Sesion 5´ - conciliencia.org

MODELOS MATEMATICOS Y SIMULACION

Sesion 5

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Sistemas Mecanicos Traslacionalesen 2D y en 3D

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Contenido

5.1 Introduccion.5.2 Sistemas mecanicos traslacionales en 2D.5.3 Sistemas mecanicos traslacionales en 3D.5.4 Comentarios finales.

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5.1 Introduccion

Una historia conocida tomada de la Wikipedia:

Cuenta la historia que Hieron, monarca de Siracusa, hizo entrega a un platero dela ciudad de ciertas cantidades de oro y plata para el labrado de una corona.

Finalizado el trabajo, Hieron, desconfiado de la honradez del artıfice y aun reco-nociendo la calidad artıstica de la obra, solicito a Arquımedes que, conservandola corona en su integridad, determinase la ley de los metales con el proposito decomprobar si el artıfice la habıa rebajado, guardandose para sı parte de lo entre-gado impulsado por la avaricia.

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COMENTARIO ARQUIMEDES: Nacido en Siracusa, Sicilia, 287 - 212a.c., es considerado el cientıfico y matematico mas notable de la an-tiguedad. Arquımedes fue el fundador de la hidrostatica y de la estati-ca y explico el principio de la palanca. Entre sus grandes logros ma-tematicos se encuentra la utilizacion del metodo de exhauscion paracalcular la longitud de una circunferencia y con ello el valor de p.Los trabajos matematicos de Arquımedes constituyen la base sobrela cual Isaac Newton y Gottfried Leibnitz construyeron el edificio delCalculo.

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Preocupado Arquımedes por el problema, al que no encontraba solucion, un buendıa al sumergirse en el bano advirtio, como tantas veces con anterioridad, que acausa de la resistencia que el agua opone, el cuerpo parece pesar menos, hastael punto que en alguna ocasion incluso es sostenido a flote sin sumergirse.

Pensando en ello llego a la conclusion que al entrar su cuerpo en la banera, ocupa-ba un lugar que forzosamente dejaba de ser ocupado por el agua, y adivino quelo que el pesaba de menos era precisamente lo que pesaba el agua que habıadesalojado.

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Dando por resuelto el problema que tanto le habıa preocupado fue tal su excitacionque, desnudo como estaba, salto de la banera y se lanzo por las calles de Siracusaal grito de ¡Eureka! ¡Eureka! (¡Lo encontre! ¡Lo encontre!).

Procedio entonces Arquımedes a pesar la corona en el aire y en el agua com-probando que en efecto, su densidad no correspondıa a la que hubiera resultadode emplear el artıfice todo el oro y toda la plata entregados y determinando, enconsecuencia, que este habıa estafado al Rey.

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NOTA 1 Desde muy temprano, en terminos historicos, la mecanica y lasmatematicas se han desarrollado de manera interdependiente.

Los desarrollos matematicos vinculados al analisis de los sistemas mecanicoshan seguido los enfoques geometricos cuya formalizacion matematica surgio enla Grecia antigua.

NOTA 2 No siempre la resolucion de problemas ingenieriles ha requeridode la formalizacion matematica de los conocimientos relacionados con lamecanica (e.g. en la Roma antigua se construıa siguiendo fundamental-mente reglas de dedo basadas en la experiencia practica y en la edadmedia europea se construıan maquinas sofisticadas en las que el cono-cimiento matematico invertido era no solo muy pobre, sino muchas vecesinexistente).

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Diseno de una maquina voladora por parte de Leonardo Da Vinci (Anchiano, Italia, 15 de abril de 1452 – Castillo de

Clos-Luce Francia, 2 de mayo de 1519).

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La matematizacion del conocimiento cientıfico

La revolucion cientıfica iniciada en el renacimiento estuvo muy relacionada con lamecanica.

Los trabajos de Isaac Newton culminaron la revolucion cientıfica y unieron parasiempre las matematicas con la fısica.

NOTA 3 De cierta manera la ciencia se basa en una vision mecanicista delmundo, esto es en la abstraccion de fenomenos en terminos de fuerzas ymovimientos.

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Isaac Newton (4 de enero, 1643 – 31 de marzo, 1727)

fue el primero en demostrar que las leyes naturales que

gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan

el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas.

Es, a menudo, calificado como el científico más grande

de todos los tiempos, y su obra como la culminación de

la Revolución científica.

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Reiterando...

De los trabajos de Arquımedes a los logros de la mecanica analıtica de los tiem-pos modernos, no cabe ninguna duda de que los sistemas mecanicos son posi-blemente los que mas han sido estudiados a lo largo del tiempo (miles de anos detrabajo cientıfico).

En lo que sigue se consideran sistemas mecanicos simples, cuyos metodos demodelado (corroborados por experimentos) estan basados en las leyes de lamecanica clasica y en varias tecnicas que han sido desarrolladas a lo largo desiglos.

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NOTA 4 Nuestra exposicion se restringe a la mecanica clasica, teniendo enmente que la mecanica relativista provee de un marco teorico mas generaly que posiblemente en el futuro se alcance una vision cuantica completade los fenomenos mecanicos que rigen nuestro Universo (fenomenologıacuantica independiente del tiempo y del espacio, teorıa unificada de fuerzas-gravitacional, electromagnetica, interaccion nuclear fuerte e interaccion nu-clear debil-).

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Seguiremos el enfoque de la mecanica clasica (no se tomaran en cuenta efectos relativistas, ya que los sistemas en

cuestion se mueven lentamente, ni los cuanticos, ya que los sistemas en cuestion son “muy grandes”).

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Se empezara:

describiendo una tecnica de modelado que construye:

UN MODELO DE PARAMETROS CONCENTRADOS

(aproximado) de un sistema por medio de su representacion como:

UNA INTERCONEXION DE ELEMENTOS TRASLACIONALES Y ROTACIONALES

IDEALES

(caracterizados por leyes constitutivas simples), cuya interaccion requiere:

CONSIDERAR FUERZAS Y PARES GENERADOS POR INTERCONEXIONES.

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5.2 Sistemas mecanicos traslacionales en 2D

El comportamiento dinamico de un sistema mecanico se describe por medio devectores de: desplazamiento, fuerzas y pares.

NOTA 5 La tecnica de modelado mas comun representa de manera apro-ximada al sistema por medio de la interconexion de un numero finito deelementos idealizados (masas, resortes, amortiguadores, trasformadores ysus contrapartes rotacionales).

El comportamiento de cada elemento esta gobernado por una ley simple que re-laciona la fuerza externa con el desplazamiento, la velocidad, o la aceleracionasociadas. Esta ley es denominada ley constitutiva del elemento.

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M1 2 F

v12

d

dt

(Mv(t)) = F (t)v(t) = v

12

(t) velocidad de la masaF (t) fuerza aplicada a la masa(Segunda Ley de Newton)

1 2 F

y12

F

ky(t) = F (t)y(t) = y

12

(t)� y

12

(t) alargamiento maximoF (t) fuerza aplicada al resorte(Ley de Hooke)

1 2 F

v12

F

cv(t) = F (t) v(t) = v

12

(t) velocidad relativa del pistonF (t) fuerza aplicada al amortiguador

SIMBOLOS Y LEYES CONSTITUTIVAS DE LA MASA PURA, EL RESORTE LINEAL Y EL AMORTIGUADOR LINEAL. En latabla las flechas estan asociadas con las fuerzas, lo cual no significa que las fuerzas esten en esas direcciones, yaque la magnitud de la fuerza F (t) podrıa ser negativa. Por ejemplo, si en el caso del resorte y

12

(t)> y

12

, entonces lafuerza sigue la direccion mostrada, pero si y

12

(t)< y

12

, entonces uno debe de comprimir el resorte y en consecuenciaF (t)< 0 y la fuerza actua en direccion opuesta a la mostrada.

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Para la masa:

Para una partıcula simple, la Segunda Ley de Newton para el Movimiento estable-ce que:

Definicion SEGUNDA LEY DE NEWTON: La suma de todas las fuerzas ac-tuando sobre la partıcula es igual a la tasa de cambio de su momento lineal.

En consecuencia la ley constitutiva de un elemento masa esta dada por d

dt

(Mv(t))=

F (t). En este caso la velocidad y la aceleracion deben ser medidas con respectoa una referencia inercial (en mecanica clasica tal referencia se fija usualmente enel centro del sol).

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Para el resorte:

La ley constitutiva del resorte esta dada por la ley de Hooke (i.e. ky(t) = F (t)).

En la realidad esta relacion lineal entre la fuerza y el alargamiento sera aproxima-damente valida dentro de ciertas cotas del alargamiento.

NOTA 6 Esto ocasiona que el uso del elemento resorte lineal en un modelomecanico imponga restricciones sobre las variables involucradas.

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Para el amortiguador:

De manera similar a lo que acontece con el resorte, el caso del amortiguadoresta muy idealizado. En efecto, una realizacion fısica de este elemento requierede un piston que se mueve dentro de un cilindro lleno de aceite y el piston tienehoyos en su parte frontal para permitir el paso del aceite.

Si las tasas de flujo se mantienen dentro de ciertas cotas viscosas, el amorti-guamiento resulta en una relacion lineal entre la fuerza y la velocidad relativa delpiston con respecto al cilindro.

NOTA 7 A velocidades elevadas la realizacion fısica presentara caracterısti-cas no lineales.

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La idealizacion

El resorte, la masa y el amortiguador mostrados en la tabla precedente son tam-bien objetos idealizados desde otro punto de vista.

Cualquier resorte real posee inercia y amortiguamiento. De manerasimilar, cualquier amortiguador tiene algo de masa y algo de efectosde resorte.

Uno podrıa tomar en cuenta las diferencias entre los dispositivos ideales y losobjetos idealizados concentrando todas las inercias de un sistema mecanico dadoen las masas, todos los efectos de rigidez en los resortes y todas las fuerzas defriccion en los amortiguadores.

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Este enfoque de modelado en base a parametros concentrados no se restringe alos sistemas lineales.

En efecto:

Las relaciones no lineales entre los estreses y las deflexiones en un sistemamecanico pueden modelarse por medio de resortes no lineales y las friccionesviscosas no lineales entre cuerpos adyacentes pueden ser modeladas por mediode amortiguadores no lineales.

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El rol de las interconexiones

Si se describe un sistema mecanico como una interconexion de un numero finitode masas, resortes y amortiguadores, el modelo total del sistema se obtiene com-binando las leyes constitutivas de sus elementos con las leyes de interconexiongobernando la interaccion entre ellos.

En lo que sigue se supondra que que las fuerzas entre elementos mecanicosobedecen la:

Definicion TERCERA LEY DE NEWTON: Cualquier fuerza de un elementosobre otro esta acompanada por una fuerza de reaccion sobre el primerelemento de igual magnitud y de direccion contraria a la lınea que los une.

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COMENTARIO MULTIPLICIDAD DE LOS FORMALISMOS DE MODELADO:Cabe mencionar que existen diversos metodos para obtener las ecua-ciones del sistema mecanico total a partir de las relaciones entre suselementos constitutivos y las leyes de interconexion, por ejemplo losmetodos de graficas de vınculos y los metodos de la teorıa de redes(mas tarde se regresara a este asunto) suelen utilizarse en sistemasinformaticos de modelado, tales como los que se emplean para el di-seno de robots manipuladores y otras clases de sistemas mecanicoscomplejos (e.g. ModelicaT M).

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Ejemplo 1 (Carro sobre Rieles) Considere el siguiente sistema mecanico, quemuestra un carro de masa M moviendose sobre rieles bajo la influencia de lafuerza bu(t):

Aquı b es una constante que convierte a la variable de control u (e.g. voltaje) enuna fuerza.

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Suposiciones

i) No se toman en cuenta fricciones de las ruedas.

ii) Se considera que el carro se comporta como un cuerpo rıgido.

iii) Se supone tambien que la lınea de accion de la fuerza se da a traves delcentro de masa del carro, paralela a los rieles. Ası, el carro no rota y bajo lainfluencia de la gravedad no pierde el contacto con los rieles.

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El modelo

Dado que la masa del carro es constante, la segunda ley de Newton da la siguienteecuacion escalar del movimiento:

My(t) = bu(t) ,

donde y(t) denota el desplazamiento del centro de masa del carro a partir de unpunto fijo en un marco de referencia inercial.

NOTA 8 Como podemos ver para determinar el movimiento del sistema pa-ra t � 0 es necesario conocer la posicion inicial y(0) y la velocidad inicialy(0). Ademas se requiere conocer la fuerza externa bu(t) en funcion deltiempo t � 0.

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Controlando el movimiento

Si se considera a la fuerza como una variable de control y se fija una posicionde descanso y = 0 como el punto fijo del sistema, un problema de control tıpicoconsiste en:

Hallar una ley de control por retroalimentacion:

u(t) = f (y(t) , y(t))

que lleve al carro de regreso (incluso aproximadamente) al punto de des-canso prescrito a partir de condiciones iniciales (y(0) , y(0)).

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Un problema de control optimo

Suponiendo que |u(t)| c, t � 0, donde c > 0 es una constante dada, un problemade control optimo tıpico es el siguiente:

Dadas (y(0) , y(0)), hallar un control u(t) : [0, t1

]! [�c,c] que lleve el carroa la posicion de descanso: (y(t) , y(t)) = (y(0) , y(0)) en un tiempo mınimot

1

.

Podrıan imponerse restricciones sobre la trayectoria del carro (e.g. |y(t)| d, d > 0)

y esto lleva a un problema de control optimo con restricciones en el estado.

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Un sistema con interconexiones

En el ejemplo siguiente se consideran interconexiones de elementos mecanicos.

El oscilador armonico es utilizado como un modelo muy simplificado para muchossistemas tecnologicos.

Esto sera ilustrado por medio de un modelo masa-resorte-amortiguador para elsistema de suspension de un automovil.

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Ejemplo 2 (Sistema Masa-Resorte-Amortiguador) Considere el movimiento ver-tical de una masa M deslizandose en algun sistema de cojinetes y suspendido deun soporte por medio de un resorte, tal y como se muestra en la figura siguiente:

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Ademas de las fuerzas exteriores (la gravedad y una fuerza adicional dependientedel tiempo bu(t)) dos tipos de fuerzas internas actuan sobre la masa, las cualesestan modeladas por medio de un resorte lineal y de un amortiguador lineal concoeficientes k y c, respectivamente. En lo que sigue se determina la ecuacion demovimiento de este sistema.

NOTA 9 El comportamiento del sistema esta descrito por completo por laposicion vertical y la velocidad de la masa.

Para eliminar la fuerza gravitacional se introduce el desplazamiento y del centrode masa desde su posicion de equilibrio bajo la influencia de la gravedad.

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El modelo

Por la segunda ley de Newton la suma de las fuerzas que actuan sobre M debeigualar a My.

Note que las fuerzas ejercidas por el resorte y el amortiguador sobre la masatienen direcciones opuestas a las del desplazamiento y de la velocidad, respecti-vamente.

En consecuencia:

My(t)+ cy(t)+ ky(t) = bu(t) .

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Un ejemplo mas complejo

En lo que sigue se construira un modelo masa-resorte-amortiguador para un sis-tema de suspension de un automovil.

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Suspension tipo MacPherson de un automovil.

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Ejemplo 3 (Suspension) El proposito de una suspension es suavizar la respues-ta del cuerpo del carro a las subidas y bajadas irregulares del camino.

Se considerara unicamente el movimiento vertical del carro y de los ejes y sehara la suposicion no realista de que ambos ejes se mueven de la misma manera,por lo que se les puede concentrar y el movimiento rotacional del carro puedeignorarse.

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Primero se supone que el camino es plano

Dado que el cuerpo del carro y el eje se pueden mover independientemente, senecesitan dos variables de posicion y

1

y y

2

.

Como puntos de referencia para estas posiciones se escogen las posiciones dereposo del cuerpo del carro (masa M

1

) y del eje (masa M

2

) sobre el nivel nominaldel camino bajo la influencia de la gravedad.

NOTA 10 Se modelan las llantas como resortes con coeficientes de rigidezcomparativamente elevados k

2

acoplados en paralelo con un amortiguadorque toma en cuenta la energıa disipada a traves de las llantas.

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Modelo de suspension de un automovil. El mecanismo principal consiste en resortes helicoidales, resortes de ballesta

y absorbedores de choques, y es modelado en terminos de parametros concentrados por medio de un resorte lineal

y un amortiguador lineal que conectan el eje con el cuerpo del carro.

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Movimiento perturbado

Sea entonces w(t) el desplazamiento del punto de contacto entre llantas y caminoa partir del nivel nominal del camino.

NOTA 11 w(t) se determina por medio del perfil del camino y la posicion delcarro.

La fuerza de resorte de la llantas (en direccion hacia arriba) correspondiente a ladesviacion de las llanta desde el nivel nominal del camino es k

2

w y la fuerza defriccion correspondiente es c

2

w.

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El modelo

Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las dos masas y la tercera leyde Newton a la interaccion entre las dos masas se obtiene el siguiente sistema deecuaciones para el movimiento de la suspension:

⇢M

1

y

1

+ c

1

(y1

� y

2

)+ k

1

(y1

� y

2

) = 0

M

2

y

2

+ c

1

(y2

� y

1

)+ k

1

(y2

� y

1

)+ c

2

y

2

+ k

2

y

2

= c

2

w+ k

2

w.

NOTA 12 Aquı w(t) puede considerarse como una perturbacion y un objeti-vo de diseno importante serıa asegurar que las condiciones del camino queel carro encuentre no generen vibraciones en este, i.e. valores no acepta-bles de y

1

(t) y de y

1

(t) desde el punto de vista del comfort del pasajero.

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Un problema de control tıpico

Si los mecanismos de la suspension pueden ser controlados, un problema tıpicoserıa disenar:

Una ley de control retroalimentado que desacople la velocidad verticaldel carro y

1

(t) tanto como sea posible de perturbaciones w(t) largamentedesconocidas, generadas por la superficie del camino (este es un proble-ma de atenuacion de perturbaciones).

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Resumiendo

NOTA 13 Los dos ejemplos precedentes tratan con sistemas mecanicostraslacionales cuyos movimientos estan restringidos a una direccion. Losmovimientos arbitarios de una masa en el espacio tridimensional estan go-bernados por una version vectorial de la segunda ley de Newton.

En lo que sigue se supone que las posiciones estan determinadas con respecto aun sistema cartesiano de coordenadas que esta fijado a un marco referencial.

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5.3 Sistemas mecanicos traslacionales en 3D

En lo que sigue se consideran dos casos de movimiento traslacional en el espaciotridimensional:

Caso de una partıcula.

Caso de multiples partıculas.

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Caso de una partıcula

Si el vector de posicion de una partıcula de masa m en el tiempo t esta denotadopor r(t) y F(t) es el vector suma de todas las fuerzas individuales aplicadas a lamasa en el tiempo t, entonces:

˙p(t) = (m¨r)(t) = F(t) ,

donde p = m

˙r es el momento lineal del punto masa.

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Caso de multiples partıculas

Considere ahora un sistema de N partıculas con masas m

i

, en posiciones ri

, i 2{1,2, . . . ,N}.

El momento lineal de tal sistema es por definicion la suma de los momentos linea-les de cada partıcula:

p(t) =N

Âi=1

pi

(t) =N

Âi=1

m

i

˙ri

(t) .

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Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las partıculas uno debe dis-tinguir entre las fuerzas externas Fe

i

(t) y las fuerzas interactivas Fi j

(t) entre laspartıculas del sistema.

Sumando para todas las partıculas se tiene entonces:

˙p(t) =N

Âi=1

m

i

¨ri

(t) =N

Âi=1

Fe

i

(t)+N

Âi, j=1,i 6= j

Fi j

(t) .

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NOTA 14 Por la tercera ley de Newton de accion y reaccion Fi j

(t)+Fji

(t)

es cero para todo t e i, j 2 {i,2, . . . ,N}, i 6= j, por lo que el segundo terminode la ecuacion precedente desaparece.

Ası, definiendo la fuerza externa total del sistema y el centro de masa en el tiempot como sigue:

Fe (t) =N

Âi=1

Fe

i

(t) , r =N

Âi=1

m

i

ri

M

, donde M =N

Âi=1

m

i

,

se tiene entonces p(t) = M

˙r(t) y ˙p(t) = M

¨r(t) = Fe (t) .

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En particular:

NOTA 15 El centro de masa del sistema se mueve como si las fuerzas to-tales externas estuvieran actuando sobre la masa entera del sistema con-centrada en el centro de masa.

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No basta con el movimiento traslacional

Ahora bien, para describir un cuerpo rıgido en el espacio tridimensional, se debenentonces especificar:

la posicion de su centro de masa y

la orientacion del cuerpo rıgido

con respecto a un marco de referencia inercial, lo cual hace necesaria una con-traparte de la segunda ley de Newton para movimientos rotacionales.

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5.4 Comentarios Finales

Los sistemas mecanicos han constituido un terreno privilegiado de intervencionde la abstraccion matematica del mundo fısico.

El modelado de los sistemas mecanicos bajo suposiciones de concentracion deparametros es una tarea relativamente simple (pertenecen a la region blanca denuestro espectro del modelado).

NOTA 16 Modelos de sistemas mecanicos (no realtivistas y no cuanticos)idealizados permiten la construccion por demas exitosa de sistemas fısicosequivalentes, incluso por medio de metodos automatizados.

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El modelado se simplifica al suponer que los componentes (ideales) de los siste-mas mecanicos evolucionan en sus regiones lineales de operacion.

NOTA 17 Lo cual se complica al considerar las fricciones en el caso desistemas que presentan deslizamientos de superficies de cuerpos rıgidosen presencia de fenomenos de friccion.

Los sistemas mecanicos de amplio uso en la industria se construyen para operaren regiones lineales.

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Ademas:

Existen multiples formalismos de modelado de los sistemas mecanicos.

La problematica del control en el caso de los sistemas mecanicos pasa por el di-seno de procesadores de fuerzas (o de pares al tratar movimientos rotacionales).

NOTA 18 Un nicho privilegiado de intervencion del control de sistemasmecanicos concierne la clase de sistemas de dimensiones nanometricas,aunque la prevalescencia de fenomenos cuanticos al trabajar con siste-mas de dimensiones atomaticas requiere el abandono de la comodidad delos sistemas mecanicos clasicos y hace necesario el soporte teorico de lamecanica cuantica.

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Un Parentesis Necesario

Algunos Comentarios sobre el Analisis Geometricode Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Considere un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en la forma:dX

dt

= F (X) ,

donde:

F (X) es una funcion vectorial.

X = X (t) con n componentes, cada uno de los cuales es una funcion deltiempo.

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Normalmente los componentes de X se denotan como x

i

(i = 1,2, . . . ,n), o biencuando n = 2 o n = 3 se les duele denotar como x,y o x,y,z. A veces tambien seles relaciona con el problema bajo estudio, como (N,C) en el caso del quimiostato.Esto es:

dX

dt

= F (X) =

✓f (N,C)g(N,C)

◆

con:

f (N,C) = a1

C

1+C

N �N

y:

g(N,C) =� C

1+C

N �C+a2

.

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Equilibrio

Definicion ESTADO ESTACIONARIO (O EQUILIBRIO): Es cualquier raız de laecuacion algebraica:

F

�X

�= 0.

Si X es un equilibrio, entonces el vector constante X (t) = X es una solucion delsistema, ya que una constante tiene derivada cero: dX/dt = 0 y dado que F

�X

�= 0

por definicion del equilibrio, se tiene que dX/dt = F

�X

�.

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Recıprocamente:

Si un vector constante X (t)⌘X es una solucion de la ecuacion diferencial dX (t)/dt =

F (X (t)), entonces, como:

(d/dt)(X (t))⌘ 0,

entonces tambien F

�X

�= 0 y en consecuencia X es un equilibrio.

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NOTA 19 Por lo anterior se llega a la conclusion de que un equilibrio es unpunto donde la solucion permanece por siempre. Un equilibrio podrıa serestable o inestable (un lapiz perfectamente balanceado en posicion vertical,por ejemplo).

En lo que sigue se presenta un ejemplo para ilustrar la nocion del equilibrio de unsistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

El ejemplo corresponde a la dinamica del quimiostato.

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Ejemplo 4 (El quimiostato) En el caso de las ecuaciones correspondientes alquimiostato:

a1

C

1+C

N �N = 0 y � C

1+C

N �C+a2

= .

Por lo que:✓

a1

C

1+C

�1

◆N = 0.

En consecuencia, para un equilibrio X =�N,C

�se tiene:

N = 0 o bien a1

C

1+C

�1 = 0.

En lo que sigue se considera cada una de estas dos posibilidades por separado.

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Primer caso N = 0. En este caso sustituyendo en:

� C

1+C

N �C+a2

=�C+a2

= 0.

En consecuencia se concluye que X = (0,a2

).

Esto significa que ninguna bacteria esta viva y que la concentracion del nu-triente es C

⇤ = a2

=C

0

/k

n

.

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Segundo caso C = 1

a1

�1

. Sustituyendo en la segunda ecuacion se tiene:

N = a1

✓a

2

� 1

a1

�1

◆.

NOTA 20 Ası, los dos puntos de equilibrio estan dados por:

X

1

= (0,a2

)

y:

X

2

=

✓a

1

✓a

2

� 1

a1

�1

◆,

1

a1

�1

◆.

En este ejemplo un equilibrio tiene significado fısico unicamente si C � 0

y N � 0, ya que poblaciones o concentraciones negativas no representansoluciones fısicas.

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Con respecto a lo anterior

El primer estado estacionario, esto es X

1

, satisface el requerimiento.

Sin embargo X

2

estara bien definido y tendra significado fısico unicamente si:

a1

> 1 y a2

>1

a1

�1

o equivalentemente:

a1

> 1 y a2

(a1

�1)> 1.

NOTA 21 Una de las ventajas de la reduccion de parametros es llegar aeste tipo de condiciones compactas y elegantes.

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Y con respecto a la realidad fısica del sistema

Ahora bien, a1

y a2

fueron introducidas por conveniencia matematica y no formanparte del problema original.

Como ˆ

t := V

F

, a1

= V

F

k

max

y a2

:= ˆ

t

ˆ

C

F

V

C

0

= C

0

ˆ

C

= C

0

k

n

, las condiciones se convierten en:

k

max

>F

V

y C

0

>k

n

V

F

k

max

�1

.

La primera condicion dice que la maxima tasa de reproduccion de las bacterias esmayor que la tasa de vacıado del tanque.

JCMG - 2013 70


Analisis de las soluciones de dX/dt = F (X) cerca de un punto de equilibrioX

Definiendo ˆ

X = X �X se tiene:

d

ˆ

X

dt

= dX

dt

� dX

dt

= dX

dt

�0 = dX

dt

= F

�ˆ

X +X

�

= F

�X

�+F

0�X

�ˆ

X +o

�ˆ

X

�⇡ A

ˆ

X ,

donde: F

�X

�= 0, o

�ˆ

X

�⇡ 0 y A := F

0�X

�, que corresponde al Jacobiano de F

evaluado en X .

NOTA 22 El Jacobiano A depende de X . Si los desplazamientos X son pe-quenos entonces ˆ

X sera pequena.

Se escribira dX/dt = AX , con X igual al desplazamiento desde X .

JCMG - 2013 71


Ejemplo 5 En el caso del quimiostato:

d

dt

✓N

C

◆= F (N,C) =

a

1

⇣C

1+C

⌘N �N

� C

1+C

N �C+a2

,

!

por lo que, en cualquier punto (N,C) el Jacobiano A = F

0 de F es:0

@a

1

C

1+C

�1

a1

N

(1+C)2

� C

1+C

� N

(1+C)2

�1

1

A ,

por lo que en el punto ˆ

X

2

, donde ˆ

C = 1

a1

�1

, ˆ

N = a1

(a1

a2

�a2

�1)a

1

�1

:

0 b (a1

�1)

� 1

a1

�b (a1

�1)+a1

a1

!,

con b := a2

(a1

�1)�1.

JCMG - 2013 72


El soporte teorico...

JCMG - 2013 73


Teorema de Hartman-Grobman

Sea f : Rn ! Rn un mapeo suave con un punto hiperbolico p (se dice que p eshiperbolico si el jacobiano de f en p no tiene valores propios partes reales cero).Sea A la linealizacion de f en el punto p. Entonces existe una vecindad U de p yun homomorfismo:

h : U ! Rn

tal que f

U

= h

�1 �A�h; esto es, en una vecindad U de p el mapeo f es topologi-camente conjugado a su linealizacion.

NOTA 23 En otras palabras: las soluciones de dX

dT

= F (X) lucen como lasde dX

dt

= Ax (hasta un homomorfismo local y bajo la suposicion de hiperbo-licidad; en general esta afirmacion no es cierta).

JCMG - 2013 74


La solucion general de dX

dt

= AX es e

At

X (0), donde e

B esta definida en terminos deexpansion de series: I +B+ 1

2

B

2+ . . ., que da lugar a la solucion general:

X (t) =n

Âi=1

c

i

e

li

t

v

i

(Av

i

= li

v

i

) ,

suponiendo valores propios simples (tambien para valores complejos, utilizandola descomposicion de Euler e

l t = e

at+ibt = e

at (cosbt + isinbt)).

NOTA 24 Como puede verse los terminos de la solucion solo pueden apro-ximarse a cero conforme t !+• si ¬l < 0.

JCMG - 2013 75


Dado que el equilibrio de X de dX/dt = F (X) es (localmente asintoticamente)estable si:

1. Todas las soluciones que estan cerca de X permanecen cerca.

2. Para todas las soluciones que empiezan cerca de X se cumple que X (t)! X

conforme x ! •

Por la linealizacion se tiene que 2 ) 1 (pero en general esto no es verdad) y:

est. asintotica , las partes reales de los valores propios de A son < 0.

JCMG - 2013 76


NOTA 25 En general, si A tiene algun valor propio con parte real positiva,entonces para dX/dt = F (X) existen soluciones que empiezan cerca deX pero que se mueven alejandose de X . Por otra parte, la linealizaciondX/dt = AX en un estado estacionario X no dice nada sobre estabilidadglobal.

Con respecto a la parte final de la nota precedente, considerese el ejemplo quese muestra a continuacion.

JCMG - 2013 77


Ejemplo 6 dx/dt = �x� x

3 y dx/dt = �x+ x

2 se pueden linealizar en x = 0 y lalinealizacion es dx/dt =�x, que es estable.

En el primer caso todas las soluciones del sistema no lineal convergen a cero.

Sin embargo en el segundo caso esto no es cierto. Para ilustrar esto, si se iniciaen un estado x(0)> 1 todas las soluciones divergen hacia +• conforme t ! •.

JCMG - 2013 78


Analisis de estabilidad en el caso en el que n = 2

En este caso no es necesario computar los valores propios, ya que la estabilidades equivalente a que se cumplan las condiciones siguientes:

traceA < 0 y detA > 0

(recuerde que traceA = a

11

+a

22

= l1

+l2

y detA = a

11

a

22

�a

12

a

21

= l1

l2

).

NOTA 26 En el caso en el que n > 2 se puede utilizar el criterio de Routh-Hurtwitz.

JCMG - 2013 79


En lo que sigue se ilustra el analisis de estabilidad el el caso n = 2 con el quimios-tato.

Ejemplo 7 En el caso del quimiostato suponga que el equilibrio X

2

existe, esto esa

1

> 1 y b = a2

(a1

�1)> 1. En este caso el Jacobiano:

A = F

0�X

2

�=

0 b (a

1

�1)

� 1

a1

�b (a1

�1)+a1

a1

!,

con b := a2

(a1

�1)�1. Como puede verse (dado que a1

> 1 y b = a2

(a1

�1) >

1):

traceA =�b (a1

�1)+a1

a1

< 0 y detA =b (a

1

�1)

a1

.

En consecuencia se concluye la estabilidad (local) del equilibrio X

2

, esto es si laconcentracion inicial X (0)⇡ X

2

, entonces X (t)! X

2

conforme t ! •.

JCMG - 2013 80


En lo que respecta al equilibrio X

1

:

A = F

0�X

1

�=

0

@a

1

C

1+C

�1

a1

N

(1+C)2

� C

1+C

� N

(1+C)2

�1

1

A

��N=0,C=a

2

=

a

1

a2

1+a2

�1 0

� a2

1+a2

�1

!.

Ası:

detA = 1�a1

a2

1+a2

=1+a

2

(1�a1

)

1+a2

=1�a

2

(a1

�1)

1+a2

=1�b1+a

2

< 0

(recuerde que b > 1). X

1

es entonces inestable; perturbaciones pequenas talesque N (0) > 0, haran que X (t) se aleje de X

1

(aun si unicamente esta presenteuna pequena cantidad de bacterias habra crecimiento).

JCMG - 2013 81


Sobre los ciclos lımite

En matematicas, en el area de Sistemas Dinamicos, un ciclo lımite sobre un plano(o sobre una variedad diferencial) de segundo orden es una trayectoria cerradaen el espacio de fase que posee la propiedad de que al menos otra trayectoria semueve hacia ella conforme el tiempo tiende hacia +• o hacia �•.

Este comportamiento se presenta en ciertos sistemas no lineales (economicos,biologicos, mecanicos, . . . ).

JCMG - 2013 82


En el caso en el que todas las trayectorias vecinas se aproximan al ciclo lımiteconforme t !+•, se dice que el ciclo lımite es estable (o atractivo). Si esto pasacuando t !�•, se dice que el ciclo lımite es inestable (o no atractivo). En todoslos otros casos no es ni estable ni inestable.

NOTA 27 Los ciclos lımite estables implican oscilaciones sostenidas. Cual-quier perturbacion pequena de la trayectoria cerrada hara que el sistemase regrese al ciclo lımite.

JCMG - 2013 83


Ejemplo 8 El sistema no lineal:

dx

dt

= y+Kx

⇣1� x

2� y

2

⌘

qx

2+ y

2

ydy

dt

=�x+Ky

⇣1� x

2� y

2

⌘

qx

2+ y

2

,

posee el ciclo lımite x

2 + y

2 = 1 cuando t ! •, para cualesquiera condiciones ini-ciales x(0) = x

0

,y(0) = y

0

, exceptuandose el caso x

0

= y

0

= 0.

NOTA 28 Bajo ciertos condicionamientos existen metodos analıticos paradeterminar si un sistemas posee un ciclo lımite para ciertos rangos de susparametros (teorıa de bifurcaciones).

JCMG - 2013 84


Simulando un ciclo lımite en Java.

JCMG - 2013 85

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