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LA OPTIMIZACIÓN DEL MISMO.

Todos los derechos reservados. Sólo se admitirá la reproducción total o parcial de este material didáctico con fines exclusivamente

instruccionales y no comerciales.

2007 Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada (UNEFA)

Av. La Estancia con Av. Caracas y Calle Holanda frente al Edificio Banaven (Cubo Negro), Chuao. Código Postal 1061 Caracas, Venezuela

http://www.aaa.unefa.edu.ve

Producción Gráfica e Impresión (Nombre de las empresas)

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ÍNDICE DE CONTENIDO Tópico Pág. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 4 UNIDAD Nº 1: LÓGICA PROPOSICIONAL ................................................................ 5

LECTURA Nº 1: Proposiciones. ....................................................................... 5 LECTURA Nº 2: Más sobre Proposiciones....................................................... 6 LECTURA Nº 3: Conectivos u Operadores Lógicos. ........................................ 8 LECTURA Nº 4: Valores de Verdad de los Operadores Lógicos. .................... 12 LECTURA Nº 5: Tablas de Verdad................................................................... 18 LECTURA Nº 6: Tautología, Contradicción, Indeterminación y Fórmulas

Equivalentes. ......................................................................... 20 LECTURA Nº 7: Aplicaciones (Circuitos). ........................................................ 24 LECTURA Nº 8: Cuantificadores. ..................................................................... 28 LECTURA Nº 9: Negación de los Cuantificadores. .......................................... 30 LECTURA Nº 10: Conectores Lógicos y Lingüísticos......................................... 33

UNIDAD Nº 2: LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL ....................................... 35 LECTURA Nº 11: Inferencia y Leyes de la Lógica. ............................................ 35 LECTURA Nº 12: Falacias.................................................................................. 49 LECTURA Nº 13: Condicionales. ....................................................................... 52

UNIDAD Nº 3: DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS ............................................... 58 LECTURA Nº 14: Demostraciones Matemáticas................................................ 58 LECTURA Nº 15: Método de Inducción Matemática. ......................................... 69 LECTURA Nº 16: Algunas Funciones de las Demostraciones Matemáticas...... 73

UNIDAD Nº 4: TEORÍA DE CONJUNTOS .................................................................. 75 LECTURA Nº 17: Conceptos Básicos. ............................................................... 75 LECTURA Nº 18: Tipos de Conjuntos. ............................................................... 78 LECTURA Nº 19: Más sobre Conjuntos Especiales........................................... 81 LECTURA Nº 20: Representación Gráfica de Conjuntos ................................... 85 LECTURA Nº 21: Relación entre Conjuntos....................................................... 86 LECTURA Nº 22: Otras Relaciones entre Conjuntos. ........................................ 88 LECTURA Nº 23: Operaciones entre Conjuntos. ............................................... 90 LECTURA Nº 24: Aplicaciones de la Operaciones entre Conjuntos. ................. 106 LECTURA Nº 25: Número de Elementos de un Conjunto. ................................. 109 BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................... 113

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INTRODUCCIÓN La Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada (UNEFA), te da la bienvenida al primer semestre de tu carrera y a la vez te ofrece este valioso recurso que contiene una selección de lecturas para la asignatura Razonamiento Lógico.

La UNEFA con su política dirigida a formar egresados de excelencia académica, incorpora la asignatura Razonamiento Lógico en el inicio de la carrera de Ingeniería, TSU en Análisis y Diseño, TSU en Agronomía, TSU Hidrocarburos y TSU en Construcción Naval; con el propósito de mejorar la forma de pensar a través de herramientas lógicas, facilitando en el estudiante la formulación, evaluación y resolución de problemas de índole numérico a lo largo de su carrera, así como aquellos aspectos relacionados con su comunidad.

El razonamiento lógico es una ciencia cuyo inicio se remonta siglos atrás, aunque desde siempre el ser humano inconscientemente lo ha utilizado, al organizar elementos, establecer patrones y encontrarle explicaciones a las cosas y hechos de la vida diaria. Por estas razones, Aristóteles fue el primero en incursionar en el estudio de esta ciencia, se interesó en sistematizar la lógica que usamos a diario.

La lógica matemática trata todo aquello que tiene sentido común, que parece suceder de forma natural en la mente humana y se entiende a medida que se va estudiando y profundizando en ella, desarrolla la madurez matemática de una forma diferente a lo que tradicionalmente se hace; además le brinda la oportunidad de obtener mejores resultados y aprendizajes significativos en el ámbito numérico.

En el desarrollo de esta asignatura, serán evidenciados múltiples casos de la vida cotidiana que necesitan de la lógica para darle una correcta solución a los problemas que a diario se presentan.

En esta selección de lecturas, encontrarás un resumen de los contenidos básicos de los temas que componen la asignatura, los cuales te apoyarán en el logro de un aprendizaje de calidad.

Durante la primera unidad, se trabajará con Lógica proposicional, en ella aprenderás un lenguaje simbólico, significativo, que te permitirá establecer un novedoso lenguaje de comunicación.

En la segunda unidad se contemplan Las Leyes de la Lógica Proposicional, con cuales determinarás los principios fundamentales inherentes al lenguaje y contenidos adquiridos en la unidad 1.

La tercera unidad se refiere al tema de Demostraciones Matemáticas, donde se plantean métodos necesarios que permiten determinar lo que hace, que cierto razonamiento sea válido o no.

Se culmina con la cuarta unidad; ella contiene los temas relacionados a la Teoría de Conjuntos, como una manera de formalizar la tendencia natural que tiene el ser humano de agrupar o reunir lo que ve en su entorno y la forma de relacionar estas agrupaciones.

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UNIDAD 1 LÓGICA PROPOSICIONAL

LECTURA N° 1: PROPOSICIONES

El término “lógica se deriva de la palabra griega logos, la cual significa razonamiento o discurso. Los antiguos griegos suelen ser considerados los iniciadores del estudio de los procesos del razonamiento humano. Los principios descubiertos por ellos fueron sistematizados, primero, por Aristóteles (384-322 A.C); y el tipo de razonamiento aristotélico constituye la lógica tradicional que ha sido estudiada y enseñada desde su época hasta nuestros días. Un ejemplo sencillo de la lógica aristotélica es el siguiente.

Todos los hombres son mortales.

Sócrates era un hombre.

Por tanto, Sócrates era mortal.

Este es un típico razonamiento conocido como silogismo.

No obstante que el estudio moderno de la lógica simbólica (que se trata en este capítulo) se basa en las investigaciones de hombres como el matemático alemán, Leibniz. (1647-1716), el simbolismo moderno y las operaciones de tipo algebraico fueron por primera vez aplicadas de manera sistemática a la lógica, en la obra del matemático inglés George Boole (1815-1864).

El estudio de la lógica se desarrolló con paso acelerado a partir del análisis de Boole, y se ha logrado un considerable progreso respecto a la comprensión de la verdad lógica. Cada vez que se trata de resolver un problema, se toma parte en un debate, o se trata de llenar un crucigrama, se realiza una actividad mental llamada razonamiento lógico, el cual, por lo regular, se expresa en términos de enunciados declarativos. En este capítulo trataremos acerca de tales enunciados.

Proposiciones

En ésta y en las siguientes secciones se estudiarán ciertos tipos de enunciados declarativos llamados proposiciones, así como la manera como pueden combinarse para llegar a conclusiones válidas.

En general, una proposición es un enunciado declarativo que puede considerarse como falso o verdadero, pero no como ambas cosas al mismo tiempo. Esta capacidad de ser calificadas como falsas o verdaderas hace que las proposiciones difieran de las preguntas,

Tomada con fines instruccionales Britton, J., Bello, I. (2002). Matemática Contemporánea. Segunda edición. (P. 59 -61).México.

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órdenes o exclamaciones. Se pueden hacer preguntas, dar órdenes y hacer exclamaciones exaltadas, pero sólo las proposiciones pueden ser calificadas como falsas o verdaderas.

Los siguientes enunciados son ejemplos de proposiciones.

Ejemplo 1

a. Caracas es la capital de Venezuela.

b. Dos es par y menor que veinte.

c. En Florida hay cinco trillones de granos de arena.

d. O estudias diariamente o repruebas este curso.

e. Si dos es par, entonces 2+2 da como resultado un número par.

Observa que la verdad o la falsedad de la primera proposición, puede verificarse mediante un examen directo, en tanto que la tercera sólo es cierta o falsa aunque no haya métodos prácticos o inmediatos para determinarlo.

En contraposición con las proposiciones del ejemplo 1, los siguientes enunciados son ejemplos de no proposiciones.

Ejemplo 2

a. ¿Qué hora es?

b. ¡Pérez para presidente!

c. ¡Hola Carlos!

d. ¡Cierra la puerta!

e. ¡Esta proposición es falsa!

Los enunciados del ejemplo 2 no son proposiciones. Observe que si se supone que (e) es verdadera, entonces resulta ser falsa; por el contrario, si se cree que es falsa entonces es verdadera. De ahí que tal enunciado no puede ser considerado como verdadero o falso, por lo que no se trata de una proposición.

LECTURA N° 2: MAS SOBRE PROPOSICIONES

Para identificar una proposición es importante hacer uso de un criterio que nos permita afirmar que ésta es verdadera o falsa. Tomando en cuenta el ejemplo 1 señalado en la lectura anterior (Britton), puede observarse que se utilizan criterios históricos (ejemplo a.)

Tomada con fines instruccionales Gómez, T., González, N., Lorenzo, J. (2007). Más sobre Proposiciones. Artículo no publicado (p.1). Caracas.

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y aritméticos (ejemplo b. y e.). En general se pueden tomar cuenta criterios tales como: el químico, aritméticos, botánicos, geográficos, históricos, propiedades, características, entre otros.

REPRESENTACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN

Cabe destacar que usualmente las proposiciones se pueden representar con letras minúsculas, ejemplo: p, q, r, s, m,…, a las que llamamos letras o variables proposicionales. Las proposiciones del ejemplo 1 se pueden representar de la siguiente forma:

p = Caracas es la capital de Venezuela

q = En Florida hay cinco trillones de granos de arena

Sin embargo ésta no es la única notación, algunos representan las proposiciones en letras minúsculas acompañadas de subíndices (p1, p2,..,pn). A fín de unificar la notación, en este texto utilizaremos las letras minúsculas sin subíndices.

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS:

Dos o más proposiciones pueden unirse dando origen a una proposición de estructura más compleja, a las cuales se le denomina fórmulas proposicionales, proposiciones moleculares o proposiciones compuestas.

Los componentes de estas proposiciones se llaman proposiciones simples o atómicas (vistas en la lectura anterior, Britton).

En el siguiente ejemplo, p es una proposición simple al igual que q:

p = Juan estudia en la UNEFA

q = Karina estudia en la UNEFA,

mientras que

Juan estudia en la UNEFA y Karina estudia en la UNEFA

es la proposición compuesta p y q.

Observa, que para formar la proposición anterior se unen las proposiciones simples por medio de la conjunción “y”,

Otras formas como se pueden conectar las proposiciones son:

la disyunción (o): “Juan va a la playa o Juan va al Ávila”

el condicional (si, entonces): si estudia, entonces aprueba el examen

y el bicondicional (si y sólo si):Un n es divisible por 2 si y sólo si n es par.

En muchos casos la formación de las proposiciones compuestas amerita el uso de signos de agrupación tales como: ( ), [ ] y { }.

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Muchas veces conocemos una proposición y necesitamos saber la proposición contraria, en este caso estamos hablando de la negación de una proposición. Por ejemplo:

p = Pedro es buen estudiante, la negación de la proposición p sería:

no p = No es cierto que Pedro es buen estudiante

A partir de ahora, los posibles valores de verdad de una proposición se denotarán con la las letras: V para verdadero y F para falso. De este modo, la proposición “El hierro es un metal” tiene un valor de verdad igual a V, en tanto que la proposición, “las hojas de los árboles son de vidrio” tiene un valor de verdad igual a F.

LECTURA N° 3: CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS

CONECTIVAS

Denominaremos conectiva de una proposición molecular, al elemento verbal o escrito que une a las proposiciones atómicas que forman aquélla. Por extensión, a la negación de una proposición también le llamaremos conectiva.

Existen dos tipos de conectivas: las que ligan dos proposiciones atómicas o conectivas múltiples y las negaciones o conectivas singulares.

Para el desarrollo del libro, sólo necesitaremos de las seis conectivas siguientes:

“no”, “y”, “o”, “o….o” , “si … entonces” , “si y sólo si”

Ejemplos:

a) No, los tres ángulos de un triángulo rectángulo son iguales.

b) José estudia Matemáticas y José estudia violín.

c) Está nublado o hace frío.

d) O el número natural n es par o el número natural n es impar.

e) Si la nieve es negra, entonces el gato es un cuadrúpedo.

f) El triángulo tiene cuatro lados si y sólo si 953 =×

Observaciones:

1a Aunque la construcción gramatical de los ejemplos a) y b) no es la más apropiada, a veces es preferible hacerlo así para evitar ambigüedades.

Tomada con fines instruccionales Burgos, A. (1983). Iniciación a la Lógica Matemática. Ediciones Vega s.r.l. Décima edición (p. 2-7). Caracas.

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2a Más adelante serán debidamente aclarados los ejemplos e) y f).

Si representamos las proposiciones atómicas con p y q, las proposiciones moleculares que serán objeto de nuestro estudio, son:

a) no p, b) p y q, c) p o q,

d) o p o q, e) si p entonces q, f) p si y sólo si q

Para una mejor comprensión de las seis conectivas señaladas anteriormente, procederemos a continuación a estudiarlas por separado.

La conectiva “no” o negación: es la única conectiva singular de las que vamos a estudiar; la representación del signo “–” colocado encima de la letra proposicional, o bien con una coma en la parte superior derecha; por tanto si la letra proposicional es p, escribiremos:

p o bien 'p

y se leerá no p

Ejemplos:

a) No Caracas es la capital de Francia.

b) No la raíz cuadrada de 2 es un número racional.

Aunque en el lenguaje español ordinario, el no debe seguir al sujeto, en el lenguaje lógico se prefiere anteponerlo a la proposición para evitar ambigüedades.

La conectiva “y” o conjunción copulativa: cuyo objeto es unir dos proposiciones, la representamos con el signo ∧ ; por tanto, si las proposiciones son p y q, escribiremos:

qp ∧

y leeremos: p y q.

La proposición (2) es el producto lógico de las proposiciones p y q, y éstos son sus factores.

Ejemplos:

a) Hace sol y está lloviendo

b) El número 15 es divisible por 3 y por 5.

La conectiva “o” o conjunción disyuntiva inclusiva: denota alternativa y simultaneidad entre dos proposiciones, la representaremos con el signo “∨ ”; por tanto, si las proposiciones son p y q, escribiremos :

qp ∨

y leeremos p o q, o bien p o/y q.

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La proposición qp ∨ es la suma lógica de las proposiciones donde p y q son los sumandos.

Conviene aclarar que la proposición (3) debe tomarse con uno de los significados siguientes:

1° Se verifica la proposición p, pero no la q;

2° Se verifica la proposición q, pero no la p;

3° Se verifican simultáneamente las proposiciones p y q.

Ejemplos:

a) José se casa o José compra un paraguas.

La proposición molecular anterior, debe tomarse en el sentido de que José se dará por satisfecho de una de las tres formas siguientes:

• Casándose y no comprándose el paraguas

• Comprándose el paraguas y no casándose ; y

• Casándose y comprándose el paraguas.

b) El número natural n es múltiplo de 3 o de 5.

Esta proposición debemos tomarla en el sentido de que el número n puede ser:

• Múltiplo de 3 pero no de 5

• Múltiplo de 5 pero no de 3 ; y

• Múltiplo de 3 y de 5 simultáneamente.

La conectiva “o…o” o conjunción disyuntiva exclusiva, indica alternativa entre dos proposiciones p y q, la representaremos con el signo “∨ ”. La proposición molecular vendrá representada, pues, en la forma:

p ∨ q

y leeremos o p o q, o bien p o q, pero no ambos.

La proposición anterior es la suma booleana de las proposiciones p y q y éstas son los sumandos.

La proposición (4) debe tomar p y q con uno de los dos significados siguientes:

• Se verifica p , pero no q .

• Se verifica q , pero no p .

Ejemplos:

a) O voy esta tarde al teatro o voy al cine.

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Esta proposición debe tomarse en el sentido de que si voy al teatro no voy al cine y de que si voy al cine no iré al teatro, pero de que iré a uno de estos espectáculos.

b) El número real α o es racional o es irracional.

El significado de la proposición anterior está bien claro, pues un número real puede ser racional o irracional, pero no ambas cosas a la vez.

La conectiva “si….entonces” o condicional: se usa para obtener una proposición molecular a partir de dos atómicas, sin pretender en ningún momento que el enunciado obtenido vaya a responder siempre a la idea gramatical ordinaria que se tiene sobre éstos.

La conectiva condicional la representamos con el signo “→ ”; por tanto, la proposición molecular correspondiente a las proposiciones p y q deberá ser escrita en la forma:

qp →

Leeremos si p entonces q

En la proposición anterior p es el antecedente y q el consecuente del condicional.

Ejemplos:

a) Si los elefantes vuelan, entonces la nieve es negra.

b) Si los triángulos tienen cuatro lados, entonces Madrid es la capital de España.

Los ejemplos anteriores extrañarán al lector desprevenido, pues les parecerán (y estarán en lo cierto) enunciados incoherentes y desprovistos de todo significado; pero si revisa de nuevo la definición de la conectiva en estudio, podrá comprobar que dichos ejemplos son efectivamente proposiciones moleculares, independientemente de que sean verdaderas o falsas las proposiciones p y q, y de que entre éstas exista o no dependencia.

La conectiva “si y sólo si” o bicondicional: se usa (al igual que la anterior) para obtener una proposición molecular a partir de dos atómicas, prescindiendo de que el enunciado obtenido tenga o no sentido gramatical y de que entre las proposiciones atómicas componentes exista o no dependencias.

Aún cuando, de acuerdo con la definición, ésta conectiva coincide con la anterior, al estudiar las tablas de verdad tendremos oportunidad de establecer las debidas diferencias entre ambas.

La conectiva bicondicional la representaremos con el signo “↔ ”; por tanto, la proposición molecular correspondiente a las proposiciones p y q deberá ser escrita de la forma:

qp ↔

Leeremos p si y sólo si q.

En esta, p es el antecedente y q el consecuente del bicondicional.

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Ejemplos:

(a) Los gatos son vertebrados si, y sólo si, Paris es la capital de Francia.

(b) Los números pares son divisibles por dos si, y sólo si, los pentágonos tienen cuatro lados.

LECTURA N° 4: VALORES DE VERDAD DE LOS

OPERADORES LÓGICOS

Dada la importancia de los conectivos señalados en la lectura anterior, es pertinente establecer los valores de verdad (v ó f) de cada proposición compuesta (molecular o resultante) para cada conectivo. A tal efecto, se utiliza la Tabla de Verdad, la cual se construye partiendo de la valoración de cada una de las proposiciones componentes (atómicas).

Negación

Es útil para estas lecturas, tener en cuenta que el signo utilizado para negar una proposición es variable según el autor. Presentamos a continuación algunos signos utilizados para negar una proposición.

Distintas notaciones de la negación No p p 'p ~ p ¬ p p−

Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por p (se lee "no p") que le asigna el valor de verdad contrario al de p . Por ejemplo:

p : Luis habla inglés

p : No es cierto que Luis habla inglés

Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:

p p Observamos que

V F Si p es V (verdadera entonces, la negación le corresponde el valor de F (falsa)

F V Si p es F entonces, la negación le corresponde el valor de V

Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.

Tomada con fines instruccionales Gómez, T., González, N., Lorenzo J. (2007) Valores de verdad de los Operadores Lógicos. Artículo no publicado. (p.1-6). Caracas.

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Ejemplo: La negación de p : todos los peces viven en el océano es

p : no es cierto que todos los peces viven en el océano.

o bien

p : no todos los peces viven en el océano.

o bien

p : Los peces no todos viven en el océano.

Conjunción

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición qp ∧ (se lee " qp y "), que establece que la conjunción es verdadera sólo si las dos proposiciones componentes son verdaderas. Cuando una de ellas no se cumple, es decir, es falsa, la proposición resultante es falsa.

A continuación presentamos la tabla de verdad de la conjunción qp ∧ :

p q qp ∧ Si las dos son verdaderas V V V La conjunción es verdadera

V F F F V F

Si por lo menos una de ellas es falsa

F F F La conjunción es falsa

Ejemplo: Sea la proposición molecular:

{ 444 3444 21444 3444 21qp

impar númeroun es 9 y 2 de múltiplo es 8∧

p : 8 es múltiplo de 2;

q : 9 es un número impar

Por ser ambas verdaderas, la conjunción entre ellas, es verdadera.

Ejemplo: Sea la proposición molecular:

La fresa es una fruta y 3 es un número par.

Esta conjunción es falsa, pues:

p : La fresa es una fruta, es verdadera, mientras que

q : 3 es un número par, es falsa.

Por tanto, esta proposición qp ∧ es falsa, ya que ambas proposiciones no pueden ser simultáneamente verdaderas.

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Disyunción Inclusiva:

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción inclusiva de estas proposiciones a la proposición qp ∨ (se lee " qp o "), que establece que la disyunción inclusiva es verdadera si al menos una de las dos proposiciones componentes es verdadera. Cuando todas ellas son falsas, la proposición resultante es falsa.

A continuación presentamos la tabla de verdad de la disyunción inclusiva qp ∨ :

p q qp ∨ V V V V F V

Si por lo menos una es verdadera

F V V

La disyunción es verdadera

Si las dos son falsas F F F Es falsa

Ejemplo: Sea la proposición molecular:

El cielo es azul o el Centro Banaven lo llaman El Cubo Negro.

Esta disyunción es verdadera, pues:

p : El cielo es azul, es verdadera y

q : Centro Banaven lo llaman El Cubo Negro es verdadera, por tanto, esta proposición qp ∨ es verdadera, ya que ambas proposiciones son simultáneamente verdaderas.

Ejemplo: Sea la proposición molecular:

El número uno, es el elemento neutro de la suma o el número 44 es par.

Esta disyunción es verdadera, pues:

p : El número uno es el elemento neutro de la suma, es falsa y

q : el número 44 es par es verdadera, por tanto,

la proposición qp ∨ es verdadera, pues por lo menos una de ellas es verdadera

Ejemplo: Sea la proposición molecular:

Los Carnavales se celebran en el mes de Diciembre o La navidad es en el mes de Agosto.

Esta disyunción es falsa, pues:

p : Los Carnavales se celebran en el mes de Diciembre, es falsa y

q : La Navidad es en el mes de Agosto, es falsa, por tanto,

la proposición qp ∨ es falsa, ya que las dos proposiciones son falsas.

La disyunción exclusiva

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción exclusiva de estas proposiciones a la proposición p ∨ q (se lee " qp o o "), la misma establece que la disyunción

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exclusiva es verdadera si sólo una de las dos proposiciones componentes es verdadera. Cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas falsas, la proposición resultante es falsa.

A continuación presentamos la tabla de verdad de la disyunción exclusiva p ∨ q :

p q p ∨ q

V V F

V F V

F V V

F F F

Ejemplo: Sea la proposición molecular:

O el número uno es el elemento neutro de la multiplicación o el número 44 es par.

Esta disyunción exclusiva es falsa, pues:

p : El número uno, es el elemento neutro de la multiplicación, es verdadera y

q : el número 44 es par es verdadera, por tanto, la proposición p ∨ q es falsa, ya

que ambas proposiciones son verdaderas y por definición, sólo una debe ser verdad.

Ejemplo: Sea la proposición molecular:

Los Carnavales se celebran en el primer trimestre del año o La navidad es en el mes de Agosto.

Esta disyunción exclusiva es verdadera, pues:

p : Los Carnavales se celebran en el primer trimestre del año, es verdadera y

q : La Navidad es en el mes de Agosto, es falsa, por tanto, la proposición p ∨ q es verdadera, pues una y sólo una de las dos proposiciones es verdadera.

El Condicional

El condicional de las proposiciones " qp y " es la proposición qp → (si p entonces q ) cuya tabla de verdad es:

p q qp →

V V V

V F F

F V V

F F V

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La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente del condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Ejemplo: Supongamos la implicación

R: 44444 344444 21434 214 34 21qp

acompetenci laen inscribo me entonces entreno, Si→

El condicional R está compuesto de las proposiciones

p : entreno

q : me inscribo en la competencia

Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la proposición condicional R, en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q . El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p , y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso.

Es evidente que si p es F, es decir, si no entreno, quedo liberado del compromiso y me inscriba o no en la competencia, el condicional es verdadero.

Si p es verdadera, es decir si entreno, y no me inscribo en la competencia, el compromiso no se cumple y la proposición R es falsa.

Si p y q son verdaderas, entonces la proposición R es verdadera pues el compromiso se cumple.

Ejemplo: 1² = (–1)² →1 = –1 (F)

La proposición resulta ser falsa por ser el antecedente verdadero, 1² = (–1)² y el consecuente (1 = –1) falso.

El Bicondicional

El si y sólo si de las proposiciones p y q es la proposición qp ↔ (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de verdad es:

p q qp ↔

V V V

V F F

F V F

F F V

Si y sólo si o el bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. El bicondicional puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de qp ↔ puede obtenerse mediante la tabla de ( )qp → ∧ ( )pq → , como vemos:

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p q qp → pq → ( )qp → ∧ ( )pq →

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

Ejemplo: Sea R: a = b si y sólo si a2 = b2

El enunciado está compuesto por las proposiciones:

p : a = b;

q : a2 = b2

Este bicondicional a = b ↔ a2 = b2 es falso.

Si p es F, es decir a ≠ b, y q es V, es decir a2 = b2. En los demás casos es V.

Hacer la tabla de verdad para este bicondicional

p a = b

q a2= b2

qp ↔

V V

V F

F V

F F

En las próximas lecturas trabajaremos con fórmulas proposicionales, para ello es indispensable el uso de las prioridades de los conectivos y los signos de agrupación, que listaremos a continuación:

Prioridad

1) Signos de agrupación ( ) [ ]

2) La Negación ~p

3) La conjunción, la disyunción inclusiva y exclusiva

∧ , ∨ , ∨

4) Condicional y Bicondicional → , ↔

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Esta tabla nos indica que:

1) Primero resolvemos las fórmulas parciales que se encuentran entre paréntesis, de adentro hacia fuera.

2) Luego resolvemos las negaciones

3) Después los conectivos, conjunción y disyunción inclusiva o exclusiva

4) Por último el condicional y/o bicondicional.

Para la siguiente fórmula: ( )( ) srqp →∨∧ ~

• Se resuelve primero el paréntesis más interno ( )rq ∨ ( Prioridad 1)

• Luego negamos el resultado de ( )rq ∨ (Prioridad 2)

• Después usamos el conectivo ∧ con p y el resultado anterior (Proridad 3)

• Finalmente el resultado obtenido se resuelve con el condicional

( )( ) srqp →∨∧ ~

LECTURA N° 5: TABLAS DE VERDAD

Para la construcción de la tabla, la dividimos en dos partes. La parte izquierda la llamaremos margen y a la derecha la llamaremos cuerpo.

En el margen colocaremos los valores de verdad de las variables proposicionales que intervienen. El número de dichas componentes determina la cantidad de posibles combinaciones de valores de verdad que aparecerán en la tabla. Este número total de combinaciones se calcula con la operación n2 , donde la base indica los únicos dos valores que puede asumir una variable proposicional (V o F), y el exponente el número de variables proposicionales que intervienen, ejemplo:

1ero.

2do.

3ero.

4to.

Tomada con fines instruccionales Gómez, T., González, N., Lorenzo J. (2007). Construcción de Tablas de Verdad. Artículo no publicado. (p.1-2). Caracas.

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En la proposición ( ) qqp ~~ ∧∨ , intervienen dos variables proposiciones (p y q), el número de combinaciones para construir la tabla sería

422 2 ==n , por lo tanto el margen queda como lo muestra la figura a la derecha

El cuerpo se va formando con las proposiciones parciales hasta llegar a la proposición compuesta final, es decir, se agregan tantas columnas como proposiciones atómicas se encuentren agrupadas (en paréntesis), leyendo la fórmula de izquierda a derecha para iniciar el cuerpo de la tabla, y respetando las prioridades de los conectivos y signos de agrupación. Siguiendo el ejemplo anterior tenemos:

• Primero agregamos al cuerpo de la tabla la proposición ~ p

• Luego agregamos al cuerpo de la tabla , ( )qp ∨~

Agregamos q~ p q ~ p qp ∨~ q~V V F V F V F F F V F V V V F F F V V V

• Y por último, agregamos la fórmula ( ) qqp ~~ ∧∨ y valoramos el conectivo ∧

p q ~ p qp ∨~ q~ ( ) qqp ~~ ∧∨ V V F V F F V F F F V F F V V V F F F F V V V V

p q Posibilidades

V V 1ra

V F 2da

F V 3ra

F F 4ta

p q ~ p V V F V F F F V V F F V

p q ~ p qp ∨~ V V F V V F F F F V V V F F V V

margen

margen cuerpocuerpo

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Ejemplo 1: Construir la tabla de verdad correspondiente la proposición compuesta

( )qpr →∧ ~

Solución:

Observe que la proposición posee 3 componentes (p, q y r), por lo que tiene 8 combinaciones ( )32 y se sigue el mismo procedimiento del ejemplo anterior para construir el margen y el cuerpo.

p q r qp → ( )qp →~ ( )qpr →∧ ~

V V V V F F

V V F V F F

V F V F V V

V F F F V F

F V V V F F

F V F V F F

F F V V F F

F F F V F F

Ejercicios. Construya la tabla de verdad para las siguientes proposiciones compuestas:

1. ~ ( )[ ]rqp ∧→ ; 2. [ ] ( )[ ]pqpqp ~~~~~ ↔∧→∨

LECTURA N° 6: TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN, INDETERMINACIÓN Y FÓRMULAS EQUIVALENTES.

Las fórmulas proposicionales también pueden clasificarse, atendiendo a los valores de verdad que puede asumir. De acuerdo a este criterio, las fórmulas proposicionales se clasifican en:

margen cuerpocuerpo

Tomada con fines instruccionales Gallo, C. (1996). Matemáticas para Estudiantes de Administración y Economía. U.C.V. Ediciones de la Biblioteca. Tercera Edición. (p. 31-36) Caracas.

21

TAUTOLOGÍAS:

Ejemplo:

Comprobar que la fórmula ( ) ( )pqqp ~~ →→→ es una tautología

Para comprobarlo sólo tenemos que construir su correspondiente tabla de verdad:

p q ~ p ~ q qp → pq ~~ → ( ) ( )pqqp ~~ →→→

V V F F V V V

V F F V F F V

F V V F V V V

F F V V V V V

Puede observarse que en la última columna los valores de verdad son todos V, en consecuencia, dicha fórmula es una tautología.

Una tautología es una proposición verdadera formalmente; es decir, es siempre verdadera por su forma lógica, o sea, por la forma en que se relacionan sus proposiciones componentes, independientemente de los valores de verdad de éstas.

A la tautología también podemos llamarla principio lógico o proposición universalmente verdadera.

Como veremos más adelante, las tautologías son sumamente útiles, precisamente porque no se da en ellas la falsedad en ninguna circunstancia.

CONTRADICCIÓN:

Ejemplo:

Comprobar que la fórmula ( )[ ]pqp →→~ es una contradicción.

Construyamos la tabla de verdad:

Diremos que una fórmula es una tautología, si y sólo si, ella es siempre verdadera, no importa cuáles sean los valores de sus componentes.

Diremos que una fórmula es una contradicción, si y sólo si, ella es siempre falsa, no importa cuales sean los valores de verdad de sus componentes.

22

p q pq → ( )[ ]pqp →→ ( )[ ]pqp →→~

V V V V F

V F V V F

F V F V F

F F V V F

En efecto, podemos observar que se trata de una contradicción, ya que los valores de verdad de la última columna son todos F.

La contradicción es siempre falsa por su forma lógica, independientemente del valor de verdad de las proposiciones componentes. Una contradicción es una proposición universalmente falsa.

Desde luego al negar una tautología se obtiene una contradicción y viceversa, al negar una contradicción se obtiene una tautología.

INDETERMINACIÓN:

Ejemplo:

Comprobar que la fórmula ( ) ( )pqqp ∨∧→ es una indeterminación

La tabla de verdad correspondiente es:

p q qp → pq ∨ ( ) ( )pqqp ∨∧→

V V V V V

V F F V F

F V V V V

F F V F F

En efecto, se trata de una indeterminación porque al final de su tabla hemos obtenido valores V y F.

FÓRMULAS EQUIVALENTES:

Diremos que una fórmula es una indeterminación, si y sólo si, ella es verdadera en unos casos y falsa en otros, no importa en que proporción.

Dos fórmula proposicionales decimos que son equivalentes, si y sólo si, en ellas intervienen las mismas variables proposicionales y, en sus tablas de verdad, las columnas correspondientes a dichas fórmulas son idénticas entre sí.

23

Dadas dos fórmulas proposicionales cualesquiera, designadas por P y Q , si ellas son equivalentes, escribimos QP ≡

que se lee: “la fórmula P es equivalente a la fórmula Q ”.

Si tales fórmulas no son equivalentes, entonces escribimos QP ≡

que se lee “la fórmula P no es equivalente a la fórmula Q ”

Ejemplo:

Comprobar cuales de las siguientes fórmulas son equivalentes:

qp ~~ → qp ~∨ qp ∧~

Construyamos sus correspondientes tablas de verdad, las cuales resumiremos en una sola, porque en ellas participan las mismas variables proposicionales:

p q p~ q~ qp ~~ → qp ~∨ qp ∧~

V V F F V V F

V F F V V V F

F V V F F F V

F F V V V V F

Resulta evidente que las dos primeras fórmulas tienen idénticas distribuciones de valores de verdad, diremos entonces que esas dos fórmulas son equivalentes y lo escribimos, así

qp ~~ → ≡ qp ~∨

Si dos fórmulas P y Q son equivalentes, entonces decimos que P es expresable en términos de los conectivos en Q y viceversa.

Ejemplos

1.- Se verifica que ( ) ( )qpqp ~~~ ∨≡∧ , por lo tanto, podemos decir que la conjunción es expresable en términos de la negación y de la disyunción inclusiva.

2.- También se verifica que ( ) ( )qpqp ~~ ∧≡→ en este caso, podemos decir que el condicional es expresable en términos de la negación y de la conjunción.

3.- Una equivalencia importante es ( ) ( ) ( )[ ]pqqpqp →∧→≡↔ , nos permite expresar al bicondicional en términos de la conjunción y el condicional.

4.- Igualmente importante es la equivalencia, ( ) ( )qpqp ↔≡∨ ~ , que nos permite expresar a la disyunción exclusiva en términos de la negación y el bicondicional.

24

LECTURA N° 7: APLICACIONES (Circuitos)

ÁLGEBRA DE LA CONMUTACIÓN:

Una de las primeras aplicaciones no matemáticas de la lógica simbólica fue la que utilizaron como un auxiliar en el diseño de circuitos eléctricos (Claude Shannon, 1937), Esta metodología fue adoptada por los diseñadores de computadoras, lo que permitió simplificar y abaratar los costos de las mismas. Esta metodología es algunas veces llamada “el álgebra de conmutación”.

El álgebra de conmutación es una de las “hermanas gemelas” de la lógica de predicados, ambas son distintas denominaciones de una misma álgebra, llamada booleana (George Boole, 1813-1864).

Si se conoce a fondo una, también se conoce la otra. No se precisa por tanto, un conocimiento profundo de la tecnología moderna para comprender el funcionamiento de la “red de conmutación” de un computador.

En el álgebra de la conmutación aparecen elementos que presentan dos estados (“abierto” o “cerrado”, “conectado” o “desconectado”), como son los interruptores eléctricos y los contactos electromagnéticos.

Un circuito consiste usualmente de conductores e interruptores que conectan un terminal Te de entrada y un terminal Ts de salida.

Desde el punto de vista de la transmisión de corriente: si el estado del interruptor es “abierto”, se corta el circuito y se detiene el paso de la corriente.

Si el interruptor esta en estado “cerrado”, la corriente fluye a través del circuito. Asociamos al estado “cerrado” o “conectado” el valor uno (1) y al estado “abierto” o “desconectado” el valor cero (0). Estos valores del álgebra de conmutación corresponden a los valores de certidumbre V y F de la lógica proposicional.

En cuanto a los elementos del álgebra de conmutación que corresponden a las proposiciones lógicas son los elementos biestables (interruptores) gráficamente:

La figura representa un interruptor que podemos hacer corresponder a una proposición p de modo que cuando el interruptor está conectado (valor 1) la proposición es verdadera y cuando el interruptor está desconectado (valor 0) la proposición es falsa.

p

Te Ts

Tomada con fines instruccionales Gómez, T., González, N., Lorenzo J. (2007). Aplicaciones (Circuitos). Artículo no publicado. (p.1-3). Caracas.

25

En general, si por un circuito pasa corriente (puede encender un bombillo) se considerara que la proposición a la cual representa es verdadera.

En consecuencia a la tautología corresponderá un cable sin interruptor y a una contradicción corresponderá un corte en el cable o conductor.

Cuando se disponen dos interruptores en serie (uno a continuación del otro) en un mismo circuito, la corriente circulara sólo en el caso en que los dos estén conectados. Sólo en el caso en que simultáneamente valen 1, se encenderá el bombillo de control. Es evidente que este circuito corresponde exactamente a la conjunción qp ∧ de dos proposiciones.

Comparando a cuatro posibles combinaciones de los estados de los interruptores con la tabla de verdad de la proposición qp ∧ , tendremos que corresponde a: qp ∧

p q qp ∧ Circuito

V V V cerrado

V F F abierto

F V F abierto

F F F abierto

Los elementos de la conmutación pueden conectarse uno arriba y otro abajo; se habla entonces de conexión en paralelo. Este caso bastará para que uno solo de los interruptores esté conectado para que circule la corriente, así mismo: si ambos interruptores están conectados circulará la corriente (y podrá encenderse el bombillo).

Este circuito corresponde en lógica a la disyunción qp ∨ de dos proposiciones. Gráficamente:

Lo verificamos con la elaboración de la siguiente tabla:

p q qp ∨ Circuito

V V V cerrado

V F V cerrado

F V V cerrado

F F F abierto

Corresponde a: qp ∨

p q

q

p

26

Es por estas correspondencias por lo que a la conexión en serie se le llama también “conexión y (∧ )” y a la conexión en paralelo: “conexión o (∨ ) ”.

La negación en el cálculo de proposiciones, tiene su correspondiente en circuitos eléctricos. En efecto, se puede diseñar un circuito de tal modo que al conectar un interruptor, automáticamente se desconecten otros.

Cuando al conectar un interruptor correspondiente a una proposición p , se ocasiona que otro interruptor se desconecte, a este último lo denotaremos por ~ p . Comparando la tabla de verdad de las proposiciones p y ~ p tenemos:

p ~ p

V F

F V

En general, toda proposición compuesta tiene una equivalente que puede ser representada por un circuito.

Ejemplos:

1.- Al construir una proposición correspondiente a los siguientes circuitos. Es decir, encontrar una proposición que sea verdadera cuando el circuito deje pasar corriente y falsa cuando el circuito no permita el paso de la corriente:

En la parte de arriba del circuito los interruptores están en serie, por lo tanto, (deben dejar pasar corriente los dos) la proposición que corresponde es pq ∧ .

En la parte de abajo el interruptor indica la proposición p~ , como es paralelo, si arriba hay paso de corriente, éste puede estar conectado o no ya que igual se encendería el bombillo. Pero si alguno de los de arriba está desconectado, o los dos, este debe dejar pasar la corriente.

Luego ambos interruptores: los de arriba y los de abajo, están en paralelo entonces la proposición equivalente al circuito (A) sería:

( ) ppq ~∨∧

2.- Al construir una proposición correspondiente a los siguientes circuitos. Es decir, una proposición que sea verdadera

(B) q

p~ p

(A)

q p

~ p

27

En la parte primera parte del circuito los interruptores están en paralelo, es decir la proposición que corresponde es qp ∨ . Luego este resultado va en serie con el interruptor

p~ , es decir la proposición resultante es: ( ) pqp ~∧∨ .

Ejercicios propuestos:

1 Construya una proposición correspondiente a los siguientes circuitos. Es decir, halle en cada caso, una proposición que sea verdadera cuando el circuito deje de pasar corriente y falsa cuando el circuito no permita el paso de la corriente.

(F)

2. Diseñe un circuito para cada una de las siguientes proposiciones:

(a) pp ∧ (b) pp ~∨

(c) ( ) ( )qppq ∧∨∧ ~~(~ (d) ( ) ( )qpqp ∨∧∧ ~ I

(e) ( ) ( )rqqp ∨∧∨ ~~

(E)

~ p ֿֿ

p p

q

(D)

p

q

p

p ~ p

q

(C) p

q ~ pֿֿ

pq

p r

r~ֿֿ

28

LECTURA N° 8: CUANTIFICADORES

CUANTIFICADORES

Los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar la cantidad de elementos, de determinado conjunto, que hacen verdadera a una propiedad dada. Existen dos tipos de cuantificadores: el universal y el existencial.

Cuantificador Universal

El cuantificador universal se utiliza para indicar la totalidad de los elementos de un conjunto dado. El símbolo que lo representa es

∀ se lee: “para todo“

Así, cuando queremos indicar que todos los elementos de un determinado conjunto, digamos A, hacen verdadera a una propiedad )(xP , escribimos

)(: xPAx ∈∀

Esto significa que al aplicar )(xP a cada elemento ix del conjunto dado A, se constituye una proposición )( ixP que resulta verdadera y, en consecuencia, la conjunción de todas esas proposiciones es, también, verdadera. Podemos entonces, afirmar que siendo

{ }ni xxxxA ,...,..., 21=

Se verifica la equivalencia

[ ] [ ])(...)(...)()()(: 21 ni xPxPxPxPxPAx ∧∧∧∧∧≡∈∀

Cuando, por el contrario, queremos afirmar que ningún elemento de cierto conjunto, por ejemplo B, hace verdadera a la proposición )(xP , entonces escribimos

)(:~ xPBx ∈∀

Dicho de otra manera, la anterior expresión significa que todos los elementos de B niegan a )(xP o, también, que es falsa.

Cuantificador Existencial

El cuantificador existencial se utiliza para indicar la existencia de por lo menos un elemento que hace verdadera a una propiedad dada. El símbolo que lo representa es:

“∃ ” se lee “existe por lo menos un”

Tomada con fines instruccionales Gallo, C. (1996). Matemáticas para Estudiantes de Administración y Economía. U.C.V. Ediciones de la Biblioteca. Tercera Edición. (p. 92-94) Caracas.

29

Así, cuando queremos indicar que existe por lo menos un elemento perteneciente a un conjunto dado, digamos A, que hacen verdadera a cierta propiedad )(xP , escribimos:

)(: xPAx∈∃

Esto significa que al aplicar )(xP a cada elemento ix del conjunto dado A, por lo menos una de las proposiciones )( ixP que se constituyen resultará verdadera y, en consecuencia, la disyunción inclusiva de todas ellas será también verdadera Así, considerando nuevamente el conjunto

{ }ni xxxxA ,...,..., 21=

Se verifica la equivalencia

[ ] [ ])(...)(...)()()(: 21 ni xPxPxPxPxPAx ∨∨∨∨∨≡∈∃

Si, por el contrario, queremos expresar que no existe ningún elemento de cierto conjunto, por ejemplo B, que haga verdadera la propiedad )(xP , utilizaremos el símbolo

se lee “no existe ningún”

y escribimos:

Puede notarse que esta última expresión es equivalente a la dada en el caso de cuantificador universal, para indicar que ningún elemento de B hace verdadera a una propiedad )(xP . Por lo tanto, podemos decir que

Además, debe observarse que negar que todos los elementos de cierto conjunto A, hacen verdadera una propiedad )(xP , puede escribirse, usando al cuantificador existencial, de la siguiente forma:

)(:~ xPAx ∈∃

Entonces, podemos concluir que

Nótese que esta última equivalencia nos indica que la negación del cuantificador universal, puede ser escrita en términos del cuantificador existencial, mientras que, la primera equivalencia mostrada nos indica que la negación del cuantificador existencial, puede ser escrita en términos del cuantificador universal. Es decir:

[ ] [ ])(:~)(:~ xPAxxPAx ∈∃≡∈∀

[ ] [ ])(:)(:~ xPBxxPBx ∈∃≡∈∀

)(: xPBx ∈∃

∃

30

[ ] ≡∈∃ )(:~ xPBx ] [ ])(:~)(: xPBxxPBx ∈∀≡∈

Es importante destacar, además, que se cumple

[ ] [ ])(:)(: xPAxxPAx ∈∃⇒∈∀

Sin embargo, el recíproco no es una implicación. Es decir, el hecho de que algún elemento haga verdadera a cierta propiedad, no implica que todos los verifiquen. Por lo tanto

LECTURA N° 9: NEGACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES

CUANTIFICADORES

Las palabras “todo”, “cada uno”, “todos” y “ninguno” se denominan cuantificadores universales, mientras que las palabras y frases como “alguno”, “existe” y “para al menos uno” se conoce como cuantificadores existenciales. Los cuantificadores son muy usados en matemáticas para indicar cuántos casos existen de una situación. Tenga cuidado cuando construya la negación de una proposición que incluya cuantificadores.

Si una proposición es verdadera, su negación debe ser falsa, y viceversa. Considere la proposición.

Todas las niñas en el grupo se llaman Mary.

Muchas personas escribirían la negación de esta proposición como “Ninguna niña en el grupo se llama Mary” o “De todas las niñas en el grupo, ninguna se llama Mary”. Pero esto no sería correcto. Para determinar el por qué, analice los tres grupos que se presentan a continuación:

Grupo I: Mary Jones, MarySmith, Mary Jackson

Grupo II: Mary Johnson, Betty Parker, Margaret Boyle

Grupo III: Shannon d’ Hemecourt, Annie Ross, Patricia Gainey

Estos grupos contienen todas las posibilidades que necesitan considerarse. En el grupo I, todas las niñas se llaman Mary; en el grupo II, algunas niñas tienen por nombre Mary (y algunas no), y en el grupo III, ninguna niña se llama Mary. Vea los valores de verdad en el

[ ] [ ])(:)(: xPAxxPAx ∈∀⇒∈∃

[ ∃

Tomada con fines instruccionales

Miller, Heeren, Homsby, Pearson. (2006). Matemáticas Razonamiento y Aplicaciones. Editorial Pearson. Décima Edición. (p. 101-104). México.

31

diagrama siguiente y tenga presente que “alguna” significa “al menos una (y posiblemente todas)”.

Valores de verdad aplicados a: Grupo I Grupo II Grupo III (1) Todas las niñas en el grupo se llaman Mary. (Dado)

V F F

(2) Ninguna niña en el grupo se llama Mary. (Posible negación)

F F V

(3) De todas las niñas en el grupo, ninguna se llama Mary. (Posible negación)

F F V

(4) Algunas niñas en el grupo no se llaman Mary. (Posible negación)

F V V

La negación de la proposición dada (1) debe tener valores de verdad contrario en todos los casos. Puede verse que las proposiciones (2) y (3) no satisfacen esta condición (para el grupo II), pero la proposición (4) sí la cumple. Puede concluirse que la negación correcta para: “Todas las niñas en el grupo se llaman Mary” es “Algunas niñas en el grupo se llaman Mary”. Otras formas de establecer la negación son:

No todas las niñas en el grupo tienen por nombre Mary.

No es el caso que todas las niñas en el grupo se llamen Mary.

Al menos una niña en el grupo no se llama Mary.

La tabla siguiente puede usarse para generalizar el método de determinar la negación de una proposición que incluya cuantificadores.

Negación de proposiciones con cuantificadores

Proposición Negación

Todos cumplen Algunos no cumplen. (De forma equivalente: no todos cumplen)

Algunos cumplen Ninguno cumple. (De forma equivalente: todos no cumplen)

La negación de una proposición es la proposición misma. Por ejemplo, la negación en la columna “Negación” son simplemente las proposiciones originales correspondientes en la columna “Proposición”. Como un ejemplo, la negación de:

“ Algunos no cumplen” es “Todos cumplen”.

EJEMPLO 5. Escriba la negación de cada proposición.

(a) Algunos perros tiene pulgas.

Ya que algunos significa “al menos uno”, la proposición “Algunos perros tienen pulgas” realmente es lo mismo que “Al menos un perro tiene pulgas”. La negación de esto es: “Ningún perro tiene pulgas”.

Negación

32

(b) Algunos perros no tienen pulgas.

Esta proposición afirma que al menos un perro, en algún lugar, no tiene pulgas. La negación de esto es:

“Todos los perros tienen pulgas”.

(c) Ningún perro tiene pulgas.

La negación es:

“Algunos perros tiene pulgas”.

Las diferentes relaciones entre los conjuntos especiales de números pueden expresarse utilizando cuantificadores universales y existenciales. Anteriormente, ya habíamos hablado de los números naturales o de conteo, que constituyen los bloques de construcción” del sistema de los números reales. Los conjuntos de números reales son estudiados en álgebra, y estos se resumen en el cuadro siguiente:

Conjunto de números reales.

Números naturales o de conteo{ },...4,3,2,1

Enteros no negativos (cardinales) { },...4,3,2,1,0

Enteros { },...3,2,1,0,1,2,3..., −−−

Números racionales { }0y enterosson y |/ ≠qqpqp

(Algunos ejemplos de números racionales son:

53 , 9

7− ,5 , 0 .

Cualquier número racional puede escribirse como un número decimal que termina, como 0.25, o como un número decimal que se repite, como 0.666…).

Números reales { }decimal como escribirse puede que númeroun es | xx

Números irracionales ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

enteros de cociente el como escribirse puede no que númeroun es | xx

(Algunos ejemplos de números irracionales son 2 , 3 4 y π . Una característica de los números irracionales e s que sus representaciones decimales nunca terminan y nunca se repiten, esto es, nunca llega un punto en que se repita un patrón de dígitos de ahí en adelante.)

EJEMPLO 6. Verificamos si cada una de las proposiciones siguientes acerca de conjuntos de números, que incluyen un cuantificador, es verdadera o falsa:

(a) Existe un entero no negativo que no es un número natural.

33

Puesto que existe tal número (es el 0), esta proposición es verdadera.

(b) Todo número entero es un número natural.

Esta proposición es falsa, ya que podemos encontrar al menos un entero que no es un número natural. Por ejemplo, -1 es un entero pero no es un número natural. (Hay un número infinito de selecciones que podríamos haber hecho).

(c) Todo número natural es un número racional.

Como todo número natural puede escribirse como una fracción de denominador 1, esta proposición es verdadera.

(d) Existe un número irracional que no es real.

A fin de que sea un número irracional, un número tiene primero que ser real (vea el cuadro). Por lo tanto, como no podemos dar un número irracional que no sea real, esta proposición es falsa. (Si hubiésemos sido capaces de encontrar al menos uno, entonces el enunciado habría sido verdadero.)

LECTURA N° 10: CONECTORES LÓGICOS Y LINGÜÍSTICOS

CONSTRUCCIÓN DE ENUNCIADOS EN EL CÁLCULO PROPOSICIONAL

La traducción del lenguaje natural al lenguaje formal no es un proceso mecánico. No hay reglas que nos indiquen de forma axiomática y única cómo debe realizarse dicha transformación, sólo nos podemos basar en una serie de reglas generales, las que ya hemos visto, en combinación con la intuición y la experiencia previa. En la tabla mostraremos las equivalencias más utilizadas entre las conectivas lógicas y las lingüísticas,

Conectivas Lógicas Conectivas Lingüísticas

P¬ No es el caso de P No P No es cierto que P

QP ∧ P y Q P pero Q P aunqueQ

QP ∨ P o Q Ya P ya Q ya ambas

Tomada con fines instruccionales Paniagua, E., Sánchez, J. Thomson, F. (2003). Lógica Proposicional. Ed. Thomson. (p. 12). España.

34

Conectivas Lógicas Conectivas Lingüísticas

QP →

Si P entonces Q P solo si Q Solo P si Q Es suficiente P para que Q Siempre que P entonces Q Es necesario Q para que P No P a menos que Q A no ser queQ no P

QP ↔ P si y sólo si Q P cuando y sólo cuando Q P es condición suficiente y necesaria para que Q

35

UNIDAD 2 LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

LECTURA N° 11: INFERENCIA Y LEYES DE LA LÓGICA

INFERENCIA LÓGICA

La lógica nos suministra principios de razonamiento, es decir, nos establece una teoría de la inferencia.

Hacer inferencia consiste en obtener, a partir de un conjunto de proposiciones, llamadas premisas, que se aceptan como verdaderas, otra proposición, llamada conclusión, que también será verdadera.

Las premisas pueden ser:

a) verdades obtenidas de la experiencia, tal como ocurre en las ciencias fácticas,

b) verdades presupuestas que son llamadas axiomas o

c) verdades previamente demostradas, que son llamadas teoremas.

Para poder llegar a la conclusión a partir de las premisas, es necesario utilizar una serie de reglas que llamamos reglas de inferencia. Así, a todo este proceso de obtener una conclusión verdadera, a partir de premisas, que también lo son, utilizando reglas de inferencia, es lo que llamamos razonamiento deductivo.

La lógica se encarga, entonces, de proporcionarnos los criterios que permiten establecer la validez de estos razonamientos. Tales criterios sólo deben atender a la forma en que ellos se presentan, independientemente del contenido de las proposiciones que los constituyen. Por lo tanto, nuestro interés se centra en las reglas que podemos utilizar.

Recordando que las tautologías son ciertas, no por el contenido de las proposiciones sino justamente por la forma en que se combinan las proposiciones, podemos darnos cuenta del muy importante papel que ellas van a jugar en la inferencia, precisamente por estar desprovistas de contenido empírico.

LEYES DE LA LÓGICA

Llamaremos ley de la lógica proposicional a toda forma tautológica

Tomada con fines instruccionales Gallo, C. (1996). Matemáticas para Estudiantes de Administración y Economía. U.C.V. Ediciones de la Biblioteca. Tercera Edición. (p. 51-67) Caracas.

36

Las tautologías o leyes de la lógica constituirán entonces la base teórica que dan fundamento a las reglas de razonar correctamente, las cuales hemos llamado reglas de inferencia.

Cada vez que razonamos correctamente estamos aplicando ciertas reglas que están justificadas por leyes de la lógica. Es decir, cada ley lógica autoriza un acto de inferencia, el cual viene asociado a una regla.

De acuerdo a esto, cada tautología dará origen a una regla de inferencia y puesto que existen infinitas tautologías dispondremos de infinitas reglas de inferencia. Esto sería un grave inconveniente en el proceso deductivo, pues sería necesario verificar en cada paso cuál regla de inferencia se ha utilizado y mientras mayor sea el número de estas reglas, más difícil será dicha verificación.

Afortunadamente sólo un reducido número de reglas de inferencia es necesario en el razonamiento deductivo.

El vínculo existente entre las leyes lógicas (tautologías) y las reglas de inferencia queda evidenciado en el hecho de que para que una inferencia sea correcta; es decir, para que tengamos derecho a afirmar que una conclusión es verdadera, partiendo de la verdad de una premisa, es necesario y suficiente que el condicional que se obtiene colocando como antecedente la conjunción de todas las premisas, y como consecuente a la conclusión, resulte una tautología, esto es, que constituya una implicación.

Para expresar simbólicamente un razonamiento deductivo, hacemos lo siguiente: designamos a las premisas por nPPP ,.....,, 21 y a la conclusión por C y escribimos:

CP

PP

n

∴

Μ2

1

Donde el símbolo ∴, se lee “luego”.

Así en definitiva tenemos que:

Dado el razonamiento deductivo constituido por las premisas:

nPPP ,.....,, 21 y la conclusión: C decimos que dicho razonamiento es correcto o válido cuando:

( ) CPPP n ⇒∧∧∧ .....21

Hemos dicho antes, que, a pesar de existir infinitas reglas de inferencia, sólo unas pocas son necesarias en los razonamientos deductivos. Las más importantes son:

37

Modus Ponendo Ponens (P.P.)

Su traducción es “método que afirma afirmando” y su forma

QP

QP

∴

→

Cualquier razonamiento que tenga esta forma es válido ya que se cumple:

( )[ ] QPQP ⇒∧→

Lo cual es demostrable construyendo la tabla de verdad

P Q QP → ( ) PQP ∧→ ( )[ ] QPQP ⇒∧→

V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V

Por eso, si un condicional es verdadero y también lo es el antecedente de dicho condicional, podemos obtener, como conclusión, que el consecuente del mismo, es verdadero.

Ejemplo 1:

Sea el razonamiento siguiente:

Si el examen es muy largo, entonces los alumnos se cansan y dejan de pensar fácilmente. El examen es muy largo; luego, los alumnos se cansan y dejan de pensar fácilmente.

Para expresarlo simbólicamente, identificamos a las proposiciones que intervienen como sigue:

:p “el examen es muy largo”.

:q “los alumnos se cansan”.

:r “los alumnos dejan de pensar fácilmente”.

De esta forma, el razonamiento dado lo podemos representar así:

( )

rqp

rqp

∧∴

∧→ 2) )1

De acuerdo al Modus Ponendo Ponens y asumiendo que las premisas 1) y 2) son, ambas, verdaderas, podemos concluir que la conjunción rq ∧ : “los alumnos se cansan y dejan de pensar fácilmente” es, también, verdadera.

38

Modus Tollendo Tollens (T.T.)

Su traducción es “método que niega negando” y su forma

PQQP

~~

∴

→

Cualquier razonamiento que tenga esta forma es válido ya que se cumple:

( )[ ] PQQP ~~ ⇒∧→

Lo cual es demostrable construyendo la tabla de verdad

P Q P~ Q~ QP → ( ) QQP ~∧→ ( )[ ] PQQP ~~ ⇒∧→

V V F F V F V

V F F V F F V

F V V F V F V

F F V V V V V

De esa tautología (ley lógica) obtenemos la siguiente regla: si un condicional es verdadero y también lo es la negación del consecuente de dicho condicional, podemos obtener, como conclusión, que la negación del antecedente del mismo, es verdadera.

Ejemplo 2:

Sea el razonamiento siguiente:

Si llueve, entonces no salgo de mi casa. Salgo de mi casa. Luego, no llueve.

Identificamos a las proposiciones que intervienen así:

:p “llueve”.

:q “no salgo de mi casa”.

Por lo tanto, la expresión simbólica del razonamiento dado es como sigue:

pqqp

~~ 2)

)1

∴

→

De acuerdo el Modus Tollendo Tollens y asumiendo que las premisas 1) y 2) son, ambas, verdaderas, podemos concluir que la proposición

p~ : “no llueve” es, también, verdadera.

39

Modus Tollendo Ponens (T.P.)

Su traducción es “método que afirma negando” y su forma

QPQP

∴

∨~

PQ

QP

∴

∨~

Las correspondientes implicaciones son:

( )[ ] QPQP ⇒∧∨ ~ y ( )[ ] PQQP ⇒∧∨ ~

El estudiante puede demostrar esas implicaciones, a manera de ejercicio, construyendo sus correspondientes tablas de verdad, al igual que puede hacerlo en los casos que siguen, donde serán omitidas tales demostraciones.

De lo anterior obtenemos la siguiente regla: si una disyunción inclusiva es verdadera y la negación de una de sus componentes también lo es, entonces podemos obtener, como conclusión, que la otra componente de la disyunción es verdadera.

Ejemplo 3:

Dado el razonamiento

El agua hierve a 50°C o a 100°C. El agua no hierve a 50°C. Luego, el agua hierve a 100°C.

:p “El agua hierve a 50°C”.

:q “El agua hierve a 100°C”.

Así, la forma simbólica del razonamiento dado es:

qpqp

∴

∨~ 2)

)1

En consecuencia si 1) y 2) son verdaderas, concluimos, de acuerdo al el Modus Tollendo Ponens que

:q “El agua hierve a 100°C” es, también, verdadera.

Silogismo Hipotético (S.H.)

Su forma es:

RPRQQP

→∴→→

o bien

40

La implicación correspondiente es:

( ) ( )[ ] ( )RPRQQP →⇒→∧→

De donde se obtiene la siguiente regla: si son verdaderos dos condicionales dados de tal forma que el consecuente de uno es el antecedente del otro, entonces podemos obtener, como conclusión, que el condicional cuyo antecedente es el antecedente del primero y cuyo consecuente es el consecuente del segundo, es verdadero.

Ejemplo 4:

Sea el siguiente razonamiento:

Si un número entero termina en cero, entonces ese número es divisible por dos. Si el número es divisible por dos, entonces ese número es par. Luego, si un número entero termina en cero, entonces ese número es par.

Hacemos la siguiente identificación de las proposiciones que intervienen:

:p “un número entero termina en cero”.

:q “ese número es divisible por dos”.

:r “ese número es par”.

Así, la expresión simbólica del razonamiento dado es como sigue:

rp

qp

→∴→→

rq 2) )1

En consecuencia si 1) y 2) son verdaderas, concluimos, de acuerdo al silogismo hipotético que el condicional

rp → : si un número entero termina en cero, entonces ese número es par” es, también, verdadera.

Silogismo Disyuntivo (S.D.)

Su forma es:

SRQP

SQRP

∨∴∨→→

La implicación correspondiente es:

( ) ( ) ( )[ ] ( )SRQPSQRP ∨⇒∨∧→∧→

La regla que obtenemos de esta implicación es la siguiente: si dos condicionales son verdaderos y la disyunción inclusiva formada por los antecedentes de esos condicionales,

41

también es verdadera, entonces podemos concluir que la disyunción inclusiva formada por los consecuentes, de dichos condicionales, es verdadera.

Ejemplo 5:

Dado el razonamiento siguiente:

Si n es un número entero par, entonces n es divisible por 2. Si n es un número entero que termina en cinco, entonces n es divisible por cinco. n es un número entero par o n termina en cinco. Luego, n es un número entero divisible por dos o divisible por cinco.

Haciendo la identificación de proposiciones tenemos:

:p “n es un número entero par”.

:q “n es divisible por dos”.

:r “n es un número entero que termina en cinco”.

:q “n es divisible por cinco”.

Así, la expresión simbólica del razonamiento dado es como sigue:

sqrp

qp

∨∴∨→→

)3sr 2)

)1

Por lo tanto, siendo 1) , 2) y 3) verdaderas, obtenemos como conclusión, de acuerdo al silogismo disyuntivo, que la proposición sq ∨ : “n es un número entero divisible por dos o divisible por cinco” es, también, verdadera.

Doble Negación (D.N.)

( )PP~~∴

Cuya implicación es:

( )PP ~~⇒

Si una proposición cualquiera es verdadera, podemos obtener, como conclusión, que su doble negación también es verdadera.

Ejemplo 6:

Sea :p Juan estudia en la UNEFA :~ p ” Juan no estudia en la UNEFA “

La proposición: “No es cierto que Juan no estudia en la UNEFA“ se escribe: )(~~ p el cual es equivalente a decir que: “Juan estudia en la UNEFA”

Entonces, podemos decir, pp ≡)(~~ y )(~~ pp ≡

42

Simplificación (S)

PQP

∴∧

o bien Q

QP∴∧

Si la conjunción de dos proposiciones es verdadera, podemos obtener, como conclusión, que cualquiera de las proposiciones componentes es verdadera. Las correspondientes implicaciones que apoyan esta regla son:

( ) PQP ⇒∧ o bien ( ) QQP ⇒∧

Ejemplo 7:

Haciendo la simplificación de proposiciones tenemos:

:p “8 es un número entero par” y :q “8 es divisible por dos”.

Podemos concluir con cualquiera ya que las dos son verdaderas

Adición (A)

QPP∨∴

La implicación es: ( )QPP ∨⇒

Si una proposición es verdadera, entonces se puede concluir que la disyunción inclusiva de dicha proposición con cualquier otra, también es verdadera.

Ejemplo 8:

:p “Pedro nació en La Guaira”

:q “Pedro nació en Mérida “

Si Pedro nació en La Guaira, podemos asegurar entonces que Pedro nació en La Guaira o en Mérida es decir:

( )qpp ∨⇒

Como la disyunción inclusiva es cierta cuando por lo menos una de las proposiciones es cierta, aquí la premisa :p “Pedro nació en La Guaira” es cierta, podemos asegurar entonces: “Pedro nació en La Guaira o en Mérida”

LEYES DE EQUIVALENCIA

Hemos dicho que dos fórmulas proposicionales son equivalentes, cuando en sus tablas de verdad las columnas correspondientes a cada fórmula son idénticas. Además, recordando que el conectivo lógico bicondicional genera una proposición verdadera cuando las componentes tienen igual valor de verdad, podemos concluir fácilmente, que al conectar dos proposiciones equivalentes mediante el bicondicional, generamos una tautología.

Las tautologías obtenidas de esta manera las denominamos leyes de equivalencia. Estas leyes son útiles en los razonamientos deductivos, de la misma forma que las leyes lógicas

43

vistas con anterioridad y de cada una de ellas también se obtiene una regla de inferencia. En este sentido, en cualquier razonamiento deductivo podemos sustituir una proposición por otra que le sea equivalente, lo cual no altera la conclusión.

Las más usuales son:

LEY REPRESENTACIÓN

Identidad (I) PP ≡

Idempotencia (Idem.) PPPPPP

≡∨≡∧

Conmutatividad (Conm.)

( ) ( )PQQP ∧≡∧

( ) ( )PQQP ∨≡∨

( ) ( )PQQP ∨≡∨

( ) ( )PQQP ≡≡≡

Asociatividad (Asoc.)

( )[ ] ( )[ ]RQPRQP ∧∧≡∧∧

( )[ ] ( )[ ]RQPRQP ∨∨≡∨∨

( )[ ] ( )[ ]RQPRQP ∨∨≡∨∨

Distributividad (Distr.) ( )[ ] ( ) ( )[ RPQPRQP ∧∨∧≡∨∧( )[ ] ( ) ( )[ RPQPRQP ∨∧∨≡∧∨

(de ∧ respecto a ∨ )

(de ∨ respecto a ∧ )

De Morgan (De M.) ( )[ ] ( )[ ]QPQP ~~~ ∨≡∧

( )[ ] ( )[ ]QPQP ~~~ ∧≡∨

Exportación (Exp.) ( )[ ] ( )[ ]RQPRQP →→≡→∧

Vistas las leyes lógicas y las respectivas reglas de inferencia, veamos ahora su uso, a través de algunos ejemplos, en la demostración formal de la validez de sus razonamientos.

Ejemplo 9:

Sea el razonamiento siguiente:

Si n es divisible por ocho, entonces n es divisible por cuatro. Si n es divisible por cuatro, entonces n es un número par. n no es un número par. Luego n no es divisible por ocho.

Identifiquemos a las proposiciones que intervienen, de la siguiente manera:

:p “n es divisible por ocho”.

:q “n es divisible por cuatro”.

:r “n es un número par”.

44

Así, la expresión simbólica del razonamiento dado es:

p

rcrqqp

~~)

b) a)

∴

→→

Para demostrar formalmente la validez de un razonamiento, se realiza exclusivamente el análisis de su forma, independientemente del contenido de las proposiciones que lo constituyen, indicando las leyes lógicas que nos conducen y justifican a la conclusión. En el caso que nos ocupa, podemos observar que si aplicamos silogismo hipotético a las premisas a) y b) obtenemos:

rp → )b'

y al aplicar Tollendo Tollens a )b' y c) llegamos a la conclusión: p~

Todo lo anterior puede expresarse así:

APLICANDO

Enunciado Silogismo Hipotético en a) y b)

( ) ( )[ ] ( )RPRQQP →⇒→∧→

Modus Tollendo Tollens

( )[ ] PQQP ~~ ⇒∧→

prc

rprqqp

~~)

)b' b) a)

∴

→→→

rpbrqqp

→→→

)' b) a)

prc

rp

~~)

)b'

∴

→

De esa forma queda demostrado que el anterior razonamiento es válido.

Ejemplo 10:

Sea el razonamiento siguiente:

Si Sudáfrica es un país democrático, entonces el pueblo es libre y el gobierno es elegido por las mayorías. Si Sudáfrica no es un país democrático, entonces el gobierno sudafricano está impuesto. El pueblo no es libre o el gobierno no es elegido por las mayorías. Luego, el gobierno sudafricano está impuesto.

Identificando a las proposiciones que intervienen de la siguiente manera:

:p “Sudáfrica es un país democrático”

:q “El pueblo es libre”

:r “El gobierno es elegido por las mayorías”

45

:s “El gobierno sudafricano está impuesto”

La forma simbólica de este razonamiento es:

APLICANDO Enunciado Ley De Morgan a

c) Tollendo Tollens a

a) y c’), Ponendo Ponens a

b) y c’’)

a) )( rqp ∧→ a) )( rqp ∧→

b) sp →~ b) sp →~

rq ~~ c) ∨ rq ~~ c) ∨ r)(q ∧~ )c' p~ )'c'

s∴ p~ )'c' s∴

Todo lo anterior queda expresado como sigue:

a) )( rqp ∧→

b) sp →~

rq ~~ c) ∨

r)(q ∧~ )c' (De M., c)

p~ )'c' (T.T., a,c’)

s∴ (P.P.,b,c’’)

Por lo tanto, el razonamiento es válido.

Ejemplo 11:

Sea un razonamiento expresado en forma simbólica de la siguiente manera:

APLICANDO Enunciado

Tolendo Tolens en: a) y b) Ponendo Ponens en: c) y b’)

a) qp ∨ a) qp ∨

b) p~ b) p~ q~ rc) →

q~ rc) → b’) q b’) q

r∴ r~∴

Dado que llegamos a r~ , la cual contradice a la conclusión r , nos demuestra que el razonamiento planteado no es válido.

La validez de los razonamientos deductivos también es demostrable por medio del uso de las tablas de verdad, basta con demostrar la conjunción de todas las premisas a través de la construcción de la correspondiente tabla de verdad.

46

Los ejemplos que siguen nos ilustran esto.

Ejemplo 12:

Sea el razonamiento planteado en el ejemplo 9.

prcrqqp

~~)

b) a)

∴

→→

El condicional correspondiente es:

( ) ( )[ ] prrqqp ~~ →∧→∧→

La tabla de verdad respectiva es:

( ) ( )[ ] prrqqp ~~ →∧→∧→

p q r p~ r~ qp → rq → ( ) ( ) r~rqqp ∧→∧→

V V V F F V V F V

V V F F V V F F V

V F V F F F V F V

V F F F V F V F V

F V V V F V V F V

F V F V V V F F V

F F V V F V V F V

F F F V V V V V V

Como podemos observar, el condicional señalado resulta de una tautología, lo cual nos indica que constituye una implicación y, en consecuencia, nos demuestra que el razonamiento planteado es válido.

Ejemplo 13:

Sea ahora el razonamiento, expresado en forma simbólica del ejemplo 3.

a) qp ∨

b) p~

q~ rc) →

r∴

Formemos el condicional

( ) ( ) ( )[ ] rqrpqp →→∧∧∨ ~~

La tabla de verdad correspondiente es:

47

( ) ( ) ( )[ ] rqrpqp →→∧∧∨ ~~

p q r p~ q~ qp ∨ qr ~→ ( ) ( ) ( )qrpqp ~~ →∧∧∨

V V V F F V F F V

V V F F F V V F V

V F V F V V V F V

V F F F V V V F V

F V V V F V F F V

F V F V F V V V F

F F V V V F V F V

F F F V V F V F V

Podemos observar que no resulta una tautología, este hecho nos demuestra que el condicional señalado no constituye una implicación y, en consecuencia, que el razonamiento planteado no es válido.

Ejercicios Propuestos:

11.1- Exprese simbólicamente y diga si son válidos o no, los razonamientos deductivos siguientes:

a) Si n es divisible por 8, entonces n es divisible por 4. Si n es divisible por 4, entonces n es un número par. n no es un número par. Luego: n no es divisible entre 8.

b) Si n es divisible por 12, entonces n es divisible por 6. Si n es divisible por 6, entonces n es divisible por 3. n no es divisible por 12. Luego: n no es divisible por 3.

c) Si n es divisible por 3, entonces n es un número impar. n es un número par. Luego: n no es divisible por 3.

d) Si n es menor o igual que 4 y m es menor o igual que 3, entonces n + m es menor o igual a 7. n + m es mayor que 7. Luego: n es mayor que 4 y m es mayor a 3.

e) Si n es un número primo, entonces n no es divisible por 2. Si n no es divisible por 2, entonces n no es par.

48

Luego: n es un número primo.

11.2- Prueba las siguientes inferencias:

11.3- Aplicar las leyes de equivalencia a las siguientes proposiciones:

a) ( )srp ∧∨ ~ b) ( )srp ~~~ ∨∧ c) ( ) srp ∨∧ ~~

d) ( ) ( ))(~~~ rqssp ∨∨∨∨ e) )~(~~)~( qpqp ∨∨∧

11.4- Aplicando leyes de inferencia, las leyes de equivalencia y otras formas equivalentes del condicional, determina si las premisas siguientes nos conducen a la conclusión dada:

( a) Conclusión: s~

Premisas:

(i) ( )qp ∧~

(ii) tq →~

(iii) tp →~

(iv) ts ~→

11.5 ¿Qué conclusiones se puede sacar de cada una de las siguientes proposiciones:

:q “ No ocurre que el núcleo de un átomo no está cargado positivamente “

:r “ No es cierto que el sol no es una estrella “

:s “ No es cierto que la mitad de 152 no es 76 “

pr

qrqp

~

~

∴

↔→

a)

prpq

rp

~~)(

∴→∨

c)

prqr

qp

~~

→∴→→

d)

qrpqp

∴∧→

b)

( b ) Conclusión: )(~ ba ∨

Premisas:

(i) dc ~∧

(ii) ac ~→

(iii) bd ~∨

49

LECTURA N° 12. FALACIAS

Una falacia es un razonamiento aparentemente lógico que resulta independiente de la verdad de las premisas. En sentido estricto, una falacia lógica es la aplicación incorrecta de un principio lógico válido, o la aplicación de un principio inexistente.

Un razonamiento que contiene una falacia se denomina falaz y se considera erróneo. La presencia de una falacia lógica en un razonamiento no implica necesariamente nada acerca de la veracidad de las premisas o de su conclusión: ambos pueden ser ciertos, pero el razonamiento no es válido porque la conclusión no se deriva de las premisas usando los principios de inferencia presentados anteriormente.

Ejemplo 1:

1. Si un objeto es de oro, su color es amarillo.

2. Este lápiz es de color amarillo.

3. Este lápiz es de oro.

Este es un ejemplo de falacia por afirmación del consecuente. Esta falacia tiene la forma:

PQ

QP

∴

→ (Falacia del Recíproco)

Por definición, un razonamiento es correcto, cuando sus premisas son verdaderas, entonces su conclusión es verdadera. En este caso, tenemos que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa. Por tanto, el argumento es incorrecto. La manera de saberlo es empleando contraejemplos que lleven al límite estas estructuras falaces.

Otro tipo de falacia es la Falacia del Inverso, que tiene la forma:

En este caso, niega el antecedente y concluye la negación del consecuente.

Este argumento no es válido.

Tomada con fines instruccionales Gómez, T., González, N., Lorenzo J. (2007). Falacias. Artículo no publicado (p.1-3). Caracas.

QP

QP

~~∴

→

50

Ejemplo 2:

1. Todos los árboles de plátano tiene hojas verdes 2. Esa planta no es un árbol de plátano 3. Por lo tanto esa planta no tiene las hojas verdes

Existen diferentes tipos de falacias, formales y no formales, las cuales pueden ser consultadas en la siguiente referencia en INTERNET:

http://es.wikipedia.org/wiki/Falacia

Ejercicios Propuestos:

12.1- En los ejemplos que se dan a continuación indique el método de razonamiento válido que se está utilizando:

Modus Ponnendo Ponens (P.P.) Modus Tollendo Tollens (T.T.) Modus Tollendo Ponens (T.P.)

Fórmula Método Fórmula Método

1. S

MSM

~~

~~

∴

→

2. ( )

PQ

QP

~~~

~~

∴

∨

3. )(~

~RQ

SSRQ

∧∴

→∧

4. Q

QPP

~~

∴→

5.

( )

)(~~

~

RQP

RQP

∧∴

∧∨

6. R

QPRQP

∴∧

→∧

7. ( )

PQ

QP

~~~

~

∴

→

8.

( )

( )RPQ

QRP

~~

~

∧∴

∨∧

9.

( ) ( )( )

( )RPSQ

SQRP

∧∴∨

∨→∧

~~~

~

10. Q

PQP

∴

→~~

11. QS

RPQSRP

~~

)~()(~

∧∴∨

∧→∨

51

12.2.- Para cada una de las siguientes premisas:

a) Identifica en cada caso, las proposiciones que intervienen en el texto y construye la fórmula proposicional correspondiente.

b) Utilizando los métodos de inferencia vistos hasta ahora, ¿qué conclusión puedes sacar de cada uno de los conjuntos de premisas?

i) Si Luís está en Maracaibo, entonces puede ir a bañarse a orillas del lago. Luís está en Maracaibo.

ii) Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella. El astro no es una estrella.

iii) Llueve o voy a la playa. No voy a la playa.

iv) Si ella es adolescente, entonces cursa estudios de 2do. nivel. Ella no cursa estudios de 2do. nivel

v) Son las diez de la noche en Caracas. Si son las diez de la noche en Caracas, la oficina de teléfonos está cerrada.

vi) Si voy a la Biblioteca, entonces voy a estudiar. Voy a la Biblioteca.

vii) El niño duerme o está en la escuela. El niño no duerme.

viii) Si un triangulo tiene un ángulo mayor que 90°, entonces la suma de sus otros dos ángulos es menor que 90°. La suma de dos ángulos de un triángulo no es menor que 90°.

ix) Si una planta no crece, entonces necesita más agua o necesita ser abonada. La planta no crece.

x) El bachiller estudia Ingeniería o estudia Mecánica Dental. El bachiller no estudia Ingeniería.

12.3.- Probar si el siguiente razonamiento es válido.

Si no se aprueba la constituyente entonces la Constitución queda como estaba. Si la Constitución queda como estaba entonces no podemos reelegir al presidente. Podemos reelegir al presidente o el referéndum demorará seis meses. Pero el referéndum no se demoró seis meses. Por lo tanto la constituyente fue aprobada.

12.4.- Comprueba si el siguiente razonamiento es válido.

Si Alejandro tiene veinte años, entonces Alejandro tiene la misma edad que Cecilia. Si Carlos tiene distinta edad que Alejandro, entonces Carlos tiene distinta edad que Cecilia. Alejandro tiene veinte años y Carlos tiene la misma edad que Cecilia., Por tanto Carlos tiene la misma edad que Alejandro y Alejandro la misma que Cecilia.

12.5.- Determina si los argumentos siguientes son válidos o son falacias:

a) A Jesús le gusta jugar béisbol. Si a Juana le gusta coser, entonces a Jesús no le gusta jugar béisbol. Si a Juana no le gusta coser, entonces Andrés canta en la Coral Universitaria. Por lo tanto, Andrés canta en la Coral Universitaria.

52

b) Si la locura por los MP4 continúa, entonces los MP3 seguirán siendo populares. Los PenDrive continúan siendo los favoritos o los MP3 seguirán siendo populares. Los PenDrive no continúan siendo los favoritos. Por lo tanto, la locura por los MP4 continuará.

c) Todos los hombres fueron creados iguales. Todas las personas que han sido creadas iguales son mujeres. Por lo tanto, todos los hombres son mujeres.

d) Si te tengo bajo mi piel, entonces estás en lo profundo de mi corazón. Si estás en lo profundo de mi corazón, entonces realmente no eres parte de mí. Por lo tanto, si te tengo bajo mi piel, entonces realmente eres parte de mí.

12.6.- Ubica y corrige los errores que encuentres en las siguientes deducciones:

(1.) RT ~~ ∨ Premisa

(2.) RTS ∨→ Premisa

(3.) SQ → Premisa

(4.) PQ ∨ Premisa

(5.) )(~ RT ∧ De Morgan ( 1 )

(6.) S~ T.P. ( 2,3)

(7.) Q~~ T.T. (3) , ( 6 )

(8.) P T.P. (3),(7)

LECTURA N° 13: CONDICIONALES

NEGACIÓN DE UN CONDICIONAL

Suponga que alguien expresa la siguiente proposición condicional:

“Si llueve, entonces llevaré mi paraguas.”

¿Cuándo estará mintiendo esta persona? El único caso en el cual mentiría sería cuando lloviera y la persona no llevara el paraguas. Suponga que p representa “llueve” y q representa “llevaré mi paraguas”; usted podría sospechar que la proposición es simbólica

qp ~∧

Es buena candidata para ser la negación de qp → . Esto es,

( ) qpqp ~~ ∧≡→

Tomada con fines instruccionales Miller, Heeren, Homsby, Pearson. (2006). Matemáticas Razonamiento y Aplicaciones. Ed. Pearson. Décima Edición. (p. 101-104). México.

53

Sucede que éste es realmente el caso, como indica la tabla de verdad siguiente:

p q qp → ( )qp →~ q~ qp ~∧

V V V F F F

V F F V V V

F V V F F F

F F V F V F

Dado que:

( ) qpqp ~~ ∧≡→

al negar cada expresión tenemos,

( )[ ] ( )qpqp ~~~~ ∧≡→

Al lado izquierdo de la equivalencia anterior es : qp → , y al lado derecho de la misma se le puede aplicar una de las leyes De Morgan:

qp → )(~~~ qp ∨≡

qp → qp ∨≡ ~

El último renglón indica que una proposición condicional, puede escribirse como una disyunción

Ejemplo 1:

Escriba la negación de cada proposición.

(a) Si tú lo construyes, él vendrá.

Si b representa “Tú lo construyes”. Y q representa “él vendrá”, entonces la proposición dada puede escribirse simbólicamente como qb → . La negación de

qb → , como se mostró antes, es qb ~∧ , de modo que la negación de esta proposición es:

Tú lo construyes y él no vendrá

≡Negación de qp → La negación de qp → es qp ~∧

Como escribir una condicional como una disyunción

qp → es equivalente a qp ∨~

54

(b) Todos los perros tienen pulgas.

Primero, debemos expresar esta proposición dada en la forma si….entonces:

Si es un perro, entonces tiene pulgas.

Con base en nuestro análisis anterior, la negación es

Es un perro y no tiene pulgas.

Un error muy común de los estudiantes es tratar de escribir la negación de una proposición condicional como otra proposición condicional. Como se vio en el ejemplo 4, la negación de una proposición condicional se escribe como una conjunción.

Ejemplo 2:

Escribe una proposición equivalente para cada condicional, sin utilizar el conectivo si … entonces.

(a) Si los Tigres ganan el campeonato, entonces Aragua estará de fiesta.

Puesto que la condicional qp → es equivalente a qp ∨~ , sea p “Los Tigres ganan el campeonato” y q la proposición “Aragua estará de fiesta”. La condicional se expresará entonces como:

Los Tigres no ganan el campeonato o Aragua estará de fiesta.

(b) Si es con Triple A entonces tiene que ser bueno ( qp → ).

Si p representa “es con Triple A“ y q representa “tiene que ser bueno”, la condicional podría reescribirse como:

qp ∨~

No es con Triple A o tiene que ser bueno

Más sobre el condicional

La proposición condicional, la cual presentamos en la sección previa, es una de las más importantes de todas las proposiciones compuestas. Muchas propiedades matemáticas y teoremas son planteados en la forma si … entonces. Dada su gran utilidad es necesario estudiar las proposiciones condicionales que se relacionan con enunciados y con la forma

qp →

Recíproca:

Cualquier proposición condicional está conformada por un antecedente y un consecuente. - Si estos se intercambian, (el antecedente por el consecuente y viceversa) - Si se niegan, o - Las dos cosas a la vez (si se intercambian y se niegan), entonces

se forma una nueva proposición condicional.

55

Suponga que empezamos con la proposición directa

Si tú te quedas, entonces yo me voy.

Si intercambiamos el antecedente (“tú te quedas”) con el consecuente (“yo me voy”).

Obtenemos la nueva proposición condicional

Si yo me voy, entonces tú te quedas.

Esta nueva condicional se llama recíproca de la proposición dada.

Inversa:

Si se niega tanto el antecedente como el consecuente, se obtiene la inversa de la proposición dada:

Si tú no te quedas, entonces yo no me voy.

Contrapositiva:

Si el antecedente y el consecuente se intercambian y se niegan, se forma la contrapositiva de la proposición dada:

Si yo no me voy, entonces tú no te quedas.

Estas tres proposiciones relacionadas para la condicional qp → , se resumen a continuación. (Observa que la inversa es la contrapositiva de la recíproca)

Proposiciones condicionales relacionadas

Proposición directa qp → (Si p , entonces q .)

Recíproca pq → (Si q , entonces p .)

Inversa qp ~~ → (Si no p , entonces no q .)

Contrapositiva pq ~~ → (Si no q , entonces no p .)

Ejemplo 3:

Dada la proposición directa

Si vivo en Caracas, entonces vivo en Venezuela,

Determine cada una de las proposiciones que se indican:

a) La recíproca

Sea p la proposición “Vivo en Caracas” y q “Vivo en Venezuela”. Entonces la proposición directa qp → . La recíproca, pq → , sería

Si vivo en Venezuela, entonces vivo en Caracas.

Observe que en el caso de esta proposición, su recíproca no necesariamente es verdadera, aún cuando la proposición directa lo sea.

56

b) La inversa

La inversa qp → es qp ~~ → . Para la proposición dada la inversa es:

Si no vivo en Caracas, entonces no vivo en Venezuela,

la cual, una vez más, no es necesariamente verdadera.

c) La Contrapositiva

La contrapositiva pq ~~ → sería

Si no vivo en Venezuela, entonces no vivo en Caracas.

La contrapositiva, al igual que la proposición directa es verdadera.

El ejemplo 1 muestra que la recíproca e inversa de una proposición verdadera no tienen que ser verdaderas ellas mismas. Pueden ser verdaderas, pero no necesariamente lo son. La relación entre los valores de verdad de las proposiciones directa, recíproca, inversa y contrapositiva se muestra en la tabla de verdad siguiente:

Como lo muestra la tabla de verdad, la proposición directa y la contrapositiva siempre tienen los mismos valores de verdad, lo cual hace posible reemplazar cualquier proposición directa con su contrapositiva, sin que afecte el significado lógico. Así mismo, la recíproca y la inversa siempre tienen los mismos valores de verdad.

Este análisis se resume a continuación:

Equivalentes

Equivalentes

Directa Recíproca Inversa Contrapositiva

p q qp → pq → qp ~~ → pq ~~ →

V V V V V V

V F F V V F

F V V F F V

F F V V V V

Equivalencia La proposición directa y la contrapositiva son equivalentes entre sí, mientras que la recíproca y la inversa lo son entre sí.

57

Ejemplo 4:

Para la proposición directa qp →~ , escriba cada una de las siguientes proposiciones.

a) la recíproca

La recíproca de qp →~ es pq ~→ .

b) La inversa

La inversa es ( ) qp ~~~ → , que se simplifica como qp ~→ .

c) La contrapositiva

La contrapositiva es ( )pq ~~~ → , que se simplifica como pq →~ .

Ejercicios Propuestos:

13.1- Para cada proposición, escriba :

(a) Su Recíproca

(b) Su Inversa

(c) Su Contraprositiva (también llamada Contrarecíproca)

i) Si una imagen vale más que mil palabras, la gráfica me ayudará a entenderlo.

ii) Si él come carne, entonces él come cualquier tipo de comida

iii) Si Carmen no cumple una promesa entonces, ella no es digna de confianza.

iv) Si yo fuese nadadora y usted también, entonces competiríamos juntos.

13.2- Tres personas A, B y C estaban conversando en el comedor de la UNEFA y dicen lo siguiente:

A: Yo tengo 22 años, dos menos que B y uno más que C

B: No soy el mas joven, C y yo tenemos 3 años de diferencia y C tiene 25

C: Yo soy más joven que A, A tiene 23 años y B tiene 3 años más que A.

Determine la edad de cada una de las personas, sabiendo que únicamente una de las afirmaciones que hace cada persona es falsa.

58

UNIDAD 3 DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS

LECTURA N° 14: DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS

La matemática es una ciencia que se apoya principalmente en el razonamiento deductivo. Su estructura se construye a partir de proposiciones que se aceptan como verdaderas (axiomas), de las cuales se deducen otras cuyas verdades es necesario demostrar (teoremas).

La mayor parte de los teoremas que se presentan en matemática tienen la forma

“si P , entonces Q ”,

es decir, la forma de un condicional

QP →

En consecuencia, la demostración de un teorema de esa forma consistirá en demostrar, que tal condicional es siempre verdadero, es decir, que se trata de una implicación

QP ⇒

donde P es la hipótesis y Q la tesis.

MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA

Si deseamos demostrar que el condicional QP → es un teorema; es decir, que constituye una implicación, entonces de acuerdo con la definición, debemos verificar que no es posible que se presente el caso de que siendo P verdadera, resulte Q falsa. Para esto, se puede, o comenzar por P o comenzar por Q . Si el análisis comienza por el antecedente P , se dice que estamos siguiendo el método directo y si se comienza por el consecuente Q , se dice que estamos siguiendo el método indirecto.

En general, el proceso de demostración consiste en encadenar, a partir de una proposición inicial dada, una serie de proposiciones verdaderas y cuyas verdades han sido previamente demostradas, lo cual nos permite llegar a la verdad de otra proposición, que es la conclusión.

Método Directo

Para aplicar el método directo, debemos comenzar a partir de P , existiendo dos posibilidades:

Tomada con fines instruccionales Gallo, C. (1996). Matemáticas para Estudiantes de Administración y Economía. U.C.V. Ediciones de la Biblioteca. Tercera Edición. (p. 68-81) Caracas.

59

1. Si P es falsa, Q puede ser indistintamente, verdadera o falsa y, en ambos casos, se cumple que QP → es verdadero.

2. Si P es verdadera, existen, de nuevo dos posibilidades

a) Que Q sea sólo verdadera, con lo que resulta, igualmente, que QP → es verdadero.

b) Que Q sea falsa, el cual, es el único caso en que QP → es falso.

Por lo tanto, si el propósito es demostrar que P implica Q , el caso 2.b) no debe ser posible. Ahora bien, la posibilidad 1) no requiere de demostración alguna, en consecuencia, nuestra atención se centrará en la posibilidad 2.a).

Podemos, entonces, decir que:

Habiendo dicho antes que el proceso de demostración, en general, consiste en un encadenamiento de proposiciones, podemos representar al método directo, esquemáticamente, como sigue:

QQP

PPPPPP

P

n

∴⇒

⇒⇒⇒

.

.

.32

21

1

donde nPPP ,,, 21 Κ representan las proposiciones cuyas verdades han sido demostradas previamente.

Visto esquemáticamente, podemos darnos cuenta que el método directo es un razonamiento válido, apoyado en las reglas Silogismo Hipotético y Ponendo Ponens. En ese sentido, nótese que el encadenamiento de proposiciones desde P hasta Q , es una aplicación sucesiva del S.H., que nos permite plantear QP ⇒ . Por lo tanto, de una manera resumida, el método se esquematiza como sigue:

QQP

P

∴⇒

El método directo consiste en partir de la verdad del antecedente y establecer la verdad del consecuente.

60

el cual, es un razonamiento válido, de acuerdo al P.P.

Ejemplo 1:

Demostremos, por el método directo, el siguiente teorema:

“Si a, b y c son números naturales, tales que, a es divisor de b y b es divisor de c, entonces a es divisor de c”.

Usando el símbolo “ | ” para denotar la expresión “divisor de”, tendremos que lo que debemos demostrar es:

[(a|b) ∧ (b|c)]⇒ (a|c)

De acuerdo al método directo debemos partir de aceptar la verdad del antecedente. Es decir, aceptar qué

(a|b) ∧ (b|c) es verdadera.

De ahí se desprende qué:

1) a|b⇒ b = a'a ⋅ (siendo a’ un número natural)

2) b|c⇒ c= b'b ⋅ (siendo b’ un número natural)

Reemplazando 1) y 2) obtenemos

3) c = ( ) b'a'a ⋅⋅

Aplicando la propiedad asociativa de la multiplicación, obtenemos

4) c = ( )b'a'a ⋅⋅

Ahora bien, si tanto a’ como b’ son números naturales, entonces el producto de ellos es también un número natural, que llamaremos c’. Es decir:

5) c’ = b'a'⋅

Por lo tanto, reemplazando 5) en 4), obtenemos

6) c = c'a ⋅

De esta última podemos concluir, por definición, qué

a|c

De esta manera queda establecida la verdad del consecuente, que era lo que necesitábamos para demostrar la implicación planteada, ya que, habíamos partido de aceptar la verdad del antecedente.

Nótese que con este ejemplo hemos ilustrado, además, que el proceso de demostración consiste en encadenar una serie de proposiciones, a partir de una proposición inicial, hasta llegar a la conclusión. En este ejemplo partimos de aceptar la verdad del antecedente:

[(a|b) ∧ (b|c)]

61

y a partir de allí encadenamos seis proposiciones, hasta llegar a la conclusión, todas ellas conocidas, bien por axiomas, definiciones o teoremas previamente demostrados, hecho que nos autoriza a su utilización en nuestro proceso de demostración.

En forma esquemática, el proceso de demostración seguido anteriormente, es así:

(a|b) ∧ (b|c)

[(a|b) ∧ (b|c)]⇒ [ (b = a'a ⋅ )∧ (c= b'b ⋅ )], a’,b’ son números Nos. naturales.

[ (b = a'a ⋅ )∧ (c= b'b ⋅ )]⇒ [c = ( ) b'a'a ⋅⋅ ]

[c = ( ) b'a'a ⋅⋅ ]⇒ [c = ( )b'a'a ⋅⋅ ], propiedad asociativa

[c = ( )b'a'a ⋅⋅ ]⇒ (c = c'a ⋅ ), c’ es un número natural, tal que, c’ = b'a'⋅

(c = c'a ⋅ )⇒ (a|c).

∴a|c

El estudiante puede elegir cualquiera de las formas presentadas, siempre y cuando, cada “eslabón” del encadenamiento de proposiciones, quede claramente justificado.

A continuación presentamos cuatro demostraciones donde se utiliza el método directo, que terminan en una contradicción por lo que debe existir un error en la demostración.

Ejemplo 2 a) Demostración de que 1 equivale a −1 para lo cual iniciamos:

11 −=−

Ahora, los convertimos en fracciones 1

11

1 −=

−

Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemos

11

11 −

=−

Que equivale a 1

11

1 −=

−

Pero 1−=i (número imaginario) y podemos sustituirlo, obteniendo

11 ii=

Reordenando la ecuación para eliminar las fracciones, obtenemos

Y ya que por definición 2i = − 1 y además 112 = , tenemos como resultado

Esta demostración no es válida, ya que aplica mal el siguiente principio de las raíces cuadradas:

yx

yx=

62

Este principio sólo es correcto cuando tanto x como y son números positivos. En la “demostración” anterior, una de estas dos variables es un número negativo, lo que invalida toda la demostración. b) Demostración de que 4 equivale a 2. Iniciamos con: 4 = 4 Restamos a ambos lados de la ecuación 4 – 4 = 4 -4 En un lado factorizamos usando la “suma por su diferencia” y en el otro lado se factoriza por 2

(2 – 2) * (2 + 2) = 2 (2 – 2)

Cancelamos los términos iguales a cada lado de la ecuación (2 – 2)

(2 + 2) = 2

Nos queda como resultado 4 = 2 c. Demostración de que 1 < 0. Supongamos que x < 1 Ahora tomamos el logaritmo en ambos lados de la desigualdad. Podemos hacerlo siempre que x > 0, porque los logaritmos crecen monótonamente

Ln(x) < Ln(1)

Si tenemos en cuenta que el logaritmo de 1 es 0, obtendremos Ln(x) < 0 Dividir por Ln (x) ambos lados de la inecuación, da como resultado

1 < 0

d) Demostración de que 0 equivale a 1

A continuación les damos los pasos que justifican esta demostración, indique que propiedad de los números reales se utilizan en cada paso. Además indique donde está el error en la demostración

0 = ...000 +++ 0 = ( ) ( ) ( ) ...111111 +−+−+− 0 = ( ) ( ) ( ) ...1111111 ++−++−++−+ 0 = ...0001 ++++ 0 = 1

Se deja al lector para que indique la razón de la invalidez de las demostraciones b), c) y d).

Método Indirecto

Supongamos, de nuevo, que deseamos demostrar que el condicional QP → es un teorema.

Para aplicar el método indirecto de demostración, partimos de Q , existiendo dos posibilidades:

1. Si Q es verdadera, P puede ser indistintamente, verdadera o falsa y, en ambos casos, se cumple que QP → es verdadero.

2. Si Q es falsa, existen de nuevo, dos posibilidades:

a) Que P sea sólo falsa, con lo que resulta, igualmente, que QP → es verdadero.

b) Que P sea verdadero, el cual, es el único caso en que QP → es falso.

63

Por lo tanto, si el propósito es demostrar que P implica Q , entonces el caso 2.b) no debe ser posible. La posibilidad 1) no requiere de demostración, en consecuencia, nuestra atención queda centrada en la posibilidad 2.a).

Podemos, entonces, decir:

Visto de otra forma, si queremos demostrar que QP → es un teorema, recordando la equivalencia:

( ) ( )PQQP ~~ →≡→

Bastaría con demostrar que el condicional PQ ~~ → es un teorema.

Esquemáticamente, el proceso de demostración, en el método indirecto, lo representamos como sigue:

PPQ

QQQQ

QQQ

n

~~

.

.

.

~~

32

21

1

∴⇒

⇒⇒⇒

Planteado así, es fácil observar que el método indirecto, al igual que el directo, es un razonamiento válido, apoyado en las reglas Silogismo Hipotético y Ponendo Ponens. El encadenamiento de proposiciones desde Q~ hasta P~ , es una aplicación sucesiva del S.H., de forma que el esquema puede resumirse como sigue:

PPQ

Q

~~~

~

∴⇒

el cual es un razonamiento válido, de acuerdo al P.P.

Ejemplo 2:

Demostraremos por el método indirecto, que el condicional siguiente:

“ Si a , b y c son números naturales, tales que, a + c es menor que b + c, entonces a es menor que b”, es un teorema.

el método indirecto consiste en partir de la falsedad del consecuente y establecer la falsedad del antecedente.

64

Utilizando el símbolo “<” para denotar la expresión “menor que”, lo que debemos demostrar es: (a + c < b + c)⇒a < b

De acuerdo al método indirecto debemos partir de negar el consecuente. Dado que dicho consecuente es “a menor que b”, su negación sería “a no es menor que b”, lo cual, también podemos expresar: “a es mayor o igual que b”. Para denotar la expresión “mayor o igual que” usaremos el símbolo “≥ ”.

De este modo, debemos partir de a≥b y concluir la falsedad del antecedente, es decir:

a + c≥b + c

Veamos entonces. Partiendo de a≥b y siendo c un número natural cualquiera, sabemos que, axiomáticamente, es verdad que :

a + c≥b + c

Así, queda establecida, inmediatamente, la falsedad del consecuente, y con ello se demuestra el teorema planteado originalmente.

Ejemplo 3:

Demostraremos, por el método indirecto que, siendo “a” un número entero, el condicional siguiente:

“Si a2 es un número impar, entonces “a” es un número impar”, es un teorema.

De acuerdo al método indirecto, debemos partir de plantear la negación del consecuente, que en este caso resulta:

“a es un número par”.

Así, por definición de número par, siendo k un número entero cualquiera, podemos escribir:

1) a = 2k por lo tanto

2) a2 = (2k)2 de donde

3) a2 = 4k2

que también podemos escribir, de acuerdo con la propiedad asociativa de la multiplicación de los números enteros, así:

4) a2 = 2(2k2)

Ahora bien, siendo k un número entero cualquiera, entonces 2k2 es también un número entero que llamaremos k’, es decir,

5) k’ = 2k2 sustituyendo 5) en 4) nos queda

6) a2 = 2k’ lo cual, por definición, nos indica que a2 es par.

En conclusión, podemos observar que es la negación, del antecedente del condicional originalmente planteado. A dicha conclusión hemos llegado, partiendo de la negación del

65

consecuente del mismo condicional, lo cual nos demuestra que, en efecto, se trata de una implicación.

El proceso de demostración, en los dos ejemplos anteriores, planteado esquemáticamente, es como sigue:

1. a≥b

(a≥b) ⇒ (a + c≥b + c) , axioma, c es Nº natural

∴ a + c≥b + c

Aquí hemos demostrado

(a≥b) ⇒a + c≥ b + c

que es equivalente a

(a + c<b + c) ⇒a< b

el cual fue el condicional planteado originalmente y ha quedado demostrado, usando el método indirecto, que es un teorema.

2. a es un número par

a es un número par ⇒a = 2k, k es un entero (definición de número par)

a = 2k ⇒ a2 = (2k)2

a2 = (2k)2 ⇒ a2 = 4k2

a2 = 4k2 ⇒a2 = 2(2k2), propiedad asociativa

a2 = 2(2k2) ⇒a2 = 2k’, k’ es un entero, tal que k’ = 2k2

a2 = 2k’⇒a2 es un número par.

∴ a2 es un número par.

Veamos así, que hemos demostrado

“Si a es un número par, entonces a2 es un número par.”

que equivale a

“Si a2 es un número impar, entonces a es un número impar.”

El cual fue el condicional originalmente planteado y ha quedado demostrado que es un teorema, utilizando el método indirecto de demostración.

Método de Demostración por Reducción al Absurdo

También es llamado método de demostración por contradicción. Si deseamos demostrar que el condicional QP → es un teorema, podemos plantearnos, como punto de partida, que dicho condicional no sea en realidad un teorema.

66

Esto significa que Q puede ser falsa y P verdadera, es decir, que la conjunción PQ ∧~ es verdadera. Iniciamos así el proceso de demostración, tomando como hipótesis a la anterior conjunción.

Si en el encadenamiento de proposiciones llegamos alguna contradicción, digamos RR ~∧ que es siempre falsa, tendremos que habremos demostrado

( )PQ ∧~ ⇒ ( )RR ~∧

Esto significa que PQ ∧~ es, entonces, siempre falsa, lo cual nos demuestra que QP → es siempre verdadera, es decir; QP ⇒ que es lo que queríamos demostrar originalmente.

En resumen, diremos que

Ejemplo 4:

Para demostrar que el siguiente condicional es un teorema:

“Si m y n son números enteros, tales que, nm ⋅ es un número impar, entonces m y n son ambos impares.”

Simbolizando a las proposiciones tenemos

p : “ nm ⋅ es impar”

Q : “ m y n son, ambos, impares”

Debemos demostrar, entonces que Qp → es un teorema.

Para aplicar el método por reducción al absurdo debemos partir de pQ ∧~

Es decir: “m y n no son, ambos, impares y nm ⋅ es impar”

Así, si m y n no son, ambos impares, significa que por lo menos uno de ellos no lo es. Supongamos, entonces, que n sea par. Por definición de número par será: n = 2k donde k es un número entero cualquiera.

Haciendo el producto de m y n obtenemos nm ⋅ = ⋅m (2k) lo cual, de acuerdo con la propiedad conmutativa y asociativa de la multiplicación de los números enteros, podemos escribir, nm ⋅ = 2(km)

Dado que k y m son, ambos números enteros, entonces su producto también es un número entero que llamaremos k’. Es decir,

k’ = km por lo tanto:

nm ⋅ = 2k’

El método de demostración por reducción al absurdo, consiste en partir de la negación del consecuente y la afirmación del antecedente y si en el proceso de demostración llegamos a alguna contradicción, esto nos demuestra que el condicional original es un teorema.

67

Esto significa, por definición, que nm ⋅ es un número par, lo cual, contradice a p que afirma que nm ⋅ es impar. Esta contradicción nos demuestra, de acuerdo a lo explicado anteriormente, que, en efecto

Qp ⇒

Utilizando un esquema de representación semejante a los usados en los métodos anteriores, la anterior demostración podemos escribirla como sigue:

m y n no son, ambos, impares y nm ⋅ es impar entonces n es par (m y n son Enteros)

n es par ⇒n = 2k (definición de Nº par)

n = 2k ⇒ nm ⋅ = ⋅m (2k)

nm ⋅ = ⋅m (2k)⇒ nm ⋅ = 2(km) (propiedades conmutativa y Asociativa)

nm ⋅ = 2(km)⇒ nm ⋅ = 2k’ (k’ es un entero, tal que, k’ = km)

nm ⋅ = 2k’⇒ nm ⋅ es par

∴ nm ⋅ es par ∧ m . n es impar

Demostración por Contraejemplo

Este método nos permite demostrar que un condicional dado no es un teorema.

Consiste en dar un contraejemplo, esto es, obtener al menos una posibilidad en que, siendo el antecedente verdadero, el consecuente resulte falso, lo cual, nos indica que el condicional puede ser falso y, en consecuencia, no es una implicación, o sea, que P no implica Q

Ejemplo 5:

Demostrar, por contraejemplo, que el siguiente condicional no es un teorema:

“Si n es un número entero, tal que, n es divisible por 6 y por 4, entonces es divisible por 24”

En símbolos, tal condicional es:

[ (6|n) ∧ (4|n)]→ (24|n)

Basta un ejemplo contrario, para demostrar que no se trata de una implicación. Para esto es útil el caso del entero 12, el cual es divisible por 6 y por 4 y, sin embargo, no es divisible por 24. Así, vemos que el número entero 12 hace verdadera

(6|n) ∧ (4|n)

y hace falsa a 24|n,

Esto nos demuestra que el condicional planteado originalmente, en realidad, no es un teorema.

( )QP ⇒

68

Ejercicios Propuestos:

14.1. Demuestra si los condicionales siguientes son o no teoremas:

a) Si n es menor que 3 y m es menor que 6, entonces nm ⋅ es menor que 20. ( n y m son enteros)

b) Si nm ⋅ es impar y n es impar, entonces m es impar.

c) Si a y b son pares, entonces a + b es par

d) Si nm ⋅ es menor o igual a 22, entonces n es menor o igual que 5 y m es menor o igual que 4. ( n y m son enteros)

e) Si n es menor o igual que 5 y m es menor o igual que 4, entonces nm ⋅ es menor o igual a 22. (n y m son naturales)

f) Si nm ⋅ es menor que 20, entonces n es menor que 3 y m es menor que 6. ( n y m son enteros)

14.2. Determina si los condicionales siguientes son teoremas.

a) Si x e y son números reales diferentes de cero, entonces yx ⋅ es un número real diferente de cero.

b) Si a y b son números impares, entonces ba ⋅ es impar.

c) Si x es un número real diferente de cero, entonces 1−x es un número real diferente de cero.

d) Si a2 es par, entonces a es par.

14.3 Resuelva los siguientes ejercicios y describe el método utilizado:

a. 2 no es un número racional b) Si cbca +≤+ , entonces ba ≤

b. Si n es un número entero mayor que 5, entonces 3n-10 es mayor que 5

c. Si ba < y dc < entonces dbca +<+

d. Si ba < y 0>c , entonces cbca ⋅<⋅

e. Si ba < y 0<c , entonces cbca ⋅>⋅

69

LECTURA N° 15: MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Dada la sucesión de proposiciones: ΚΚ ,,,,, 321 nPPPP

y supongamos demostrar que:

a) La proposición 1P es verdadera.

b) Para todo Nk ∈ , si la proposición kP es verdadera, entonces 1+kP también lo es.

Entonces, podemos asegurar que ΚΚ ,,,,, 321 nPPPP son verdaderas.

Ejemplo 1: Demostrar por el método de inducción matemática que:

2)1(321 +

=++++nnnΚ

Para demostrar la fórmula anterior bastará con probar que las siguientes proposiciones:

ΚΚ ,,,,, 321 nPPPP son verdaderas, donde

2)1(321: +

=++++nnnPn Κ (i)

Ahora bien:

a) 1P es verdadera, puesto que para 1=n , 1P : 2

)11(11 +⋅=

b) Si suponemos ahora que para cualquier valor de k , kP es verdadera, es decir, kn = :

2)1(321: +

=++++kkkPk Κ (ii)

Vamos a demostrar que, 1+kP es verdadera.

En efecto, si a los dos miembros de la igualdad (ii) le sumamos 1+k , tendremos:

)1(2

)1()1(321 +++

=++++++ kkkkkΚ ,

Resolviendo el lado derecho de la ecuación anterior, tenemos:

Tomada con fines instruccionales Gómez, T., González, N., Lorenzo J. (2007). Inducción Matemática. Artículo no publicado (p. 1-5). Caracas.

70

2)1(2)1()1(321 +++

=++++++kkkkkΚ

Sacamos factor común ( )1+k en el lado derecho de la ecuación y obtenemos:

2)2)(1()1(321 ++

=++++++kkkkΚ (iii)

Y observamos que la ecuación anterior (iii) equivale a 1+kP , al sustituir 1+= kn , en (i)

[ ]2

1)1()1()1(321:1+++

=+++++++kkkkPk Κ

2)2)(1()1(321:1

++=+++++++

kkkkPk Κ

En resumen, demostramos que :

1P es verdadera y para cualquier valor de k entero positivo, si kP es verdadera, entonces 1+kP es verdadera

Por lo tanto, por el método de inducción matemática queda demostrado que:

ΚΚ ,,,,, 321 nPPPP es verdadera , es decir, para cualquier valor de n entero positivo, se cumple :

2)1(321: +

=++++nnnPn Κ

Ejemplo 2:

Para demostrar por el método de inducción matemática que, para todo n entero positivo, se tiene que: 122 +< nn .

Para demostrar la fórmula anterior bastará con probar que las siguientes proposiciones:

ΚΚ ,,,,, 321 nPPPP son verdaderas, donde

:nP 122 +< nn (i)

Ahora bien:

a) 1P es verdadera, puesto que para 1=n , 1P : 111 22 +< , es decir :

42 < es verdadera.

b) Si suponemos ahora que para cualquier valor de k , kP es verdadera, es decir, para kn = :

122: +< kkkP (ii)

Vamos a demostrar que, 1+kP es verdadera.

71

Como 2 es positivo, multiplicamos por 2 ambos miembros de la desigualdad y esta no se altera y nos queda:

2222 1 ⋅<⋅ +kk ,

Resolviendo las potencias de ambos lados de la desigualdad anterior, tenemos: 21 22 ++ < kk (iii)

se cumple y observamos que la ecuación anterior (iii) equivale a 1+kP , al sustituir 1+= kn , en (i)

1)1(11 22: +++

+ < kkkP , es decir

211 22: ++

+ < kkkP

En resumen, demostramos que:

1P es verdadera y para cualquier valor de k entero positivo, si kP es verdadera, entonces 1+kP es verdadera

Por lo tanto, por el método de inducción matemática queda demostrado que:

ΚΚ ,,,,, 321 nPPPP es verdadera , es decir, para cualquier valor de n entero positivo, se cumple :

:nP 122 +< nn es verdadera.

Ejercicios Propuestos:

15.1- Demostrar que ( ) 212...7531 nn =−+++++ para cualquier número Nn∈

15.2- Probar que la suma de los cuadrados de los primeros números naturales es

( )( )6

121 ++ nnn, es decir, probar que:

( )( )6

121...321 2222 ++=++++

nnnn

15.3- Demostrar que ( ) 111...

4.31

3.21

2.11

+=

+++++

nn

nn

15.4- Demostrar que ( ) ( )3

1412...5312

2222 −=−++++

nnn

15.5- Demostrar si las siguientes proposiciones son verdaderas para cualquier valor

de 2≥n :

a) ( ) 22223

2222 ...3213

1...321 nnn ++++<<−++++

72

b) ( ) 33334

3333 ...3214

1...321 nnn ++++<<−++++

15.6- Sabiendo que el número combinatorio está definido por: ( ) !!!

kknn

kn

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, si

nk ≤≤0 y k y n naturales , demostrar las siguientes fórmulas:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

nkn

b) ( ) knkn

kn ba

kn

ba −=∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

0(fórmula del binomio de Newton sabiendo que, la

suma de los números naaa ,...,, 21 viene dada por: nn

i i aaaa +++=∑ =...211

El símbolo ∑ =

n

i ia1

se le llama sumatoria.

15.7- Demostrar que si el triángulo rectángulo ABC

de lados a y b e hipotenusa c, tiene un área

de 4

2c, entonces, el triángulo es isósceles.

73

LECTURA N° 16: ALGUNAS FUNCIONES DE LAS DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS

¿Para qué las demostraciones matemáticas?

¿Qué aporta una demostración a la formación intelectual de un individuo?

Para responder estas preguntas, nos pasearemos por algunos enfoques sobre las funciones de las demostraciones, ya que la función que se nos viene inmediatamente a la mente, es la de verificación de un resultado (tesis), partiendo de unos datos iniciales (hipótesis). Hemos encontrado que ésta no es la única función de las demostraciones. A continuación daremos algunos enfoques de autores, sobre este tema.

“Bell citado por Ibáñez (2001), considera la iluminación y la sistematización como una de las funciones de una demostración y define:

La iluminación: se espera que una buena demostración proporciona ideas de por qué es cierta.

La sistematización: organización de un sistema deductivo de la teoría (axiomas, teoremas y otros)“.

De igual manera, otro autor De Villiers (1993) destaca la función de explicación e insiste en la función de sistematización, pues la demostración integra conceptos, afirmaciones y teoremas en sí, explicando su estructura axiomática y ayudando a las aplicaciones, tanto dentro como fuera de las matemáticas.

Este autor considera, además, las funciones de descubrimiento, ya que con este trabajo intelectual en ocasiones se pueden llegar a nuevos resultados.

También incluye la función de comunicación, como una manera de expresar los resultados ante otros profesionales, estudiantes, lo que permite un análisis crítico de aciertos y desaciertos.

Siguiendo a los autores anteriores, Hanna (2000) incorpora la función de construcción de una teoría empírica, la exploración de un significado de una definición o la consecuencia de una suposición y la incorporación de un nuevo conocimiento hecho a una nueva estructuración.

Otro autor, Reid (2002) propuso cinco dimensiones de una demostración, entre las que se destacan la necesidad, la iluminación y la comprensión. La necesidad la define como la función de la demostración y la valora como explicación, exploración y verificación.

Tomada con fines instruccionales Gómez, T., González, N., Lorenzo J. (2007). Funciones de las Demostraciones Matemáticas. Artículo no publicado (p.1-2). Caracas.

74

Tomando en cuenta lo expuesto por los autores, se quiere contribuir a la formación de un individuo de una manera más integradora, de tal manera que el individuo aplique en la práctica el saber, la necesidad de articular la realidad con la teoría, para comprender de forma más exacta como, por medio de sus conocimientos, es posible describir procesos de dicha realidad.

Presentamos a continuación un esquema donde resume algunas de las funciones más importante del por que de una demostración, lo cual nos puede llevar a responder cualesquiera de las dos preguntas iniciadas en esta lectura.

FORMACIÓN INTELECTUAL DEL

INDIVIDUO

SISTEMATIZACIÓN ILUMINACIÓN

EXPLICACIÓN

DESCUBRIMIENTO

VERIFICACIÓN CONSTRUCCIÓN

COMUNICACIÓN

FUNCIONES DE UNA DEMOSTRACIÓN

75

UNIDAD 4 TEORÍA DE CONJUNTOS

LECTURA N° 17: CONCEPTOS BÁSICOS

La teoría que nos ocupa en este capítulo, está construida sobre la base de conceptos, los cuales, por ser intuitivos y comprensibles, no es necesario definirlos formalmente. Sabemos que en la realidad existen “cosas”, “objetos”, “entes”, “elementos”, que constituyen unidades completamente identificables, que pueden ser tangibles o no. A la vez, esos, elementos, son agrupables, de acuerdo a cualquier tipo de criterio, conformando lo que conocemos como “conjunto”. Por lo tanto, decimos que los elementos pertenecen a conjuntos.

Es a partir de estos tres conceptos: elemento, pertenencia y conjunto, que se desarrolla la teoría que estudiaremos a continuación.

Es importante destacar que, aun cuando no demos definiciones formales para los conceptos antes mencionados, ellos deben ser plenamente identificables, con el objeto de lograr un desarrollo teórico formal. En este sentido, se hace necesario disponer de un adecuado sistema de representación o identificación.

NOTACIÓN

Los conjuntos serán identificados con letras mayúsculas, tales como:

A, B, C, D, etc.

Mientras que los elementos se identificarán con letras minúsculas, a menos que ellos sean, a su vez, conjuntos, como por ejemplo

a, b, c, d, etc.

Vale la pena señalar que lo usual es utilizar las primeras letras del abecedario (a, b, c,…) para denotar elementos que estén perfectamente determinados y reservar las últimas (…, x, y, z) para elementos genéricos o indeterminados.

Además, en el caso de la notación para conjuntos, se reservan las letras mayúsculas: N, Z, Q, R y C, para los llamados conjuntos de los números: Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente. Tales conjuntos son tratados de manera específica más adelante en la sesión: “Conjuntos Numéricos”, sin embargo, nos permitiremos utilizarlos, en diversos ejemplos, asumiendo que los estudiantes están familiarizados con

Tomada con fines instruccionales Gallo, C. (1996). Matemáticas para Estudiantes de Administración y Economía. U.C.V. Ediciones de la Biblioteca. Tercera Edición. (p. 87-91). Caracas.

76

ellos debido a sus estudios previos. Sólo debemos destacar aquí una diferencia de notación que usaremos, desde este momento, en relación al conjunto de los números naturales. Ella se refiere a que cuando usemos la letra N nos estaremos refiriendo a los números naturales incluido el cero, mientras que cuando usamos la notación N* nos referiremos a los naturales a partir del uno, es decir sin el cero.

Los conjuntos deben expresarse escribiendo los elementos que los constituyen encerrados entre llaves. Por ejemplo, para expresar al conjunto formados por las cinco primeras letras del alfabeto, al cual, denotaremos con la letra A, podemos escribir:

{ }edcbaA ,,,,=

RELACIÓN DE PERTENENCIA

La relación que se establece entre elementos y conjuntos es la llamada relación de pertenencia. Hemos dicho antes que los elementos pertenecen a conjuntos, por lo tanto, enunciaremos con frecuencia proposiciones tales como: “el elemento a pertenece al conjunto A” la cual expresaremos mediante

Aa ∈

que se lee “a pertenece a A”. Su negación la escribiremos

Aa ∉

la cual, leeremos “a no pertenece a A”.

Así, de acuerdo al ejemplo anterior tenemos que Ac ∈ , mientras que An ∉ .

Es importante, para mayor claridad y precisión de nuestras expresiones tener presente lo siguiente:

1) Cada conjunto debe determinarse claramente, sin ambigüedad. De forma tal, que pueda establecerse, sin lugar a dudas, si un elemento específico pertenece o no a un conjunto determinado.

2) Los elementos de un conjunto deben ser distintos entre si. Ningún elemento debe estar repetido y en caso de que esto ocurra, se le considera una sola vez.

3) No importa el orden en que se escriben los elementos de un conjunto.

Cambiar el orden de colocación de los elementos dentro de un conjunto no significa que dicho conjunto ha cambiado.

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

En general, todos los conjuntos pueden determinarse de dos formas diferentes por extensión o por comprensión.

Por Extensión

Diremos que un conjunto está determinado por extensión si detallamos o enumeramos todos y cada uno de los elementos que pertenecen a dicho conjunto.

77

Por ejemplo:

{ }45,30,15=A

Por Comprensión

Diremos que un conjunto está determinado por comprensión si damos una propiedad, o propiedades, que caracterizan a sus elementos, y solo a ellos, tal que nos permita establecer, inequívocamente, si cierto elemento pertenece, o no, a dicho conjunto. Por ejemplo:

{ }5350 deydemúltiplosyquemenoresnaturalesnúmerosA =

Un conjunto que posea un número finito de elementos, en general, puede ser expresado de las dos formas. El conjunto A, de los ejemplos anteriores, es el mismo en ambos casos, determinado primero por extensión y luego por comprensión.

Sin embargo, los conjuntos que poseen infinitos elementos, sólo pueden ser determinados por comprensión.

En la determinación de conjuntos por comprensión se usan con frecuencia símbolos que simplifican las expresiones. Así, el conjunto A, que venimos utilizando como ejemplo, puede escribirse

{ }xxxNxxA |5|350: ∧∧<∧∈=

Donde el símbolo “:” se lee “tal que”.

En las definiciones de los conceptos que siguen a continuación, así como en el enunciado de propiedades, teoremas y sus respectivas demostraciones, se utilizará una forma general de determinación de los conjuntos por comprensión, en la cual, se escribirá el símbolo

P(x)

que representa una propiedad relativa a un elemento indeterminado x.

Así, por ejemplo, si queremos referirnos a los números pares, entonces es

p(x): x es par

Ahora bien, es importante destacar que el enunciado “x es par” no es una proposición. Tal enunciado se convierte en una proposición cuando se especifica el elemento x, ya que sólo así podremos calificarla de verdadera o falsa. De esa manera, para cada asignación de un valor a x, obtenemos una proposición. En el caso del ejemplo presentado tenemos que:

p(4): 4 es par (V)

p(7): 7 es par (F)

78

Entonces, cuando queremos expresar de manera general a un cierto conjunto, digamos A, determinado por comprensión, como el conjunto de elementos x que satisfacen una cierta propiedad, digamos P(x), escribimos

{ })(: xPxA =

En consecuencia, para un elemento dado a , dado, diremos que:

VesaPAa )(⇔∈

FesaPAa )(⇔∉

Nuevamente tomando el caso del conjunto A de los ejemplos anteriores, tenemos que es

xxxNxxP |5|350:)( ∧∧<∧∈

En consecuencia, 30 ∈ A, ya que, P(30) es verdadera, mientras que 10 ∉A, por ser P(10) falsa.

En general, todos los conjuntos pueden ser determinados por comprensión. Es decir, para cualquier conjunto pueden enunciarse propiedades que caracterizan a los elementos que los conforman, de tal forma que tales enunciados al ser aplicados o referirse a elementos específicos, según hemos visto, constituyen proposiciones que cuando son verdaderas nos establecen que el elemento en cuestión pertenece al conjunto de que se trate y cuando son falsas nos establecen lo contrario. Vemos así, que las proposiciones juegan un papel básico en la definición de los conjuntos y por, lo tanto, la Lógica Proposicional constituye un apoyo fundamental en el desarrollo de la Teoría de Conjuntos.

LECTURA N° 18: TIPOS DE CONJUNTOS

CONJUNTOS ESPECIALES

Conjunto universal

En el análisis de una situación particular, hay un conjunto o colección fija de elementos que se denomina conjunto universal y se denota por la letra griega Ω (omega). Dicho conjunto Ω , consta de todos los elementos a los que se pueda referir esa situación. Es algo así como la fuente de todos los elementos que forman parte de los conjuntos sobre los que vamos a trabajar.

Hay dos circunstancias que se deben tener en cuenta cuando se trata de elegir el conjunto universal:

Tomada con fines instruccionales Kleiman, A. y de Kleiman, E. (1972). Conjuntos. Aplicaciones Matemáticas a la Administración. Editorial Limusa Wiley. Primera edición. (p. 87-91). Caracas.

79

1. El conjunto universal no es único; depende del problema que se esté considerando y puede cambiar según la situación particular de que trate;

2. Aún para un mismo problema el conjunto universal no está definido en forma única; podemos elegirlo a nuestra conveniencia con relativa libertad.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: si los conjuntos a considerar son los urólogos, dermatólogos, pediatras y cirujanos, el universo más adecuado es el conjunto de los médicos.

Ejemplo 2: para un problema determinado nos interesa pensar en el conjunto de todos los libros de “Sistemas y Procedimientos”. Este conjunto puede estar referido a algún conjunto universal, que seleccionaremos de acuerdo con nuestras necesidades. Por ejemplo, Ω puede ser el conjunto de los libros de la biblioteca de esta Facultad, o el conjunto de los libros de esta Universidad, o el conjunto de los libros del tema “Sistemas y Procedimientos”, editados en cualquier idioma o el conjunto de todos los libros que existen en esta ciudad, etc. Note que tenemos libertad para fijar Ω , y únicamente debemos tomar en cuenta nuestra conveniencia específica.

Ejemplo 3: sea el conjunto de los alumnos con calificación promedio de ocho o más puntos. El conjunto universal puede ser, según el estudio o situación que se esté considerando: i) los alumnos del “grupo 106”; ii) el conjunto de los alumnos de esta Facultad; iii) el conjunto de alumnos de la Universidad; iv) el conjunto de todos los alumnos de escuelas de esta ciudad, etcétera.

Esa relativa libertad de elección a que hemos hecho referencia no debe interpretarse en el sentido de que Ω es un conjunto impreciso o de naturaleza variables. Al analizar una situación determinada una vez que se ha decidido cuál es el conjunto universal Ω , ese conjunto permanece fijo y todos los demás conjuntos mencionados en la misma discusión se forman con elementos de ese Ω .

Conjunto vacío

Aunque a primera vista parezca extraño, resulta conveniente hablar acerca de conjuntos sin elementos. Un conjunto que no posee elementos se denomina conjunto vacío o conjunto nulo, y se lo designa por el símbolo φ o por { }.

Por ejemplo, los siguientes son conjuntos vacíos:

{ }edad de años 200 de más de persona una es : xxA =

{ }dulce agua de océanoun es : yyB =

{ }6 que menores,y 5 que mayores naturales números los de conjunto el es : zzC =

{ }entero númeroun es 1,- : 2 wwwD == .

Es importante advertir que φ es distinto de 0 y de { }0 . En efecto:

i) φ es un conjunto sin elementos;

80

ii) { }0 es un conjunto con un solo elemento, el número 0;

iii) 0 es un número y no un conjunto

Muchas veces se define un conjunto vacío recurriendo a un par de condiciones mutuamente contradictorias, tales como:

{ }alascon burroun es : mmM =

{ }narices 6con teser vivienun es : nnN = .

Conjuntos Finitos e Infinitos

El número de elementos de un conjunto no vacío, puede ser finito o infinito. Es finito cuando se puede listar exhaustivamente sus elementos en algún orden, y en consecuencia contarlos uno a uno hasta alcanzar el último.

En caso contrario, si el conjunto no posee un último elemento se dice que es un conjunto infinito.

Ejemplos de conjuntos finitos son: los empleados de una empresa, los periódicos de un país, los proveedores de la industria de la construcción, etc.

Ejemplos de conjuntos infinitos: el conjunto de los enteros positivos, el número de rectas que pasan por un punto, etcétera.

Estos conjuntos son infinitos porque no es posible listar todos sus elementos y enumerar explícitamente la totalidad de ellos. El proceso de conteo de los elementos nunca termina para un conjunto infinito.

La notación para el conjunto de los números naturales (enteros positivos) es la siguiente:

{ }... 6, 5, 4, 3, 2, 1,=N , es decir que se listan algunos de los elementos del conjunto seguidos de puntos suspensivos (que equivalen al etc), y que reemplazan a los elementos no listados. Esta forma de notación se emplea a menudo, pero no es muy satisfactoria desde el punto de vista lógico. En sentido estricto el método de listado o de enumeración, es inaplicable a conjuntos infinitos. Para especificar correctamente un conjunto infinito se debe citar alguna propiedad definitoria, es decir especificarlo por comprensión.

Los conjuntos infinitos se presentan en muy diversos problemas concretos. Por ejemplo, en el control estadístico de calidad, los analistas del proceso de producción pueden considerar que la máquina bajo observación genera un flujo continuo e infinito de productos.

Un ejemplo usual en el desarrollo de este tema es el del conjunto de los granos de arena de la playa de Acapulco. No obstante que el número de elemento de ese es inmenso, no deja de ser un conjunto finito.

81

LECTURA N° 19: MAS SOBRE CONJUNTOS ESPECIALES

CONJUNTO UNIVERSAL

Llamamos Conjunto Universal o Conjunto Referencial aquel conjunto, al cual, pertenecen todos los elementos de una situación dada o de interés.

Partiendo de este concepto, está claro que el conjunto universal o referencial no es único, sino que depende de la situación en particular que se esté tratando.

Para denotar al conjunto universal se utiliza la letra mayúscula U, o bien el símbolo Ω (letra griega mayúscula “omega”).

El conjunto universal establece una referencia (también se le dice universo), delimita las áreas de trabajo, es decir, establece las fronteras. Por ejemplo, si nos planteamos una investigación estadística sobre la educación, no es lo mismo que el universo sea el conjunto de todos los estudiantes de la Universidad Central de Venezuela en un año determinado, que el de los estudiantes de todas las universidades venezolanas o que el de todas las universidades latinoamericanas. Tal delimitación depende del objetivo específico que se persiga con la investigación.

Siendo consecuentes con nuestra intención de evidenciar la equivalencia existente entre el lenguaje utilizado en Teoría de conjuntos y el utilizado en Lógica Proposicional, veamos como se manifiesta dicha equivalencia en el caso de la definición dada para el conjunto Universal. Supongamos que A sea un conjunto dado, tal que:

{ })(: xPxA =

De acuerdo con la definición dada, al conjunto universal, o referencial, U, pertenecen todos los elementos de la situación de que se trate. Esto es, a U lo conforma tanto los elementos de A , como los que no pertenecen a A . Estando A definida a través de )(xP , entonces a U pertenecen aquellos elementos que hacen verdadera a )(xP y también pertenecen los que la hacen falsa. Esto quiere decir que al conjunto universal U lo podemos definir por comprensión de la siguiente manera:

{ })(~)(: xPxPxU ∨=

Podemos observar que cualquier x, de la situación de que se trate, hará verdadera a )(~)( xPxP ∨ . En otras palabras, la disyunción inclusiva )(~)( xPxP ∨ es siempre

verdadera. Vemos así, que el conjunto universal se define a través de una tautología.

Tomada con fines instruccionales Gallo, C. (1996). Matemáticas para Estudiantes de Administración y Economía. U.C.V. Ediciones de la Biblioteca. Tercera Edición. (p. 94-99). Caracas.

82

CONJUNTO VACIO

Llamamos Conjunto Vacío a aquel conjunto que no tiene elementos. Para denotar al conjunto vacío utilizamos el símbolo φ (letra griega mayúscula “phi”).

Al conjunto vacío también lo podemos definir a través de proposiciones.

Dado que a él no pertenece ningún elemento, entonces cualquier enunciado que no pueda ser verdadero para ningún elemento, definirá al vacío. En el caso que ningún x hace verdadera a

)(~)( xPxP ∧

Por lo tanto

{ })(~)(: xPxPx ∧=φ

Vemos así, que el conjunto vacío puede ser definido a través del enunciado de cualquier contradicción.

El conjunto vacío es único, esto es, no existen conjuntos vacíos diferentes entre sí.

Para todas las situaciones de que se trate, los conjuntos que no tengan elementos, son iguales entre sí, y tienen en el llamado conjunto vacío a su representante. Esta importante afirmación, sobre la unicidad del vacío, será formalmente demostrada mas adelante, una vez que hayamos estudiado la relación de inclusión y la propiedad antisimétrica de dicha relación, la cual, constituye el instrumento de demostración.

Ejemplo

Sea el conjunto

( ) ( ){ }037: =−∧∈= xZxxA

Podemos observar que ningún número entero hace verdadera a 037 =−x

Esto es

Por lo tanto, el conjunto A no tiene elementos y decimos que es vacío.

Es decir, φ=A

CONJUNTO UNITARIO

Llamaremos Conjunto Unitario a aquel conjunto, al cual pertenece un solo elemento.

Ejemplo

Sea el conjunto

( ) ( ) ( ){ }53: <∧>∧∈= xxZxxA

037: =−∈∃ xZx

83

De acuerdo a como ha sido definido A, a él pertenecen los números enteros que son, simultáneamente mayores que 3 y menores que 5, lo cual, es sólo satisfecho por el entero 4 y de ahí que digamos que A es un conjunto unitario.

Aprovechamos este ejemplo para plantear que, en general, cuando tengamos expresiones tales como

( ) ( )bxax <∧>

Donde a y b son números tales que ba < , suele escribirse de una forma más sencilla como la siguiente:

bxa <<

La cual, leemos “x es mayor que a y menor b” y nos indica, igual a la de arriba, los números x que satisfacen, a la vez, que sean mayores que a y menores que b. Expresado de otra forma, se refiere a los números comprendidos entre a y b.

Así, el conjunto A , del ejemplo, también puede escribirse como sigue:

( ) ( ){ }53: <<∧∈= xZxxA

Podemos observar que el único valor de x entero que hace verdadera a la proposición es 4. Luego, decimos que A es

{ }4=A

Habiendo dado la definición para conjunto unitario, es importante destacar, ahora, la diferencia entre las siguientes notaciones:

{ } { }{ }aaa ,,

La primera se refiere al elemento a. La segunda se refiere al conjunto unitario cuyo único elemento es a y la tercera se refiere al conjunto de conjuntos, también unitario, cuyo único elemento es el conjunto { }a .

Ejercicios:

1.- Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

( ) ( ) ( ){ }512: * ≤∧∈∧−== xNnnxxA

( ) ( ) ( ){ }102: * ≤∧∈∧== xNnnxxB

( ) ( ){ }5025: 3 ≤≤−∧∈= xZxxC

( ) ( ) ( ){ }912: * ≤∧∈∧+== xNnnxxD

( ) ( ){ }082: 2 =+−∧∈= xxNxxE

( ) ( ){ }112: * ≤+∧∈= xNxxF

2.- Diga cuales de las siguientes expresiones son verdaderas, justificando sus respuestas:

a) { }{ }aa∈ b) { } { }{ }baaba ,,, ∈ c) { }{ } { }aaa =,

d) { } { }bacacba ,,,,, = e) { } { }cbbacbaa ,,,,,, ≠ f) { } { }cabcba ,,,, =

84

3.- Traducir en palabras lo que significan las expresiones siguientes:

a) ( ) ( ){ }6: ≤∧∈= xNxxA

b) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∧∈= NxQxxB

21:

c) ( ) ( ){ }30645: ≤−≤∧∈= xNxxC

d) Siendo a una recta del plano: { }arrrH ∧= recta una es :

e) Siendo a una recta del plano: { }arrrM ⊥∧= recta una es :

f) ( ) ( ){ }11322: ≤−≤∧∈= xNxxE

g) ( ) ( ){ }ZxNxxF ∈∧∈= :

4.- Expresar simbólicamente los siguientes conjuntos:

a) El conjunto de los números naturales pares

b) El conjunto de las soluciones reales de la ecuación 022 23 =+−− xxx

c) El conjunto de números naturales que satisfacen la relación: 3781016 ≤−<− x

5.- Expresar por comprensión los conjuntos siguientes:

{ }15,13,11,9,7,5,3,1=A

{ }36,25,16,9,4,1=B

{ }23,19,17,13,11,7,5,3,2,1=C

{ }64,32,16,8,4,2,1=D

6.- Si a es un elemento del conjunto B y B es un elemento del conjunto C , ¿se puede concluir que a es un elemento de C ?

7.- Diga cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos:

{ }2por divisibley impar es : xxA =

{ }33 : =+∧∈= xZxxB

( ) ( ) ( ){ }10210 : 2 =∧=∧∈= xxRxxC

{ }φ=D

85

LECTURA N° 20: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS

DIAGRAMA DE VENN.

Con objeto de hacer más intuitivas las cuestiones relativas a conjuntos es aconsejable usar unos esquemas llamados diagramas de Venn; en ellos, los elementos del conjunto universal U se representan gráficamente por puntos de un cuadrado (o rectángulo) y los subconjuntos por puntos de círculos contenidos en el cuadrado.

Es de observar que tanto U como los subconjuntos pueden ser finitos o infinitos en este último caso puede incluso ser U el conjunto de todos los puntos del cuadrado y los subconjuntos estar integrados por todos los puntos de los círculos.

Interesa señalar también que, mientras no se advierta lo contrario, los elementos no los representaremos por puntos de los diferentes contornos (circunferencias y perímetro del cuadrado).

Ejemplo:

En la figura adjunta se ha representado en un diagrama de Venn, el conjunto universal. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, }

y los subconjuntos: A = { 2, 3, 4, 5, 6 } B = { 5, 6, 7, 8 } C = { 10, 11 }

12

2 7 5

6 8 3

4 9

10 11

1 A B

C

Tomada con fines instruccionales

Burgos, A. (1971). Iniciación a la Matemática Moderna. Selecciones Científicas. Tercera Edición. (p. 26). Madrid.

U

86

LECTURA N° 21: RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

RELACIÓN DE IGUALDAD

Dos conjuntos A y B son iguales si cumplen dos condiciones esenciales: que todo elemento de A pertenece a B, e inversamente, que todo elemento de B pertenece a A. Cuando los conjuntos A y B son iguales escribiremos BA = y si no son iguales se escribe BA ≠ . Veamos algunos ejemplos:

a) Los conjuntos:

{ }12,7,5,4−=A y

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−= 12,49,5,

28B son iguales ya contiene los mismos elementos. Recuerde

que 749428

=−=− y .

b) Los conjuntos:

{ }8: −quemayornegativoenteronúmerounesxx y { }1,2,3,4,5,6,7 −−−−−−−

son iguales, ya que aún cuando están expresados en forma diferente, el primero

por comprensión y el segundo por extensión, contienen los mismos elementos.

c) Los conjuntos:

{ }127,5,7,4,5 − y { }12,7,5,4− son iguales. El primer conjunto tiene los

mismos elementos del segundo, ya que los elementos que se repiten se toman en

cuenta una sola vez.

d) Los conjuntos { },7,4,5,12 − y { }12,7,5,4− son iguales, no importa el orden en el cual se escriben los elementos.

e) Los conjuntos: { }12,7,5,4− y { }12,7,6,5,4− no son iguales porque no poseen los mismos elementos. El segundo conjunto contiene a 6, mientras que el primero no.

Tomada con fines instruccionales Gómez, T., González, N., Lorenzo J. (2007). Igualdad e Inclusión entre Conjuntos. Artículo no publicado (p.1). Caracas.

87

RELACIÓN DE INCLUSIÓN

Esta relación se denota por el signo “⊆ “se lee “incluido o contenido en” y se dice que un conjunto A está incluido en el conjunto B cuando todos los elementos de A pertenecen a B, esta definición se puede escribir formalmente utilizando la simbología que se conoce hasta ahora, de la siguiente forma:

( ) ( )BxAxBA ∈⇒∈⇔⊆

otra forma de leer BA ⊆ es “A es subconjunto de B”.

Por el contrario, BA ⊄ cuando existe por lo menos un elemento de A que no pertenece a B.

Es importante señalar que si todos los elementos de un conjunto A pertenecen también a un conjunto B, pero no todos los elementos del conjunto B pertenecen a A, es decir,

BA ≠ , entonces se dice que A es un subconjunto propio de B y que la inclusión es estricta, esto se denota de la siguiente forma:

BA ⊂

Propiedades de la Inclusión:

1. Para cualquier conjunto B, se tiene que: B⊆φ .

2. Propiedad Reflexiva. Todo conjunto es subconjunto de si mismo, es decir:

AA ⊆ , en efecto, Ax ∈∀ )( , se tiene, por supuesto, que Ax ∈

3. Propiedad Antisimétrica. Si un conjunto esta incluido en otro y viceversa entonces los conjuntos son iguales, es decir:

( ) BAABBA =⇒⊆∧⊆ .

observe que: ( ) ( )AxBxAByBxAxBA ∈⇒∈⇒⊆∈⇒∈⇒⊆ entonces todos los elementos de A están en B y todos los elementos de B están en A.

4. Propiedad Transitiva. Considere tres conjuntos A, B y C uno contenido dentro del otro, es decir:

CByBA ⊆⊆

Esto implica:

CA ⊆ por lo tanto la propiedad queda enunciada así:

( ) CACByBA ⊆⇒⊆⊆

88

LECTURA N° 22: OTRAS RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

CONJUNTOS DISYUNTOS.

Se dice que dos conjuntos A y B son disyuntos si no tienen elementos comunes.

En cambio, llamaremos solapados a los conjuntos que, sin estar uno incluido en el otro, tienen elementos comunes.

Ejemplos:

a) Si A = { 1, 3, 5, 7 } y B = { 2, 4, 6 } , A y B son disyuntos.

b) Si A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } y B = { 5, 6, 7, 8 } , A y B son solapados.

c) Si A es el conjunto de los números pares y B el de los impares, A y B son

disyuntos.

Observe los siguientes pares de conjuntos: M N M’ N’

4444 34444 214444 34444 21BA

Fig. 1.

Fig. 2.

M N 4444 34444 21

A

M’

Fig. 3. 4444 34444 21B

A

O1

B

O2

Tomada con fines instruccionales Burgos, A. (1971). Iniciación a la Matemática Moderna. Selecciones Científicas. Tercera Edición. (p. 23-24). Madrid.

89

Fig. 4

d) A y B son disyuntos en las figuras 1 y 2

e) A y B son solapados en las figuras 3 y 4

Observando la figura 5, donde I es el conjunto de puntos del circulo O, C el conjunto de puntos de la circunferencia del circulo O y E es el conjunto de puntos exteriores a la circunferencia; FIG. 5.

Fig. 5

f) I y C son solapados.

g) I y E son disyuntos.

h) E y C son disyuntos.

A

O1

B

O2

I O

E

C

90

LECTURA N° 23: OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Las operaciones entre conjuntos son formas específicas de combinar conjuntos para formar otros conjuntos. Estas operaciones junto con sus propiedades constituyen un sistema lógico de construcción y conducen a la teoría de conjunto como un álgebra, o sea como un sistema matemático.

En particular, se tratan las operaciones de intersección, unión, diferencia y complementación, las cuales pueden ser representadas a través de los diagramas de Venn. A menudo se piensa que las operaciones entre conjuntos son útiles estrictamente en el campo formal de las matemáticas, sin embargo, estas combinaciones se utilizan de forma casi inconsciente en la vida real para tomar decisiones en determinadas situaciones, una muestra de esto es el siguiente ejemplo:

Una estudiante de la UNEFA está decidiendo cual de dos libros va a comprar para el curso de Razonamiento Lógico, para ello revisa la tabla de contenido y la compara con su programa.

El programa de Razonamiento Lógico es el siguiente:

Unidad 1: LÓGICA PROPOSICIONAL

(a) Proposiciones, (b) Conectivos Lógicos, (c) Tablas de Verdad, (d) Tautologías y contradicciones

Unidad 2: LEYES DE LA LÓGICA :

(e) Leyes de Inferencia, (f) Leyes de Equivalencia, (n) Falacias

Unidad 3: DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS

(g) Métodos Deductivos, (h) Métodos Inductivos

Unidad 4: TEORÍA DE CONJUNTOS

(i) Conceptos básicos, (j) Diagramas de Venn, (k) Operaciones entre conjuntos,

(m) Relaciones entre conjuntos

En cada uno de los libros identificaremos con la letra correspondiente a cada tema. La tabla de contenidos de los libros es la siguiente:

Tomada con fines instruccionales Gómez, T., González, N., Lorenzo, J. (2007). Igualdad e Inclusión entre Conjuntos. Artículo no publicado (p.1). Caracas.

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LIBRO 1 LIBRO 2

( a ) Proposiciones ( a ) Proposiciones

( b ) Conectivos lógicos ( b ) Conectivos lógicos

( c ) Tablas de Verdad ( c ) Tablas de Verdad

( d ) Tautologías y contradicciones ( g ) Método Deductivo

( e) Leyes de Equivalencia ( h ) Método Inductivo

( f ) Leyes de Inferencia ( i ) Conjuntos: Conceptos Básicos

( i ) Conjuntos: Conceptos Básicos ( k ) Operaciones entre conjuntos

( k ) Operaciones entre conjuntos ( j ) Diagramas de Venn

( m ) Relación entre conjuntos

Ahora, para tomar una decisión, la estudiante se hace las siguientes preguntas:

1. ¿Cuáles son los contenidos que tienen en común los libros?

2. ¿Cuáles son los contenidos no comunes entre los libros?

3. ¿Cuáles contenidos del programa no se encuentran en ninguno de los libros?

4. ¿Sería necesario comprar ambos libros?

Para tomar una decisión sobre cuál sería el mejor libro, para comprarlo, vamos tratar de responder estas preguntas usando las operaciones entre conjuntos, que serán definidas a continuación:

1) Definimos el conjunto universal: Para este caso, el universo al cual nos queremos referir es el contenido programático de la materia Razonamiento Lógico. El conjunto universal Ω lo representaremos por las letras de cada uno de los temas y lo representamos en el siguiente rectángulo:

f k g a j m c d b e i h

Ω

n

92

INTERSECCIÓN

En el ejemplo anterior suponga que tomamos el contenido de cada libro como un conjunto. Los contenidos del libro 1 forman el conjunto { }mkifedcbaA ,,,,,,,,= , los contenidos del libro 2 forman el conjunto { }kjihgcbaB ,,,,,,,= y el programa de la cátedra el conjunto universal { }mkjihgnfedcba ,,,,,,,,,,,,=Ω , entonces observe que, los contenidos que coinciden entre los libros son ""y ,"","","","" kicba , este es un nuevo conjunto y se llama conjunto intersección, gráficamente se visualiza de la forma siguiente:

Observe que gráficamente cada conjunto recibe un rayado o marca particular que los diferencia y que la intersección es la zona doblemente rayada o marcada.

La intersección se simboliza por ∩ , en este caso la operación A interceptado con B queda escrita de la siguiente forma:

{ }kicbaBA ,,,,=∩

En general la intersección de conjuntos se define como:

Propiedades de la intersección.

1) Propiedad Conmutativa, es decir: ABBA ∩=∩

En efecto: { }BxAxxBA ∈∧∈=∩ /

{ } ABAxBxx ∩=∈∧∈= /

f k g a j m c d b e i h

Ω

n

Sean A y B subconjuntos del conjunto universal, llamaremos intersección de A con B al conjunto de todos los elementos comunes a ambos

conjuntos, y se específica por comprensión como sigue: { }BxAxxBA ∈∧∈Ω∈∀=∩ /

93

2) Propiedad Asociativa, es decir: ( ) ( )CBACBA ∩∩=∩∩

En efecto: ( ) ( ){ }CxBAxxCBA ∈∧∩∈=∩∩ /

{ }CxBxAxx ∈∧∈∈= y/

( ){ } ( )CBACBxAxx ∩∩=∩∈∧∈= /

Propiedades de la intersección y de la inclusión.

1) Un conjunto esta contenido en otros dos si, y solo si, esta contenido en la intersección de ambos, es decir:

BAXBXyAX ∩⊆⇔⊆⊆

Directo. Comenzaremos por probar que: BAXBXAX ∩⊆⇔⊆⊆ y

En efecto, todo BAxBxAxXx ∩∈⇒∈∈⇒∈ y

Luego: .BAX ∩⊆

Recíproco. Vamos a probar ahora que BXAXBAX ⊆⊆⇒∩⊆ y

En efecto, todo: BxAxBAxXx ∈∈⇒∩∈⇒∈ y

Luego: BXAX ⊆⊆ y

2) Un conjunto está con contenido en otro si, y sólo si, la intersección de ambos es igual al primero de los conjuntos, es decir:

.ABABA =∩⇔⊆ Esta se conoce como Propiedad de Conformidad.

Directo. Comenzaremos por probar que: .ABABA =∩⇔⊆

En efecto, todo: AxBAx ∈⇒∩∈ .

Inversamente, como ,BA⊆ todo BAxAx ∩∈⇒∈

Luego: ABA =∩

Reciproco. Probaremos ahora que: BAABA ⊆⇒=∩

En efecto, como la hipótesis se sigue que ,BAA ∩= todo BAxAx ∩∈⇒∈ .

Ahora bien, si BxBAx ∈⇒∩∈

Luego: BA ⊆

Consecuencias. Puesto que para todo conjunto A se tiene:

Ω⊆⊆⊆ AAAA y,φ

En virtud de la segunda propiedad, se tendrán las siguientes nuevas propiedades conocidas como Ídem potencia

3) φφ =∩ A 4) AAA =∩ 5) AA =Ω∩

94

Dejamos como ejercicio al lector la demostración de la siguiente propiedad:

6) Ω==⇔Ω=∩ BABA

UNIÓN

La unión de conjuntos se simboliza por ∪ se define como:

.

En el ejemplo que tratamos al inicio de esta lectura podemos encontrar que para los conjuntos:

{ }mkifedcbaA ,,,,,,,,= y { }kjihgcbaB ,,,,,,,=

{ }mkjihgfedcbaBA ,,,,,,,,,,,=∪

gráficamente;

Para la unión la solución mostrada en el diagrama de Venn siempre será toda la zona que se encuentre rayada o marcada.

Propiedades de la Unión:

1). Propiedad conmutativa: ABBA ∪=∪

En efecto:

{ }≡∈∨∈≡∪ BxAxxBA /

{ } ABAxBxx ∪≡∈∨∈≡ /

f k g a j m c d b e i h

Ω

n

Sean A y B subconjuntos del conjunto universal, llamaremos unión de A con B al conjunto de los elementos del conjunto universal que pertenecen

por lo menos a uno de los subconjuntos A y B, y se específica por comprensión como sigue: { }BxAxxBA ∈∨∈Ω∈∀=∪ /

95

2). Propiedad asociativa: ( ) ( )CBACBA ∪∪=∪∪

En efecto:

( ) ( ){ }≡∈∨∪∈≡∪∪ CxBAxxCBA /

{ }≡∈∨∈∨∈≡ CxBxAxx /

( ){ } ( )CBACBxAxx ∪∪≡∪∈∨∈≡ /

Propiedades de la Unión y de la Inclusión:

1). Dos conjuntos están incluidos en otro si, y sólo si, la unión de aquellos está contenida en éste:

XBAXBXA ⊆∪⇔⊆⊆ y

Directo. Comenzaremos por probar que:

XBAXBXA ⊆∪⇔⊆⊆ y

En efecto, por estar:

,y XBXA ⊆⊆

Se tiene entonces,

(a) Si XxAx ∈⇒∈ , si Ax ∈ , también BAx ∪∈ ,

por lo tanto para todo XAx ⊆∈ , entonces

XxBAx ∈∪∈ y .

Luego

XBA ⊆∪ .

(b) Si XxBx ∈⇒∈ , si Bx ∈ , también BAx ∪∈ ,

por lo tanto para todo XBx ⊆∈ , entonces

XxBAx ∈∪∈ y .

Luego

XBA ⊆∪ .

La demostración del Reciproco XBXAXBA ⊆⊆⇒⊆∪ y queda a cargo del lector.

2). Un conjunto está con cotenido en otro si, y sólo si, la unión de ambos es igual al segundo de los conjuntos:

BBABA =∪⇔⊆ . Se conoce como la Propiedad de Conformidad

Directo. Comenzaremos por probar que:

BBABA =∪⇔⊆

96

En efecto, todo

BxAxBAx ∈∈⇒∪∈ ó ( por definición)

Pero como ,BA ⊆ para todo Ax ∈ se tiene Bx∈ ,

por lo tanto

BBA ⊆∪ (i)

Por otro lado, para todo

BAxBx ∪∈⇒∈

y, por tanto,

BAB ∪⊆ (ii)

Por lo tanto, por (i) y (ii) que:

BBA =∪

La demostración del reciproco BABBA ⊆⇒=∪ queda a cargo del lector.

Visto las propiedades anteriores se concluye que para todo conjunto A se tiene:

Ω⊆⊆⊆ AyAAA,φ

En virtud de esta propiedad 2 se tendrán las siguientes nuevas propiedades conocidas como Ídem potencia:

3) AA =∪φ

4) AAA =∪ .

5) Ω=Ω∪A

Dejamos a cargo al lector la deducción de la siguiente propiedad

6) φφ ==⇔=∪ BABA

Propiedad de la Intersección y de la Unión:

1). Propiedad Distributiva:

a.- ( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩=∪∩

b.- ( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪=∩∪

2). Propiedad de Absorción:

a.- ( ) ABAA =∪∩

b.- ( ) ABAA =∩∪

Demostrar la propiedad (2.a): ( ) ABAA =∪∩

Directo.

Todo ( )AxBAxAxBAAx ∈⇒∪∈∈⇒∪∩∈ y

97

Se deja al lector la demostración del Recíproco: Si ,BAxAx ∪∈⇒∈

Las relaciones de (1.a) y (2.a) nos permiten probar fácilmente la certeza de la relación (2.b), pues, en efecto:

( ) ( ) ( ) ( ) ABAABAAABAA =∪∩=∪∩∪=∩∪

COMPLEMENTACIÓN

La palabra complementación nos trae la idea de completar algo, es decir, es aquella otra parte que tiene lo que le hace falta a una parte ya dada o existente. Para definir el complemento de un conjunto, es necesario primeramente establecer el conjunto respecto al cual se determinará la operación de complementación, es decir, el conjunto de referencia, el cual es variable.

Una vez más centremos la atención en el ejemplo dado al inicio de la lectura, y observemos las diferentes situaciones para establecer el conjunto de referencia y el complemento:

1- Cuando el conjunto de referencia es el Universo

Siendo el conjunto de referencia { }mkjihgnfedcba ,,,,,,,,,,,,=Ω , suponga que se desea encontrar el complemento de A ( )Ω⊆A :

1. El complemento de A es { }jhgn ,,, (son los elementos que le faltan a A para serΩ )

2. El complemento de BA∪ es { }n

3. El complemento de BA∩ es { }nmjhgfed ,,,,,,,

2-. Cuando el conjunto de referencia es otro conjunto u operación entre dos o más subconjuntos del Universo.

Suponga que se desea encontrar el complemento de A, si los conjuntos de referencia son:

a) { }mkjihgfedcbaBA ,,,,,,,,,,,=∪ , el complemento de A es { }jhg ,,

b) { }kicbaBA ,,,,=∩ , el complemento de A es { }φ

La complementación de un conjunto, supongamos A, se simboliza por AAA c y,' , también se utiliza ( )

ΩAC , está última notación es funcional debido a que indica el conjunto

de referencia y el conjunto al cual se le determinará el complemento, en este caso se lee complemento de A respecto al conjunto universo. Recuerde que no siempre el conjunto de referencia es el conjunto universal.

98

En esta lectura tomaremos la notación ( )ΩAC y para cada uno de los casos señalados

arriba la operación complemento queda simbolizada de la siguiente forma:

Cuando el conjunto de referencia es el Universo

Cuando el conjunto de referencia es otro conjunto u operación entre dos o más

subconjuntos del Universo ( )ΩAC

( )( )AC

BA∪

( )BAC ∪Ω

( )

( )ACBA∩

( )BAC ∩Ω

En general la complementación de conjuntos se define respecto al conjunto universal y lo haremos como sigue:

Es importante notar que la notación 'P utilizada para simbolizar complementación es muy parecida a la notación 'p para simbolizar la negación de una proposición, sin embargo, recuerde que un caso se aplica para conjunto y en otros para proposiciones, tenga cuidado de confundirlas.

Propiedades de la complementación:

1). El conjunto A interceptado con su complemento es el conjunto vacío:

( ) φ=∩Ω

ACA

En efecto, si: ( )( ) ( ),ACxyAxACAxΩΩ

∈∈⇒∩∈

es decir: ,AxyAx ∉∈

lo cual es absurdo. Luego, ningún x pertenece al conjunto ACAΩ

∩ y, por tanto

( ) φ=∩Ω

ACA .

(2). La unión de A con su complemento es el conjunto universal Ω=∪Ω

ACA

La deducción de esta propiedad es bastante similar a la anterior, por lo cual la dejamos a cargo del lector.

Si A es un subconjunto del conjunto universal Ω , llamaremos complemento de A al conjunto formado por los elementos de Ω que no pertenece a A; y se

específica por comprensión como sigue: ( ) { }AxxAC ∉Ω∈∀=

Ω/

99

3). El complemento del conjunto vacío es el conjunto universal :

( ) Ω≡ΩφC

En efecto:

( ) { } Ω=∉∧Ω∈=Ω

φφ xxxC /

4). El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío :

( ) φ=ΩΩC

La deducción de esta propiedad es bastante similar a la anterior, por lo cual la dejamos a cargo del lector

5). El complemento del complemento de un conjunto es el conjunto :

( ) φ=ΩΩ

ACC Esta `propiedad se conoce como involución o doble complementación

En efecto:

( )( ) ( ){ } AACxxxACC =∉∧Ω∈=ΩΩΩ

/

( ) ( )ACBCBAΩΩ

⊆⇔⊆

6). A está incluido en B si y solo si el complemento de B está incluido en el

complemento de A :

( ) ( )ACBCBAΩΩ

⊆⇔⊆

Directo. Comenzaremos por probar que: ( ) ( )ACBCBAΩΩ

⊆⇒⊆

En efecto, todo ( ) ,BxBCx ∉⇒∈Ω

Pero como ,BA ⊆ ( )ACxAxBxΩ

∈⇒∉⇒∉

Luego ( ) ( )ACBCΩΩ

⊆

Se deja la comprobación del recíproco ( ) ( ) BAACBC ⊆⇒⊆ΩΩ

a cargo del lector

100

Leyes de Morgan

7). El complemento de la intersección es la unión de los complementos:

( ) ( ) ( )BCACBACΩΩΩ

∪=∩

( ) =∩Ω

BAC ( ){ }BAxxx ∩∉∧Ω∈/

( ) ( )( ){ }BCxACxxxΩΩ

∈∨∉∧Ω∈= /

( ) ( ){ } ( ) ( )BCACBCACxxxΩΩΩΩ

∪=∪∈∧Ω∈= /

8). El complemento de la unión es la intersección de los complementos

( ) ( ) ( )BCACBACΩΩΩ

∩=∪

La deducción de esta propiedad es bastante similar a la anterior, por lo cual la dejamos a cargo del lector

DIFERENCIA

La diferencia entre conjunto se denota por “A – B” y en el ejemplo inicial de la lectura se puede observar que { }mfedBA ,,,=− , como habrá visto esta operación se refiere al conjunto formado por aquellos elementos que están en A pero no en B, gráficamente representa la zona rayada como se muestra en el siguiente diagrama de Venn.

Si quisiéramos obtener B – A esto serían los elementos de B que no están en A , es decir, { }jhgAB ,,=− , es importante observar en este punto que la diferencia de conjuntos no cumple con la propiedad conmutativa, es decir ABBA −≠− . Gráficamente representa la zona rayada como se muestra en el siguiente diagrama de Venn:

Ω

n f k g a j m c d b e i h

AB

101

En general la diferencia de conjuntos se puede definir como:

Propiedades de la diferencia

1). La diferencia de A – B es igual a la intersección de A con el complemento de B:

( )BCABAΩ

∩=−

En efecto: { }BxAxxBA ∉∧∈=− /

( ){ } ( )ΩΩ

∩=∈∧∈= BCABCxAxx /

La igualdad (1) nos pone de manifiesto la relación de dependencia que existe entre la operación diferencia y las de intersección y complementación (ver la próxima operación), señalándonos de paso la posibilidad de adoptar dicha igualdad (1) como definición de diferencia.

2). La diferencia de A – A es igual al conjunto vacío:

φ=− AA

En efecto: ( ) φ=∩=−Ω

ACAAA

3). La diferencia entre un conjunto dado y el conjunto vacío es igual al conjunto dado:

AA =−φ

Ω

n AB

f k g a j m c d b e i h

Sean A y B subconjuntos del conjunto universal, llamaremos diferencia de A con B al conjunto de todos los elementos que se encuentran en A

(sustraendo) y no en B (minuendo) , y se específica por comprensión como sigue: { }BxAxxBA ∉∧∈Ω∈∀=− /

102

En efecto: ( ) AACAA =Ω∩=∩=−Ωφφ

4). La diferencia entre el conjunto vacío y un conjunto dado es igual al conjunto vacío:

φφ =− A

En efecto: ( ) φφφ =∩=−Ω

ACA (ver propiedad 1)

5). La diferencia entre el conjunto universal y un conjunto dado es igual a complemento del conjunto dado: ( )ACA

Ω=−Ω

En efecto: ( ) ( )ACACAΩΩ

=∩Ω=−Ω

6). La diferencia entre un conjunto dado y el conjunto universal es igual al conjunto vacío:

φ=Ω−A

En efecto: ( ) φφ =∩=Ω∩=Ω−Ω

ACAA

7). El complemento de la diferencia es igual a la unión del complemento de A con B:

( ) ( ) BACBAC ∪=−ΩΩ

En efecto: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) BACBCCACBCACBAC ∪=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛∪=∪=−

ΩΩΩΩΩΩΩ

8). Leyes de Morgan:

(a) ( ) ( ) ( )DABADBA −∩−=∪−

En efecto:

( ) ( ) ( )=∩∩=∪∩=∪−ΩΩΩ

DCBCADBCADBA

( ) ( ){ }DCxBCxAxxΩΩ

∈∧∈∧∈= /

{ }DxBxAxx ∉∧∉∧∈= /

{ }BxAxx ∉∧∈= /

y { } ( ) ( )DABADxAxx −∩−=∉∧∈/

(b) ( ) ( ) ( )DABADBA −∪−=∩−

En efecto:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )DCABCADCBCADBCADBAΩΩΩΩΩ

∩∪∩=∪∩=∩∩=∩−

( ) ( )DABA −∪−=

103

(9) La diferencia de A – B es igual al complemento de B menos el complemento de A:

( ) ( )ACBCBAΩΩ

−=−

En efecto: { }BxAxxBA ∉∧∈=− /

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈∧∉=

ΩΩBCxACxx /

( ) ( ){ } ( ) ( )ACBCACxBCxxΩΩΩΩ

−=∉∧∈= /

(10) ( ) ( )DBADBA ∪−=−−

En efecto: ( ) ( ){ }DxBAxxDBA ∉∧−∈=−− /

{ }=∉∧∉∧∈= DxBxAxx /

( ) ( ) ( )DABADBA ∩∪−=−−

(11) ( ) ( ) ( )DABADBA ∩∪−=−−

En efecto: ( ) ( ) ( )( )=∪∩=−∩=−−ΩΩ

DBCADBCADBA

( )( ) ( ) ( ) ( ).DABADABCA ∩∪−=∩∪∩=Ω

(12) ( ) BABAA ∩=−−

En efecto: ( ) ( ) ( ) ( ) BABAOBAAABAA ∩=∩∪=∩∪−=−−

(13) ( ) ( ) ( )ADBADBA −−∪=−∪

En efecto: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )DCABADCBADBAΩΩ

∪∩∪=∩∪=−∪

( ) ( )( ) ( ) ( )ADCBAADCBA −∩∪=∪∩∪=ΩΩ

( ) ( ).ADBA −−∪=

(14) Propiedad Distributiva: ( ) ( ) ( )DABADBA ∩−∩=−∩

(15) φ=−⇔⊆ BABA

SUMA BOOLEANA O DIFERENCIA SIMETRICA

La Suma Booleana o también llamada diferencia simétrica de dos conjuntos cualesquiera A y B, se simboliza por el signo “+ y Δ ” y la suma booleana de A con B queda escrita de la forma siguiente: A Δ B.

104

En general la suma booleana se define como:

De acuerdo a la definición anterior tenemos la igualdad

( ) ( ) ( ) ( )ABBABABABA −∪−=∩−∪=Δ

Recordando el ejemplo inicial de esta lectura, en el cual

{ }mkifedcbaA ,,,,,,,,= y { }kjihgcbaB ,,,,,,,= , entonces

=Δ BA { }mjhgfed ,,,,,,

Ejemplos:

a) Si A { }5,4,3,2,1= y B { }8,7,6,5,4= ,

( ) ( ) { } { } { }8,7,6,3,2,18,7,63,2,1 =∪=−∪−=Δ ABBABA

b) Si A { }4,3,2,1= y B { }8,7,6= ,

( ) ( ) { } { } { }8,7,6,4,3,2,18,7,64,3,2,1 =∪=−∪−=Δ ABBABA

c) Si A { }6,5,4,3,2,1= y B { }5,4,3= ,

( ) ( ) { } { } { }6,2,1,6,2,1 =∪=−∪−=Δ ABBABA

Propiedades de la Suma Booleana o Diferencia Simétrica:

1). BABABA ∩−∪=Δ

En efecto: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]BAABBAABBABA −−−∪−=−∪−=Δ

( ) ( )[ ]BAABAB −−−−∪=

( ) .BABABABBAB ∩−∪=∩−−−∪=

2). φ=Δ AA

3). AA =Δ φ

4). ACAΩ

=ΩΔ

En efecto: ACAAAAΩ

=−Ω=Ω∩−Ω∪=ΩΔ

5). ( ) ( ) ( ) ( )( )BCACBABACΩΩΩ

∩∪∩=Δ

6). Propiedad Conmutativa: ABBA Δ=Δ

7). Propiedad Asociativa: ( ) ( )CBACBA ΔΔ=ΔΔ

Sean A y B subcojuntos del conjunto universal, llamaremos suma booleana o diferencia simétrica de A con B al conjunto de todos los elementos que se

encuentran en la unión de A con B a excepción de los que están en la intersección de A con B, y se especifica por comprensión como sigue:

( ) ( ){ }BAxBAxxBA ∩∉∧∪∈Ω∈∀=Δ /

105

8). Propiedad Distributiva: ( ) ( ) ( )CABACBA ∩Δ∩=Δ∩

9). ( ) ( ) ( )[ ]CBACDBADBA ∩∩−∪∪=Δ∪Ω

10). ( ) ( )( ) ( )( )DCBDCACBAΩΩ

∩Δ∩=−Δ

11). ( ) ( ) ( ) ( )( )DCBCADBADBAΩΩ

∩∩∪∩∩=Δ−

Ejercicios:

1. Si { }9,8,7,6,5,4,3,2,1,0=Ω , { }9,4,3,2,1,0=A , { }6,5,4,3,2=B y { }9,7,5,4,3=D , se pide: determinar las operaciones siguientes y representar en un día digrama de Venn los conjuntos y dicha operaciones:

(a) ( )DBA Δ∩ (b) ( )DBA −∪ (c) ( ) ( )ACDCDBA

∪∩

2. Utilizando diagramas de Venn verificar la relación:

( ) ( ) ( )DABADBA ∩∪∩=∪∩

3. Utilizando las definiciones y propiedades verifique la igualdad ( ) φ=−∩ ABA

4. Si Ω es el conjunto de los empleados de un ministerio, en el que supondremos no hay viudos-as ni divorciados-as, A, B, D, E y F respectivamente, son los conjuntos de hombres casados, hombres solteros, empleados (hombres o mujeres) con título universitario, mujeres casadas y mujeres solteras. Se pide:

(a) Completa la siguiente representación gráfica de cada uno de estos conjuntos:

(b) Expresar como una operación los siguientes enunciados:

b. 1.- Todos los hombres sin título

b. 2.- Todos los empleados solteros, casadas y casados sin título

b. 3.- El conjunto vacío

(c) Expresar con palabras la operación entre conjunto:

c.1.- A – C c.2.- ( )BA∪ c.3.- BA∩ c.4. ( )BACD

∪ .

Ω

D

Solteros

Hombres

106

LECTURA N° 24: APLICACIONES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

En los siguientes ejercicios se evidencia la utilidad que tienen las operaciones de conjuntos para resolver situaciones de la vida cotidiana, proporcionando a cada individuo que la utiliza el ejercicio mental que se requiere para obtener la habilidad en la resolución de problemas, ejercitando de esta forma la observación, la cual nos permite extraer información necesaria y más aún relacionarlas de forma coherente para llegar a la solución de las situaciones que se plantean como problemas o mas bien como retos.

Problema 1:

A un grupo de estudiantes de la UNEFA, quienes tienen por actividad complementaria visitar diferentes lugares del país, se les pregunta acerca de su gusto para visitar los siguientes parques nacionales: Sierra de San Luís (Edo. Falcón), Sierra Nevada (Edo. Mérida) y Mochima (En Sucre), a cada grupo de respuesta lo identificaremos con una letra al lado, la información obtenida es la siguiente:

a) A 33 estudiantes sólo les gusta El Parque Nacional Sierra de San Luís

i. A 15 estudiantes les gusta los Parques Nacionales Sierra de San Luís y Mochima

b) (b) A 32 estudiantes sólo les gusta El Parque Nacional Sierra Nevada

c) A 14 estudiantes les gusta los Parques Nacionales Sierra Nevada y Mochima

i. A 28 estudiantes sólo les gusta El Parque Nacional Mochima

d) A 5 estudiantes les gusta por igual los Tres

i. A 11 estudiantes les gusta los Parques Nacionales Sierra de San Luís y Sierra Nevada

e) A 7 estudiantes no les gusta ninguno de estos Parques Nacionales

Utilizando esta información sobre las preferencias de los estudiantes por los Parques Nacionales, responde las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el número total de estudiantes encuestados?

b) ¿A cuántos estudiantes le gustaría El Parque Nacional Mochima?

c) ¿A cuántos estudiantes les gustaría dos de estos Parques?

Tomada con fines instruccionales Gómez, T., González, N., Lorenzo, J. (2007). Aplicaciones de las Operaciones entre Conjuntos. Artículo no publicado (p.1-3). Caracas.

107

Respuestas:

A simple vista parece fácil responder a la primera pregunta sumando las ocho cifras dadas para cada grupo de respuesta, pero no es cierto, este procedimiento no basta, pues algunas respuestas están solapadas, obsérvelo en la siguiente figura:

Entonces, consideremos que los 33 estudiantes a quienes les gusta El Parque Sierra de San Luis no deben ser colocados dentro de la región identificada con a, pero si deben ser distribuidos en las regiones a, d, e y g, de tal forma que sea consistente con la información dada. Como en un principio, no sabemos como distribuir a los 33 estudiantes a quienes les gusta El Parque Sierra de San Luís, buscamos la información más fácil de manejar.

Por lo tanto los 11 a quienes les gusta Sierra de San Luís y Sierra Nevada deben ir en las regiones d y g. Como la región g ya contiene 5 estudiantes es fácil conocer que en d hay 6, restando 11 – 5 = 6. Como hay 15 estudiantes a quienes les gusta Sierra de San Luís y Mochima (regiones e y g) y conocemos cuantos hay en g, obtenemos e restando 15- 5 = 10, hay 10 estudiantes en la región g. Mediante razonamientos similares,

h

a

e

g d f

b

c

Ω

Mochima

Sierra Nevada

Sierra de San Luis Los solapamientos (intersecciones)

entre unos gustos y otros están representados por las siguientes letras: d, e, f y g .

7 h

a

e

5 g d f

b

c

Ω

Mochima

Sierra Nevada

Sierra de San Luís

En este caso tomaremos el número más pequeño en la lista “5 estudiantes a quienes les gustan los tres lugares” este grupo de alumnos deben ser colocados en la región g (intersección de los tres conjuntos) y los 7 a los que no les gusta ninguno se ubican en la región h, como muestra el diagrama al lado derecho de este párrafo

108

a cada región se le asignan de forma correcta los números correspondientes, como se muestra en el siguiente diagrama de Venn:

Ahora podemos responder a cada una de las preguntas planteadas originalmente:

a) ¿Cuál es el número total de estudiantes encuestados?

Puesto cada estudiante en la encuesta fue colocado en exactamente en una región de la figura 19, el número total de estudiantes encuestados es la suma de los números en cada región:

a + b + c + d + e + f + g + h = 12 + 11 + 7 + 6 + 10 + 9 + 5 + 7 = 65

Se encuestaron a 65 estudiantes.

b) ¿A cuántos estudiantes le gustaría únicamente El Parque Nacional Mochima?

Un estudiante a quien sólo le gusta Mochima, no le gusta Sierra Nevada ni Sierra de San luís, este tipo de estudiante se encuentra en la región c, donde se observa que sólo a 4 estudiantes les El Parque Nacional Mochima.

c) ¿A cuántos estudiantes les gustaría dos de estos Parques?

A los estudiantes de las regiones d, e y f les gusta exactamente dos parques, si sumamos los números en cada región obtenemos: 10 + 6 + 9 = 25 estudiantes.

Comentario sobre las respuestas: En el problema que se acaba de resolver se observa que para la respuesta de cada una de las preguntas se utilizaron las operaciones entre conjuntos, lo cual muestra la importancia de manejar las definiciones y conceptos de dichas operaciones. Para la primera pregunta se aplicó la unión como una operación de conjunto como sigue { } { } { }Mochima∪∪ Nevada Sierra LuísSan de Sierra . Para la segunda pregunta se evidencia la operación de diferencia de conjuntos quedando de la forma { } { } { }[ ]LuísSan de Nevada SierraSierraMochima ∪− . Y en para la tercera pregunta la operación utilizada fue la intersección y unión de conjuntos, como sigue:

{ } { }[ ] { } { }[ ] { } { }[ ]MochimaSierraSierra ∪∪∩∪∩ LuísSan de MochimaNevada SierraNevada Sierra LuísSan de

7 h

12 a

10 e

5 g 6

d 9 f

12 b

4 c

Ω

Mochima

Sierra Nevada

Sierra de San Luis f (Sierra Nevada y Mochima) = 14 – g = 14 – 5 = 9

a (únicamente Sierra de San Luís)= 33- d – g - e = 12 b (únicamente Sierra Nevada)= 32- d – g - f = 12 c (únicamente Mochima)= 28 - g - e - f= 4

109

Problema 2:

El Coordinador del ciclo básico de ingeniería de la UNEFA aplicó una encuesta en el primer y segundo semestre para conocer el avance de sus alumnos en el área numérica: Fundamentos de Matemática, Razonamiento Lógico y Geometría Analítica. Los resultados fueron los siguientes:

a) 4300 estudiantes sólo han aprobado matemáticas I

b) 2500 matemáticas I y geometría analítica

c) 5800 estudiantes sólo han aprobado Razonamiento lógico

d) 2800 razonamiento y geometría analítica

e) 6500 estudiantes sólo han aprobado Geometría Analítica

f) 2010 alumnos aprobaron las tres

g) 1900 Matemáticas y Razonamiento lógico

h) 956 alumnos no aprobaron ninguna de las materias

Utilizando esta información, responda las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el número total de estudiantes encuestados?

b) ¿Cuántos estudiantes aprobaron Fundamentos de Matemática?

c) ¿Cuántos estudiantes aprobaron dos de estas materias?

d) ¿Qué tipo de decisiones puedes tomar con esta información

LECTURA N° 25: NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

En lecturas anteriores se han resuelto ejercicios del quehacer diario, mostrando la aplicabilidad de las operaciones entre conjuntos, y cuya resolución se realiza por simple inspección de la información dada, por supuesto, con el apoyo de diagramas de Venn y en otros casos con tablas y otros, pero sin disponer de una fórmula que permita, en todo caso, determinar número de elementos de un conjunto o de varios conjuntos y de los conjuntos resultantes de las operaciones establecidas entre los mismos.

La notación para número de elementos de un conjunto es la siguiente: n( conjunto).

Tomada con fines instruccionales Gómez, T., González, N., Lorenzo J. (2007). Número de Elementos de un Conjunto. Artículo no publicado (p.3). Caracas.

110

Por ejemplo: n(B), ( )BAn ∩ , ( )BAn ∪ y se lee número de elementos del conjunto A, número de elementos del conjunto A interceptado con el conjunto B, y número de elementos del conjunto A unido con el conjunto B, respectivamente.

Para determinar el número de elementos de la unión de dos conjuntos se usa la siguiente fórmula:

( ) ( ) ( ) ( )BAnBnAnBAn ∩−+=∪ (I)

Es importante señalar que al calcular el número de elementos de la unión de dos conjuntos A y B, cuando contamos el número de elementos en A, n(A) y el número de elementos en B, n(B), y los sumamos, el número de elementos de la intersección, ( )BAn ∩ , se ha contado dos veces, una vez cuando contamos n(A)y otra vez cuando contamos el n(B), ya que esos elementos pertenecen a ambos conjuntos, por lo que en la fórmula se restan una vez. Con el número de elementos de la unión de A con B, nos estamos refiriendo al número de elementos que están en A o en B

En caso de que los dos conjuntos sean disjuntos la fórmula quedaría:

( ) ( ) ( )BnAnBAn +=∪

Ya que la φ=∩ BA , luego ( ) 0=∩ BAn .

Ejemplo N° 1:

Sea el conjunto universal { }mkjihgnfedcba ,,,,,,,,,,,,=Ω y sean los conjuntos { }mkifedcbaA ,,,,,,,,= , { }kjihgcbaB ,,,,,,,= y { }nC = , entonces observa que:

( ) ( ) =+ BnAn 9 + 8 = 17,

estamos contando dos veces los elementos comunes que son ( )BAn ∩ = 5, luego hay que restarlos para tener el número de elementos real de la unión de A con B. que serían 12.

( ) ( ) ( ) ( )BAnBnAnBAn ∩−+=∪ = 9 + 8 - 5= 12

Vamos a calcular ahora el número de elementos de A unión C,

( ) ( ) ( ) ( )CAnCnAnCAn ∩−+=∪ = 9 + 1 + 0 =10

el ( ) ( ) ( )CnAnCAn +=∪ , debido a que A y C son conjuntos disjuntos

La fórmula dada para dos conjuntos puede ser generalizada para tres conjuntos de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪ (II)

Cuando hablamos de ( )CBAn ∪∪ nos referimos al número de elementos que están en A o en B, o en C.

Procedemos a realizar el cálculo del número de elementos de la unión de tres conjuntos, de manera análoga al realizado para el número de elementos de la unión entre dos conjuntos, a saber: primero contamos los elementos de cada conjunto, y luego los

111

sumamos ( ( ) ( ) ( )CnBnAn ++ ). Restamos a la suma anterior el número de elementos que se han contado dos veces, los cuales son:

( )BAn ∩ , ( )CAn ∩ , y ( )CBn ∩ , es decir

( ) ( ) ( )[ ]CBnCAnBAn ∩+∩+∩− ,

sin embargo debemos incorporar la intersección de los tres conjuntos A, B y B, ya que esos elementos se incorporaron tres veces cuando se realizó la suma de:

( ) ( ) ( )CnBnAn ++

y posteriormente se descontaron tres veces cuando efectuamos

( ) ( ) ( )[ ]CBnCAnBAn ∩+∩+∩− ,

por lo que debemos sumar CBA ∩∩ una vez.

Ejemplo N°2:

Sean los conjuntos:

{ }7,5,1,1,2,3 −−−=A , { }9,7,5,3,2,1,4 −−=B y { }7,3,1,1,3,6 −−−=C .

De manera directa se obtienen los siguientes conjuntos:

{ }7,5,1−=∩ BA , { }7,1,1,3 −−=∩CA , { }7,3,1−=∩CB ,

{ }7,1−=∩∩ CBA y { }9,7,5,3,2,1,1,2,3,4,6 −−−−−=∪∪ CBA

De lo anterior tenemos:

n(A)=6, n(B)=7, n(C)=6, ( ) 3=∩ BAn , ( ) 4=∩CAn , ( ) 3=∩CBn , ( ) 2=∩∩ CBAn , reemplazaremos estos valores en la ecuación II y tenemos:

( ) 112343676 =+−−−++=∪∪ CBAn ,

este valor puede ser comprobado si contamos los elementos de

{ }9,7,5,3,2,1,1,2,3,4,6 −−−−−=∪∪ CBA , que son 11.

Ejercicios:

1. En una encuesta realizada a 2.000 personas para saber sus preferencias por tres teatros de Caracas, se obtuvieron los siguientes resultados:

580 personas asistían al Teatro Nacional

840 personas asistían al Teatro Municipal

920 personas asistían al Teatro Teresa Carreño

260 personas asistían al Teatro Nacional y al Teatro Municipal

220 personas asistían al Teatro Nacional y al Teatro Teresa Carreño

300 personas asistían al Teatro Municipal y al Teatro Teresa Carreño

112

100 personas asistían al Teatro Nacional, Teatro Municipal y al Teatro Teresa Carreño

Se pregunta:

a) ¿Cuántas personas asisten al Teatro Nacional o al Teatro Municipal, o al Teatro Teresa Carreño?

b) ¿Cuántas personas no van a ninguno de los tres teatros?

113

BIBLIOGRAFÍA

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Paniagua, E., Sánchez, J., Thomson, F. (2003). Lógica Proposicional. España.

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Dra. Rosa M. Puerta Castro Coordinadora General del Sistema de Aprendizaje Autogestionado Asistido

Ing. Juana Lorenzo de Centeno Prof. Neida E. González Chaparro Lic. Teresa C. Gómez de Sousa

Prof. Alberto Ochoa Parada Especialistas de Contenido

Prof. Alberto Ochoa Parada Diseñador Instruccional

Lic. Guillermina Indriago Especialista de Redacción y Estilo

Prof. Alberto Ochoa Parada Diseñador y Diagramador