Dinamica semana 4 - 5

C. Briceño | [email protected]

DINÁMICA

Facultad de Ingeniería Civil

ICV5101

Profesora: Mag. Ing. Carolina Paola Briceño Meléndez

[email protected]

Semestre:

2016-2

Basado en el libro de Ferdinand P., Beer

E. y Russell Johnston, Jr.


La aceleración puede descomponerse en sus componentes

tangencial y normal.

Radio de curvatura

C: Centro de curvatura

et

Vector tangencial unitario.

en

Vector normal unitario.

dt dt

a

dv

d (vet ) Aceleración

instantánea.

dt

de t

t

dv

dt (e ) v a

dt ρ

2

t n a

dv

(e

) v

(e

)

a tan

dv

Aceleración

tangencial.

ρ a

dt 2

n

v Aceleración

normal.

C


Desde el punto A se dispara un proyectil con velocidad vo.

a) Si se denota mediante α el ángulo formado por la tangente a la trayectoria y

la horizontal en el punto dado C, hallar el radio de curvatura de la trayectoria en

C es


Un automovilista que viaja a lo largo de la parte recta de una carretera, está

disminuyendo la rapidez de su automóvil a razón constante antes de salir de la

carretera por una rampa circular con radio de 560 ft. Continúa desacelerando a la

misma tasa constante de manera que 10 s después de entrar a la rampa, su rapidez

ha bajado a 20 mi/h, a partir de entonces mantiene dicha rapidez. Si se sabe que a

esta rapidez constante la aceleración total del automóvil es igual a un cuarto de su

valor antes de entrar a la rampa, determine el valor máximo de la aceleración total del

automóvil.


Un auto inicia su movimiento desde el reposo en A y su velocidad

incrementa en atan = (6 - 0,06s) m/s². Determinar la magnitud de la

aceleración total del auto cuando alcance el punto B de la trayectoria

donde sB = 40 m.


El movimiento relativo de 2 partículas se

definen en base a sistemas de referencia.

rA , rB

Vectores de posición en

A y B.

rB/A

r

r

B A Posición relativa

vB/A

v

v

B A Velocidad relativa

a B/A

a

a

B A Aceleración relativa

x-y: Sistema de referencia fijo.

x’-y’:Sistema de referencia en

movimiento (traslación)


El automóvil A viaja hacia el este con una rapidez

constante de 36 km/h.

Cuando el automóvil A cruza la intersección que se

muestra, el automóvil B parte del reposo desde

una distancia de 35 m al norte de la intersección y

se mueve hacia el sur con una aceleración

constante de 1.2 m/s2. Determine la posición,

velocidad y aceleración de B relativa a A 5 s

después de que A cruza la intersección.

3


En un instante dado en una carrera de aviones, el avión A vuela horizontalmente

en línea recta, y su rapidez aumenta a razón de 8 m/s2. El avión B vuela a la

misma altura que el avión A y, al rodear un pilar, sigue una trayectoria circular de

300 m de radio. Si se sabe que en un instante dado la rapidez de B está

disminuyendo a razón de 3 m/s2, determine, para las posiciones mostradas, a) la

velocidad de B relativa a A, b) la aceleración de B en relación con A.

3


El movimiento del pin P está controlado por los movimientos de las guías

deslizantes A y B con respecto a las cuales el pin desliza. Si el movimiento de

las guías está dado por las velocidades y aceleraciones mostradas, determinar

las componentes tangencial y normal de la aceleración del pin P en ese

instante.


La aceleración puede expresarse en componentes radiales

y transversales.

-er

Vector radial unitario. eθ

Vector transversal unitario.

dθ

der

dθ

deθ


La rotación de la varilla OA alrededor de O se define por

medio de la relación ϴ = (4t² – 8t), donde y t se expresan

en radianes y segundos, respectivamente. El collarín B se

desliza a lo largo de la varilla de manera que su distancia

desde O es r=10+6 sen t, donde r y t se expresan en

pulgadas y segundos, respectivamente. Cuando t =1 s,

determine a) la velocidad

del collarín, b) la aceleración total del collarín, c) la

aceleración del collarín relativa a la varilla


CAPÍTULO 2 CINÉTICA DE

PARTÍCULAS: SEGUNDA

LEY DE NEWTON


Si la fuerza resultante en una partícula no es nula, el modulo

de su aceleración será proporcional al modulo de la fuerza.

OXY: Sistema de referencia fijo.

F: Resultante de fuerzas.

a: Aceleración absoluta de

la partícula.

O X

Y

F y a : vectores

m : escalar

F m a


Los sistemas de unidades más usados son el Sistema

Internacional (SI) y el Foot-Pound-Second (FPS)

s2 1 N kg.

m

s2 1 pound 1lb.

ft

Sistema

Internacional

s2 1 kgf 1kg *9,8

m 9,8 N

1 lbf= 32.2 pound 1 lb* 32.2 ft/s2

Unidades FPS


16

amF

• Componentes rectangulares

zmFymFxmF

maFmaFmaF

kajaiamkFjFiF

zyx

zzyyxx

zyxzyx

• Componentes tangenciales y normales

2

t t n n

t n

F ma F ma

dv vF m F m

dt

La segunda ley de Newton puede expresarse en:


17

rrmmaF

rrmmaF rr

2

2

• Componentes radiales y transversales

La segunda ley de Newton puede expresarse en:


En el instante mostrado, el bloque (m =1,8 kg) está conectado a un

resorte no deformado.

a)Si el bloque es liberado desde el reposo en la posición mostrada,

determine su velocidad cuando llega al suelo.

b)Si es jalado hasta que toque el suelo y luego liberado desde el reposo

en esta posición, halle la máxima altura (medida desde el suelo) que

alcanza el bloque.

a) v = 1.373 m/s

b) Xmax= 0.159 m


Los bloques A y B pesan 150 N y 100 N, respectivamente. El coeficiente de

rozamiento cinético entre A y el plano inclinado es 0,30. La superficie horizontal

sobre la que se apoya B es lisa. Cuando los bloques están en la posición

representada, el bloque B se mueve hacia la derecha con una velocidad de 1,5

m/s. Hallar la tensión de la cuerda y las aceleraciones de los bloques.

T= 45.82 N

aA= 2.247 m/s²

aB= 4.494 m/s²


Una bola para demolición B (mB = 60 kg) está unida a un cable de

acero AB de 14 m de largo y oscila en el arco vertical que se indica en

la figura. C es el punto de máximo alcance en el péndulo (parte

superior). Determine la tensión en el cable en C cuando:

El camión se encuentra en reposo.

El camión se mueve con velocidad constante.

El camión se mueve con aceleración constante a=2m/s2

a) T = 553.1 N

b) T=553.1 N

c) T= 594.1 N


El bloque A (m = 20 kg) se encuentra en reposo en x = 6 m cuando

repentinamente se empieza a aplicar sobre él una fuerza horizontal

constante hacia la izquierda de 5 kN. Determine la velocidad de A después

de que ésta haya recorrido 2 m.

La placa B triangular homogénea (m = 100 kg) es lisa, y no se mueve

durante el movimiento del bloque A. El coeficiente de fricción entre el

bloque A y el suelo es μk = 0,30.

5000 N

μ K 0,30 v 30.34 m/s


Los dos bloques (mA=mB=m) son soltados del reposo. Determinar la

aceleración de los bloques. Desprecie la fricción en todas las

superficies de contacto.

aA=8.662 m/s²

aB=3.153 m/s²


El bloque mostrado reposa sobre la superficie lisa cuando se empieza a

jalar la cuerda con una fuerza vertical constante P desde x = 2 m.

Determinar la velocidad del bloque en x = 0,6 m.

v=2.30 m/s


Una partícula (m = 3 kg) se mueve a lo largo de una varilla vertical

parabólica lisa de ecuación y= 0,3x .Un resorte de rigidez k = 50 N/m

está conectado a la masa y tiene una longitud sin deformar de 0,6 m.

Cuando la partícula pasa por el punto A se está moviendo a 2,80 m/s.

En ese instante,

¿Cuál es la fuerza que ejerce la varilla sobre la partícula?

N = 19.66 N


El sistema se suelta del reposo, determinar las tensiones en las cuerdas y las

aceleraciones de los bloques. Desprecie la fricción. mA=60kg, mB= 40kg

T = 376.32 N

aA= -0.392m/s²

aB= 0.392 m/s²


Los bloques mostrados están en reposo cuando de repente se le aplica al

bloque A una fuerza horizontal de 200 N hacia la derecha y al bloque C una

fuerza horizontal de 100 N hacia la izquierda, determinar las aceleraciones de

los bloques . mA= 3 kg, mB= 8 kg , mc= 5 kg, desprecie fricción

aA= 7.69 m/s²

aB= 8.97 m/s²

ac= 3.08 m/s²


El motor A enrolla el cable con una velocidad 𝑣 = 2𝑡3/2 m/s, t en segundos, se

conoce que el máximo momento flector que puede soportar la viga es

M = 12 kN-m, determinar el instante t para el cual la viga empieza a fallar

mB= 150 kg , la viga y poleas tienen pesos despreciable

t = 7.083s


En el sistema de entrega por tubo neumático que se muestra, la presión de

aire obliga al recipiente cilíndrico de masa m a moverse por el tubo curvo

fijo de radio R. El tubo se encuentra en un plano horizontal y el coeficiente

de fricción entre el cilindro y el tubo es μ. Determinar la fuerza de propulsión

P necesaria para mantener una rapidez constante de vo para

el cilindro.

P = m μ 𝑔2 +𝑣𝑜4

𝑅2


CINÉTICA DE UNA

PARTÍCULA: Métodos de

trabajo y energía


Trabajo de una fuerza

rd

cos

x y

dU F dr

F ds

F dx F dy

•Desplazamiento de una partícula

• Trabajo de una fuerza correspondiente a un desplazamiento: F rd

El trabajo es una cantidad escalar en unidades [Nm o J]

Si y tienen la misma dirección F rd

dU Fds

F rd

dU FdsSi es perpendicular a F rd

0dU

Si y tienen direcciones opuestas


El trabajo de una fuerza durante un desplazamiento finito:

2

1

2 2

1 1

1 2

cos

A

A

s s

t

s s

U F dr

F ds F ds

El trabajo entonces se puede representar como el área bajo la curva de la gráfica Ft vs s.

2

1

1 2

A

x y

A

U F dx F dy

Ft = Componente tangencial

Y si usamos coordenadas rectangulares


Diferentes casos particulares

Trabajo de una fuerza constante en movimiento rectilíneo

xFU cos21

Trabajo de la fuerza del peso

2

1

1 2

2 1

y

y

U W dy

W y y W y

• Trabajo hecho por el peso = producto del peso W por el desplazamiento vertical Dy

• El trabajo por el peso es + cuando Dy < 0, es decir el cuerpo se mueve hacia abajo

x ydU F dx F dy W dy


• La magnitud de una fuerza ejercida por un resorte es proporcional a su deformación

lb/in.or N/mconstant spring

k

kxF

• Trabajo por una fuerza ejercida por resorte,

222

1212

121

2

1

kxkxdxkxU

dxkxdxFdU

x

x

• El trabajo de este tipo de fuerza es positivo cuando x2 < x1, cuando el resorte está retornando a la posición indeformada.

Diferentes casos particulares


Energía cinética de una partícula: Principio de trabajo y energía

dvmvdsF

ds

dvmv

dt

ds

ds

dvm

dt

dvmmaF

t

tt

F

• Integrando desde A1 a A2 ,

éticaEnergíaCinmvTTTU

mvmvdvvmdsFv

v

s

s

t

2

21

1221

212

1222

1

2

1

2

1

Trabajo de = cambia la energía cinética F

• Unidades

JmNms

mkg

s

mkg

2

22

21

mvT

1 1 2 2T U T Principio de trabajo y energía


Dos bloques están unidos por un cable inextensible en la forma que se

muestra. Si el sistema se suelta desde el reposo, determine la velocidad

del bloque A después de que éste se ha movido 2 m. Suponga que el

coeficiente de fricción cinética entre el bloque A y el plano es µk = 0.25 y

que la polea no tiene peso ni fricción.

v = 4.43 m/s


El bloque A (mA = 300 g) de latón (no magnético) y el imán B de acero

(mB = 200 g) están en equilibrio dentro de un tubo de latón bajo el

efecto de la fuerza repelente del imán C de acero localizado x = 4 mm

del punto B. La fuerza repelente es inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia entre B y C. Si A se retira repentinamente,

determinar la máxima velocidad de B.

v max = 0.163 m/s


Un vehículo de 2 000 lb parte del reposo en el punto 1 y desciende sin fricción

por la pista que se indica. a) Determine la fuerza que ejerce la pista sobre el

vehículo en el punto 2, donde el radio de curvatura de la pista es de 20 ft. b)

Determine el valor mínimo seguro del radio de curvatura en el punto 3.

N= 10000 lbf

Ρ = 50 ft


Se utiliza un resorte para detener un paquete de 60 kg que se desliza sobre una

superficie horizontal. El resorte tiene una constante k 20 kN/m y se sostiene

mediante cables de manera que se encuentre inicialmente comprimido 120 mm.

Sabiendo que el paquete tiene una velocidad de 2.5 m/s en la posición que se

indica y que la máxima compresión adicional del resorte es de 40 mm,

determine

a) el coeficiente de fricción cinética entre el paquete y la superficie, b) la

velocidad del paquete cuando éste pasa otra vez por la posición mostrada..

µk = 0.20

V3= -1.103 m/s


Un tractocamión entra a una pendiente descendente de 2 por ciento viajando a

108 km/h y debe bajar su velocidad a 72 km/h en 300 m. La cabina tiene una

masa de 1 800 kg y el remolque de 5 400 kg. Determine

a) la fuerza de frenado promedio que se debe aplicar, b) la fuerza promedio

ejercida sobre el acoplamiento si 70 por ciento de la fuerza de frenado la

proporciona el remolque y 30 por ciento la cabina.

a) Fb = 7.41 KN

b) Fc = 3.71 KN ( compresión)


Los dos bloques idénticos que se muestran en la figura se sueltan desde el

reposo. Si se ignoran las masas de las poleas y se sabe que los coeficientes de

fricción estática y cinética son µs 0.30 y µk 0.20, determine

a) la velocidad del bloque B después de que éste se ha movido 2 m, b) la tensión

en el cable.

a) vB= 2.98 m/s ( inclinación -60°)

b) T= 10.59 N


El sistema que se muestra, compuesto por un collarín A de 40 lb y un

contrapeso B de 20 lb está en reposo cuando se aplica una fuerza constante de

100 lb al collarín A. a) Determine la rapidez de A justo antes de que golpee el

soporte en C. b) Resuelva el inciso a) suponiendo que el contrapeso B se

sustituye por una fuerza hacia abajo de 20 lb. No tome en cuenta la fricción ni

las masas de las poleas.

vA= 10.36 ft/s ( hacia abajo

Dinamica semana 4 - 5

Engineering

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