semana01analisisdimensionesprimeraedicin-121223231937-phpapp01

DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)

Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ [email protected] Pgina 1

ANLISIS DIMENSIONAL Introduccin

1. Magnitudes fsicas. Las propiedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenmenos naturales y que se pueden medir reciben el nombre de Magnitudes Fsicas. As por ejemplo tenemos la longitud, la masa, la velocidad, la temperatura, etc. Mientras que otras propiedades como el color, el sabor, la bondad, la belleza no son magnitudes fsicas, ya que no se pueden medir. Entre las magnitudes fsicas hay algunas que son independientes de las dems y se denominan "Magnitudes fundamentales" como la masa, la longitud, el tiempo, etc. As como tambin existen magnitudes fsicas, que dependen de las fundamentales para ser expresadas, las cuales se denominan "Magnitudes derivadas, este es el caso de la velocidad, que se define mediante una relacin entre la longitud y el tiempo.

2. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) Es un conjunto de unidades de magnitudes fundamentales a partir del cual se debe expresar cualquier unidad de una magnitud derivada. Este fue un acuerdo comn tomado por la mayor parte del mundo el 14 de octubre de 1960 en Francia.

3. FRMULA DIMENSIONAL La frmula dimensional de una magnitud dada, es una frmula que muestra que operaciones de multiplicacin o divisin hay que efectuar con las magnitudes fsicas fundamentales para obtener la magnitud derivada.

Notacin: sea X la magnitud fsica, entonces:

[ ]X : se lee frmula dimensional de la magnitud fsica X. Ejemplos:

Nombre Dimensin Unidad Bsica Smbolo

Longitud L metro m

Masa M kilogramo kg

Tiempo T segundo s

Temperatura termodinmica kelvin K

Intensidad de corriente elctrica I

ampere

A

Intensidad luminosa J candela

cd

Cantidad de sustancia

N mol mol



[ ] 1: .LVelocidad V L TT

= =

[ ]1

2.: .L TAceleracion A L T

T

= =

4. DIMENSIN La dimensin indica las veces en que vara la magnitud fsica fundamental en una magnitud derivada.

[ ] . . . . . .a b c d e f gX L M T I J N=

La frmula dimensional est dada en funcin de siete magnitudes fundamentales. As mismo los exponentes a, b, c, d, e, f y g se llaman dimensiones.

5. MAGNITUDES FSICAS DERIVADAS Son aquellas magnitudes que se expresan en funcin de las magnitudes fsicas fundamentales.

Desplazamiento lineal L Desplazamiento angular 1 Frecuencia T1 Energa cintica M.L2.T2 Energa potencial gravitatoria M.L2.T2 Cantidad de carga elctrica I.T Peso especfico M.L2.T2

6. REGLAS DIMENSIONALES a) Si el valor numrico de la magnitud X es igual al producto (cociente) de los valores numricos de las magnitudes A y B, entonces la dimensin de X ser igual al producto (cociente) de las dimensiones A y B

Si: X =A.B [X] = [A] . [B] Si: X =

BA

[X] = [A] . [B]1

b) Si el valor numrico de la magnitud X es igual a la potencia m del valor numrico de la magnitud A, entonces la dimensin de X es igual a la potencia n/m de la dimensin de A.

Si: X = An/m [X] = [A]n/m Si: X = An [X] = [A]n ; Si: X = A1/m [X] =[A]1/m

c) Si el valor numrico de la magnitud X es un coeficiente constante (nmero; ngulo en radianes; funcin trigonomtrica, funcin logartmica;......etc.) que es independiente de la dimensin de las magnitudes (unidades) fundamentales, entonces la dimensin de X es nula, y X es denominada adimensional.

Si: X = nmero [X] = 1 Si: X = Sen [X] = 1



Si: X = LogN [X] = 1 Si: X = constante numrica (adimensional)

7. ECUACIONES DIMENSIONALES Son aquellas ecuaciones que, expresadas en trminos de magnitudes fsicas, se verifican para un determinado conjunto de magnitudes o dimensiones.

[ ] [ ][ ] [ ][ ]potencia A fuerza B energia= = Donde al resolver la ecuacin obtenemos: [ ] 1.A L T = y [ ] 1B T =

8. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL En toda frmula fsica que expresa la relacin entre las diferentes magnitudes fsicas, las dimensiones en el primer miembro y segundo miembro, deben ser iguales. Sea la frmula fsica: A = B2 [A] = [B2]

En general, todos los trminos de una frmula fsica son dimensionalmente iguales A = B2 + C [A] = [B2] = [C]

EJEMPLO 01: La posicin de una partcula sobre el eje X est dada por: 2

1 2 312

x k k T k T= + +

donde, x: distancia y T: tiempo. Determinar: 31 2.

kk k

Resolucin Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional:

[ ] [ ] [ ] 22 31 12x k k T k T L

= = = =

Despejando tenemos: [ ]1k L= [ ] [ ] 12 2 .k T L k LT = = La frmula dimensin de un nmero es igual a la unidad.

[ ]2 23 31 .2 k T L k L T

= =

Finalmente: 2

1 131

1 2

.

.

. ( ).k L T L T

k k L LT

= =

9. FRMULAS EMPRICAS Son aquellas formulas fsicas que se obtienen a partir de datos obtenidos en el laboratorio o de la vida cotidiana.

EJEMPLO 01: El periodo (T) de un pndulo simple depende de la longitud de la cuerda (l) y de la aceleracin de la gravedad (g). La constante de proporcin es 2=K pi



Resolucin Escribimos el periodo T en funcin de la longitud de la cuerda y de la aceleracin de la gravedad, donde x e y son las dimensiones que queremos determinar:

. .

x yT K l g= (1)

Aplicando el principio de homogeneidad dimensional tenemos: [ ] [ ][ ] [ ]x yT K l g= Reemplazando la frmula dimensional:

21.( ) .( )x yT L LT = A bases iguales le corresponden exponentes iguales:

0 1 2

0 1 2

. .

.

x y y

x y y

L T L L TL T L T

+

=

=

L: 0 = x + y .. (2) T: 1 = -2y .. (3) Resolviendo las ecuaciones (2) y (3): x = e y = -1/2

Reemplazando en la ecuacin (1) tenemos que: lT Kg

=

10. FINES Y OBJETIVOS DEL ANLISIS ADIMENSIONAL a) Expresar las magnitudes derivadas en funcin de las magnitudes fundamentales. b) Comprobar la veracidad de las frmulas fsicas mediante el principio de homogeneidad dimensional. c) Determinar frmulas fsicas empricas a partir de datos experimentales en el laboratorio.

11. PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 01: La posicin de una partcula sobre el eje X est dada por: 2

1 2 312

x k k T k T= + +

donde, x: distancia y T: tiempo. Determinar: 31 2.

kk k


[ ] [ ] [ ] 22 31 12x k k T k T L

= = = =

Despejando tenemos: [ ]1k L= [ ] [ ] 12 2 .k T L k LT = = La frmula dimensin de un nmero es igual a la unidad.

[ ]2 23 31 .2 k T L k L T

= =

Finalmente: 2

1 131

1 2

.

.

. ( ).k L T L T

k k L LT

= =



Problema 02: La siguiente es una frmula fsica correcta: . . 2Q K A gh= donde; Q: caudal (m3/s), A: rea; g: aceleracin de la gravedad, h: altura. Determinar la frmula dimensional de K.

Resolucin Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ]. . 2Q K A g h=

[ ]3 1 2 2. . . 1. .L T K L LT L = [ ]3 1 2 1. . .( . )L T K L LT =

Despejando: [ ] 1K = Respuesta: K representa una cantidad sin dimensiones, es decir es un nmero.

Problema 03: En la ecuacin AB + BC + AC = P2, donde P representa a la presin, la frmula dimensional del producto A.B.C es:

Resolucin Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] 2AB = BC = AC = P Despejando tenemos que: [ ] 2AB = P (1) [ ] 2BC = P (2) [ ] 2AC = P (3) Multiplicando miembro a miembro:

2 2 2 6A .B .C = P Sacando la raz cuadrada a ambos miembros: [ ] ( )33 1 2A.B.C = P . .M L T = Finalmente:

[ ] 3 3 6A.B.C = . . M L T

Problema 04: Determine la frmula dimensional de A en la siguiente frmula fsica: .

.

F TA BM V

= ; donde, F: fuerza; T: tiempo; M: masa; V: velocidad


[ ] ..

F TA BM V

= =

Comparando los dos primeros trminos:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]..

. .

F TF TA AM V M V

= =

Reemplazando:



[ ]2 1

1 1. . .( ) . . 1( ). . . .

M L T T M L TAM L T M L T

= = =

Respuesta: Vemos que A representa una cantidad sin dimensiones, es decir es un nmero.

Problema 05: Si la ecuacin 3tV =a

b hc

++ es dimensionalmente homognea, en donde V

= volumen, t = tiempo y h = altura, determine la frmula dimensional de a.cb

.


[ ]3tV =a

b hc

+ =

Analizando: [ ] [ ] [ ]b h b h b h Lc

+ + = = =

(1)

[ ] [ ]3 3

3tV =a

TLa

=

Despejando tenemos: [ ] 3 3.a L T= (2)

Analizando:

[ ] [ ]3V b h LL

c c

+ = =

Despejando tenemos: [ ] 2c L= (3)

Reemplazando (1), (2) y (3) calculamos: [ ] [ ][ ]3 3 2a . ca.c ( . ).

b bL T L

L

= =

Finalmente:

3 3 26 3a.c ( . )..

bL T L L T

L

= =

Problema 06: El periodo (T) de un pndulo simple depende de la longitud de la cuerda (l) y de la aceleracin de la gravedad (g).

Resolucin Escribimos el periodo T en funcin de la longitud de la cuerda y de la aceleracin de la gravedad, donde x e y son las dimensiones que queremos determinar:

. .

x yT K l g= (1)

Aplicando el principio de homogeneidad dimensional tenemos: [ ] [ ][ ] [ ]x yT K l g= Reemplazando la frmula dimensional:

21.( ) .( )x yT L LT = A bases iguales le corresponden exponentes iguales:



0 1 2

0 1 2

. .

.

x y y

x y y

L T L L TL T L T

+

=

=

L: 0 = x + y .. (2) T: 1 = -2y .. (3) Resolviendo las ecuaciones (2) y (3): x = e y = -1/2 Reemplazando en la ecuacin (1) tenemos que:

lT Kg

=

Problema 07: La velocidad V de propagacin de una onda mecnica, en una cuerda tensa, depende del mdulo de la tensin T en la cuerda y de la densidad lineal de masa (masa/ longitud). Determine la frmula emprica para determinar la velocidad de propagacin.

Resolucin Escribimos la velocidad en funcin de la tensin (fuerza) T y la densidad lineal :

. .

x yV K T = (*)

donde K representa una constante numrica, donde x e y son las dimensiones que queremos determinar.

[ ] 1.masa M M Llongitud L

= = =

Aplicando el principio de homogeneidad dimensional tenemos:

[ ] [ ] [ ] [ ]. .x yV K T =

Reemplazando la frmula dimensional: ( ) ( )1 2 1. 1. . . . .x yL T M L T M L = A bases iguales le corresponden exponentes iguales: ( ) ( )0 1 2 1. . . . . .x x x y yM L T M L T M L =

0 1 1 2. . . .

x y x y xM L T M L T + =

Base M: 0 = x + y (1) Base L: 1 = x y (2) Base T: 12-1 = -2x x = (3) Reemplazando en (1): 1 12 20 = x + y 0 y y = + = Reemplazando en la ecuacin inicial (*):

1/ 2 1/ 2. .V K T =



Finalmente obtenemos: .TV K =

Respuesta: La rapidez de la onda es directamente proporcional a la raz cuadrada del mdulo de la tensin en la cuerda.

Problema 08: La velocidad V el sonido en un gas depende de la presin P y de la densidad D del mismo gas. Determine la frmula fsica para determinar la velocidad del sonido en cualquier gas.

Resolucin Escribimos la velocidad V en funcin de la presin y de la densidad.

.

x yV P D= . (*)

Aplicando el principio de homogeneidad dimensional tenemos: [ ] [ ] [ ].x yV P D= Reemplazando la frmula dimensional: ( ) ( )1 1 2 3. . . . .x yL T M L T M L = A bases iguales le corresponden exponentes iguales:

( ) ( )1 2 3. . . . .x x x y yL T M L T M L =

0 1 1 3 2. . . .

x y x y xM L T M L T + + =

Base M: 0 = x + y (1) Base L: 1 = -x +3 y (2) Base T: 12-1 = -2x x = (3) Reemplazando en (1): 1 12 20 = x + y 0 y y = + = Reemplazando en la ecuacin inicial (*):

1/ 2 1/ 2.V P V =

PVD

=

Respuesta: La rapidez del sonido es directamente proporcional a la raz cuadrada de la presin.

Problema 09: Cul es la lectura correcta de la siguiente cantidad de fsica . mkgs

1 ?

A) kilogramo por metro sobre segundo. B) kilogramo por metro por segundo. C) kilogramo metro por segundo. D) kilogramo metro segundo. E) Ninguna anterior

Resolucin Norma del sistema internacional de unidades: Sea A y B unidad de magnitudes fsicas. A.B: se lee, AB

AB

: se lee, A por B



.

mkgs

1 , se lee, kilogramo metro por segundo.

Respuesta: C

Problema 10: Si las siguientes expresiones son dimensionalmente homogneas AP Bx

= + ;

.Q A y B= + , determine las frmula dimensional de By

. Considere P: presin, A: trabajo Resolucin Analicemos a la frmula: .Q A y B= + Principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ].Q A y B= = [ ]. . .BA M L T

y

= =

2 2

Respuesta: La frmula dimensional de By

es . .M L T 2 2

Problema 11: La ecuacin ( ). . .E E Sen x t = +0 es dimensionalmente correcta. E: intensidad del campo elctrico. FE

q= , donde F: es fuerza elctrica y q: es la cantidad de

carga elctrica, x la posicin y t el tiempo. Determine la formula dimensional de E

0

.

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ].t angulo = = 1 [ ] T = 1 [ ] [ ][ ]

. .

. . .

.

F M L TE M L T Iq I T

= = =

23 1

Remplazando: . . .. . .

T M L T IE M L T I

= =

11 1 2

3 10

Respuesta: La frmula dimensional es . . .M L T I 1 1 2

Problema 12: La deformacin lineal (en metros) de una viga de largo L, de rea de la seccin recta A y sometida a una fuerza de traccin F se expresa mediante la ecuacin

.

.

F LE A

= . Determine la frmula dimensional de E.

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ].

.

F LE A

=

Despejando tenemos:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]( )( )

( ) ( ). .

.

. .

.

M L T LF LE M L T

A L L

= = =

21 2

2



Respuesta: La frmula dimensional es . .M L T 1 2

Problema 13: Cierto fenmeno fsico puede ser escrito por la siguiente ecuacin emprica

. .

kP m v a tS

=

2 siendo m: masa, a: aceleracin, t: tiempo, S: rea. Determine la frmula

dimensional de k.


.

ka t

S

donde [ ] [ ] [ ]. . .ka t k a t SS

= =

[ ] [ ] ( ) ( )( ). . . .k a t S L T T L L T = = =2 2 3 1

Respuesta: La frmula dimensional es .L T 3 1

Problema 14: La ecuacin que describe el flujo de un fluido ideal est dada por la ecuacin: .

. .

Bg A C D + + =2

2, en donde D: energa por unidad de volumen, : densidad, g:

aceleracin de la gravedad. Determine la frmula dimensional de AB

.


[ ] . . . .energia M L TD M L Tvolumen L

= = =

2 21 2

3

[ ] [ ].. . Bg A D = =

2

2

Despejando tenemos que: [ ] ( )( )

. .

. . .

D M L TA Lg M L L T

= = =

1 2

3 2

Despejando tenemos que:

[ ],

B D DB

= =

0 52

2

[ ] ( ),

,. .

. .

.

D M L TB L T L TM L

= = = =

0 5 1 2 0 52 2 13

[ ] .B L T = 1 Finalmente tenemos que:

.

A L TB L T

= =

1

Respuesta: La frmula dimensional de AB

es T.



Problema 15: La energa radiante E que emite un cuerpo caliente de rea A que se encuentra a una temperatura absoluta T en un intervalo de tiempo t se determina con la ecuacin

. . . .E AT t = 4 , donde es una constante adimensional. Cul es la expresin dimensional de ?

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. . . .E A T t = 4

[ ]. . . . . .M L T L T = 2 2 2 41 Despejando tenemos que: [ ] . . . .

. .

M L T M TL T

= =

2 24 3

2 4

[ ] . . . .. .

M L T M TL T

= =

2 24 3

2 4

Respuesta: La expresin dimensional es . .M T 3 4

Problema 16: La representacin mediante smbolos de la unidad joule por kilogramo kelvin, es:

A) . .J kg K B) .J Kkg

C) .J kgK

D) .

Jkg K

E) . .J kg K

1

Resolucin Norma del sistema internacional de unidades: Sea A y B unidad de magnitudes fsicas. A.B: se lee, AB

AB

: se lee, A por B

joule por kilogramo kelvin: .

Jkg K

Respuesta: D

Problema 17: El desplazamiento r de una partcula en trayectoria rectilnea con aceleracin constante a est dada por . .m nr k a t = , donde t es el tiempo, k constante adimensional. Encontrar los valores de m y n. Dar como respuesta (m + n).

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ]. .m nr k a t =

( ) ( ). . . . .m n m n mL T L T T L T = =0 2 21 A bases iguales le corresponden exponentes iguales L: m = 1 (1) M: n m= 0 2 , entonces n m= 2 (2) reemplazando (1) en (2): n = 2 Respuesta: ( )m n+ = 3



Problema 18: Experimentalmente se obtiene que la potencia (P) de descarga del chorro de agua sale de una tubera es directamente proporcional al densidad (D) del agua, a su velocidad (V) y al rea de la seccin transversal (A) de dicha tubera. Determine el exponente que afecta a la velocidad.

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: . . .x y zP K D V A= donde K es constante adimensional. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. . .x y zP K D V A=

( ) ( ) ( ). . . . . . .x y zM L T M L LT L =2 3 3 1 21 ( ) ( ) ( ). . . . . . .x x y y zM L T M L L T L =1 2 3 3 21

. . . .

x y x z yM L T M L T + =1 2 3 3 2 A bases iguales le corresponden exponentes iguales M: x = 1 T: y = 3 L: y x z= +2 3 2

( ) z= +2 3 3 1 2 z = 1 Respuesta: El exponente que afecta a la velocidad es y = 3

Problema 19: En la expresin: t b hVa c

=

3

determine la frmula dimensional de .a bc

, si

V: volumen t; tiempo y H: altura.

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional. La frmula dimensional de a es:

[ ] [ ]t t TV aa V L

= = =

3 3 3

3

[ ] .a T L= 3 3 La frmula dimensional de b es:

[ ] [ ]b h b h Lc

= =

La frmula dimensional de c es:

[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ]

b h h LV cc V L

= = = 3

[ ]c L= 2 Reemplazando en:

[ ] [ ][ ]

( ) ( ). ... T L La ba b Tc c L

= = =

3 33

2

Respuesta: La frmula dimensional de .a bc

es T 3

Problema 20: La potencia que requiere la hlice de un helicptero viene dada por:



. . .

a b cP k R D= , donde K es un numero, R el radio de la hlice, es la rapidez angular, y D

es la densidad del aire. Determine .a bc

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. . .a b cP k R D=

( ) ( ) ( ). . . . . .b caM L T L T M L =2 3 1 31 . . . .

c a c bM L T M L T =1 2 3 3 A bases iguales le corresponden exponentes iguales M: c=1 (1) T: b b = =3 3 (2) L: a c a c= = +2 3 2 3

a = 5 (3) Reemplazando en:

( ) ( )( )..a b

c= =

5 315

1

Respuesta: .a bc

= 15

Problema 21: La ley de Isaac Newton de la gravitacin universal se expresa mediante la

relacin: .. m MF Gr

= 2 , donde F: es la fuerza gravitacional, m y M son las masas y r es la

distancia entre ellas. Cul es la expresin dimensional de G?


[ ] [ ] [ ] [ ][ ].

.

m MF G

r= 2

[ ] [ ][ ] [ ]( )( ). ..

. .

. .

M L T LF rG M L T

m M M M

= = =

2 221 3 2

Respuesta: [ ] . .G M L T = 1 3 2

Problema 22: Experimentalmente se ha determinado que la fuerza de sustentacin que acta sobre el ala de un avin depende del rea S del ala, de la densidad D del aire y la velocidad V del avin. Determine la dimensin de la velocidad.

Resolucin La formula emprica es: . . .a b cF k S D V= , donde k es un nmero. Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional:

. . .

a b cF k S D V= [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. . .a b cF k S D V=

( ) ( ) ( ). . . . . . .a b cM L T L M L L T =2 2 3 11



. . . .

b a b c cM L T M L T + =1 1 2 2 3 A bases iguales le corresponden exponentes iguales M: b=1 T: c c = =2 2 L: ( )a b c a= + = +1 2 3 1 2 3 1 2

a = 1 Respuesta: La dimensin de la velocidad es 2.

Problema 23: La fuerza resistiva sobre un glbulo rojo (esfrico) en la sangre depende del radio R, de la velocidad V y la viscosidad . Experimentalmente se ha demostrado que si R = 2 m , V = . m77 10 y . . .kg m s = 3 1 13 10 . La fuerza resistiva es .F Npi = 16252 10 . Determine la frmula emprica que permite determinar el valor de la fuerza resistiva.

Resolucin La formula emprica es: . . .a b cF k R V = , donde k es un nmero. Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. . .a b cF k R V =

( ) ( ) ( ). . . . . . . .b caM L T L L T M L T =2 1 1 11 . . . .

c a b c b cM L T M L T + =1 1 2 A bases iguales le corresponden exponentes iguales M: c=1 T: b c b = = 2 2 1

b = 1 L: a b c a= + = + 1 1 1 1

a = 1 La frmula emprica es:

. . .F k RV = Reemplazando los datos en la formula emprica:

( ) ( ) ( ). . . . . . .kpi =16 6 7 3252 10 2 10 7 10 3 10 Despejando: k pi= 6 Respuesta: La frmula emprica es . . .F RVpi = 6

Problema 24: Determine la frmula dimensional de C en la siguiente frmula fsica: ec60

.

.

Sm vC

F H

=

donde, m: masa; v: velocidad; F: fuerza; H: altura

Resolucin En el proceso el valor del exponente se respeta: 060 2Sec = Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]( ) ( )( ) ( )

22 1

2

. ..

1. . . .

M L Tm vC

F H M L T L

= = =

[ ] 1C =



Respuesta: C es una cantidad adimensional.

Problema 25: Determine la frmula dimensional de A.B.C en la siguiente frmula fsica:

30 . CSen A B tt

= + + donde, t : tiempo


[ ] [ ] [ ]0,5

30 . CSen A B tt

= = =

La frmula dimensional de A es: [ ] [ ] [ ]30 1Sen A A = = La frmula dimensional de B es: [ ] [ ] [ ] 130 .Sen B t B T = = La frmula dimensional de C es:

[ ] [ ] [ ]0,5

30 1 CSen C t Tt

= = = =

Reemplazando en: [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )1. . . . 1 . . 1A B C A B C T T= = = Respuesta: [ ]. . 1A B C =

Problema 26: Determine la frmula dimensional de H en la siguiente formula fsica: . .D g hHP

=

donde, D: densidad g: gravedad h: altura P: presin


[ ] [ ] [ ] [ ][ ]. .D g h

HP

=

[ ] ( ) ( ) ( ). . . .. .

M L L T LH

M L T

= =

3 2

1 2 1

Respuesta: H es una cantidad adimensional

Problema 27: La expresin dimensional del producto de la masa por la velocidad es igual a la expresin dimensional de: A) Energa multiplicada por el tiempo. B) Potencia multiplicada por el tiempo. C) Densidad multiplicada por la potencia. D) Fuerza multiplicada por la velocidad. E) Fuerza multiplicada por el tiempo.

Resolucin La masa por la velocidad es el mdulo de la cantidad de movimiento o impulso. Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: El impulso de define como el producto de la fuerza por el tiempo.



[ ] [ ] [ ]Im .pulso fuerza tiempo= Respuesta: E

Problema 28: Determine la frmula dimensional de B, en la siguiente expresin que

dimensionalmente homognea: . . 53T P CosB C

= +

donde: T = trabajo; P = presin; =densidad


[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]. . 53T P Cos

B C

= =

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]( ) ( )2 2 1 2

3

. . . . .. . 53

.

M L T M L TT P CosB

M L

= =

[ ]2 1 4

4 43

. .

. .

.

M L TB M L TM L

= =

Respuesta: [ ] 4 4. .B M L T =

Problema 29: En la ecuacin 2. ( . ) .X A Sen B t C t D= + + + es dimensionalmente homognea, donde, X: distancia, t: tiempo.

Determine la frmula dimensional de ..

ACB D

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2. ( . ) .X A Sen B t C t D= + = = La frmula dimensional de A es: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. ( . )X A Sen B t A X L= + = = La frmula dimensional de B es:

[ ] [ ] [ ]( . ) . 1Sen B t B t angulo + = = = [ ] [ ] 1. 1B t B T = = La frmula dimensional de C es:

[ ] [ ] [ ]2 222. .X LX C t C L TTt = = = =

La frmula dimensional de D es: [ ] [ ] 1X D= = Reemplazando en:

[ ] [ ][ ] [ ]

( ) ( )( ) ( )

22 1

1

. ...

.

. . . 1L L TA CAC L T

B D B D T

= = =

Respuesta: 2 1. ..

AC L TB D

=

Problema 30: Si las ecuaciones mostradas son dimensionalmente correctas, determine la



frmula dimensional de X: A + B = C + D, donde A.B = 6 (kg.m)2 y 2A + 3H = 4C + 5E + X.F donde 4F m

C= .

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ] .A B C D M L= = = = Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ].A H C E X F= = = =2 3 4 5 Reduciendo tenemos que: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ].A H C E X F= = = = Analizado: [ ] [ ]. FC X F L

X C

= = =

1

[ ] CX LF

= =

1

Respuesta: [ ]X L= 1

Problema 31: Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homognea, determine la frmula dimensional de X: . . ( . )X A Cos t = + , donde, A: longitud, t : tiempo.

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ]. 1t angulo = = = [ ] [ ] 1. 1t T = = Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ]. . ( . )X A Cos t = + [ ] ( ) ( ) ( )1 1. . 1 .X T L L T = = Respuesta: [ ] 1.X L T =

Problema 32: En un experimento de fsica, un estudiante desea encontrar la velocidad del aire V que genera un ventilador mecnico, la cual depende de la fuerza F del aire, la potencia P desarrollada por la persona que acciona el ventilador y la fuerza de rozamiento K, encontrando la siguiente ecuacin: . . .V F P B K= +

Determine la frmula dimensional 2B

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ]. . .V F P B K= = La frmula dimensional de es:

[ ] [ ][ ] [ ] ( ) ( )1

2 2 3

.

. . . . . .

V L TF P M L T M L T

= =



[ ]1

2 2 42 3 5.

. .

. .

LT M L TM L T

= =

La frmula dimensional de B es:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]1

2.

.

. .

V L TV B K BK M L T

= = =

[ ] 1.B M T= Reemplazando en:

( )2 2 4

2 222 1

. .

.

.

M L T L TB M T

= =

Respuesta: 2 22 .L TB

=

Problema 33: En la siguiente ecuacin dimensionalmente homognea 2 2t xy A SenJ Kpi pi

= +

, donde A es la amplitud (en metros), t es el tiempo (en

segundos) y x es la posicin (en metros). Determine la frmula dimensional de yJ K


[ ] [ ] 2 2t xy A SenJ Kpi pi

= +

[ ] [ ] 1y A L= = Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional:

[ ]2 2 1t x anguloJ Kpi pi

= = =

La frmula dimensional de J es:

[ ] [ ]2 1 2t J t TJpi

pi

= = =

La frmula dimensional de K es:

[ ] [ ]2 1 2x K x LKpi

pi

= = =

Reemplazando en: [ ]

[ ] [ ] ( ) ( )1

. .

yy L TJ K J K T L

= = =

Respuesta: 1y TJ K

=

Problema 34: Si N = 5 m2, S se mide en segundos, y A representa la aceleracin, entonces la relacin dimensionalmente correcta es:



A) NAS

= B) A = N.S C) 2NA

S= D) 2

NAS

= E) 2.A N S=

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] 2N area L= = [ ] [ ]S tiempo T= = [ ] [ ] 2.A aceleracion L T = = La relacin de A con N y S es:

.

a bA N S= .(1) Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ].a bA N S=

( ) ( )2 2. .a bL T L T = 1 2 2. .

a bL T L T = A bases iguales le corresponden exponentes iguales L: 121 2a a= = T: 2 2b b = = Reemplazando en (1): 12 2. .a bA N S N S = =

2NA

S=

Respuesta: C

Problema 35: En la siguiente frmula fsica: . . xW k m C= , determine el valor de x, donde: k: nmero W : trabajo, m : masa C : velocidad

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ]. . xW k m C=

( ) ( ). . . . . xM L T M L T =2 2 11 . .

x xL T L T =2 2 A bases iguales le corresponden exponentes iguales x = 2 Respuesta: el valor de x es 2.

Problema 36: Determine el valor de x en la siguiente frmula fsica: x dT Ka

=

donde, d: distancia a: aceleracin T: tiempo K: nmero


[ ] [ ] [ ][ ].x dT K

a=



( )..

x LT TL T

= =2

21

A bases iguales le corresponden exponentes iguales x = 2 Respuesta: el valor de x es 2.

Problema 37: Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homognea, determine la

frmula dimensional de n:

.

. . 2k v

u n iP k E pi

= +

, donde

P: presin, v: volumen, u: energa, i: intensidad de corriente elctrica


[ ].

. . 2 1k v

u n iE pi

= =

[ ] [ ].

. . 2k v

u n iP k E pi

= +

[ ] [ ] 1 2. .P k M L T = =

Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional:

[ ]. exp 1. .

k vonente

u n i

= =

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ].

. . .

.

k vu n i k v n

u i= =

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]( ) ( )( ) ( )

1 2 31

2 2

. . ..

. . . .

M L T Lk vn I

u i M L T I

= = =

Respuesta: [ ] 1n I =

Problema 38: Se tiene la siguiente ecuacin homognea, donde E es la energa, e es un nmero y a es la longitud, si:

. .

x x

a aE R e S e

= + , determine la frmula dimensional de 2

.R xS


[ ] [ ] [ ]. .x x

a aE R e S e

= =

[ ] [ ] [ ] 2 2. .E R S M L T = = = (1)

Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional:



[ ]exp 1x x onentea a

= = =

[ ] [ ]x a L= = (2) Reemplazando (1) y (2) en:

[ ] [ ][ ] [ ]

222 2.. R xR x x L

S S

= = =

Respuesta: 2

2.R x LS

=

Problema 39: La altura mxima H que alcanza una partcula, depende de la rapidez de lanzamiento vertical V y de la aceleracin de la gravedad, y tiene la siguiente forma:

.

x yV gHx

= . Determine (x-y) Resolucin El exponente es siempre adimensional: [ ] [ ]exp 1x onente= = Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional:

[ ] [ ] [ ][ ].

x yV gH

x=

( ) ( )1 2. . .1

x yL T LT

L

=

1 0 2. .

x y x yL T L T+ = A bases iguales le corresponden exponentes iguales L: 1 x y= + T: 0 2x y= Resolviendo las ecuaciones tenemos:

2 1x y= = Respuesta: ( ) 3x y =

Problema 40: La aceleracin centrpeta ca de una partcula, depende de la velocidad tangencial V y del radio de curvatura R de la trayectoria. Determine la dimensin que afecta a R.

Resolucin La formula emprica es: . .a bca k V R= , donde k es un nmero. Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ]. .a bca k V R=

( ) ( )2 1. 1. . .a bL T L T L = 1 2. .

a b aL T L T + = A bases iguales le corresponden exponentes iguales



L: 1 a b= + (1) T: 2 2a a = = (2) Reemplazando (2) en (1): 1b =

Respuesta: la dimensin de R es 1

Problema 41: El tiempo transcurrido t de cada libre depende de la altura h que desciende y de la aceleracin de la gravedad g. Sabiendo que: . .a bt h g= 2 , determine (a-b).

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ]. .a bt h g = 2

( ) ( ) ( ). . . baT L L T = 21 . .

a b bL T L T+ =0 1 2 A bases iguales le corresponden exponentes iguales L: 0 a b= + (1) T: 121 2b b= = (2) Reemplazando (2) en (1): 12a = + Respuesta: ( ) 1a b+ = +

Problema 42: El periodo de oscilacin J de un pndulo simple, depende de la longitud Q de la cuerda y de la aceleracin de la gravedad W, y tiene la siguiente forma: . .a bJ Q Wpi= 2 . Determine la frmula emprica para determinar el periodo de oscilacin: Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ]. .a bJ Q Wpi= 2

( ) ( ) ( ). . . baT L L T = 21 . .

a b bL T L T+ =0 1 2 A bases iguales le corresponden exponentes iguales L: 0 a b= + (1) T: 121 2b b= = (2) Reemplazando (2) en (1): 12a = +

. .J Q Wpi = 1 12 22 Respuesta: .

QJW

pi= 2

Problema 43: La frmula que determina el mdulo de la fuerza centrpeta F que experimenta una partcula, depende de la masa m, de la rapidez angular y del radio de curvatura de la trayectoria R. Determinar los exponentes que deben tener las tres variables fsicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta.



Resolucin La frmula emprica es: . .a b cF m R= (1) Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional:

[ ] [ ] [ ] [ ]. .a b cF m R= ( ) ( ) ( ). . . .ba cM L T M T L =2 1

. . . .

a c bM L T M L T =1 1 2 A bases iguales le corresponden exponentes iguales M: 1 a= L: 1 c= T: 2 2b b = = Reemplazando en (1):

. .F m R= 2 Respuesta: 1 2 1a b c= = =

Problema 44: La velocidad critica V a la cual el flujo de un lquido a travs de un tubo se convierte en turbulento, depende de la viscosidad , de la densidad del fluido , del dimetro D del tubo, de la constante adimensional R. Determine la frmula emprica para calcular la velocidad en funcin de , , D y R. La frmula dimensional de la viscosidad es:

. .M L T 1 1

Resolucin Frmula emprica: . . .a b cV R D = (1) Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. . .a b cV R D = ( ) ( ) ( ) ( ). . . . . . .a b cL T M L T M L L =1 1 1 31

. . . .

a b a b c aM L T M L T + + =0 1 1 3 A bases iguales le corresponden exponentes iguales M: 0 a b= + T: 1 1a a = = 1b = L: 1 3a b c= +

( ) ( )1 1 3 1 c= + 1c =

Reemplazando en (1): . . .V R D = 1 1 1

Respuesta: .

.

RVD

=

Problema 45: La fuerza de rozamiento en el interior de un fluido sobre una esfera en movimiento de depende de la viscosidad del liquido (n), el radio de la esfera (r) y la rapidez de la esfera (v): . .a b cF n r v= . La frmula dimensional de la viscosidad es: 1 1. .M L T .



Determinar ( )a b c+ +

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ]. .a b cF n r v=

( ) ( ) ( )2 1 1 1. . . . . . .a cbM L T M L T L L T = 1 1 2. . . .

a a b c a cM L T M L T + + = A bases iguales le corresponden exponentes iguales M: 1 a= T: 2 2 1a c c = = 1c = + L: 1 1 1 1a b c b= + + = + +

1b = + Reemplazando en: ( )a b c+ + Respuesta: ( ) 3a b c+ + =

Problema 46: La presin P que ejerce el flujo de agua sobre una pared vertical viene dad por la siguiente frmula emprica: . . .x y zP Q d A= donde, Q: caudal (m3/s) d: densidad del agua, A: rea de la placa, : constante adimensional. Determine: x y z+ +

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. . .x y zP Q d A=

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2. . 1 . . . . .x y zM L T L T M L L = 1 1 2 3 3 2. . . .

y x y z xM L T M L T + = A bases iguales le corresponden exponentes iguales M: 1 y= T: 2 2x x = = L: ( ) ( )1 3 3 2 1 3 2 3 1 2x y z z = + = +

2z = Reemplazando en: . . .x y zP Q d A=

2 2. . .P Q d A =

Respuesta: ( ) 1x y z+ + =

Problema 47: La presin que un fluido ejerce sobre una pared, depende de la velocidad V del fluido, de su densidad D y tiene la siguiente forma: . .a bP V D= 2 . Determinar la frmula fsica correcta.

Resolucin. Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ]. .a bP V D = 2

( ) ( ) ( ). . . . . .a bM L T L T M L =1 2 1 31



. . . .

b a b aM L T M L T =1 1 2 3 A bases iguales le corresponden exponentes iguales M: 1 b= T: 2 2a a = = Reemplazando en: . .a bP V D= 2 Respuesta: . .P V D= 22

Problema 48: La energa por unidad de longitud ( ) de una cuerda vibrante, depende de un coeficiente pi 22 , de la masa por unidad de longitud ( ), de la frecuencia ( f ) y de la amplitud del movimiento( A ). Determinar los exponentes que deben tener las tres variables fsicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta.

Resolucin La frmula emprica es: . . .a b cf A pi = 2 Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. . .a b cf A pi = 2

( ) ( ) ( ). . . . .a b cM L T M T LL L

=

2 211

( ) ( ) ( ). . . . .a b cM L T M L T L =1 1 2 1 1 . . . .

a a c bM L T M L T + =1 1 2 A bases iguales le corresponden exponentes iguales M: 1 a= T: 2 2b b = = L: 1 1 1a c c= + = +

2c = La frmula emprica es: . . .f A pi = 2 22

Respuesta: 1 2 2a b c= = =

Problema 49: La cantidad de calor Q que disipa un conductor cuando por el circula una corriente elctrica, depende de la intensidad de corriente elctrica I, del valor de la resistencia R y del intervalo de tiempo transcurrido t. Determinar los exponentes que deben tener las tres variables fsicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta. [ ] . . .R M L T I = 1 2 3 2 Resolucin La frmula emprica es: . .a b cQ I R t= Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ]. .a b cQ I R t=

( ) ( ) ( ). . . . . . .ba cM L T I M L T I T =2 2 1 2 3 2 . . . . . .

b b b c a bM L T I M L T I + =1 2 2 0 2 3 2 A bases iguales le corresponden exponentes iguales M: 1 b= I: 0 2 2a b a= =



T: 2 3 1b c c = + = La frmula emprica es: . .Q I R t= 2

Respuesta: 2 1 1a b c= = =

Problema 50: Conociendo la frmula fsica para determinar la cantidad de calor Q que gana o pierde un cuerpo: . .Q m Ce T= , donde m es la masa, Ce representa el calor especifico y T es el cambio de la temperatura. Determine la frmula dimensional del calor especfico.


[ ] [ ][ ] [ ]. .QQCe Ce

m T m T= =

[ ] ( ) ( ). .

. .

.

M L TCe L TM

= =

2 22 2 1

Respuesta: [ ] . .Ce L T = 2 2 1

Problema 51: La intensidad de corriente elctrica i se define como: qit

=

, donde q es

la cantidad de carga elctrica que atraviesa la seccin recta de un conductor en un intervalo de tiempo t . Determine la frmula dimensional de la carga elctrica.


[ ] [ ] [ ]. .q i t q i t= = Respuesta: [ ] .q I T=

Problema 52: La diferencia de potencial V se define como la cantidad de trabajo W hecho por el agente externo por cada unidad de cantidad de carga elctrica q . Si WV

q = ,

determine la frmula dimensional del potencial elctrico.


[ ] [ ][ ]. .

. . .

.

W M L TV M L T Iq I T

= = =2 2

2 3 1

Respuesta: [ ] . . .V M L T I = 2 3 1

Problema 53: La diferencia de potencial V entre los extremos de una resistencia R es directamente proporcional a la intensidad de corriente elctrica i que la atraviesa. Si

.V i R = , determine la frmula dimensional de la resistencia elctrica.




[ ] [ ][ ]. . .

. . .

V M L T IR M L T Ii I

= = =

2 3 12 3 2

Respuesta: [ ] . . .R M L T I = 2 3 2

Problema 54: La capacidad elctrica C de un cuerpo conductor se define como: QCV

=

donde Q es la cantidad de carga que recibe el cuerpo y V es el cambio de potencial elctrico. Determine la frmula dimensional de la capacidad elctrica.


[ ] [ ][ ].

. . .

. . .

Q I TC M L T IV M L T I

= = =

1 2 4 2

2 3 1

Respuesta: [ ] . . .C M L T I = 1 2 4 2

Problema 55: La fuerza F que acta sobre un alambre recto de largo L, por el cual circula una corriente elctrica i, dentro de un campo magntico de intensidad B es: . .F i L B= Determine la frmula dimensional de la intensidad del campo magntico.


[ ] [ ][ ] [ ]. .FFB B

i L i L= =

[ ] . . . ..

M L TB M T II L

= =

22 1

Respuesta: [ ] . .B M T I = 2 1

Problema 56: El flujo magntico se define como el producto de la intensidad del campo magntico B, por el rea A y por el coseno del ngulo. . .B ACos = Determine la frmula dimensional del flujo magntico.

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ]. .B A Cos = [ ] ( ) ( ) ( ). . . .M T I L = 2 1 2 1 Respuesta: [ ] . . .M L T I = 2 2 1

Problema 57: Si la longitud final de una barra al dilatarse est dada por la frmula: ( ).fL L T= + 0 1 donde L0 es la longitud inicial de la barra, representa el coeficiente de

dilatacin lineal y T la variacin de la temperatura. Determine la frmula dimensional del coeficiente de dilatacin lineal.

Resolucin



Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ]. T numero= = =1 1 [ ] [ ] [ ]. .T = =1 1 Respuesta: [ ] = 1

Problema 58: El incremento de la entropa de un gas se calcula con la siguiente frmula: QS

T = donde Q es la cantidad de calor absorbido por el gas a la temperatura absoluta

T. Determine la frmula dimensional de la entropa.


[ ] [ ][ ] [ ]. .Q M L TS S

T

= =

2 2

Respuesta: [ ] . . .S M L T = 2 2 1

Problema 59: La energa cintica promedio de una molcula monoatmica de un gas se

determina con la frmula: .E K T= 32

donde K representa a la constante de Boltzmann y T la

temperatura absoluta. Determine la frmula dimensional de K.


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ].E

E K T KT

= =

32

[ ] . .M L TK

=

2 2

Respuesta: [ ] . . .K M L T = 2 2 1

Problema 60: Se muestra la ecuacin de estado termodinmico de un gas ideal: . . .PV n R T= donde P es la presin, V el volumen, n cantidad de sustancia, R la constante universal de los gases y T la temperatura absoluta.

Resolucin Aplicacin del principio de homogeneidad dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. . .P V n R T= ( ) ( ) ( ) [ ] ( ). . . . .M L T L N R = 1 2 3 [ ] ( ) ( ). . . . . . .

.

M L T LR M L T N

N

= =

1 2 32 2 1 1

Respuesta: [ ] . . . .R M L T N = 2 2 1 1



PROBLEMAS PROPUESTOS DE DIMENSIONES

Principio de homogeneidad dimensional

1. En la ecuacin AB + BC + AC = Q2, donde Q es caudal, la frmula dimensional del producto A.B.C es:

2. La siguiente es una frmula fsica correcta: . . 2Q K A gh= , donde; Q: caudal (m3/s), A : rea; g : aceleracin de la gravedad, h: altura. Determinar la frmula dimensional de K.

3. La posicin de una partcula sobre el eje X est dada por: 2 30 1 2 31 12 6= + + +x k k T k T k T

donde, x: distancia y T: tiempo. Determinar: 0 21 3

.

.

k kk k

4. La posicin de una partcula en el eje X est dada por: 2 3 4

1 2 3 4 51 1 12 6 24

= + + + +x k k T k T k T k T

donde; x se mide en metros y T en segundos. Determine: 1 3 52 4

. .

.

k k kk k

5. Determine la frmula dimensional de A en la siguiente frmula fsica: ..

F TA BM V

= ;

donde, F: fuerza; T: tiempo; M: masa; V: velocidad

6. Determine la frmula dimensional de B en la siguiente frmula fsica: 3

3.

.

m vB RF A

= + ;

donde, m: masa; v: velocidad; F: fuerza; A: rea

7. Determine la frmula dimensional de C en la siguiente frmula fsica: ec60

.

.

Sm vCF H

=

donde, m: masa; v: velocidad; F: fuerza; H: altura

8. Determine la frmula dimensional de D en la siguiente frmula fsica: 32 .D hg A N= donde: h: altura; g: aceleracin, A: rea

9. Determine la frmula dimensional de E, en la siguiente frmula : E = Wm

donde; W: trabajo m: masa

10. La fuerza F de atraccin entre dos masas es directamente proporcional al producto de las masas ( m1 y m2) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d, como indica la siguiente frmula: 1 22

m mF Kd

= . Determine la frmula dimensional de la constante de



gravitacin K.

11. Determine la frmula dimensional de Z, en la siguiente frmula : Z = B H

v t

+

.

donde, B : volumen t : tiempo v : velocidad

12. En la siguiente frmula: R = A x

y+

+ P U

x

+ ; determine la frmula dimensional de

R donde, A : aceleracin U : fuerza

13. Determine la frmula dimensional de a.b.c en la siguiente frmula fsica: 2

.

.

2c td a b t= + +

donde, d : distancia t : tiempo

14. Determine la frmula dimensional de A.B.C en la siguiente frmula fsica:

30 . CSen A B tt

= + + donde, t : tiempo

15. Determine la frmula dimensional de H en la siguiente formula fsica: H = D g h

P. .

donde, D: densidad g: gravedad h: altura P: presin

16. Determine la frmula dimensional de K en la siguiente frmula fsica: K = X V A

E. .

donde; X: distancia, V: velocidad, A: aceleracin E: energa

17. La expresin dimensional del producto de la masa por la velocidad es igual a la expresin dimensional de: A) Energa multiplicada por el tiempo. B) Potencia multiplicada por el tiempo. C) Densidad multiplicada por la potencia. D) Fuerza multiplicada por la velocidad. E) Fuerza multiplicada por el tiempo.

18. Determine la frmula dimensional de B, en la siguiente expresin que dimensionalmente

homognea: . . 53T P CosB C

= +

donde: T = trabajo; P = presin; =densidad

19. En la ecuacin 2. ( . ) .X A Sen B t C t D= + + + es dimensionalmente homognea, donde, X: distancia, t: tiempo. Determine la frmula dimensional de .

.

ACB D

20. La ecuacin que permite calcular el gasto o caudal que circula por un orificio de un deposito es: . . 2Q C A gh= , determine la frmula dimensional de C siendo:



g: aceleracin de la gravedad; Q: caudal litrossegundo

; A: rea; h: altura

21. Si las ecuaciones mostradas son dimensionalmente correctas, determine la frmula dimensional de X: A + B = C + D, donde A.B = 6 (kg.m)2 y 2A + 3H = 4C + 5E + X.F donde 4F m

C= .

22. En la siguiente expresin fsica dimensionalmente correcta: V = V0 + a.t , donde V se mide

en m/s , a en m/s2 y t en segundos. Entonces las unidades de 0Va

son:

23. Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homognea, determine la frmula dimensional de X: . . ( . )X A Cos t = + , donde, A: longitud, t : tiempo.

24. En la siguiente frmula fsica: A = Sen ( )30+B t. + Cos ( )60+C , determine la frmula dimensional de A.B.C, donde, t : tiempo

25. En la siguiente ecuacin dimensionalmente homognea 2 2t xy A SenJ Kpi pi

= +

, donde A

es la amplitud (en metros), t es el tiempo (en segundos) y x es la posicin (en metros). Determine la frmula dimensional de y

J K

26. En cierto planeta la fuerza F de atraccin entre dos masas es directamente proporcional al producto de las masas ( m1 y m2) e inversamente proporcional al cubo de la distancia d, como indica la siguiente frmula: 1 23

m mF Kd

= . Determine la frmula dimensional de la

constante de gravitacin K.

27. La fuerza F de repulsin, entre dos cargas elctricas del mismo signo, es directamente proporcional al producto de las cargas (q1 y q2) en inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d, como indica la siguiente frmula: 1 22

q qF Kd

= . Determine la frmula

dimensional de K.

PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES

28. Si N = 5 m2, S se mide en segundos, y A representa la aceleracin, entonces la relacin dimensionalmente correcta es:

A) NAS

= B) A = N.S C) 2NA

S= D) 2

NAS

= E) 2.A N S=

29. En la siguiente frmula fsica: W = m C x ,determine el valor de x, donde: W : trabajo, m : masa C : velocidad



30. Halla el valor de x en la siguiente frmula fsica: T x = K.da

. Donde,

d: distancia a: aceleracin T : tiempo K: nmero

31. Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homognea, determine la frmula dimensional

de n:

.

. . 2k v

u n iP k E pi

= +

, donde

P: presin, v: volumen, u: energa, i: intensidad de corriente elctrica

32. Se tiene la siguiente ecuacin homognea, donde E es la energa y a es la longitud, si:

. .

x x

a aE R e S e

= + , determine la frmula dimensional de 2

.R xS

FRMULAS EMPRICAS

33. La velocidad V de propagacin de una onda mecnica, en una cuerda tensa, depende del mdulo de la tensin T en la cuerda y de la densidad lineal de masa (masa/ longitud). Determine la frmula emprica para determinar la velocidad de propagacin.

34. La altura mxima H que alcanza una partcula, depende de la rapidez de lanzamiento vertical

V y de la aceleracin de la gravedad, y tiene la siguiente forma: .=x yV gHx

. Determine (x+y)

35. La aceleracin centrpeta a de una partcula, depende de la velocidad tangencial V y del radio de curvatura R de la trayectoria. Determine el exponente que afecta a R.

36. La velocidad V del sonido en un gas depende de la presin P y de la densidad del mismo gas, y tiene la siguiente forma: V = K.Px.Dy, donde K es una constante numrica. Determine la frmula fsica para determinar la velocidad del sonido en cualquier gas.

37. El tiempo t de cada libre depende de la altura h que desciende y de la aceleracin de la gravedad g. Sabiendo que: t = 2 hx.gy, determine (x y).

38. El periodo de oscilacin J de un pndulo simple, depende de la longitud Q de la cuerda y de la aceleracin de la gravedad W, y tiene la siguiente forma: J = 2pi.Qx.Wy. Determine la frmula emprica para determinar el periodo de oscilacin:

39. La frmula que determina el mdulo de la fuerza centrpeta F que experimenta una partcula, depende de la masa m, de la rapidez angular y del radio de curvatura de la trayectoria R. Determinar los exponentes que deben tener las tres variables fsicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta.



40. La velocidad critica V a la cual el flujo de un lquido a travs de un tubo se convierte en turbulento, depende de la viscosidad , de la densidad del fluido , del dimetro D del tubo, de la constante adimensional R. Determine la frmula emprica para calcular la velocidad en funcin de , , D y R. La frmula dimensional de la viscosidad es: ML-1T-1

41. La fuerza de rozamiento en el interior de un fluido sobre una esfera en movimiento de depende de la viscosidad del liquido (n), el radio de la esfera (r) y la rapidez de la esfera (v): F = nxryvz. La frmula dimensional de la viscosidad es: ML-1T-1. Determinar (x+y+z)

42. La presin que un fluido ejerce sobre una pared, depende de la velocidad V del fluido, de su densidad D y tiene la siguiente forma: P = 2 Vx Dy. Determinar la frmula fsica correcta.

43. La presin P que ejerce el flujo de agua sobre una pared vertical viene dad por la siguiente frmula emprica: . . .= x y zP Q d A donde, Q: caudal (m3/s) d: densidad del agua, A: rea de la placa, : constante adimensional. Determine: x y z+ +

44. En un experimento de fsica, un cachimbo desea encontrar la velocidad del aire V que genera un ventilador mecnico, la cual depende de la fuerza F del aire, la potencia P desarrollada por la persona que acciona el ventilador y la fuerza de rozamiento K, encontrando la siguiente ecuacin: . . .V F P B K= + . Determine la frmula dimensional de

2B

45. Experimentalmente se ha determinado que la fuerza de sustentacin F que acta sobre el ala del avin, depende del rea S del ala, de la densidad D del aire y de la velocidad V del avin. Determine el exponente de la velocidad en la frmula emprica.

46. La cantidad de calor Q que disipa un conductor cuando por el circula una corriente elctrica, depende de la intensidad de corriente elctrica I, del valor de la resistencia R y del intervalo de tiempo transcurrido t. Determinar los exponentes que deben tener las tres variables fsicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta.

47. En la ecuacin AB + BC + AC = P2, donde P es la presin, la frmula dimensional del producto A.B.C es:

48. La energa por unidad de longitud () de una cuerda vibrante depende de un coeficiente 2pi2, de la masa por unidad de longitud (), de la frecuencia (f) y de la amplitud del movimiento(A). Determinar los exponentes que deben tener las tres variables fsicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta.

49. La cantidad de energa E y la cantidad de movimiento P, estn relacionadas por la ecuacin: E2 = AP2 + BC2, donde C es la rapidez de la luz en el vaco. Entonces las dimensiones de A y B son respectivamente.

50. La potencia que requiere la hlice de un helicptero viene dada por la siguiente frmula: P = kRxWyDz, donde: K es un nmero, R es el radio del hlice, W es la rapidez angular y D es la densidad del aire. Determinar: x, y , z.



51. La velocidad crtica V a la cual el flujo de un lquido a travs de un tubo se convierte en turbulento, depende de la viscosidad [ ] 1 1n ML T = , de la densidad del fluido , del dimetro del tubo D y de una constante adimensional R. Determinar la formula emprica de la velocidad en funcin de n, y D.

52. La posicin en el eje x de una partcula en funcin del tiempo t esta dado por: 2 4( ) = +X t at bt , donde X se mide en metros t en segundos. Determinar las unidades de:

[ ].a b

53. En un sistema de unidades las tres magnitudes fundamentales son la velocidad de la luz C, la

constante de Planck h y la masa de protn m. Sabiendo que 2

34 .6,63 10 kg mh xs

= . De

qu manera deben combinarse estas magnitudes para que tengan la frmula dimensional de la longitud?

54. Se tiene la ecuacin de cierto fenmeno fsico: 33( ) 3

v aFy xFVSen zay

=

donde, V es la velocidad, a la aceleracin y F la fuerza. Determine la frmula dimensional de x, y, z respectivamente.

55. Conociendo la ecuacin cinemtica para determinar la posicin de una partcula en el eje X : 2( )X t A Bt Ct= + + , donde X se mide en metros y t en segundos.

Escoja entre las expresiones F, G y H, la que es dimensional mente correcta: 2

4A BFC

= ; 2

3C AGB

= + ; 2

5B CHA

= +

56. En la siguiente ecuacin, determine la frmula dimensional de C. 2

.( ). .

m vSen tC T E

pi+ = ,

donde: V representa la velocidad, m la masa, E la energa, T la temperatura.

57. La siguiente expresin representa la ecuacin de estado de los gases reales. 2

.

n VP a b R TV n

+ =

, donde P representa la presin, V al volumen y n la cantidad

de sustancia. Determine las unidades de a y b respectivamente.

58. La ecuacin 30. ( ) senV A Sen Bt Ct = + es dimensionalmente homognea, en donde V: velocidad y t: tiempo. Determine la expresin dimensional de .A B

C.



59. La energa radiada (H) por un cuerpo a temperatura T es expresada mediante, H AT = , donde, 8 2 45,67.10 W

m K = , A: rea, T: temperatura absoluta. Determine el

valor de

60. Respecto a la siguiente ecuacin dimensional correcta: 2A P XV= + , donde, P : presin, V: velocidad. Determine las unidades de X en el S.I.

61. La fuerza resistiva F sobre un glbulo rojo de forma esfrica en la sangre, depende del radio R, de la velocidad V y de la viscosidad . Sabiendo que = 0,003 kg.m-1s-1 , determinar la expresin para determinar la fuerza resistiva: F = 6piVxyRz

62. La energa U almacenada en sistema depende de la capacitancia C y de la diferencia de

potencial V. Determinar los valores de x e y, sabiendo que: = y x1U .C .Vx

FUENTES DE INFORMACIN Y BIBLIOGRAFA VIRTUAL: http://grups.es/didactika/yahoo.com www.didactika.com http://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com [email protected] [email protected] [email protected]

semana01analisisdimensionesprimeraedicin-121223231937-phpapp01

Documents

Transcript of semana01analisisdimensionesprimeraedicin-121223231937-phpapp01