Sesion 1 y 2. Optimización_separatai_unc

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERIA-EAPIS - e--e

Ing. Karim Cruzado Villar. Docente del Curso de Optimizacin.

CAPITULO I. INTRODUCCIN A LA INVESTIGACIN OPERATIVA.

1.1. ORIGEN DE LA INVESTIGACIN OPERATIVA

Las bases de la investigacin cientfica se remontan a muchos aos atrs, cuando se intento emplear el

enfoque cientfico en la administracin de una empresa.

Pero es en la segunda guerra mundial cuando se hace presente su aplicacin en la distribucin de recursos

escasos para las operaciones militares. Para ello las administraciones militares americanas e inglesas

convocaron a cientficos para que aplicaran el enfoque cientfico en la resolucin de este problema y otros

de tipo estratgico y tctico.

El xito de la investigacin de operaciones en las operaciones militares llamo la atencin de las empresas e

industrias, las cuales hasta el da de hoy demandan de est aplicacin del mtodo cientfico para solucionar

problemas de control en las organizaciones, relacionadas directamente con la distribucin de recursos

escasos.

1.2. CONCEPTO.

La investigacin de operaciones es una rama de las matemticas en la cual se hace uso de modelos

matemticos, estadsticos y algoritmos para apoyar la toma de decisiones en problemas de optimizacin

Permite tomar decisiones analizando escases de recursos, para optimizar un objetivo definido, como la

maximizacin de los beneficios o la minimizacin de costes.

1.3. EL ENFOQUE CIENTFICO Y LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES.

El enfoque cientfico contribuye a la investigacin de operaciones en:

1. La estructuracin de una situacin de la vida real como un modelo matemtico, con lo que se logra una

abstraccin de los elementos esenciales para que pueda buscarse una solucin que concuerde con los

objetivos del tomador de decisiones. Esto implica tomar en cuenta el problema dentro del contexto del

sistema completo.

2. El anlisis de la estructura de tales soluciones y el desarrollo de procedimientos sistemticos para

obtenerlas.

3. El desarrollo de una solucin, incluyendo la teora matemtica, si es necesario, que lleve al valor ptimo

de la medida de lo que se espera del sistema (o quiz que compare los cursos de accin alternativos

evaluando esta medida para cada uno). "




1.4. CLASIFICACIN DE LOS PROBLEMAS DE INVESTIGACIN OPERATIVA.

Se encuentran dos clases

Por el Objetivo del Problema

Por el Grado de Certidumbre de los Datos ( por la naturaleza de los datos)

1.4.1. POR EL OBJETIVO DEL PROBLEMAS

a. Modelos de optimizacin. Su objetivo es maximizar cierta cantidad (beneficios, eficiencia) o minimizar cierta medida (coste,

tiempo), teniendo en cuenta restricciones (disponibilidad de capital, personal, material, fechas

limites, etc.). Algunos ejemplos de modelos de optimizacin son:

Problemas de secuenciacin. Tratan sobre la distribucin de recursos en cierto orden. De qu

forma se deben ordenar los trabajos para que el tiempo total de procesamiento de estos en

cada una de las mquinas sea mnimo?

Problemas de localizacin. Relacionados a la asignacin de recursos a actividades, para

optimizar efectividad.

Problemas de rutas. Aquellos en las que se busca la ruta ptima desde un origen a un destino

cuando existen varias alternativas posibles. Ejm. Un viajero que Un viajero que debe visitar

varias ciudades en un solo viaje. En que orden debe visitarlas para minimizar la distancia total

viajada?

Problemas de bsqueda. Cuando el objetivo es buscar informacin necesaria para tomar

decisiones. Ejm. Realizar auditorias en empresas en busca de trampas o errores, realizar

exploraciones de la tierra para encontrar recursos naturales como el petrleo, cobre, etc.

b. Modelos de prediccin.

Su objetivo es describir y predecir sucesos (nivel de ventas, fechas de terminacin de proyectos,

nmero de clientes, etc.) dadas ciertas condiciones.

Problemas de remplazamiento. Se ocupan de decidir el tiempo optimo para remplazar los

equipos que fallan o se deterioran. Ejm. Problema de remplazamiento de maquinaria industrial.

Problemas de inventario. Consiste en determinar la cantidad ideal de productos que se debe

tener en una tienda o almacn, pues si un cliente quiere comprar una cierta cantidad de

productos, pero no estn disponibles, representara perdidas para la empresa. Y si fuera el caso

contrario, y en vez de faltante se tendra exceso de productos, el costo de almacenamiento

puede ser demasiado alto.

Problemas de colas. Se refiere a cualquier problema en el que hay que esperar por un servicio.

El objetivo de este tipo de problemas es encontrar el mejor modelo de rendimiento del sistema

de atencin al cliente para que su funcionamiento sea ptimo.

Problemas de competencia. Surgen cuando existe competencia entre dos o mas elementos

(empresas, recurso humano, etc.) Ejm. Cuando dos empresas compiten por obtener un

contrato. La solucin de este tipo de problemas conlleva a un proceso implcito de Toma de

decisiones.




1.4.2. POR EL GRADO DE CERTIDUMBRE DE LOS DATOS (NATURALEZA DE LOS DATOS)

Est clasificacin toma en cuenta los tipos de datos y el modelo en que encajan. Se encuentran de 3

tipos:

a. Modelo determinstico. Para este modelo todos los datos importantes del modelo se suponen

conocidos.

b. Modelos probabilstico. En este caso los datos del modelo son inciertos y normalmente se dan por

probabilidad.

c. Modelos Hbridos. Este modelo tiene datos de los dos tipos anteriores.

Figura 1.Clasificacin de los modelos de investigacin operativa segn su naturaleza.

Despus de conocer la clasificacin de los problemas de investigacin de operaciones, describiremos el

proceso de resolucin de estos.




1.5. METODOLOGA DE LA INVESTIGACIN OPERATIVA

Consta de cuatro pasos:

Paso 1. Definicin del Problema. Es importante tener clara la definicin del problema, pues a una pregunta

bien planteada se podr tener una respuesta correcta. Sin embargo para definir un problema a veces es

necesario enfrentar datos incompletos, ambiguos, conflictivos o difusos, diferencias de opinin,

presupuesto o tiempo limitado, poltica, el responsable de la toma de decisiones no tiene bien definido que

es lo que quiere realmente. Para solucionar estos problemas es necesario tener un buen plan de trabajo que

consider lo siguiente:

a. Observar. Analizar el problema desde diferentes puntos de vista, de modo que termine

entendiendo el problema como las personas implicadas.

b. Consientes de las realidades polticas. Los problemas que se dan entre trabajadores de la empresa

ya sean jefes u operarios, da lugar muchas veces a recibir informacin distorsionada.

c. Decidir que se quiere realmente. Definir claramente los objetivos antes de desarrollar y resolver

un modelo.

d. Identificar restricciones. Es importante identificar las limitaciones que afectan la decisin final,

para incluirlas en el modelo.

e. Buscar Informacin de modo continuo. A lo largo de todo el proceso, el analista debe mantener

contacto permanente con el responsable de la toma de decisiones

Paso2. Modelado matemtico. En el modelado matemtico identificamos los elementos ms importantes

del problema de investigacin operativa:

a. Variables de decisin. Identificamos aquellos factores sobre los que el tomador de decisiones tiene

control, ests son las variables de decisin del problema (Ejm. Cantidad de artculos a producir de

cada producto o el material a utilizar).

Para identificar las variables de decisin es til hacer las siguientes preguntas: qu es lo que hay

que decidir? O sobre que elementos tenemos control? O cul seria una respuesta vlida para este

caso?

Existen tambin factores que no podemos modificar y que por lo general se les llama parmetros.

Ejm. Nmero de horas de trabajo disponibles o fechas lmite a cumplir segn un contrato.

Segn el problema lo que a veces es una variable de decisin en otros casos puede ser un

parmetro o viceversa.

b. Funcin objetivo. La funcin objetivo hace referencia al modelo matemtico que representa el

objetivo a optimizar, tomando en cuenta luego para su solucin las restricciones existentes.

Las preguntas que pueden ser de ayuda para identificar la funcin objetivo son: Qu es lo que

queremos conseguir? O Si yo fuera el jefe de la empresa Qu me interesara ms?

c. Restricciones. Hacen referencia a las limitaciones y requisitos que limitan nuestra decisin. Ejemplo

de restricciones frecuentes son: recursos disponibles (trabajadores, mquinas, material, etc.) que




son limitados; fechas lmite de contratos a cumplir; restricciones impuestas por la naturaleza del

problema (por ejemplo: el flujo de entrada a un nodo debe ser igual al flujo de salida)

d. Traducir los elementos anteriores a un modelo matemtico. Despus de identificar los elementos

anteriormente mencionados, estos son expresados de forma matemtica.

Dependiendo de la naturaleza de las funciones matemticas, el modelo ser de un tipo u otro; por

ejemplo, si todas ellas son lineales, el problema ser de Programacin Lineal; si existe ms de una

funcin objetivo, ser de programacin multicriterio, etc.

Paso3. Solucin del modelo. Para la solucin se aplican diferentes mtodos matemticos y algoritmos. Los

pasos de solucin son los siguientes:

a. Elegir tcnica de resolucin adecuada. Podemos encontrar problemas que se pueden resolver con

tcnicas existentes, que nos ayudaran a tener una solucin ptima para el modelo. En otros casos,

el problema es muy complejo o el algoritmo es difcil de procesarlo computacionalmente, entonces

es necesario recurrir a mtodos heursticos de resolucin.

b. Generar las soluciones del modelo. Elegida la tcnica de solucin del problema, es posible

empezar a trabajar con el uso de un computador ya que por lo general sern muchos datos los que

se manejaran, para ello hoy en da las hojas de calculo incluyen operadores de anlisis de

optimizacin e inclusive existen software especializados como Lingo, WinQSB, entre otros.

c. Comprobar/validar los resultados.

d. Revisar el modelo matemtico. Si los resultados son inaceptables.

e. Realizar anlisis de sensibilidad. Estudia los cambios que pueda sufrir una solucin si se alteran los

parmetros del modelo, o bien en qu rango de variacin de los parmetros la solucin sigue

siendo valida.

Paso4. Presentacin/implementacin de resultados. Consta de dos pasos:

a. Preparar informes y/o presentacin. El informe debe contribuir a que los decisores comprendan

completamente el enfoque del analista, para ello puede hacer uso de las presentaciones orales,

utilizando transparencias, videos o software especializado y los informes propiamente dichos.

b. Vigilar el proceso de implementacin de la solucin propuesta. Una vez implementada la solucin,

debe ser supervisada de forma continua. Dada la naturaleza dinmica y cambiante de la mayora de

las empresas, es casi inevitable que haya que realizar cambios en el modelo. El analista debe estar

preparado para saber cundo ha llegado el momento de cambiar y para realizar los cambios.




CAPITULO II. PROGRAMACIN LINEAL.

2.4. 1. INTRODUCCIN.

La programacin lineal es una tcnica matemtica que consiste en una serie de mtodos y procedimientos

que permiten resolver problemas de optimizacin.

Los problemas mas simples que podemos resolver con programacin lineal son aquellos que son de 2

variables, problemas bidimensionales.

Para sistemas de ms variables, la solucin se halla aplicando el mtodo simplex.

Sin embargo en el ao 1984, Narenda Karmarkar, encontr un algoritmo, llamado algoritmo de Karmark,

que es ms rpido que el mtodo simplex.

2.4. 2. INECUACIN LINEALES CON 2 VARIABLES.

Es una expresin de la forma: ax + by c, donde el signo puede ser tambin , > y P1= (0, -1)

Y=0; x =-1.5 =>P2 = (-1.5, 0)

Figura 2. Grfica de la Inecuacin con 2 variables




La recta divide al plano en dos regiones que pueden ser la solucin, para encontrar cul de las dos es la

regin factible existen 2 formas:

Figura 3. Zona de solucin o regin factible

Primera forma. Tomamos cualquier punto de referencia que se encuentre en la zona a evaluar y

remplazamos el valor en la inecuacin para saber si dicho valor cumple con la condicin expresada. Ejm.

Punto (0,0), remplazando en la inecuacin: 2X + 3Y -3. Se obtiene que 2(0) + 3(0) -3; tendremos

entonces que 0 -3, como esto es verdadero, entonces asumimos que el semiplano donde se encuentra el

punto 0,0 es la zona de solucin factible.

De la misma forma podemos tomar un punto de referencia de otro lado del semiplano, como por ejemplo el

punto (-2, -2), remplazando en la ecuacin tenemos 2(-2) + 2 (-2) -3, tendremos entonces -8-3, lo cual es

falso, entonces descartamos est zona como regin factible, entonces nuestra regin factible seria la que se

muestra en la figura anterior.

Segunda forma. Se despeja y en la ecuacin y se obtiene

La solucin de la inecuacin ser aquella parte en la que y sea mayor que la recta, es decir la parte superior.




2.4. 3. SISTEMA DE INECUACIONES LINEALE 2x y 9 =0

Vrtice

(3,-3)




De estas obtenemos y =-3, remplazando en la ecuacin 2x + 3y=-3, obtenemos que x =3, entonces un primer

vrtice ser el punto (3,-3).

Ejercicio. Encontrar los otros dos vrtices.

2.3.2. TRAZADO DE OTRO TIPO DE GRAFICAS.

Trazado de graficas tipo X K o bien Y K, donde falta alguna de las dos incgnitas.

Estas inecuaciones corresponden a rectas horizontales y verticales, y su representacin es muy sencilla.

Ejemplo. X2 no es ms que el conjunto de puntos a la izquierda de la recta vertical que pasa por el punto

X=2.

Figura 5. Trazado de grafica tipo X2

Lo mismo ocurre con y 1, que ser en este caso la parte inferior a la recta horizontal es decir y=1

Figura 6. Trazado de grafica tipo y1.

Para cuando x0 o y 0, las rectas coincidirn con los ejes de coordenadas.




2.4. 4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN DE UNA FUNCIN SUJETA A RESTRICCIONES.

En un problema de programacin lineal de dos variables x e y, se trata de optimizar (hacer mxima o

mnima, segn los casos) una funcin (llamada funcin objetivo) de la forma:

F(x,y) =A.x + B . y

Sujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistema de inecuaciones lineales del tipo

Los puntos del plano que cumplen el sistema de desigualdades forman un recinto convexo acotado

(poligonal) o no acotado, llamado regin factible del problema.

Todos los puntos de dicha regin cumplen el sistema de desigualdades. Se trata de buscar, entre esos

puntos, aquel o aquellos que hagan el valor de F(x,y) mximo o mnimo, segn sea el problema.

Los puntos de la regin factible se denominan soluciones factibles.

De todas esas soluciones factibles, aquellas que hacen ptima (mxima o mnima) la funcin objetivo se

llaman soluciones ptimas.

En general, un problema de programacin lineal puede tener una, infinitas o ninguna solucin.

Lo que si se verifica es la siguiente propiedad:

PROPIEDAD:

Si hay una nica solucin ptima, esta se encuentra en un vrtice de la regin factible, y si hay infinitas

soluciones ptimas, se encontrarn en un lado de la regin factible.

Es posible que no haya solucin ptima, pues cuando el recinto es no acotado, la funcin objetivo puede

crecer o decrecer indefinidamente.

Para resolver el problema, podemos abordarlo de dos formas (forma geomtrica o algebraica), pero antes

de aplicar cualquiera de ellas, siempre hay que dibujar la regin factible, resolviendo el sistema de

inecuaciones lineales correspondiente, como se ha visto en los epgrafes anteriores (la regin factible puede

estar acotada o no), y se calculan los vrtices de dicha regin.




2.4.4. 1. FORMA GEOMTRICA:

La funcin objetivo se representa por: F(x,y)=A.x + B . y, la cual se maximiza o minimiza.

Encontramos el vector direccional de la recta A.x + B.y viene dado por v=(-B, A), del vector nos interesa la

direccin, por ello si los valores de la coordenadas son muy grandes , podemos dividirlas por un mismo

numero, puesto que vectores con coordenadas proporcionales que tienen la misma direccin.

Posteriormente, se trazan rectas paralelas a este vector que pasen por los vrtices de la regin factible (si es

acotada) , o por todo el borde de la regin factible (cuando no es acotada) y se observa en que vrtice la

funcin F se hace mxima (o mnima) sin ms que tener en cuenta cual de las rectas tiene mayor (o menor)

ordenada en el origen, es decir, que recta corta en un punto mayor o menor al eje y.

Ejemplo. Maximizar la funcin F (x,y) = 2000x + 5000y sujeta a las restricciones:

Solucin.

La regin factible en este caso es:

Figura 7. Regin factible.

Los vrtices son los puntos (0, -1); (5,1) y (3, -3).

Como la funcin es F(x,y) =2000X + 5000 y, el vector director es v= (-5000,2000), simplificando tenemos al

vector v=(-5, 2) que tiene la misma direccin, y su representacin es la siguiente.

Figura 8. Regin factible y vector de la funcin objetivo

Vector de la funcin objetivo




El siguiente paso consiste en trazar paralelas al vector, que pasan por los vrtices anteriores, tal como se

muestra en la figura:

Figura 9. Paralelas al vector en figura acotada- cruce con vrtices.

Solucin grfica: Paralelas al vector por vrtice.

Se observa entonces que la recta paralela que corta al eje y en el punto ms lejano o mayor es el que pasa

por el punto 5,1, entonces este ser el punto optimo.

Para saber el valor mximo de la funcin remplazamos en la funcin: F(5,1)= 2000.5 + 5000.1 = 10000 +5000

=15000.

2.4.4. 2. FORMA ALGEBRAICA

Consiste en hallar la interseccin de las rectas, es decir los vrtices de la regin factible, para luego el valor

de estos remplazarlos en la funcin objetivo y luego la solucin ptima depender del mayor valor (en casos

de maximizacin) o del menor valor (en casos de minimizacin).

Ejemplo. En el ejercicio anterior, los vrtices son (5,1), (0,-1) y (3,-3).

De esta forma sustituyendo:

F(5,1) = 2000.5 + 5000.1 =10000 + 5000= 15000.

F(0,-1)= 2000.0 + 5000.(-1) =0 -5000=-5000

F(3,-3) = 2000.3 + 5000. (-3) = 6000- 15000 = -9000

Vemos que el mximo valor se obtiene cuando el vrtice es de (5,1) y el valor mximo de la funcin es

15000.




2.4. 5. EJEMPLOS DE CASOS EXTREMOS

Es probable que una solucin ptima no sea nica, e incluso que no exista veamos estos casos.

Ejemplo 1: Maximizar g(x,y) = 3X + 4Y sujeta a las restricciones

Si representamos la regin factible:

Figura 10. Regin factible no acotada superiormente

Los vrtices sern: A=(

, B = (6,8), C= (12,4)

Observemos que la regin factible es NO acotada superiormente.

Si aplicamos el mtodo geomtrico, debera trazar paralelas al vector director por los vrtices, pero como la

regin es no acotada, dichas rectas son cada vez mayores al trazarlas sobre los puntos de la recta t, que son

soluciones factibles. Por tanto el problema no tiene solucin.




Figura 11. Trazo de paralelas en una regin no acotada.

Las paralelas cortan cada vez en un punto mayor.

Las rectas paralelas al vector direccional de la funcin objetivo, son tambin llamadas en algunos textos

como Rectas de nivel.

En conclusin.

Un problema de maximizacin no tiene solucin si la regin factible no est acotada superiormente.

Un problema de minimizacin no tiene solucin si la regin no est acotada inferiormente.

Ejemplo 2:

Maximiza y minimiza la funcin p = x + 2y 3 con las siguientes restricciones:

Solucin:

Representamos las rectas:




Y hallamos la regin que cumple las condiciones del problema

Representamos la direccin de la recta p= x + 2y -3, dibujando la recta x + 2y 3 =0. La restriccin

5y 9 es superflua. La regin sera la misma sin ella.

El mximo se alcanza en el punto de interseccin de las rectas:

2x 3y =0 y x= 2/3; el punto seria entonces (2/3, 4/9)

El mximo valor de p seria entonces p(2/3, 4/9) = 2/3 + 8/9 -3 = -13/9.

No hay mnimo.

Ejemplo 3. Hallar el valor mximo y mnimo de la funcin f(x,y) =2x + 4y sujeta a 3x + y 5 , x-y 0

x 0 e y0.

Solucin:

Graficamos las rectas.




Identificamos la regin que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x, y 0.

Graficamos la recta de la funcin z= 2x+4y (2x + 4y =0) =>x + 2y =0

El mnimo se alcanza en el punto de interseccin de las rectas.

3x + 5 =5 y X 2y =0 => El punto ser (10/7, 5/7)

No hay mximo. La funcin 2X + 4Y se puede hacer tan grande como se quiera.

Ejemplo 4.

Minimizar g(x, y) = 3x + 3y sujeta a restricciones

Solucin.

La regin es, en este caso:




Los vrtices encontrados son A= (1,4), B= (2,5),C= (6,4), D= (7,2) Y E= (4,1)

Si utilizamos el mtodo grfico, obtenemos:

Que la recta que contiene a los puntos A y E es paralela al vector direccional, entonces concluimos que todos

los puntos que se encuentran dentro de la lnea comprendida entre A y E sirven, entonces hay infinitas

soluciones.

Ahora utilizando el mtodo algebraico g (x,y)= 3x + 3y, luego:

A: g(1,4) = 3 + 12 =15

A: g(2,5) = 6 + 15 =21

A: g(6,4) = 18 + 12 =30

A: g(7,2) = 21 + 6=27

A: g(4,1) =12 + 3 =15

Observamos que el valor mnimo se toma en A y E, y por tanto en todos los puntos comprendidos entre

ellos, es decir, hay infinitas soluciones.




Ejemplo 5. Calcula los puntos del recinto formado por

que hacen mnima o mxima la

funcin z=2x+y. Cuntas soluciones hay?

Solucin.

Representamos las rectas

y obtenemos la regin que cumple las restricciones

dadas.

Representamos la direccin de las rectas Z=2X + Y, dibujando la recta 2X + y =0. Esta recta es

paralela a 2X + Y =20, que determina uno de los lados del recinto de la zona factible.

Hay infinitos puntos que hacen mnima la funcin: todos los que estn sobre el segmento de recta

y=20 2X con 0 X 10.

El mximo se alcanza en el punto de interseccin de las rectas:




Ejemplo 6. Es posible maximizar y minimizar la funcin z =x + y + 1 sujeta a estas restricciones?

Solucin.

Representamos las rectas y obtenemos el recinto o el rea que cumple con las restricciones del problema.

Representamos la direccin del vector de la funcin y se obtiene el siguiente grfico.

No existe mximo ni mnimo

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