deplorable mtodo de chillar ms que los otros, que aparece en ocasiones en ciertas tertulias y programas que vemos u omos en medios de comunicacin. Como ya he indicado, la imposibilidad de presentar imgenes constitua una de las dificultades mayores a la hora de preparar los guiones, ya que sus textos tenan que ser suficientemente claros y no tener muchos datos para que se pudieran retener o apuntar con notas simples, y sin posibilidad de hacer figuras. He aqu algunos:

Un vendedor de huevos hace su primera venta dando al cliente la mitad de los huevos que lleva en su cesta ms medio huevo. Al segundo le vende la mitad de los huevos que le quedan ms medio huevo. Con el tercero y con el cuarto hace lo mismo. Al final se qued sin huevos. La cuestin que se plantea es: con cuntos huevos empez la venta? Est de ms aclarar que no rompi ningn huevo para hacer este reparto.

ngel tarda tres horas en terminar un informe mecanogrfico en su oficina, mientras que su compaera Begoa slo tarda dos en hacer el mismo trabajo. El jefe decide que los dos realicen el mismo informe distribuyndose adecuadamente las hojas a mecanografiar. Cunto tiempo tardarn en hacerlo?

Se insista mucho en la necesidad de ser constantes y perseverantes, pues del trabajo en esos problemas se empezaran a obtener frutos cuando se acumulasen estrategias, se propusiesen problemas parecidos, etc. La seccin lleg a causar cierta adiccin entre los ms curiosos.

Tras esta propuesta de trabajo para la semana, se explicaban curiosidades relacionadas generalmente con las matemticas. Se explicaban situaciones de la vida cotidiana en las que se hace uso de las matemticas sin que, en muchas ocasiones, haya conciencia de ello.

El programa terminaba con un ranking que trataba de hacer palpable la importancia de la ciencia en la historia de la humanidad o en nuestra vida cotidiana. En una de las ediciones utilic la lista de los 50 primeros personajes que figuran en el libro de Michael H. Hart titulado Los 100 principales. Cada da nombraba a dos empezando en el 50 para terminar en el primero. Lo que me indujo a utilizar esta lista es que de esos 50 primeros personajes, 24 estn relacionados con la ciencia o la tecnologa. As que explicaba por qu el autor del libro le atribua el nmero y nombraba sus mritos. En otra edicin del programa utilic una lista de los 50 inventos de todas las pocas que ms impactaron a un conjunto de cerca de 300 personas que fueron entrevistadas sobre ese particular con la ayuda de mis alumnos. Debo aclarar que en esta edicin pude contar con la colaboracin de mis alumnos del Taller de Matemticas que, en grupos de dos o tres, asistan al estudio conmigo y participaban en la exposicin de los temas. El trabajo desarrollado lo sintetic en una memoria que present al premio Francisco Giner de los Ros, concretamente a la XVI edicin que convoca el Ministerio de Educacin y financia la Fundacin Argentaria, logrando el primer premio de aquel ao.

3.2. Televisin

Cierto da, el director de la emisora de televisin Canal 7 del Atlntico, D. Francisco Padrn, me ofreci la oportunidad de preparar programas para ser emitidos por su emisora. Esto me parecieron ya palabras mayores, porque mi inexperiencia y desconocimiento del medio eran totales. Tard un tiempo en dar la respuesta afirmativa; lo hice cuando hube preparado unos guiones que l consider que estaban bien. Empez la grabacin en los estudios de la calle



Numancia. No podra contar con imgenes exteriores, porque se trata de una emisora que maneja un humilde presupuesto; as que tendra que suplirlas a base de materiales que llevaba al estudio. Grab una primera serie de quince programas bajo el ttulo genrico de 2R. Intentaba dar a conocer las matemticas que se encuentran de manera cotidiana en el entorno de los telespectadores. No era mi intencin impartir clases de matemticas en sentido acadmico, sino divulgar ideas, conceptos y curiosidades con aquel objetivo.

3.3. Prensa escrita

Tambin he intentado la divulgacin de las matemticas a travs de la prensa escrita.

En el curso 1979/80 publicamos en los peridicos El Da y La Provincia un suplemento semanal que titulamos Nmeros y figuras, el cual tuvo una notable acogida. La experiencia se repiti a lo largo del 2000, Ao Mundial de las Matemticas, slo que esta vez se extendi durante todo el ao.

3.4. En el aula

El aula es tambin un lugar idneo para la divulgacin de las matemticas. Hay que

tener en cuenta que, tal y como se ha indicado, la sociedad carece de divulgadores de la ciencia y la mayor parte de los alumnos slo recibirn las enseanzas cientficas que les impartan sus profesores. Por eso me cuestiono si el profesor no debera de considerar este rol dentro de lo que es su misin de ensear. Adems, se da la circunstancia de que la mayora de los libros de texto no han sido, hasta ahora, excesivamente proclives a la divulgacin de la ciencia, pese a que en las intenciones de los creadores de los currculos se acuda con frecuencia a esa especie de tpico de que la ciencia hay que construirla partiendo de la realidad cotidiana de los alumnos. Un claro ejemplo de lo que trato de explicar lo constituyen las cnicas. Cuando tratan de poner un ejemplo de elipse, casi siempre se acude al movimiento de los planetas alrededor del Sol como un ejemplo cotidiano, como algo que cualquiera puede ver. Y no s por qu no se ponen como ejemplos de hiprbolas las que posiblemente los alumnos vean todas las noches en su casa con la luz que sale de las lmparas situadas cerca de una pared.

En una ocasin llev a mi aula una experiencia relatada por el profesor Ismael Roldn en la revista SUMA. Se trataba de hacer una cata de leches. La idea me pareci original y vlida para inducir otros estudios parecidos y puse los medios necesarios para reproducirla. Se abri un debate interesante sobre la forma de desarrollar la experiencia y las medidas y productos que hay que prever. Aparecen inmediatamente una buena cantidad de elementos matemticos, empezando por el clculo de la leche que es necesario adquirir para desarrollar la cata. Acordamos adquirir cinco leches de cinco clases diferentes. Una de ellas era leche natural, aunque este detalle lo desconocan los catadores. Se establecieron dos valoraciones entre 1 y 5 puntos. Una medira la intensidad del sabor y la otra la calidad global.

Como haba dos alumnos a quienes no les gustaba la leche, mont todo el dispositivo con ellos. Seran servidas ocultando las ms mnimas seales de identificacin. Se procedi a la cata, que fue seguida con curiosidad y seriedad por todos. Las hojas de valoraciones pasaron luego a los equipos que se formaron para hacer el vaciado y tratar de sacar conclusiones sobre lo que se haba hecho. En esta parte estuvo lo ms interesante de la experiencia. Porque, adems de los datos extrados de las valoraciones realizadas por cada catador, se tuvieron en cuenta los parmetros que figuran en los envases de cada una de ellas relativas al valor energtico, protenas, hidratos de carbono y grasas. As que cada equipo le adjudic un valor de ponderacin a cada uno de esos ingredientes y se construy el polinomio de valoracin de



cada leche. Al final, cuando todas las frmulas estuvieron preparadas, se efectu la valoracin y fueron ordenadas de mejor a peor segn esos criterios. La ltima de la lista fue la natural

Existen muchos materiales y situaciones cotidianas que, en general, no son utilizados por el sistema. Ocurre tambin que en el entorno cotidiano aparecen situaciones y elementos que tienen trasfondo matemtico y el sistema no proporciona los medios para que se puedan interpretar matemticamente. Es el caso, por ejemplo, de las celosas que se encuentran, generalmente, rematando muros de jardines, de azoteas, etc. Es muy posible que el libro de texto pida calcular el rea de un crculo de ocho metros de dimetro, que raramente habr visto nadie, y no piden que se calcule el rea de la zona de luz de una pieza de celosa que tal vez el alumno tenga en su propia casa.

Y as podramos seguir enumerando ejemplos de materiales e ideas para ser utilizados en el aula.

4. Conclusiones

Todas estas aventuras divulgativas fueron desarrolladas sin pretender grandes

objetivos y contando con medios tcnicos y humanos muy limitados. Pero me permiten extraer algunas conclusiones y enseanzas, a saber:

Se ha difundido otra cara de las matemticas, a la que, en general, se considera como

una ciencia cerrada, estrictamente acadmica y rgida. Se tiene la posibilidad de establecer vnculos de las matemticas con otras disciplinas y,

de esta manera, mostrar el carcter globalizador del conocimiento. La divulgacin de las matemticas es posible, porque no es imprescindible acudir a

complicaciones tericas para difundir conceptos con rigor y claridad. Se consigue desarrollar y mejorar las capacidades de razonamiento lgico-matemtico. Los medios pueden y deben colaborar a aumentar la llamada cultura cientfica de los

ciudadanos, procurando diversificar lo que se ofrece. A modo de conclusin, creo que he tratado de demostrar que la divulgacin de la

ciencia es necesaria si queremos conocer mejor lo que nos rodea, y que las matemticas son la cenicienta en esa cadena de la divulgacin. La ausencia del eslabn que debera existir entre los cientficos y la sociedad, que son los comunicadores, hace que los profesores nos planteemos la necesidad de cubrir el hueco, al menos en nuestras aulas. Por otra parte, con las experiencias que he relatado, trato de demostrar que esa comunicacin es posible incluso manejando pocos medios. Es, por tanto, responsabilidad de todos conseguir acercar las matemticas a los ciudadanos.

Pero tambin las instituciones deberan incluir entre sus objetivos de carcter cultural el acercar la ciencia a los ciudadanos, no slo promoviendo actividades con ese objetivo, sino creando entre su personal especialistas en transmitir la ciencia, en adecuar los conocimientos y las investigaciones para ser comprendidos por el ciudadano medio.

En ese sentido, hay que reconocer el interesante papel que estn jugando los Museos de la Ciencia que se vienen creando en muchas ciudades.




Bibliografa F. Alonso et al. (editores): Aportaciones al debate sobre las Matemticas en los 90. Simposio de

Valencia. Mestral Libros, Valencia, 1987. L. Balbuena Castellano, D. de la Coba Garca: La matemtica recreativa vista por los alumnos.

Proyecto Sur Ediciones, Granada, 1992. S. Garfunkel: Las matemticas en la vida cotidiana. Addison-Wesley/Universidad Autnoma

de Madrid, Madrid, 1998. M.I. Gonzlez Garca, J.A. Lpez Cerezo, J.L. Lujn Lpez: Ciencia, tecnologa y sociedad.

Tecnos, Madrid, 1996. M. Hart: The 100, a ranking of the most influential persons in history. Simon & Schuster,

London, 1993. G. Howson, B. Wilson (editores): Las Matemticas en Primaria y Secundaria en la dcada de

los 90. Kuwait, 1986. Mestral Libros, Valencia, 1987. A. Martinn (editor): Las matemticas del siglo XX: Una mirada en 101 artculos. Sociedad

Isaac Newton y Nivola, Madrid, 2000. L. Moledo: De las tortugas a las estrellas. AZ Editora, Buenos Aires, 1994. En Internet http://www.sinewton.org

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemticas

http://www.sinewton.org/

Las Matemticas y la Cultura: Matemticas, Arte y Ciencia en los comienzos de la Revolucin Cientfica

Introduccin

En el ao de gBasilea, distantes apenfundamental en el desade la Revolucin CieCoelestium Libri Sex yesfera de las estrellas essu alrededor como los dcual explicara perfectatitulado De Humani Canatoma humana, su ola apariencia externa, mhumano y defendiendonica fuente vlida de c

Uno cambiaba dla astronoma, no tantodesarrollando hasta suconocidos. El otro modinstaurando una nuevareivindicacin acadmiccmulo de nuevos datosdos libros coincidieranmacrocosmos y del mgestacin, sus objetivosposteriores fueron comhistoria de la ciencia trayectorias vitales ms Coprnico

En efecto, el Coprnico (1473-1543)que, tras haber estudiady Ferrara, llevaba cuarede su to el obispo, cum

Curso Universitario InteJess Snchez Navarro Profesor Titular de Lgica y Filosofa de la Ciencia del Departamento de Historia y Filosofa de la Ciencia, la Educacin y el Lenguaje de la Universidad de La Laguna Director de Investigacin de la Fundacin Canaria Orotava de Historia de la Ciencia racia de 1543, en dos ciudades del centro de Europa, Nuremberg y as 300 kilmetros, se publicaron dos libros que jugaron un papel tan rrollo de la ciencia que es frecuente situar en ese momento el comienzo ntfica. El primero de ellos se titulaba De Revolutionibus Orbium pretenda demostrar matemticamente que, contra toda apariencia, la t inmvil y el Sol ocupa el centro del universo, mientras la Tierra gira a ems planetas, adems de girar diariamente en torno a s misma, todo lo

mente los movimientos que vemos cuando miramos al cielo. El segundo, orporis Fabrica Libri Septem, presenta un estudio completo de la

rganizacin articulada y la correspondencia entre su estructura interna y anteniendo que cada una de sus descripciones se verifica en el cadver que la diseccin y observacin cuidadosa de cuerpos humanos es la onocimiento anatmico. ecisivamente el curso de la ms abstracta y matemtica de las ciencias,

introduciendo nuevos datos o descubrimientos observacionales, cuanto s ltimas consecuencias una interpretacin alternativa de datos ya ificaba sustancialmente la ms descriptiva de las ciencias, la anatoma, metodologa asociada a nuevos mtodos de enseanza y a una a, profesional y cultural de la disciplina, lo que a su vez dio origen a un y descubrimientos observacionales. Fue un capricho del destino que los en el tiempo y acabaran conduciendo a una nueva concepcin del icrocosmos y de las relaciones entre ellos, porque ambos libros, su inmediatos, la audiencia a la que iban dirigidos e incluso sus avatares pletamente independientes. Difcilmente podran encontrarse en la dos libros ms distintos escritos por dos autores con caracteres y

diferentes.

primero de ellos, dedicado al Papa Pablo III, era obra de Nicols , un circunspecto clrigo de la lejana Frauenburg con 70 aos cumplidos o durante su juventud Astronoma, Leyes y Medicina en Bolonia, Padua nta aos en los confines del mundo ejerciendo como mdico y secretario pliendo sus funciones de cannigo catedralicio y llevando a cabo tareas

1 rdisciplinar Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas 2003

Mdulo 1: Matemticas y Sociedad Las Matemticas y la Cultura

diplomticas ante los belicosos Caballeros Teutnicos. Durante todos esos aos tuvo tiempo para publicar una traduccin de las epstolas morales de Theophylactus de Simocatta, escribir un pequeo ensayo sobre la inflacin y las funestas consecuencias de acuar nuevas monedas disminuyendo el porcentaje de metal precioso e incluso defender la correccin de los datos observacionales de Ptolomeo ante la pretensin de Werner de introducir una nueva esfera o dotar de un nuevo movimiento a la esfera de la eclptica para salvar el problema de la precesin de los equinoccios1, pero sobre todo se dedic intensamente a trabajar en la obra que le dara fama universal, el De Revolutionibus.

Segn sus propias palabras, cuando la obra se public en 1543 haca ms de cuatro veces nueve aos que tena el libro preparado, o al menos su ncleo fundamental, y haba pasado todo ese tiempo puliendo los detalles, precisando y modificando los clculos y resistindose a su publicacin, pese a las presiones de influyentes amigos, por miedo a la recepcin que sus ideas pudieran tener por parte de los lectores y a que fueran malinterpretadas o no fueran comprendidas por quienes no eran matemticos.

Independientemente de la conexin que estas reservas pudieran tener con una posible influencia pitagrica, con su conviccin purista de que las matemticas se escriben para los matemticos, y no para el pblico en general, o con su compromiso explcito acerca de la naturaleza estrictamente matemtica de la astronoma2, lo cierto es que recogen tambin su 1 La traduccin de las Epstolas morales de Theophylactus es de 1509, la Carta contra Wener (De octava sphaera o Carta a Wapowski) de 1524 y el Tratado de la moneda (Monetae cudendae ratio) de 1526. Tambin en este periodo es uno de los astrnomos consultados por el Papa acerca de la reforma del calendario juliano, aunque la respuesta de Coprnico fue desalentadora: difcilmente se poda intentar una reforma efectiva del calendario, ya que los astrnomos ni siquiera tenan clara la duracin del ao natural. 2 El supuesto pitagorismo de Coprnico ha sido muy discutido, como tambin sus posibles relaciones neoplatnicas y hermticas. Aparte de la militancia neoplatnica de su antiguo profesor de astronoma, Domenico Maria de Novara, el principal argumento en su favor se basa en las leves referencias a los pitagricos que haban defendido la movilidad de la Tierra (Filolao, Ecfanto, etc), a las fuentes clsicas que utiliza Coprnico para referirse a ellos (fundamentalmente Academica priora de Cicern y De placitis philosophorum de Plutarco, ambos textos de influencia pitagrica), a sus comentarios mstico-metafricos sobre el Sol y, sobre todo, a la Carta de Lysis a Hiparco (no confundir con el astrnomo del mismo nombre), una carta apcrifa entre dos pitagricos, en la que el primero reprocha al segundo haber hecho pblicos los secretos del grupo y lo exhorta a guardar silencio y no divulgarlos. Esta carta se encuentra en el manuscrito original como cierre del libro I del De Revolutionibus, inmediatamente despus de los comentarios de Coprnico sobre el triple movimiento de la Tierra en el captulo 11, para justificar la poca difusin que los pitagricos dieron a su creencia en la movilidad de la Tierra. La carta, sin embargo, fue retirada de la edicin impresa del libro, siendo sustituida por los captulos 12 y 13 dedicados a la trigonometra (en el manuscrito original de Coprnico aparece tachada), por lo que nunca fue publicada. En relacin con este tema es sorprendente el silencio de Coprnico sobre Aristarco de Samos en lo que respecta al movimiento de la Tierra y la localizacin del Sol en el centro. En todo el libro slo cita a Aristarco tres veces en el libro III en relacin a temas tcnicos menores: la oblicuidad de la eclptica, la precesin de los equinoccios y la duracin del ao natural. Sin embargo, Coprnico tena que saber que Aristarco haba propuesto un sistema heliocntrico, porque lo cuenta Plutarco en otro de sus escritos, De facie in orbe Luna, donde describe un eclipse de Luna acontecido en torno al ao 71 d.C., que est incluido en sus Moralia junto con el De placitis. Curiosamente, Coprnico citaba a Aristarco en el breve prrafo en que haca la introduccin a la Carta de Lysis, diciendo: Por estas y otras causas semejantes, es probable que Filolao se hubiera dado cuenta de la movilidad de la Tierra: respecto a lo cual algunos dicen que Aristarco de Samos era de la misma opinin, y luego contina hablando del silencio pitagrico sobre las cosas que no pueden ser comprendidas por el vulgo. El prrafo fue retirado junto con la Carta. Una pregunta inevitable es por qu no cit a Aristarco junto con los dems (Nicetas, Filolao, Ecfanto, Herclides) en la dedicatoria al Papa? y por qu no lo cita nunca al hablar del heliocentrismo y el 2 Curso Universitario Interdisciplinar Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas 2003


desconfianza hacia la imprenta recin inventada, hacia su enorme potencial no slo como elemento divulgador del conocimiento cientfico, sino como fuente de conviccin. Una prueba de ello es que, en una fecha indeterminada entre 1507 y 1514, no haba tenido escrpulo en dar a conocer un breve opsculo manuscrito, el Commentariolus3, copias del cual circularon de mano en mano entre matemticos y otros interesados en el tema, en el que expone el ncleo fundamental de su teora, pero deja fuera el desarrollo matemtico que promete presentar detalladamente en un libro que sera, a la postre, el De Revolutionibus. En el Commentariolus estara el origen de la informacin que tanto los amigos y admiradores de Coprnico (Gemma Frisius, el obispo T. Giese, el Cardenal Schnberg) como sus enemigos (Lutero, Melanchton) tuvieron de la teora copernicana antes de la publicacin del De Revolutionibus4. Incluso parece movimiento de la Tierra? desconoca realmente la propuesta de Aristarco o prefiri no citar a un precursor demasiado parecido? 3 El ttulo completo es N. Copernici de hypothesibus motuum coelestium a se constitutis commentariolus. Un curioso detalle, que puede observarse ya en el ttulo, es que est escrito en tercera persona, lo que redunda en la idea de la prevencin de Coprnico a hacer pblicas sus ideas. Grandes astrnomos de la poca, como G. Frisius, T. Brahe, etc., tuvieron copia del manuscrito. Aunque en el Commentariolus no incluye datos tcnicos, ya deja claros dos de los principales argumentos de Coprnico a favor de la movilidad de la Tierra: la representacin del movimiento de los planetas como uniforme, dejando de lado el ecuante ptolemaico que tan artificioso y repugnante a la razn le pareca a Coprnico, y la relacin entre el orden y distancia de los planetas y la duracin de sus revoluciones, que permita situar las rbitas de Mercurio y Venus en su lugar natural sin recurrir a decisiones arbitrarias (lo que haba levantado quejas no slo contra la astronoma, sino incluso contra la entonces influyente astrologa, como en el caso de Pico della Mirandola que en sus Disputationes adversus astrologiam divinatricem de 1496 comentaba que los juicios de los astrlogos no eran crebles porque ni siquiera estaban de acuerdo en la posicin que ocupaban Mercurio y Venus; como es sabido la solucin final la dara la tercera ley de Kepler). 4 Los personajes citados no son cualesquiera. Gemma Frisius era uno de los cientficos ms renombrados de la poca y estaba al servicio del emperador Carlos V; Tiedeman Giese era obispo de Kulm y en 1536 haba escrito una pequea obra, el Hiperaspisticon, en la que elogiaba a Coprnico; y el Cardenal Schnberg era nada menos que general de los dominicos, lo que lo converta indirectamente en responsable ltimo de la Inquisicin. Por su parte, el ncleo duro del protestantismo, radicado en Wittenberg, conoci la teora a travs del Commentariolus y su recepcin fue ms burlona que agresiva. As, Lutero comenta en sus Dilogos de sobremesa (Tischreden) de 1539: Se habla de un nuevo astrlogo que pretende demostrar que la Tierra se mueve y que gira en crculo, en lugar de hacerlo el cielo, el Sol y la Luna, exactamente como si alguien que viajara en un vehculo o barco sostuviera que l est sentado e inmvil en tanto que los campos y rboles se mueven. Pero as son las cosas hoy da: cuando un hombre desea ser ms avisado, tiene que inventar algo especial, y la manera en que lo hace tiene que ser la mejor. Ese necio desea trastocar todo el arte de la astronoma de arriba abajo. Sin embargo, como nos dicen las Sagradas Escrituras, Josu mand al Sol que se detuviera y no a la Tierra. En este prrafo aparece por primera vez el famoso texto de las Escrituras que sera utilizado hasta la saciedad por la Iglesia Catlica para condenar el copernicanismo en 1616 y que obligara a Galileo a darle una retorcida y refinada interpretacin en la Carta a Cristina de Lorena para intentar eliminar la acusacin (cosa que no consigui, pues l mismo fue condenado en 1632). Por su parte, Melanchton, amigo y seguidor de Lutero, humanista y profesor en Wittenberg, tambin rechaz el heliocentrismo copernicano en trminos semejantes a los de Lutero, pero acept sus desarrollos tcnicos dando pie a la llamada interpretacin de Wittenberg: que la teora copernicana era simplemente una buena hiptesis de trabajo para mejorar los clculos y como tal deba usarse, aunque su afirmacin fundamental sobre el movimiento de la Tierra no deba considerarse verdadera. Esta interpretacin es la que se recoge en el prlogo de Osiander y se puede encontrar tambin tras las Tablas Prusianas de Reinhold, calculadas utilizando la teora de Coprnico. La reaccin luterana, no obstante, no pas de ah y la mejor prueba es que Rheticus, luterano, alumno y protegido de Melanchton y profesor de matemticas en Wittenberg desde 1536, no tuvo ningn impedimento para trasladarse a Frauenburg y acabar siendo el nico discpulo 3 Curso Universitario Interdisciplinar Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas 2003


haber llegado a odos del Papa Clemente VII, que en 1533 peda a Widmanstadt que se lo explicara, e igualmente fue la causa de que Rheticus, un joven profesor de matemticas nada menos que en la muy protestante universidad de Wittenberg, se trasladara a Frauenburg para convertirse en el nico discpulo que tuvo Coprnico.

Pese a todo, Coprnico no public su libro hasta despus que Rheticus publicara en 1540 la Narratio Prima5, donde expona la teora copernicana, e incluso entonces se desentendi de la edicin del libro hasta tal punto que la obra apareci con una carta al lector a modo de prlogo en la que se contradeca no ya el espritu, sino las afirmaciones expresas del autor en la dedicatoria al Papa Pablo III que iba a continuacin. Incluso es posible que el ttulo inicial, simplemente De Revolutionibus, fuera sustituido por el mucho ms correcto polticamente De Revolutionibus Orbium Coelestium y la impresin del libro no se llev a cabo a partir del manuscrito original de Coprnico, sino de una copia que posea Rheticus. En efecto, Coprnico deleg en Rheticus todo lo concerniente a la impresin y ste, teniendo que incorporarse a su nuevo puesto en la universidad de Leipzig, dej a cargo de la edicin a Andreas Osiander, polmico telogo luterano que acabara siendo expulsado de Nuremberg como sospechoso de inclinaciones papistas, el cual escribi por su cuenta la polmica carta al

que tuvo Coprnico durante toda su vida e incluso acometer la edicin del De Revolutionibus. Por el contrario, la reaccin catlica fue mucho ms tarda, aunque tambin mucho ms agresiva. Todava a finales del siglo XVI, Clavius, el famoso astrnomo jesuita director del Colegio Romano, mostraba sus simpatas hacia la teora copernicana entendida como modelo matemtico, en lnea con la interpretacin de Wittenberg, aunque acab siendo el impulsor de la aceptacin oficial de la teora mixta de Tycho Brahe como sustituta de la teora de Ptolomeo. No sera hasta que Galileo comenz sus ataques al aristotelismo apoyndose en la teora copernicana que la respuesta de la Iglesia Catlica se volvi violenta, primero los dominicos y luego los jesuitas, hasta culminar en la condena de Galileo, que no sera revocada hasta el s. XX. 5 El ttulo completo es De libri revolutionum N. Copernici narratio prima. A lo largo de toda la exposicin, Rheticus se presenta como discpulo y defensor de Coprnico, aunque se haba formado en Wittenberg y perteneca al grupo de Melanchton, Peucer, etc Rheticus escribi tambin una defensa de Coprnico para salvar la contradiccin con las Sagradas Escrituras, defensa que desgraciadamente se ha perdido. En cualquier caso, parece que tal defensa iba dirigida ms a los protestantes, especialmente al crculo de Wittenberg al que Rheticus perteneca, que a la Iglesia Catlica, cuya reaccin violenta no tuvo lugar hasta mucho despus con la condena del copernicanismo en 1613. Sorprendentemente, Coprnico no hace ni una sla referencia a Rheticus en su dedicatoria al Papa, pese a que cita al resto de sus amigos, quiz porque Rheticus era protestante o porque pensaba que un ayudante no mereca ser citado. Extraa forma de agradecerle que se hubiera encargado de la edicin del libro o que hubiera defendido el copernicanismo frente a su protector, el poderoso Melanchton. Hay otros dos detalles interesantes en la Narratio Prima. El primero es que parece indicar que el ttulo del libro de Coprnico sera simplemente De Revolutionibus (De libri revolutionum dice el ttulo de la Narratio Prima), sin especificar si quien gira es la Tierra o las esferas celestes, de ah la carga de la acusacin a Osiander de haber cambiado el ttulo en la imprenta para hacerlo polticamente correcto (el ttulo definitivo impuesto por Osiander sugiere que se mueven las esferas celestes y la Tierra permanece fija, al menos para quienes no estuvieran al corriente de la teora copernicana). La segunda es que incluye un captulo dedicado a la astrologa y a las mejoras en la precisin de los horscopos que introducira la teora de Coprnico, destacando la peculiar interpretacin que hace Rheticus del nacimiento y decadencia cclicos de los grandes imperios, fenmenos que estaran relacionados con los momentos de mxima proximidad y mximo alejamiento entre la Tierra y el Sol, los cuales a su vez dependeran del movimiento excntrico achacado por Coprnico a la Tierra en el De Revolutionibus. De ah que a la excntrica de la Tierra se la llamara la rueda de la fortuna. Un tercer detalle, ms anecdtico, es que la Narratio prima es uno de los primeros textos en que aparece la metfora del universo como un reloj y Dios como el relojero que tan popular se hara en pocas posteriores. 4 Curso Universitario Interdisciplinar Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas 2003


lector y la incluy sin firma en el libro. Quiere la leyenda, encarnada en T. Giese, que Coprnico recibiera el libro instantes antes de morir y fuera testigo de la superchera. Ni las airadas protestas de Giese, ni la rabia de Rheticus lograron que el editor quitara el prlogo de Osiander o identificara pblicamente al autor, de manera que la mayora de los lectores lo consideraron original del propio Coprnico hasta que Kepler en la Astronomia Nova de 1609 descubri el fraude e identific a su autor.

Vesalio

Por su parte, el segundo libro, titulado De humani corporis fabrica libri septem y

dedicado al emperador Carlos V, es completamente distinto. Su autor era un joven y ambicioso profesor de la universidad de Padua de apenas 28 aos llamado Andreas Vesalio (1514-1564), antiguo estudiante de medicina en las muy tradicionales universidades de Lovaina y Pars, que se haba hecho popular por sus mtodos de enseanza poco ortodoxos, especialmente su obsesin en realizar disecciones por su propia mano al mismo tiempo que imparta la clase y describa detalladamente las operaciones que iba realizando6.

Su descaro y su inters en la diseccin como prueba emprica haban quedado patentes desde su poca de estudiante en Pars, donde no dudaba en ofrecerse como ayudante voluntario para llevar a cabo la diseccin mientras el profesor dictaba la clase7, y una vez en Padua llev a cabo su primera diseccin pblica dos das despus de recibir all el grado de doctor en 1537. De la misma manera, dej constancia de su audacia sin lmites y de su habilidad para vender su imagen desde esas mismas fechas, pues nada ms terminar sus estudios en Pars y antes de incorporarse a Padua escribi un Comentario sobre Rhazes (Paraphrasis in nonum librum Rhazae), publicado poco despus en Basilea, en el que segn dice pretenda comparar cuidadosamente la terapia de los rabes con la de los griegos, pero que dado su casi nulo conocimiento del rabe consista simplemente en una ligera correccin estilstica de la antigua traduccin latina de la obra del famoso mdico rabe y en identificar las drogas y remedios citados en trminos de la farmacopea de la poca. Ms atrevida an fue su publicacin en 1538 de una edicin de las Institutiones anatomicae de su antiguo profesor en Pars, Gnther de Adernach, sin permiso del autor, al que ni cita, y corrigiendo lo que l consideraba errneo por su cuenta y riesgo.

6 El sistema tradicional consista en que el profesor imparta la clase sentado en la ctedra leyendo o comentando algn texto mientras la diseccin era llevada a cabo por los prosectores u ostensores o, en el mejor de los casos, por algn estudiante ayudante. Esto haca que, con frecuencia, lo que el profesor iba contando tuviera poco que ver con lo que el encargado de la diseccin estaba haciendo. En el prefacio al De Fabrica, Vesalio critica cidamente esa costumbre e insiste en que el nico mtodo de enseanza razonable consiste que sea el propio profesor quien lleve a cabo la diseccin al tiempo que imparte la clase. La propuesta era realmente revolucionaria porque, como es sabido, los mdicos de la poca no solan ejercer la ciruga, que era llevada a cabo por los cirujanos-barberos, una profesin reconocida gremialmente cuyos practicantes la adquiran mediante el sistema de aprendices y sin estudiar en la universidad. En algn caso, como el de la universidad de Pars, el ingreso en la facultad de medicina inclua el juramento de no dedicarse a la ciruga. 7 Poco dado a la modestia, el propio Vesalio lo cuenta en el prefacio al De Fabrica: En la tercera diseccin en la que estuve presente y a requerimiento de mis compaeros estudiantes y de los profesores, la llev a cabo en pblico y de manera ms completa de lo que era habitual y en la pgina 538 se recrea en los detalles diciendo que el cadver era de una prostituta de hermosa figura y en la flor de la vida, que se haba ahorcado y con la que hice mi primera diseccin en una anatoma pblica. El profesor era Gnther de Adernach. 5 Curso Universitario Interdisciplinar Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas 2003


Curiosamente, tanto en esta, como en todas sus publicaciones anteriores al De Fabrica, Vesalio sigue respetuosamente los planteamientos de Galeno, sea en sus obras dedicadas a la docencia, como las lminas de las Tabulae sex (o Tabulae anatomicae) de 1538, una innovacin pedaggica fundamental pero en la que siguen apareciendo supuestos galnicos tan importantes como la rete mirabile o el hgado con cinco lbulos8, sea en sus obras ms tericas, como la Carta sobre la veneseccin de 1539, en la que se involucra en la disputa sobre la sangra entre la escuela musulmana y la nueva escuela griega, por la que toma partido9. Incluso en 1541 participa en la edicin de Giunta de las obras completas de Galeno encargndose de tres de sus obras: Sobre la diseccin de los nervios, Sobre la diseccin de las venas y arterias y Sobre los procedimientos anatmicos.

Era difcil imaginar que, mientras tanto, entre 1540 y 1542 Vesalio estaba trabajando intensamente en el De Fabrica, un libro con ms de 700 pginas y 70 lminas con 200 ilustraciones que pretenda ser una descripcin completa de la anatoma humana en la que todas las descripciones pudieran verificarse con referencia al cadver humano, sea mediante disecciones directas, sea a travs de las cuidadosas lminas incluidas en la obra, en lugar de la prctica habitual de Galeno consistente en diseccionar cadveres de animales y extrapolar sus observaciones a la anatoma humana.

Esto implicaba otras muchas consecuencias que Vesalio desgrana prolijamente en el prlogo del libro: mostrar que Galeno estaba equivocado en sus descripciones y, sobre todo, en su mtodo; defender que la anatoma tena que basarse en la experiencia directa obtenida de la diseccin de seres humanos y no de animales; recuperar la diseccin como parte de la profesin mdica; cambiar sustancialmente los mtodos de enseanza y, muy especialmente, dignificar la anatoma como ciencia y mostrar su importancia tanto para la prctica mdica como para el conocimiento general del cuerpo humano. De ah que el libro est destinado no slo a anatomistas, mdicos o estudiantes, sino tambin a artistas preocupados por la representacin naturalista y exacta del cuerpo humano y, en general, a todos aquellos interesados en conocer su estructura interna y su articulacin como un todo. Por ello, Vesalio no dud en publicar junto con el De Fabrica un breve compendio resumido del gran tratado, el Epitome, en el que las lminas juegan un papel an ms importante y que dedica al hijo del emperador, el entonces prncipe Felipe II. Para conseguir esta multiplicidad de objetivos Vesalio explot exhaustivamente todos los recursos de la imprenta, incluyendo los ms subliminales, como hace con las letras capitulares en las que aparecen putti y enanos llevando a cabo prcticas habitualmente atribuidas a los estudiantes de medicina, como robar cadveres, hacer disecciones e incluso vivisecciones de animales, etc10.

A diferencia de Coprnico, Vesalio fue consciente desde un primer momento del enorme potencial de la imprenta no slo como medio de difusin, sino como instrumento de conviccin mediante la combinacin adecuada de textos e imgenes, que permitan integrar en un conjunto articulado argumentos lgicos, pruebas empricas, sugerencias retricas y elementos estticos, dando lugar a un soberbio despliegue difcil de rechazar aunque no se 8 Las Tabulae sex son, como su nombre indica, seis grandes lminas destinadas a ensear anatoma a los cirujanos-barberos. Dibujadas por van Kalkar bajo la direccin de Vesalio, incluyen 3 diagramas del sistema vascular y tres esqueletos (de frente, de perfil y de espaldas). 9 La polmica se refera a si la incisin para la sangra en los casos de pleuresa deba hacerse en el costado izquierdo o en el costado derecho. En el mismo texto Vesalio observa y comenta el problema de las vlvulas en las venas, con lo que estuvo muy cerca de descubrir la circulacin de la sangre. 10 Estas actividades no eran nada extraas. El propio Vesalio habla en la Carta sobre la raz china de sus frecuentes excursiones al Cementerio de los Inocentes de Pars durante su poca de estudiante para buscar huesos y cmo rob su primer cadver en 1536. 6 Curso Universitario Interdisciplinar Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas 2003


estuviera de acuerdo con l. Por ello su control de la edicin fue absoluto y minucioso durante el ao largo que dur, hasta el punto que no se sabe a ciencia cierta quien fue el autor de las ilustraciones, si Johannes van Kalkar, que ya haba trabajado con Vesalio en las Tabulae Sex, o varias personas del taller de Tiziano.

En cualquier caso la supervisin de Vesalio fue tan estricta que pag de su bolsillo las planchas grabadas en madera, envi instrucciones detalladas al editor con cada uno de los grabados y no tuvo escrpulo en trasladarse l mismo a Basilea a finales de 1542, dejando de cobrar su salario de la universidad de Padua, hasta que el libro estuvo impreso en el verano de 1543. Todava entonces esper ms de un mes hasta obtener una copia especialmente buena del De Fabrica y el Epitome para encuadernarla lujosamente en terciopelo rojo y llevarla personalmente al emperador. Nada ms entregar el regalo fue nombrado mdico de Carlos V y slo volvi a Padua para reclamar el salario de los meses pasados en Basilea, dejando la universidad definitivamente para dedicarse a su nueva tarea como mdico del emperador y posteriormente de su hijo Felipe II.

En contraste con la frentica actividad desarrollada entre 1537 y 1543, Vesalio slo escribi dos pequeos trabajos durante el resto de su vida: uno, la Carta sobre la raz china de 1546, dedicada a defender su libro contra los seguidores de Galeno y a narrar detalles autobiogrficos, muchos de los cuales encierran venganzas personales, y otro, el Examen de Fallopio, en el que revisa y replica de manera harto amable para su carcter pendenciero a las Observaciones anatmicas de Fallopio. Bibliografa N. Coprnico: Sobre las revoluciones de las esferas celestes. Ed. Nacional. N. Coprnico: Commentariolus. Alianza. M.J. Crowe: Theories of the world from Antiquity to the Copernican Revolution. Dover. A. Durero: Geometrie. Ed. du Seuil. S.Y. Edgerton: The Renaissance rediscovery of linear perspective. Basic Books. S.Y. Edgerton: The heritage of Giottos geometry. Cornell University Press. J.V. Field: The invention of infinity. Oxford University Press. J.V. Field, J.J. Gray: The geometrical work of G. Desargues. Springer. T. Hall: La revolucin cientfica. Crtica. P. Hamou: La vision perspective. Payot. N.R. Hanson: Conjeturas y constelaciones. Alianza. T.S. Kuhn: La revolucin copernicana. Ariel. C. OMalley: Andreas Vesalius of Brussels. University of California Press. C.M. Saunders, C. OMalley: Illustrations from the works of A. Vesalius of Brussels. Dover. A. Vesalio: De humani corporis fabrica. Edisa. En Internet http://www.bj.uj.edu.pl/bjmanus/revol/titlpg_e.html Nicholas Copernicus: De Revolutionibus

Edicin facsmil del manuscrito original de Coprnico. http://webexhibits.org/calendars/year-text-Copernicus.html Full text - Nicholas Copernicus, De Revolutionibus

Traduccin inglesa del texto de Coprnico.


http://www.bj.uj.edu.pl/bjmanus/revol/titlpg_e.htmlhttp://webexhibits.org/calendars/year-text-Copernicus.html



http://www.frombork.art.pl/Ang01.htm Nicolaus Copernicus Museum in Frombork

Museo de Coprnico en su ciudad natal, con datos biogrficos. http://www.hps.cam.ac.uk/starry/starrymessenger.html Starry Messenger

Pgina de historia de la astronoma hasta la Revolucin Cientfica (biografas, problemas, instrumentos).

http://www.hao.ucar.edu/public/education/sp/images/derevolutionibus.html Copernicus De Revolutionibus

Breve historia de la fsica solar (esta es la parte dedicada a Coprnico). http://www.dartmouth.edu/~matc/readers/renaissance.astro/0.intro.html As the World Turned

Recepcin del Copernicanismo (con textos muy curiosos de Dee, Bruno, etc.). http://www.octavo.com/products/index.html

Octavo Products Los libros de Coprnico y Vesalio estn editados en CD por Octavo (como tambin Newton, Harvey, etc.). Esta es la pgina de la editorial, y pueden verse fragmentos de los libros.

http://vesalius.northwestern.edu Andreas Vesalius De Humani Corporis Fabrica

Excelente pgina dedicada a Vesalio de la Universidad Northwestern. http://www.nlm.nih.gov/exhibition/dreamanatomy/da_intro.html

Dream Anatomy Exposicin de imgenes de anatoma, muchas contemporneas de Vesalio (para comparar con las de su libro).

http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit11/unit11.html Geometry in Art and Architecture

Curso sobre Arte y Ciencia, especialmente matemticas (esta es la parte de perspectiva) de la Universidad de Dartmouth.

http://www.crs4.it/Ars/arshtml/arstoc.html The Art of Renaissance Science

Pgina muy interesante sobre Arte y Ciencia en el Renacimiento mantenida por J. Dauben, un historiador de la ciencia especializado en Galileo.

http://mathforum.org/sum95/math_and/perspective/perspect.html#discussion Perspective Drawing

Breve discusin de la perspectiva con enlaces a obras pictricas.

http://www.frombork.art.pl/Ang01.htmhttp://www.hps.cam.ac.uk/starry/starrymessenger.htmlhttp://www.hao.ucar.edu/public/education/sp/images/derevolutionibus.htmlhttp://www.dartmouth.edu/~matc/readers/renaissance.astro/0.intro.htmlhttp://www.octavo.com/products/index.htmlhttp://vesalius.northwestern.edu/http://www.nlm.nih.gov/exhibition/dreamanatomy/da_intro.htmlhttp://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit11/unit11.htmlhttp://www.crs4.it/Ars/arshtml/arstoc.htmlhttp://mathforum.org/sum95/math_and/perspective/perspect.html

Naturaleza del conocimiento matemtico y sus implicaciones en la Enseanza de las Matemticas en la Educacin Secundaria

Martn M. Socas Robayna Catedrtico de Didctica de la Matemtica del Departamento de Anlisis Matemtico de la Universidad de La Laguna Miembro de la Comisin de Educacin de la Real Sociedad Matemtica Espaola

Resumen

La integracin de nuestro pas en la Comunidad Europea plante a nuestro Sistema Educativo nuevas demandas; entre otras, se encuentran los esfuerzos para mejorar la calidad de la enseanza en todos sus niveles, la necesaria reforma de la Educacin Secundaria para ampliar el perodo de enseanza obligatoria hasta los diecisis aos, y la necesidad de que desaparezcan las distancias y desigualdades educativas debidas a causas sociales, culturales o econmicas. Es dentro de este marco que las Matemticas no deben aparecer slo como una disciplina formal que se construye lejos de nosotros y de nuestros intereses, sino ms bien como un lenguaje que se manifiesta en todas las formas de expresin humana y que emerge como un derecho cultural esencial para todos los sujetos de la sociedad.

Hablar de la Enseanza de las Matemticas es hablar de las Matemticas como parte importante de la tarea docente. Conocer y dominar las Matemticas es una condicin necesaria para ensearlas de forma adecuada, es decir, el conocimiento matemtico debe constituir el punto de partida bsico para empezar a hablar de los aspectos educativos. Muchas de las determinaciones didcticas que se adopten estarn condicionadas por las caractersticas de dicho conocimiento, el cual llega a imprimir al proceso educativo una serie de presupuestos peculiares y diferenciados de los que corresponden a otras disciplinas.

La Matemtica constituye una disciplina multiforme, que tiene un uso plural, que se ha manifestado en la enseanza, como seala Romberg (1991), con rasgos diferentes, dependiendo de las pocas y de los autores. Es, en general, considerada de formas diversas: conjunto de tcnicas para aprobar un examen, cuerpo de conocimientos para ser aprendido, lenguaje especfico con una notacin particular, estudio de las estructuras lgicas subyacentes, juego artificial jugado por un matemtico, construccin de modelos tiles en la ciencia, procedimientos de clculo necesarios para aplicar el conocimiento... Lo importante no son los distintos aspectos de la Matemtica en los que se puede o no incidir, sino el conocimiento de los elementos principales que conforman la disciplina, y hacer recaer la actividad matemtica en el desarrollo de estos elementos principales.

La racionalidad de la Matemtica no la podemos supeditar a la consistencia lgica de sus resultados expresados en un lenguaje formalizado. Su racionalidad es inseparable de la actividad matemtica, de la conjetura, del ensayo, del error, de la construccin de lenguajes, de resultados susceptibles de completarse y mejorarse, ... La Matemtica como empresa humana y racional se mueve entre dos posiciones: por un lado, su naturaleza histrica, que nos muestra la potencialidad de la creacin humana; y, por otro, los objetos matemticos, los elementos de esa cultura que llamamos culturizacin matemtica, que nos permite hablar de descubrimiento.


Mdulo 1: Matemticas y Sociedad Naturaleza del conocimiento matemtico...

Vemos cmo el lenguaje, como elemento mediador en la cultura matemtica, nos va a permitir hablar a la vez de creacin y descubrimiento.

Los problemas relativos a la Filosofa de la Matemtica pueden ser abordados, en la actualidad, desde las dos grandes posiciones que han caracterizado la naturaleza del conocimiento matemtico durante las distintas pocas: la prescriptiva (o normativa) y la descriptiva (o naturalista). La primera parte procede de una posicin absolutista de la Matemtica, y la segunda analiza el conocimiento matemtico desde la prctica matemtica y sus aspectos sociales. La relacin entre la enseanza de las Matemticas y estos dos grandes enfoques en la Filosofa de la Matemtica es una cuestin evidente (Ernest, 1994).

En esta ponencia se realiza una reflexin sobre la naturaleza de las Matemticas en sus diferentes aspectos, as como las implicaciones que se derivan en relacin con las propuestas curriculares para Matemticas en la Educacin Secundaria.

Bibliografa P. Ernest: The philosophy of mathematics and the didactics of mathematics. En R. Biehler et al.

(editores): Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline, pp. 335-349. Kluwer, Dordrecht, 1994.

C. Can: La matemtica: Creacin y descubrimiento. Publicaciones de la Universidad Pontificia de Comillas, Madrid, 1993.

P.J. Davis, R. Hersh: Experiencia matemtica. MEC-Labor, Madrid, 1988. [Ttulo original: The Mathematical Experience. Birkhuser, Boston, 1982].

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Educacin 294 (1991), 323-406.


Curso Universitario Interdisciplinar "Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas" 2003 1

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SOCIEDAD, CIENCIA, TECNOLOGA Y MATEMTICAS

Curso Universitario InterdisciplinarMarzo 2003

NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO Y SUS IMPLICACIONES EN LA ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS EN LA

EDUCACIN SECUNDARIA

Martn M. Socas

UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA

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NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO Y SUS IMPLICACIONES EN LA ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS

EN LA EDUCACIN SECUNDARIA

Hablar de la enseanza de las Matemticas es hablar de las Matemticas como parte importante de la tarea docente.

Conocer y dominar las Matemticas es una condicin necesaria, para ensearlas de forma adecuada.

Muchas de las determinaciones didcticas que se adopten estarn condicionadas por dicho conocimiento, el cual llega a imprimir al proceso educativo una serie de caractersticas peculiares y diferenciadas de las que corresponden a otras disciplinas.

Desde esta perspectiva, la profesin de docentes de Matemticas, tiene un punto de partida ineludible: la CulturaMatemtica.

El futuro profesor deber entender el proceso de Matematizacin de la Cultura para adaptar y procesar su conocimiento terico con el fin de ayudar a sus futuros alumnos a construir su propio conocimiento matemtico.

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La Matemtica constituye de hecho una disciplina multiforme, que tiene un uso plural, que se ha manifestado en la enseanza, con rasgos diferentes (Romberg, 1991).

Es considerada de formas diversas: conjunto de tcnicas para aprobar un examen, cuerpo de conocimientos para ser aprendido, lenguaje especfico con una notacin particular, construccin de modelos tiles en la ciencia, procedimientos de clculo necesarios para aplicar el conocimiento...

Lo que debemos resaltar son los elementos principales de la disciplina matemtica y hacer recaer la actividad matemtica en el desarrollo de estos elementos principales.

Cules son esos elementos principales de la disciplina Matemtica? Qu influencia han tenido en los currculos de matemticas de las diferentes reformas educativas?

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Responder a las preguntas anteriores es la intencin de esta ponencia en la que se reflexiona sobre la naturaleza de las Matemticas y se analiza sus implicaciones en la enseanza de las Matemticas en la Educacin Secundaria tomando en consideracin las diferentes reformas educativas que han tenido lugar en este pas en los ltimos treinta aos:

Ley General de Educacin (LGE, 1970), Ley Orgnica de Ordenacin General del Sistema Educativo (LOGSE, 1990) y Ley Orgnica de Calidad de la Educacin (LOCE, 2002).



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Estructuramos la presentacin en cuatro apartados. - Naturaleza del conocimiento matemtico

(Tomamos como punto de partida el finalizado siglo XX y diferenciamos la primera y segunda mitad del mismo).

- Los currculos de matemticas en las diferentes reformas educativas: LGE, LOGSE y LOCE

- Calidad de las matemticas que se estudian en la Educacin Secundaria (12-18 aos)Se analizan y comparan los resultados obtenidos en Matemticas por alumnos de 12, 13, 14, 15 y 18 aos en distintas pruebas nacionales e internacionales.

- Formacin del profesorado de Matemticas de Secundaria



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Las escuelas que han caracterizado la naturaleza del conocimiento matemtico se pueden organizar, en dos grandes grupos: prescriptiva (o normativa) y descriptiva (o naturalista) (Ernest 1994).

- La concepcin prescriptiva de las Matemticas considera la tradicin absolutista y el platonismo como corriente filosfica. El conocimiento matemtico es fijo y objetivo y estconstituido por verdades absolutas y representa el nico sustento del conocimiento verdadero, base del conocimiento humano y de la racionalidad.

- La concepcin descriptiva de las Matemticas incluye en su anlisis un aspecto importante del conocimiento matemtico: la prctica matemtica y sus aspectos sociales.

NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO


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La racionalidad de la Matemtica la podemos supeditar a la consistencia lgica de sus resultados,expresados en un lenguaje formalizado, o, por el contrario su racionalidad es inseparable de la actividad matemtica, de la conjetura, del ensayo, del error, de la construccin de lenguajes, de resultados susceptibles de completarse y mejorarse...

En cualquier caso parece razonable aceptar que la Matemtica como empresa humana y racional se mueve entre dos posiciones, la de su naturaleza histrica que nos muestra la potencialidad de la creacin humana, y la de los objetos matemticos, los elementos de esa cultura que llamamos culturizacin matemtica, que nos permite hablar de descubrimiento. El lenguaje como elemento mediador en la cultura matemtica nos va a permitir hablar a la vez de creacin y descubrimiento.

NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO

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NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO: PRIMERA MITAD DEL SIGLO XX

Encontramos tres grandes enfoques: el Encontramos tres grandes enfoques: el logicistalogicista, el , el formalista y el formalista y el intuicionistaintuicionista, que intentaron cimentar el edificio , que intentaron cimentar el edificio matemmatemtico y mostrar la racionalidad de esta disciplina.tico y mostrar la racionalidad de esta disciplina.

El Logicismo tiene su origen en El Logicismo tiene su origen en LeibnizLeibniz:: el conocimiento el conocimiento matemmatemtico es un conocimiento verdadero, los objetos de la tico es un conocimiento verdadero, los objetos de la MatemMatemtica son verdades necesarias y universales, y los tica son verdades necesarias y universales, y los principios lprincipios lgicos juegan un papel determinante para gicos juegan un papel determinante para fundamentar los resultados matemfundamentar los resultados matemticos. Este planteamiento ticos. Este planteamiento racionalista y racionalista y logicistalogicista encuentra su apoyo en encuentra su apoyo en FregeFrege, qui, quin en n en 1884 lo inicia como una escuela en busca de los fundamentos de l1884 lo inicia como una escuela en busca de los fundamentos de la a MatemMatemtica.tica.

Las dificultades que surgen dentro de la escuela Las dificultades que surgen dentro de la escuela logicistalogicista, en relaci, en relacin a los fundamentos, llevan a dos grandes n a los fundamentos, llevan a dos grandes matemmatemticosticos,, HilbertHilbert y y BrouwerBrouwer,, a realizar sendas propuestas a a realizar sendas propuestas a partir de los presupuestos de la filosofpartir de los presupuestos de la filosofa kantiana, el formalismo a kantiana, el formalismo y el intuicionismo, respectivamente. y el intuicionismo, respectivamente.

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La MatemLa Matemtica es para tica es para HilbertHilbert (Formalismo)(Formalismo)producto del pensamiento humano y constituye un juego producto del pensamiento humano y constituye un juego desprovisto de significado y constituido por axiomas, desprovisto de significado y constituido por axiomas, definiciones, teoremas y fdefiniciones, teoremas y frmulas. Desde ermulas. Desde esteste punto de punto de vista no tiene sentido hablar de la naturaleza de los objetos vista no tiene sentido hablar de la naturaleza de los objetos matemmatemticos, dado que no existen. Sticos, dado que no existen. Slo hay reglas y lo hay reglas y cadenas de scadenas de smbolos. mbolos.

El planteamiento de El planteamiento de BrouwerBrouwer (Intuicionismo) (Intuicionismo) es es mostrar la exactitud de la Matemmostrar la exactitud de la Matemtica con independencia tica con independencia del lenguaje y de la ldel lenguaje y de la lgica. En relacigica. En relacin con el logicismo su n con el logicismo su planteamiento es radicalmente distinto. Para los planteamiento es radicalmente distinto. Para los logicistaslogicistas, , la Matemla Matemtica cltica clsica no podsica no poda contener errores, sin a contener errores, sin embargo, para los embargo, para los intuicionistasintuicionistas ocurrocurra todo lo contrario, a todo lo contrario, lo que les lleva a reconstruir las Matemlo que les lleva a reconstruir las Matemticas desde su ticas desde su base, a partir del concepto de nbase, a partir del concepto de nmero natural. mero natural.

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Las consideraciones que sobre las Las consideraciones que sobre las MatemMatemticas hace el intuicionismo pueden ticas hace el intuicionismo pueden enmarcarse tanto dentro deenmarcarse tanto dentro dell planteamiento planteamiento prescriptivoprescriptivo como descriptivo.como descriptivo.

Es Es prescriptivoprescriptivo en cuanto que trata de en cuanto que trata de asegurar los fundamentos de las Matemasegurar los fundamentos de las Matemticas ticas sobre una base constructivasobre una base constructiva. .

Es descriptivo al Es descriptivo al reconocereconocerr la importancia la importancia humana de la actividad matemhumana de la actividad matemtica en la tica en la construcciconstruccin de las demostraciones y en la n de las demostraciones y en la creacicreacin de los nuevos conocimientosn de los nuevos conocimientos..

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Dos concepciones ontolgicas:-- Las acciones de descubrir e inventar nos lleva en la Las acciones de descubrir e inventar nos lleva en la actividad matemactividad matemtica a dos concepciones ontoltica a dos concepciones ontolgicas gicas diferentes. diferentes. PlatonismoPlatonismo: que supone aceptar que los : que supone aceptar que los objetos matemobjetos matemticos y las relaciones entre ellos tienen un ticos y las relaciones entre ellos tienen un carcarcter objetivo, y cter objetivo, y ConstructivismoConstructivismo, que por el , que por el contrario, dota de subjetividad a estos objetos y sus contrario, dota de subjetividad a estos objetos y sus relaciones. relaciones. -- Para PlatPara Platn los objetos matemn los objetos matemticos no estticos no estn en n en continuidad con los objetos sensibles, su existencia es continuidad con los objetos sensibles, su existencia es independiente de ellos. Tampoco son producto del independiente de ellos. Tampoco son producto del pensamiento humano. Los objetos matempensamiento humano. Los objetos matemticos pertenecen ticos pertenecen a un tercer mundo de naturaleza diferente a los dos a un tercer mundo de naturaleza diferente a los dos anteriores, anteriores, PopperPopper (1974).(1974).-- El trabajo del matemEl trabajo del matemtico plattico platnico es un trabajo nico es un trabajo empirista, dado que no inventa sino que descubre los empirista, dado que no inventa sino que descubre los conceptos matemconceptos matemticos. Utiliza para ello la percepciticos. Utiliza para ello la percepcin y la n y la intuiciintuicin matemn matemticatica 12


Dos concepciones ontolgicasEl formalismo y el intuicionismo comparten el El formalismo y el intuicionismo comparten el

carcarcter exacto, independiente de toda experiencia, de las cter exacto, independiente de toda experiencia, de las leyes matemleyes matemticas. ticas.

LLo que provoca la separacio que provoca la separacin entre las dos n entre las dos escuelasescuelas ees el papel que los formalistas otorgan a la ls el papel que los formalistas otorgan a la lgica y gica y al lenguaje en la actividad matemal lenguaje en la actividad matemtica y en la tica y en la fundamentacifundamentacinn de los resultados. de los resultados.

Al pensar en los objetos de la MatemAl pensar en los objetos de la Matemticaticapodemos:podemos: considerar el lenguaje en un nivel secundario considerar el lenguaje en un nivel secundario enenrelacirelacin n concon los objetos los objetos ((IntuicionistaIntuicionista)) o pensar que la o pensar que la objetividad de la Matemobjetividad de la Matemtica esttica est inseparablemente unida inseparablemente unida a su formulacia su formulacin lingn lingstica stica ((FormalistaFormalista)). .

El formalismo mantiene una posiciEl formalismo mantiene una posicin absolutista n absolutista mientras el intuicionismo mantiene una posicimientras el intuicionismo mantiene una posicin relativista n relativista en relacien relacin con el conocimiento matemn con el conocimiento matemtico. tico.


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Reducir la actividad matemtica a justificaciones lgicas expresadas en teora de conjuntos e ignorando otros modos de expresin y otras formas de razonamiento, no han producido los resultados esperados.

Una vez abandonada la bsqueda de fundamentos para las Matemticas:

- La filosofa de las matemticas puede comenzarse de nuevo examinando las prcticas reales de los matemticos y de los que usan las matemticas.

- Si contemplamos la Matemtica sin prejuicios, aparecen muchos hechos relevantes que los fundamentalistas ignoraron: demostraciones informales, desarrollo histrico, la posibilidad del error matemtico, comunicacin entre matemticos, el uso de ordenadores en la matemtica y muchos ms,...Tymozcko (1986)

NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO: SEGUNDA MITAD DEL SIGLO VEINTE

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Es necesario una reconceptualizacin de la Filosofa de las Matemticas (Ernest, 1989 y 1991), que d respuestas a cuestiones como las siguientes:

Cul es el propsito de las Matemticas? Qu papel posee el ser humano dentro de las Matemticas? Cmo el conocimiento subjetivo del individuo llega a ser el conocimiento objetivo de las Matemticas? Cmo se refleja la Historia en la Filosofa de las Matemticas? Cul es la relacin de las Matemticas con las otras reas de experiencia y el conocimiento humano? Por qulas teoras probadas por la Matemtica pura llegan a ser tan potentes y tiles en sus aplicaciones a la ciencia y a los problemas prcticos?

El anlisis de todos estos factores, permitir considerar, adems de los problemas internos de las Matemticas -ontolgicos y epistemolgicos- exclusivamente tratados por el absolutismo, los aspectos externos, como su historia, la gnesis, su prctica, etc.


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- En la segunda mitad del siglo XX, surgen nuevas corrientes acerca de la naturaleza de las Matemticas que recuperan las posiciones no absolutistas (Intuicionismo) de la primera mitad del siglo.

- Dentro de estas corrientes que contemplan las Matemticas desde una perspectiva descriptiva o naturalista, se sitan una serie de tendencias ms modernas que surgen desde una visin falibilista de las Matemticas y que contemplan las necesidades e implicaciones sociales de las matemticas, y examinancrticamente la estructura del conocimiento matemtico adquirido por el ser humano inmerso en la sociedad.

- Estas tendencias son: el empirismo, el cuasi-empirismo, el convencionalismo y el naturalismo.


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El empirismo tiene sus races en diferentes autores del los siglos XVII y XVIII, Locke, Berkeley y Hume entre otros. La idea central es conceder a la experiencia humana la validez exclusiva como fuente del conocimiento.

Representa la opcin ms extrema de la consideracin descriptiva de las Matemticas. Esta corriente filosfica admite una visin de la naturaleza de las Matemticas que descansa sobre la consideracin de que las verdades matemticas son generalizaciones empricas. As, los conceptos matemticos tienen orgenes empricos y las verdades matemticas se derivan de las observaciones del mundo fsico. Sus justificaciones provienen tambin de estas observaciones.


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El cuasi-empirismo es una corriente, relativamente reciente, surge de la enrgica oposicin de su fundador -Imre Lakatos- al Logicismo y Formalismo. - Esta corriente filosfica incluye la dimensin histrica de las Matemticas, a partir de la cual se puede mostrar por qu se desarrollaron los conceptos y resultados particulares de las Matemticas (Lakatos, 1978, 1981).- Tiene ms importancia para esta corriente filosfica la Matemtica informal y prctica que la formal o acabada, y considera que la dialctica conjetura-refutacin, as como el uso constante de contraejemplos, constituyen la clave para la elaboracin de teoras matemticas informales.- Davis y Hersh (1988) aportan al cuasi-empirismo de Lakatos la naturaleza cultural de las Matemticas, tanto a los aspectos internos como a los externos de la misma.


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El convencionalismo tiene como principal representante a Wittgenstein (1978, op. cit. en Ernest1991), quin ofrece una importante visin social de las Matemticas y considera que el conocimiento matemtico y la verdad estn basados en convenios lingsticos; en particular, que las afirmaciones de la lgica y las Matemticas son analticas, verdaderas en virtud del significado de los trminos que utilizan. Su contribucin clave estriba en reconocer las bases sociales y subjetivas

SCTM03 - MODULO 1 - MATERIAL DE TRABAJO

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