Serie de Fourier de tiempo Continuo Bibliografa recomendada:

Dinmica de sistemas y Control, Eronini Umez-Eronini, Thomson Learning, 2001ISBN 970-686-041-X.

Introduccin a las Seales y los Sistemas, D.K. Lidner, Mc Graw Hill, 2002. ISBN 980-373-049-5.

Introduccin

En 1807, Fourier, establece en los trabajos presentados en el instituto de Francia que: cualquier seal peridica puede ser representada por una serie de sumas trigonomtricas en senos y cosenos relacionados armnicamente. Los argumentos establecidos por Fourier eran imprecisos y en 1829 Dirichlet proporcion las condiciones precisas para que una seal peridica pueda ser representada por una serie de Fourier. Fourier obtuvo adems, una representacin para seales no peridicas, no como suma de senoides relacionadas armnicamente, sino como integrales de senoides, las cuales no todas estn relacionadas armnicamente. Al igual que las series de Fourier, la integral de Fourier, llamada Transformada de Fourier, es una de las herramientas ms poderosas para el anlisis de sistemas LTI (Sistema Lineal Invariante en el Tiempo).

Representacin de una seal peridica

Una funcin f que satisface f (t+T) = f (t) para toda t R se conoce como funcin peridica (de periodo T en este caso). Ejemplos conocidos de este tipo de funciones son sen(t) y cos(t), ambas peridicas (de periodo 2pi ) ya que:

sen(t + 2pi) = sen(t) y cos(t + 2pi) = cos(t) para toda t R.

El valor ms pequeo de T para el cual se verifica la expresin anterior se denomina periodo fundamental de x(t).

Para que una seal peridica pueda representarse por una serie de Fourier, debe respetar las condiciones de Dirichlet:

Que tenga un nmero finito de discontinuidades en el periodo T, en caso de ser discontinua.

La funcin debe ser absolutamente integrable en un periodo.

dt x(t)T Que tenga un nmero finito de mximos positivos y negativos.

Si se satisfacen estas condiciones, existe la serie de Fourier y puede escribirse en la forma trigonomtrica como:

Es decir que la serie de Fourier en tiempo continuo se expresa de la forma:

:

Los coeficientes ak y bk, se obtienen mediante el siguiente clculo integral:

Tambin la serie de Fourier puede escribirse en la forma:

a) cosenoidal:

( )

=

+=0

cos)(k

kk tkAtx

Relacionado con la representacin trigonomtrica por:

22kkk baA += y

=

k

kk

a

barctg

b) exponencial:

=

=

k

tjkk eCtx )(

y = Ttjk

k dtetxT

C )(1 T

pi

2=

Relacionado con las representaciones anteriores por:

( ) ( )kkkkkk jbajsenAC =+=21

cos2

Serie de Fourier de tiempo Discreto

Considere una funcin peridica x(t) expresada en serie de Fourier (exponencial) como sigue:

=

=

k

tjkk eCtx )(

y = Ttjk

k dtetxT

C )(1 T

pi

2=

(1)

La aproximacin en tiempo discreto ser:

Nkjnk

N

k

kTjkk eCeCkTx /2

~1

0

~

)( pi

=

== (2)

=

=

1

0

/2~

)(1N

k

Nnkjk ekTx

NC pi

Donde T = 2 pi/ es el periodo fundamental de x(t), = T/N es el periodo de muestreo y k es el ndice del tiempo de ejecucin o punto de muestreo. La funcin se vuelve exacta cuando N ( kk CC =~ ). De manera ordinaria, la diferencia

kkk CCe =~

se conoce como error de alias. La mayora de los sistemas responde a un lmite superior de frecuencia, es decir que los sistemas por lo general tienen un ancho de banda finito. Estas seales pueden representarse con precisin mediante secuencias equidistantes de muestra con un periodo de muestreo bastante corto. Supongamos que una funcin tiene M armnicos en la expansin de la serie de Fourier, es decir que es una funcin de banda limitada. Entonces la representacin de la serie truncada

=

=

M

Mk

tjkkeCtx )(

es exacta ya que los trminos ms all de Mk = son cero.

Por lo tanto, es necesario determinar slo 2M+1 trminos, es decir, C-M, C-M+1,...., C-1,

C0, C1,.....,CM, utilizando 2M+1 valores de x(t) para representar completamente la funcin. En consecuencia la representacin en tiempo discreto ser tambin exacta (cero

error de alias); es decir, es posible encontrar con exactitud los coeficientes kC~ si el periodo de muestra es tal que

N 2M+1 o N/2 M

La frecuencia correspondiente a M, es decir, T

NM

pi ==

2 se conoce como

frecuencia de Nyquist.

Transformada de Fourier en tiempo continuo

Para aplicar el concepto de serie de Fourier a funciones arbitrarias no peridicas se considera que la funcin f(t) es peridica con un periodos arbitrario muy grande, tendiendo a infinito (T ). La frecuencia fundamental en este lmite se aproxima a una frecuencia diferencial, en tanto que las frecuencias de los sinusoides tienen un rango continuo (ya no en valores discretos) desde - hasta +. La serie exponencial de Fourier se escribe:

=

=

k

tjkkeCtx 0)(

= Ttjk

k dtetxT

C 0)(1

Reemplazando se tiene:

=

=

k

tjkT

tjk edtetxT

tx 00)(212)( pi

pi

Cuando a (k0) se lo reemplaza por (continua) y a (2pi/T) por (d) los lmites de la integral entre corchetes se aproximan a (- y +), y por la definicin de integral definida, la sumatoria sobre k se aproxima a una integral. Es decir,

=

dtetxdetx tjtj pi

)(21)(

El valor entre corchete se denomina Transformada de Fourier de la funcin x(t) y se denota como:

= dtetxX tj )()( transformada de Fourier

= dteXtx tjpi

)(21)(

transformada inversa de Fourier

Para que una funcin sea transformable por Fourier es suficiente que se cumplan las condiciones de Dirichlet.

Funcin exponencial continua no peridica y la amplitud de su transformada de Fourier

Impulso unitario

Supongamos que tenemos que empujar un objeto: para ello podemos aplicarle una fuerza durante un periodo de tiempo t. Si queremos comunicarle una determinada energa cintica la fuerza F aplicada nos determina la duracin t para alcanzar dicha energa cintica. Si aumentamos F el tiempo necesario ser menor. En el lmite cuando t tienda a 0 tendremos que aplicarle una fuerza infinita. Sera el equivalente fsico a un "martillazo": un golpe instantneo de gran fuerza. Con frecuencia, sobre los sistemas mecnicos, actan fuerzas externas (o FEM sobre los circuitos elctricos) de gran magnitud slo durante un lapso muy breve. Por ejemplo: 1. En un ala de aeroplano que se encuentre oscilando, puede caer un rayo, 2. cuando se da un golpe brusco a una masa en un resorte con un martillo, 3. o cuando una bola de baseball (golf o tenis), es puesta a volar golpendola violentamente con un bate, un palo de golf o una raqueta.

cuando 0 a la funcin se la denomina impulso unitario y tiene la propiedad siguiente:

y se representa grficamente como:

Propiedades de la funcin impulso unitario:

Es una funcin par, es decir, (t) = (-t)

= )()()( afdtattf

= )()1()()( afdtattf nnn

= )(2 adte atj pi

)(1)( ta

at =

Supongamos que tenemos la ecuacin diferencial de primer orden

)()()( ttykdt

tdy =+

La solucin de la ecuacin diferencial puede encontrarse aplicando integral de convolucin, y se expresa como:

==== )()()()()()( thdthdtthhty

h(t) se denomina respuesta a un impulso unitario.

Funcin de respuesta a un impulso unitario.

Funcin de Transferencia de Fourier

Supongamos un sistema en tiempo continuo, lineal e invariable en el tiempo definido por una ecuacin diferencial de la forma:

)()()( txtykdt

tdy=+

La respuesta puede ser representada como una integral de convolucin

( ) ( ) )()()( txthdxthty ==

Si se aplica la propiedad de convolucin de la transformada de Fourier obtenemos:

Y() = H().X()

Se define funcin de transferencia como la relacin:

( ) ( )( )

XYH =

Teorema de la respuesta de frecuencia usando Transformada de Fourier

Considere un sistema cuya funcin de transferencia es

( ) ( )( )

VXH =

y que la seal de entrada es:

v(t) = cos (i t)

entonces la seal de salida es:

)cos()( += tHx iis )))(Re())(Im((

i

i

HH

arctgcon

=

xs se denomina respuesta del sistema en estado estacionario.

Ejercicios

Dada la ecuacin diferencial

)()()( atsentxdt

tdxRC =+

Encontrar la Funcin de transferencia del sistema.

Determinar la respuesta en estado estacionario x(t) del sistema aplicando Transformada de Fourier. Grafique seal de entrada y salida del sistema

Para la ecuacin diferencial

)()()()( ttxkdt

tdx =+

Determinar la respuesta en estado estacionario x(t) del sistema aplicando Transformada de Fourier.

Para la ecuacin diferencial

)(2)cos(4)(2)(2)(22

tsenttxdt

tdxdt

txd+=++

Encontrar la Funcin de transferencia del sistema. Determinar la respuesta en estado estacionario x(t) del sistema aplicando Transformada de Fourier.

Para la ecuacin diferencial

)2(3)()(2)(2)( 22

3

3

tsentxdt

tdxdt

txddt

txd=+++

Determine: a) Funcin de Transferencia en el dominio de Fourier b) La respuesta forzada debido a un impulso unitario c) La respuesta forzada debida a la entrada especificada.

Transformada de Fourier en tiempo discreto

La transformada de Fourier en tiempo discreto se obtiene a partir de la expansin de la serie de Fourier en tiempo discreto y se aplica para representar funciones no peridicas en tiempo discreto.

Sea una x[n] una funcin peridica, con periodo N0, en tiempo discreto expresada en serie de Fourier:

[ ]

=

=

10

0

0N

k

j n k eXnx k con [ ]

=

=

10

0

0

0

1 N

m

j m k emx

NX k

[ ] [ ]

=

=

=

10

0

010

0

0

0

1N

k

j n k N

m

j m k eemx

Nnx

Para considerar una funcin no peridica consideramos una funcin peridica con

periodo fundamental N0 , en ese caso la frecuencia fundamental 0

02Npi

= se

aproxima a la frecuencia diferencial en tiempo discreto d ; k0 se aproxima a la frecuencia en tiempo discreto continua , la sumatoria externa se aproxima a una integral en y lmite de integracin 2pi. La sumatoria interna abarca un intervalo infinito. Entonces,

[ ] [ ] deemxnx j n

m

j m

=

=

221pi

La transformada de Fourier en tiempo discreto es:

( ) [ ]

=

=n

j n enxX

y su transformada inversa:

[ ] ( )= j n d eXnx 221pi

La condicin para la convergencia de la transformada es que se cumpla

[ ]

=

n

nx

Seal en tiempo discreto y su respectiva TFTD.

Resumen de caractersticas de series y transformadas de Fourier

Dominio de

tiempo

Peridica No peridica

Continua Serie de Fourier

Transformada de Fourier en tiempo continuo

No peridica

Discreta Serie de Fourier en tiempo discreto

Transformada de Fourier en tiempo discreto

Peridica

Discreta Continua Dominio de la

frecuencia

Transformada discreta de Fourier

La transformada de Fourier en tiempo discreto requiere de un nmero infinito de muestras y a su vez, es una funcin continua de . Claro est que en la prctica es posible procesar slo las secuencias de datos disponibles en una longitud de tiempo finito. La transformada de Fourier en tiempo discreto (TFTD) de una secuencia x[n] se expresa como:

( ) [ ]

=

=n

j n enxX

Para reducir la sumatoria a un nmero finito introducimos una aproximacin de x[n] extrayendo Ns muestras, es decir, definimos una nueva seal:

=

=

otro caso en

,......,N, nx[n] nx

s

0110][~

Entonces la TFTD de la nueva seal es:

( ) [ ] [ ]

=

=

==1

0

~~~

sN

n

j n n

j n enxenxX

Esta es una funcin continua de , y para poder ser evaluada numricamente debemos discretizar la frecuencia. Si se discretiza la frecuencia en k puntos se tiene:

1102 == ss

k ,....N, kk N

Entonces la transformada muestreada en la frecuencia es:

[ ] [ ] 110~~)(~1

0

1

0

2

===

=

=

s

N

n

N

n

,....N,kenxenxkXss

ks

Nj n

kj n

pi

Si hacemos: sNj

eWpi2

=

[ ] 110~)(~1

0==

=

s

N

n

k n,....N,kWnxkX

s

Transformada Discreta de Fourier (TDF)

110~1~1

0==

=

s

N

k

k n

s

,.....,N, n (k) W X N

[n]xs

Inversa de TDF

El algoritmo desarrollado para evaluar la TDF se conoce como Transformada Rpida de Fourier (FFT), este algoritmo requiere considerar al nmero de muestras N= 2m (con m = entero).

Seal muestreada x(n) y la amplitud de su TDF

EL ANLISIS DE FOURIER Y SUS APLICACIONES