Fí sica General Sistema de coordenadas. Análisis vectorial. Características de los vectores. Tipos de vectores: vector unitario Propiedades de vectores, componentes de un vector, suma de vectores y resta de vectores

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SISTEMA DE COORDENADAS

En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números

(coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto

geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica

por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por

ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría

analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".

Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas

geográficas. En física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el

nombre de sistema de referencia.

SISTEMA DE REFERENCIA

Un sistema de referencia o marco de referencia es un conjunto de convenciones usadas por un

observador para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico y de

mecánica. Las trayectorias medidas y el valor numérico de muchas magnitudes son relativas al

sistema de referencia que se considere, por esa razón, se dice que el movimiento es relativo. Sin

embargo, aunque los valores numéricos de las magnitudes pueden diferir de un sistema a otro,

siempre están relacionados por relaciones matemáticas tales que permiten a un observador

predecir los valores obtenidos por otro observador.

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En mecánica clásica frecuentemente se usa el término para referirse a un sistema de coordenadas

ortogonales para el espacio euclídeo (dados dos sistemas de coordenadas de ese tipo, existe un

giro y una traslación que relacionan las medidas de esos dos sistemas de coordenadas).

En mecánica relativista se refiere usualmente al conjunto de coordenadas espacio-temporales que

permiten identificar cada punto del espacio físico de interés y el orden cronológico de sucesos en

cualquier evento, más formalmente un sistema de referencia en relatividad se puede definir a

partir de cuatro vectores ortonormales (uno temporal y tres espaciales).

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ANÁLISIS VECTORIAL

Es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más

dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas

para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos

escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio.

VECTOR

En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es un tipo de

representación geométrica para representar una magnitud física definida por un punto del espacio

donde se mide dicha magnitud, además de un módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y

su sentido (que distingue el origen del extremo)

CARACTERÍSTICAS DE LOS VECTORES

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa:

Siendo sus coordenadas:

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede

representar:

Siendo sus coordenadas:

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Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o dirección, sobre

la que se traza el vector.

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica

vectorial representado por el vector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

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TIPOS DE VECTORES

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores,

pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.

Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.

Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:

Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.

Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción pasan

por un mismo punto. También se les suele llamar angulares por que forman un ángulo

entre ellas.

Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios. En

inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la dirección

también indica el sentido.

Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.

Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de

acción son paralelas.

Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un

mismo plano).

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VECTOR UNITARIO

Un vector unitario o versor es un vector de módulo uno. En ocasiones se le llama también vector

normalizado. Todos los espacios euclídeos tienen un producto escalar natural que da lugar a una

norma, sin embargo el concepto de vector unitario sólo puede ser definido si el espacio vectorial

es un espacio normado.

Habiendo definido el concepto de vector unitario al comienzo de este artículo y habiendo

presentado la notación usual en la sección anterior, presentamos en esta sección una definición

simbólica de vector unitario.

Sea el vector v ∈ ℝn. Se dice que v es un vector unitario y se lo denota mediante ̂ si y solamente

si el módulo de v es igual a 1.

O en forma más compacta:

∈ ℝ ̂ | |

PROPIEDADES DE VECTORES

No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una “n-

tupla” represente un vector físico, los valores numéricos de los componentes del mismo medidos

por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.

En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores

polares, junto con pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual

de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y

todas las magnitudes que en cuya definición interviene el producto vectorial son en realidad

pseudovectores o vectores axiales.

En teoría especial de la relatividad, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas

por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz

constituyen magnitudes vectoriales.

COMPONENTES DE UN VECTOR

Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal

de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por:

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Paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base

vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

O expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así,

en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes de

un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o

un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el

cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio

vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de

unas componentes respecto a dicha base. Dado un vector sólo existen un número finito de

componentes diferentes de cero.

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SUMA DE VECTORES Y RESTA DE VECTORES

La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre

visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o

que w descompone como suma de vectores u y v.

1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en negro.

Véase que en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas ejercidas por el

vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.

2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores puedan ser

optativas en cualquier cadena de sumas.

3) Decir que existe un vector cero (elemento neutro) tal que u+0=u, equivale a exigir que exista un

vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos los vectores.

4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento opuesto, -u, que sumado

a u simplifique en un vector cero.

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MÉTODO ANALÍTICO PARA LA SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES

Dados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

Y ordenando las componentes,

Con la notación matricial sería

Conocidos los módulos de dos vectores dados, y , así como el ángulo que forman entre sí, el

módulo de es:

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

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Contenido SISTEMA DE COORDENADAS ........................................................................................................... 1

SISTEMA DE REFERENCIA ............................................................................................................. 1

ANÁLISIS VECTORIAL ....................................................................................................................... 3

VECTOR ....................................................................................................................................... 3

CARACTERÍSTICAS DE LOS VECTORES ........................................................................................... 3

VECTOR UNITARIO ................................................................................................................... 6

PROPIEDADES DE VECTORES........................................................................................................ 6

COMPONENTES DE UN VECTOR ................................................................................................... 6

SUMA DE VECTORES Y RESTA DE VECTORES ................................................................................ 8

MÉTODO ANALÍTICO PARA LA SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES ........................................... 9