CUADERNO DE TRABAJOMATEMTICAS II
ADAPTADO AL PROGRAMA DE ESTUDIO DE
NIVEL BACHILLERATO
COLEGIADO DE MATEMATICAS
NOMBRE DEL ALUMNO
NUMERO DE LISTA
_____________
GRUPO
PERIODO 2012-A
1
TEMARIO
PRIMER PARCIAL
BLOQUE I
TRINGULOS: NGULOS Y RELACIONES MTRICAS
Clasificacin de ngulos Definicin y clasificacin de los tringulos por: la medida de sus lados y de sus ngulos
BLOQUE II
COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRINGULOS
Criterios de congruencia Relacin de igualdad que existe entre los elementos de tringulos congruentes
BLOQUE III
RESUELVE PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRINGULOS Y TEOREMA DE PITGORAS
Caractersticas de tringulos semejantes Criterios de semejanza de tringulos Teorema de Thales Teorema de Pitgoras Relaciones de proporcionalidad entre catetos e hipotenusa al trazar la altura sobre sta
BLOQUE IV
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLGONOS
Clasificacin de los polgonos Propiedades y elementos de los polgonos Relaciones y propiedades de los polgonos
SEGUNDO PARCIAL
BLOQUE V
EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Propiedades de los elementos asociados a una circunferencia Caractersticas y propiedades de los diversos tipos de ngulos en la circunferencia
BLOQUE VI
DESCRIBE LAS RELACIONES TRIGONOMTRICAS PARA RESOLVER TRINGULOS RECTNGULOS
Diferentes unidades de medida de ngulos y describe las diferencias conceptuales entre ellas Funciones trigonomtricas directas y recprocas de ngulos agudos
BLOQUE VII
APLICA LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
Funciones trigonomtricas en el plano cartesiano ngulo de referencia ngulos situados en los cuadrantes II, III y IV Funciones trigonomtricas en el crculo unitario
2TERCER PARCIAL
BLOQUE VIII
APLICA LAS LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS
Leyes de los senos y cosenos as como los elementos necesarios para la aplicacin de una u otra
BLOQUE IX
APLICA LA ESTADSTICA ELEMENTAL
Medidas de tendencia central para datos no agrupados Caractersticas de las medidas de tendencia central Medidas de dispersin: rango, varianza y desviacin tpica para datos agrupados por clases Caractersticas de las medidas de tendencia central
BLOQUE X
EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Eventos deterministas y aleatorios Espacio muestral de diversos tipos de eventos Probabilidad clsica de un evento aleatorio Probabilidad de eventos compuestos
MATERIALES
JUEGO DE GEOMETRA (PERMANENTE)
CALCULADORA CIENTIFICA
CUADERNOS DE TRABAJO
3
HOJA DE REPORTES DEL ALUMNO
NOMBRE DEL ALUMNO ________________________________________________________
FECHA MOTIVO FIRMA DE ENTERADO DEL PADRE
REPORTES CON EL VISTO BUENO DE LA DIRECCIN DE LA ESCUELA
FECHA MOTIVO FIRMA DE LA DIRECTORA FIRMA DE ENTERADO DEL PADRE
4ANGULO
Un ngulo se define como:
La abertura entre dos rectas semirrectas con un mismo origen.
A las rectas se les llama lados y al origen vrtice.
En conclusin los ngulos estn formados por segmentos de recta, semirrectas y rectas que se intersectan en un punto que es comn.
Todos los ngulos tienen un lado fijo, donde inicia el ngulo y un lado mvil y pueden tener cualquier posicin.
Los smbolos de ngulo son:
CLASIFICACIN DE ANGULOS
Los ngulos se clasifican de acuerdo a la medida de la abertura de las dos semirrectas.
Se les dan nombres especficos segn su medida, en forma general se pueden trazar sin necesidad de hacer mediciones pero teniendo en cuenta las definiciones de cada uno.
Se toman como referencia los ejes del plano cartesiano.
ANGULO AGUDO ANGULO RECTO ANGULO OBTUSO
Es menor de 900 Mide 900 Es mayor de 900 y menor de 1800
C
B A
F
G D
M
N O
0 < ABC < 900 DGF = 900 900 < ONM < 1800
ANGULO LLANO ANGULO ENTRANTE ANGULO PERIGONAL
Es igual a 1800 Es mayor de 1800 y menor de 3600 Mide 3600
Q P R
Y X
Z
A
B C
RPQ = 1800 1800 < XYZ < 3600 ABC = 3600
Las definiciones en forma general se plantean: El ngulo agudo mide ms de 0 pero menos de 900. El ngulo recto mide exactamente 900. El ngulo obtuso mide ms de 900 pero menos de 1800. El ngulo llano mide exactamente 1800. El ngulo entrante mide ms de 1800 pero menos de 3600. El ngulo perigonal de vuelta completa mide exactamente 3600.
Para dar respuesta a una pregunta sobre definicin de ngulos se pueden tomar cualquiera de las definiciones
5
TRAZAR LOS SIGUIENTES ANGULOS Y ESCRIBE SU NOMBRE
68 123 247
POR SU MAGNITUD EL NGULO SE LLAMA
POR SU MAGNITUD EL NGULO SE LLAMA
POR SU MAGNITUD EL NGULO SE LLAMA
90 360 25
POR SU MAGNITUD EL NGULO SE LLAMA
POR SU MAGNITUD EL NGULO SE LLAMA
POR SU MAGNITUD EL NGULO SE LLAMA
162 0 180
POR SU MAGNITUD EL NGULO SE POR SU MAGNITUD EL NGULO SE POR SU MAGNITUD EL NGULO SE
LLAMA LLAMA LLAMA
6ANGULOS ADYACENTES
Los ngulos adyacentes son:
Dos ngulos que tienen un lado coolineal y su vrtice y un lado comn.
Otra definicin nos dice que:
Son los ngulos que comparten una recta y la otra que los forma es la misma para los dos ngulos
La suma de dos ngulos adyacentes es igual a 180
C
D B A
Por lo tanto
ABC + CBD = 180
Construye ngulos adyacentes, tomando como base el que se indica y construya su grfica
RPQ = 73 (Horizontal) MNO = 1230 (Oblicuo)
ABC = 1100 (Vertical) DEF = 480 (Oblicuo)
7ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los ngulos opuestos por el vrtice son:
Dos ngulos iguales que se obtienen de dos rectas que se cortan y no son adyacentes.
Otra definicin nos dice que:
Son dos ngulos tales que los lados de uno de ellos, son la prolongacin de los lados del otro.GRAFICA
A D
0
B C
En la figura los ngulos opuestos por el vrtice son:_______ y _______ ; _______ y _______
De las siguientes grficas y de acuerdo a los datos que se indican obtener el valor de los ngulos
GRAFICA DESARROLLO MEDIDA DE LOS ANGULOS
c d b a
d = 54
a =
b =
c =
GRAFICA DESARROLLO MEDIDA DE LOS ANGULOS
e
f g
h
e = 3a +12 f = 2a 5
a =
g =
h =
GRAFICA DESARROLLO MEDIDA DE LOS ANGULOS
n m p q
x =
p=
m = x + 15 n = 2x + 5 q =
8
ANGULOS ENTRE PARALELAS
Se definen como:Son pares de ngulos iguales se forman entre unas lneas paralelas y una secante.
De acuerdo a la posicin de los ngulos con respecto a las lneas paralelas y la secante reciben diferentes nombres.
ANGULOS CORRESPONDIENTES
Son dos ngulos iguales pero uno dentro de las paralelas y otro fuera pero del mismo lado de la secante.
ALTERNOS INTERNOS
Son dos ngulos iguales dentro de las paralelas a ambos lados de la secante.ALTERNOS EXTERNOS
Son dos ngulos iguales fuera de las paralelas a ambos lados de la secante.1800.
CONJUGADOS O COLATERALES INTERNOS
Son dos ngulos que se encuentran dentro de las paralelas del mismo lado de la secante que sumados son igual a 1800.
CONJUGADOS O COLATERALES EXTERNOS
Son dos ngulos que se encuentran fuera de las paralelas del mismo lado de la secante que sumados son igual a 1800.
De la siguiente figura contesta lo que se te pide y si son ngulos entre paralelas de acuerdo a las definiciones.
1 2
3 4
5 6
7 8
AB CDEF es secante a las paralelas
Nmero de ngulos que se forman ngulos que se forman ngulos que se forman dentro de las paralelas
ngulos que se forman fuera de las paralelas
ngulos que se forman a la derecha de la secante
ngulos que se forman a la izquierda de la secante
ngulos Correspondientes ngulos alternos internos
ngulos alternos externos ngulos conjugados internos ngulos conjugados externos
9
a b c d e f g h
ngulos que se forman ngulos correspondientes ngulos alternos internos
ngulos alternos externos ngulos conjugados internos ngulos conjugados externos
m o
p s
t v
x y
ngulos que se forman ngulos correspondientes ngulos alternos internos
ngulos alternos externos ngulos conjugados internos ngulos conjugados externos
Si el ngulo a mide 54 cunto miden los dems ngulos
FIGURA OPERACIONES RESPUESTAS
a b c d
e f
g h
a = b = c = d = e = f = g = h =
10
De la siguiente figura y de acuerdo a los datos obtener la medida del ngulos a y el ngulo z
FIGURA OPERACIONES RESPUESTAS
a b
y z
a = 2 x + 8 = z = x + 6
x =
a = z =
ANGULOS COMPLEMENTARIOS
Son dos ngulos que sumados dan como resultado un ngulo recto es decir, un ngulo de 900.
De acuerdo a las caractersticas anteriores construir ngulos complementarios y encontrar en valor de los dos, en algunos casos se darn valores desconocidos en los cuales se aplicaran ecuaciones de primer grado con una incgnita y traza la grfica.
MNO = (3x + 8) ONP = (2x + 7) GHI = (4x + 2) IHJ = (3x + 4)
MST mide 6 ms que el triple de su complemento ABC = 3x y el BD = (2x + 30)
11
RPQ = 5y ; QPS = 2y CDE = 45 y es igual a su complemento
ANGULOS SUPLEMENTARIOS
Son dos ngulos que sumados son igual a 1800.
Tambin se definen como:
Dos ngulos que sumados son iguala a dos ngulos rectos.
Obtener el valor de los siguientes ngulos complementarios.
ABC = 1110 Hallar su suplemento DEF = 670 24 Hallar su suplemento
GHI = 670 35 17 Hallar su suplemento < JKL = 6x ; < LKT = (2x + 10)
12
TRIANGULOS
Existen diferentes definiciones de tringulo, entre las ms usuales tenemos las siguientes:
Polgono de tres lados Es la porcin de plano limitada por tres rectas que se cortande dos en dos
Se debe de tener en cuenta que el tringulo es la superficie o rea que se encuentra dentro de los lados
NOTACIN DE TRIANGULO
Se traza un tringulo pequeo antes de las letras que lo identifican.
Los tringulos tienen nueve elementos,
a) Tres vrtices
b) Tres lados
c) Tres ngulosCLASIFICACION DE TRIANGULOS
Los tringulos se clasifican por la medida de sus lados la medida de sus ngulos, por lo que tenemos que:POR LA MEDIDA DE SUS LADOS
TRIANGULO EQUILTERO
Tiene sus tres lados iguales
TRIANGULO ISSCELES
Tiene dos lados iguales y uno desiguales
TRIANGULO ESCALENO
Tiene sus tres lados desiguales
POR LA MEDIDA DE SUS ANGULOS
TRIANGULO ACUTANGULO
Tiene sus tres ngulos menores de 90
TRIANGULO RECTANGULO
Tiene un ngulo de 90
TRIANGULO OBTUSANGULO
Tiene un ngulo mayor de 90
De acuerdo a las definiciones traza los siguientes tringulos
EQUILATERO ACUTANGULO ISSCELES ACUTANGULO ESCALENO ACUTANGULO
13
EQUILATERO RECTANGULO ISOSCELES RECTANGULO ESCALENO RECTANGULO
EQUILATERO OBTUSANGULO ISOSCELES OBTSANGULO ESCALENO OBTUSANGULO
RECTAS NOTABLES DE UN TRINGULO
Una recta notable de un tringulo, es una recta con caractersticas especiales y se tiene cuatroMEDIATRIZ
Es la reta perpendicular a un lado de un tringulo, que lo divide en dos segmentos igualesMEDIANA
Es el segmento de recta que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto.BISECTRIZ
Es la recta que divide a un ngulo en dos igualesALTURA
Es el segmento de recta perpendicular de un lado al vrtice opuesto.
PUNTOS NOTABLES
Es el punto la interseccin de las tres rectas de cada una de las anteriores y se llamanCIRCUNCENTRO
Es el punto de interseccin de las tres mediatrices de cualquier tringulo
El CIRCUNCENTRO, es el centro de una circunferencia circunscrita a un tringulo BARICENTRO
Es el punto de interseccin de las tres medianas de cualquier tringulo
El BARICENTRO, es el punto de equilibrio de un tringulo.
ORTOCENTROEs el punto de interseccin de las tres alturas de cualquier tringulo
INCENTROEs el punto de interseccin de las tres bisectrices de cualquier tringulo
El INCENTRO, es el centro de una circunferencia inscrita a un tringulo.
CIRCUNSCRITA quiere decir que una circunferencia se encuentra fuera de una figura y toca todos sus vrtices.
INSCRITA quiere decir que una circunferencia se encuentra dentro de una figura y toca todos sus lados.
Se debe de tener en cuenta que algunos de los puntos de interseccin se pueden localizar dentro o fuera de los tringulos, segn sus caractersticas.
14
Traza un tringulo equiltero y una mediana Traza un tringulo issceles y una mediatriz
Traza un tringulo escaleno y una altura Traza un tringulo issceles y una bisectriz
TRAZA LAS SIGUIENTES FIGURAS DE ACUERDO A LAS INDICACIONES
Un tringulo issceles acutngulo, sus tres bisectrices,el incentro y la circunferencia inscrita
Un tringulo equiltero sus tres medianas, y el baricentro
15
Un tringulo escaleno obtusngulo sus tres alturas, el ortocentro
Un tringulo issceles rectngulo sus tres medianas y el circuncentro
SUMA DE ANGULOS INTERIORES DEL TRIANGULO
Definicin:
La suma de ngulos interiores de cualquier tringulo es igual a 180
Otra definicin nos dice que:
Las suma de los tres ngulos de un tringulo es igual a dos ngulos rectos
A + B + C = 180Para demostrar lo anterior de acuerdo a la siguiente figura tenemos.
B
P 1 2 Q
A C
Para demostrar lo anterior de acuerdo a la siguiente grafica
Al ABC
Se trazar una lnea paralela que pasa por un vrtice B del tringulo opuesta al lado AC, se forma un ngulo llano que da origen a la siguiente demostracin.
a.- PQ l l AC Por construccin
b.- A = 1 Por ser alternos internos c.- C = 2 Por ser alternos internos c.- 1 + B + 2 = 180 Por formar un ngulo llano d.- A + B + C = 180 Sustituyendo (a) en (c)
16
Obtener el valor de los ngulos y trazar las figuras de acuerdo a los valores.
En el ABC el A = 43 ; el B = 64 ; el C = ?DESARROLLO FIGURA RESULTADOS
Por la medida de sus lados el es: Por la medida de sus ngulos el es:En el DEF el D = 55 ; el E = ? ; el F = 61
DESARROLLO FIGURA RESULTADOS
Por la medida de sus lados el es: Por la medida de sus ngulos el es:En el GHJ el G = ? ; el H = 60 ; el J = 80
DESARROLLO FIGURA RESULTADOS
Por la medida de sus lados el es: Por la medida de sus ngulos el es:17
En el KLM el K = 82 16 ; el L = 53 47 ; el M = ?DESARROLLO FIGURA RESULTADOS
Por la medida de sus lados el es: Por la medida de sus ngulos el es:ANGULOS EXTERIORES DE UN TRINGULO
Definiciones:a. Un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los otros dos ngulos interiores del tringulo
que no son adyacentes.b. Un ngulo interior de un triangulo se forma por el lada del tringulo y la prolongacin del otro.c. La suma de un ngulo exterior y el ngulo interior adyacente es igual a 180.d. Un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los dos no adyacentes.
De acuerdo a la figura tenemos:
FIGURA
DE LAS SIGUIENTES FIGURAS OBTEN LOS ANGULOS FALTANTES
FIGURA DESARROLLO RESULTADOS
k =
t =
j =
J =
18
FIGURA DESARROLLO RESULTADOS
Q =
q =
j =
J =
FIGURA DESARROLLO RESULTADOS
W =
En el ABC el A = 3x ; el B = 5x ; el C = 4xDESARROLLO FIGURA RESULTADOS
A =
B =
C =
Por la medida de sus lados el es: Por la medida de sus ngulos el es:CONGRUENCIA
Congruencia, Son dos figuras con igual forma y tamao, por lo que las propiedades de una figura son vlidas para la otra figura.
Otra definicin de congruencia nos dice que: Es cuando dos figuras que coinciden exactamente
El smbolo de congruencia es , que quiere decir; igual tamao y, igual forma.TRIANGULOS CONGRUENTES
Dos tringulos son congruentes cuando:
Tiene la misma forma y el mismo tamao
Es decir que sus lados y ngulos correspondientes son iguales.POSTULADOS DE CONGRUENCIA
POSTULADO LAL
Si dos tringulos tienen 2 lados y el ngulos comprendido entre ellos iguales, entonces los tringulos son congruentes
19
Construye tringulos congruentes de acuerdo a este postulado y justifcalos.
ISOSCELES OBTUSANGULOS JUSTIFICACION
ESCALENOS RECTNGULOS JUSTIFICACION
POSTULADO ALA
Si dos tringulos tienen 2 ngulos y el lado comprendido entre ellos iguales, entonces los tringulos son congruentes
Construye tringulos congruentes de acuerdo a este postulado y justifcalos.
ISOSCELES RECTNGULOS JUSTIFICACION
EQUILATEROS ACUTANGULOS JUSTIFICACION
20POSTULADO LLL
Si dos tringulos tienen sus 3 lados iguales, entonces los tringulos son congruentes
Construye tringulos congruentes de acuerdo a este postulado y justifcalos.
ISOSCELES ACUTANGULOS JUSTIFICACION
ESCALENOS OBTUSANGULOS JUSTIFICACION
SEMEJANZA DE FIGURAS GEOMTRICAS
SEMEJANZA Se define como:
Son dos figuras con la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamao
Otra definicin indica que:
Las figuras tienen sus ngulos correspondientes iguales y sus lados homlogos proporcionales
Es decir, que una puede ser mayor que otra, pero sus componentes guardan relacin entre si.
El smbolo de semejanza es:
Que quiere decir:
Igual forma.
SEMEJANZA DE TRIANGULOSDos tringulos son semejantes, cuando:
Tienen sus ngulos iguales y sus lados homlogos proporcionales
Homlogo quiere decir:
Lados que se oponen a ngulos iguales.
POSTULADOS DE SEMEJANZA
POSTULADO AA
Dos tringulos son semejantes cuando tienen dos ngulos respectivamente iguale
21
Construye tringulos semejantes de acuerdo a este postulado y justifcalos.
ACUTANGULOS ESCALENOS JUSTIFICACION
RECTANGULOS ISSCELES JUSTIFICACION
POSTULADO LAL
Dos tringulos son semejantes cuando tienen un ngulo igual y los lados adyacentes proporcionales
Construye tringulos semejantes de acuerdo a este postulado y justifcalos.
ISOSCELES RECTNGULOS JUSTIFICACION
22
POSTULADO LLL
Dos tringulos son semejantes cuando tienen sus tres lados proporcionalesConstruye tringulos semejantes de acuerdo a este postulado y justifcalos.
ISOSCELES ACUTANGULOS JUSTIFICACION
ESCALENOS OBTUSANGULOS JUSTIFICACION
TEOREMA DE THALES
Teorema bsico de la proporcionalidad se define como:
Toda paralela a un lado de un tringulo forma con los otros dos lados un tringulo semejante al primero C HIPOTESIS
En el ABC TESIS
D E DEC ABC TRAZO AUXILIAR
A F B EF // AB
RAZONAMIENTO RAZN
1.- En el ABC, DE // AB por hiptesis2.- C = C Por identidad3.- A = CDE, B = CDE Por se correspondientes entre paralelas4.-
CD
CA=
CE
CBEl ABC DCE por el postulado de semejanza (AA)
23TEOREMA DE PITAGORAS
El teorema de Pitgoras solo es aplicable en tringulos rectngulos.Con el podemos encontrar la medida de los lados o la medida de la hipotenusa.
Se define como:
En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
DEDUCCIN DEL TEOREMA DE PITGORAS
En el tringulo ABC
AB = c (cateto)
BC = a (hipotenusa)
CA = b (cateto)
TEOREMA DE PITGORAS
(BC)2 = (AB)2 + (CA)2
a2 = b2 + c2
CONSTRUCCIN AUXILIAR
Se traza la altura AD = h, desde el vrtice A, a la hipotenusa BC
SE FORMAN LOS TRIANGULOS SEMEJANTES
ABC ABD ADC
DEMOSTRACION
b
a=
CD
b y
c
a=
DB
c
b2 = a . CD y c2 = a . DB
Sumando miembro a miembro
b2 + c2 = (a . CD ) + (a . DB)
Factorizando ( a ) en el Segundo miembro
b2 + c2 = a(CD + DB)
Pero
CD + DB = a
Por lo tanto
b2 + c2 = a . a
b2 + c2 = a2
Lo que se quera demostrar
El teorema de Pitgoras tiene dos corolarios, con los que se obtiene la hipotenusa o cualquiera de los catetos.
COROLARIO 1
La hipotenusa es igual a la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos
COROLARIO 2
Un cateto es igual a la raz cuadrada del cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro
C
ab D
A c B
cateto
De la igualdad
b2 + c2 = a2
Despejando a
a2 = b2 + c2
Transponiendo la potencia
a = 22 cb
De la igualdad
b2 + c2 = a2
Despejando un cateto
b c
b2 = a2 c2 c2 = a2 b2
Transponiendo la potencia
b = 22 ca = 22 ba
24
Aplicando los dos corolarios del teorema de Pitgoras obtn el lado faltante en los siguientes tringulos rectngulos, tomando como base la figura anterior.
b = 10 cm ; c = 8 cm
DESARROLLO FIGURA
a = 12 mm; b = 8 mm
DESARROLLO FIGURA
a = 20 mm ; c = 22 mm
DESARROLLO FIGURA
25
b = 32 cm ; c = 24 mm
DESARROLLO FIGURA
a = 17 mm ; c = 4 mm
DESARROLLO FIGURA
b = 25 cm ; c = 19 cmDESARROLLO FIGURA
26
a = 10 cm ; b = 6 cmDESARROLLO FIGURA
b = 12 cm ; c = 14 cmDESARROLLO FIGURA
a = 25 m ; b = 14 mDESARROLLO FIGURA
27
b = 2 cm ; c = 12 mm
DESARROLLO FIGURA
a = 5 m ; b = 34 cm
DESARROLLO FIGURA
Hallar la medida de los lados de un tringulo issceles, de acuerdo a los datos
Base = 6 cm ; altura = 4 cm
DESARROLLO FIGURA
28
Base = 40 mm; altura = 45 mm
DESARROLLO FIGURA
Hallar la altura de un tringulo equiltero, cuando se conoce uno de sus lados
Lado = 12 cm
DESARROLLO FIGURA
Lado = 25 m
DESARROLLO FIGURA
29
Aplicando el teorema de Pitgoras resuelve los siguientes problemas.
Cul es la altura de una persona que proyecta una sombra sobre el piso de 45 cm, y la distancia de su cabeza al final de la sombra es de 95 cm?
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
El tirante que sostiene a una antena es de 8.5 m, y la distancia del pie de la antena al tirante es de 4.5 m, Cunto mide la antena?
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
Un ciclista tiene que bajar una pendiente de 795m, en el sitio donde termina la pendiente al pie de la montaa es de 215m Qu altura tiene la montaa?
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
30
Cul es la altura de un poste de luz, que tiene un tirante de 4.5 m, y unas distancia desde la base al tirante de 3.25 m?
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
Un ingeniero quiere saber cuntos metros de material va a comprar para instalar 4 tirantes para sostener una torre de telecomunicaciones de 17 m de altura, si desde la base de la torre a la base de los tirantes es de 9 m.
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
Se quieren colocar 6 tirantes desde una torre de 13 metros, la distancia sobre el piso desde la torre es de 7.75 m, Cunto alambre se debe de comprar?
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
31
POLIGONOS
DEFINICIN:
Un polgono es una figura formada por segmentos de recta unidos consecutivamente.
Los polgonos se clasificaciones por la medida de sus lados y la medida de sus ngulos:
POR LA MEDIDA DE SUS LADOS POR LA MEDIDA DE SUS ANGULOS
a) Regulares
b) Irregulares
a) Convexos
b) Cncavos
a).- Regulares, son aquellos que tienen sus lados y ngulos iguales, es decir que son equingulos y equilteros.
Equilteros, quiere decir que tiene todos sus lados iguales
Equingulos quiere decir que todos sus ngulos son iguales.Construye polgonos regulares de acuerdo al nmero de lados que se indica
CUATRO LADOS CINCO LADOS SEIS LADOS
b).- Irregulares, Son aquellos que tienen lados y ngulos desiguales.
En el caso de estos polgonos pueden tener sus lados iguales sus ngulos, pero no cumplen una de las dos condiciones.
Construye polgonos irregulares de acuerdo al nmero de lados que se indica
CUATRO LADOS CINCO LADOS SEIS LADOS
32
Los polgonos tambin se clasifican en:
a).- Convexos, Son polgonos que tiene sus ngulos interiores menores de 180
Construye tres polgonos cncavos de acuerdo a las caractersticas
CUATRO LADOS CINCO LADOS SEIS LADOS
a).- Cncavos, Son polgonos que tiene por lo menos un ngulo mayor de 180
Construye tres polgonos convexos de acuerdo a las caractersticas
CUATRO LADOS CINCO LADOS SEIS LADOS
ELEMENTOS DE LOS POLIGONOS
Para poder obtener los elementos de un polgono es necesario auxiliarse de la circunferencia para fundamentar las definiciones respectivas.
RADIO
Es la medida del radio de una circunferencia circunscrita al vrtice del polgono.
FIGURA
33
APOTEMA
Es la medida del radio de una circunferencia circunscrita al punto medio de un polgono
FIGURA FORMULA
apotema =2
2
2
ladoradio
DIAGONAL
Es el segmento de recta que une dos vrtices no consecutivos de un polgono.
Existen dos formas de trazar las diagonales, las que se trazan desde un vrtice y las diagonales totales del polgono, para obtenerlas se utilizan las siguientes frmulas.
Desde uno de los vrtices.d = n 3
Diagonales totales.
D = 2
)3( nn
n representa el nmero de lados del polgono.
Calcular el nmero de diagonales desde un vrtice y las diagonales totales de los siguientes polgonos
TRES LADOS CUATRO LADOS CINCO LADOS
UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES
34
CUADRILATERO CONCAVO CINCO LADOS CONVEXO SEIS LADOS CONCAVO
UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES
Las medida de las diagonales tambin se pueden utilizando ecuaciones de primer grado o sistemas de ecuaciones de dos incgnitas.
ANGULOS EXTERIORES DE UN POLIGONO
La suma de los ngulos exteriores de cualquier polgono es de 360, por lo que para la obtencin de la medida de uno de los ngulos exteriores se utiliza la siguiente formula.
< e =n
360
En donde n es el nmero de lados del polgono.
Obtener lo que se indica en cada recuadro.POLIGONO REGULAR DE CUATRO LADOS
MEDIDA DE UN ANGULO INTERIOR
SUMA DE LOS NGULOS INTERIORES
MEDIDA DE UN ANGULO EXTERIOR
FIGURA
35
POLIGONO REGULAR DE CINCO LADOS
MEDIDA DE UN ANGULO INTERIOR
SUMA DE LOS NGULOS INTERIORES
MEDIDA DE UN ANGULO EXTERIOR
FIGURA
POLIGONO REGULAR DE SEIS LADOS
MEDIDA DE UN ANGULO INTERIOR
SUMA DE LOS NGULOS INTERIORES
MEDIDA DE UN ANGULO EXTERIOR
FIGURA
AREA Y PERIMETRO
El permetro es el contorno de un polgono
El rea es la superficie de un polgono limitada por el permetro
Para calcular el rea y permetro de los polgonos se debe de tomar en cuenta, si es regular o irregular, en el cado de los polgonos regulares se tienen frmulas que permiten obtenerla directamente de los datos realizar un proceso ms complicado, en los irregulares tambin tienen formulas pero en algunos es necesario realizar triangulaciones, se calcula el rea de cada tringulo y sumarlas para obtener el rea del polgono.Los resultados de las reas se dan en unidades al cuadrado
CUADRO DE FORMULAS
REGULARES IRREGULARES
PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA
TRIANGULOEQUILATERO
P = 3l A = 2
bh TRIANGULO P = a + b + c A = ))()(( csbsasS PPPP
CUADRADO P = 4l A = l2 RECTANGULO P = 2(b + h) A = bh
POLIGONO REGULAR DE DE 5 LADOS O MAS
P = nl A = 2
pa ROMBO P = 4L A = 2
Dd
ROMBOIDE O PARALELOGRAMO
P = 2(b + h) A = bh
sp = 2
cba TRAPECIO P = a + b +c + d A = 2
)( hbB
36AREA Y PERIMETRO DE UN TRINGULO
Los resultados de las reas se dan en unidades al cuadradoOBTENER EL PERIMETRO Y AREA DE LAS SIGUIENTES FIGURAS DE ACUERDO A LAS MEDIDAD QUE SE INDICAN
En caso de que las figuras sobresalgan de los espacios trazar una a escalaAB = 11 cm , BC = 16 cm , CA = 23 cm
PERIMETRO AREA FIGURA
Por la medida de sus lados el tringulo es
Por la medida de sus ngulos el
tringulo es
DE = EF = FG = 15 m
PERIMETRO AREA FIGURA
Por la medida de sus lados el tringulo es
Por la medida de sus ngulos el
tringulo es
MN = 22 cm ; NO = 15 cm ; OM = MN
PERIMETRO AREA FIGURA
Por la medida de sus lados el
tringulo es
Por la medida de sus ngulos el
tringulo es
Un rectngulo mide 42 m de ancho y 48 m de largo Un cuadrado mide 3.7 cm por lado
PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA
37
Un octgono que mide 5.2 cm por lado Un rombo, la diagonal mayor mide 5 cm y la diagonal menor de 8 cm
PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA
FIGURA FIGURA
Calcular el lado de un cuadrado que mide 32.49 cm2 Calcular el nmero de lados de un polgono regular que su permetro mide 25.3 cm y uno de sus lados mide 2.3 cm
FIGURA FIGURA
38
CALCULAR EL REA DE LAS SIGUIENTES APLICANDO LA FORMULA DE HERON
FIGURA OBTENCION DEL AREA DE LOS TRIANGULOS AREA DEL POLGONO
FIGURA OBTENCION DEL AREA DE LOS TRIANGULOS AREA DEL POLGONO
FIGURA OBTENCION DEL AREA DE LOS TRIANGULOS AREA DEL POLGONO
39
CIRCUNFERENCIA Y CRCULO.
DEFINICIONESCIRCUNFERENCIA. Es la lnea curva cerrada en la que todos sus puntos se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
CIRCULO, Es el conjunto de la circunferencia y los puntos interiores a la mismaGRAFICAS
CIRCUNFERENCIA CIRCULO
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
RECTAS NOTABLES DE LA CIRCUNFERENCIA
RADIOEs el segmento que une el centro a cualquier punto de la circunferencia
DIAMETROEs la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
CUERDAEs un segmento de recta que une
dos puntos de la circunferencia
ARCOEs una parte de la circunferencia
determinada por un ngulo
TANGENTEEs la recta que toca a la circunferencia
en uno de sus puntos
SECANTEEs la recta que corta a una
circunferencia en dos de sus puntos
40ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
De acuerdo a la posicin del vrtice de un ngulo en la circunferencia se les da un nombre y para la obtencin de su medida se tienen formulas determinadas.
ANGULO CENTRAL
Tiene su vrtice en el centro de la
circunferencia.
Estn formados por dos radios.El ngulo central es igual a su arco
FORMULA
c = Arco
ANGULO INSCRITO
Es el que tiene su vrtice en cualquier punto de la circunferencia.
Estn formados por dos secantes.
El ngulo inscrito es igual a la mitad del ngulo central
FORMULA
ins = 2
AB
ANGULO INTERIOR
Tiene su vrtice en un punto dentro de la circunferencia.
El ngulo interior es igual a la mitad de la suma de los dos semiarcos
FORMULA
i =2
BDAC
ANGULO EXTERIOR
Es aquel que tiene su vrtice fuera de la circunferencia y sus lados cortan a la
circunferencia
El ngulo interior es igual a la mitad de la diferencia de los dos semiarcos
e =2
BDAC
41Resuelve los siguientes ejercicios de ngulos
Hallar la medida de x si el arco de un ngulo central AC = 70 y el ABC = 6x 2
Hallar la medida de x si el arco de un ngulo central DF = 127 y el DEF = 8x + 7
DESARROLLO GRAFICA DESARROLLO GRAFICA
Hallar la medida de un ngulo inscrito que su arco mide 105 Hallar la medida del arco de un ngulo inscrito si este mide 38 22
DESARROLLO GRAFICA DESARROLLO GRAFICA
Hallar la medida de un ngulo interior que su arcos miden 46 y 122
Hallar la medida de un arco de un ngulo interior si el ngulo mide 44 y el otro arco 86
DESARROLLO GRAFICA DESARROLLO GRAFICA
Hallar la medida de un ngulo exterior que sus arcos miden 52 y 134
Hallar la medida de un arco de un ngulo exterior si este mide 42 y el otro arco 130
DESARROLLO GRAFICA DESARROLLO GRAFICA
42
PERIMETRO Y AREA DE LA CIRCUNFERENCIA
El permetro se encuentra a la circunferencia de acuerdo a la siguiente formula de acuerdo a los datos que se indiquen.
P = 2 r P = dSe debe de tomar en cuenta que el permetro es la longitud de una circunferencia.
C = 2 r C = dEl rea es la superficie del crculo y la medida se obtiene de la siguiente formula
A = r2OBTEN LO QUE SE INDICA EN CADA RECUADRO
Una circunferencia de 3 cm de radio Una circunferencia de 8 cm de dimetro Una circunferencia de 5 cm de radio
GRAFICA GRAFICA GRAFICA
PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA
Si la longitud de una circunferencia es de 15.708 cm, Cul es la
medida de su radio
Si el rea de un crculo 19.635 cm2
Cunto mide el dimetro?
Calcular el rea de un circulo que su
circunferencia mide 11
Cunto mide su dimetro? Cunto mide su radio? cunto mide su radio en cm?
43
APLICANDO LAS REAS Y PERIMETROS DE LOS POLGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA OBTEN
El dimetro de una circunferencia mide 7 cm, cunto mide el lado del cuadrado inscrito en ella? Luego calcula el rea entre el cuadrado y la circunferencia.
FIGURA PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA PERIMETRO DEL CUADRADO AREA DEL CIRCULO
AREA DEL CUADRADO AREA ENTRE LA CIRCUNFERENCIA Y EL CRCULO
DIFERENCIA DE LOS PERIMETROS DE LAS FIGURAS
Traza una circunferencia de 3.2 cm, un pentgono inscrito y calcula lo que se indica en cada recuadro
FIGURA PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA PERIMETRO DEL PENTAGONO AREA DEL CIRCULO
AREA DEL PENTAGONO AREA ENTRE LA CIRCUNFERENCIA Y EL CRCULO
DIFERENCIA DE LOS PERIMETROS DE LAS FIGURAS
Un caballo est amarrado de una cuerda de 4 metros desde una estaca y se quiere saber cul es el perimero y rea en que se puede desplazar el caballo
GRAFICA PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA AREA DEL CIRCULO
44FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS AGUDOS
SISTEMA CIRCULAR
En el sistema circular la base para desarrollarlo es la circunferencia y la unidad de medida de! sistema se llama RADIAN. El radin es el ngulo dentro de la circunferencia cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la
circunferencia.
GRAFICA
A
El arco AB , es igual a la medida del radio
Por lo tanto el < AOB es igual a un radian
Teniendo en cuenta que la longitud de una circunferencia es igual a 2 radianes que a su vez son iguales a 360" , entonces tenemos que;
r
O 57 18 r
Longitud de la circunferencia = 2 radianes c = 2
c = 2 (3.14) radianes
c = 6.28 radianes
UN RADIAN ES IGUAL A:
r = 28.6
3600
r = 57 18'
RELACIN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES y EL RADIAN
El grado sexagesimal tendr corno smbolo (S) y el radin (R), por lo tanto:
0360
S =
2R
0180
S =
R Simplificando si = 3.14
0180
S =
14.3
R
Aplicando la formula anterior obtener lo que se indica en los siguientes recuadros.
EXPRESAR EN GRADOS SEXAGECIMALES LOS SIGUIENTES RADIANES
3.6 r 29 r 12 r
45
4.6 r 2.5 r 1.6 R
2 3
EXPRESAR EN RADIANES LOS SIGUIENTES GRADOS SEXAGECIMALES
90 216 43 18
612 527 196 42
46FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMETRICAS
Todo ngulo agudo es aquel que mide menos de 900, las funciones trigonomtricas son aplicables en tringulos rectngulos, estos tiene seis elementos (tres ngulos y tres lados), que de acuerdo a su posicin se llaman.
Angulo agudo
Hipotenusa Cateto
Angulo recto Cateto Angulo agudo
De acuerdo a la grfica contesta las siguientes preguntas.
Los catetos forman el : ______________________________
La hipotenusa es el lado ___________________ en cualquier tringulo rectngulo.
La medida del ngulo recto es igual a _____________ La medida del ngulo agudo es ______________
Las seis funciones trigonomtricas son: _____________ , ______________ , ____ __________
_____________ , ______________ , ______________
Las tres primeras se llaman: ________________ Las tres segundas se llaman: ___________________
Plantea las seis funciones trigonomtricas en forma general.
En el siguiente tringulo rectngulo plantea las seis funciones trigonomtricas con las letras correspondientes a los
dos ngulos agudos.
FIGURA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA EL ANGULO B
FUNCIONES TRIGONOMETICAS PARA EL ANGULO C
C
b a
A c B
47FUNCIONES RECIPROCAS
Las funciones reciprocas son aquellas que se aplican al mismo ngulo de un tringulo y que4 al multiplicarse dan como resultado la unidad.
GRAFICA FUNCIONES RECIPROCAS PARA EL ANGULO B
C
a b
A c B
sen B x csc B = 1 cos B x sec B = 1 tan B x ctg B = 1
de donde
sen B = Bcsc
1 cos B =
Bsec
1 Tan B =
Bcot
1
o bien
csc B = senB
1 sec B =
Bcos
1 cot B =
Btan
1
CALCULO DE VALORES DE 30, 45 Y 60
Traza un tringulo equiltero de lados iguales a dos unidades, traza una bisectriz al lado base, de uno de los tringulos resultantes por la medida de los ngulos internos encontramos el ngulo de 30, para encontrar su valor y aplicando el teorema de Pitgoras obtn el valor del cateto faltante.
GRAFICA OBTENCION DEL CATETO FALTANTE Sen 30 Cos 30
Tan 30 Cot 30 Sec 30 Csc 30
De acuerdo a la misma grfica obtn los valores para el ngulo de 60
sen 60 cos 60 tan 60
48
cot 60 sec 60 csc 60
Para la obtencin de los valores del ngulo de 45 trazaremos un cuadrado de una unidad por lado, se traza una bisectriz, se obtienen dos tringulos rectngulos, la bisectriz dividi el ngulo de 90 en dos iguales que miden 45, para determinar los valores del ngulo se aplica el teorema de Pitgoras para obtener la hipotenusa.
GRAFICA OBTENCIN DEL CATETO FALTANTE
sen 45 cos 45 tan 45
sen 45 cos 45 tan 45
49
TABLA DE VALORES DE LOS ANGULOS DE 30 , 45 y 60
ANGULO sen Cos Tan cot sec csc
30
45
60
Empleando tu calculadora obtn los valores de las seis funciones trigonomtricas de los siguientes grados expresados en grados
sen x cos x tan x ctg x sec x csc x
20
45
70
185
275
412
Empleando la calculadora obtn los valores de las seis funciones trigonomtricas de los siguientes ngulos expresados en radianes
sen x cos x tan x ctg x sec x csc x
6
3
2
2
3
2
Obtn la medida de los ngulos en radianes y en grados, a partir de la razn trigonomtrica que se proporciona
sen x cos x Tanx ctg x sec x csc x
0.8520 0.2425 3.2 0.3125 4.1237 1.1737
Grados
Radianes
50RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo ABC, si el a = 17 m y b = 24 m
OBTENER c A C FIGURA
Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo ABC, si el A = 46 25 y c = 53 cmOBTENER a OBTENER b C FIGURA
Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo DEF, si el e = 36 cm y f = 29 cm
OBTENER d D F FIGURA
Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo DEF, si el F = 64 y d = 7 mOBTENER e OBTENER f D FIGURA
51
Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo RPQ, si el R = 78 y r = 8 mOBTENER p OBTENER q Q FIGURA
Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo ABC, si el A = 65 y a = 19 mmOBTENER b OBTENER c C FIGURA
Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo ARP, si el a = 18 u y r = 24 u
OBTENER p A P FIGURA
Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo INM, si el i = 9 m y m = 9 cm
OBTENER n I M FIGURA
52
Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo ABC, si el a = 34 u y b = 56 u
OBTENER c A C FIGURA
Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo DEF, si el D = 48 19 y e = 63 mOBTENER d OBTENER f F FIGURA
Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo GHI, si el i = 225 u y h = 312 u
OBTENER g G I FIGURA
Obtener los valores faltantes del tringulo rectngulo JKL, si el L = 65 y j = 33.78 mOBTENER k OBTENER l J FIGURA
53APLICANDO LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS OBTEN LO QUE SE INDICA EN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
Una columna de 38 m de altura proyecta una sombra sobre el piso de 42 m, hallar el ngulo de inclinacin de los rayos del sol
GRAFICA DESARROLLO RESPUESTA AL PROBLEMA
Cul ser la altura de una torre que su cspide se observa desde 750 m, en lnea recta desde su base con un ngulo de elevacin de 15 24 ?
GRAFICA DESARROLLO RESPUESTA AL PROBLEMA
Hallar la altura de un avin, si la sombra proyectada est a 156 m del pe de la vertical, cuando el sol esta a 67 sobre el horizonte
GRAFICA DESARROLLO RESPUESTA AL PROBLEMA
Cul es la altura de una escalera que se apoya en el borde de una ventana que tiene una altura de 6.9 m desde el suelo y forma un ngulo con la pared de 32 67 ?
GRAFICA DESARROLLO RESPUESTA AL PROBLEMA
54Una antena de televisin est sostenida por tres cables del mismo tamao, cada uno mide 10 m y estn sujetados al piso a
una distancia de la base de la antena de 3.5
GRAFICA DESARROLLO
Cunto mide la antena?
Qu ngulo forma una de los cables en relacin con el piso?
Una escalera esta recargada en una pared, la distancia del extremo inferior de la escalera a la base de la pared es de 2.5 m y el ngulo de elevacin es de 68
GRAFICA DESARROLLO
Cunto mide la escalera?
Qu altura alcanza la escalera en la pared?
Seis cables sujetan una antena de 32 m, de dos secciones, tres cables de la primera seccin estn a una distancia de 4.3 m, y los tres de la segunda seccin a 5.6 de la base
GRAFICA DESARROLLO
Cunto mide un cable de cada seccin?
En total cunto cable se necesita para sujetar la antena?
Qu ngulo forma los cables de cada seccin con relacin al piso?
55FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA NGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
Las funciones trigonomtricas se pueden aplicar a ngulos de cualquier medida o magnitud, en los cuales se consideran los ejes del plano cartesiano para su ubicacin en los cuadrantes que determinan el signo de los componentes del ngulo del lado inicial y del lado terminal.
Angulo dirigido, es aquel que adems de tomar en cuenta la amplitud, se toma en cuenta su sentido o direccin.
Angulo en posicin normal, es todo ngulo que tiene como lado inicial el eje de abscisas positivo y el vrtice coincide con el origen del plano cartesiano.
ngulos coterminales, son aquellos que estn colocados en posicin normal, pero son coincidentes con sus lados terminal, es los ngulos de 0, 90, 180, 270, 360 y sus ngulos coterminales se llaman ngulos cuadrangulares.
SIGNOS Y VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
En el plano cartesiano se determina un punto cualquiera P , el cual tiene como coordenadas la posicin de los ejes, abscisa para el eje de las x cateto adyacente y ordenada para el eje de las y cateto opuesto, el vector que se obtiene al unir el origen y el punto se le llama hipotenusa con estos valores se pueden obtener las seis funciones trigonomtricas del ngulo en los cuatro cuadrantes.
Trazar las grficas a cada cuadrante, obtn las seis funciones trigonomtricas y determina los signos de cada una y al final llena el cuadro que se indica.
PRIMER CUADRANTE
GRAFICA sen cos tan
cot sec csc
SEGUNDO CUADRANTE
GRAFICA sen cos tan
cot sec csc
56
TERCER CUADRANTE
GRAFICA sen cos tan
cot sec csc
CUARTO CUADRANTE
GRAFICA sen cos tan
cot sec csc
CUADRO DE SIGNOS DE LAS FUNCIONES
seno coseno tangente Cotangente secante cosecante
CUADRANTE I
CUADRANTE II
CUADRANTE III
CUADRANTE IV
Tomando como base el cuadro de signos de funciones se pueden ubicar los cuadrantes a que pertenece una funcin trigonomtrica, se debe de tener en cuenta que la hipotenusa siempre es positiva , la abscisa es el lado inicial y la ordenada el lado terminal de la funcin.
57
Obtn la grfica o grficas de las siguientes funciones trigonomtricas y el lado faltante por el teorema de Pitgoras.
cos =5
4
DESARROLLO sen tan
cot sec csc
sen = 5
2
DESARROLLO Cos tan
cot sec csc
tan = 7
4DESARROLLO sen cos
cot sec csc
cot = 8
3
DESARROLLO sen cos tan
sec csc
58
sec = 3
5
DESARROLLO sen cos tan
cot csc
csc = 4
7
DESARROLLO sen cos tan
cot sec
CIRCULO TRIGONOMETRICO
Representacin de las funciones trigonomtricas de un ngulo por medio de segmentos de recta .
Si se escoge una unidad de medida de longitud tal que el denominador de todas las razones sea la unidad, se toma el crculo trigonomtrico, en el cual el radio es la unidad de longitud r = 1.
GRAFICA
Se trazan dos dimetros AA y BB perpendiculares que coincidan con los ejes del plano cartesiano xx y yy.
Sea OAP un ngulo , siendo OA la posicin inicial del ngulo y OP la posicin terminal, se traza PM perpendicular a AO y PQ perpendicular a OB.
En la grfica se forma el tringulo MOP tiene como hipotenusa a OP = r = 1 y se obtiene seno y coseno.59
seno Coseno
En A, se traza AT perpendicular al radio OA, hasta encontrarse con la prolongacin de OP, para obtener la tangente se realizan las igualdades PM = AT y OM = OA y para la secante OP = OT y OM = OA.
tangente Secante
Para obtener la cotangente y la cosecante se traza BS perpendicular a OB en B hasta encontrarse con la prolongacin OP, el ngulo BOS es complementario del ngulo entonces la tangente del ngulo BOS es igual a la cotangente del ngulo y la secante del ngulo BOS es igual a la cotangente del ngulo
cotangente Cosecante
As las funciones del ngulo quedan representados por los siguientes segmentos de recta en todos los cuadrantes y se toman en cuentas los signos correspondientes, podemos determinar la posicin del segmento en el plano cartesiano tomando como referencia el origen.
sen = PM, perpendicular bajada del punto terminal del arco al dimetro AA
cos = OM,tan = AT,cot = BS,sec = OT,cos = OS,
distancia del centro al pie del seno
Perpendicular de AS al dimetro AA, hasta encontrarse con la prolongacin del radio que pasa por el punto P.
Perpendicular en B al dimetro BB, hasta encontrarse con la prolongacin del radio que pasa por el punto P
Distancia del centro a la extremidad de la tangente.
Distancia del centro a la extremidad de la cotangente
Las funciones trigonomtricas del ngulo en el primer cuadrante son positivas.Para cualquier cuadrante en el que el lado terminal, la tangente se obtiene por medio de la perpendicular en el punto A y la cotangente por medio de la perpendicular en el punto B. para su planteamiento se toman en cuenta los valores y signos de las funciones.
GRAFICAS
SEGUNDO CUADRANTE TERCER CUADRANTE CUARTO CUADRANTE
+
SIGNOS DE LOS SEGMENTOS DE RECTA
2 cuadrante 3 cuadrante 4 cuadrante
60GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Seno
Coseno
Tangente Cotangente
61
Secante Cosecante
VARIACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
SENOEl valor varia de 1 a -1 y su valor absoluto siempre quedar comprendido entre 0 a 1
PRIMER CUADRANTEDe 0 a 90
SEGUNDO CUADRANTEDe 90 a 180
TERCER CUADRANTEDe 180 a 270
CUARTO CUADRANTE270 a 360
COSENOEl valor vara de -1 a 1 y su valor absoluto siempre queda comprendido entre o y 1
PRIMER CUADRANTEDe 0 a 90
SEGUNDO CUADRANTEDe 90 a 180
TERCER CUADRANTEDe 180 a 270
CUARTO CUADRANTE270 a 360
TANGENTE
El valor vara de + a -PRIMER CUADRANTE
De 0 a 90SEGUNDO CUADRANTE
De 90 a 180TERCER CUADRANTE
De 180 a 270CUARTO CUADRANTE
270 a 360
COTANGENTEEl valor vara de + a -
PRIMER CUADRANTEDe 0 a 90
SEGUNDO CUADRANTEDe 90 a 180
TERCER CUADRANTEDe 180 a 270
CUARTO CUADRANTE270 a 360
SECANTE
El valor vara de + a -PRIMER CUADRANTE
De 0 a 90SEGUNDO CUADRANTE
De 90 a 180TERCER CUADRANTE
De 180 a 270CUARTO CUADRANTE
270 a 360
El valor vara de + a -PRIMER CUADRANTE
De 0 a 90SEGUNDO CUADRANTE
De 90 a 180TERCER CUADRANTE
De 180 a 270CUARTO CUADRANTE
270 a 360
62
LEYES DE SENOS Y COSENOS
Estas leyes son aplicables a tringulos oblicungulos.
Un tringulo oblicungulo es aquel que no tiene ngulos rectos o sea son todos aquellos tringulos acutngulos, que son los que tienen sus tres ngulos agudos y oblicungulos, que tiene dos ngulos agudos y un obtuso.
Para obtener los seis elementos de los tringulos oblicungulos es necesario conocer tres de ellos y en lo general se presentan cuatro casos que son:
a) Cundo se conocen un lado y dos ngulos.b) Cundo se conocen dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos.c) Cundo se conocen dos lados y el ngulo comprendido entre ellos.d) Cuando se conocen sus tres lados.
Dependiendo de cual es el caso se aplican dos teoremas que se llaman:
a) Ley de los senosb) Ley de los cosenos
El teorema de los senos nos dice que:EN TODO TRIANGULO, LOS LADOS SON PROPORCIONALES A LOS SENOS DE SUS ANGULOS OPUESTOS
Se plantea:
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE ACUERDO A LOS DATOS QUE SE INDICAN Y OBTEN LAS MEDIDAS FALTANTES
EN LOS SIGUIENTES TRIANGULOS
a = 75.50 m < B = 700 59 < C = 440 44
b c < A GRAFICA
d = 23.58 m e = 19.35 m < D = 620 32 19
c < C < E GRAFICA
63
a = 27.3 u < B = 380 20 < C = 770 10
b c < A GRAFICA
b = 25.36 u < A = 540 8 < C = 270 15
a c < B GRAFICA
c = 18 cm < A = 750 59 < C = 770 10
a b < B GRAFICA
64
a = 12 cm < A = 430 59 < C = 670 10
b c < B GRAFICA
LEY DE LOS COSENOS
El teorema de los cosenos indica que:
EN TODO TRINGULO OBLICUANGULO, EL COSENO DE UN ANGULO ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS LADOS QUE LOS FORMEN, MENOS EL CUADRADO DEL LADO OPUESTO,
DIVIDIDO ENTRE EL DOBLE PRODUCTO DE LOS LADOS QUE LOS FORMEN
Por lo que obtenemos las siguientes formulas:
Cos < A = ab
acb
2
222 Cos < B =
ac
bca
2
222 Cos < C =
ab
cba
2
222
En el caso de conocer dos lados y un ngulo se define como:EN TODO TRIANGULO, EL CUADRADO DE UN LADO CUALQUIERA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS
OTROS DOS MENOS EL DOBLE PRODUCTO DE ESTOS LADOS POR EL COSENO DEL NGULO COMPRENDIDO
Por lo que obtenemos las siguientes formulas.
a2 = b2 + c2 2bc cos < A
b2 = a2 + c2 2ac cos < B
c2 = a2 + b2 2ab cos < C
RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE ACUERDO A LOS DATOS QUE SE INDICAN
En el triangulo ABC a = 31 m b = 42 m c = 53 m
< A < B < C GRAFICA
65
En el triangulo DEF d = 4 u e = 5 u f = 6 u
< D < E < F GRAFICA
En el triangulo MNO m = 48 u n = 35 u o = 26 u
< M < N < O GRAFICA
En el triangulo GHI g = 13 cm h = 14 cm i = 17 cm
< G < H < I GRAFICA
En el triangulo ABC a = 15 m b = 22 m c = 20 m
< A < B < C GRAFICA
71
En el triangulo MNB m = 48 u n = 33 u b = 24 u
< M < N < B GRAFICA
En el triangulo RPQ r = 26.64 cm p = 37.40 cm q = 50.22 cm
< A < B < C GRAFICA
67
ESTADISTICA ELEMENTAL
Definicin de estadstica.
Es la ciencia con base matemtica encargada de recoger, analizar e interpretar los datos relativos a un conjunto de elementos.
La estadstica permite obtener conclusiones que deben ser validas y sirven para tomar decisiones razonables de acuerdo a los datos que se estn estudiando.
El estudio se realiza en una poblacin, pero cuando sta es grande se toma una muestra representativa.
Poblacin es el conjunto de elementos sobre los cuales se realiza la investigacin
Muestra, es una parte de la poblacin a estudiar, pero sta debe de ser representativa-
Ejemplo:
Se quiere saber cules son las causas por las cuales a los alumnos se les hace tarde para llegar a clases en el plantel 06 del COBAT.
Poblacin, todos los alumnos de los dos turnos del plantel 06, total 1150
Muestra representativa diez alumnos en forma aleatoria de cada grupo, total 120
En el ejercicio anterior se dio a conocer una variable de estudio a la que se llama variable estadstica que no es otra cosa que lo que se va estudiar.
En el ejemplo anterior la variable es causas por las que los alumnos llegan tarde a clase.
Las variables pueden ser cuantitativas, que son aquellas que se pueden medir y se representan con nmeros, como la edad, el peso, el salario, nmero de hijos de una familia, etc., estas pueden ser continuas discretas.
Variables continuas, son aquellas en las cuales se obtienen valores reales entre dos valores dados, un ejemplo de stas es la estatura de los alumnos de una grupo, el ms alto es de 1.78 cm y el ms bajo 1.42 cm, estas se pueden dar con nmeros enteros y decimales entre ellos.
Variables discretas, solo toman nmeros enteros, como ejemplo podemos citar el nmero de hijos que tienen las familias de una comunidad, no se puede decir que tiene 1.5 hijos.
Variables cualitativas, son aquellas que representa un atributo y no son medibles como: el sexo, nacionalidad, estado civil, etc.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Son los valores que se ubican en la parte central de un conjunto de datos, y permite analizarlos de un valor central.
Las medidas de tendencia central son:
a) Media aritmtica, que tambin se conoce como promedio y se obtiene de dividir todos las datos entre el nmero de casos
b) Moda, es el valor que ms se repite en el estudio.
c) Mediana, es el valor central o punto de medio de los datos, este se obtiene de datos ordenados, cuando son nmero impar se encuentra en el centro de los datos, cuando se trata de un nmero par de elementos en el estudio es el promedio de los dos centrales.
Los datos de un estudio pueden ser
a) No agrupados, cuando se trata de estudios simples y se tienen pocos datos
b) Agrupados, cuando el estudio tienen demasiados datos
Los datos pueden representarse en una tabla de datos o tabla de frecuencias y los datos se pueden representar con una grafica.
Teniendo como base las definiciones anteriores y el procedimiento de trabajo realiza el siguiente ejercicio.68
El edades de los alumnos de un grupo de alumnos de una universidad son:
24, 18, 19, 22, 21, 20, 20, 19, 23, 23, 24, 25, 24, 19, 21, 23, 20, 22, 24, 19, 21, 22, 21, 23, 21, 24, 19, 21, 24, 23, 21, 21, 23, 20
Ordena los datos de menor a mayor
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
TABLA DE FRECUENCIAS
Edad (en aos)
Frecuencia Absoluta
Edad por frecuenciaabsoluta
19
20
21
22
23
24
Totales
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA (Calculo del promedio) MODA MEDIANA
En una tienda de mayoreo vendieron las siguientes prendas
TABLA DE FRECUENCIAS
Artculos Cantidad vendida
Pantalones 550
Camisas 710
Faldas 425
Blusas 815
Conjuntos 448
Trajes 510
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA (Calculo del promedio) MODA MEDIANA
69
Obtn las medidas de tendencia central de los promedios de los alumnos del 411
8.5 6.0 5.9 9.0 9.5 8.2 9.3 9.1 9.5 9.3 5.9 6.8 7.6 5.5 9.2 9.0 8.9 6.5 9.5 5.5
9.3 7.5 8.3 6.0 9.4 9.9 9.5 6.5 5.9 5.5 9.9 5.4 9.9 9.5 6.9 5.3 6.2 5.9 9.5 9.4
Ordena los datos
Tabla de frecuencias acumulada Grfica de barras
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA (Calculo del promedio) MODA MEDIANA
Tambin se tiene la tabla de frecuencia relativa.
La frecuencia relativa nos indica el porcentaje que representa la frecuencia absoluta de cada valor de la variable con respecto del total de observaciones.
Otra columna que se agrega al cuadro es el de frecuencia relativa acumulada, que nos indica el porcentaje de observaciones que hemos recorrido.
Con todos estos elementos la tabla va a constar de 5 columnas y se deben de obtener los resultados para cada una de ellas.
70
Obtn lo que se indica en cada columna, utilizando tu calculadora.
Un estudio arrojo los siguientes datos
Nmero de hijos por pareja f1 n1 F1 N1
0 24
1 50
2 80
3 36
4 50
5 48
6 35
7 26
8 12
TotalSimbologa f1= frecuencia; n1= Frecuencia relativa; F1= Frecuencia acumulada; N1= Frecuencia relativa acumulada
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA MODA
MEDIANA
Medidas de dispersinLas medidas de dispersin son valores que indican la variabilidad de un conjunto de datos con respecto a la media.
Rango.Se le llama rango o recorrido, a la diferencia del valor mayor y el valor menor de los datos.La formula de trabajo es: R = Vmax vminEn una recaudera se venden diariamente los siguientes kilos de tomate.
21 19 18 20 21 22 20 18 22 21 19 22 18 22 21
18 21 22 20 21 18 19 21 20 22 22 20 21 20 19
Ordena los datos
Obtn lo que se pide en cada recuadro
Media Moda Rango
Mediana
71
DESVIACION MEDIA
Se define como la diferencia entre cada dato y la media e indica cmo se desva cada dato respecto a la media aritmtica.
La frmula para su obtencin es n
xxDM
)(Las estaturas de 10 estudiantes que estn en el equipo de bsquet bol son
1.75 1.68 1.73 1.75 1.82 1.79 1.72 1.76 1.74 1.77
Ordena los datos
Utilizando tu calculadora obtn los datos de la siguiente tabla
Estaturas f1 n1 F1 N1 (x - x)
Total
Obtn lo que se pide en cada recuadro
Media Moda Rango
Mediana Desviacin media
Varianza
Es la medida que nos permite conocer la dispersin de los valores de una muestra respecto de su media aritmtica
La frmula es: n
xxs
2
2)(
El nmero de hijos que tienen las familias de la colonia el llanito son
5 7 0 2 4 3 6 1 1 0 7 5 3 1 2
4 6 3 3 3 2 5 6 7 0 3 4 2 5 3
3 4 2 2 6 5 6 6 3 4 2 3 1 0 772
Ordena los datos
Tabla de frecuencias
Nmero de hijos f1 n1 F1 N1 ( x x ) ( x x )2
Total
Obtn lo que se pide en cada recuadro
MODA MEDIANA RANGO
MEDIA DESVIACION MEDIA VARIANZA
Desviacin tpica estndar
La desviacin tpica estndar es la raz cuadrada de la varianza
La frmula para su obtencin es
n
xxs
2)(
De la siguiente serie de nmeros realiza lo que se pide
10 12 2 9 15 6 7 8 12 9
Datos ordenados
73
Tabla de frecuencias
Serie de nmeros f fa fr fra I x - x I ( x x ) ( x x )2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
Obtn lo que se pide en cada recuadro
MEDIA RANGO VARIANZA
MODA DESVIACION MEDIA DESVIACION MEDIA
MEDIANA
Del siguiente cuadro obtn lo que se indica
x f fx Fa fr fra I x - x I ( x x ) ( x x )2
0 1
1 2
2 5
3 14
4 8
5 3
6 1
totales74
Obtn lo que se pide en cada recuadro
MEDIA RANGO VARIANZA
MODA DESVIACION MEDIA DESVIACION MEDIA
MEDIANA
Del siguiente cuadro obtn lo que se indica
x f fx Fa fr fra I x - x I ( x x ) ( x x )2
0 2
1 3
2 5
3 7
4 9
5 4
totales
Obtn lo que se pide en cada recuadro
MEDIA RANGO VARIANZA
MODA DESVIACION MEDIA DESVIACION MEDIA
MEDIANA
75
PROBABILIDAD
Conceptos elementales de probabilidad
Definicin:
Es la relacin entre el nmero de resultados a favor de un suceso y el nmero total de
resultados posibles
Experimento
Es una accin bien definida que da un resultado bien definido
Ejemplos de experimentos
Meter la mano en agua caliente.Lanzar una moneda al aireArrojar una piedra desde el quinto piso de un edificioLanzar un dado a una mesa
Tipos de experimentos
Determinista
El resultado se conoce desde antes de realizar el experimento
Ejemplos
Meter la mano en agua calienteArrojar una piedra desde el quinto piso de un edificio
Aleatorio
Se conocen los posibles resultados, pero no el que se obtiene al momento
Ejemplos
Lanzar una moneda al aireLanzar un dado en la mesa
Espacio muestral
Es el conjunto de posibles resultados en un experimente aleatorio
Ejemplos:
Al lanza al aire una moneda el espacio muestral es (guila sol)Al lanza un dado a la mesa El espacio muestral es (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Obtener el espacio muestral al lanzar dos monedas al aire al mismo tiempo
_______________________________________________________________________________________
Obtener el espacio muestral al lanzar dos dados sobre una mesa
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Diagrama del rbol
Se consideran como un auxiliar para poder definir correctamente el espacio muestral
Por ejemplo al lanzar dos monedas al aire cuando caen al suelo determinan el siguiente espacio muestral.
Dibuja el diagrama del rbol que represente el lanzamiento de tres monedas al aire
76
Para obtener la probabilidad de un resultado en un experimento aleatorio utilizaremos la siguiente frmula.
posiblesresultadosdetotalnmero
leventodefavorableNmeroAP
........
......)(
Realiza los siguientes ejercicios
Obtn la probabilidad de que salga 3 al lanzar
un dado
Obtn la posibilidad de que salga un nmero par al lanzar un dado
Obtn la probabilidad de que al lanzar una moneda caiga sol
Obtn la probabilidad de que al lanzar un dado caiga un nmero impar
Diagramas de Venn
Son las representaciones grficas del espacio muestral de un suceso.
Se representa mediante conjuntos.
Un conjunto es un nmero limitado de elementos que tienen ciertas caractersticas en comn
El espacio muestral total se representa con un rectngulo, y los conjuntos particulares del espacio muestral con crculos.
Espacio muestral
Conjunto
77
Considera el siguiente espacio muestral, obtn los conjuntos que se indican y traza el diagrama de Venn correspondiente
Espacio muestral (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25)
Conjunto de los mltiplos de 2
A (
Conjunto de los mltiplos de 4
B (
Del siguiente espacio muestral obtn los conjuntos que se indican y traza el diagrama de Venn correspondienteEspacio muestral (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18))
Conjunto de los mltiplos de 3
D (
Conjunto de los mltiplos de 6
E (
Del siguiente espacio muestral, obtn los conjuntos que se indican y traza el diagrama de Venn correspondiente
Espacio muestral (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25)
Conjunto de los mltiplos de 2
F (
Conjunto de los mltiplos de 3
G (
Conjunto de los mltiplos de 6
H (
78
Existen operaciones que se realizan con los conjunto y permiten ver la probabilidad de que ocurra un evento, en este curso solo nos limitaremos de obtener la unin y la interseccin.
Unin, Es el conjunto de elementos que se obtienen de unir dos o ms conjuntos.
Si nosotros queremos saber que existe esta operacin en dos conjunto se deben de sombrear los dos.
En la interseccin solo se sombrea la parte en la que estn enlazados los conjuntos.
De los siguientes conjuntos obtener la unin e interseccin de los conjuntos
A ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
B (0, 2, 4, 8, 10, 12, 14, 16, 18)UNIN INTERSECCION
C (1, 2, 3, 4, 5)
D (4, 5, 6, 7, 8, 9)
UNIN INTERSECCION
E (a, b, c, d, e)
D (a, b, c, d, e, f, g)
UNIN INTERSECCION
79
Sean los conjuntos
A (20, 30, 40, 50)
B (40, 50, 60, 70)
C (20, 40, 60, 90, 120)A unin B A unin C
B unin C A unin B unin C
A interseccin B A interseccin C
80
B interseccin C A interseccin B interseccin C
LEY ADITIVA DE LA PROBABILIDAD
Es la probabilidad de que ocurra uno de los dos sucesos A B, es igual a la suma de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos.
La formula que se utiliza es.
P = (A B) = P(A) + P(B)
Calcula la probabilidad de sacar un mltiplo de 2 o un 3 al lanzar un dado de seis caras
DATOS Y OPERACIONES GRAFICA
E (
A (
B (
Calcula la probabilidad de sacar un nmero mltiplo de de 2 o un nmero mltiplo de 3 al tirar un dado de 8 caras.
DATOS Y OPERACIONES GRAFICA
E (
A (
B (
81
LEY MULTUPLICATIVA DE LAS PROBABILIDADES
Cul es la altura de un poste de luz, que tiene un tirante de 4.5 m, y unas distancia desde la base al tirante de 3.25 m?
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
Un ingeniero quiere saber cuntos metros de material va a comprar para instalar 4 tirantes para sostener una torre de telecomunicaciones de 17 m de altura, si desde la base de la torre a la base de los tirantes es de 9 m.
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
82
Top Related