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Control de Equipos. Modelo para la seleccin de los parmetros de la monitorizacin, inspeccin y

mantenimiento de equipos

Jos Antonio Heredia lvaro

Resumen En este tema se desarrolla un modelo estocstico que permite decidir con que frecuencia realizar un mantenimiento preventivo y hasta que punto es rentable un sistema de monitorizacin del estado del equipo. 1. Introduccin Varios eventos, tales como deterioro de los componentes, desgaste de herramientas, roturas, mantenimiento no adecuado, etc, pueden afectar a la fiabilidad del sistema productivo y generar productos con calidad defectuosa. Cuando el sistema de fabricacin no funciona adecuadamente se deben realizar tareas de reparacin o mantenimiento para reinstaurar el funcionamiento adecuado. Sin embargo, si el funcionamiento defectuoso no es detectado o no es atendido, el sistema producir productos de menor calidad o defectuosos hasta que sea reparado. Por este motivo, las tareas de mantenimiento preventivo son esenciales para mantener y mejorar la efectividad del sistema tanto en trminos de cantidad como de calidad. En este tema se considera el problema del mantenimiento adaptativo (preventivo y correctivo) para un sistema productivo considerado como una unidad individual (p.ej. una clula de fabricacin flexible) y caracterizado en sus tiempos de pieza como una cola M/G/1. En este tipo de colas las piezas llegan al sistema siguiendo una distribucin de Poisson y el tiempo de procesado es estocstico con funcin de distribucin conocida. En el modelo se considera que se dispone de un sistema de monitorizacin para detectar prontamente la presencia de un problema en el funcionamiento del

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equipo y se trata de determinar cual es el intervalo ms adecuado desde el punto de vista econmico para realizar un mantenimiento preventivo en cada caso. Cmo consecuencia tambin se dispone de un modelo que permite evaluar la rentabilidad del sistema de monitorizacin e inspeccin del equipo. El modelo que se propone constituye un marco conceptual y analtico para integrar las funciones de monitorizacin y mantenimiento. En los primeros apartados se revisan los conceptos bsicos de las probabilidades asociadas a la distribucin de Poisson. Las probabilidades de llegada y los tiempos entre llegadas. A continuacin se modelan las probabilidades de averas, monitorizacin e inspeccin del equipo. Posteriormente se evalan los tiempos de permanencia de la pieza y los tiempos de ciclo. Finalmente se plantea un modelo de beneficios por unidad de tiempo asumiendo conocidos los costes unitarios de los diversos concepto de costes incluidos en el modelo. 2. Los procesos de llegadas Consideremos un proceso de llegadas de entidades a lo largo del tiempo, t. Definimos P(k,)=Probabilidad (k llegadas en el intervalo de duracin ). Tambin introducimos un parmetro, , llamado tasa de llegada. Supongamos que el proceso cumple las siguientes propiedades: a)Homogeneidad temporal. La probabilidad P(k,) de k llegadas es la misma para todos los intervalos de la misma longitud. b) Sin memoria. El nmero de llegadas durante un intervalo en particular es independiente de la historia de llegadas. c) Probabilidades pequeas. Las probabilidades satisfacen las siguientes aproximaciones cuando ->0: 0, = 1 + () 1 1, = + () , = = 2,3, Nmero de llegadas en un intervalo Se puede demostrar que un proceso que cumple con estas propiedades se distribuye como un proceso de Poisson de parmetro :

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, = !!" ()!! Ntese que un desarrollo en serie de Taylor es consistente con la propiedad c) anterior cuando ->0: 0, = !!" 1 + () 1 1, = !!" ()! + () Para una distribucin de Poisson se tiene que : E[N]= y var(N)=. Donde N representa el nmero de llegadas durante un intervalo de duracin . Unin y separacin de procesos de

Poisson Cuando varias corrientes de llegadas con distribuciones de Poisson se unen en un punto la resultante es una distribucin de Poisson con parmetro igual a la suma de parmetros. Si se separa un proceso de Poisson por una bifurcacin con probabilidad p, la resultante es tambin un proceso de Poisson con parmetro p. 2. Distribucin de los tiempos de llegada Vamos primero a derivar la ley de probabilidad para el tiempo de llegada T de la primera entidad. Tendremos que T>t si y solo si no hay ninguna llegada en el intervalo [0,t]. Por tanto, podemos escribir: ! = = 1 > = 1 0, = 1 !!" Derivando la funcin de distribucin FT de T, obtenemos la funcin de densidad fT(t)=et

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que muestra como el tiempo hasta la primera entidad se distribuye conforme a una exponencial de parmetro , con E[T]=1/ y var[T]=1/2 Tiempo entre llegadas Sea el tiempo en el que llega la entidad k, la variable aleatoria Yk. Otra variable aleatoria relacionada es el tiempo entre llegadas Tk, que se define como T1=Y1 Tk=Yk-Yk-1 k=2,3,

Tk representa el tiempo que transcurre entre la llegada de la entidad k-1 y la entidad k. Ntese que cuando estemos considerando un proceso de fabricacin las llegadas son en realidad salidas del proceso y Tk es el tiempo de procesado de la pieza k. Hemos visto antes que el tiempo hasta la primera entidad es exponencial. El tiempo hasta la siguiente tambin es exponencial y los tiempos entre llegadas tambin son exponenciales. A partir de esta propiedad se puede derivar la ley de probabilidad de Yk. Se cumple que: Yk = T1+ T2+ + Tk Tomado esperanzas se obtiene que: E[Yk] = E[T1] ++ E[Tk]= k/ Var(Yk) = var(T1) ++ var(Tk)= k/2 y la funcin de densidad que se obtiene es la conocida por distribucin de Erlang de orden k: !! = !!!!!!" 1 !

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Para argumentar como se llega a la funcin de densidad de Erlang, consideremos que para un intervalo y, el producto fYk(y)y aproxima la probabilidad de llegada de la entidad k entre los tiempos y e y+y. Cuando y sea muy pequeo la probabilidad de ms de una llegada en el intervalo ser despreciable. De modo que la llegada k-sima se producir en el intervalo [y,y+y] si y solo si ocurren dos eventos: a) evento A: se produce una llegada en el intervalo b) evento B: se han producido exactamente k-1 llegadas antes del tiempo y Las probabilidades de estos eventos son las siguientes: = 1, = !!!!!!!!" 1 ! Como A y B son independientes, tenemos que

!! ! + = () !!!!!!" 1 ! Por tanto, la funcin de distribucin viene dada por: !! = ! = , = 1 ,!!!!!!!!!! = 1 ( )!!!"!!!!!!! Una argumentacin ms rigurosa se puede realizar utilizando la convolucin de las funciones de densidad de los tiempos entre llegadas f(y), ya que mediante la convolucin fn(y) se obtiene la distribucin de la suma n de variables aleatorias independientes. El clculo de la funcin de Erlang resulta un poco tediosa. Sin embargo, para k grandes se cumplir el teorema central del limite y podremos tomar la distribucin de Yk como una normal de media k/ y varianza k/2.

3. Modelado de la llegada de averas Estamos interesados en conocer la probabilidad de que la llegada de un determinado proceso de llegadas con una distribucin de Poisson con tasa s, coincida con el tiempo entre llegadas Tk de otro proceso con tasa . Sea el primero el nmero de averas por unidad de tiempo que se producen en una mquina:

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= !!" Y sea el segundo proceso el nmero de piezas que se producen = !!" Consideramos que el tiempo entre avera solo incluye el tiempo de uso de la mquina, no los tiempos de paro ni espera. Para que coincida la llegada de la avera con el intervalo durante el que se est fabricando el producto k, tienen que darse simultneamente los tres siguientes eventos: a) evento A: que se produzca la avera en el intervalo Tk b) evento B: que se produzcan k-1 piezas antes de la llegada de la avera c) evento C: que se est fabricando una pieza cuando llegue la avera Para acortar la notacin, llamemos x=Yk-1 e y=Tk. La figura ilustra la situacin.

La probabilidad de que se d una avera en el intervalo Tk, es: = + = + = !!! !!(!!!) La probabilidad de que hayan llegado k-1 piezas antes del tiempo x (incluyendo solo el tiempo de uso (1/): = 1, = !!!!!!!!! 1 ! = !!!() Obsrvese que corresponde a la suma de los k-1 tiempos entre llegadas. Y finalmente, P(C )= h(y)=e-y Por tanto, la probabilidad Ak de que se produzca una avera mientras la mquina est fabricando la pieza k-sima desde el inicio del proceso es:

! = = + !!! !!!!

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Substituyendo las distribuciones de Poisson e integrando se obtiene la siguiente expresin: ! !!!( + )!

4. Monitorizacin del equipo Consideremos que la deteccin de la avera depende de la tecnologa de monitorizacin en lnea que se utilice. Por ejemplo, sistemas de visin artificial o analizador de vibraciones. Supongamos que la causa que provoca la avera aparece mientras se est fabricando la pieza j-sima desde la ltima operacin de mantenimiento, y que la probabilidad de detectarla cuando se est procesando la pieza k-sima (k>=j) es jk. Cuando se detecte el cambio provocado en el estado de la mquina se realizar un mantenimiento correctivo. Si es la probabilidad de detectar un cambio, se tendr que jk = (1-)k-1 para k j. La probabilidad de detectar el cambio cuando se est procesando la pieza k-sima Bk, es simplemente la probabilidad de que se produzca el cambio durante la fabricacin de la pieza j, j

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mantenimiento correctivo debido a la deteccin de una avera. Cuando se efecta la inspeccin (la suponemos 100% fiable) para examinar el estado en que se encuentra la mquina puede ocurrir que se encuentre la presencia de una avera que no fue detectada por el sistema de monitorizacin, en cuyo caso se aplicar un mantenimiento correctivo. Tambin puede ocurrir que el estado de la mquina contine bajo control y se aplique un mantenimiento preventivo. En ambos casos se supone que el estado de la mquina vuelve a situacin original. Para el modelo que estamos desarrollando, nos interesa determinar la probabilidad de que no se produzca un cambio durante el procesado de las n piezas, !. Para ello se tiene que dar dos eventos: que no se produzca la avera hasta el tiempo x de produccin, y que se fabriquen n piezas hasta el tiempo x de produccin. Por tanto, ! = 1 ! !! Para el caso de distribuciones de Poisson, esta integral da como resultado:

! = + ! Independientemente de si se produce el cambio o no, la inspeccin se realizar al terminar de fabricar las n piezas si no se ha detectado antes la posible avera. Siendo Bk la probabilidad de no detectar el cambio durante el procesado de una pieza k, la probabilidad de realizar una inspeccin se puede estimar como: ! = 1 !!!!! Considerando las distribuciones de Poisson, se obtiene:

! = (1 )!!! ( + )! Combinando estas dos ltimas probabilidades podemos determinar la probabilidad de que al realizar la inspeccin la mquina se encuentre bajo control, !:

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! = !! Es decir, de todas las veces que se realiza una inspeccin, solo cuando no ha se ha producido un cambio durante las n piezas se encontrar la mquina bajo control. La probabilidad de se encuentre fuera de control al realizar la inspeccin ser pues On=1-!. 6. Ciclo de Mantenimiento Sea T el tiempo entre dos operaciones sucesivas de mantenimiento. Este tiempo incluye el tiempo de produccin, el de mantenimiento y el de inspeccin si se realiza. Su valor estimado se puede obtener mediante la siguiente expresin:

, = !(!!!! + !)+ ! ! + ! + ! + ![ + ! + !] Si se detecta un cambio cuando se est procesando la pieza k, con probabilidad Bk, entonces el tiempo que ha pasado desde la ltima operacin de mantenimiento es 1/ por cada pieza k -asumiendo que

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! = 1 + !! + !! + ! ! + ! !

figura. Clculo del tiempo efectivo en el modelo de simulacin Tambin podemos calcular el nmero de piezas, N, que se producirn en un ciclo,

= !!!!! + ! como suma del nmero promedio de piezas fabricadas cuando se detecte una avera con la monitorizacin ms el nmero promedio de piezas fabricadas cuando no se detecte, y por tanto hay que inspeccionar. Anlogamente, el nmero de piezas fabricadas durante el periodo bajo control ser el promedio de piezas fabricadas hasta la aparicin de la avera, mas el promedio de piezas fabricadas en los ciclos en los que no se detecta la averia: ! = ( 1)!!!!! + ! y por tanto las fabricadas fuera de control son: No=N-Ni.

8. Costes de Mantenimiento Con los resultados anteriores podemos derivar el margen, M, promedio por unidad de tiempo que puede ser utilizado como criterio para disear una poltica de mantenimiento optima. Llamemos: R(t): al ingreso obtenido en el intervalo (0,t)

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CI(t): al coste de inspeccin CM(t): al coste de mantenimiento ri(ro): ingresos cuando el proceso esta bajo control (fuera de control) cp (cr): el coste de una operacin de mantenimiento cL: coste debido a la espera por pieza y por unidad de tiempo ci: coste de una inspeccin Con esta notacin , el valor esperado del margen ser : = ! ! ! con R(T)=ri Ni + ro No CI(T)=ci In CM=cp !+ cr (1-!) CW(T)=cL L N

9. Ejercicios

Procesos de llegada 1. A un sistema de produccin llegan pedidos a una tasa de 0,2 pedidos por hora. Cul es la probabilidad de que en una hora lleguen 0 pedidos, y 1 pedido? Cul es la probabilidad de que no llegue ningn pedido en 24 horas? 2. El programa de produccin ha colocado una orden de fabricacin de otras 56 rdenes. Las rdenes se procesan de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa 2 por minuto. Cul es el tiempo esperado hasta que comience a ser procesada? Cul es la probabilidad de que espere ms de 30 minutos? 3. Durante la primera hora de la fabricacin de una serie se producen defectos a una tasa de 5 defectos por hora. En la segunda y tercera hora se producen a una tasa de 3 defectos por hora. Cul es la distribucin de probabilidad del total de defectos en las tres horas? 4. En un proceso de fabricacin se producen piezas con una tasa por hora segn una distribucin de Poisson. La probabilidad de que un producto sea defectuoso es p. Encontrar la distribucin del tiempo hasta la primera pieza defectuosa

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Encontrar la probabilidad de que no se fabrique ningn producto defectuoso durante una hora . Encontrar el nmero esperado de defectuosos en una hora. 5. Un sistema de produccin fabrica n diferentes tipos de piezas. Se reciben pedidos de clientes en un periodo de tiempo dado conforme a una Poisson de parmetro . Cada pedido es de un solo producto, y puede ser de cualquier tipo de pieza. Encontrar el nmero de piezas distintas pedidas en ese periodo de tiempo. Aplicacin para =5 y n=10. 6. Consideremos un proceso de fabricacin con un tiempo de procesado exponencial con una tasa =0.5 piezas/minuto. Cundo estar terminado un lote de 10 piezas? Cul es la probabilidad de que la tercera pieza este terminado antes de 5 minutos? Control de Equipos

7. Sea un proceso de produccin que fabrica lotes de 10 piezas con tasa =0,5 piezas/minuto, en el que se producen fallos en el funcionamiento con una tasa s=0,1 incidencias/minuto. a) Probabilidad de que se produzca un fallo en el intervalo [8,10] b) Probabilidad de que se hallan fabricado 4 piezas antes de 8 minutos c) Probabilidad de que se fabrique una pieza en un intervalo de duracin 2 minutos. d) Probabilidad de que se produzca un fallo mientras se est fabricando la quinta pieza del lote e) Probabilidad de que no se produzca ningn fallo durante la fabricacin de un lote 8. Para el caso anterior, supngase que se utiliza un sistema de monitorizacin que detecta la presencia de un fallo en el funcionamiento de la mquina con una probabilidad del 50%. Si al terminar de fabricar un lote no se ha detectado ningn fallo se inspecciona la mquina. a) Durante la fabricacin de que pieza es ms probable detectar el fallo? b) Probabilidad de realizar una inspeccin.

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c) Probabilidad de que al realizar una inspeccin se encuentre que la mquina no tiene ningn fallo 9. Para el caso anterior, cuando se detecta un fallo se realiza un mantenimiento correctivo que dura 10 minutos y cuando se inspecciona (dura un minuto la inspeccin) y se encuentra que no hay fallo se realiza un mantenimiento preventivo que dura 2 minutos. La utilizacin de la mquina es del 80%. a) Cul es el tiempo promedio que transcurre entre dos mantenimientos sucesivos? b) cuantas piezas se fabrican entre dos mantenimientos sucesivos

10. Para el caso de control de equipos (analizado con el modelo de simulacin) con los siguientes parmetros: s=0,03 =0,25 Ti=1 Tr=6 Tp=2 ri=300 r0=-100 cp=200 ce=1000 cL=0,01 ci=50 Hallar la curva de beneficios por pieza en funcin del nmero de piezas entre mantenimientos

preventivos para responder a las siguientes preguntas

1. Cul es el mayor beneficio para el caso en que no exista monitorizacin?

2. Cul es el mayor beneficio para una probabilidad de detectar la avera de =0,2?

3. Cul es el mayor beneficio para el caso en que la fiabilidad de la monitorizacin sea

del 100%?

4. Se obtienen beneficios para una tasa de averas del 0,1?

c) Como conclusin de los anlisis precedentes, contesta a las siguientes cuestiones:

1. Si no se dispusiera de sistema de monitorizacin cuanto sera el coste por pieza

mximo admisible para adquirir uno con una tasa de deteccin del 0,2 y del 100%?

2. se pueden obtener beneficios con una tasa de averas elevada?