REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD FERMIN TORO

FACULTAD DE INGENIERIA CATEDRA DE ANALISIS DE SEÑALES

SERIES DE FOURIER

INTEGRANTE Bryan Hinojosa

19170086 Eligheor cohil

19170084

CABUDARE 06 DE DICIEMBRE DE 2013

PARTE I

∗  Una señal 𝑓(𝑡) es periódica si y solo si 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 ±  𝑇) para todos los valores de 𝑇 . En otras palabras, una señal periódica tiene la propiedad de que no cambia para un corrimiento en el tiempo. Por teoría sabemos que para 𝑓(𝑎𝑡) si a esta 0 < 𝑎 < 1 la función se ensancha en su periodo pero si 𝑎 > 1 la función se comprime dependiendo del numero que tenga 𝑎 . Como la señal es periódica con periodo 𝑡 y tomando el teorema ∗ podemos decir que:

𝑓(𝑎𝑡) = 𝑓(𝑎𝑡 − 𝑇)

𝑎𝑡 = 0           ∧          𝑎𝑡 − 𝑇 = 0

𝑡 = 0           ∧          𝑎𝑡 = 𝑇

𝑡 = 0           ∧          𝑡 =𝑇𝑎

Acá podemos observar que la señal se repite cada !

! (Periodo.)

Sabemos que 𝑓(𝑡) = 𝑐 , donde c es ctte.

EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER

PARTE I

1. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, demostrar que f(at) para

a  ≠  0  es  una  función  periódica  con    período  T/a 2. Demostrar que la función f(t) = constante, es una función periódica de

período T para cualquier valor positivo de T 3. Si f(t) es una función periódica de t con T e integrable, demostrar que

fa(t) =     𝟏𝟐𝒂 ∫ 𝒇(𝝉)𝒅𝝉𝒕 𝒂𝒕 𝒂 también es periódica con periodo T

PARTE II

1. Dada la función la función f(t) definida por f(t) = 1 para

– π  <  t  <  0,  f (t)  =  0,  para      0<  t  <  π  y    f (t  +  2π)  =  f (t). Grafique y encuentre

la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 1).

2. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π,  π)  y  

f(t  +  2π)  =  f(t).  Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t)

(Ver figura 2).

EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER

PARTE I

1. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, demostrar que f(at) para

a  ≠  0  es  una  función  periódica  con    período  T/a 2. Demostrar que la función f(t) = constante, es una función periódica de

período T para cualquier valor positivo de T 3. Si f(t) es una función periódica de t con T e integrable, demostrar que

fa(t) =     𝟏𝟐𝒂 ∫ 𝒇(𝝉)𝒅𝝉𝒕 𝒂𝒕 𝒂 también es periódica con periodo T

PARTE II

1. Dada la función la función f(t) definida por f(t) = 1 para

– π  <  t  <  0,  f (t)  =  0,  para      0<  t  <  π  y    f (t  +  2π)  =  f (t). Grafique y encuentre

la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 1).

2. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π,  π)  y  

f(t  +  2π)  =  f(t).  Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t)

(Ver figura 2).

Por teorema conocemos que una función es periódica si y solo si 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑇) este caso se cumple para una función ctte ya que para cualquier valor de T la función 𝑓(𝑡 + 𝑇) valdrá el mismo valor.

Esta integral tiene un parecido al valor promedio de una señal 𝑓(𝑡) la cual es la componente DC de una señal 𝑓(𝑡) y viene expresada por:

𝐴! =1𝑇 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

!

Solo que 𝑇 = 2𝑎 y el intervalo de integración va de 𝑡 − 𝑎      𝑎    𝑡 + 𝑎.

𝑓!(𝑡) =12𝑎 𝑓(𝜏)𝑑𝜏

!!!

!!!           ;            𝑠𝑒𝑎  𝑓(𝜏)  

𝑓!(𝑡) =12𝑎 𝑑𝜏

!!!

!!!𝑓(𝜏)𝑑𝜏

!!!

!!!=12𝑎 𝑡 + 𝑎 − 𝑡 − 𝑎 𝑑𝜏

!!!

!!!

𝑓!(𝑡) =12𝑎 𝑡 + 𝑎 − 𝑡 + 𝑎 𝑓(𝜏)𝑑𝜏

!!!

!!!=12𝑎 2𝑎 𝑓(𝜏)𝑑𝜏

!!!

!!!= 𝑓(𝜏)𝑑𝜏

!!!

!!!

Claramente podemos observar que también tiene período T. PARTE II

EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER

PARTE I

1. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, demostrar que f(at) para

a  ≠  0  es  una  función  periódica  con    período  T/a 2. Demostrar que la función f(t) = constante, es una función periódica de

período T para cualquier valor positivo de T 3. Si f(t) es una función periódica de t con T e integrable, demostrar que

fa(t) =     𝟏𝟐𝒂 ∫ 𝒇(𝝉)𝒅𝝉𝒕 𝒂𝒕 𝒂 también es periódica con periodo T

PARTE II

1. Dada la función la función f(t) definida por f(t) = 1 para

– π  <  t  <  0,  f (t)  =  0,  para      0<  t  <  π  y    f (t  +  2π)  =  f (t). Grafique y encuentre

la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 1).

2. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π,  π)  y  

f(t  +  2π)  =  f(t).  Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t)

(Ver figura 2).

EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER

PARTE I

1. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, demostrar que f(at) para

a  ≠  0  es  una  función  periódica  con    período  T/a 2. Demostrar que la función f(t) = constante, es una función periódica de

período T para cualquier valor positivo de T 3. Si f(t) es una función periódica de t con T e integrable, demostrar que

fa(t) =     𝟏𝟐𝒂 ∫ 𝒇(𝝉)𝒅𝝉𝒕 𝒂𝒕 𝒂 también es periódica con periodo T

PARTE II

1. Dada la función la función f(t) definida por f(t) = 1 para

– π  <  t  <  0,  f (t)  =  0,  para      0<  t  <  π  y    f (t  +  2π)  =  f (t). Grafique y encuentre

la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 1).

2. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π,  π)  y  

f(t  +  2π)  =  f(t).  Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t)

(Ver figura 2).

Estamos en presencia de una señal periódica. Por la ecuación de análisis tenemos que:

𝐴! =1𝑇 𝑥(𝑡)𝑒!!"!!!𝑑𝑡

!=1𝑇 𝑥(𝑡)𝑒!!" !!

! !𝑑𝑡!

Tomando el periodo −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 obtenemos:

𝐴! =12𝜋 𝑥(𝑡) 𝑒!!" !!

! !𝑑𝑡!

!!=

12𝜋

1−𝑗𝑘 2𝜋

2𝜋𝑒!!"#

!!

!

𝑢 =−𝑗𝑘2𝜋𝑇 𝑡      ,          𝑐𝑜𝑛    𝑇 = 2𝜋     ∴  𝑢 =

−𝑗𝑘2𝜋2𝜋 𝑡    ;  

𝑑𝑢−𝑗𝑘 = 𝑑𝑡  

𝐴! =12𝜋

1−𝑗𝑘 𝑒!!" ! − 𝑒!!" !!

𝐴! =1

−𝑗2𝜋𝑘 1− 𝑒!"# =𝑗

2𝜋𝑘 1− cos 𝑘𝜋 + 𝑗 sin 𝑘𝜋

Por propiedad 𝑒!"# = cos 𝑘𝜋 + 𝑗 sin 𝑘𝜋

Para el valor medio de la señal

𝐴! =1𝑇 𝑥(𝑡)𝑑𝑡

!

EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER

PARTE I

1. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, demostrar que f(at) para

a  ≠  0  es  una  función  periódica  con    período  T/a 2. Demostrar que la función f(t) = constante, es una función periódica de

período T para cualquier valor positivo de T 3. Si f(t) es una función periódica de t con T e integrable, demostrar que

fa(t) =     𝟏𝟐𝒂 ∫ 𝒇(𝝉)𝒅𝝉𝒕 𝒂𝒕 𝒂 también es periódica con periodo T

PARTE II

1. Dada la función la función f(t) definida por f(t) = 1 para

– π  <  t  <  0,  f (t)  =  0,  para      0<  t  <  π  y    f (t  +  2π)  =  f (t). Grafique y encuentre

la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 1).

2. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π,  π)  y  

f(t  +  2π)  =  f(t).  Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t)

(Ver figura 2).

𝐴! =12𝜋 (1)𝑑𝑡

!

!!=

12𝜋 𝑡 !!

! =12𝜋 0− −𝜋 =

𝜋2𝜋 =

12

𝐴! =12

Para k = 1

𝐴! =𝑗2𝜋 1− cos 𝜋 + 𝑗 sin 𝜋

𝐴! =𝑗2𝜋 2 =

𝑗𝜋     ;    𝐴!! = −𝐴!

Para k = 2

𝐴! =𝑗4𝜋 1− cos 2𝜋 + 𝑗 sin 2𝜋

𝐴! =𝑗4𝜋 0 = 0     ⇒    𝐴! = 0

Para k = 3

𝐴! =𝑗6𝜋 1− cos 3𝜋 + 𝑗 sin 3𝜋

𝐴! =𝑗6𝜋 2 =

𝑗3𝜋     ;    𝐴!! = −𝐴!

Para k = 4

   𝐴! = 0 = 𝐴!! Para k = 5

𝐴! =𝑗

10𝜋 1− cos 5𝜋 + 𝑗 sin 5𝜋

𝐴! =𝑗

10𝜋 2 =𝑗5𝜋     ;    𝐴! = −𝐴!

Graficando 𝐴! obtenemos que:

Para la ecuación de síntesis y obtener la representación en serie de Fourier tenemos:

𝑥 𝑡 = 𝐴!𝑒!!"!!

! ! = 𝐴!𝑒!!"#!

!!!!

!!

!!!!

𝑥 𝑡 = 𝐴!!𝑒!!!! + 𝐴!!𝑒!!!! + 𝐴!!𝑒!!!! + 𝐴!!𝑒!!!! + 𝐴!!𝑒!!" + 𝐴! + 𝐴!𝑒!"

+ 𝐴!𝑒!!! + 𝐴!𝑒!!! + 𝐴!𝑒!!! + 𝐴!𝑒!!!

𝑥 𝑡 =−𝑗5𝜋 𝑒

!!!! −𝑗3𝜋 𝑒

!!!! −𝑗𝜋 𝑒

!!" +12+

𝑗𝜋 𝑒

!" +𝑗3𝜋 𝑒

!!! +𝑗5𝜋 𝑒

!!!

𝑥 𝑡 =12+

𝑗𝜋 𝑒!" − 𝑒!!" +

𝑗3𝜋 𝑒!!! − 𝑒!!!! +

𝑗5𝜋 𝑒!!! − 𝑒!!!!

Por propiedad sin 𝑤𝑡 = !

!!𝑒!"# − 𝑒!!"#

𝑥 𝑡 =12−

2𝜋 sin 𝑡 −

23𝜋 sin 3𝑡 −

25𝜋 sin 5𝑡

Estamos en presencia de una señal periódica. Por la ecuación de análisis tenemos que:

𝐴! =1𝑇 𝑥(𝑡)𝑒!!"!!!𝑑𝑡

!=1𝑇 𝑓(𝑡)𝑒!!" !!

! !𝑑𝑡!

  ;    𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒  𝑓(𝑡) = 𝑡

Tomando el periodo −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 obtenemos:

𝐴! =12𝜋 𝑡 𝑒!!" !!

! !𝑑𝑡!

!!

Resolviendo la integral

𝑡 𝑒!"𝑑𝑡     ;    𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒      𝑎 =−𝑗𝑘2𝜋2𝜋 = −𝑗𝑘

𝑢 = 𝑡                  𝑑𝑣 = 𝑒!"𝑑𝑡

𝑑𝑢 = 𝑑𝑡            𝑣 =1𝑎 𝑒

!"  

EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER

PARTE I

1. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, demostrar que f(at) para

a  ≠  0  es  una  función  periódica  con    período  T/a 2. Demostrar que la función f(t) = constante, es una función periódica de

período T para cualquier valor positivo de T 3. Si f(t) es una función periódica de t con T e integrable, demostrar que

fa(t) =     𝟏𝟐𝒂 ∫ 𝒇(𝝉)𝒅𝝉𝒕 𝒂𝒕 𝒂 también es periódica con periodo T

PARTE II

1. Dada la función la función f(t) definida por f(t) = 1 para

– π  <  t  <  0,  f (t)  =  0,  para      0<  t  <  π  y    f (t  +  2π)  =  f (t). Grafique y encuentre

la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 1).

2. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π,  π)  y  

f(t  +  2π)  =  f(t).  Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t)

(Ver figura 2).

3. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π,  π)  y  

f(t  +  2π)  =  f(t).  Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t)

(Ver figura 3).

𝑡 𝑒!"𝑑𝑡 =𝑡𝑎 𝑒

!" −1𝑎 𝑒!"𝑑𝑡 =

1𝑎 𝑡𝑒

!" −1𝑎! 𝑒

!" + 𝑐

Así sustituyendo el valor de a tenemos que:

𝐴! =12𝜋

𝑡−𝑗𝑘 𝑒

!!"#

!!

!−    

1−𝑗𝑘 ! 𝑒

!!"#

!!

!

𝐴! =12𝜋

𝑗𝑘 𝜋𝑒!!" ! − −𝜋𝑒!!" !! −

1−𝑘 𝑒!!" ! − 𝑒!!" !!

𝐴! =12𝜋

𝑗𝜋𝑘 𝑒!!" ! + 𝑒!" ! −

1𝑘 𝑒!" ! − 𝑒!!" !

Por propiedad cos 𝑤𝑡 = !

!𝑒!"# + 𝑒!!"#      ;      sin 𝑤𝑡 = !

!!𝑒!"# − 𝑒!!"#

𝐴! =12𝜋

𝑗𝜋𝑘 2 cos 𝑘𝜋 −

1𝑘 2 𝑗 sin 𝑘𝜋

𝐴! =𝑗𝑘 cos 𝑘𝜋 −

2𝑗𝑘 sin 𝑘𝜋         ;          sin 𝑘𝜋 = 0      ∀      𝑘 ∈  ℤ!

𝐴! =𝑗𝑘 cos 𝑘𝜋

Para el valor medio de la señal

𝐴! =1𝑇 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

!

𝐴! =12𝜋 (𝑡)𝑑𝑡

!

!!=

14𝜋 𝑡! !!

! =14𝜋 𝜋! − −𝜋 ! = 0

𝐴! = 0

Para k = 1

𝐴! =𝑗1 cos 1 𝜋

𝐴! = −𝑗

Para k = -1

𝐴!! =𝑗−1 cos −1 𝜋

𝐴! = 𝑗

Para k = 2

𝐴! =𝑗2 cos 2 𝜋

𝐴! =𝑗2         ;    𝐴!! = −𝐴!

Para k = 3

𝐴! =𝑗3 cos 3 𝜋

𝐴! =−𝑗3         ;    𝐴!! = −𝐴!

Para k = 4

𝐴! =𝑗4 cos 4 𝜋

𝐴! =𝑗4         ;    𝐴!! = −𝐴!

Graficando 𝐴! obtenemos que:

Para la ecuación de síntesis y obtener la representación en serie de Fourier tenemos:

𝑥 𝑡 = 𝐴!𝑒!"!!

! ! = 𝐴!𝑒!"#!

!!!!

!!

!!!!

𝑥 𝑡 = 𝐴!!𝑒!!!! + 𝐴!!𝑒!!!! + 𝐴!!𝑒!!!! + 𝐴!!𝑒!!" + 𝐴! + 𝐴!𝑒!" + 𝐴!𝑒!!! + 𝐴!𝑒!!!

+ 𝐴!𝑒!!!

𝑥 𝑡 = −𝑗 𝑒!" − 𝑒!!" +𝑗2 𝑒!!! − 𝑒!!!! −

𝑗3 𝑒!!! − 𝑒!!!! +

𝑗4 𝑒!!! − 𝑒!!!!

Por propiedad sin 𝑤𝑡 = !

!!𝑒!"# − 𝑒!!"#

𝑥 𝑡 = 2 sin 𝑡 − sin 2𝑡 +23 sin 3𝑡 −

12 sin 4𝑡

Estamos en presencia de una señal periódica. Por la ecuación de análisis tenemos que:

𝐴! =1𝑇 𝑥(𝑡)𝑒!!"!!!𝑑𝑡

!=1𝑇 𝑓(𝑡)𝑒!!" !!

! !𝑑𝑡!

  ;    𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒  𝑓(𝑡) = 𝑡!

Tomando el periodo −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 obtenemos:

𝐴! =12𝜋 𝑡! 𝑒!!" !!

!! !𝑑𝑡!

!!=

12𝜋 𝑡! 𝑒!!"#𝑑𝑡

!

!!

Resolviendo la integral

𝑡! 𝑒!"𝑑𝑡     ;    𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒      𝑎 = −𝑗𝑘

𝑢 = 𝑡!                  𝑑𝑣 = 𝑒!"𝑑𝑡

𝑑𝑢 = 2𝑡𝑑𝑡            𝑣 =1𝑎 𝑒

!"  

3. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π,  π)  y  

f(t  +  2π)  =  f(t).  Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t)

(Ver figura 3).

3. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π,  π)  y  

f(t  +  2π)  =  f(t).  Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t)

(Ver figura 3).

𝑡! 𝑒!"𝑑𝑡 =𝑡!

𝑎 𝑒!" −

2𝑎 𝑡𝑒!"𝑑𝑡

𝑡 𝑒!"𝑑𝑡  

𝑢 = 𝑡                  𝑑𝑣 = 𝑒!"𝑑𝑡

𝑑𝑢 = 𝑑𝑡            𝑣 =1𝑎 𝑒

!"  

𝑡 𝑒!"𝑑𝑡 =𝑡𝑎 𝑒

!" −1𝑎 𝑒!"𝑑𝑡 =

1𝑎 𝑡𝑒

!" −1𝑎! 𝑒

!" + 𝑐

Obtenemos así la solución total de la integral:

𝑡! 𝑒!"𝑑𝑡 =𝑡!

𝑎 𝑒!" −

2𝑎

𝑡𝑎 𝑒

!" −1𝑎! 𝑒

!" + 𝑐

𝑡! 𝑒!"𝑑𝑡 =𝑡!

𝑎 𝑒!" −

2𝑡𝑎! 𝑒

!" +2𝑎! 𝑒

!" + 𝑐

𝐴! =12𝜋

𝑡!

−𝑗𝑘 𝑒!!"#

!!

!

−    2𝑡−𝑗𝑘 ! 𝑒

!!"#

!!

!

+    2

−𝑗𝑘 ! 𝑒!!"#

!!

!

𝐴! =12𝜋

𝑗𝑘 𝜋!𝑒!!" ! − 𝜋!𝑒!" ! +

2𝑘! 𝜋𝑒!!" ! + 𝜋𝑒!" !

+2𝑗𝑘! 𝑒!!" ! − 𝑒!" !

Por propiedad cos 𝑤𝑡 = !!𝑒!"# + 𝑒!!"#      ;      sin 𝑤𝑡 = !

!!𝑒!"# − 𝑒!!"#

𝐴! =12𝜋

−𝑗𝜋!

𝑘 2 𝑗 sin 𝑘𝜋 −2𝜋𝑘! 2 cos 𝑘𝜋 −

2𝑗𝑘! 2 𝑗 sin 𝑘𝜋

𝐴! =𝜋𝑘 sin 𝑘𝜋 −

4𝜋𝑘! cos 𝑘𝜋 −

4𝑘! sin 𝑘𝜋         ;          sin 𝑘𝜋 = 0      ∀      𝑘 ∈  ℤ!

𝐴! = −4𝜋𝑘! cos 𝑘𝜋

Para el valor medio de la señal

𝐴! =1𝑇 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

!

𝐴! =12𝜋 (𝑡!)𝑑𝑡

!

!!=

12𝜋

13 𝑡

!

!!

!

=16𝜋 𝜋! − −𝜋 ! =

2𝜋!

6𝜋 =𝜋!

3

Para k = 1

𝐴! = −4𝜋1 ! cos 1 𝜋

𝐴! = 4𝜋

Para k = -1

𝐴!! = −4𝜋−1 ! cos −1 𝜋

𝐴!! = 4𝜋

Para k = 2

𝐴! = −4𝜋2 ! cos 2 𝜋

𝐴! = −𝜋

Para k = -2

𝐴!! = −4𝜋−2 ! cos −2 𝜋

𝐴!! = −𝜋

Para k = 3

𝐴! = −4𝜋3 ! cos 3 𝜋

𝐴! =49𝜋

Para k = -3

𝐴!! = −4𝜋−3 ! cos −3 𝜋

𝐴!! =49𝜋

Graficando 𝐴! obtenemos que:

Para la ecuación de síntesis y obtener la representación en serie de Fourier tenemos:

𝑥 𝑡 = 𝐴!𝑒!"!!

! ! = 𝐴!𝑒!"#!

!!!!

!!

!!!!

𝑥 𝑡 = 𝐴!!𝑒!!!! + 𝐴!!𝑒!!!! + 𝐴!!𝑒!!" + 𝐴! + 𝐴!𝑒!" + 𝐴!𝑒!!! + 𝐴!𝑒!!!

𝑥 𝑡 =49𝜋 𝑒!!! + 𝑒!!!! − 𝜋 𝑒!!! + 𝑒!!!! + 4𝜋 𝑒!" + 𝑒!!" +

𝜋!

3 Por propiedad cos 𝑤𝑡 = !

!𝑒!"# + 𝑒!!"#

𝑥 𝑡 =𝜋!

3 + 8𝜋 cos 𝑡 − 2𝜋 cos 2𝑡 +89𝜋 cos 3𝑡