SEGUNDO SEMESTRE

CUADERNO DE TRABAJOMATEMTICAS II

ADAPTADO AL PROGRAMA DE ESTUDIO DE

NIVEL BACHILLERATO

COLEGIADO DE MATEMATICAS

NOMBRE DEL ALUMNO

NUMERO DE LISTA

_____________

GRUPO

PERIODO 2012-A

1

TEMARIO

PRIMER PARCIAL

BLOQUE I

TRINGULOS: NGULOS Y RELACIONES MTRICAS

Clasificacin de ngulos Definicin y clasificacin de los tringulos por: la medida de sus lados y de sus ngulos

BLOQUE II

COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRINGULOS

Criterios de congruencia Relacin de igualdad que existe entre los elementos de tringulos congruentes

BLOQUE III

RESUELVE PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRINGULOS Y TEOREMA DE PITGORAS

Caractersticas de tringulos semejantes Criterios de semejanza de tringulos Teorema de Thales Teorema de Pitgoras Relaciones de proporcionalidad entre catetos e hipotenusa al trazar la altura sobre sta

BLOQUE IV

RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLGONOS

Clasificacin de los polgonos Propiedades y elementos de los polgonos Relaciones y propiedades de los polgonos

SEGUNDO PARCIAL

BLOQUE V

EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA

Propiedades de los elementos asociados a una circunferencia Caractersticas y propiedades de los diversos tipos de ngulos en la circunferencia

BLOQUE VI

DESCRIBE LAS RELACIONES TRIGONOMTRICAS PARA RESOLVER TRINGULOS RECTNGULOS

Diferentes unidades de medida de ngulos y describe las diferencias conceptuales entre ellas Funciones trigonomtricas directas y recprocas de ngulos agudos

BLOQUE VII

APLICA LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Funciones trigonomtricas en el plano cartesiano ngulo de referencia ngulos situados en los cuadrantes II, III y IV Funciones trigonomtricas en el crculo unitario

2TERCER PARCIAL

BLOQUE VIII

APLICA LAS LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS

Leyes de los senos y cosenos as como los elementos necesarios para la aplicacin de una u otra

BLOQUE IX

APLICA LA ESTADSTICA ELEMENTAL

Medidas de tendencia central para datos no agrupados Caractersticas de las medidas de tendencia central Medidas de dispersin: rango, varianza y desviacin tpica para datos agrupados por clases Caractersticas de las medidas de tendencia central

BLOQUE X

EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD

Eventos deterministas y aleatorios Espacio muestral de diversos tipos de eventos Probabilidad clsica de un evento aleatorio Probabilidad de eventos compuestos

MATERIALES

JUEGO DE GEOMETRA (PERMANENTE)

CALCULADORA CIENTIFICA

CUADERNOS DE TRABAJO

3

HOJA DE REPORTES DEL ALUMNO

NOMBRE DEL ALUMNO ________________________________________________________

FECHA MOTIVO FIRMA DE ENTERADO DEL PADRE

REPORTES CON EL VISTO BUENO DE LA DIRECCIN DE LA ESCUELA

FECHA MOTIVO FIRMA DE LA DIRECTORA FIRMA DE ENTERADO DEL PADRE

4ANGULO

Un ngulo se define como:

La abertura entre dos rectas semirrectas con un mismo origen.

A las rectas se les llama lados y al origen vrtice.

En conclusin los ngulos estn formados por segmentos de recta, semirrectas y rectas que se intersectan en un punto que es comn.

Todos los ngulos tienen un lado fijo, donde inicia el ngulo y un lado mvil y pueden tener cualquier posicin.

Los smbolos de ngulo son:

CLASIFICACIN DE ANGULOS

Los ngulos se clasifican de acuerdo a la medida de la abertura de las dos semirrectas.

Se les dan nombres especficos segn su medida, en forma general se pueden trazar sin necesidad de hacer mediciones pero teniendo en cuenta las definiciones de cada uno.

Se toman como referencia los ejes del plano cartesiano.

ANGULO AGUDO ANGULO RECTO ANGULO OBTUSO

Es menor de 900 Mide 900 Es mayor de 900 y menor de 1800

C

B A

F

G D

M

N O

0 < ABC < 900 DGF = 900 900 < ONM < 1800

ANGULO LLANO ANGULO ENTRANTE ANGULO PERIGONAL

Es igual a 1800 Es mayor de 1800 y menor de 3600 Mide 3600

Q P R

Y X

Z

A

B C

RPQ = 1800 1800 < XYZ < 3600 ABC = 3600

Las definiciones en forma general se plantean: El ngulo agudo mide ms de 0 pero menos de 900. El ngulo recto mide exactamente 900. El ngulo obtuso mide ms de 900 pero menos de 1800. El ngulo llano mide exactamente 1800. El ngulo entrante mide ms de 1800 pero menos de 3600. El ngulo perigonal de vuelta completa mide exactamente 3600.

Para dar respuesta a una pregunta sobre definicin de ngulos se pueden tomar cualquiera de las definiciones

5

TRAZAR LOS SIGUIENTES ANGULOS Y ESCRIBE SU NOMBRE

68 123 247

POR SU MAGNITUD EL NGULO SE LLAMA



90 360 25




162 0 180

POR SU MAGNITUD EL NGULO SE POR SU MAGNITUD EL NGULO SE POR SU MAGNITUD EL NGULO SE

LLAMA LLAMA LLAMA

6ANGULOS ADYACENTES

Los ngulos adyacentes son:

Dos ngulos que tienen un lado coolineal y su vrtice y un lado comn.

Otra definicin nos dice que:

Son los ngulos que comparten una recta y la otra que los forma es la misma para los dos ngulos

La suma de dos ngulos adyacentes es igual a 180

C

D B A

Por lo tanto

ABC + CBD = 180

Construye ngulos adyacentes, tomando como base el que se indica y construya su grfica

RPQ = 73 (Horizontal) MNO = 1230 (Oblicuo)

ABC = 1100 (Vertical) DEF = 480 (Oblicuo)

7ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE

Los ngulos opuestos por el vrtice son:

Dos ngulos iguales que se obtienen de dos rectas que se cortan y no son adyacentes.


Son dos ngulos tales que los lados de uno de ellos, son la prolongacin de los lados del otro.GRAFICA

A D

0

B C

En la figura los ngulos opuestos por el vrtice son:_______ y _______ ; _______ y _______

De las siguientes grficas y de acuerdo a los datos que se indican obtener el valor de los ngulos

GRAFICA DESARROLLO MEDIDA DE LOS ANGULOS

c d b a

d = 54

a =

b =

c =


e

f g

h

e = 3a +12 f = 2a 5

a =

g =

h =


n m p q

x =

p=

m = x + 15 n = 2x + 5 q =

8

ANGULOS ENTRE PARALELAS

Se definen como:Son pares de ngulos iguales se forman entre unas lneas paralelas y una secante.

De acuerdo a la posicin de los ngulos con respecto a las lneas paralelas y la secante reciben diferentes nombres.

ANGULOS CORRESPONDIENTES

Son dos ngulos iguales pero uno dentro de las paralelas y otro fuera pero del mismo lado de la secante.

ALTERNOS INTERNOS

Son dos ngulos iguales dentro de las paralelas a ambos lados de la secante.ALTERNOS EXTERNOS

Son dos ngulos iguales fuera de las paralelas a ambos lados de la secante.1800.

CONJUGADOS O COLATERALES INTERNOS

Son dos ngulos que se encuentran dentro de las paralelas del mismo lado de la secante que sumados son igual a 1800.

CONJUGADOS O COLATERALES EXTERNOS

Son dos ngulos que se encuentran fuera de las paralelas del mismo lado de la secante que sumados son igual a 1800.

De la siguiente figura contesta lo que se te pide y si son ngulos entre paralelas de acuerdo a las definiciones.

1 2

3 4

5 6

7 8

AB CDEF es secante a las paralelas

Nmero de ngulos que se forman ngulos que se forman ngulos que se forman dentro de las paralelas

ngulos que se forman fuera de las paralelas

ngulos que se forman a la derecha de la secante

ngulos que se forman a la izquierda de la secante

ngulos Correspondientes ngulos alternos internos

ngulos alternos externos ngulos conjugados internos ngulos conjugados externos

9

a b c d e f g h

ngulos que se forman ngulos correspondientes ngulos alternos internos


m o

p s

t v

x y

ngulos que se forman ngulos correspondientes ngulos alternos internos


Si el ngulo a mide 54 cunto miden los dems ngulos

FIGURA OPERACIONES RESPUESTAS

a b c d

e f

g h

a = b = c = d = e = f = g = h =

10

De la siguiente figura y de acuerdo a los datos obtener la medida del ngulos a y el ngulo z

FIGURA OPERACIONES RESPUESTAS

a b

y z

a = 2 x + 8 = z = x + 6

x =

a = z =

ANGULOS COMPLEMENTARIOS

Son dos ngulos que sumados dan como resultado un ngulo recto es decir, un ngulo de 900.

De acuerdo a las caractersticas anteriores construir ngulos complementarios y encontrar en valor de los dos, en algunos casos se darn valores desconocidos en los cuales se aplicaran ecuaciones de primer grado con una incgnita y traza la grfica.

MNO = (3x + 8) ONP = (2x + 7) GHI = (4x + 2) IHJ = (3x + 4)

MST mide 6 ms que el triple de su complemento ABC = 3x y el BD = (2x + 30)

11

RPQ = 5y ; QPS = 2y CDE = 45 y es igual a su complemento

ANGULOS SUPLEMENTARIOS

Son dos ngulos que sumados son igual a 1800.

Tambin se definen como:

Dos ngulos que sumados son iguala a dos ngulos rectos.

Obtener el valor de los siguientes ngulos complementarios.

ABC = 1110 Hallar su suplemento DEF = 670 24 Hallar su suplemento

GHI = 670 35 17 Hallar su suplemento < JKL = 6x ; < LKT = (2x + 10)

12

TRIANGULOS

Existen diferentes definiciones de tringulo, entre las ms usuales tenemos las siguientes:

Polgono de tres lados Es la porcin de plano limitada por tres rectas que se cortande dos en dos

Se debe de tener en cuenta que el tringulo es la superficie o rea que se encuentra dentro de los lados

NOTACIN DE TRIANGULO

Se traza un tringulo pequeo antes de las letras que lo identifican.

Los tringulos tienen nueve elementos,

a) Tres vrtices

b) Tres lados

c) Tres ngulosCLASIFICACION DE TRIANGULOS

Los tringulos se clasifican por la medida de sus lados la medida de sus ngulos, por lo que tenemos que:POR LA MEDIDA DE SUS LADOS

TRIANGULO EQUILTERO

Tiene sus tres lados iguales

TRIANGULO ISSCELES

Tiene dos lados iguales y uno desiguales

TRIANGULO ESCALENO

Tiene sus tres lados desiguales

POR LA MEDIDA DE SUS ANGULOS

TRIANGULO ACUTANGULO

Tiene sus tres ngulos menores de 90

TRIANGULO RECTANGULO

Tiene un ngulo de 90

TRIANGULO OBTUSANGULO

Tiene un ngulo mayor de 90

De acuerdo a las definiciones traza los siguientes tringulos

EQUILATERO ACUTANGULO ISSCELES ACUTANGULO ESCALENO ACUTANGULO

13

EQUILATERO RECTANGULO ISOSCELES RECTANGULO ESCALENO RECTANGULO

EQUILATERO OBTUSANGULO ISOSCELES OBTSANGULO ESCALENO OBTUSANGULO

RECTAS NOTABLES DE UN TRINGULO

Una recta notable de un tringulo, es una recta con caractersticas especiales y se tiene cuatroMEDIATRIZ

Es la reta perpendicular a un lado de un tringulo, que lo divide en dos segmentos igualesMEDIANA

Es el segmento de recta que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto.BISECTRIZ

Es la recta que divide a un ngulo en dos igualesALTURA

Es el segmento de recta perpendicular de un lado al vrtice opuesto.

PUNTOS NOTABLES

Es el punto la interseccin de las tres rectas de cada una de las anteriores y se llamanCIRCUNCENTRO

Es el punto de interseccin de las tres mediatrices de cualquier tringulo

El CIRCUNCENTRO, es el centro de una circunferencia circunscrita a un tringulo BARICENTRO

Es el punto de interseccin de las tres medianas de cualquier tringulo

El BARICENTRO, es el punto de equilibrio de un tringulo.

ORTOCENTROEs el punto de interseccin de las tres alturas de cualquier tringulo

INCENTROEs el punto de interseccin de las tres bisectrices de cualquier tringulo

El INCENTRO, es el centro de una circunferencia inscrita a un tringulo.

CIRCUNSCRITA quiere decir que una circunferencia se encuentra fuera de una figura y toca todos sus vrtices.

INSCRITA quiere decir que una circunferencia se encuentra dentro de una figura y toca todos sus lados.

Se debe de tener en cuenta que algunos de los puntos de interseccin se pueden localizar dentro o fuera de los tringulos, segn sus caractersticas.

14

Traza un tringulo equiltero y una mediana Traza un tringulo issceles y una mediatriz

Traza un tringulo escaleno y una altura Traza un tringulo issceles y una bisectriz

TRAZA LAS SIGUIENTES FIGURAS DE ACUERDO A LAS INDICACIONES

Un tringulo issceles acutngulo, sus tres bisectrices,el incentro y la circunferencia inscrita

Un tringulo equiltero sus tres medianas, y el baricentro

15

Un tringulo escaleno obtusngulo sus tres alturas, el ortocentro

Un tringulo issceles rectngulo sus tres medianas y el circuncentro

SUMA DE ANGULOS INTERIORES DEL TRIANGULO

Definicin:

La suma de ngulos interiores de cualquier tringulo es igual a 180


Las suma de los tres ngulos de un tringulo es igual a dos ngulos rectos

A + B + C = 180Para demostrar lo anterior de acuerdo a la siguiente figura tenemos.

B

P 1 2 Q

A C

Para demostrar lo anterior de acuerdo a la siguiente grafica

Al ABC

Se trazar una lnea paralela que pasa por un vrtice B del tringulo opuesta al lado AC, se forma un ngulo llano que da origen a la siguiente demostracin.

a.- PQ l l AC Por construccin

b.- A = 1 Por ser alternos internos c.- C = 2 Por ser alternos internos c.- 1 + B + 2 = 180 Por formar un ngulo llano d.- A + B + C = 180 Sustituyendo (a) en (c)

16

Obtener el valor de los ngulos y trazar las figuras de acuerdo a los valores.

En el ABC el A = 43 ; el B = 64 ; el C = ?DESARROLLO FIGURA RESULTADOS

Por la medida de sus lados el es: Por la medida de sus ngulos el es:En el DEF el D = 55 ; el E = ? ; el F = 61

DESARROLLO FIGURA RESULTADOS

Por la medida de sus lados el es: Por la medida de sus ngulos el es:En el GHJ el G = ? ; el H = 60 ; el J = 80

DESARROLLO FIGURA RESULTADOS

Por la medida de sus lados el es: Por la medida de sus ngulos el es:17

En el KLM el K = 82 16 ; el L = 53 47 ; el M = ?DESARROLLO FIGURA RESULTADOS

Por la medida de sus lados el es: Por la medida de sus ngulos el es:ANGULOS EXTERIORES DE UN TRINGULO

Definiciones:a. Un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los otros dos ngulos interiores del tringulo

que no son adyacentes.b. Un ngulo interior de un triangulo se forma por el lada del tringulo y la prolongacin del otro.c. La suma de un ngulo exterior y el ngulo interior adyacente es igual a 180.d. Un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los dos no adyacentes.

De acuerdo a la figura tenemos:

FIGURA

DE LAS SIGUIENTES FIGURAS OBTEN LOS ANGULOS FALTANTES

FIGURA DESARROLLO RESULTADOS

k =

t =

j =

J =

18


Q =

q =

j =

J =


W =

En el ABC el A = 3x ; el B = 5x ; el C = 4xDESARROLLO FIGURA RESULTADOS

A =

B =

C =

Por la medida de sus lados el es: Por la medida de sus ngulos el es:CONGRUENCIA

Congruencia, Son dos figuras con igual forma y tamao, por lo que las propiedades de una figura son vlidas para la otra figura.

Otra definicin de congruencia nos dice que: Es cuando dos figuras que coinciden exactamente

El smbolo de congruencia es , que quiere decir; igual tamao y, igual forma.TRIANGULOS CONGRUENTES

Dos tringulos son congruentes cuando:

Tiene la misma forma y el mismo tamao

Es decir que sus lados y ngulos correspondientes son iguales.POSTULADOS DE CONGRUENCIA

POSTULADO LAL

Si dos tringulos tienen 2 lados y el ngulos comprendido entre ellos iguales, entonces los tringulos son congruentes

19

Construye tringulos congruentes de acuerdo a este postulado y justifcalos.

ISOSCELES OBTUSANGULOS JUSTIFICACION

ESCALENOS RECTNGULOS JUSTIFICACION

POSTULADO ALA

Si dos tringulos tienen 2 ngulos y el lado comprendido entre ellos iguales, entonces los tringulos son congruentes


ISOSCELES RECTNGULOS JUSTIFICACION

EQUILATEROS ACUTANGULOS JUSTIFICACION

20POSTULADO LLL

Si dos tringulos tienen sus 3 lados iguales, entonces los tringulos son congruentes


ISOSCELES ACUTANGULOS JUSTIFICACION

ESCALENOS OBTUSANGULOS JUSTIFICACION

SEMEJANZA DE FIGURAS GEOMTRICAS

SEMEJANZA Se define como:

Son dos figuras con la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamao

Otra definicin indica que:

Las figuras tienen sus ngulos correspondientes iguales y sus lados homlogos proporcionales

Es decir, que una puede ser mayor que otra, pero sus componentes guardan relacin entre si.

El smbolo de semejanza es:

Que quiere decir:

Igual forma.

SEMEJANZA DE TRIANGULOSDos tringulos son semejantes, cuando:

Tienen sus ngulos iguales y sus lados homlogos proporcionales

Homlogo quiere decir:

Lados que se oponen a ngulos iguales.

POSTULADOS DE SEMEJANZA

POSTULADO AA

Dos tringulos son semejantes cuando tienen dos ngulos respectivamente iguale

21

Construye tringulos semejantes de acuerdo a este postulado y justifcalos.

ACUTANGULOS ESCALENOS JUSTIFICACION

RECTANGULOS ISSCELES JUSTIFICACION

POSTULADO LAL

Dos tringulos son semejantes cuando tienen un ngulo igual y los lados adyacentes proporcionales

Construye tringulos semejantes de acuerdo a este postulado y justifcalos.

ISOSCELES RECTNGULOS JUSTIFICACION

22

POSTULADO LLL

Dos tringulos son semejantes cuando tienen sus tres lados proporcionalesConstruye tringulos semejantes de acuerdo a este postulado y justifcalos.

ISOSCELES ACUTANGULOS JUSTIFICACION

ESCALENOS OBTUSANGULOS JUSTIFICACION

TEOREMA DE THALES

Teorema bsico de la proporcionalidad se define como:

Toda paralela a un lado de un tringulo forma con los otros dos lados un tringulo semejante al primero C HIPOTESIS

En el ABC TESIS

D E DEC ABC TRAZO AUXILIAR

A F B EF // AB

RAZONAMIENTO RAZN

1.- En el ABC, DE // AB por hiptesis2.- C = C Por identidad3.- A = CDE, B = CDE Por se correspondientes entre paralelas4.-

CD

CA=

CE

CBEl ABC DCE por el postulado de semejanza (AA)

23TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitgoras solo es aplicable en tringulos rectngulos.Con el podemos encontrar la medida de los lados o la medida de la hipotenusa.

Se define como:

En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

DEDUCCIN DEL TEOREMA DE PITGORAS

En el tringulo ABC

AB = c (cateto)

BC = a (hipotenusa)

CA = b (cateto)

TEOREMA DE PITGORAS

(BC)2 = (AB)2 + (CA)2

a2 = b2 + c2

CONSTRUCCIN AUXILIAR

Se traza la altura AD = h, desde el vrtice A, a la hipotenusa BC

SE FORMAN LOS TRIANGULOS SEMEJANTES

ABC ABD ADC

DEMOSTRACION

b

a=

CD

b y

c

a=

DB

c

b2 = a . CD y c2 = a . DB

Sumando miembro a miembro

b2 + c2 = (a . CD ) + (a . DB)

Factorizando ( a ) en el Segundo miembro

b2 + c2 = a(CD + DB)

Pero

CD + DB = a

Por lo tanto

b2 + c2 = a . a

b2 + c2 = a2

Lo que se quera demostrar

El teorema de Pitgoras tiene dos corolarios, con los que se obtiene la hipotenusa o cualquiera de los catetos.

COROLARIO 1

La hipotenusa es igual a la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos

COROLARIO 2

Un cateto es igual a la raz cuadrada del cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro

C

ab D

A c B

cateto

De la igualdad

b2 + c2 = a2

Despejando a

a2 = b2 + c2

Transponiendo la potencia

a = 22 cb

De la igualdad

b2 + c2 = a2

Despejando un cateto

b c

b2 = a2 c2 c2 = a2 b2

Transponiendo la potencia

b = 22 ca = 22 ba

24

Aplicando los dos corolarios del teorema de Pitgoras obtn el lado faltante en los siguientes tringulos rectngulos, tomando como base la figura anterior.

b = 10 cm ; c = 8 cm

DESARROLLO FIGURA

a = 12 mm; b = 8 mm

DESARROLLO FIGURA

a = 20 mm ; c = 22 mm

DESARROLLO FIGURA

25

b = 32 cm ; c = 24 mm

DESARROLLO FIGURA

a = 17 mm ; c = 4 mm

DESARROLLO FIGURA

b = 25 cm ; c = 19 cmDESARROLLO FIGURA

26

a = 10 cm ; b = 6 cmDESARROLLO FIGURA

b = 12 cm ; c = 14 cmDESARROLLO FIGURA

a = 25 m ; b = 14 mDESARROLLO FIGURA

27

b = 2 cm ; c = 12 mm

DESARROLLO FIGURA

a = 5 m ; b = 34 cm

DESARROLLO FIGURA

Hallar la medida de los lados de un tringulo issceles, de acuerdo a los datos

Base = 6 cm ; altura = 4 cm

DESARROLLO FIGURA

28

Base = 40 mm; altura = 45 mm

DESARROLLO FIGURA

Hallar la altura de un tringulo equiltero, cuando se conoce uno de sus lados

Lado = 12 cm

DESARROLLO FIGURA

Lado = 25 m

DESARROLLO FIGURA

29

Aplicando el teorema de Pitgoras resuelve los siguientes problemas.

Cul es la altura de una persona que proyecta una sombra sobre el piso de 45 cm, y la distancia de su cabeza al final de la sombra es de 95 cm?

PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA

El tirante que sostiene a una antena es de 8.5 m, y la distancia del pie de la antena al tirante es de 4.5 m, Cunto mide la antena?


Un ciclista tiene que bajar una pendiente de 795m, en el sitio donde termina la pendiente al pie de la montaa es de 215m Qu altura tiene la montaa?


30

Cul es la altura de un poste de luz, que tiene un tirante de 4.5 m, y unas distancia desde la base al tirante de 3.25 m?


Un ingeniero quiere saber cuntos metros de material va a comprar para instalar 4 tirantes para sostener una torre de telecomunicaciones de 17 m de altura, si desde la base de la torre a la base de los tirantes es de 9 m.


Se quieren colocar 6 tirantes desde una torre de 13 metros, la distancia sobre el piso desde la torre es de 7.75 m, Cunto alambre se debe de comprar?


31

POLIGONOS

DEFINICIN:

Un polgono es una figura formada por segmentos de recta unidos consecutivamente.

Los polgonos se clasificaciones por la medida de sus lados y la medida de sus ngulos:

POR LA MEDIDA DE SUS LADOS POR LA MEDIDA DE SUS ANGULOS

a) Regulares

b) Irregulares

a) Convexos

b) Cncavos

a).- Regulares, son aquellos que tienen sus lados y ngulos iguales, es decir que son equingulos y equilteros.

Equilteros, quiere decir que tiene todos sus lados iguales

Equingulos quiere decir que todos sus ngulos son iguales.Construye polgonos regulares de acuerdo al nmero de lados que se indica

CUATRO LADOS CINCO LADOS SEIS LADOS

b).- Irregulares, Son aquellos que tienen lados y ngulos desiguales.

En el caso de estos polgonos pueden tener sus lados iguales sus ngulos, pero no cumplen una de las dos condiciones.

Construye polgonos irregulares de acuerdo al nmero de lados que se indica


32

Los polgonos tambin se clasifican en:

a).- Convexos, Son polgonos que tiene sus ngulos interiores menores de 180

Construye tres polgonos cncavos de acuerdo a las caractersticas


a).- Cncavos, Son polgonos que tiene por lo menos un ngulo mayor de 180

Construye tres polgonos convexos de acuerdo a las caractersticas


ELEMENTOS DE LOS POLIGONOS

Para poder obtener los elementos de un polgono es necesario auxiliarse de la circunferencia para fundamentar las definiciones respectivas.

RADIO

Es la medida del radio de una circunferencia circunscrita al vrtice del polgono.

FIGURA

33

APOTEMA

Es la medida del radio de una circunferencia circunscrita al punto medio de un polgono

FIGURA FORMULA

apotema =2

2

2

ladoradio

DIAGONAL

Es el segmento de recta que une dos vrtices no consecutivos de un polgono.

Existen dos formas de trazar las diagonales, las que se trazan desde un vrtice y las diagonales totales del polgono, para obtenerlas se utilizan las siguientes frmulas.

Desde uno de los vrtices.d = n 3

Diagonales totales.

D = 2

)3( nn

n representa el nmero de lados del polgono.

Calcular el nmero de diagonales desde un vrtice y las diagonales totales de los siguientes polgonos

TRES LADOS CUATRO LADOS CINCO LADOS

UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES

34

CUADRILATERO CONCAVO CINCO LADOS CONVEXO SEIS LADOS CONCAVO

UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES

Las medida de las diagonales tambin se pueden utilizando ecuaciones de primer grado o sistemas de ecuaciones de dos incgnitas.

ANGULOS EXTERIORES DE UN POLIGONO

La suma de los ngulos exteriores de cualquier polgono es de 360, por lo que para la obtencin de la medida de uno de los ngulos exteriores se utiliza la siguiente formula.

< e =n

360

En donde n es el nmero de lados del polgono.

Obtener lo que se indica en cada recuadro.POLIGONO REGULAR DE CUATRO LADOS

MEDIDA DE UN ANGULO INTERIOR

SUMA DE LOS NGULOS INTERIORES

MEDIDA DE UN ANGULO EXTERIOR

FIGURA

35

POLIGONO REGULAR DE CINCO LADOS




FIGURA

POLIGONO REGULAR DE SEIS LADOS




FIGURA

AREA Y PERIMETRO

El permetro es el contorno de un polgono

El rea es la superficie de un polgono limitada por el permetro

Para calcular el rea y permetro de los polgonos se debe de tomar en cuenta, si es regular o irregular, en el cado de los polgonos regulares se tienen frmulas que permiten obtenerla directamente de los datos realizar un proceso ms complicado, en los irregulares tambin tienen formulas pero en algunos es necesario realizar triangulaciones, se calcula el rea de cada tringulo y sumarlas para obtener el rea del polgono.Los resultados de las reas se dan en unidades al cuadrado

CUADRO DE FORMULAS

REGULARES IRREGULARES

PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA

TRIANGULOEQUILATERO

P = 3l A = 2

bh TRIANGULO P = a + b + c A = ))()(( csbsasS PPPP

CUADRADO P = 4l A = l2 RECTANGULO P = 2(b + h) A = bh

POLIGONO REGULAR DE DE 5 LADOS O MAS

P = nl A = 2

pa ROMBO P = 4L A = 2

Dd

ROMBOIDE O PARALELOGRAMO

P = 2(b + h) A = bh

sp = 2

cba TRAPECIO P = a + b +c + d A = 2

)( hbB

36AREA Y PERIMETRO DE UN TRINGULO

Los resultados de las reas se dan en unidades al cuadradoOBTENER EL PERIMETRO Y AREA DE LAS SIGUIENTES FIGURAS DE ACUERDO A LAS MEDIDAD QUE SE INDICAN

En caso de que las figuras sobresalgan de los espacios trazar una a escalaAB = 11 cm , BC = 16 cm , CA = 23 cm

PERIMETRO AREA FIGURA

Por la medida de sus lados el tringulo es

Por la medida de sus ngulos el

tringulo es

DE = EF = FG = 15 m


Por la medida de sus lados el tringulo es


tringulo es

MN = 22 cm ; NO = 15 cm ; OM = MN


Por la medida de sus lados el

tringulo es


tringulo es

Un rectngulo mide 42 m de ancho y 48 m de largo Un cuadrado mide 3.7 cm por lado


37

Un octgono que mide 5.2 cm por lado Un rombo, la diagonal mayor mide 5 cm y la diagonal menor de 8 cm


FIGURA FIGURA

Calcular el lado de un cuadrado que mide 32.49 cm2 Calcular el nmero de lados de un polgono regular que su permetro mide 25.3 cm y uno de sus lados mide 2.3 cm

FIGURA FIGURA

38

CALCULAR EL REA DE LAS SIGUIENTES APLICANDO LA FORMULA DE HERON

FIGURA OBTENCION DEL AREA DE LOS TRIANGULOS AREA DEL POLGONO



39

CIRCUNFERENCIA Y CRCULO.

DEFINICIONESCIRCUNFERENCIA. Es la lnea curva cerrada en la que todos sus puntos se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

CIRCULO, Es el conjunto de la circunferencia y los puntos interiores a la mismaGRAFICAS

CIRCUNFERENCIA CIRCULO

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

RECTAS NOTABLES DE LA CIRCUNFERENCIA

RADIOEs el segmento que une el centro a cualquier punto de la circunferencia

DIAMETROEs la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia

CUERDAEs un segmento de recta que une

dos puntos de la circunferencia

ARCOEs una parte de la circunferencia

determinada por un ngulo

TANGENTEEs la recta que toca a la circunferencia

en uno de sus puntos

SECANTEEs la recta que corta a una

circunferencia en dos de sus puntos

40ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA

De acuerdo a la posicin del vrtice de un ngulo en la circunferencia se les da un nombre y para la obtencin de su medida se tienen formulas determinadas.

ANGULO CENTRAL

Tiene su vrtice en el centro de la

circunferencia.

Estn formados por dos radios.El ngulo central es igual a su arco

FORMULA

c = Arco

ANGULO INSCRITO

Es el que tiene su vrtice en cualquier punto de la circunferencia.

Estn formados por dos secantes.

El ngulo inscrito es igual a la mitad del ngulo central

FORMULA

ins = 2

AB

ANGULO INTERIOR

Tiene su vrtice en un punto dentro de la circunferencia.

El ngulo interior es igual a la mitad de la suma de los dos semiarcos

FORMULA

i =2

BDAC

ANGULO EXTERIOR

Es aquel que tiene su vrtice fuera de la circunferencia y sus lados cortan a la

circunferencia

El ngulo interior es igual a la mitad de la diferencia de los dos semiarcos

e =2

BDAC

41Resuelve los siguientes ejercicios de ngulos

Hallar la medida de x si el arco de un ngulo central AC = 70 y el ABC = 6x 2

Hallar la medida de x si el arco de un ngulo central DF = 127 y el DEF = 8x + 7

DESARROLLO GRAFICA DESARROLLO GRAFICA

Hallar la medida de un ngulo inscrito que su arco mide 105 Hallar la medida del arco de un ngulo inscrito si este mide 38 22


Hallar la medida de un ngulo interior que su arcos miden 46 y 122

Hallar la medida de un arco de un ngulo interior si el ngulo mide 44 y el otro arco 86


Hallar la medida de un ngulo exterior que sus arcos miden 52 y 134

Hallar la medida de un arco de un ngulo exterior si este mide 42 y el otro arco 130


42

PERIMETRO Y AREA DE LA CIRCUNFERENCIA

El permetro se encuentra a la circunferencia de acuerdo a la siguiente formula de acuerdo a los datos que se indiquen.

P = 2 r P = dSe debe de tomar en cuenta que el permetro es la longitud de una circunferencia.

C = 2 r C = dEl rea es la superficie del crculo y la medida se obtiene de la siguiente formula

A = r2OBTEN LO QUE SE INDICA EN CADA RECUADRO

Una circunferencia de 3 cm de radio Una circunferencia de 8 cm de dimetro Una circunferencia de 5 cm de radio

GRAFICA GRAFICA GRAFICA

PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA

Si la longitud de una circunferencia es de 15.708 cm, Cul es la

medida de su radio

Si el rea de un crculo 19.635 cm2

Cunto mide el dimetro?

Calcular el rea de un circulo que su

circunferencia mide 11

Cunto mide su dimetro? Cunto mide su radio? cunto mide su radio en cm?

43

APLICANDO LAS REAS Y PERIMETROS DE LOS POLGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA OBTEN

El dimetro de una circunferencia mide 7 cm, cunto mide el lado del cuadrado inscrito en ella? Luego calcula el rea entre el cuadrado y la circunferencia.

FIGURA PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA PERIMETRO DEL CUADRADO AREA DEL CIRCULO

AREA DEL CUADRADO AREA ENTRE LA CIRCUNFERENCIA Y EL CRCULO

DIFERENCIA DE LOS PERIMETROS DE LAS FIGURAS

Traza una circunferencia de 3.2 cm, un pentgono inscrito y calcula lo que se indica en cada recuadro

FIGURA PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA PERIMETRO DEL PENTAGONO AREA DEL CIRCULO

AREA DEL PENTAGONO AREA ENTRE LA CIRCUNFERENCIA Y EL CRCULO

DIFERENCIA DE LOS PERIMETROS DE LAS FIGURAS

Un caballo est amarrado de una cuerda de 4 metros desde una estaca y se quiere saber cul es el perimero y rea en que se puede desplazar el caballo

GRAFICA PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA AREA DEL CIRCULO

44FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS AGUDOS

SISTEMA CIRCULAR

En el sistema circular la base para desarrollarlo es la circunferencia y la unidad de medida de! sistema se llama RADIAN. El radin es el ngulo dentro de la circunferencia cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la

circunferencia.

GRAFICA

A

El arco AB , es igual a la medida del radio

Por lo tanto el < AOB es igual a un radian

Teniendo en cuenta que la longitud de una circunferencia es igual a 2 radianes que a su vez son iguales a 360" , entonces tenemos que;

r

O 57 18 r

Longitud de la circunferencia = 2 radianes c = 2

c = 2 (3.14) radianes

c = 6.28 radianes

UN RADIAN ES IGUAL A:

r = 28.6

3600

r = 57 18'

RELACIN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES y EL RADIAN

El grado sexagesimal tendr corno smbolo (S) y el radin (R), por lo tanto:

0360

S =

2R

0180

S =

R Simplificando si = 3.14

0180

S =

14.3

R

Aplicando la formula anterior obtener lo que se indica en los siguientes recuadros.

EXPRESAR EN GRADOS SEXAGECIMALES LOS SIGUIENTES RADIANES

3.6 r 29 r 12 r

45

4.6 r 2.5 r 1.6 R

2 3

EXPRESAR EN RADIANES LOS SIGUIENTES GRADOS SEXAGECIMALES

90 216 43 18

612 527 196 42

46FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS

RAZONES TRIGONOMETRICAS

Todo ngulo agudo es aquel que mide menos de 900, las funciones trigonomtricas son aplicables en tringulos rectngulos, estos tiene seis elementos (tres ngulos y tres lados), que de acuerdo a su posicin se llaman.

Angulo agudo

Hipotenusa Cateto

Angulo recto Cateto Angulo agudo

De acuerdo a la grfica contesta las siguientes preguntas.

Los catetos forman el : ______________________________

La hipotenusa es el lado ___________________ en cualquier tringulo rectngulo.

La medida del ngulo recto es igual a _____________ La medida del ngulo agudo es ______________

Las seis funciones trigonomtricas son: _____________ , ______________ , ____ __________

_____________ , ______________ , ______________

Las tres primeras se llaman: ________________ Las tres segundas se llaman: ___________________

Plantea las seis funciones trigonomtricas en forma general.

En el siguiente tringulo rectngulo plantea las seis funciones trigonomtricas con las letras correspondientes a los

dos ngulos agudos.

FIGURA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA EL ANGULO B

FUNCIONES TRIGONOMETICAS PARA EL ANGULO C

C

b a

A c B

47FUNCIONES RECIPROCAS

Las funciones reciprocas son aquellas que se aplican al mismo ngulo de un tringulo y que4 al multiplicarse dan como resultado la unidad.

GRAFICA FUNCIONES RECIPROCAS PARA EL ANGULO B

C

a b

A c B

sen B x csc B = 1 cos B x sec B = 1 tan B x ctg B = 1

de donde

sen B = Bcsc

1 cos B =

Bsec

1 Tan B =

Bcot

1

o bien

csc B = senB

1 sec B =

Bcos

1 cot B =

Btan

1

CALCULO DE VALORES DE 30, 45 Y 60

Traza un tringulo equiltero de lados iguales a dos unidades, traza una bisectriz al lado base, de uno de los tringulos resultantes por la medida de los ngulos internos encontramos el ngulo de 30, para encontrar su valor y aplicando el teorema de Pitgoras obtn el valor del cateto faltante.

GRAFICA OBTENCION DEL CATETO FALTANTE Sen 30 Cos 30

Tan 30 Cot 30 Sec 30 Csc 30

De acuerdo a la misma grfica obtn los valores para el ngulo de 60

sen 60 cos 60 tan 60

48

cot 60 sec 60 csc 60

Para la obtencin de los valores del ngulo de 45 trazaremos un cuadrado de una unidad por lado, se traza una bisectriz, se obtienen dos tringulos rectngulos, la bisectriz dividi el ngulo de 90 en dos iguales que miden 45, para determinar los valores del ngulo se aplica el teorema de Pitgoras para obtener la hipotenusa.

GRAFICA OBTENCIN DEL CATETO FALTANTE



49

TABLA DE VALORES DE LOS ANGULOS DE 30 , 45 y 60

ANGULO sen Cos Tan cot sec csc

30

45

60

Empleando tu calculadora obtn los valores de las seis funciones trigonomtricas de los siguientes grados expresados en grados

sen x cos x tan x ctg x sec x csc x

20

45

70

185

275

412

Empleando la calculadora obtn los valores de las seis funciones trigonomtricas de los siguientes ngulos expresados en radianes

sen x cos x tan x ctg x sec x csc x

6

3

2

2

3

2

Obtn la medida de los ngulos en radianes y en grados, a partir de la razn trigonomtrica que se proporciona

sen x cos x Tanx ctg x sec x csc x

0.8520 0.2425 3.2 0.3125 4.1237 1.1737

Grados

Radianes

50RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS

Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo ABC, si el a = 17 m y b = 24 m

OBTENER c A C FIGURA

Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo ABC, si el A = 46 25 y c = 53 cmOBTENER a OBTENER b C FIGURA

Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo DEF, si el e = 36 cm y f = 29 cm

OBTENER d D F FIGURA

Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo DEF, si el F = 64 y d = 7 mOBTENER e OBTENER f D FIGURA

51

Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo RPQ, si el R = 78 y r = 8 mOBTENER p OBTENER q Q FIGURA

Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo ABC, si el A = 65 y a = 19 mmOBTENER b OBTENER c C FIGURA

Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo ARP, si el a = 18 u y r = 24 u

OBTENER p A P FIGURA

Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo INM, si el i = 9 m y m = 9 cm

OBTENER n I M FIGURA

52

Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo ABC, si el a = 34 u y b = 56 u

OBTENER c A C FIGURA

Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo DEF, si el D = 48 19 y e = 63 mOBTENER d OBTENER f F FIGURA

Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo GHI, si el i = 225 u y h = 312 u

OBTENER g G I FIGURA

Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo JKL, si el L = 65 y j = 33.78 mOBTENER k OBTENER l J FIGURA

53APLICANDO LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS OBTEN LO QUE SE INDICA EN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

Una columna de 38 m de altura proyecta una sombra sobre el piso de 42 m, hallar el ngulo de inclinacin de los rayos del sol

GRAFICA DESARROLLO RESPUESTA AL PROBLEMA

Cul ser la altura de una torre que su cspide se observa desde 750 m, en lnea recta desde su base con un ngulo de elevacin de 15 24 ?


Hallar la altura de un avin, si la sombra proyectada est a 156 m del pe de la vertical, cuando el sol esta a 67 sobre el horizonte


Cul es la altura de una escalera que se apoya en el borde de una ventana que tiene una altura de 6.9 m desde el suelo y forma un ngulo con la pared de 32 67 ?


54Una antena de televisin est sostenida por tres cables del mismo tamao, cada uno mide 10 m y estn sujetados al piso a

una distancia de la base de la antena de 3.5

GRAFICA DESARROLLO

Cunto mide la antena?

Qu ngulo forma una de los cables en relacin con el piso?

Una escalera esta recargada en una pared, la distancia del extremo inferior de la escalera a la base de la pared es de 2.5 m y el ngulo de elevacin es de 68

GRAFICA DESARROLLO

Cunto mide la escalera?

Qu altura alcanza la escalera en la pared?

Seis cables sujetan una antena de 32 m, de dos secciones, tres cables de la primera seccin estn a una distancia de 4.3 m, y los tres de la segunda seccin a 5.6 de la base

GRAFICA DESARROLLO

Cunto mide un cable de cada seccin?

En total cunto cable se necesita para sujetar la antena?

Qu ngulo forma los cables de cada seccin con relacin al piso?

55FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA NGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

Las funciones trigonomtricas se pueden aplicar a ngulos de cualquier medida o magnitud, en los cuales se consideran los ejes del plano cartesiano para su ubicacin en los cuadrantes que determinan el signo de los componentes del ngulo del lado inicial y del lado terminal.

Angulo dirigido, es aquel que adems de tomar en cuenta la amplitud, se toma en cuenta su sentido o direccin.

Angulo en posicin normal, es todo ngulo que tiene como lado inicial el eje de abscisas positivo y el vrtice coincide con el origen del plano cartesiano.

ngulos coterminales, son aquellos que estn colocados en posicin normal, pero son coincidentes con sus lados terminal, es los ngulos de 0, 90, 180, 270, 360 y sus ngulos coterminales se llaman ngulos cuadrangulares.

SIGNOS Y VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

En el plano cartesiano se determina un punto cualquiera P , el cual tiene como coordenadas la posicin de los ejes, abscisa para el eje de las x cateto adyacente y ordenada para el eje de las y cateto opuesto, el vector que se obtiene al unir el origen y el punto se le llama hipotenusa con estos valores se pueden obtener las seis funciones trigonomtricas del ngulo en los cuatro cuadrantes.

Trazar las grficas a cada cuadrante, obtn las seis funciones trigonomtricas y determina los signos de cada una y al final llena el cuadro que se indica.

PRIMER CUADRANTE

GRAFICA sen cos tan

cot sec csc

SEGUNDO CUADRANTE

GRAFICA sen cos tan

cot sec csc

56

TERCER CUADRANTE

GRAFICA sen cos tan

cot sec csc

CUARTO CUADRANTE

GRAFICA sen cos tan

cot sec csc

CUADRO DE SIGNOS DE LAS FUNCIONES

seno coseno tangente Cotangente secante cosecante

CUADRANTE I

CUADRANTE II

CUADRANTE III

CUADRANTE IV

Tomando como base el cuadro de signos de funciones se pueden ubicar los cuadrantes a que pertenece una funcin trigonomtrica, se debe de tener en cuenta que la hipotenusa siempre es positiva , la abscisa es el lado inicial y la ordenada el lado terminal de la funcin.

57

Obtn la grfica o grficas de las siguientes funciones trigonomtricas y el lado faltante por el teorema de Pitgoras.

cos =5

4

DESARROLLO sen tan

cot sec csc

sen = 5

2

DESARROLLO Cos tan

cot sec csc

tan = 7

4DESARROLLO sen cos

cot sec csc

cot = 8

3

DESARROLLO sen cos tan

sec csc

58

sec = 3

5


cot csc

csc = 4

7


cot sec

CIRCULO TRIGONOMETRICO

Representacin de las funciones trigonomtricas de un ngulo por medio de segmentos de recta .

Si se escoge una unidad de medida de longitud tal que el denominador de todas las razones sea la unidad, se toma el crculo trigonomtrico, en el cual el radio es la unidad de longitud r = 1.

GRAFICA

Se trazan dos dimetros AA y BB perpendiculares que coincidan con los ejes del plano cartesiano xx y yy.

Sea OAP un ngulo , siendo OA la posicin inicial del ngulo y OP la posicin terminal, se traza PM perpendicular a AO y PQ perpendicular a OB.

En la grfica se forma el tringulo MOP tiene como hipotenusa a OP = r = 1 y se obtiene seno y coseno.59

seno Coseno

En A, se traza AT perpendicular al radio OA, hasta encontrarse con la prolongacin de OP, para obtener la tangente se realizan las igualdades PM = AT y OM = OA y para la secante OP = OT y OM = OA.

tangente Secante

Para obtener la cotangente y la cosecante se traza BS perpendicular a OB en B hasta encontrarse con la prolongacin OP, el ngulo BOS es complementario del ngulo entonces la tangente del ngulo BOS es igual a la cotangente del ngulo y la secante del ngulo BOS es igual a la cotangente del ngulo

cotangente Cosecante

As las funciones del ngulo quedan representados por los siguientes segmentos de recta en todos los cuadrantes y se toman en cuentas los signos correspondientes, podemos determinar la posicin del segmento en el plano cartesiano tomando como referencia el origen.

sen = PM, perpendicular bajada del punto terminal del arco al dimetro AA

cos = OM,tan = AT,cot = BS,sec = OT,cos = OS,

distancia del centro al pie del seno

Perpendicular de AS al dimetro AA, hasta encontrarse con la prolongacin del radio que pasa por el punto P.

Perpendicular en B al dimetro BB, hasta encontrarse con la prolongacin del radio que pasa por el punto P

Distancia del centro a la extremidad de la tangente.

Distancia del centro a la extremidad de la cotangente

Las funciones trigonomtricas del ngulo en el primer cuadrante son positivas.Para cualquier cuadrante en el que el lado terminal, la tangente se obtiene por medio de la perpendicular en el punto A y la cotangente por medio de la perpendicular en el punto B. para su planteamiento se toman en cuenta los valores y signos de las funciones.

GRAFICAS

SEGUNDO CUADRANTE TERCER CUADRANTE CUARTO CUADRANTE

+

SIGNOS DE LOS SEGMENTOS DE RECTA

2 cuadrante 3 cuadrante 4 cuadrante

60GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Seno

Coseno

Tangente Cotangente

61

Secante Cosecante

VARIACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

SENOEl valor varia de 1 a -1 y su valor absoluto siempre quedar comprendido entre 0 a 1

PRIMER CUADRANTEDe 0 a 90

SEGUNDO CUADRANTEDe 90 a 180

TERCER CUADRANTEDe 180 a 270

CUARTO CUADRANTE270 a 360

COSENOEl valor vara de -1 a 1 y su valor absoluto siempre queda comprendido entre o y 1





TANGENTE

El valor vara de + a -PRIMER CUADRANTE

De 0 a 90SEGUNDO CUADRANTE

De 90 a 180TERCER CUADRANTE

De 180 a 270CUARTO CUADRANTE

270 a 360

COTANGENTEEl valor vara de + a -





SECANTE





270 a 360





270 a 360

62

LEYES DE SENOS Y COSENOS

Estas leyes son aplicables a tringulos oblicungulos.

Un tringulo oblicungulo es aquel que no tiene ngulos rectos o sea son todos aquellos tringulos acutngulos, que son los que tienen sus tres ngulos agudos y oblicungulos, que tiene dos ngulos agudos y un obtuso.

Para obtener los seis elementos de los tringulos oblicungulos es necesario conocer tres de ellos y en lo general se presentan cuatro casos que son:

a) Cundo se conocen un lado y dos ngulos.b) Cundo se conocen dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos.c) Cundo se conocen dos lados y el ngulo comprendido entre ellos.d) Cuando se conocen sus tres lados.

Dependiendo de cual es el caso se aplican dos teoremas que se llaman:

a) Ley de los senosb) Ley de los cosenos

El teorema de los senos nos dice que:EN TODO TRIANGULO, LOS LADOS SON PROPORCIONALES A LOS SENOS DE SUS ANGULOS OPUESTOS

Se plantea:

Csen

c

Bsen

b

Asen

a

RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE ACUERDO A LOS DATOS QUE SE INDICAN Y OBTEN LAS MEDIDAS FALTANTES

EN LOS SIGUIENTES TRIANGULOS

a = 75.50 m < B = 700 59 < C = 440 44

b c < A GRAFICA

d = 23.58 m e = 19.35 m < D = 620 32 19

c < C < E GRAFICA

63

a = 27.3 u < B = 380 20 < C = 770 10

b c < A GRAFICA

b = 25.36 u < A = 540 8 < C = 270 15

a c < B GRAFICA

c = 18 cm < A = 750 59 < C = 770 10

a b < B GRAFICA

64

a = 12 cm < A = 430 59 < C = 670 10

b c < B GRAFICA

LEY DE LOS COSENOS

El teorema de los cosenos indica que:

EN TODO TRINGULO OBLICUANGULO, EL COSENO DE UN ANGULO ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS LADOS QUE LOS FORMEN, MENOS EL CUADRADO DEL LADO OPUESTO,

DIVIDIDO ENTRE EL DOBLE PRODUCTO DE LOS LADOS QUE LOS FORMEN

Por lo que obtenemos las siguientes formulas:

Cos < A = ab

acb

2

222 Cos < B =

ac

bca

2

222 Cos < C =

ab

cba

2

222

En el caso de conocer dos lados y un ngulo se define como:EN TODO TRIANGULO, EL CUADRADO DE UN LADO CUALQUIERA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS

OTROS DOS MENOS EL DOBLE PRODUCTO DE ESTOS LADOS POR EL COSENO DEL NGULO COMPRENDIDO

Por lo que obtenemos las siguientes formulas.

a2 = b2 + c2 2bc cos < A

b2 = a2 + c2 2ac cos < B

c2 = a2 + b2 2ab cos < C

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE ACUERDO A LOS DATOS QUE SE INDICAN

En el triangulo ABC a = 31 m b = 42 m c = 53 m

< A < B < C GRAFICA

65

En el triangulo DEF d = 4 u e = 5 u f = 6 u

< D < E < F GRAFICA

En el triangulo MNO m = 48 u n = 35 u o = 26 u

< M < N < O GRAFICA

En el triangulo GHI g = 13 cm h = 14 cm i = 17 cm

< G < H < I GRAFICA

En el triangulo ABC a = 15 m b = 22 m c = 20 m

< A < B < C GRAFICA

71

En el triangulo MNB m = 48 u n = 33 u b = 24 u

< M < N < B GRAFICA

En el triangulo RPQ r = 26.64 cm p = 37.40 cm q = 50.22 cm

< A < B < C GRAFICA

67

ESTADISTICA ELEMENTAL

Definicin de estadstica.

Es la ciencia con base matemtica encargada de recoger, analizar e interpretar los datos relativos a un conjunto de elementos.

La estadstica permite obtener conclusiones que deben ser validas y sirven para tomar decisiones razonables de acuerdo a los datos que se estn estudiando.

El estudio se realiza en una poblacin, pero cuando sta es grande se toma una muestra representativa.

Poblacin es el conjunto de elementos sobre los cuales se realiza la investigacin

Muestra, es una parte de la poblacin a estudiar, pero sta debe de ser representativa-

Ejemplo:

Se quiere saber cules son las causas por las cuales a los alumnos se les hace tarde para llegar a clases en el plantel 06 del COBAT.

Poblacin, todos los alumnos de los dos turnos del plantel 06, total 1150

Muestra representativa diez alumnos en forma aleatoria de cada grupo, total 120

En el ejercicio anterior se dio a conocer una variable de estudio a la que se llama variable estadstica que no es otra cosa que lo que se va estudiar.

En el ejemplo anterior la variable es causas por las que los alumnos llegan tarde a clase.

Las variables pueden ser cuantitativas, que son aquellas que se pueden medir y se representan con nmeros, como la edad, el peso, el salario, nmero de hijos de una familia, etc., estas pueden ser continuas discretas.

Variables continuas, son aquellas en las cuales se obtienen valores reales entre dos valores dados, un ejemplo de stas es la estatura de los alumnos de una grupo, el ms alto es de 1.78 cm y el ms bajo 1.42 cm, estas se pueden dar con nmeros enteros y decimales entre ellos.

Variables discretas, solo toman nmeros enteros, como ejemplo podemos citar el nmero de hijos que tienen las familias de una comunidad, no se puede decir que tiene 1.5 hijos.

Variables cualitativas, son aquellas que representa un atributo y no son medibles como: el sexo, nacionalidad, estado civil, etc.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Son los valores que se ubican en la parte central de un conjunto de datos, y permite analizarlos de un valor central.

Las medidas de tendencia central son:

a) Media aritmtica, que tambin se conoce como promedio y se obtiene de dividir todos las datos entre el nmero de casos

b) Moda, es el valor que ms se repite en el estudio.

c) Mediana, es el valor central o punto de medio de los datos, este se obtiene de datos ordenados, cuando son nmero impar se encuentra en el centro de los datos, cuando se trata de un nmero par de elementos en el estudio es el promedio de los dos centrales.

Los datos de un estudio pueden ser

a) No agrupados, cuando se trata de estudios simples y se tienen pocos datos

b) Agrupados, cuando el estudio tienen demasiados datos

Los datos pueden representarse en una tabla de datos o tabla de frecuencias y los datos se pueden representar con una grafica.

Teniendo como base las definiciones anteriores y el procedimiento de trabajo realiza el siguiente ejercicio.68

El edades de los alumnos de un grupo de alumnos de una universidad son:

24, 18, 19, 22, 21, 20, 20, 19, 23, 23, 24, 25, 24, 19, 21, 23, 20, 22, 24, 19, 21, 22, 21, 23, 21, 24, 19, 21, 24, 23, 21, 21, 23, 20

Ordena los datos de menor a mayor

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

TABLA DE FRECUENCIAS

Edad (en aos)

Frecuencia Absoluta

Edad por frecuenciaabsoluta

19

20

21

22

23

24

Totales


MEDIA (Calculo del promedio) MODA MEDIANA

En una tienda de mayoreo vendieron las siguientes prendas

TABLA DE FRECUENCIAS

Artculos Cantidad vendida

Pantalones 550

Camisas 710

Faldas 425

Blusas 815

Conjuntos 448

Trajes 510



69

Obtn las medidas de tendencia central de los promedios de los alumnos del 411

8.5 6.0 5.9 9.0 9.5 8.2 9.3 9.1 9.5 9.3 5.9 6.8 7.6 5.5 9.2 9.0 8.9 6.5 9.5 5.5

9.3 7.5 8.3 6.0 9.4 9.9 9.5 6.5 5.9 5.5 9.9 5.4 9.9 9.5 6.9 5.3 6.2 5.9 9.5 9.4

Ordena los datos

Tabla de frecuencias acumulada Grfica de barras



Tambin se tiene la tabla de frecuencia relativa.

La frecuencia relativa nos indica el porcentaje que representa la frecuencia absoluta de cada valor de la variable con respecto del total de observaciones.

Otra columna que se agrega al cuadro es el de frecuencia relativa acumulada, que nos indica el porcentaje de observaciones que hemos recorrido.

Con todos estos elementos la tabla va a constar de 5 columnas y se deben de obtener los resultados para cada una de ellas.

70

Obtn lo que se indica en cada columna, utilizando tu calculadora.

Un estudio arrojo los siguientes datos

Nmero de hijos por pareja f1 n1 F1 N1

0 24

1 50

2 80

3 36

4 50

5 48

6 35

7 26

8 12

TotalSimbologa f1= frecuencia; n1= Frecuencia relativa; F1= Frecuencia acumulada; N1= Frecuencia relativa acumulada


MEDIA MODA

MEDIANA

Medidas de dispersinLas medidas de dispersin son valores que indican la variabilidad de un conjunto de datos con respecto a la media.

Rango.Se le llama rango o recorrido, a la diferencia del valor mayor y el valor menor de los datos.La formula de trabajo es: R = Vmax vminEn una recaudera se venden diariamente los siguientes kilos de tomate.

21 19 18 20 21 22 20 18 22 21 19 22 18 22 21

18 21 22 20 21 18 19 21 20 22 22 20 21 20 19

Ordena los datos

Obtn lo que se pide en cada recuadro

Media Moda Rango

Mediana

71

DESVIACION MEDIA

Se define como la diferencia entre cada dato y la media e indica cmo se desva cada dato respecto a la media aritmtica.

La frmula para su obtencin es n

xxDM

)(Las estaturas de 10 estudiantes que estn en el equipo de bsquet bol son

1.75 1.68 1.73 1.75 1.82 1.79 1.72 1.76 1.74 1.77

Ordena los datos

Utilizando tu calculadora obtn los datos de la siguiente tabla

Estaturas f1 n1 F1 N1 (x - x)

Total


Media Moda Rango

Mediana Desviacin media

Varianza

Es la medida que nos permite conocer la dispersin de los valores de una muestra respecto de su media aritmtica

La frmula es: n

xxs

2

2)(

El nmero de hijos que tienen las familias de la colonia el llanito son

5 7 0 2 4 3 6 1 1 0 7 5 3 1 2

4 6 3 3 3 2 5 6 7 0 3 4 2 5 3

3 4 2 2 6 5 6 6 3 4 2 3 1 0 772

Ordena los datos

Tabla de frecuencias

Nmero de hijos f1 n1 F1 N1 ( x x ) ( x x )2

Total


MODA MEDIANA RANGO

MEDIA DESVIACION MEDIA VARIANZA

Desviacin tpica estndar

La desviacin tpica estndar es la raz cuadrada de la varianza

La frmula para su obtencin es

n

xxs

2)(

De la siguiente serie de nmeros realiza lo que se pide

10 12 2 9 15 6 7 8 12 9

Datos ordenados

73

Tabla de frecuencias

Serie de nmeros f fa fr fra I x - x I ( x x ) ( x x )2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Total


MEDIA RANGO VARIANZA

MODA DESVIACION MEDIA DESVIACION MEDIA

MEDIANA

Del siguiente cuadro obtn lo que se indica

x f fx Fa fr fra I x - x I ( x x ) ( x x )2

0 1

1 2

2 5

3 14

4 8

5 3

6 1

totales74




MEDIANA

Del siguiente cuadro obtn lo que se indica

x f fx Fa fr fra I x - x I ( x x ) ( x x )2

0 2

1 3

2 5

3 7

4 9

5 4

totales




MEDIANA

75

PROBABILIDAD

Conceptos elementales de probabilidad

Definicin:

Es la relacin entre el nmero de resultados a favor de un suceso y el nmero total de

resultados posibles

Experimento

Es una accin bien definida que da un resultado bien definido

Ejemplos de experimentos

Meter la mano en agua caliente.Lanzar una moneda al aireArrojar una piedra desde el quinto piso de un edificioLanzar un dado a una mesa

Tipos de experimentos

Determinista

El resultado se conoce desde antes de realizar el experimento

Ejemplos

Meter la mano en agua calienteArrojar una piedra desde el quinto piso de un edificio

Aleatorio

Se conocen los posibles resultados, pero no el que se obtiene al momento

Ejemplos

Lanzar una moneda al aireLanzar un dado en la mesa

Espacio muestral

Es el conjunto de posibles resultados en un experimente aleatorio

Ejemplos:

Al lanza al aire una moneda el espacio muestral es (guila sol)Al lanza un dado a la mesa El espacio muestral es (1, 2, 3, 4, 5, 6)

Obtener el espacio muestral al lanzar dos monedas al aire al mismo tiempo

_______________________________________________________________________________________

Obtener el espacio muestral al lanzar dos dados sobre una mesa

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Diagrama del rbol

Se consideran como un auxiliar para poder definir correctamente el espacio muestral

Por ejemplo al lanzar dos monedas al aire cuando caen al suelo determinan el siguiente espacio muestral.

Dibuja el diagrama del rbol que represente el lanzamiento de tres monedas al aire

76

Para obtener la probabilidad de un resultado en un experimento aleatorio utilizaremos la siguiente frmula.

posiblesresultadosdetotalnmero

leventodefavorableNmeroAP

........

......)(

Realiza los siguientes ejercicios

Obtn la probabilidad de que salga 3 al lanzar

un dado

Obtn la posibilidad de que salga un nmero par al lanzar un dado

Obtn la probabilidad de que al lanzar una moneda caiga sol

Obtn la probabilidad de que al lanzar un dado caiga un nmero impar

Diagramas de Venn

Son las representaciones grficas del espacio muestral de un suceso.

Se representa mediante conjuntos.

Un conjunto es un nmero limitado de elementos que tienen ciertas caractersticas en comn

El espacio muestral total se representa con un rectngulo, y los conjuntos particulares del espacio muestral con crculos.

Espacio muestral

Conjunto

77

Considera el siguiente espacio muestral, obtn los conjuntos que se indican y traza el diagrama de Venn correspondiente

Espacio muestral (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25)

Conjunto de los mltiplos de 2

A (


B (

Del siguiente espacio muestral obtn los conjuntos que se indican y traza el diagrama de Venn correspondienteEspacio muestral (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18))


D (


E (

Del siguiente espacio muestral, obtn los conjuntos que se indican y traza el diagrama de Venn correspondiente

Espacio muestral (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25)


F (


G (


H (

78

Existen operaciones que se realizan con los conjunto y permiten ver la probabilidad de que ocurra un evento, en este curso solo nos limitaremos de obtener la unin y la interseccin.

Unin, Es el conjunto de elementos que se obtienen de unir dos o ms conjuntos.

Si nosotros queremos saber que existe esta operacin en dos conjunto se deben de sombrear los dos.

En la interseccin solo se sombrea la parte en la que estn enlazados los conjuntos.

De los siguientes conjuntos obtener la unin e interseccin de los conjuntos

A ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

B (0, 2, 4, 8, 10, 12, 14, 16, 18)UNIN INTERSECCION

C (1, 2, 3, 4, 5)

D (4, 5, 6, 7, 8, 9)

UNIN INTERSECCION

E (a, b, c, d, e)

D (a, b, c, d, e, f, g)

UNIN INTERSECCION

79

Sean los conjuntos

A (20, 30, 40, 50)

B (40, 50, 60, 70)

C (20, 40, 60, 90, 120)A unin B A unin C

B unin C A unin B unin C

A interseccin B A interseccin C

80

B interseccin C A interseccin B interseccin C

LEY ADITIVA DE LA PROBABILIDAD

Es la probabilidad de que ocurra uno de los dos sucesos A B, es igual a la suma de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos.

La formula que se utiliza es.

P = (A B) = P(A) + P(B)

Calcula la probabilidad de sacar un mltiplo de 2 o un 3 al lanzar un dado de seis caras

DATOS Y OPERACIONES GRAFICA

E (

A (

B (

Calcula la probabilidad de sacar un nmero mltiplo de de 2 o un nmero mltiplo de 3 al tirar un dado de 8 caras.

DATOS Y OPERACIONES GRAFICA

E (

A (

B (

81

LEY MULTUPLICATIVA DE LAS PROBABILIDADES

Cul es la altura de un poste de luz, que tiene un tirante de 4.5 m, y unas distancia desde la base al tirante de 3.25 m?


Un ingeniero quiere saber cuntos metros de material va a comprar para instalar 4 tirantes para sostener una torre de telecomunicaciones de 17 m de altura, si desde la base de la torre a la base de los tirantes es de 9 m.


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SEGUNDO SEMESTRE

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