UTN – FACULTAD REGIONAL VENADO TUERTO

Cónicas con GeoGebra

Aplicación de GeoGebra a la resolución de problemas de cónicas

Lic. Silvia Longoni – Prof. Rosana Gasperi

El siguiente trabajo presenta actividades de introducción al software GeoGebra mediante la realización de ejercicios y problemas de aplicación en el tema Cónicas para la Cátedra de Álgebra y Geometría Analítica de primer año de las carreras de Ingeniería Civil y Electromecánica de la Facultad Regional Venado Tuerto – UTN.

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ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 3

OBJETIVOS 4

FORMA DE TRABAJO 4

EVALUACIÓN 4

PROPUESTA DE TRABAJO 5

Introducción a GeoGebra 5

Ejercicio 1 7

Ejercicio 2 11

Actividades de Integración 17

EXPERIENCIA EN EL AULA 19

3

INTRODUCCIÓN

El siguiente trabajo es el resultado de una actividad realizada para el curso a distancia de Didáctica de la

Matemática ofrecido por UTN y dictado por el Prof. Osvaldo Chapov.

Nos preocupa la forma en la que ofrecemos a nuestros alumnos los contenidos. Hemos tratado durante

los años que llevamos enseñando Matemáticas ir modificando nuestra forma de hacer llegar esta materia

al alumno y hemos descubierto que la computadora y todo su mundo, nos sirven para conseguir ese fin.

Así, creemos que las clásicas clases de Matemáticas con lápiz y papel, si bien son necesarias, deben ser

complementadas con prácticas en las aulas de Informática, donde el alumno aprende de manera

experimental y activamente muchos conceptos que de la forma tradicional requieren más tiempo.

Mostramos en el presente trabajo una forma de aplicar la tecnología en la enseñanza de la matemática.

Los autores de este trabajo impartimos nuestra enseñanza en la Facultad Regional Venado Tuerto – UTN,

en la práctica de la cátedra de Álgebra y Geometría Analítica de primer año en las carreras de Ingeniería

Civil y Electromecánica. En particular hemos elegido el programa Geogebra de uso libre, para aplicarlo en

el desarrollo de la unidad Cónicas. A continuación se muestra una propuesta de trabajo y la experiencia de

aula llevada a cabo en el año 2011.

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OBJETIVOS

Introducir el software Geogebra a partir de la resolución de ejercicios y problemas de Secciones

Cónicas, los cuales ya fueron tratados anteriormente en el aula.

Profundizar los conceptos de lugar geométrico, parámetros, rotación y traslación de ejes

aprovechando las herramientas que provee el software, en especial la simulación y la programación

Favorecer el intercambio y discusión de ideas a través de una herramienta computacional.

FORMA DE TRABAJO

El trabajo práctico se desarrollará durante el dictado de las clases prácticas en el gabinete de informática

y/o aula, según conveniencia. El docente realizará algunos ejercicios en forma conjunta con los alumnos,

proyectándolos en pantalla, utilizando un cañón de imagen. Los ejercicios y problemas de introducción al

software son los propuestos previamente por la cátedra y fueron hechos en lápiz y papel, esto permite

comparar los resultados que se van obteniendo. También se agregan ejercicios y problemas que se

realizarán en la máquina para investigar propiedades aprovechando las herramientas de animación y el uso

de parámetros y variables. GEOGEBRA es un software libre, por lo cual el mismo se puede obtener de la

WEB (www.geogebra.org) y trabajar en casa.

EVALUACIÓN

Observaciones durante las clases sobre el desarrollo y avance de cada alumno, tomando notas en

cuanto a: - ejercicios realizados

- participación en clase

- colaboración grupal

Se tomarán pruebas con ejercicios y problemas para resolver con GEOGEBRA durante las clases

prácticas y al finalizar la resolución del trabajo práctico.

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PROPUESTA DEL TRABAJO PRÁCTICO

INTRODUCCIÓN A GEOGEBRA

Una breve descripción del software.

Al abrir el programa aparece la siguiente ventana de trabajo:

Haremos una breve descripción de cada una de éstas regiones de la ventana:

Barra de Menú

Aquí aparecen diferentes menús semejantes a los de cualquier software de uso frecuente, como, por ejemplo,

Microsoft Word.

Describimos algunas de las pestañas con las que trabajaremos.

En la pestaña Archivo , podemos encontrar las opciones: Abrir, Guadar , Guardar como, etc.

En la pestaña Edita, se encuentran las acciones: Deshacer, Rehacer , Borrar, etc.

En la pestaña Vista: Aparecen opciones que tiene relación a la vista de la ventana de trabajo, se observan:

Barra de Menú

Barra de

Herramientas

Barra de Tareas

Gráficos,

Plano xy

Entrada de comandos

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En la pestaña Opciones, se encuentran diferentes alternativas de configuración. Trabajaremos con algunas de ellas

en el siguiente práctico .

Barra de Herramientas

La barra de herramientas presenta diferentes opciones de acción: la construcción de elementos geométricos (rectas,

triángulos, ángulos, cónicas, etc), medición de ángulos y distancias, movimientos de rotación, traslación y reflexión.

Barra de Tareas

Aparecen los resultados de los comandos iniciados desde la entrada de comando o iniciados gráficamente. En esta

sección se pueden visualizar tres carpetas:

Objetos Libres: aquí se visualizarán de forma algebraicas aquellos elementos creados de manera

independiente.

Objetos Dependientes: aquí se visualizarán los elementos creados a partir de los objetos libres.

Objetos Auxiliares: resultados de operaciones o elementos realizados en una hoja de cálculo.

Entrada de Comandos

En esta sección se escriben las ecuaciones de funciones, de cónicas, de rectas, etc. que se grafican y expresan de

manera algebraica en la barra de tareas.

Gráficos, plano xy

Aquí se visualizan las gráficas de los elementos creados.

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EJERCICIO 1

Construir una circunferencia conociendo su centro y su radio.

Vamos a aprender cómo construir una circunferencia dando su centro y su radio de manera general.

Sea la circunferencia de centro: y radio .

Consideremos: , es decir la circunferencia de centro (1,3) y radio 2.

1) Ingresamos en la Barra de Comandos (Entrada):

a=1 (Enter)

b=3 (Enter)

r=2 (Enter)

Se observa que estos objetos al ser independientes quedan ubicados en la carpeta de objetos libres.

2) Ingresamos el centro de la circunferencia en Entrada:

C=(a,b) (Enter)

Se observa que este elemento queda ubicado en la carpeta “Objetos Dependientes” , puesto que depende del valor que asume a y b. Se visualiza además el punto “C” en el gráfico.

3) En la Barra de Herramientas buscamos la opción: “Circunferencia dados su Centro y Radio” . Aparecerá el cursor con una cruz “ ”, cliquear sobre el punto “C”. Luego aparecerá una ventana de diálogo, donde se pide el radio de la circunferencia, allí completar con “r” y luego cliquear en “OK”. El resultado se muestra a continuación:

8

Se observa la gráfica de la ecuación de la circunferencia de Centro “C=(1,3) y radio r=2” y que, además, en Objetos

Dependientes aparece la ecuación de la misma en forma canónica:

La misma dependerá de los valores de a ,b y r asignados.

Cambiemos dichos valores desde los Objetos Libres y observemos qué sucede:

4) Hacer doble “click” sobre cada uno de los objetos y escribir:

a=2,

b=-1,

r=6, La Ecuación Mostrada es:

También se pueden modificar los valores de los Objetos Libres al posicionarnos sobre uno de estos en la Barra de Tareas y moviendo las flechitas del mousse hacia arriba (aumenta el valor) o hacia abajo (disminuye el valor), observar los cambios en las ecuaciones.

Observación Importante

La visualización de la ecuación de la circunferencia se debe a que en la pestaña “Opciones” de la Barra de menús

está seleccionada la opción: Álgebra -> Valor:

En la misma aparecen las opciones:

Definición: dará la definición de la circunferencia en relación a cómo fue creada.

Comando: dará el comando con que se creó.

Cambie la configuración y observe qué se visualiza en “Objetos Dependientes”.

Una herramienta que posee el software es aquella que permite cambiar el tipo de ecuación, es decir pasar de la

forma canónica a la forma cartesiana o general de la misma. Esto se obtiene apretando el botón derecho sobre la

ecuación y seleccionando la opción: Ecuación a x2+bxy+cy2+dx+ey=f , observe la figura:

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5) Guardar el archivo o copiar en un documento Word:

Para Guardar:

Archivo->”Guardar Como”

Seleccionar una ubicación para el archivo.

Para copiar Imagen:

Edita -> “Copia Vista gráfica al Portapapeles

Luego situarse en el documento donde desea copiarlo - > “botón Derecho” ->”Pegar”

Actividad 1

Importante: Resolver las actividades previamente con lápiz y papel.

CIRCUNFERENCIA.

A) Hallar la gráfica y la ecuación canónica y general de la Circunferencia de Centro “C” y radio “r” para los

siguientes casos. Observa, escribe los resultados y concluye.

a)

b)

c)

d)

e)

B) Explorar en las Opciones de herramientas la manera de crear una circunferencia dado dos elementos que

forman parte de ella. Construir:

a) Una circunferencia con centro en el punto y que contiene al punto . Dar su ecuación

de dos formas diferentes.

10

b) Una circunferencia con centro en el punto y que contiene al punto . Dar su ecuación

de dos formas diferentes.

C) Explorar en las Opciones de herramientas la manera de crear una circunferencia dado Tres puntos de

paso. Construir:

c) Una circunferencia que pasa por: . Dar su ecuación de dos formas diferentes.

d) Una circunferencia que pasa por: . Dar su ecuación de dos formas

diferentes.

e) Una circunferencia que pasa por: . Dar su ecuación de dos formas diferentes.

D) Construir una circunferencia donde uno de sus diámetros es el segmento de extremos: y

. Dar la ecuación de dos formas. Ayuda: Explorar en la barra de herramientas la manera de obtener un

punto medio.

E) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a las siguientes circunferencias con las siguientes

condiciones en forma algebraica y gráfica.

Forma algebraica:

I. Para ello Geogebra ofrece la función tangente a una función f(x) por un punto x=a. Basta ingresar las

siguientes líneas como entradas en el campo de texto (pulsando Enter al finalizar cada línea):

Ejemplo:

Si se considera , ingresar:

a = 2

t = Tangente[a,f]

Al animar el número a, la tangente se desplaza por el gráfico de la función f. Este efecto se produce

seleccionando el modo Animación Automática que se encuentra posicionándose sobre el punto a

y apretando el botón derecho, una vez hallado se hace click sobre esta opción.

Forma gráfica:

II. También se puede trazar la recta tangente a la curva por un punto a la cónica, esto se logra a partir

de abrir del Menú Recta Tangente y usando a la vez el ícono Intersección entre dos curvas para que

muestre el punto de intersección de la recta tangente y la circunferencia.

Explora en la Barra de Herramientas el comando Elige y Mueve y prueba sobre las figuras cuáles

puedes modificar y observa los cambios sobre los valores ingresados y resultados obtenidos. Escribe

las apreciaciones realizadas.

1) en el punto A = (4,5)

2) en el punto A(5,9)

3) ; perpendiculares a la recta

F) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en la recta R y que además pasa por los puntos P y Q.

Para realizarlo puedes utilizar:

la opción “distancia” que se encuentra en la Barra de Herramientas, para ello, traza la recta y los

puntos, luego mide la distancia entre el punto y la recta para hallar el punto adecuado deslizar el

mismo sobre la recta hasta que las dos distancias coincidan. Completa y explica la construcción.

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La opción “mediatriz de un segmento” en la Barra de Herramientas, trazando la recta y luego la

mediatriz del segmento que determinan los dos puntos puedes encontrar el centro de la

circunferencia. Completa y explica la construcción.

A)

B)

G) Representar las siguientes circunferencia dadas en forma paramétrica:

b

Sugerencia:

c = Curva[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi] ingresa esta sentencia y luego observa lo que se grafica, en otro

caso, investiga con el comando Help.

H) Dados los puntos O = (0,0), B = (1,2) y C = (6,3), dibuja la circunferencia que pasa por esos puntos,

escribe su ecuación y describe cómo se construye la circunferencia geométricamente.

Repite el ejercicio anterior con los puntos O, B y D = (3,6). Explica brevemente lo que se observa.

I) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por centro el punto A = (-1, 1) y es tangente a la recta

y = x. Explicar brevemente cómo se realiza, puede haber más de dos maneras de hacerlo.

EJERCICIO 2

Estudiar las ecuaciones generales siguientes y determinar cuáles de ellas representan circunferencias. En dicho caso

indicar el centro y el radio de la misma y dar su ecuación en forma canónica.

Para todas las ecuaciones calcular el indicador: , donde, se obtienen de la ecuación:

a.

b.

c.

d.

e.

Guiaremos la resolución del ejercicio trabajando con la primera ecuación. Al igual que el ejercicio anterior crearemos

de manera general la ecuación: .

Utilizaremos una hoja de cálculo.

1) Abrir una hoja de cálculo, para ello:

Abrir la pestaña “Vista”, seleccionar la opción “Vista de hoja de Cálculo”

Aparecerá la visualización de una hoja de cálculo como la de Excel que permite trabajar de manera

similar. Es decir en ella se pueden crear funciones dependientes de los valores asignados en las

celdas.

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2) Creamos una tabla con los coeficientes de la ecuación, para ello ingresamos los nombres de los coeficientes en la primer fila, tener en cuenta que para escribir caracteres es preciso ponerlos entre comillas: “a”

3) Ingresamos los valores de los coeficientes correspondientes a la primera ecuación en la segunda fila. Observar que dichos valores son asignados a elementos auxiliares en la carpeta “Objetos Auxiliares”

4) En la columna G, armamos el indicador como una función dependiente de a, b, c…

5) Ingresar en “Entrada” la ecuación general dependiente de los coeficientes dados en la hoja de cálculo

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6) Observar que la entrada dada se ubica en “Objetos Dependientes”, y asume los valores dados en la tabla. Además aparece el dibujo de la cónica. Si se desea observar la ecuación canónica cambiamos la vista de dicha ecuación con el botón derecho.

Actividad 2

A) Utilizando la tabla y el enlace creado, estudiar las ecuaciones generales siguientes y determinar cuáles de

ellas representan circunferencias. En dicho caso indicar el centro y el radio de la misma y dar su ecuación en

forma canónica.

Para todas las ecuaciones calcular el indicador: , donde, se obtienen de la ecuación:

a.

b.

c.

d.

e.

Concluir de acuerdo a lo que observa, tener en cuenta el valor de los indicadores obtenidos.

B) Ingresar cada una de las ecuaciones anteriores directamente por su ecuación. Para ello escribir su ecuación

en la Barra de Comandos (Entrada).

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ELIPSE

Actividades

A) Realizar las gráficas de las siguientes elipses, y reconocer los vértices, focos y longitudes de los ejes mayor y

menor. Explica cómo lo haces.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

B) Teniendo en cuenta las siguientes sentencias para graficar una elipse, elige la más conveniente, según los

datos, para oobtener las ecuaciones de las elipses que se indican y graficarlas.

Cónica[Punto A, Punto B, Punto C, Punto D, Punto E]: Produce la sección cónica que pasa por los cinco puntos dados A, B, C, D y C.

Atención: Ver también la herramienta Cónica dados Cinco de sus Puntos

Elipse[Punto F, Punto G, Número a]: Crea la elipse con puntos focales F y G y eje principal de longitud a.

Atención: Condición: 2a > Distancia[F, G]

Elipse[Punto F, Punto G, Segmento]: Crea la elipse con puntos focales F y G siendo la longitud del eje principal igual a la del segmento dado, para ello debe primero ingresar los puntos extremos del segmento y crear el segmento.

Elipse[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea una elipse con puntos focales A y B que pasa a través del punto C

1) Centro en el origen, un foco (2,0) y un vértice en (3,0)

2) Centro en el origen, eje focal coincidente con el eje x , que pasa por (4,- 3 ) y (2 2 ,3)

3) Focos (0,5) y eje mayor de longitud 14 4) Vértices (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud 6

5) Vértices (5,-3) y (5,7) y focos (5,2 21 ) 6) Focos (2,3) y (6,3) y excentricidad 2/3

7) Foco )6,62( ,centro (0, 6) y pasa por el punto P (4, 33/5)

8) Centro en (1, 4), un foco en (1, 8) y excentricidad e=1/5 9) Distancia focal=8, excentricidad=4/5, eje focal=eje y, simetría sobre los ejes coordenados. 10) Eje menor=24, distancia focal=10, eje focal=eje x, centro de simetría el origen de coordenadas. 11)Eje sobre los ejes coordenados y los puntos A(4,3) y B(-1,4) pertenecen a la elipse. 12) el punto A(6,4) pertenece a la elipse.

C) Realizar los siguientes problemas de más de una forma y explicar cómo se realizan cada una de ellas:

1) Determinar los puntos de la elipse

, cuyas distancias al foco (c,o) son iguales a 14.

2) Dada la elipse

y los puntos

, estudiar si los mismos son interiores o

exteriores a la región del plano limitada por dicha elipse.

D) Investigar los valores de la excentricidad de una elipse a través del uso de una hoja de cálculo y extraer

conclusiones.

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Ayuda: recuerda que la hoja de cálculo es similar a la de Excel, y ten en cuenta el ejercicio 2 realizado

anteriormente.

E) Ingresar la ecuación :

y calcula la excentricidad de la misma. Utiliza el deslizador para poder

variar los parámetros A y B, a través de esto muestra cómo varía la excentricidad de las diferentes elipses.

Observa y anota conclusiones.

HIPÉRBOLA

Actividades

A) Dadas las ecuaciones de las hipérbolas, representarlas e indicar las coordenadas de los focos y de los

vértices, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad. Explica cómo lo haces utilizando solamente

GEOGEBRA.

a.

b.

c.

d.

e.

B) Utilizando las siguientes sentencias, representar las siguientes hipérbolas. Explica cómo lo haces.

Ayuda: las sentencias para realizar una hipérbola son las siguientes

Herramienta Hipérbola

Hipérbola[Punto F, Punto G, Número a]: Crea la hipérbola con puntos focales F y G y eje principal de longitud a. Condición: 0 < 2a < Distancia[F, G]

Hipérbola[Punto F, Punto G, Segmento s]: Crea la hipérbola con puntos focales F y G siendo la longitud del eje principal igual a la del segmento s (a = Longitud[s])

Hipérbola[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea la hipérbola con puntos focales A y B que pasa por el punto C

1)

2)

3) é 4) Eje sobre los ejes coordenados y la hipérbola pasa por A(4,2) y B(-6,7). 5) longitud del eje conjugado=6.

6) Las asíntotas son

, la distancia focal =10, eje focal=eje y.

7) Las asíntotas son

, pasa por el punto .

8) Centro en el origen, los focos en el eje de abscisas, la distancia entre los focos 2c = 20 y

asíntotas y = 4

3x

9) Centro en (-5,3), un vértice (-5,7) y un foco (-5,8) 10) Focos (2,3) y (6,3) con excentricidad 2

11) Vértices (4, -2) y (0, -2) que pasa por el punto P 233,6

C) Investigar en la ayuda del programa si se pueden realizar las asíntotas de las hipérbolas en forma directa. Luego, realiza las siguientes hipérbolas y traza las asíntotas.

a) x y2 2

16 251 b) 2y2 - 10x2 = 40 c)

( ) ( )x y

5

4

1

491

2 2

16

d) e)

D) Investigar los valores de la excentricidad de una hipérbola a través del uso de una hoja de cálculo y extrae

conclusiones.

E) Ingresar la ecuación :

y calcular la excentricidad de la misma. Utilizar el deslizador para poder

variar los parámetros A y B, a través de esto mostrar cómo varía la excentricidad de las diferentes .

hipérbolas. Observar y anotar conclusiones.

F) Dadas las siguientes ecuaciones:

a) 111 22 ykxkk , b) 012622 kyxkyx

cambia los valores del parámetro k y anota el rango para la obtención de las diferentes cónicas que se

obtienen utilizando GEOGEBRA. Luego justifica en forma analítica.

G) Utilizando el programa GEOGEBRA, comprobar que F1 (6, 5) y F2 (-2, -1) y a = 3 definen una hipérbola.

Hallar su centro, la ecuación del eje focal y decidir si P (1, -2) pertenece a la misma.

PARÁBOLA

Actividades

A) Trazar las parábolas que tengan las siguientes características: a) de foco (4,0) y directriz x + 4 = 0

b) de vértice en el origen, simétrica con respecto del eje x, que pasa por B(-1,3)

c) de foco (-2,4) y vértice (1,4)

d) de vértice (0,4) y directriz y = - 2

e) de vértice (-1,2) y foco (-1,0)

f) de vértice V(4,-1), eje la recta de ecuación y + 1 = 0 y pasa por el punto (3,-3)

B) Sin hallar la correspondiente ecuación, determinar si los puntos A(-8,8) y B(3,-5) pertenecen a la parábola

con vértice V(0,0) y foco F(-2,0). Explica cómo lo resuelves. Verifica la ecuación de la cónica obtenida

algebraicamente.

C) Dado el vértice de una parábola (6,-3) y la ecuación de su directriz 3x-5y+1=0, hallar el foco de esta

parábola. Explica cómo lo resuelves. Verifica la ecuación de la cónica obtenida algebraicamente.

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ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN.

1) Ecuaciones paramétricas

Para cada una de las cónicas crear su gráfica a través de sus ecuaciones paramétricas generando puntos

pertenecientes a las mismas. Para ello utilizar un deslizador que cumplirá la función de parámetro y utilizar la opción

“Rastro”. Se introduce a continuación un ejemplo guiado.

Ejemplo

Crear la circunferencia de centro en el punto (2,-1) y radio 4 a través de su ecuación paramétrica.

Recordemos:

Creamos el deslizador .

Ingresar: t=1.

Ubicarse sobre la línea del parámetro y apretar el:

botón derecho ->Propiedades->Delizador->intervalo

aquí elegir el intervalo del parámetro, en este caso min=0, max=2pi.

Un punto que pertenece a la circunferencia tiene coordenadas:

Ingresar:

Aparecerá un punto de la gráfica correspondiente al punto t=1.

Seleccionar sobre el punto “ ” la opción “Activa Rastro”.

Luego animar el parámetro t, esto se logra ubicándose sobre el objeto libre “t=1”,

botón derecho->”animación automática”

El resultado será:

Observar que para cada valor de t, existe un punto P que pertenece a la circunferencia.

A) Representar las siguientes cónicas dadas en forma paramétrica. Hallar su ecuación y sus elementos.

b

18

B) Analizar la ecuación 122 ymhxkh en cada uno de los siguientes casos:

mkhckhmbmhka )))

C) Clasificar las siguientes ecuaciones para los distintos valores de k.

2222222

88)135

)13020

) kkkyxkck

y

k

xb

k

y

k

xa

2) Traslación y rotación de los ejes coordenados.

A) Las siguientes ecuaciones de las cónicas fueron expresadas trasladando el sistema de ejes coordenados a un nuevo origen. Representar ese nuevo sistema de ejes coordenados en color rojo y verificar gráficamente las nuevas coordenadas de la cónica.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

B) Transformar la ecuación girando los ejes coordenados a un ángulo α. Luego por otra rotación de ejes transfórmese la ecuación en otra que carezca del término . Determinar la naturaleza de cada cónica. Este ejercicio se puede realizar en forma gráfica con Geogebra.

Ayuda: Trazando el eje mayor, las asíntotas, la directriz, el radio, los focos, vértices (busca en la ayuda para saber cómo realizarlo, sin tener que calcularlos), según la cónica representada, luego (De acuerdo a los elementos encontrados dar la ecuación de la cónica en un nuevo sistema de ejes X’Y’) rotar la gráfica respecto del origen el ángulo adecuado y verificar que la ecuación no posee el término xy, para ello seleccionar el ícono “Rota el Objeto en torno a un Punto, el ángulo indicado”.

1) 2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) – –

9) – – –

3) Actividad especial: Investigar aplicaciones de las propiedades de las cónicas en la Ingeniería y realizar una síntesis para exponer en clase.

19

EXPERIENCIA EN EL AULA

Para llevar a cabo la actividad se realizó una selección de ejercicios propuesto debido a que el tiempo destinado fue

de sólo una clase. Se trabajó con ejercicios introductorios en donde conjuntamente alumnos y docentes

desarrollábamos la actividad y donde se mostraban los comandos básicos del software. La selección de ejercicios se

encuentra en el archivo: TRABAJO CLASE GEOGEBRA.pdf.

Para el desarrollo de la actividad los alumnos llevaron al aula sus computadoras personales, ya sea netbook o

notebook. Es de destacar que el 90% de los alumnos poseía un portátil. También se utilizó un cañón proyector.

Además el software fue cargado en las PC por los alumnos previamente a la clase; como es libre lo descargaron del

link www.geogebra.org

La actividad consistió primeramente en presentar al software con sus ventanas y herramientas, como se muestra al

comienzo del archivo, luego se trabajó con ejercicios de tipo concreto, realización de gráficas de cónicas a través de

la construcción “manual” y con la utilización de las herramientas que permiten construir cónicas dados sus

elementos. Mostramos ejemplos de cómo se llevó a cabo la actividad y la resolución de los ejercicios: 1 d), 2 h), 3 a).

EJERCICIO 1 d) Ingresar la siguiente ecuación en “Entrada”. Observar la cónica e indicar sus elementos.

Pasos de la actividad:

Se Ingresa la ecuación en Entrada:

20

El resultado una cónica como la que se observa, aquí reconocemos de qué cónica se trata y observamos su ecuación

escrita en forma general, les hacemos utilizar el comando que cambia la forma de la ecuación a forma canónica y así

pueden obtener las coordenadas del centro. Un dato a tener en cuenta es que el objeto creado tiene un nombre

asignado por el programa, en este caso la curva (objeto) se denomina con la letra :“c”.

Luego utilizando los comandos: Foco, Centro, Vértice con argumento la curva “c” se obtienen dichos elementos de la

cónica y se dibujan en su gráfico, en la siguiente figura se muestra:

21

Se hace referencia aquí que los elementos de la cónica forman parte de Objetos Dependientes, debido a que

dependen de la curva “c”.

EJERCICIO 2 h) Crear la siguiente cónica y hallar la ecuación de la misma teniendo en cuenta los siguientes datos:

Hipérbola de vértice (5,0) (-5,0) y focos (7,0) (-7,0)

Para realizar esta actividad utilizamos la sintaxis siguiente en Entrada

Agregamos luego los elementos utilizando los comandos correspondientes: Asíntotas, Focos, Vértice, Centro

22

Se obtuvo entonces:

Se observa aquí que todos los objetos son dependientes debido a que dependen de las condiciones iniciales con las

que se creó la cónica.

EJERCICIO 3 a) Utilizando diferentes comandos de Geogebra construir una circunferencia donde uno de sus

diámetros es el segmento determinado por los puntos (3,2) y (-1,6).

Para la realización de este ejercicio creamos el segmento que une los puntos dados. Primeramente ingresamos los

puntos como elementos independientes. Luego con la herramienta Segmento entre Dos puntos de la barra de

herramientas creamos el segmento AB, el software lo llama segmento “a” y da su longitud. Para crear la

circunferencia utilizaremos la herramienta de la Barra Herramientas (Circunferencia Dado su Centro uno de sus

23

puntos), necesitamos el centro y la medida del radio, o un punto de paso, en este caso como tenemos puntos de

paso basta con encontrar el centro, que no será más que el punto medio del segmento. Encontramos el punto medio

del segmento con la herramienta Punto Medio o Centro. La secuencia de acciones se muestra a continuación en las

figuras:

De esta forma los alumnos han secuenciado las acciones que manualmente le permitieron resolver la situación con

los mismos pasos en el software.

Durante el desarrollo de la actividad los alumnos se mostraron motivados e interesados, investigaron sobre las

diferentes herramientas. Si bien se desarrollaron ejercicios conjuntamente, muchos se dejaron para que ellos

descubran e investiguen cómo realizarlos. A su vez, no existe una única manera de resolverlos, lo cual llevó a ver que

un ejercicio que en el papel lo habían resuelto de una única manera, ahora podían experimentar y resolver de otras

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formas diferentes, como por ejemplo crear una circunferencia dados tres puntos o dada una tangente a uno de sus

puntos.

Queda para este año el desafío de incorporar el programa con mayor profundidad para que se mejore la

comprensión de los contenidos procedimentales y actitudinales.