seminario de funciones trigonometricas 10 dic 2007

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTASDIRECTAS

1

-1

Π/2 Π 2Π

Y=SENX

X

Y

T=2Π

A T/4

(Π/2;1)

INDICEINDICE:: 1) OBJETIVOS1) OBJETIVOS

2) INTRODUCCIÓN2) INTRODUCCIÓN

3) MARCO TEÓRICO3) MARCO TEÓRICO

4) APLICACIONES4) APLICACIONES

5) CONCLUSIONES5) CONCLUSIONES

1

-1

Π/2 Π 3Π/2 2Π

Y=SENX

X

Y

T=2Π

A T/4

(Π/2;1)

OBJETIVOS:OBJETIVOS:1.1. Conocer los conceptos básicos Conocer los conceptos básicos

relacionados con el estudio de las relacionados con el estudio de las funciones trigonométricas.funciones trigonométricas.

2.2. Desarrollar el estudio, análisis e Desarrollar el estudio, análisis e interpretación de las gráficas de interpretación de las gráficas de funciones, y su relación con eventos funciones, y su relación con eventos de la vida real.de la vida real.

3.3. Relacionar la teoría y la práctica Relacionar la teoría y la práctica mediante el desarrollo de ejercicios mediante el desarrollo de ejercicios tipo examen de admisión.tipo examen de admisión.

4.4. Conocer aplicaciones que permita al Conocer aplicaciones que permita al estudiante comprender la estudiante comprender la importancia del tema.importancia del tema.

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN• El termino matemático El termino matemático funciónfunción se remonta a finales del se remonta a finales del

siglo XVll, cuando todavía el análisis matemático siglo XVll, cuando todavía el análisis matemático

estaba en pleno desarrollo. estaba en pleno desarrollo.

• Ha medida que el análisis matemático se fue Ha medida que el análisis matemático se fue

desarrollando permitió el gran avance tecnológico que desarrollando permitió el gran avance tecnológico que

hoy disfrutamos, como el celular, la televisión, etc.hoy disfrutamos, como el celular, la televisión, etc.

• En el seminario se va desarrollar los fundamentos En el seminario se va desarrollar los fundamentos

básicos de las funciones trigonométricas que permita básicos de las funciones trigonométricas que permita

al estudiante resolver adecuadamente los problemas al estudiante resolver adecuadamente los problemas

tipo examen de admisión.tipo examen de admisión.

3) 3) MARCO TEÓRICOMARCO TEÓRICO

CONCEPTOCONCEPTO Es aquella correspondencia establecida para Es aquella correspondencia establecida para XX y y YY mediante mediante

“f”; donde para cada elemento “f”; donde para cada elemento X X existe un único elemento existe un único elemento YY tal que tal que YY = = f(f(XX))

Simbólicamente Simbólicamente f: x → f(f: x → f(XX))

REGLA DE CORRESPONDENCIAREGLA DE CORRESPONDENCIA Sea f: x → f(x), entonces Sea f: x → f(x), entonces YY =f( =f(XX)) , denota la dependencia entre , denota la dependencia entre XX y y YY..

YY =f( =f(XX): se lee ): se lee YY depende de depende de XX mediante f. mediante f. XX : variable independiente. : variable independiente. YY : variable dependiente. : variable dependiente.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓNDOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Sea f: x Sea f: x →→ f(x) f(x)DominioDominio: : son aquellos valores que asume la

variable independiente. Se denota Dom f.RangoRango : : son aquellos valores que asume la

variable dependiente, es decir los valores de la función. Se denota Ran f.

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REALFUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Sea f: x →f(x), si x∈R y f(x)∈R, entonces f es

una función real de variable real.

PRINCIPALES RESTRICCIONES EN PRINCIPALES RESTRICCIONES EN UNA FUNCIÓNUNA FUNCIÓN

11) POR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

Sólo se restringen las siguientes funciones: TAN y SEC COT y CSC

2)2) POR COCIENTEPOR COCIENTE

Si: Y= 1/f(x) → f(x)≠0

X≠(2K+1)Π / 2

X≠K Π

3)3) POR RADICAL DE INDICE PARPOR RADICAL DE INDICE PAR si: si: y =√f(x) → f(x) ≥ 00

4)4) POR OTROS OPERADORESPOR OTROS OPERADORES Si: y= logx → x > 0 si: : y=arcsen(x) → x∈[ -1,1]

CÁLCULO DEL DOMINIOSe establece el cálculo del dominio según la relación: Se establece el cálculo del dominio según la relación: Domf = R Domf = R --{{restricción}restricción}

Ejemplo:Ejemplo:Calcule el dominio de f(x)= tanx.cotx

Resolución:

i) No se debe simplificar la regla de correspondencia por mas evidente que sea.

ii) Aplicamos las principales restricciones:

tanx → x≠ (2k+1)Π/2 cotx → x≠ kΠ

III) entonces: x≠kΠ/2, k∈Z…….(restricción)

∴ Df = R-{kΠ/2} ; (k∈Z)

x≠kx≠kΠΠ/2/2x

CÁLCULO DEL RANGO

i)i) se realiza el calculo de las restricciones se realiza el calculo de las restricciones principales.principales.

ii)ii) Usualmente se redefine la regla de Usualmente se redefine la regla de correspondencia a un único operador.correspondencia a un único operador.

iii)iii) En base a la restricción se realiza el En base a la restricción se realiza el cálculo de la variación de f(x).cálculo de la variación de f(x).

Ejemplo:

sea f(x)= tanx.cotx, determine el rango de la función.

Resolución

i)i) f(x)=tanx.cotxf(x)=tanx.cotxii)ii) Su restricción es x≠kSu restricción es x≠kΠΠ/2/2iii)iii) Por identidades: tanx.cotx=1Por identidades: tanx.cotx=1 → f(x)= 1f(x)= 1 ∴∴Ranf=Ranf={1}{1}

ObservaciónObservación

Criterio gráfico:

Del gráfico: Domf = R- {k Del gráfico: Domf = R- {k ΠΠ/2/2}} y Ranf = { 1 }y Ranf = { 1 }

ΠΠ/2/2 ΠΠ 3ΠΠ/2/2 2Π0

1

f(x)=tanx.cotx

x

y

ESTUDIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIÓN SENO

f(x)={(x;y)/ y=senx ; x∈R}Para obtener la gráfica de la función, básicamente tabulamos

en un intervalo de [0,Π] X 0 Π/ 6 Π/3 Π/2 5Π/ 6 2Π/ 3 Π

Y 0 1/2 √3/2 1 1/2 √3/2 0

Graficando en el plano xy:

0 Π/ 6 Π/3 Π/2 2Π/3 Π

x

y

1/2

√3/2

1

5Π/6

Análisis del gráfico:Análisis del gráfico: Domf Domf ∈∈R R yy Ranf Ranf ∈∈[–1; 1][–1; 1] Es función impar, puesto que verificaEs función impar, puesto que verifica ff(–(–xx)=– )=– ff((xx)) es decir, sen(– es decir, sen(– xx)=– sen)=– senxx..

La función seno es periódica conLa función seno es periódica con periodo igual a 2periodo igual a 2ΠΠ, puesto que verifica, puesto que verifica ff((xx++TT)=)=ff((xx)) es decir, sen( es decir, sen(xx+2+2ΠΠ)=sen)=senxx

1

-1

Π/2 Π 3Π/2 2Π

Y=SENX

X

y

T=2T=2ΠΠ

A=1

(ΠΠ/2;1/2;1)

(3Π/2;-1)

(2Π;0)(Π;0)

(0;0)

T/4

OBSERVACIÓNOBSERVACIÓN El periodo El periodo TT de una función nos indicará el intervalo de una función nos indicará el intervalo

de repetición de la gráfica de la función.de repetición de la gráfica de la función. Para Para ff((xx)=)=AAsen(sen(BxBx)) ; ; BB>0 >0 el periodo será: el periodo será: T=2T=2ΠΠ/B/B la amplitud esla amplitud es: : |A ||A |Ejemplo: sea la función, f(x)=sen2x →T=2Π/2= ΠΠ y amplitud y amplitud

A=1A=1 graficando:graficando:

x

y

T=ΠΠ

ΠΠΠΠ/2/20

1

-1

f(x)=sen2x

A=1A=1

FUNCIÓN COSENO

f(x)=f(x)={(x:y)/ y=cosx; x{(x:y)/ y=cosx; x∈∈R }R }

Análisis del gráfico:El dominio es R.El rango es [–1; 1].Es función par (f(–x)=f(x)), es decir cos(– x)=cosx.Es función periódica, con periodo 2Π.

x

y

T=2ΠΠ

22ΠΠ0

1

-1

ΠΠ--ΠΠ/2/2 ΠΠ/2/2 33ΠΠ/2/2

T/4

y=cosxy=cosx

Observación:

FUNCIÓN TANGENTEf(x)={(x;y)/y=tanx; x R – (2k+1)∈ Π/2, k∈z}

Si: f(x)= AcosBx; B>0, entonces, T=2Π/B y la amplitud es |A|

y=tanx

x

y

0 Π/2 Π 3Π/2-Π/2

T=Π ASÍNTOTA

Análisis del gráfico

El dominio de la función es R – (2K+1).Π/ 2

El rango de la función es R

Es función impar, debido a tan(-x ) = -tanx

Es función periódica de periodo T= Π, debido

Tan(x+ Π) = tanx

Observación

si f(x)= Atan(Bx) y B>0 → T=Π/ B

Resolución de la práctica dirigidaResolución de la práctica dirigida

PROBLEMA 01PROBLEMA 01

Obtenga el dominio de la función, si estase define

f(x)= sen²2x-1 + cos²2x

ResoluciónResoluciónf(x)= √(f(x)= √(sen²2x-1)+√√(cos²2x)Por restricciones básicas:Por restricciones básicas: sensen²2x-1≥0²2x-1≥0 sen²2x≥1sen²2x≥1DegradandoDegradando: : 22..sen²2x≥sen²2x≥22

1-cos4x1-cos4x≥2≥2 cos4x<-1cos4x<-1 →→ cos4x≤-1cos4x≤-1 cos4x=-1cos4x=-1 →→cos4x=-1cos4x=-1 4x4x=(2k+1)=(2k+1)ΠΠ; k; k∈Z∈Z ∴ ∴Dom f(x)= Dom f(x)= {x{x∈R/ x=(2k+1)∈R/ x=(2k+1)ΠΠ/4 /4 }}

Piden: dominio de f(x)

(2k+1)ΠΠ

2sen²β=1-cos2β

-1

Y

X


Se define la función Se define la función

f(x)= cos(f(x)= cos(ΠΠ/2 + x/2),/2 + x/2),

entonces el rango de entonces el rango de

g(x)=f(x)f(2x) + 1/2.cos(3x/2)g(x)=f(x)f(2x) + 1/2.cos(3x/2)

será.será.

ResoluciónResolución

i)i) f(x)= cos(f(x)= cos(ΠΠ/2 + x/2)=-sen(x/2) /2 + x/2)=-sen(x/2) →→ x∈Rx∈R

también f(también f(2x2x)=cos()=cos(ΠΠ/2+/2+2x2x/2)=-senx/2)=-senxii) Entonces ii) Entonces

g(x)=f(x)f(2x) + 1/2.cos(3x/2)g(x)=f(x)f(2x) + 1/2.cos(3x/2)

g(x)=(-senx/2).(-senx)+1/2.cos(3x/2)g(x)=(-senx/2).(-senx)+1/2.cos(3x/2)

22g(x)= g(x)= 22senx/2.senx + cos(3x/2)senx/2.senx + cos(3x/2) Cos(x/2)-cos(3x/2)Cos(x/2)-cos(3x/2)

g(x)=1/2. cos(x/2)g(x)=1/2. cos(x/2)

iii) Debido iii) Debido xx∈R → x/2∈R∈R → x/2∈R -1≤cos(-1≤cos(x/2x/2)≤1)≤1 ∴∴Ran g(x) ∈Ran g(x) ∈[-1/2,1/2][-1/2,1/2]

Piden: rango de g(x)


Halle el rango de la función Halle el rango de la función

f(x)=cos2x+2cosx; si xf(x)=cos2x+2cosx; si xЄЄ[[ΠΠ/2;/2;ΠΠ]]


i)i) Aplicando identidades de arco dobleAplicando identidades de arco doble

f(x)= cos2x+2cosxf(x)= cos2x+2cosx f(x)=f(x)=2cos2cos²x-1²x-1+2cosx+2cosx completando cuadrados:completando cuadrados: f(x)=2(cos²x+cosx+f(x)=2(cos²x+cosx+1/4-1/41/4-1/4) -1) -1 f(x)=2(cosx+1/2)²-3/2f(x)=2(cosx+1/2)²-3/2……..(1)……..(1)

ii)ii) Debido Debido xxЄЄ[[ΠΠ/2;/2;ΠΠ]] → → -1≤cosx≤0-1≤cosx≤0 formando(1)formando(1) f(x)f(x)ЄЄ [[-3/2;-1-3/2;-1]] ∴ ∴ Ran f(x) Ran f(x) ЄЄ [[-3/2;-1-3/2;-1]]

Piden: rango de f(x)


Se define f(x)=2cotx-4cot2x para Se define f(x)=2cotx-4cot2x para

xxЄЄ[-[-ΠΠ/4;/4;ΠΠ/3/3>. Halle su rango>. Halle su rango


i)i) Si f(x)=2cotx-4cot2x , por restricción: x≠0Si f(x)=2cotx-4cot2x , por restricción: x≠0

debido a que xdebido a que xЄЄ[-[-ΠΠ/4;/4;ΠΠ/3/3> >

ii) Redefiniendo a f(x)ii) Redefiniendo a f(x)

f(x)=2.cotx-2(f(x)=2.cotx-2(cotx-tanx))

f(x)=2tanxf(x)=2tanx

iii) Si iii) Si --ΠΠ/4 /4 ≤≤ x x < < ΠΠ/3/3> - {0}, por función creciente> - {0}, por función creciente

tan(- tan(- ΠΠ/4) /4) ≤ tanx < tan ≤ tanx < tan ΠΠ/3 /3 - {0}- {0}

-1 -1 ≤ tanx < ≤ tanx < √3 - {0}√3 - {0}

→→ -2≤ f(x) < 2√3 - {0}-2≤ f(x) < 2√3 - {0}

∴∴RanRan f(x) [ -2 , ∈f(x) [ -2 , ∈ 2√3] 2√3] - {0}- {0}

Piden: rango de f(x)

Cotx-tanx=2cot2x

- ΠΠ/4

ΠΠ/3/3

√√3

-1


La ecuación y=2sen3x, representa la regla La ecuación y=2sen3x, representa la regla de correspondencia de la grafica. Calcule de correspondencia de la grafica. Calcule el área de la región trapecial OBCD.el área de la región trapecial OBCD.

Y=2sen3x

x

y


i) si y=2sen3x i) si y=2sen3x → Amplitud es: → Amplitud es: A=2A=2 y el periodo y el periodo minimo de la función minimo de la función

T=2T=2ΠΠ/B, B/B, B>0 >0 →→ T= 2T= 2ΠΠ/3./3.

ii) En el gráfico, ii) En el gráfico, SS representa el área de la región representa el área de la región trapecial OBCD trapecial OBCD

SS==[[((ΠΠ/2+ /2+ ΠΠ/3)/2/3)/2]2]2

∴∴S=5Π/6 u²

Π/3

Π/3

Π/2

2Π/3

Y=2sen3x2

-2

2

0

Piden: área de la región trapecial OBCD


En el gráfico la distancia entre los En el gráfico la distancia entre los puntos P y Q es igual a d puntos P y Q es igual a d considerando considerando ΠΠ=√3+√2. Calcule d-1=√3+√2. Calcule d-1

Y=SENX

Y=COSX

X

Y

P

Q


P(Π/4;√2/2)

Q(5Π/4;-√2/2)

Y=COSXY=SENX1

-1

2ΠΠ0

d

Piden: d

Dato: Π=√3+√2Π=√3+√2

Π / 4

5Π / 4

Del grafico se establece:

i) Interceptos:i) Interceptos: f(x)=g(x) f(x)=g(x) senx=cosx, tanx=1 → x={Π/4 ; 5Π/4} entonces: entonces: P(Π/4;√2/2) y Q(5Π/4;-√2/ 2)ii)ii) Por cálculo de distancia entre dos puntos: Por cálculo de distancia entre dos puntos:

d=d=√√((55ΠΠ/4- /4- ΠΠ/4)/4)²+(²+(-√2/2-√2/2)-√2/2-√2/2)² ²

→ → d=√(Π²+2) ……… por dato ……… por dato Π=√Π=√3+√22

d=√(7+2√6)

d=d=√√((√6+1√6+1))²² d=√6+1d=√6+1

∴ ∴ d-1=d-1=√6√6

APLICACIONESAPLICACIONES

INGENIERÍA EN SONIDOINGENIERÍA EN SONIDO

El sonido es el resultado del El sonido es el resultado del

recorrido de la energía recorrido de la energía

mecánica a través de mecánica a través de

materiales en forma de una materiales en forma de una

onda imperceptible que onda imperceptible que

produce alternativamente los produce alternativamente los

fenómenos de compresión y fenómenos de compresión y

refracción.refracción.

FRECUENCIA DE UNA ONDAFRECUENCIA DE UNA ONDA

Esta onda se propaga con un periodo Esta onda se propaga con un periodo repetitivo (T), el cual define el concepto de repetitivo (T), el cual define el concepto de frecuencia frecuencia (f=1 / T), (f=1 / T), en donde se establece en donde se establece que la frecuencia, es el numero de ciclos que la frecuencia, es el numero de ciclos completos por unidad de tiempo y se mide en completos por unidad de tiempo y se mide en Hertz (Hz), de manera que Hertz (Hz), de manera que 1Hz = 1 ciclo por 1Hz = 1 ciclo por segundo.segundo.

El rango de frecuencias en sonidos acústicos se El rango de frecuencias en sonidos acústicos se encuentra entre menos de 1 Hz y mas de encuentra entre menos de 1 Hz y mas de 100.000 Hz.100.000 Hz.

En el ser humano la capacidad de audición se En el ser humano la capacidad de audición se limita al área mas baja de ese rango, el que limita al área mas baja de ese rango, el que oscila entre 20 Hz y 20.000 Hz.oscila entre 20 Hz y 20.000 Hz.

CONCLUSIONESCONCLUSIONES

Es importante el conocimiento de la teoría básica Es importante el conocimiento de la teoría básica

del tema para poder desarrollar los problemas.del tema para poder desarrollar los problemas.

Para interpretar las gráficas se debe considerar Para interpretar las gráficas se debe considerar

los criterios fundamentales que se ha señalado.los criterios fundamentales que se ha señalado.

El tema tiene una estrecha relación con los El tema tiene una estrecha relación con los

últimos avances de la tecnología. últimos avances de la tecnología.

GRACIAS POR SU ATENCIÓN

PANTALLA DEL OSCILOSCOPIO

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