CONSTRUCIONES GEOMETRICAS 5 - CÓNICAS

Construcciones elementales

Ejercicio Nº 17Elementos de la elipse

1º La circunferencia principal Cp de la elipse es la que tiene por centro el de la elipse y radio a. Se define como el lugar geometrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentesLas circunferencias focales Cf y Cf' de la elipse tienen por centro uno de los focos y radio 2a Es decir si desde un foco trazamos perpendiculares a la Cp se dibujan las tangentes a la elipse.En el otro lado el punto T es simetrico del foco F respecto a la tangente t, si unimos T con F' determinamos el punto M punto de tangente de la elipse y la recta t'

Ejercicio Nº 18Trazar una elipse dados los ejes AB y CD por haces proyectivos

A B

C

D

Se construye un rectángulo tal como se ve en la figura de lados los ejes dados, se divide el semieje OA en un numero de partes iguales a continuación dividimos también la mitad

el lado menor AE en el mismo numero de partes.

E

4

321

1 2 3 4A B

C

O

D

Se une el extremo D del eje menor con las divisiones del semieje mayor 1,2,3,4.

Unimos el otro extremo del eje menor C con las divisiones del lado AE 1,2,3,4.Donde se cortan las rectas anteriores con las otras son puntos de la elipse.

E

4

321

1 2 3 4A B

C

O

D

Se repite el procedimiento y determinamos los otros puntos de la elipse buscada

E

4

321

1 2 3 4A B

C

O

D

Ejercicio Nº 19Construcción de una elipse por envolventes Dados los ejes y los focosTrazamos los ejes y determinamos los focos F y F’.

C

A B

O

D

F F'

La construcción se fundamenta en que la circunferencia principal de diámetro 2a y centro O es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por cada foco a las tangentes. Es decir las envolventes son las tangentes a la elipse.

C

A B

O

D

F F'

Tomamos un punto cualquiera E de la circunferencia principal se une con F' y se traza la perpendicular t por L a LF', la recta t es tangente a la elipse.

C

A B

O

D

E t

F

C

A B

O

D

E t

F F'

Se repite una serie de veces en cada cuadrante y trazamos la elipse como se ve en la figura.

Ejercicio Nº 20Trazado de la elipse por puntos mediante la circunferencia principal y la de diámetro 2b.Dados los ejes

A B

C

D

O

Se trazan las circunferencias de diámetro 2a y 2b respectivamente.

A B

C

D

O

Se traza un radio cualquiera que corta en T' y T'' a las circunferencias anteriores.Se traza por T' una paralela al eje CD y por T'' la paralela a AB ambas se cortan en T que es un punto de la elipse.

A B

C

D

O

T'

T''T

Se repite la operación el numero de veces que se considere necesario y se determinar tantos puntos como de precise

A B

C

D

O

T'

T''T

Ejercicio Nº 21Construcción de una elipse dados una pareja de diámetros conjugadosDados una pareja de diámetros conjugados A’-B’ y C’-D’

A' B'

C'

D'

O

Trazamos la circunferencia de diámetro A‘ B'.

A' B'

C'

D'

O

La perpendicular por O corta a la circunferencia en D1 y C1 .

A' B'

C'

D'

1

C1

O

Unimos los puntos D1 y D’ así como C1 y C’.

A' B'

C'

D'

D1

O

Los puntos de la elipse se determinan trazando triángulos semejantes al OD1D' como el RSP, cuyos lados son paralelos a los del triángulo OD1D'Es decir trazamos por un punto cualquiera R una paralela al diámetro C1 D1 que corta en S a la Cp, por S la paralela D1-D’ y por R trazamos la paralela a C’D’ que corta a la anterior en el punto P que es un punto de la elipse buscada

A' B'

C'

D'

D1

C1

OR

P

S

Se repite el procedimiento anterior las veces que se consideren necesarias y a continuación se traza la elipse

A' B'

C'

D'

D1

C1

OR

P

S

Ejercicio Nº 22Puntos de intersección de una recta con una elipseSea la elipse dada por sus elementos, focos, ejes y la recta r.

A B

C

O'

D

F F'

r

Sabiendo que la elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la focal y pasan por el otro foco, lo que tenemos que determinar son los centros de estas circunferencias.

A B

C

O'

D

F F'

2a

r

Trazamos la focal del foco F de radio 2a, se halla el simétrico de F' respecto a la recta r punto F'1 .

A B

C

O'

D

F F'

F'1

2a

r

Trazamos una circunferencia auxiliar cualquiera de centro O en la recta r, que corta a la focal en 1 y 2, la cuerda 1-2 y la recta F'-F'1 se cortan en el centro radical Cr.

A B

C

O'

D

F F'

F'1

2a

O

r1

2

Cr

Desde Cr trazamos las tangentes a la focal, que nos dan los puntos de tangencia T1 y T2

A B

C

O'

D

F F'

F'1

2a

OT1

r1

2

T2

Cr

Unimos los puntos de tangencia T1 y T2 con F dando los puntos I1 e I2, que son los puntos de intersección de la recta con la elipse, a la vez son los centros de las circunferencias tangentes a la focal de F y que pasan por el otro foco F'

A B

C

O'

D

F F'

F'1

2a

OT1

r1

2

I1

I2

T2

Cr

Ejercicio Nº 23Hallar los ejes una elipse dada por una pareja de diámetros conjugados A'B' y

C'D'.

C'

B'

D'

A' O

Por el centro O se traza la perpendicular a A‘ B' y se lleva OP=OA',

C'

B'

D'

A' O

P

Se une P con D' y se traza la circunferencia de centro O1 y diámetro PD', con centro en O1 y radio O1O se traza la semicircunferencia MON.Uniendo O con M y N se obtienen los ejes de la elipse buscada.

M

N

C'

B'

D'

A' O

PO1

Unimos O1 y O obteniendo los puntos G y H

M

NG

H

C'

B'

D'

A' O

PO1

La magnitud de los ejes es a = OH y b = OG que transportamos sobre cada uno de ellos respectivamente

M

NG

H

A

B

D

CC'

B'

D'

A' O

PO1

Ejercicio Nº 24 Circunferencia principal Tenemos una elipse dada por sus ejes y sus focos, una tangente t y los simétricos de F y F' respecto de la tangente sobre la circunferencia focal F1 y F'1 Observamos que en el triángulo FF'1F', N es el punto medio del lado FF1 y O lo es del FF', en consecuencia OM será la paralela media y su longitud valdrá de FF'FF'= k = AA'; OM'= FF1' implica OM'= k =1/2AA'= OASiendo además FM perpendicular a la tangente por lo que; Los pies de las perpendiculares, trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y radio igual a denominada Circunferencia principal (Cp)La Cp es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la elipse

A B

C

D

OF F'

F1

F'1

T

M

t

Cp

Cf'

Cf

N

Ejercicio Nº 25Tangentes desde un punto P a una elipse utilizando la circunferencia principal

A B

C

D

OF F'

P

Trazamos la circunferencia principal Cp de centro en O y radio OB = OA

A B

C

D

OF F'

Cp

P

Unimos el punto P con el Foco F’ y con centro en 1 punto medio de PF‘, trazamos la circunferencia de diámetro PF'

A B

C

D

OF F'

Cp

P

1

Los puntos de corte con la Cp puntos M y N son los puntos por los que pasan las tangentes unimos estos con P y tenemos las tangentes t y t' a la elipse

A B

C

D

OF F'

M

Cp

P

1t

t'N

Determinamos los simétricos F' respecto a las tangentes puntos F1' y F2'. Unimos estos puntos con el otro foco F y determinamos los puntos de tangencia con la elipse T y T'

A B

C

D

OF F'

M

Cp

P

1t

t'N

F1'

F2'

T

T'

Ejercicio Nº 26Tangente a la elipse paralelas a una dirección dada d utilizando la circunferencia principal

F

C

OA

D

BF'

Trazamos la circunferencia principal Cp

F

C

OA

D

BF'

Trazamos por el foco F una perpendicular a la dirección d

F

C

OA

D

BF'

Por los puntos M y N de intersección con la Cp son los puntos por los que pasan las tangentes por estos puntos trazamos las paralelas a la dirección dada d.

F

C

OA

D

B

M

N

t

t'

F'

Hallamos los simétricos del foco F respecto de las tangentes t y t' puntos F1 y F2 .

F

C

OA

D

B

M

N

F1

F2

t

t'

F'

Unimos los puntos F1 y F2 con F' y determinamos los punto de corte con las tangentes puntos T y T' que son los puntos de tangencia con la elipse

F

C

OA

D

B

M

N

F1

F2

t

t'

F'

T

T'

Ejercicio Nº 27Construcción de la hipérbola por haces proyectivos. Datos el eje mayor A–B y los focos F y F’

F' A B F

Se determina un punto cualquiera P de la curva, por el método de los puntos.

F' A B F N

P

Se traza un rectángulo BMPN.

F' A B F N

PM

Se dividen en partes iguales los segmentos MP y NP y se unen el punto B del eje mayor dado y con el foco F’ de la forma que vemos, los puntos de intersección son puntos de la hipérbola.

F' A B F N

PM

1

2

3

1 32 4

Por la parte inferior se puede repetir los mismo ó se llevan sobre la prolongación de MP los simétricos de 1, 2, 3, 4 y se unen con el punto B de la forma que como se ve en la Fig..

F' A B F N

PM

1

2

3

1 32

1'

2'

3'

4

4'

1'

1' 2'

2'

3'

3'4'

Se unen los puntos anteriores y tenemos la hipérbola buscada

F' A B F N

PM

1

2

3

1 32

1'

2'

3'

4

4'

1'

1' 2'

2'

3'

3'4'

Ejercicio Nº 28Determinar los puntos de intersección de una recta con una hipérbolaConocemos el eje AB y los focos de la hipérbola y la recta r que queremos conocer los puntos de intersección con la hipérbola

F A B F'

r

Trazamos la circunferencia focal de centro F,

F A B F'

r

Hallamos el simétrico de F' respecto de la recta r punto F'1

F A B F'

F'1

r

Trazamos la circunferencia auxiliar de centros E que pase por F y F'1 de radio cualquiera.

F A B F'

F'1

r

E

Unimos los puntos de corte de la circunferencia anterior con la focal puntos 1 y 2 y determinamos el Cr que es el punto de corte con la recta F' F'1

F A B F'

F'1

Cr

1

2

r

E

Desde Cr trazamos las tangentes a la focal y hallamos los puntos T y T',

T'

T

F A B F'

F'1

Cr

1

2

r

E

Unimos los puntos T y T’ con el foco F y determinamos los puntos I1 y I2 puntos de intersección de la recta con la hipérbola

T'

T

F A

O

B F'

F'1

Cr

1

2

I2

I1

r

E

Ejercicio Nº 29Trazar una hipérbola por envolventesTenemos una hipérbola definida por los vértices A y B y los focos F y F'.

A BO

F F'

Se traza la Cp de centro O y radio a = OA = OB.

A BO

F F'

Cp

Se trazan las asíntotas, por A levantamos una perpendicular al eje AB, trazamos un arco de centro O y radio OF que corta a la perpendicular anterior en el punto M por el que pasa la asíntota t', la otra asíntota t es simétrica AM = AN

A BO

F F'

MCp

N

b

Unimos M y N con O y tenemos las asíntotas t‘y t

A BO

F F'

MCp

t'

N

T

T'

a

cb

Tomamos un punto cualquiera 1 de la Cp que unimos con el foco F’ y trazamos la perpendicular a 1F’ por 1, esta recta es la tangente a la hipérbola.

A BO

F F'

MCp

1

t'

N

T

T'

a

cb

Tomamos otra serie de puntos cualesquiera como se representa en la Fig. y repetimos el procedimiento anterior y tenemos las tangentes a la hipérbola, dibujando la hipérbola a continuación

A BO

F F'

MCp

1

t

t'

N

T

T'

a

cb

Ejercicio Nº 30Trazar una hipérbola conocidas las asíntotas y un punto P de ella

O

P

a a'

Por el punto P trazamos una recta que corta a las asíntotas en A y D

D

O

A

P

a a'

Tomamos la distancia PA y trazamos el punto C, PA = CD.

D

C

O

A

P

a a'

Repetimos la misma operación con otra recta que corta a las asíntotas en M y N, y determinamos el punto R igual que el C; NP = MR

D

C

O

A

P

MN

R

a a'

Se determinan todos los otros puntos restantes de la misma formatrazando rectas que pasen por el punto P o por los otros puntos hallados C, C’, R y R’

D

C

O

A

P

MN

R

a

a'

N'M'

R'

A'

D'

C'

Ejercicio Nº 31Tangentes a la hipérbola desde un punto exterior P, mediante la circunferencia principal Cp. Se conocen el eje AB y los focos F y F' de la hipérbola, y un punto cualquiera P exterior a ella.

F'

A B

F

P

O

Trazamos la circunferencia principal Cp

F'

A B

F

P

O

Unimos el punto P con el foco F y trazamos una circunferencia de diámetro PF y centro O1 que corta a la Cp en los puntos M y N.

F'

A B

F

P

O

M

N

O1

Por los puntos M y N pasan las tangentes a la hipérbola unimos M y N con P y tenemos las tangentes t y t'Hallamos los simétricos de F respecto a las tangentes t y t' puntos F1 y F2 que unidos con el otro foco F' nos determinan los puntos de tangencia T y T'

F'

A B

F

P

O

M

N

O1

t't

Hallamos los simétricos de F respecto a las tangentes t y t' puntos F1 y F2 que unidos con el otro foco F' nos determinan los puntos de tangencia T y T'

F'

A B

F

P

O

M

NF1

F2 O1

TT'

t't

Ejercicio Nº 32Tangentes a la hipérbola paralelas a una dirección dada, mediante la circunferencia principal Cp.Conocemos el eje AB y los focos de la hipérbola y la recta d que nos da la dirección que queremos trazar las tangentes.

F A

O

B F'

d

Trazamos la circunferencia principal Cp de centro O y radio OA = OB

F A

O

B F'

d

Cp

Por F' trazamos la perpendicular a la dirección dada d que nos determina los puntos M y N, puntos por los que pasan las tangentes a la hipérbola paralelas a la dirección dada d, foco F que nos da los punto de tangencia T y T' con la hipérbola

F A

O

B F'

d

M

N

Cp

Trazamos estas tangentes t y t', por M y N y paralelas a la dirección dada d

F A

O

B F'

d

M

N

t

t'Cp

Hallamos los simétricos de F' respecto a las tangentes t y t' puntos F'1 y F'2.

F A

O

B F'

d

M

N

F'2

F'1 t

t'Cp

Unimos F'1 y F'2 con el otro foco F que nos da los punto de tangencia T y T' con la hipérbola

F A

O

B F'

d

M

N

F'2

F'1 t

T

t'

T'

Cp

Ejercicio Nº 33Trazar una parábola por envolventesTenemos una parábola definida por el eje, el vértice V y el foco F.

ejeFV

Se traza la directriz d sabiendo que FV = AV y que la directriz es la circunferencia focal de la parábola Cf.

ejeF

d

AV

Se traza la tangente tv en el vértice V, que sabemos que es perpendicular al eje y es así mismo la circunferencia principal Cp

ejeF

d

AV

tv

Situamos un punto T en la tangente ,unimos este punto con el foco F y trazamos una perpendicular por T.

ejeF

d

AV

tv

T

Repetimos la operación con otros puntos, y la parábola es la tangente a las perpendiculares.

ejeF

d

AV

tv

T

Ejercicio Nº 34Trazar una parábola dados el eje, el vértice y un punto de la curva

Veje

P

Trazamos la tangente en el vértice VN y la paralela PN al eje.

Veje

PN

Se divide PN y VN en un numero de partes iguales.

Veje

P

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6N

Por las partes de VN se trazan paralelas al eje y por las divisiones de NP se unen con V.

eje

P1 2 3 4 5 6N

La paralela por 6 y el rayo 6V se cortan en R. De la misma forma se obtienen los demás puntos

V

P

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6N

R

La otra rama se determina de la misma forma, por ser la parábola simétrica respecto al eje

Veje

P

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

P654321

-6

-5

-4

-3

-2

-1

N

R

Ejercicio Nº 35Intersección de una recta con una parábola. Se conocen el eje y el foco F y la directriz de la parábola, y la recta r.

F

eje

d r

Hallamos el vértice de la parábola V y trazamos la tangente en el vértice tv que así mismo la circunferencia principal Cp.

V F

eje

d rtv

Hallamos el simétrico de F respecto de la recta r punto F'.

V F

eje

d

F'

rtv

Trazamos una circunferencia cualquiera que pase por F y F' de centro en el punto O.

V F

eje

d

F'

rtv

O

Prolongamos la recta FF' que corta a la directriz en el punto Cr, centro radical se traza la tangente Cr-T

V F

eje

d

F'

r

Cr

T

tv

O

Este segmento se lleva sobre la directriz con una circunferencia de centro Cr y radio Cr-T que nos determina los puntos A y B.

A

B

V F

eje

d

F'

r

Cr

T

tv

O

Por A y B se trazan las perpendiculares a la directriz que cortan a la recta r en los punto I y I' que son los puntos de intersección de la recta r con la parábola.

A

B

V F

eje

d

F'

r

Cr

T

tv

O

I'

I

Ejercicio Nº 36Determinación de una parábola conociendo dos tangentes y los puntos de tangencias en cada una . Conocemos las tangentes t y t' y los puntos de tangencia T y T'.

T

T'

t

t'

Unimos los puntos de tangencia y tenemos la recta T-T', hallamos el punto medio M de este segmento TT', unimos M y N y tenemos la dirección del eje que es la recta MN.

T

N

T'

t

t'

M

Dirección del eje

Tomamos un punto cualquiera P y por el trazamos las paralelas a las tangentes que cortan a estas en los puntos 1 y 2 se unen estos y determinamos la tangente t'' que es otra tangente a la parábola, determinamos el punto de tangencia trazando por P una paralela al eje que nos determina el punto T''.

T

N

T'

t

t'

M

Dirección del eje

PT''

t''

1

2

Si tomamos el punto M punto del eje de la parábola y por el trazamos las paralelas a las tangentes que cortan a estas en los puntos 3 y 4 se unen estos y determinamos el vértice V de la parábola Para determinar mas puntos se repite el procedimiento tomando puntos diferentes sobre la recta TT'.

T

N

T'

t

t'

M

Dirección del eje

PT''

t''

1

2

V

3

4

Ejercicio Nº 37Tangentes a la parábola desde un punto exterior P utilizando la tangente en el vérticeTenemos una parábola definida por el eje, vértice A el foco F '.

P

FA

Se traza la directriz d por B, FA = AB que como sabemos es perpendicular al eje (que es la circunferencia focal Cf de la parábola) a continuación por A trazamos la tangente en el vértice tv que es la circunferencia principal Cp.

d tv

P

FAB

Unimos P con el foco F y trazamos una circunferencia de diámetro PF, que corta a la tangente en el vértice tv en los puntos M y M' puntos que pertenecen a las tangentes

d tv

P

FA

M

M'

B

Unimos P con M y M' puntos que pertenecen a las tangentes y tenemos las tangentes t y t' desde el punto P a la parábola.

d tv

P

FA

M

M'

t

t'

B

Unimos el foco F con los puntos M y M' y tenemos los punto F1 y F2 puntos de la directriz por los puntos F1 y F2 trazamos paralelas al eje y nos determina los puntos de tangencia con la parábola T y T'.

d tv

P

FA

M

M'

F1

F2

t

t'

B

Por los puntos F1 y F2 trazamos paralelas al eje y nos determina los puntos de tangencia con la parábola T y T'.

d tv

P

FA

M

M'

F1

F2

T

t

t'

T'

B

Ejercicio Nº 38Tangentes a la parábola paralelas a una dirección dada r utilizando la tangente en el vérticeDatos el eje, el foco F y el vértice A

FA

r

Trazamos la directriz d y la tangente en el vértice tv, teniendo presente que AB = AF

FAB

tvd

r

Por el foco trazamos la perpendicular a la dirección dada r que corta a la tangente en el vértice tv en el punto M y a la directriz en el punto F'.

FAB

tvd

r

90°

M

F'

El punto M es un punto de la tangente buscada por M trazamos una paralela a la dirección dada r y tenemos la tangente buscada.

FAB

tvd

r

90°

t

M

F'

Por el punto F' punto de corte de la perpendicular con la directriz trazamos otra paralela al eje que nos el punto T punto de tangencia con la parábola.

FAB

tvd

r

90°

t

M

F' T

Ejercicio Nº 39Construcción de la elipse por el método de los 12 puntos. Se conocen los ejes. Vemos el dibujo de la circunferencia, el punto M es la mitad del radio de la circunferencia (cuarta parte del lado AB)Si unimos E con B y el otro extremo del diámetro con M las rectas se cortan en un punto de la circunferencia

O

A BM

P

N

O

CD

E

Se traza el rectángulo de lados igual a los ejes

O

A BM

P

N

A B

O

CD

E

E

D C

Se dividen los lados en cuatro partes iguales el lado AB el punto M es la cuarta parte y el lado BC el punto N es también la cuarta parte, se procede igual en las otras mitades de los lados.

O

A BM

P

N

A BM

N

O

CD

E

E

D C

Se une M con el extremo del eje mayor punto 3 y el otro extremo E con el punto B y nos da el punto P punto de la elipse se repite la operación y tenemos cuatro puntos.

O

A BM

P

N

A BM

N

O

CD

E

E

D C

P

3

Se une N con el extremo del eje menor punto 6 y el otro extremo punto 12 con el punto C y nos da el punto 4, punto de la elipse.

O

A BM

P

N

A BM

N

O

CD

E

E

D C

P

12

6

4

3

Se repite la operación y tenemos otros cuatro puntos.

O

A B

P

N

A BM

N

CD

E

E

D C

P

12

11

8

6

4

3

1

Con los otros cuatro puntos extremos de los ejes tenemos los doce puntos que unimos y tenemos dibujada la elipse.

O

A B

P

N

A BM

N

O

CD

E

E

D C

P

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Ejercicio Nº 40Construcción de una parábola por tangentesConocemos el eje de la parábola, la tangente en el punto P a la parábola (PV).

P

V

eje

Determinamos el simétrico de P respecto al eje punto P' y trazamos la tangente P'V.

P

P'

V

eje

Se dividen PV y P'V en el mismo numero cualquiera de partes.

P

P'

V

12345678910

12

34

56

78

910

109

87

65

43

2

1

eje

Se numeran las dos tangentes correlativamente pero en orden inverso.

P

P'

V

12345678910

12

34

56

78

910

109

87

65

43

2

1

eje

Se trazan las rectas 1-1, 2-2, 3-3,.....9-9, que son las tangentes a la parábola y trazamos la misma.

P

P'

V

12345678910

12

34

56

78

910

109

87

65

43

2

1

eje