Secciones Conicas
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Seccionesc´onicas SECCIONES C ´ ONICAS 1. La circunferencia: La circunferencia C con centro C (h, k) y ra- dio R tiene la ecuaci´on C :(x - h) 2 +(y - k) 2 = R 2 . C C C X Y R Chk (,) Cuando el centro es el origen de coordenadas la ecuaci´on anterior se reduce a C : x 2 + y 2 = R 2 . C C C X Y R Cuando desarrollamos la ecuaci´on de la circunferencia obtenemos la ecuaci´on general de C C : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0. De aqu´ ı C ( -D 2 , -E 2 ) y R = 1 2 √ D 2 + E 2 - 4F son el centro y radio de C . 2. La par´ abola: Presentar´ e la par´abola P con eje focal arbi- trario, del cual resaltar´ e sus elementos m´as im- portantes. L L L L L d L F P P P L R F V ⋆ L F es el eje focal de P. ⋆ L d es la directriz de P. ⋆F es el foco de P. ⋆V es el v´ ertice de P. ⋆ LR es lado recto de P. ⋆ La distancia del v´ ertice al foco es |p|. ⋆ La longitud del lado recto es 4|p|. A continuaci´ on presento las ecuaciones de las par´abolas con ejes focales paralelos a los ejes coordenados. En lo que sigue suponer que las coordenadas del v´ ertice de la par´abola son (h, k) y la distancia entre su v´ ertice y foco es |p|. 1 Digitado en L A T E X por: Su´arez Azpur, Fredy R.
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Secciones conicas
SECCIONES CONICAS
1. La circunferencia:
La circunferencia C con centro C(h, k) y ra-
dio R tiene la ecuacion
C : (x− h)2 + (y − k)2 = R2.
CCC
X
Y
R
C h k( , )
Cuando el centro es el origen de coordenadas la
ecuacion anterior se reduce a
C : x2 + y2 = R2.
CCC
X
Y
R
Cuando desarrollamos la ecuacion de la circunferencia obtenemos la ecuacion general de C
C : x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0.
De aquı C(−D
2,−E
2
)y R =
1
2
√D2 + E2 − 4F son el centro y radio de C .
2. La parabola:
Presentare la parabola P con eje focal arbi-
trario, del cual resaltare sus elementos mas im-
portantes.
LL
LL
Ld L
F
PPP
L
R
FV
⋆ LF es el eje focal de P.
⋆ Ld es la directriz de P.
⋆ F es el foco de P.
⋆ V es el vertice de P.
⋆ LR es lado recto de P.
⋆ La distancia del vertice al foco es |p|.
⋆ La longitud del lado recto es 4|p|.
A continuacion presento las ecuaciones de las parabolas con ejes focales paralelos a los ejes
coordenados. En lo que sigue suponer que las coordenadas del vertice de la parabola son (h, k)
y la distancia entre su vertice y foco es |p|.
1 Digitado en LATEX por: Suarez Azpur, Fredy R.
Secciones conicas
2.1. La parabola con el eje focal paralelo al eje X:
X
Y
L
L
L
L
Ld
LF
PPP
F
V
⋆ Ecuacion P : (y − k)2 = 4p(x− h)
⋆ Coordenadas del vertice V (h, k)
⋆ |p| = distancia del vertice al foco.
⋆ Coordenadas del foco F (h+ p, k)
⋆ Ecuacion del eje focal LF : y = k.
⋆ Ecuacion de la directriz Ld : x = h− p.
⋆ Si p < 0, la parabola se abre hacia la izquierda.
⋆ Si p > 0, la parabola se abre hacia la derecha.
⋆ Si el vertice es el origen de coordenadas la ecuacion se reduce a P : y2 = 4px o P : x = Ay2.
2.2. La parabola con el eje focal paralelo al eje Y :
X
Y L
L
L
L
Ld
LF
PPP
F
V
⋆ Ecuacion P : (x− h)2 = 4p(y − k)
⋆ Coordenadas del vertice V (h, k)
⋆ |p| = distancia del vertice al foco.
⋆ Coordenadas del foco F (h, k + p)
⋆ Ecuacion del eje focal LF : x = h.
⋆ Ecuacion de la directriz Ld : y = k − p.
⋆ Si p < 0, la parabola se abre hacia la abajo.
⋆ Si p > 0, la parabola se abre hacia la arriba.
⋆ Si el vertice es el origen de coordenadas la ecuacion se reduce a P : x2 = 4py o P : y = Ax2.
Ejercicio 1 Grafique las siguientes parabolas y halle sus elementos (vea el contenido teorico)
1. P : y2 − 4x− 8y + 44 = 0
2. P : y2 + 4x+ 4y + 24 = 0
3. P : x2 + 10x− 8y + 65 = 0
4. P : x2 − 12x+ 4y + 48 = 0
2 Digitado en LATEX por: Suarez Azpur, Fredy R.
Secciones conicas
3. La elipse:
Presentare la elipse E con eje focal arbi-
trario, del cual resaltare sus elementos mas im-
portantes.
LLLF
LLLN
F1
V1 B1
F2 V2
B2
L
R
EEE
⋆ LF es el eje focal de E .
⋆ LN es el eje normal de E .
⋆ F1 y F2 son los focos de E .
⋆ V1 y V2 son los vertices de E .
⋆ LR es un lado recto de E .
⋆ La longitud del eje mayor V1V2 es 2a.
⋆ La longitud del eje menor B1B2 es 2b.
⋆ La distancia entre los focos es 2c.
⋆ a2 = b2 + c2
⋆ La longitud del lado recto es2b2
a.
3.1. La elipse con el eje focal paralelo al eje X:
LLLF
LLLN
F1V1
B1
F2 V2
B2
C
X
Y
EEE
⋆ Ecuacion E :(x− h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1
⋆ Coordenadas del centro C(h, k)
⋆ c = distancia del centro al foco.
⋆ Los focos son F1(h− c, k) y F2(h+ c, k)
⋆ Ecuacion del eje focal LF : y = k.
⋆ Ecuacion del eje normal LN : x = h.
3.2. La elipse con el eje focal paralelo al eje Y :
LLLN
LLLF
F1
V1
B1
F2
V2
B2C
X
Y
EEE
⋆ Ecuacion E :(x− h)2
b2+
(y − k)2
a2= 1
⋆ Coordenadas del centro C(h, k)
⋆ c = distancia del centro al foco.
⋆ Los focos son F1(h, k − c) y F2(h, k + c)
⋆ Ecuacion del eje focal LF : x = h.
⋆ Ecuacion del eje normal LN : y = k.
3 Digitado en LATEX por: Suarez Azpur, Fredy R.
Secciones conicas
4. La hiperbola:
Presentare la hiperbola H con eje focal arbi-
trario, del cual resaltare sus elementos mas im-
portantes.
LN
LF
F1
V1
B1
F2V2
B2
C
L
R
HHH
⋆ LF es el eje focal de H .
⋆ LN es el eje normal de H .
⋆ F1 y F2 son los focos de H .
⋆ V1 y V2 son los vertices de H .
⋆ C es el centro de H .
⋆ LR es un lado recto de H .
⋆ La longitud del eje traverso V1V2 es 2a.
⋆ La longitud del eje conjugado B1B2 es 2b.
⋆ La distancia entre los focos es 2c (c > a).
⋆ b2 = c2 − a2
⋆ La longitud de cada lado recto es2b2
a.
4.1. La hiperbola con el eje focal paralelo al eje X:
LN
LF
F1
V1
B1
F2
V2
B2
C
HHH
X
Y
⋆ Ecuacion H :(x− h)2
a2− (y − k)2
b2= 1
⋆ Coordenadas del centro C(h, k)
⋆ c = distancia del centro al foco.
⋆ Los focos son F1(h− c, k) y F2(h+ c, k)
⋆ Ecuacion del eje focal LF : y = k.
⋆ Ecuacion del eje normal LN : x = h.
4.2. La hiperbola con el eje focal paralelo al eje Y :
LN
LF
F1
V1
B2
F2
V2
B1 C
HHH
X
Y
⋆ Ecuacion H :(y − k)2
a2− (x− h)2
b2= 1
⋆ Coordenadas del centro C(h, k)
⋆ c = distancia del centro al foco.
⋆ Los focos son F1(h, k − c) y F2(h, k + c)
⋆ Ecuacion del eje focal LF : x = h.
⋆ Ecuacion del eje normal LN : y = k.
4 Digitado en LATEX por: Suarez Azpur, Fredy R.
