UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL CONO SUR

UNTECSCARRERA PROFESIONAL: ING.MECANICA Y

ELECTRICA CURSO: ESTATICA Y DINAMICA

CICLO:IVSEMANA : 1 SESION 1

TEMA: ANALISIS VECTORIAL

Profesor: Ing. Jorge Cumpa Morales CICLO: 2012-I I

MAGNITUDES FÍSICASMAGNITUDES FÍSICAS..

• Magnitudes fMagnitudes fíísicas escalares ysicas escalares y

vectoriales. Algebra vectorial.vectoriales. Algebra vectorial.

•EjemplosEjemplos

Magnitudes Magnitudes físicasfísicas

por su naturaleza

Escalares

Vectoriales

Magnitudes Magnitudes físicasfísicas

Escalares

Vectoriales

Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad

Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección

y su sentido

Magnitudes Magnitudes físicasfísicas

Masa, densidad, temperatura, energía,

trabajo, etc

Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, torque, etc.

Escalares

Vectoriales

Relacion entre (x,y) y (r,θ)

y (m)

x (m)O

origenabcisa

ordenada

(x,y)

θ

r

θcosrx =θrseny =

θtan=xy22 yxr +=

VectoresVectores

Notación A

Módulo A > 0

A

Dirección ϕθ,

x

y

z

θ

ϕAp

ϕx

y

Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores

• Dados A y B, si A = B entonces A = B

• Todo vector se puede desplazar paralelamente a

si mismo

A

B

C

CBA

==

Suma de Suma de VectoresVectores

BA

R

BA C

C

Ley del polígono

El vector resultante es aquel vector que va desde el origen del primer vector hasta el extremo del ultimo

vector

A

B

C

D

Entonces si se tiene los siguientes vectores

El vector resultante de la suma de todos ellos será:

A B

C

D

DCBAR

+++=

R

Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores

A

Opuesto-A

Nulo 0 = A + ( )-A

Vector unitario

A

A

=μ

µµ= ˆAA

Propiedades Propiedades de la suma de de la suma de

VectoresVectores

Ley Conmutativa

ABBAR +=+=

Ley Asociativa

C)BA)CBAR

++=++= ((

Diferencia

B-AR

=

)B(-AR

+=A

B A

-BR

Ley conmutativa

¿Como se explica esta regla?

Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para

encontrar el vector suma

B

R = A+B

A

B R = B+A

(Método paralelogramo)

B R = A+B

Multiplicación de un vector por un escalar

Dado dos vectores ByA

Se dicen que son paralelos si BA

α=

BAsi

↑↑> 0αBAsi

↑↓< 0αBAsi

==1α

A

B

AB

21=

A

B

AB

41−=

Ejemplo :

Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores

A B

C

A B

CR = 2

Vectores unitarios en el plano

ijx

y

i Vector unitario en la dirección del eje x+

j Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio

xy

z

ij

k

Representación Representación de un vectorde un vector

x

y

z

θ

ϕ

A

Ax

Ay

Az

θsenAAx ϕcos=θsenAsenAy ϕ=

θcosAAz =222zyx AAAAA ++==

kAjAiAA zyx

++=

Observaciones:

Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido.

La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado

Determínese la resultante de los siguientes vectores

+A4u 3u

B

BAR

+=7u

+

A

B

8u 4u =

BAR

+=

4u

Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud

¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?

4u

3uA

B

La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla

BAR

+=

A

B

yA

xA

xB

yB

4u

3u

5u

6u

8u

10u

yA

xA

xB

yB

4u

3u

6u8u

yx AAA

+=

yx BBB

+=

yy BA

+xx BA

+10u

5u

yyxx BABAR

+++=

uR 55510 22 =+=

yA

xA

xB

yB

xCyC

xD

yD

yyyyy DCBAR

+++=

xxxxx DCBAR

+++=

xR

yR

15 u5 u

yx RRR

+=105R =

xy

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por

xy

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

k)z(zj)y(yi)x(xA 121212ˆˆˆ −+−+−=

Producto Producto escalar de dos escalar de dos

vectoresvectoresθABBA cos=⋅

cosθAAB =Proyección de A sobre B

cosθBBA =

Proyección de B sobre A

1ˆˆ =⋅ ii1ˆˆ =⋅ jj

0ˆˆ =⋅ ji

0ˆˆ =⋅kj0ˆˆ =⋅ki

xAiA =⋅ ˆ

1ˆˆ =⋅kk

yAjA =⋅ ˆ

zAkA =⋅ ˆ

ZZYYXX BABABABA ++=⋅

Producto Producto vectorial de dos vectorial de dos

vectoresvectores BAC

×=θABC sen=

0ii

=× 0ˆˆ

=× jj

0ˆˆ

=×kk

kji ˆˆˆ =× ikj ˆˆˆ =×

jik ˆˆˆ =×

)kBjBiB()kAjAiA(BAC zyxzyx ++×++=×=

YZZYX BABAC −=

zxxzy BABAC −=

xyyxz BABAC −=

Demostrar:

Determinese la suma de los siguientes vectores:Ejemplo 1:

k5j8i3A ˆˆˆ ++=

kji-5B ˆ3ˆ2ˆ −+=

kji4C ˆ2ˆ7ˆ −−=

Ejemplo 2:

8m

10m

5m

A

B

C

Determine la suma de los vectores indicados

x

y

z

Ejemplo 3

Dados los vectores:

k3j5i4B

k5j3i3A

−+=−+=

Determine :

a) El producto escalar entre ellos.

b)el producto vectorial entre ambos

e) el ángulo que forman entre sí.