Semana 02-Investigaciòn Operativa

7/26/2019 Semana 02-Investigacin Operativa

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Segundo Agustn Garca Flores

INVESTIGACIN OPERATIVA

Mdulo: I Unidad:

II Semana:

02


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TTULO DEL TEMA

Formulacin del modelo

matemtico


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ORIENTACIONES

Lea las previamente las orientaciones generalesdel curso.

Revise los temas afines a este en la BibliotecaVirtual de la UAP.

Participe de los foros.


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CONTENIDOS TEMTICOS

La investigacin de operaciones

El modelamientoEl modelo matemtico

Estructura de un modelo de PL

Etapas del modelamiento


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DESARROLLO DE CONTENIDOS - SUBTTULOSDEL TEMA


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Conjunto de tcnicas matemticas y

estadsticas aplicable a diversos sistemas con

el fin de mejorarlos, buscando las mejores

alternativas de accin; esto mediante el

modelamiento matemtico de los problemas

en estudio.

Investigacin de operaciones


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El modelo es una representacin o abstraccinde una situacin u objeto reales, que muestralas relaciones (directas e indirectas) y las

interrelaciones de la accin y la reaccin entrminos de causa y efecto.

Definicin de modelo


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Mundo real

Mundo real supuesto Modelo Matemtico

El xito de un buen resultado

luego del anlisis del problema es

efectuar el modelo del sistema

real, al cual se esta representando

para efectuar el planteamientodel problema que aqueja al

sistema.

El formular un modelo

adecuado que represente al

sistema de manera objetiva,

har que minimice la brecha

entre el mundo real y elsupuesto, asegurando unos

resultados confiables.

Importancia del modelamiento


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Clasificacin de los modelos

Representan la realidad en forma abstractade muy diversas maneras.

Utilizados para representar sistemas cuyoestado es invariable a travs del tiempo.

Utilizados para representar sistemas cuyoestado vara con el tiempo.Dinmicos

Estticos

Matemticos


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La realidad se representa por frmulasmatemticas. Estudiar el sistema consiste en

operar con esas frmulas matemticas.

Se tiene el comportamiento numrico de lasvariables intervinientes. No se obtiene ninguna

solucin analtica.

La realidad es representada por algo tangible,construido en escala o que por lo menos secomporta en forma anloga a esa realidad

(maquetas, prototipos, etc.).

Fsicos

Numricos

Analticos


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Son modelos cuya solucin para determinadas

condiciones es nica y siempre la misma.

Representan sistemas cuyos cambios de estado

son de a saltos. Las variables varan en forma

discontinua.

Representan sistemas cuyos cambios de estado

son graduales. Las variables intervinientes son

continuas.Continuos

Discretos

Determinsticos


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Representan sistemas donde los hechos suceden al

azar, lo cual no es repetitivo. No se puede asegurar

cules acciones ocurren en un determinado instante. Se

conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribucinprobabilstica.

Estocsticos

Ejemplo, llega una persona cada 20 10 segundos, con una distribucin

equiprobable dentro del intervalo.


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Un modelo matemtico es una construccin

matemtica abstracta y simplificada relacionada

con una parte de la realidad y creada para un

propsito particular. As, por ejemplo, un grfico,

una funcin o una ecuacin pueden ser modelos

matemticos de una situacin especfica.

modelo matemtico


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El modelado

Ciencia Arte

anlisis de relaciones

aplicacin de algoritmos desolucin

visin de la realidad

estilo, elegancia, simplicidad

uso creativo de las herramientas

experiencia

Es


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El modelaje es

" el arte de aplicar las matemticas

a la vida real" .

Mogen Niss, [email protected]

Acerca del modelamiento
mailto:[email protected]:[email protected]


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La Modelacin Matemtica es un proceso de

elegir caractersticas que describen

adecuadamente un problema de origen no

matemtico, para llegar a colocarlo en unlenguaje matemtico. La Modelacin es un

proceso iterativo en que una etapa de

validacin frecuentemente lleva a

diferencias entre las predicciones basadas

en el modelo y la realidad.

Tim OShea, John Berry, 1982.



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El proceso de modelado es creativo: cuando se trata con problemas

administrativos reales, es comn que no haya un modelo correcto sino

varias formas alternativas para realizarlos. El proceso de modelado es un

proceso evolutivo que comienza con un simple modelo verbal para

definir la esencia del problema y gradualmente evoluciona hacia los

modelos matemticos cada vez mas completos (quiz en un formato de

hoja de calculo) Hillier et al. 2001,p7.



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Maximizar o minimizar la funcin

objetivo

Restriccin 1

Sujeto a :

Restriccin 2

Restriccin N

.

.

.

Representa lanecesidad

Define las reglas de

juego o las reglas delnegocio.

Define laslimitaciones onormas que debenrespetarse para elanlisis.

Representacin del problema que

se presenta en un sistema real.

Un enfoquede la

realidad

MODELO MATEMTICO EN IO


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Z = C1X1+ C2X2+ ... + CnXnsujeto a (Restricciones (m)):

A11X1+ A12X2+ .... + A1nXn B1..................................................................

Am1X1+ Am2X2+ ..... + AmnXn BmX1; X2; ....;Xn 0

Z: es un objetivo econmico (beneficios, costos, etc.)

Ci: coeficientes constantes (factores de ponderacin)Xi: variables de decisin (n)

Bi: cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para

i = 1,2,...,m)

Aij: cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j

MODELO GENERAL DE PL


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1. Funcin objetivo.Consiste en optimizar el objetivo que persigueuna situacin la cual es una funcin lineal de las diferentesactividades del problema, la funcin objetivo se maximizar ominimiza.

2. Variables de decisin. Son las incgnitas del problema. Ladefinicin de las variables es el punto clave y bsicamente consisteen los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a caboen el problema a formular.

ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PL

3. Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debecumplir cualquier solucin para que pueda llevarse a cabo, dichas

restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima,calidad, balance de materiales, etc.

4. Condicin tcnica. Todas las variables deben tomar valorespositivos, o en algunos casos puede ser que algunas variablestomen valores negativos.


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FuncinObjetivo

Restricciones

4 6Z x y

2 4 24

4 2 24

0

0

x y

x y

x

y

Es la funcin deutilidades que debo

maximizar

Limitacioneshorarias de lasmquinas A y B

Condiciones de nonegatividad

EJEMPLO DE UN MODELO DE PL

Regin desoluciones factibles


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1. FORMULACION DEL PROBLEMA

2. IDENTIFICACIN DE VARIABLES

3. DETERMINACION DE LA FUNCION OBJETIVO

4. IDENTIFICACION DE RESTRICCIONES

ETAPAS DEL MODELAMIENTO


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Dos empresas Mineras extraen dos tipos diferentes de minerales, los

cuales son sometidos a un proceso de trituracin, con tres grados: alto ,

medio y bajo. Las compaas han firmado un contrato para proveer de

mineral a una planta de fundicin, cada semana, 12 toneladas de mineralde grado alto, 8 toneladas de grado medio y 24 toneladas de grado bajo.

Cada una de las empresas tiene diferentes procesos de fabricacin.

Mina Coste por da Produccin(toneladas/da)(Miles de euros) Alto Medio Bajo

A 180 6 3 4B 160 1 1 6

Cuntos das a la semana debera operar cada empresa para cumplir el

contrato con la planta de fundicin?

ETAPAS DEL MODELAMIENTO: ejemplo 1

I.- Formulacin del Problema


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Formulacin matemtica

x = N de das a la semana que la

Minera A produce.

y = N de das a la semana que la

Minera B produce.

Notar que x 0 e y 0

Como objetivo buscamos minimizar el

costo

II.- Identificacin de Variables

III.- Determinacin de la Funcin Objetivo

Minimizar C =180x + 160y


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Formulacin matemtica

Restriccin 1. refleja el balance entre las limitacionesproductivas de la fbrica y el contrato con la planta de fundicin.

GradoAlto 6x + 1y 12 (tn/dia)

Medio 3x + 1y 8 (tn/dia)

Bajo 4x + 6y24 (tn/dia)

Restriccin 2. das de trabajo disponibles a la semana

0 x 5 y 0 y 5

IV.- Determinacin de restricciones


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La representacin completa del problema tomara lasiguiente forma:

Minimizar C =180x + 160y

Sujeta a:6x + 1y 12

3x + 1y 8

4x + 6y 24x 5, y 5

x 0, y 0

Modelo matemtico


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Ejemplo 2:

Una mueblera produce dos tipos de productos, sillas y mesas.Supngase que el beneficio marginal por cada silla es de $8 y

por cada mesa es de $10. Para la produccin se dispone de 60

horas hombre (hh) y de 20 unidades de madera (um).

Para la construccin de una

silla se requieren 8 hh y 2 um,

y para la construccin de una

mesa se requieren 6 hh y 4

um. Cuntas sillas y mesas sedeben construir para obtener

el mayor beneficio?


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Recursos Sil las MesasDisponibilidad

de recursos

R1: horas

hombre 8 6 60

R2: unidades de

madera2 4 20

Beneficios $8 $10

Solucin:


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Formulacin del modelo de PL

Sean X1 : N de sillas a producir

X2 : N de mesas a producir

Funcin Objetivo:

Max Z = 8X1+ 10X2

Sujeto a:

8X1+ 6X2 60 (horas hombre)2X1+ 4X2 20 (unidades de madera)X1 0 yX2 0 (no negatividad)


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Ejemplo 3:

Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tresmquinas. El tiempo por mquina asignado a los dos productos

est limitado a 10 horas por da. El tiempo de produccin y la

ganancia por unidad de cada producto son:

Producto Mquina 1 Mquina 2 Mquina 3 Ganancia $

1 10 6 8 2

2 5 20 15 3

Minutos por unidad

Obtenga el modelo de PL paramaximizar la ganancia


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Solucin:

1.Variables de decisinX1 : Cantidad del producto 1

X2 : Cantidad del producto 2

2. Funcin Objetivo: Maximizar gananciaM A X Z = 2 X1 + 3 X2

3. Restricciones

10 X1+ 5 X2 6006 X1+ 20 X2 600

8 X1+ 15 X2 600

X1

, X2 0

24 X1+ 40 X2 1800

X1, X2 0


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RMC posee una pequea fbrica de

pinturas para interiores y exteriores decasa para su distribucin al mayoreo. Se

utilizan dos materiales bsicos, A y B. La

disponibilidad mxima de A es de 6

toneladas diarias, la de B es de 8toneladas por da. La necesidad diaria de

materia prima por tonelada de pintura

para interiores y exteriores se resumen

en la siguiente tabla:

Tonelada de materia prima

por tonelada de pintura Disponibilidad

Exterior Interior mxima (Toneladas)

Materia prima A 1 2 6

Materia prima B 2 1 8

Ejemplo 4:


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Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria

de pintura para interiores no puede ser mayor que las pinturas

para exteriores en ms de una tonelada. Asimismo, el estudio

seala que la demanda mxima de pintura para interiores est

limitada a dos toneladas diarias. El precio al mayoreo es de

$3.000 para la pintura de exteriores y $2.000 para la deinteriores.

Cunta pintura para exteriores e interiores debe producir la

fbrica de pinturas RMC todos los das para maximizar el

ingreso bruto?

.Ejemplo 4:


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Solucin:

1.Variables de decisin

X1:Toneladas de pintura de exteriores producidas por da

X2:Toneladas de pintura para interiores producidas por da

2. Funcin Objetivo: Maximizar ingreso

MAX Z = 3 X1+ 2 X2(miles de unidades monetarias)

3. Restricciones X1 + 2 X2 6

2 X1 + X2 8

- X1 + X2 1

X2 2

X1, X2 0


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Un Confeccionista hace un pedido a la empresa textil

Textiles T y C 700 rollos de tela Polyalgodon, de 42

centmetros de ancho, 480 rollos de 50 centmetros de

ancho y 1200 rollos de 70 centmetros de ancho. SiTextilesT yCslo tiene rollos de tela de 1.45 metros de ancho.

Expresar en un modelo de programacin lineal para indicar

de cmo debe cortarse la tela para cubrir el pedido con el

mnimo desperdicio posible, sabiendo que el mximo

desperdicio de tela que se puede aceptar es de 25

centmetros (las telas deben ser cortadas en 5 tipos).

I.- Formulacin del Problema

ETAPAS DEL MODELAMIENTO: ejemplo


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La empresa Textiles T y C establece la siguiente tabla deconsumo en centmetros de cada tipo de corte para facilitar la

solucin:



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II.- Identificacin de VariablesEl primer paso a seguir en el desarrollo de problemas de

Programacin Lineal (PL) es identificar las variables existentes en el

enunciado.

En este caso,X1: Cantidad de rollo del corte de tipo 1.

X2: Cantidad de rollo del corte de tipo 2.


X4:Cantidad de rollo del corte de tipo 4.




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III.- Determinacin de la Funcin Objetivo

Por lo comn la funcin objetivo (FO) en la PL busca

maximizar o minimizar: costos, utilidades, cantidad de

produccin, ventas, unidades, etc.

Para el caso se buscaMinimizarel desperdicio de corte

de tela en funcin de los tipos de corte en metros de la

tela de 1.35 metros.

Min C = 19X1 + 25X2 + 11X3 + 3X4 + 5X5

ETAPAS DEL MODELAMIENTO


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IV.- Identificacin de RestriccionesComo tercer paso debemos detallar o especificar las restricciones al

cual esta inmerso el problema o enunciado, de acuerdo a los datos o

condiciones que muestra en problema.

En este caso,

Restriccin de pedidos de rollos de tela de 42 centmetros:

3X1+2X3+X4 700Restriccin de pedidos de rollos de tela de 50 centmetros:

X2 +X3+2X4 480Restriccin de pedidos de rollos de tela de 70 centmetros:

X2 +2X5 1,200Condiciones de no negatividad:

X1 0; X2 0; X3 0; X4 0; X5 0



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Finalmente se realiza el modelo matemtico del problema, y si esta bien

planteado nos facilita para determinar la solucin optima por los diferentes

mtodos: Mtodo grfico, Mtodo Simplex, etc.

Min C = 19X1 + 25X2 +11X3 + 3X4 +5X5

S. a.

3X1+ 2X3 + X4 < 700

X2 +X3 + 2X4 < 480

X2 + 2X5 < 1,200

X1>0; X2 >0; X3 >0; X4 >0; X5 >0

Modelo Matemtico Final



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Hemos pasado de la definicin del problema a su formulacin

matemtica.

Error de especificacin, el error ms frecuente consiste en descuidar

las limitaciones (restricciones, caractersticas de las variables, etc,)

En el ejemplo anterior:

a) Todas las variables son continuas (admitimos fracciones de da)

b) Existe un nico objetivo (minimizar los costes)

c) El objetivo y las restricciones son lineales

Las tres consideraciones anteriores nos llevan a lo que

denominamos un problema de Programacin Lineal PL

Algunas reflexiones


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Ejercicios anteriores plantean un PROBLEMA DE DECISIN.Hemos tomado una situacin real y hemos construido suequivalente matemtico MODELO MATEMTICO.

Durante la formulacin del modelo matemtico nosotrosconsideramos el mtodo cuantitativo que (esperanzadamente) nospermitir resolver el modelo numricamente ALGORITMO.

El algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo demanera gradual producen una solucin numrica.

Llegamos a una nueva definicin de I.O.

Ciencia para la representacin de problemas realesmediante modelos matemticos que junto con mtodoscuantitativos nos permiten obtener una solucin numricaa los mismos.

Algunas reflexiones


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Identificacin del problema (debemos ignorar partes otratar el problema entero)

Eleccin del modelo matemtico adecuado as como el

algoritmo adecuado para resolverlo (validacin delalgoritmo)

Dificultades en la implementacin

Velocidad (costes) que supone llegar a una solucin

Calidad de la solucin

Consistencia de la solucin

Dificultades


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CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DEINVESTIGACIN SUGERIDAS

Se ha logrado comprender que la idealizacin de unsistema ayuda a plantear problemas reales a travsde un modelo matemtico.

Introduccin a Investigacin de operaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones
http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones


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GRACIAS

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