Secciones Cónicas

Una aproximación geométrica

Sección geométrica

Es la intersección, el corte, entre un cuerpo geométrico y un plano.

Sección cónica• Apolonio de Perga Apolonio de Perga

(262 A.C. 190 A.C)(262 A.C. 190 A.C)

“ “el gran geómetra”el gran geómetra”El primero que estudió las secciones de un haz de El primero que estudió las secciones de un haz de luz cónico con un planoluz cónico con un plano

Cono o doble cono

y giran alrededor de una recta llamada EJE DEL CONO

formando un cierto ángulo α

Es un haz de rayos (GENERATRICES)

que salen de UN PUNTO (VÉRTICE DEL CONO)

αα

• Para que sea un cono de verdad este ángulo α siempre estará entre 0 y 90º

• ¡Siempre habrá una generatriz que corte al plano!

Cónicas degeneradasSi el plano corta al cono pasando por el centro

UN PUNTO

UNA RECTA

UN PAR DE RECTAS

Cónicas no degeneradas

Pero si el plano no pasa por el vértice las secciones salen curvas.

Clasificacióncircunferencia

elipse

parábola

hipérbola

Si el plano y el eje del cono son PERPENDICULARES

Si el plano y el eje forman un ángulo MAYOR que el formado por el eje y una generatriz

Si el plano es PARALELO a una generatriz

Si el plano y el eje forman un ángulo MENOR que el eje y una generatriz

Y si el plano es paralelo al eje la hipérbola se llama EQUILÁTERA

Todas estas curvas aparecen en la naturaleza, en el arte y en la tecnología

• Pero el renacer de las cónicas en la edad moderna fue gracias a la ASTRONOMIA

1. Kepler y las cónicas

Johannes Kepler(1571-1630) Johannes Kepler(1571-1630) Astrónomo, matemático y físico Astrónomo, matemático y físico alemán. Hijo de un mercenario y una alemán. Hijo de un mercenario y una bruja.bruja.

• Seguidor de las teorías Copernicanas

• Modeló el sistema solar

con los 5 planetas conocidos usando los 5 poliedros regulares

• Las críticas de Ticho Brahe

Le llevaron a

UN NUEVO ENFOQUE !!

¡¡Los planetas se mueven formando elipses!!

y algunos cometas, recorren PARÁBOLAS…

Despertó un nuevo interés por las cónicas

Elementos de una sección cónica

Eje de simetría

• Cono es simétrico respecto a cq plano que contenga al eje

• Plano es simétrico respecto a cq. Plano perpendicular a él

• Cónica es simétrica respecto a la proyección del eje en el plano (la intersección del único plano perpendicular a la cónica, conteniendo al eje)

Las esferas: Focos y directriz

Esfera tangente al cono

Sean dos esferas…

Tangentes al cono y al plano de la cónica

A la vez

FOCOS

Las esferas tocan al plano de la cónica en sendos puntos llamados FOCOS F y F’

Y tocan al cono en dos circunferencias G1 y G2

Directriz• El plano

determinado por la circunferencia tangente G1 (o G2)

• Y el plano de la cónica

Perpendicularmente al eje de simetría

Directriz

Foco

Se cortan en la DIRECTRIZ

Directriz

Directriz

La parábola solo tiene una directriz

La hipérbola tiene dos

La directriz es la línea hacia la que se achata la cónica

Cuanto más se alejan los focos entre sí,

más se acercan a sus respectivas directrices

PF=PG por potencia de un punto a una circunferencia

Y la proyección de PG y PD en el eje es la misma, G y D están a la misma altura

PG cosPG cosαα=PD cos=PD cosββε= PF/PD=PG/PD=cosβ/ cosα

Excentricidad ε= PF/PD

Circunferencia ε = 0 PF=radio PD=∞

Elipse ε <1 PF< PD

Parábola ε =1 PF =PD

Hipérbola ε >1 PF> PD

Clasificación de las cónicas

La orbita de la tierra es una elipse de excentricidad 0,017

2. Estudio analítico de las cónicas

• El estudio analítico consiste en escribir geometría con coordenadas

PARÁBOLA• Es el lugar geométrico de los puntos

del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz . PF=PD

x2 = 4cy

En general y=ax2

• Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería:

(y – q) =a (x – p)2

y=a(x2-2px+p2)+q

y=ax2-2apx+ap2 +q

y=ax2+b x+c

Elipse:

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Coordenadas elipse

Ecuación elipse

• PF + PF' = 2 a

• Usando c2 = a2 + b2

HIPERBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola .

Coordenadas hipérbola I

Ecuación hiperbola

• PF – PF' = 2 a

• Usando c2 = a2 + b2

ASINTOTAS

• Son la proyección en el plano de la cónica de las generatrices paralelas a la cónica

Coordenadas hipérbola II

• Si la hipérbola es EQUILATERA

las asíntotas son perpendiculares y pueden ser tomados como ejes

Rotemos las coordenadas …

• a=b x2-y2=a2

• Rotación de 45º

(x+y)2-(x-y)2=2a2

4xy=2a2

12

2

2

2

a

y

a

x

2,

2),(

yxyxyx

x

ay

2/2

La excentricidad en la elipse y la hipérbola

• La directrices son x=a2/c y x=-a2/c

• ε= c/a

FIN