Control 2 - Sesión 3Repazo a la transformada de LaplaceReferencia: Sección 1.4 - Ingeniería de control moderna - Kuo

1. Solución de ecuaciones diferenciales

Ecuación homogénea:

dxdt = −kx→ x = e−kx

La solución de la ecuación homogenea es siempre de la forma x = e−kx. Ejemplo de esto es un circuito RC (sin fuente externa)con condiciones iniciales diferentes de 0; la solución representa la descarga del voltaje del condensador por la resistencia.

Ecuación diferencial de primer orden:

x+ k dxdt = A→ x = A[1− e−x/k

]2. Transformadas

La idéa detrás de las transformaciones es la de facilitar la solución de las ecuaciones diferenciales convirtiendolas en ecuacionesalgebraicas:

x+ kDx = A→ x(1 + kD) = A→ x = A(1+kD)

Una transformación es un funcional (función de funciones) con la cual se hacen transformaciones de variables, que puedenser:

Transformación a función real de variables real: derivadas, integrales, etc.

Transformación a función real de variables complejas: magnitud y fase.

Transformación a función compleja de variable real: suma de parte imaginaria más parte real como en fasores.

Transformación a función compleja de variable compleja: complejo conjugado.

La transformación deseada debe cumplir que la operación derivada corresponda con una escalización, lo cuál se cumple con lasfunciones exponenciales.

3. Transformada de Laplace

De�nición matemática

Peirre Simon Laplace de�nio la transformación siguienteF (s) =

´∞0f(t)e−stdt

Esta transformación al incluir el exponencial cumple con la propiedad deseada.

Ejemplo: Escalón unitario: U(s) =´∞0u(t)e−stdt =

´∞0e−stdt = − e

−st

s |∞0 = 1s

La transformada de Laplace siempre es empleada para transformar funciones temporales.

Propiedades de la transformada de Laplace

Linealidad: L [af(t) + bg(t)]

Transformada de la derivada: L[dfdt

]= sF (s)− f ′(0), L

[d2fdt2

]= s2F (s)− sf ′(0)− f(0)

Teorema del retardo: L [f(t− τ)] = e−sτF (s)Teorema del valor �nal: lım

f→∞f(t) = lım

s→0sF (s)

4. Transformada inversa de Laplace

Existen 2 métodos tradicionalesIntegral de convolución: f(t) =

´F (s)e−stdt, con limites de integración c± iw, siendo una integral compleja

Fracciones parciales: Método de simpli�cación algebraíca basado en tablas.Ejemplo:

2d2ydt2 + 3dydt + y = 1→ Y (s) = 1

2s2+3s+1 → Y (s) = 22s+1 −

1s+1 → y(t) = 2

[1− e−t/2

]− [1− e−t]

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5. Señales, Función de transferencia y respuestas.

Una señal en el tiempo puede ser representada por la transformada de Laplace: Y (s) = 1s+1 → y(t) = 1− e−t

Un sistema puede ser descrito mediante una función de transferencia. La función de transferencia es una descripción exógena,es decir, una representación basada en lo externo del sistema (puertos de entrada y salida). La función de transferencia es la

relación (Ganancia) entre la salida y la entrada: G(s) = O(s)I(s) y no es una señal.

La respuesta de un sistema es la señal resultante a la salida cuando entra en el sistema una determinada señal; el cálculo se

obtiene de multiplicar la función de transferencia por la señal de entrada: R(s) = O(s)I(s) I(s) = O(s)

La respuesta en estado estable RSS se de�ne como el valor de la respuesta para un tiempo in�nito.El error en estado estable se de�ne como u(∞)−RSS para una entrada escalón unitario.

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