SEGUNDO PARCIAL

3er. Método: Fórmula General

Existe un método que no aplica la factorización sino que utiliza la fórmula general que sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado y emplea los coeficientes a, b y c correspondientes a la forma general ax2+bx + c de la ecuación. La fórmula es:

X1,2 = -b± √b2 – 4ac 2a

Ejemplos:1) 5x2-3x-2=0

2) 4x2-12x = 0

Ejercicios:1) 3x2+4x+1=02) 8x2=10x-23) 6x2=4x4) -x2=x-725) -x2-3x+54=06) -8x2+1352= 07) 14x2-17x= 0

Características de las raíces de una ecuación cuadrática.Las raíces dependen directamente del discriminante. Llamamos

discriminante a la expresión b2-4ac, el cual sirve para poder determinar, antes de resolver una ecuación cuadrática, el tipo de solución que habrá.

TIPOS DE SOLUCIONES:1) Si b2-4ac>0, las soluciones de la ecuación serán reales y diferentes.2) Si b2-4ac=0, las soluciones de la ecuación serán reales e iguales.3) Si b2-4ac<0, la ecuación NO tiene solución y sus raíces son

imaginarias.

Ejemplos:

1) x2 -4x + 5 = 0a= 1 b=-4 c=5

X1,2 = -(-4) ± √(-4)2 – 4(1)(5) = 4 ± √-4 = Debido a que no existe la raíz2(1) 2 cuadrada de un número

negativo,la ecuación NO tiene solución.Este es un ejemplo del tercer

tipode solución.

2) –x2-3x+54 =0a= -1 b=-3 c= 54

X1,2 = -(-3) ± √(-3)2 – 4(-1)(54) = 3 ± √225 = 3 ± 15 = 2(-1) -2 -2

X1 = 3 + 15 = 18 = -9 -2 -2X2= 3 – 15 = -12 = 6 Este es un ejemplo del 1er. Tipo de -2 -2 solución.

UTILIZA TRIANGULOS: ANGULOS Y RELACIONES METRICAS

Ángulos en el plano

En este bloque desarrollarás habilidades para resolver problemas de geometría plana.La palabra Geometría tiene sus raíces griegas: Geo que proviene de tierra y metría la cual significa medida, por tanto, Geometría significa “medida de la tierra”.

Euclides fue quien en su famosa obra titulada “Los Elementos” recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de Geometría, bajo un razonamiento deductivo.La Geometría Euclideana se divide en Geometría plana y Geometría en el espacio, en ésta asignatura se estudiará la Geometría plana, la cual estudia las figuras contenidas en el espacio.

Definición de ángulo.Un ángulo en el plano se define como la abertura formada por dos semirrectas que tienen en común su origen, éstas se llaman lados del ángulo y el punto en común se denomina vértice.A los lados del ángulo se les conoce como lado inicial y lado final, los cuales se determinan siguiendo el sentido contrario a las manecillas del reloj como se muestra en la figura, en cuyo caso decimos que el sentido es positivo, en caso contrario, el sentido sería negativo.

Lado final

VérticeLado inicial

Los ángulos se pueden nombrar de diferentes formas, tomando en cuenta: los puntos que se unen para formarlo, la letra que distingue al vértice o bien por algún número asignado. Como se muestra a continuación

C 1

O A ASe escribe como:˂AOCTeniendo la precaución de escribir los puntos con mayúsculas y la letra que distingue al vértice del ángulo en el centro.

Se escribe como:˂ADebido a que es la letra que distingue al vértice del ángulo.

Se escribe como:˂1En este caso se puede nombrar con números o letras del alfabeto griego en el interior del ángulo.

Clasificación de ángulos.Según la medida de su abertura, los ángulos tienen la siguiente clasificación.

Existe una clasificación por parejas de ángulos, dependiendo de la suma de ambos como se muestra a continuación.

Ángulos consecutivos: Son aquéllos que tienen un lado y el vértice en común.

Ángulos adyacentes: Son aquéllos que tienen un lado y el vértice en común, y los lados no comunes son colineales, es decir, se encuentran sobre la misma recta.

Opuestos por el vértice: Son los ángulos no adyacentes que se forman al cortarse dos rectas y tienen la misma medida.

Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuya suma es igual a 90°. Se dice que cada uno de ellos es complementario del otro.

Ángulos suplementarios: Son dos ángulos cuya suma es igual a 180°.

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante

IMPORTANTE:•Los ángulos alternos internos tienen la misma medida.•Los ángulos alternos externos tienen la misma medida.•Los ángulos colaterales internos son suplementarios, es decir suman 180°.•Los ángulos correspondientes tienen la misma medida.

EJERCICIO: Encuentra los valores de los ángulos faltantes