Relacion entre las propiedades de tiempo de una señal y la representación de Fourier

Propiedad de periodica no periodica

tiempo

ContinuaSerie de fourier (FS)

Transf. De Fourier (FT)

discreta Serie de Fourier en tiempo discreto DTFS

Transf. De Fourier en tiempo discreto (DTFT)

REPRESENTAR UNA SEÑAL PERIÓDICA MEDIANTE SERIE DE FOURIER

• La figura representa una señal periódica:

)()( 0Ttgtg

G(t)

t

T

Para T0 0

T0 es el valor mas pequeño que satisface la ecuación

tnfsenbtnfaatg n

k

nn 00

10 22cos)(

Se puede ver facilmente que g(t) es periódica con periodo T0 si se demuestra que:

)()( 0 tgTtg

Cont...

• Por lo tanto:Cualquier combinación de senoides de frecuencias 0, f0, f1, f2, .......,kf0 es una señal periódica con periodo T0.

• Es evidente que si se combinan los valores an y bn es posible construir una variedad de señales periódicas.

• Determinando los valores de los coeficientes obtenemos:

• Expresando la serie de fourier de manera compacta :

0

0

0

10 )(

T

T dttga tdtntgaT

Tn 0

0

0

02 cos)(

0

0

0

02 )()(T

Tn dttnsentgb

)cos()( 001

0

tncctgn

n

00 ac 22nnn bac

)(10 n

nabtg

• Ejemplo

Representación de una señal periódica mediante una serie exponencial

• Dada una señal periódica g(t) se puede representar mediante:

n

tjnneGtg 0)(

T 2

0

T tjn

Tn dtetgG0

1 0)(

• Señal periódica discreta: Si x[n] es una señal en tiempo discreto con periodo fundamental N.

• Donde es la frec. Fundamental de x[n]

• Hay solo N senoides complejas distintas de de la forma

• Señal periódica continua: Si x(t) es una señal en tiempo continuo con periodo fundamental T.

k

tjkekAtx 0][)(

k

njkekAnx 0][][

N/20

Cont........

• Encuentre le serie de Fourier del tren de pulsos rectangular.

• Calculando las constantes:

• Si =T0/5 y A=1 Cn = (1/5)Sinc(n/5).Graficando

T0

A

t

K(t)

)(sin00 T

nTA

n cC

Si =T0/5 y A=1 Cn = (1/5)Sinc(n/5).Graficando

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cn

no

Si =T0/2 y A=1 Cn = (1/2)Sinc(n/2).Graficando

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Cn

no

Si =T0/20 y A=1 Cn = (1/20)Sinc(n/20).

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Si =T0/40 y A=1 Cn = (0.025)Sinc(n/40)

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Continuación serie de fourier

Una señal discreta x[n] es periódica con periodo N donde N es un entero positivo y si x[n] no cambia con un corrimiento de tiempo de N. Es decir: n

Si esta ecuación se satisface x[n] es periódica en 2n, 3N,.......

N: periodo fundamental es el valor mas pequeño.

Ejemplo: se muestra una señal periódica con N=3.

][][ Nnxnx

n

X[n]

0

Cont....

• Ejemplo: verificar la periodicidad de la señal dada por

• Puesto que x(t) tiene discontinuidad en el origen notamos que las características de la señal no se va ha repetir. Concluimos que X(t) no es periódica

• SEÑAL PAR E IM PAR• Una señal x(t) ó x[n] se conoce como señal par ó impar si

se cumple x(-t) = x(t) y x[-n] = x[n] ; x(-t) = -x(t) y x[-n] = -x[n] repectivamente.

)cos()({)( ttsentx , Si t < 0

, Si t 0

t

X(t) es par

t

X(t)

Cont......

• Cualquier señal se puede separar en la suma de 2 señales en la cual una es par y la otra impar.

|)(||)(|)( txOdtxEvtx |)()(||)()(|)( 2

121 txtxtxtxtx

0,...10,...0{][

nnnx

-3 -2 -1 0 1 2 3

. . . . . . . .. . . . . . . . .

n

1

1/2

-3 -2 -1 0 1 2 3

n

. . . . . . . . ..

. . . . . . .

n

1

0 1 2 3

-3 -2 -1

-1/2

1/2

0,...2/10,.....1

0,...2/1{]}[{

nnn

nxEv

0,....2/10,......00,...2/1

{]}[{

nnn

nxOd

Escalamiento en el tiempo

• Sea x(t) una señalen tiempo continuo. El escalamiento en tiempo continuo den la variable independiente t, por un factor a se define :

• Si a>1 La señal y(t) es una version comprimida;

• Si 0<a<1, la señal y(t) es una versión expandida.

)()( atxty

-1

01

1

-0.5

0

0.5

1

-22

0

X(t) Y(t)=X(2t)Y(t)=x(1/2t)

t

t

t

1

En el caso de tiempo discreto

• Escribimos: k>0• Se define solo para valores enteros de K, si k>1 algunos valores

de la señal en tiempo discreto de Y[n] se pierden . Ver ejemplo para k=2.

][][ knxny

01 2 3 4 5 6

-1-2-3-4-5-6n

X[n]

0 1 2 3n

-3 -2 -1

Y[n]=X[2n]

Corrimiento en el tiempo

• La fig. inferior muestra el corrimiento de x(t) a x(t-2).

• En el caso de una señal en tiempo discreto x[n] definimos la versión desplazada en el tiempo.

• y[n]=x[n-m] , para m: entero.

X(t)

t-0.5 0.5

1

21

1

0t

Y(t)=x(t-2)

0

Regla de precedencia para el desplazamiento y el escalamiento en el tiempo

• Sea y(t) una señal que se obtiene de x(t) por medio de una combinación de desplazamiento y escalamiento en el tiempo como se describe:

• y(t) = x(at-b) .La relación entre y(t) y x(t) cumple la siguiente condición:

• Y(0) = x(-b) y y(b/a) = x(0).

• Para obtener correctamente y(t) a partir de x(t) las operaciones de corrimiento y escalamiento deben efectuarse en el orden correcto.

• En el escalamiento la variable t se reemplaza por at;

• En el corrimiento la variable t se reemplaza por t-b.dando una señal intermedia v(t). V(t)=x(t-b) y y(t)=v(at)=x(at-b).

• Ej. secuencia correcta de operación:

• Secuencia incorrecta de operación:

-1 0 1 0-1-2-3-4

1

V(t)=X(t+3)

t0-1-2-3

1

Y(t)=V(2t)

t

X(t)

t

1

X(t)

t

1

0-1-2-3

1

Y(t)

t

X(2t)

-1 0 1

1

t-0.5 0.5 -3.5 -2.5

• Dado x[n] = 1, n = 1, 2. Encontrar y[n] = x[2n+3].

= -1, n=-1, -2

= 0, n = 0 y |n|>2

1 2

-1-2

X[n]

n

1 2-1

-2

y[n]

n-3-4

-2 -1

-4-5

v[n]

n

-3

1

-1

0

• Considere x[n] definida por:

• X[n] = 1, -2 n 2

• 0, |n|>2

• Encontrar y[n]=x[3n-2]

Señal exponencial compleja

• Considenado la señal imaginaria:

• la cual es una función periódica como se puede verificar

• Como entonces de allí que el periodo fundamental es

• Si 0=0 ; entonces x(t)=1 la cual es periódica para cualquier valor de T.

• Una señal relacionada estrechamente con la exponencial periodica compleja es: la señal senoidal:

tjetx 0)(

tjTjtjTtjtj eeeee 00000 )(

10 Tje 20 T

0

2T

)(0

0)cos( tje eARtA

Potencia y energía de una señal exponencial periódica

• Dada: entonces• Y la potencia promedio

ya que hay un # infinito de periodos conforme t varía de - a + entonces la energía integrada es .

• Puesto que la potencia promedio de la señal=1 por cada periodo, si se promedia múltiplos periodos siempre será =1. Es decir.

• Si se considera un conjunto de exponenciales complejas relacionadas armonicamente, quiere decir que ellos son periódiocas con periodo común T y para que implica que K=0, 1, 2,...

• •

tjetx 0)( 02

0|| 0 TdteE

T tjperiodo

1||0

21 0

0 dtep

T tjTperiodo

T

T

tjTT dteP 1||lim 2

21 0

10 Tje kT 200

0

20 T

Continuaciòn Exp. compleja

• Un conjunto de exponenciales complejas relacionadas armonicamente tienen frecuencias fundamentales que son todas múltpiles de una sola frecuencia positiva

• Para es una constante mientras que para cualquier otro valor K, es periòdica con frecuencia fundamental y periodo fundamental

0tjk

k et 0)( ,.....2,1,0 k

0k )(tk)(tk

0k

k

T

k0

0

2

Cont.......

• Ejemplo de Conjunto de func. Exponenciales.

• Dibujar la magnitud de la señal

tjtj eetx 32)( )5.0cos(2)( 5.2 tetx tj

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

)(mod tx

2 4

Señal senoidal discreta

• La señal

• Se relaciona con

njenx 0

njsenne nj00cos0

njjnjj eeA

eeA

nA 00

22)cos( 0

Señal senoidal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

)12/2cos(][ nnx

• Dada ]31

)2(4cos[][n

nx

-5 0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas

• La función continua tiene la propiedad :• A) conforme aumenta tambien aumenta la velocidad de

oscilación de la señal.• B) es periódica para cualquier valor de • C) Señales diferentes para diferentes valores de

• La función exponencial discreta:• A) vemos que la velocidad que .Es decir • es idéntica a las señales con frecuencia 02; 04; 06;..• B) la no tiene un incremento continuo en la velocidad de

oscilación. Conforme 0 aumenta de 0 a entoces aumenta su velocidad de oscilación y si se sigue aumentando 0 de a 2 su velocidad de oscilación disminuye.

• es la misma

tje 0

0

tje 0 0

njnjnjnj eeee 000 2)2(

0

nje 0

0

-5 0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-5 0 5 10 15 20 25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-5 0 5 10 15 20 25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-5 0 5 10 15 20 25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-5 0 5 10 15 20 25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-5 0 5 10 15 20 25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-5 0 5 10 15 20 25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-5 0 5 10 15 20 25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-5 0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

].0cos[][ nnx ]8/.cos[][ nnx ]4/.cos[][ nnx

]2/.cos[][ nnx ].cos[][ nnx

]8/..15cos[][ nnx

]2/..3cos[][ nnx

]4/..7cos[][ nnx ]..2cos[][ nnx

Ejemplos

• Dada la función ]

122

cos[][n

nx

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-5 0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Representación en serie de Fourier de señales periódicas discretas exponenciales complejas relacionadas armonicamente

• Una señal discreta x[n] es periódica con periodo N si

• N: periodo fundamental mas pequeño.][][ Nnxnx

nNje )/2(

nNjkk en )/2(][

][][0 nn N ][][ 11 nn N

][][ nn rNkk

Nk Nk

nNjkk

njkkk

Nkk eaeananx )/2(0

0 =2/N es la frec. Fundamental.

• es periódica con periodo N. Además,

• para k=0, 1, 2 , 3,.........

•Las exponenciales discretas que difieren en frecuencia por 2 son identicas. Es decir

•En general

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

)31/8cos(][ nnx •

Representación en serie de fourier de una señal periódica discreta

nNjk

Nkkeanx )/2(][

Nn

nNjkk enxN

a )/2(][1

Par de la serie discreta de fourier

.ak: Coeficientes espectrales de x[n]

Estos coeficientes especifican una descomposición de x[n] en una suma de N exponenciales complejas relacionadas armónicamente.

x[n]=a00[n]+a11[n]+.....+aN-1N-1[n]. K varia entre 0 y N-1

.x[n]=a11[n]+a22[n]+.....+aNN[n]. K varia entre 1 y N

ejemplo

• Considere la señal: donde

• Expandiendo la señal se obtiene:

• Se deduce:

• Graficando para N=5

nsennx 0 N/20

nNjnNj ej

ej

nx )/2()/2(

2

1

2

1

ja

2

11

ja

2

11

Continuación ejemplo

• Consideremos: suponiendo que M y N no tuvieran factores comunes.

• De donde determinamos:

• Los coeficientes de fourier para M=3 y N=5 cuya grafica es

NM /20

nNjMnNjM ej

ej

nx )/2()/2(

2

1

2

1

jaM 2/1 ja M 2/1

Ejemplo:

*

)2

4cos()

2cos(3)

2(1][

nN

nN

nN

sennx

ja2

1

2

31

10 a

10 a ja2

1

2

31 ja

2

12 ja

2

12

Onda cuadrada periódica

• Dada

1

1

1

1

1

1

2

0

)/2()/2(2

0

))(/2()/2( 111 N

m

mNjkNNjkN

m

NmNjkN

Nn

nNjkk ee

Ne

Ne

Na

)/(

/)2/1(21 1

Nksen

NNksen

Nak

.......2,,0 NNk

N

Nak

12 1 ,......2,,0 NNk

Al evaluar los 2N1+1 términos de una serie geométrica la cual da como resultado

nx

n x

Coeficientes de la serie de fourier Onda cuadrada discreta

N=10 2N1+1=5

N=20 2N1+1=5

N=40 2N1+1=5

sumas parciales de la ec: n

NjkM

Mkkeax

)2

(

N=9: par

2N1+1=5

No hay fenómeno de GIBBS

CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER DE UNA ONDA CUADRADA CONTINUA-FENOMENO DE GIBBS

• Aproximación de la serie finita

N

Nk

tjkkN eatx 0)(

Propiedades de la serie discreta de fourier