Semana 3 Construcciones Geometricas -Tomo 2

Ing. Jorge Luis Rojas Rojas

CICLO 2012-II Módulo: 2Unidad: II Semana:2

DIBUJO DE INGENIERÍA

CONSTRUCCION DE POLIGONOS REGULARES (métodos exactos)

PASO 1._ Primero se halla el punto medio M de OB.

O BM

C

A

D

MSc. Ing. Jorge Luis Rojas Rojas

PASO 2._ Se Hace centro en M y con radio MC se traza el arco M que corta al diámetro AB en F.

MO BM

C

A

D

M

F


PASO 3._ La distancia comprendida entre los puntos F y C será el lado del pentágono.

O BM

C

A

D

M

F


PASO 4._ Con centro en C y de radio CF se encuentra los puntos P y Q.

O BM

C

A

D

M

F

QP


PASO 5._ Se Une los puntos P,C y Q ; se obtiene parte del pentágono.

O BM

C

A

D

M

F

QP


PASO 6._ Luego se hace centro en Q y radio QC y se obtiene el punto R.

O BM

C

A

D

M

F

QP

R


PASO 7._ Se sigue los mismos pasos y por ultimo se une los puntos encontrados formándose el polígono de 5 lados.

M

F O BM

C

A

D

QP

R


RECTIFICACION DE CURVAS

RECTIFICACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA

a) Dato : una circunferencia. Trazar dos diámetros perpendiculares AB y CD.

D

A

B

CO


PASO 1._ Por A se traza una recta tangente de longitud igual a 3 diámetros (AE).

D

A

B

C

φ φφ E

O


PASO 2._ Luego con centro en C y radio OC, se traza un arco determinando el punto F.

D

A

B

C

φ φφ E

O

F


PASO 3._ A partir de F se traza una recta paralela a CD determinando G. GE es la longitud rectificada de la circunferencia.

D

A

B

C

φ φφ E

O

FG


RECTIFICACIÓN DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA (aproximado)

a) Dato: arco menor de 45º.

A B


PASO 1._ Se une A con B y se prolonga . Luego se halla M punto medio de AB.

A BM


PASO 2._ Con centro en B y radio BM se traza un arco que corta a la prolongación de AB en C.

A BM C


PASO 3._ Por B se traza una recta tangente al arco AB . Luego con centro en C y radio CA se traza un arco que corta a la tangente en D.

A M C

D

B


PASO 4._ Por ultimo BD es la longitud rectificada del arco AB.

A BM C

D


RECTIFICACIÓN DE CUALQUIER CURVA (aproximado)

a) Dato: curva


PASO 1._ Se Divide la curva en arcos pequeños (de preferencia iguales).

1234

56789

101112

1314

1516 17

1819

2021

222324

25262728

29


PASO 2._ Se Traslada la cuerda de los arcos sobre el segmento RS.

R S

1234

56789

101112

1314

1516 17

1819

2021

222324

252627

29

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11121314 151617181920 21222324252627 29

28

28


LUGARES GEOMETRICOS

LUGARES GEOMETRICOS BASICOS

• La recta que pasa por C y T es el lugar geométrico de todas las circunferencias tangentes a la circunferencia dada e el punto T.

O’ O’’ LT C


• La recta que pasa por C y T (perpendicular a la recta dada) es el lugar geométrico de todas las circunferencias tangentes a la recta L en el punto T.

L T

C


RECTAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIAS Y ARCOS

POR UN PUNTO P TRAZAR UNA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA

A) P PERTENECE A LA CIRCUNFERENCIA :

a) dato (circunferencia de centro O y el punto P).

O

P


PASO 1._ Se une el centro de la circunferencia con el punto P y se prolonga.

O

P


PASO 2._La tangente buscada es la perpendicular trazada a OP por P (OP perpendicular a L).

O

P

L


B) P PUNTO EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA:

dato ( circunferencia de centro 0 y el punto P ).

O

P


PASO 1._ Se une 0 y P ,se divide en dos partes iguales ( OM ═ MP ).

O

PM


PASO 2._ centro en M ,se traza una circunferencia de radio OM .

O

PM


PASO 3._ La intersección de las dos circunferencias dan los puntos de tangencia T y T’. TP y T’P son las rectas tangentes pedidas ( 2 soluciones ).

O

PM

T

T’


POR UN PUNTO P TRAZAR UNA RECTA TANGENTE A UN ARCO

P

A) P PERTENECE A UN ARCO DE CENTRO INACCESIBLE O ACCESIBLE :

a) dato: arco


PASO 1._ centro en P y radio arbitrario se traza un arco que corte al arco dado en A y B .

P

BA


PASO 2._ Se une A y B .Se Traza por P una // a AB. CD es la tangente perdida.

P

BA

C

D


B) P PUNTO EXTERIOR AL ARCO DEL CENTRO INACCESIBLE :

a) Dato (arco).

P


PASO 1._ Por P se traza dos rectas que corten al arco dado en A,B,C y D.

A

B

CD P


PASO 2._ Se Une B con C, A con D intersecándose en F. Luego se une D con B, C con A, se prolonga intersecándose en E ( EF es la recta polar).

A

B

CD P

E

F


PASO 3._ La unión de E y F, se determina en el arco el punto de tangencia T , PT es la recta perdida.

A

B

CD P

E

F

T


. TRAZAR RECTAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS

OC

R

r

A) TANGENTES EXTERIORES :

dato ( dos circunferencias de centros O y C , radios r y R , R › r )


PASO 1._ Con centro en C y radio (R − r), se traza una circunferencia. Se Ubica M (OM = MC ).

R-rM

OC


PASO 2._ centro en M y radio OM se traza una semicircunferencia, determinando T. Se une C con T, se prolonga determinando T1. Luego CT1//OT 2 .

R-rM

OC

T

T1

T2


PASO 3._ La recta tangente buscada pasa por T1 y T2 análogamente se obtiene la otra tangente exterior.

R-rM

OC

T

T1

T2


B) TANGENTES INTERIORES:

dato (circunferencias de centro O y C, radios r y R . R › r).

OC

Rr


PASO 1._ Con centro en C y radio R + r, se traza una circunferencia.

R + r

OC


PASO 2._ Por O se traza una recta tangente a la circunferencia auxiliar (T punto de tangencia) .

R + r

OC

T


PASO 3._ Se une C con T, determinando T1 y por O se traza OT2//CT1.

R + r

OC

T

T1

T2


PASO 4 ._ La tangente pedida es T1T2 análogamente se obtiene la otra tangente interior.

R + r

OC

T

T1

T2


CIRCUNFERENCIAS Y/O ARCOS TANGENTES DE RADIOS CONOCIDOS

O

T

A

CONSTRUIR UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA DADA EN T Y QUE PASE POR A

a) dato (circunferencia y los puntos T y A).


PASO 1._ Se Une O con T y T con A.

O

T

A


PASO 2 ._ Se trazar la mediatriz a TA que corta a la prolongación de OT en 0´ (centro de la circunferencia pedida).

O

T

AM

O’


PASO 3._ Con centro en O´ y radio O’A se traza la circunferencia pedida.

O

T

AM

O’


TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTE EXTERIOR A DOS CIRCUNFERENCIAS

Dato (circunferencias de centros O y O´ y radios R y R’ , radio de la circunferencia a construir r)

O O’rR

R’


PASO 1._ Con centro en O y O´ y radios (r + R) y (r + R´) se traza los arcos de circunferencias. Cortándose en C, determinándose los puntos de tangencia T y T´.

OO’

r

C

T T’

RR’


PASO 2._ Con centro en C y radio r se traza la circunferencia exterior pedida.

O O’r

C

T T’

RR’

r


TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTE INTERIOR A DOS CIRCUNFERENCIAS

a) Dato (circunferencias de centros O y O’ , radios R y R’ , radio de la circunferencia a construir r).

O

O’

r

R

R’


PASO 1._ Con centro en O y O’ y radios (r-R) y (r-R’) se traza arcos que se cortan en C, centro de la circunferencia buscada. T Y T’ puntos de tangencia.

r

O

O’R

R’

r-R

r-R’

CT T’


PASO 2._ Con centro en C y radio r se traza la circunferencia pedida.

r

O

O’R

R’

r-R

r-R’

CT T’


9.3.4. TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTE EXTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA Y TANGENTE INTERIOR A OTRA CIRCUNFERENCIA

a) Dato (circunferencias de centros A y C, radios R y R1, radio de la circunferencia a construir r).

A

CR

R1

r


PASO 1._ Con centro en A y C y radios (r + R) y (r –R1), se traza arcos que se cortan en O, centro de la circunferencia buscada.

A

CR

R1

r

r + R

r - R1

O


PASO 2._ Se Une A con O determinando T y C con O(prolongar) determinando T’ (T y T’ puntos de tangencia).

A

CR

R1

r

r + R

r - R1

OT

T’


PASO 3._ Con centro en O y radio r trazar la circunferencia pedida.

A

CR

R1

r

r + R

r - R1

T

T’

O

r


CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA CIRCUNFERENCIA

O

A

r

B

R

TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO CONOCIDO TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA

a) Dato (circunferencia de centro O con radio r, recta AB y radio R de la circunferencia buscada)


PASO 1._ Se Traza una // a AB a una distancia R.

O

A

r

B

R

R


PASO 2._ Con centro en O y radio (R –r) se trazar una circunferencia que corta a la recta // a AB en O’.

O

A

r

B

R

R

R - r

O’


PASO 3._ Se Traza una perpendicular a partir de O’ a AB para ubicar el punto de tangencia T.

O

A

r

B

R

R

R - r

O’

T


PASO 3._ Unir O’ con O (prolongar), determinando el punto de tangencia T’. Con centro en O’ y radio R trazar la circunferencia pedida(tangente interior).

O

A

r

B

R

R

R - r

O’

T

T’


TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA Y A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN DETERMINADO PUNTO

Dato (circunferencia de centro O y radio R, un punto T en ella, la recta AB)

O

R

A B

T


PASO 1._ Se une O con T, por T se traza una recta tangente a la circunferencia que corta a AB en C.

O

R

A B

T

C


PASO 2._ Bisecar TCB. La bisectriz corta a la prolongación de OT en O’, luego se ubica T’ punto de tangencia.

O

R

A B

T

C

O’

T’

θ

θ


PASO 3._ Se Traza la circunferencia de centro O’ y radio O’T (tangente exterior).

O

R

A B

T

C

O’

T’

θ

θ


TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA EN UN DETERMINADO PUNTO

Dato (circunferencia de centro O y radio r, la recta AB y un punto T en ella)

O

BAT

r


PASO 1._ Por T se traza una perpendicular a AB, sobre esta trasladar la circunferencia a partir de T, ubicamos O’.

O

BAT

r

O’

r


PASO 2._ Se Une O’ con O, se traza la mediatriz cortando a la perpendicular en C, centro de la circunferencia buscada.

O

BAT

r

O’

C

r


Paso 4.- Se traza una circunferencia con centro en C y radio CE y se ubica F

C

A

F

O

EB


Paso 5.- Se traza una circunferencia con centro en A y radio AF y así sucesivamente

A

O

C B E

F


HISTORIA HISTORIA Las curvas cónicas, fueron Las curvas cónicas, fueron

estudiadas por matemáticosestudiadas por matemáticos

de la escuela Griega hacede la escuela Griega hace

mucho tiempo. Se dice que mucho tiempo. Se dice que

Menaechmus fue el que Menaechmus fue el que

descubrió las secciones cónicasdescubrió las secciones cónicas

y que fue el primero en enseñar y que fue el primero en enseñar

que las parábolas, hipérbolas y que las parábolas, hipérbolas y

elipses eran obtenidas al cortarelipses eran obtenidas al cortar

un cono en un plano no paralelo un cono en un plano no paralelo

a su base.a su base.Menaechmus Menaechmus


Menaechmus realizó sus Menaechmus realizó sus descubrimientos de las secciones descubrimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de cónicas cuando él trataba de resolver un problema de duplicar un resolver un problema de duplicar un cubo.cubo.

Apollonius de Perga fue otro Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las matemático que estudio las secciones cónicas. Poco se sabe de secciones cónicas. Poco se sabe de su vida pero su trabajo tuvo una su vida pero su trabajo tuvo una gran influencia en el estudio de las gran influencia en el estudio de las matemáticas. Apolonio escribió matemáticas. Apolonio escribió libros que introdujeron términos libros que introdujeron términos que hasta hoy son conocidos como que hasta hoy son conocidos como parábola, hipérbola y elipse.parábola, hipérbola y elipse.

Apolonio Apolonio


http://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://www.daviddarling.info/images/Apollonius_of_Perga.jpg&imgrefurl=http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/Apollonius.html&usg=__NZ7mspRm9q_9wPmgqwYnzhIUGWc=&h=382&w=300&sz=32&hl=es&start=2&sig2=q5ShUoRx8HasFxoewVolRQ&um=1&itbs=1&tbnid=xpzZl8-TgUBQ2M:&tbnh=123&tbnw=97&prev=/images?q=apollonius&hl=es&um=1&ei=dPZ4S9nCDZGftgfps53xCQ

Apolonio nació en donde en aquel entonces se llamaba Perga.Apolonio nació en donde en aquel entonces se llamaba Perga.Los libros que escribió este griego, son algunas de las pocas Los libros que escribió este griego, son algunas de las pocas fuentes de información sobre la vida de éste. Se supo, gracias a fuentes de información sobre la vida de éste. Se supo, gracias a sus libros, que él tenia un hijo, que tenía el mismo nombre.sus libros, que él tenia un hijo, que tenía el mismo nombre.Apolonio escribió cónicas en ocho libros, de los cuales sólo Apolonio escribió cónicas en ocho libros, de los cuales sólo sobrevivieron los primeros cuatro en griego. Sin embargo en árabe sobrevivieron los primeros cuatro en griego. Sin embargo en árabe sobrevivieron los primeros 7 libros de los ocho.sobrevivieron los primeros 7 libros de los ocho.


Apolonio describió las cónicas como las curvas Apolonio describió las cónicas como las curvas formadas cuando un plano intercepta la superficie de un formadas cuando un plano intercepta la superficie de un cono.cono.


Son secciones producidas por planos que intersecan a un cono Son secciones producidas por planos que intersecan a un cono circular recto.circular recto.

Estas son: Estas son: (a) (a) triangulo isósceles ,triangulo isósceles , (b) (b) circunferencia, circunferencia, ( c) ( c) elipse, elipse, (d) (d) parábola parábola y y (e)(e) hipérbola. hipérbola.

DEFINICIODEFINICIO

NN

SECCIONES CONICASSECCIONES CONICAS


DEFINICIONDEFINICIONEs la curva generada por un punto en movimiento Es la curva generada por un punto en movimiento

((lugar geométricolugar geométrico)), cuya suma de distancias a dos , cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos puntos fijos llamados focos ((F, F’F, F’)), es una , es una constante igual al eje mayor .constante igual al eje mayor .

0<β<α

αα β

Área = π.a.b

Long.

Long.

=π (a+b)

=π

=2a

= eje mayor = 2a= eje menor = 2b=distancia focal =

2c

+I I

I I =

ELIPSEELIPSE


http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Conicas1.PNG

ENCONTRAR EL EJE MENOR DE UNA ELIPSEENCONTRAR EL EJE MENOR DE UNA ELIPSE a- a- dados: (2a),diámetro , y O dados: (2a),diámetro , y O (( pto. medio de pto. medio de ))..

b- b- Trazar una ┴ por O con centro en C o D y r= ½ de , cortar a la ┴ en 1 Trazar una ┴ por O con centro en C o D y r= ½ de , cortar a la ┴ en 1 (Nota: (Nota: aquí tomamos, centro en C) . aquí tomamos, centro en C) . Unir C y 1 cortando en 2. Unir C y 1 cortando en 2.

c- c- = = , tenemos el eje menor . = = , tenemos el eje menor .

AB eje AB eje mayormayor

1

(a)

(c)

(b)


ENCONTRAR EL CENTRO DE UNA ELIPSEENCONTRAR EL CENTRO DE UNA ELIPSE (a) (a) y y (b) (b) dada la elipse : trazar dos rectas //s cualesquiera : y .dada la elipse : trazar dos rectas //s cualesquiera : y .

Hallar el pto. Medio de = 5 y de = 6. Hallar el pto. Medio de = 5 y de = 6. (c) (c) unir 5 y 6, y prolongarlo hasta cortar a la unir 5 y 6, y prolongarlo hasta cortar a la elipse en 7 y 8. elipse en 7 y 8. (d) (d) hallar pto. Medio de , es decir el centro de la elipse hallar pto. Medio de , es decir el centro de la elipse ( (OO))..

(c)

(a) y (b)

(b)


ENCONTRAR LOS EJES DE UNA ELIPSEENCONTRAR LOS EJES DE UNA ELIPSE(a) y (b) (a) y (b) dada la elipse y su centro O: con centro en O y r=arbitrario trazar una circunferencia dada la elipse y su centro O: con centro en O y r=arbitrario trazar una circunferencia

que corte a la elipse en 1,2,3 y 4. que corte a la elipse en 1,2,3 y 4. (c) (c) trazar una // a por O = =Eje mayor. Trazar una trazar una // a por O = =Eje mayor. Trazar una // a por O = = eje menor.// a por O = = eje menor.


HALLAR LOS FOCOS DE LA ELIPSEHALLAR LOS FOCOS DE LA ELIPSE (a) (a) dados los dos ejes AB y CD dados los dos ejes AB y CD (b) (b) con centro en C y D y r = con centro en C y D y r =

AB = eje mayorAB = eje mayorCD = eje menorCD = eje menor

=

,cortarcortar a en 1 y 2 (focos).en 1 y 2 (focos).


CONSTRUCCION DE ELIPSESCONSTRUCCION DE ELIPSES ( Solo se graficará un ( Solo se graficará un cuadrante)cuadrante). . METODO DE LA DEFINICION:METODO DE LA DEFINICION:(a) (a) y y (b) (b) dados los ejes y dados los ejes y , O = ; . con centro en C o D y r = = , , O = ; . con centro en C o D y r = = , obtenemos los focos 1 y 2. Se escoge cinco ptos. cualesquiera entre 1 y 0 = 3,4,5,6,7. obtenemos los focos 1 y 2. Se escoge cinco ptos. cualesquiera entre 1 y 0 = 3,4,5,6,7. Trabajando con 5 : con centro en 1 y r= A5, trazar un arco. Trabajando con 5 : con centro en 1 y r= A5, trazar un arco. (c) (c) Con centro en 2 y r = B5 se Con centro en 2 y r = B5 se interseca el arco anterior en 10 (de igual forma obtenemos los ptos. 8,9,11 y 12 para 3,4,6,7)interseca el arco anterior en 10 (de igual forma obtenemos los ptos. 8,9,11 y 12 para 3,4,6,7)(d).(d).


METODO DEL HILO O JARDINEROMETODO DEL HILO O JARDINERO(a) (a) dados los ejes y ,dados los ejes y ,(b) (b) hallar los focos 1 y 2; con una cuerda de longitud = hallar los focos 1 y 2; con una cuerda de longitud = anudada a los puntos fijos 1 y 2, trazar la elipse manteniéndola siempre tensa anudada a los puntos fijos 1 y 2, trazar la elipse manteniéndola siempre tensa

con el elemento que se utilice para marcar o pintar con el elemento que se utilice para marcar o pintar ( por ejemplo un lápiz). (c) ( por ejemplo un lápiz). (c) respuesta.respuesta.

(c)


METODO DE LAS CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICASMETODO DE LAS CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS

(a) (a) Dados los ejes AB y CD Dados los ejes AB y CD (b) (b) Con centro en O y r= OC=OD=O menor. Con centro en O Con centro en O y r= OC=OD=O menor. Con centro en O mayor .Trabajando con el I cuadrante: trazar rectas a partir de O que corten a ambas mayor .Trabajando con el I cuadrante: trazar rectas a partir de O que corten a ambas s en s en 1 y 1´, 2 y 2´, respectivamente. 1 y 1´, 2 y 2´, respectivamente. (c) (c) Para 2, trazar una // a AB por este pto. Para 2´, trazar Para 2, trazar una // a AB por este pto. Para 2´, trazar

una // a CD por este pto. A, la intersección da el pto 5 que pertenece a la elipse. una // a CD por este pto. A, la intersección da el pto 5 que pertenece a la elipse. (d) (d) En En forma análoga se halla 4 y 6 que pertenece a la elipse.forma análoga se halla 4 y 6 que pertenece a la elipse.

(a) (b)

(c)

(b)


METODO DEL METODO DEL PARALELOGRAMOPARALELOGRAMO

(a) (a) y y (b) (b) dados los ejes y : se forma el dados los ejes y : se forma el 1234: 12 //AB// Y //CD // . 1234: 12 //AB// Y //CD // . Trabajando con 7 : unir 7 con C. Unir y prolongar 7´con D y su intersección da Trabajando con 7 : unir 7 con C. Unir y prolongar 7´con D y su intersección da el pto. 12 que Є a la elipse el pto. 12 que Є a la elipse (c) (c) , , (d) (d) En forma análoga obtener los ptos. 10, 11, 13 y En forma análoga obtener los ptos. 10, 11, 13 y

14, unirlos. 14, unirlos. ((dividir en “n” partes igualesdividir en “n” partes iguales) )

(a) (b)(b)

(c) MSc. Ing. Jorge Luis Rojas Rojas

METODO DE LA ENVOLVENTEMETODO DE LA ENVOLVENTE(a) (a) yy (b) (b) dados los ejes y . Trabajando con el I cuadrante, hallar el foco 1. Con centro dados los ejes y . Trabajando con el I cuadrante, hallar el foco 1. Con centro en C y r= = trazar el cuarto de ® en C y r= = trazar el cuarto de ® (c) (c) Escoger n puntos cualesquiera del cuarto de ® Escoger n puntos cualesquiera del cuarto de ® (2,3,4,5,6,7 y 8) y unirlos con el punto pto. Fijo 1. (2,3,4,5,6,7 y 8) y unirlos con el punto pto. Fijo 1. (d) (d) Trazar Trazar ┴┴ s a por 2, por 3, por s a por 2, por 3, por 4 , por 5, por 6, por 7 y por 8, con lo que se obtendrá las tangentes a la elipse.4 , por 5, por 6, por 7 y por 8, con lo que se obtendrá las tangentes a la elipse.


PROPIEDADES :PROPIEDADES :

a) a) La circunferencia directriz trazada desde un foco ( diámetro igual al eje La circunferencia directriz trazada desde un foco ( diámetro igual al eje mayor ) es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto mayor ) es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto a las tangentes de la elipse.a las tangentes de la elipse.

b) b) En una elipse el producto de las distancias de los focos a una tangente es En una elipse el producto de las distancias de los focos a una tangente es igual a la media proporcional de la mitad del eje menorigual a la media proporcional de la mitad del eje menor


TANGENTE A UNA ELIPSE EN EL PUNTO P DE LA MISMATANGENTE A UNA ELIPSE EN EL PUNTO P DE LA MISMA

(a) (a) Dada la elipse con sus ejes y focos, y P,Dada la elipse con sus ejes y focos, y P, (b) (b) Unir P con F y F´ y prolongar Unir P con F y F´ y prolongar cualquiera de los dos segmentos ( en este caso cualquiera de los dos segmentos ( en este caso ). (c) ). (c) Bisecar la prolongación Bisecar la prolongación de con y la bisectriz será la tangente a la elipse.de con y la bisectriz será la tangente a la elipse.

(a) (b)

(c) MSc. Ing. Jorge Luis Rojas Rojas

TANGENTE A LA ELIPSE POR UN PUNTO EXTERIOR TANGENTE A LA ELIPSE POR UN PUNTO EXTERIOR DADO QDADO Q

a) a) Dada la elipse con sus ejes y focos, y Q.Dada la elipse con sus ejes y focos, y Q.

b) b) Con centro en Q y r= ,trazar un arco que corte la elipse. Con centro en F Con centro en Q y r= ,trazar un arco que corte la elipse. Con centro en F y r= , cortar el arco anterior en 1 y 2.y r= , cortar el arco anterior en 1 y 2.

c) c) Unir 1 con F y cortar a la elipse en 3.Unir 2 con F y cortar a la elipse en 4; 3y Unir 1 con F y cortar a la elipse en 3.Unir 2 con F y cortar a la elipse en 4; 3y 4 son los puntos de tangencia. 4 son los puntos de tangencia.


TANGENTE A LA ELIPSE QUE SEA // A UN SEGMENTO TANGENTE A LA ELIPSE QUE SEA // A UN SEGMENTO DADO DADO

(a) (a) Dada la elipse con sus focos y el segmento , Dada la elipse con sus focos y el segmento , (b)(b)Trazar una ┴ sobre por F´ en Trazar una ┴ sobre por F´ en 1. Con centro en F y r= , cortar la ┴ en 2.1. Con centro en F y r= , cortar la ┴ en 2.

(c)(c)Unir 2 con F y cortar a la elipse en 3 Unir 2 con F y cortar a la elipse en 3 (( punto de tangencia punto de tangencia ))..

(d)(d)Trazar una // a por 3.Trazar una // a por 3.

(a)

(c)MSc. Ing. Jorge Luis Rojas Rojas

CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSECONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE


LA PARABOLA LA PARABOLA

DEFINICION DEFINICION : : Es el lugar geométrico de todos los puntos Es el lugar geométrico de todos los puntos P de un plano que equidistan de una recta llamada P de un plano que equidistan de una recta llamada directrizdirectriz (D) (D) y de un punto fijo llamado foco y de un punto fijo llamado foco (F) .(F) .


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Conicas2.PNG

LOCALIZAR EL EJE DE LA PARABOLALOCALIZAR EL EJE DE LA PARABOLA(a) (a) y y (b) (b) dada la curva de parábola , trazar dos segmentos //s que corten a la dada la curva de parábola , trazar dos segmentos //s que corten a la

curva en 1,2,3 y 4 ( segmentos : y ). Hallar los ptos. Medios de = 5 y curva en 1,2,3 y 4 ( segmentos : y ). Hallar los ptos. Medios de = 5 y de = 6.de = 6. (c) (c) unir 5 y 6 ( diámetro de la parábola ) y trazar la mediatriz unir 5 y 6 ( diámetro de la parábola ) y trazar la mediatriz que corte a la curva en 7 y 8.que corte a la curva en 7 y 8. (d) (d) hallar la mediatriz de que es el eje de la hallar la mediatriz de que es el eje de la parábola ( )parábola ( )


UBICACIÓN DEL FOCO:UBICACIÓN DEL FOCO:(a) (a) y y (b) (b) dada la curva de parábola y su eje : hallar el diámetro , prolongar y dada la curva de parábola y su eje : hallar el diámetro , prolongar y

cortar a la parábola en 3. cortar a la parábola en 3. (c) (c) trazar una // por 3 a las cuerdas //s auxiliares. Con trazar una // por 3 a las cuerdas //s auxiliares. Con centro en 3 y un r conveniente cortar con un arco : 12 en 4, la // en 5 y a la centro en 3 y un r conveniente cortar con un arco : 12 en 4, la // en 5 y a la prolongación de en 6.Con centro en 5 y r= , cortar el arco anterior en 7. prolongación de en 6.Con centro en 5 y r= , cortar el arco anterior en 7. (d) (d) La La intersección de (o su prolongación ) con el eje es el foco (8).intersección de (o su prolongación ) con el eje es el foco (8).


CONSTRUCCION DE PARABOLASCONSTRUCCION DE PARABOLAS METODO DE LA DEFINICION : METODO DE LA DEFINICION :

(a) (a) yy (b) (b) dados el foco, la directriz y el eje . Hallar el pto. Medio de =1 dados el foco, la directriz y el eje . Hallar el pto. Medio de =1 (vértice).Tomar a la ptos. arbitrarios 2,3,4,5 y 6 . (vértice).Tomar a la ptos. arbitrarios 2,3,4,5 y 6 . (c) (c) Solo para 4 ; trazar una Solo para 4 ; trazar una al eje por 4 ,con centro en F y r= , cortar a la en 4´que pertenece a al eje por 4 ,con centro en F y r= , cortar a la en 4´que pertenece a la parábola. la parábola. (d) E(d) En forma análoga se hallan 2´, 3´, 5´y 6´, los cuales se unen n forma análoga se hallan 2´, 3´, 5´y 6´, los cuales se unen con 1.con 1.

(a) ,(b)


METODO DE LA SEMICIRCUNFERENCIA METODO DE LA SEMICIRCUNFERENCIA (a) (a) y y ( b) ( b) dada la altura y la abertura : Trabajando con la parte superior, trazar // dada la altura y la abertura : Trabajando con la parte superior, trazar //

a . Trazar sobre la semicircunferencia de diámetro . a . Trazar sobre la semicircunferencia de diámetro . (c)(c) Dividir Dividir en n partes arbitrarias , n= 4= 1,2,3 y 4. Trabajando con 2, con centro en A y r= en n partes arbitrarias , n= 4= 1,2,3 y 4. Trabajando con 2, con centro en A y r= , trazar un arco que corte a la semicircunferencia en 2´y su con la // es un , trazar un arco que corte a la semicircunferencia en 2´y su con la // es un pto. de la parábola (2´´) . pto. de la parábola (2´´) . (d) (d) En forma análoga obtener 1´´ , 3´´ y 4´´.En forma análoga obtener 1´´ , 3´´ y 4´´.


METODO DEL HILO O CURVA CONTINUA METODO DEL HILO O CURVA CONTINUA (a) (a) dada la directriz, el eje y el foco, dada la directriz, el eje y el foco, (b) (b) colocar una regla T o escuadra sobre el colocar una regla T o escuadra sobre el

eje , se toma una cuerda y se fija a F un extremo y el otro al pto. 1 de la regla. eje , se toma una cuerda y se fija a F un extremo y el otro al pto. 1 de la regla. Con un lápiz en el pto. Medio (2) de la distancia de F a la directriz (3) Con un lápiz en el pto. Medio (2) de la distancia de F a la directriz (3) manteniendo la cuerda tensa, mover la regla // al eje y se obtiene los ptos. de manteniendo la cuerda tensa, mover la regla // al eje y se obtiene los ptos. de la la


METODO DE LOS CUADRADOS METODO DE LOS CUADRADOS (a) (a) y y (b) (b) dadas la altura y la abertura , con las dimensiones dadas construir el .A partir de dadas la altura y la abertura , con las dimensiones dadas construir el .A partir de O(pto. Medio de la abertura), dividir en n partes iguales (ejem: 1,2,3,4 y 5 ). Dividir O(pto. Medio de la abertura), dividir en n partes iguales (ejem: 1,2,3,4 y 5 ). Dividir en n2 partes iguales , es decir (5)en n2 partes iguales , es decir (5)22= 25partes. = 25partes. (c) (c) Trabajando con 3, 3Trabajando con 3, 322= 3´, trazar una = 3´, trazar una horizontal por 3 y bajar una al eje por 3´que al intersecarse con la horizontal dará el pto. horizontal por 3 y bajar una al eje por 3´que al intersecarse con la horizontal dará el pto. 3´´ que pertenece a la .3´´ que pertenece a la .(d) (d) En forma análoga obtener 1´´, 2´´. 4´´ y 5´´.En forma análoga obtener 1´´, 2´´. 4´´ y 5´´.

(a),(b)

(c)MSc. Ing. Jorge Luis Rojas Rojas

METODO DEL PARALELOGRAMOMETODO DEL PARALELOGRAMO(a) (a) y y (b) (b) dadas la altura y la abertura : construir el ABCD ( solo se trabajará dadas la altura y la abertura : construir el ABCD ( solo se trabajará

con la parte superior).con la parte superior). Dividir y en igual numero de partes iguales, Dividir y en igual numero de partes iguales, n=4 (1,2,3 y 4 en ; 1´,2´,3ý 4én ).n=4 (1,2,3 y 4 en ; 1´,2´,3ý 4én ). (c) (c) trabajando con 2, trazar una trabajando con 2, trazar una horizontal por 2. Unir O con 2´ y su intersección con la horizontal en 2´´ es horizontal por 2. Unir O con 2´ y su intersección con la horizontal en 2´´ es un pto. De la .un pto. De la .(d) E(d) En forma análoga obtener 1´´, 3´´ y 4´´.n forma análoga obtener 1´´, 3´´ y 4´´.


102

ANGULO RECTO

103

ANGULO AGUDO

104

r +

R1

+r

R2

R1

R2

r

UN ARCO CIRCULAR CONCAVO

105

ARCO TANGENTE A 2 CIRCUNFERENCIAS (1DENTRO Y 1 FUERA)

106

R

R

R1

RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO.

107

R 1

R 2

R 2 - R 1

RECTA TANGENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS

108

1. Se divide el segmento MN en tres partes iguales obteniendo

los puntos O1 y O2.

2. Con centros en O1 y O2se trazan las circunferencias de

radios O1M y 02N, respectivamente.

3. Los puntos de intersección de estas dos circunferencias, 03 y 04, son los centros de los otros

dos arcos del óvalo.

CONSTRUCCIÓN DE UN ÓVALO CONOCIENDO EL EJE MAYOR

109

M N

S T

M N

S

T

O

Q

R

O1

O2

O4

O3

A

D

B

C

Sean MN y ST los ejes:

1. Se dibujan las rectas MN y ST cortándose en su punto medio O.2. Con centro en O y radio el semieje mayor OM se traza un arco hasta cortar al otro eje en O.3. Concentro en S y radio SO se traza otro arco que corta a la recta MS en R.4. Se traza la mediatriz del segmento MR, que corta a los ejes en los puntos O1y O2,5. Los puntos O1y O2,junto con los puntos 03 y 04, simétricos de los anteriores respecto del centro O, son los centros de los arcos del óvalo.

CONSTRUCCIÓN DE UN ÓVALO DE CUATRO CENTROS CONOCIENDO LOS DOS EJES PERPENDICULARES

110

A

C

D

OO1 O2

O3O3

O4

M

P

N

Q

Sea el rombo ADBC:

1. Por el punto C se trazan las rectas perpendiculares a los lados AD y De.

2. Por el punto Ose trazan las rectas perpendiculares a los lados AC y CS. I

3. Los puntos O1 y O2,de intersección de las rectas trazadas, son los centros de los arcos pequeños NO y MP, Y los puntos C y O son los centros 03 y 04 de los arcos grandes MN y PO que completan el óvalo.

CONSTRUCCIÓN DE UN ÓVALO INSCRITO EN UN ROMBO DADO

111

Los ovoides son curvas cerradas de la misma naturaleza que los óvalos. Por lo tanto tienen también sus mismas

propiedades. Pero hay una diferencia importante:

Así como los óvalos son simétricos respecto a sus dos ejes, los ovoides sólo lo son respecto a su eje mayor, lo que les confiere su aspecto característico, parecido a un

huevo.

112

M N

M N1 2 3 4 5

O4O3

A

B

O

O2

C

D

Sea MN el eje del ovoide(Fig. 6):

1. Se divide el eje MN en seis partes iguales, numerándolas llamando 03 al punto número 2 y 04 al punto número 5.

2. Por 03se traza la perpendicular la recta MN.

3. Concentro en 03 y radio 03M se describe una semicircunferencia hasta cortar a la perpendicular.

4. Concentro en 03 y radio 03N se describe otra semicircunferencia que corta a la perpendicular trazada por 03 en los puntos 01y O2,

5. Los puntos 01, 02, 03 Y 04 son los centros para construir el ovoide.

CONSTRUCCIÓN DE UN OVOIDE CONOCIENDO SU EJE

113

IMPORTANTE

HÉLICE CILINDRICA

114

Sea d el diámetro p el paso de la hélice:

1. Se traza la circunferencia de diámetro d.2. se traza un rectángulo de base d y altura p.

3. Se divide la circunferencia en un número mismo número de partes que en la

circunferencia.4. Se divide la altura del rectángulo en el

mismo número de partes que en la circunferencia.

5. Por las divisiones de la circunferencia se trazan rectas verticales.

6. Por las divisiones de la altura se trazan paralelas a la base.

7. Los puntos de intersección de las verticales y horizontales respectivas son puntos de la

hélice cilíndrica.

CONSTRUCCIÓN DE UNA HÉLICE CILÍNDRICA CONOCIENDO EL DIÁMETRO Y EL PASO

115

HÉLICE CÓNICA

IMPORTANTE

117

HIPOCICLOIDE

Es la curva que describe un punto P de una circunferencia que rueda sobre el interior de otra circunferencia

118

BIBLIOGRAFÍA

Dibujo Técnico Industrial. Jesús Félez, Luisa Martínez. Edit: Síntesis.

Madrid 2002.

Fundamentos de dibujo en Ingenieria Warenn J, Luzadder. Editorial Continental S.A.

México – 1969.

www. rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M4.htm

BIBLIOGRAFÍA

• AutoCAD 2007 Avanzado, Autores: J. A. Tajadura Zapirain y J. López Fernández, Editorial: McGraw Hill, Año: 2006 – España.

• AutoCAD 2007, Autores: Fernando Montaño La Cruz, Editorial: ANAYA MULTIMEDIA, Año: 2006 – España.

• Manual oficial AutoCAD 2007, Autor: Autodesk, Año: 2006 - Francia.

• AutoCAD 2007, Autor: Alfredo Roncal. Editorial: Delta, Lima, Año: 2007.

• www.myCADsite.com


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