Serie de Fourier

L serie de Fourier permite demostrar una función periódica en la que existe una componente continua y un número finito de términos en seno y coseno los cuales corresponden a las componentes armónicas, así pues en términos sencillos una función periódica puede expresarse de la siguiente manera trigonométrica como serie de Fourier:

f (t )=a0+∑n=1

∞

(an cosnωt+bn sennωt)

Siendo ao la componente continua mientras el resto de la expresión representa la componente alterna denominada frecuencia fundamental. La suma tanto de la componente continua y el número ilimitado de fuentes alternas representa la onda periódica en la serie de Fourier.

- Coeficientes de Fourier

Los coeficientes de Fourier se pueden determinar mediante las siguientes ecuaciones:

a0=1T0

∫−T0

2

T0

2

f (t )dt

an=2T 0

∫−T0

2

T0

2

f (t ) cosnωtdt

bn=2T 0

∫−T0

2

T0

2

f ( t ) sennωtdt

Considerando que los intervalos de integración pueden ser cualquiera siempre y cuando sean medidos en el mismo periodo.

Tomando como ejemplo el cálculo de una señal rectangular, resolviendo las integrales, evaluándolos según los intervalos de integración y asumiendo el valor de la función periódica como una constante “A” podemos deducir la ecuación de cada coeficiente:

a0=1T0

∫−T0

2

T0

2

f (t )dt= ATT 0

an=2T 0

∫−T0

2

T0

2

f (t ) cosnωtdt=2 Anπsen nπT

T 0

bn=2T 0

∫−T0

2

T0

2

f (t ) sennωtdt=0

Al sustituir dichos coeficientes en la serie de Fourier obtenemos que:

f ( t )= ATT 0

+∑n=!

∞ 2 Anπsen nπT

T0cosnωt

Una vez obtenida la ecuación solo hay que asumir valores de “n” para obtener la amplitud de cada componente armónico.

-Onda Simétrica

Para el caso de una onda simétrica par se debe cumplir que la onda f(t) sea igual a la onda f(-t), al aplicar esta ley a la serie de Fourier obtenemos las siguientes ecuaciones

f ( t )=a0+∑n=1

∞

(an cosnωt+bn sennωt) (1)

f (−t )=a0+∑n=1

∞

¿¿

Por las propiedades de senos y cosenos podemos reescribir la ecuación (2) como:

f (−t )=a0+∑n=1

∞

(ancosnωt−bn sennωt ) (3)

Así pues, analizando la ecuación y tomando en consideración que para que la serie de Fourier pueda ser considerada par solo deben existir los cosenos, tomando en consideración esto y aplicándolo a la ecuación (1) y (3) se puede concluir que para que ocurra la igualdad f(t)=f(-t) entonces bn=0.

En el caso contrario se puede encontrar la onda simétrica impar se debe cumplir que –f(-t)=f(t), al tomar la ecuación (1) y aplicando la condición obtenemos:

−f (− t )=a0+∑n=1

∞

(−an cosnωt+bn sennωt )(4)

Al contrario del caso anterior para que la serie de Fourier pueda ser considerada impar solo deben existir las variables de seno entonces todos los valores de an deben ser 0

El último caso es la onda simétrica alternada para la cual debe cumplirse la siguiente condición:

−f (−t−T 0

2 )=f (t)Si se desarrolla la serie se encuentra que solo existen términos impares es decir que para los términos pares todos los términos pares ao,an y bn debe ser igual a cero si “n” es par.

- Serie de Fourier exponencial

La principal ventaja que ofrece la serie de Fourier exponencial es que reduce las variables de an y bn a una sola variable que se puede indicar como cn a la distribución de estas variables se le llama espectro. Para hacer esto el parámetro se define como:

cn=an−bn j

2

Para el caso de valores de “n” negativos se puede escribir la ecuación de la siguiente manera:

c−n=an+bn j

2

Al cambiar también las variables continuas de ao=co y sustituyendo en la serie de Fourier se obtiene la siguiente ecuación:

f ( t )=∑n=0

∞

cnejnwb t+∑

n=1

∞

c−n e− jn wb t

Para simplificar la ecuación se incluyó co en el primer término evaluándolo con n=0; además se puede modificar c-n por cn y modificando los intervalos por n=-1 y n=-∞ se puede obtener la siguiente ecuación simplificada.

f (t )= ∑n=−∞

+∞

cn ejnwbt