Simulación Unidad 01

2lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin

Contenidos:

Conceptos de sistema.

Definiciones de sistemas.

Modelacin y programacin

Conceptos de simulacin (terminal y no terminal)

Uso de la simulacin, tcnicas de simulacin, tipos de modelos.

Uso de modelos y sus aplicaciones.

Simulacin de sistemas discretos.

Unidad 1: Teora de sistemas

Objetivos Especficos:

Definir conceptos de Teora de sistemas.

Reconocer las componentes de un modelo, para llevar a cabo un proceso de simulacin.

Aplicar tcnicas para la construccin de modelos conceptuales.

lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin 3


Estado

Sistema

Evento

Entidades Entidad: Objeto de inters en el sistema

Atributo: Propiedad de una entidad

Actividad: Conjunto predefinido de acciones durante

un perodo de tiempo

Recurso: Objeto que permite entregar servicio

Estado del sistema: Conjunto de variables que

describen el sistema en un determinado momento

Evento: Ocurrencia instantnea que puede estar

asociada a un cambio en el estado del sistema

Ambiente del sistema: Regin que se encuentra afuera

de los lmites del sistema.

Parmetros

Ambiente del sistema


Como Ingenieros tendremos que modelar sistemas, con el propsito de:

Mejorar una situacin determinada

Predecir resultados

Disear (si no existe)

Medir y Controlar

A veces es posible jugar con el sistema, pero usualmente es imposible hacerlo

Interrumpe operacin

Es Caro

No existe


Una abstraccin o simplificacin de un sistema usada como substituto del sistema mismo

Permite probar un gran rango de ideas

Equivocarse en el computador es mejor que hacerlo en la vida real!

Los modelos deben ser vlidos!

Cmo estudiar un sistema? SISTEMA

Experimentar

Con el sistema

Experimentar

con modelo

Modelo

Fsico

Modelo

Matemtico

Solucin

AnalticaSimulacin


Estticos versus dinmicos

Importa el tiempo?

Cambio continuo versus cambio discreto

Cambia el estado del sistema en forma continua?

Cambia tanto como para considerar tiempo real?

Determinstico versus estocstico

Hay incertidumbre en el sistema?

Simulacin discreta

Modelos dinmicos, de cambio discreto, estocsticos


Si el modelo es simple, use tcnicas tradicionales(Investigacin operativa) Respuestas nicas y exactas (y,a veces, ptimas)

A veces requieren simplificar demasiado para poderresolver -- validez?

Muchos sistemas complejos requieren modelos complejospara dar respuestas vlidas -- se necesita simular


Caractersticas deseables de un modelo

Simples: construccin y comprensin

Precisos: no ambiguos

Rigurosos: idealmente formales

Documentables: presentables

Grficos: uso predominante de grafos

Jerarquizables: organizacin por niveles de abstraccin


Herramienta que permite sacar conclusiones sobre el

comportamiento dinmico de un sistema estudiando un modelo

computacional del mismo.

Es un trmino muy amplio, en realidad un conjunto de enfoques

para analizar problemas

Requiere MODELOS -- problemas de validez

No es una solucin analtica

No obtiene resultados exactos (malo)

Permite modelos complicados y realsticos (bueno)

Consistentemente calificada como la tcnica de modelacin

matemtica ms til


Industria: asignacin de recursos, inventarios, programas de produccin

Necesidades de personal y/o equipo

Salud - Sala de urgencia, salas de operaciones, flujo de pacientes

Telecomunicaciones

Fuerzas armadas

Poltica pblica (desastres)


Evaluar el comportamiento de un sistema bajo condiciones diferentes de operacin

Dada una medida de comportamiento para el sistema, determinar la mejor poltica de operacin del sistema comparando diferentes alternativas (escenarios)

Objetivos

Alcance

Construir modelos en un computador

Anlisis de procesos como punto de partida

Validar el modelo contra la vida real

Usar modelo para experimentar diferentes escenarios

Sacar inferencias acerca de posibles cambios en el sistema

Sin modificar el sistema

Sin construirlo (si no existe)


Trabajar el sistema como se espera? (evaluacin y prediccin).

Porqu no trabaja el sistema? (determinacin de cuellos de botella y optimizacin).

Cules son los estndares para medir desempeo? (determinacin de estndares y metas)

Cul es la mejor alternativa? (comparacin, anlisis de sensibilidad, qu pasa si...?).

Preguntas Tpicas

Resultados Esperados

Medidas tpicas del comportamiento de un sistema

Utilizacin de recursos: ocioso, ocupado, en reparacin, no disponible.

Tiempo de espera: en cola, bloqueado, esperando servicio

Tiempo de ciclo: flujo total, por rea, por recurso

Tasa de produccin: por producto, rea, turno

Comportamiento contra programa

Sobretiempo


Hardware barato y rpido -- todo tipo de empresas

Se usa en las fases de diseo, operacin y control

Flexible, analiza sistemas como realmente son.

Situaciones inciertas y no-estacionarias

Evaluacin de RIESGOS

Extrapolacin y prediccin, cuellos de botella artificiales, datos artificiales

Una gran experiencia de enseanza y aprendizaje

Ventajas

Desventajas

No obtiene respuestas exactas, slo estimaciones

Respuestas aleatorias - anlisis estadstico (los mtodos tradicionales no sirven) y

diseo de experimentos

Caro (tiempo analista y tiempo cliente)


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 80

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4

Sistemas Discretos

Variable de estado cambia en intervalos discretos de

tiempo

Sistemas Continuos

Variable de estado cambia continuamente como

funcin del tiempo

Mtodo Numrico

Utiliza procedimientos computacionales para

resolver modelos matemticos

Mtodo Analtico

Utiliza matemtica deductiva para definir el sistema

y resolver


Estocsticos

Determinsticos

DinmicoEsttico

Tiempo Discreto

Tiempo Continuo

Simulacin esttica: Simulacin Montecarlo,

representa un sistema en un punto particular de

tiempo.

Simulacin dinmica: representa los cambios

del sistema a travs del tiempo

Simulacin determinstica: no contiene

variables aleatorias. Variables conocidas

entregaran salidas conocidas.

Simulacin estocstica: V.A de entrada

entregaran salidas como V.A. Estimacin


Tipo de modelo: Discreto, Estocstico, Dinmico

Variables de estado: Cajeros ocupados, nmero de clientes en la fila, tiempo

de espera, entre otras.

Tipo de modelo: Discreto, Estocstico, Esttico

Variables de estado: Cara o sello.

Tipo de modelo: Continuo, determinstico, dinmico

Variables de estado: Presin


15 minutos

Exponer el resultado


Embotelladora

Laboratorio

Celulosa

Bodegas

Puerto

Aeropuerto

Fluidos

Imagenologa

Unidad de emergencia


Llegada de

entidades

Salida entidades

terminadas

Cola (FIFO) Entidades en servicio

4567

Objetivo General:

Estimar produccin esperada en el periodo T, medida en nmero de partes terminadas.

Unidad de tiempo: arbitraria, pero

sea consistente (la simulacin no sabe)

sea razonable (interpretacin, error redondeo)

Se pueden usar diferentes pero deben declararse

Chequear las unidades al momento de especificar inputs

Declarar las unidades bases de tiempo (base time units) para clculos internos, outputs


Llegada de

entidades

Salida entidades

terminadas

Cola (FIFO) Entidades en servicio

4567

Tiempo medio entre llegadas = 1 minutos

Tiempo medio de servicio = 0.99 minutos

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Density Function Plot

X-Value

f(x)


Inicialmente (tiempo = 0) vaco y servidor no ocupado

Unidad de tiempo: minutos

Ejemplo de parmetros:

Tiempos de llegada: 0.4, 1.6, 2.1, 3.8, 4.0, 5.6, 5.8

Tiempos entre llegadas: 0.4, 1.2, 0.5, 1.7, 0.2, 1.6, 0.2..

Tiempos de servicio: 2.0, 0.7, 0.2, 1.1, 3.7 0.6

Servidor nico.

Simular la operacin del sistema durante 20 minutos de operacin (tiempo simulado).


Di: Demora en cola del cliente/parte i

ti: Tiempo de ocurrencia del evento i

Ai: Tiempo de llegada del cliente i respecto de (i-1)

Si: Tiempo de servicio del cliente i

N: Nmero de partes que completaron su espera en cola

Q(t): Nmero de clientes en cola en el instante t

B(t): Estado del servidor en instante t (variable binaria 0/1)

T: Tiempo total de simulacin

q(n): Nmero promedio de clientes en cola

(n): Tasa promedio de ocupacin del servidor


Produccin total de partes durante la corrida (P) Tiempo promedio de espera de las partes en cola:

Tiempo mximo de espera de las partes en cola:

N

DN

i

i1

N = no. de partes que terminan espera en cola

Di = tiempo de espera en cola de la parte i

Conocido: D1 = 0 (porqu?)

N > 1 (porqu?)

max, ,i N

iD1


Nmero promedio en el tiempo de partes en cola:

Nmero mximo de partes en cola:

Flujo medio y mximo de partes (tiempo en el sistema o tiempo de ciclo)

Q(t) = nmero de partes en cola

en el instante t.

20

Q(t)dt0_____________

20

)(max200

tQt

F P FiiP

i Pi

1

1, max

, ,Fi = tiempo ciclo parte i


Utilizacin de la mquina (proporcin de tiempo ocupado)

Muchas otras posibles (sobrecarga de informacin?)

20

B(t)dt0_____________

20

B(t)= 0, 1 dependiendo si el servidor est ocupado o no


Estimaciones Educadas

Tiempo promedio entre llegadas =

0.83 minutos

Tiempo promedio de servicio = 1.38

minutos

Modelo no explotar (tasa servicio > tasa de

llegadas)

Teora de colas Requiere supuestos adicionales sobre el modelo. Modelo simple: M/M/1

Tiempos entre llegadas ~ exponenciales Tiempos de servicio ~ exponenciales, indep. de llegadas E(servicio) < E(llegadas) Estado estacionario (largo plazo, para siempre) Resultados analticos exactos; e.g., tiempo promedio de espera

en cola:

s = E(tiempo de servicio)

a = E(tiempo entre llegadas)

Problemas: vlidez, estimacin de promedios, marco de tiempo

Normalmente til como una primera aproximacin.

S

A S

2


1. Variables de estado

2. Estado del sistema

3. Reloj de simulacin

4. Lista de eventos

5. Indicadores de desempeo

6. Contadores estadsticos

7. Programa principal

8. Rutina de inicializacin

9. Rutina de sincronizacin

10. Rutina de eventos

11. Rutina generadora de reportes

15 intervals of width 0.2 between 0 and 3 1 - Weibull

2 - Lognormal 3 - Exponential

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Density/Histogram Overplot

Interval Midpoint

De

ns

ity

/Pro

po

rtio

n

0.10 0.50 0.90 1.30 1.70 2.10 2.50 2.90

Componentes de un sistema de simulacin

discreta


Componentes de un modelo de simulacin

discreta

Entidades

Atributos

Variables globales

Recursos

Colas

Acumuladores estadsticos

Eventos

Reloj de simulacin


Entidades y Atributos Entidades

Entidades son los objetos dinmicos de la simulacin

Generalmente son creadas, se mueven dentro del sistema y luego se retiran

La mayora de las entidades representan elementos reales

Personas

Materias primas

Vehculos

Documentos

etc.

Atributos

Un atributo es una caracterstica de una entidad

Los atributos se acoplan a las entidades y se mueven con ellas

Un atributo en una caracterstica para todas las entidades pero con un valor especfico que difiere entre una entidad y otra

Tambin llevan el nombre de variables locales39lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin

Tipo de Entidad Atributo Valor del atributo

Automvil Color Caf

Automvil Color Rojo

Cliente Sexo Femenino

Paciente Sangre Grupo 4

40

Entidades y Atributos

lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin

Variables

Tambin llamadas variables globales

Una variable es una pieza de informacin que define el estado del sistema en un momento dado

Pueden haber muchas variables en un modelo

Son independientes de las entidades pero si pueden ser modificados por las entidades

Si pensamos en los atributos como una etiqueta que se pega en una entidad que se mueve dentro de una casa, una variable es equivalente a escribir en una muralla

ejemplo

Nmero de clientes dentro del sistema

Tamao de una cola

etc.


Recursos Los recursos representan elementos que son solicitados por las entidades

Equipos

Personal

etc.

Las entidades toman un recurso cuando este esta disponible y lo liberan cuando terminan de usarlo

Una entidad puede requerir uno o varios recursos a la vez dependiendo de la situacin

Proceso Entidad Recursos Requerimiento

Operacin bancaria Cliente Cajero nico

Operacin en una mquina Material

(pieza)

Operario

Mquina

Simultaneo

Atencin Mdica Paciente Enfermera

Camilla

Mdico

Secuencial


Colas Lugar donde las entidades esperan por un recurso que est ocupado con

otra entidad

Ejemplo

Sala de espera (hospital)

Fila frente a un cajero (banco)

Bodega (fbrica)

Inventario en proceso frente a una mquina

43

Acumuladores Estadsticos Variables que llevan registros de medidas de efectividad del sistema

Ejemplo:

Tiempo total que las entidades llevan en cola

El mayor tiempo que una entidad permaneci en cola

El tiempo total que un servidor (recurso) estuvo ocupado


Eventos

Un evento en un acontecimiento que ocurre en un instante del tiempo de simulacin y cambia el estado del sistema.

El evento puede cambiar, atributos, variables o acumuladores estadsticos.

Ejemplo:

Llegada de una entidad al sistema

Comienzo de servicio

Finalizacin de servicio

Salida de la entidad del sistema


Reloj de Simulacin

El valor correspondiente al tiempo de simulacin es mantenido en una variable llamada reloj de simulacin.

El tiempo no transcurre continuamente, avanza de evento en evento.

Dado que nada ocurre entre cada evento no es necesario desperdiciar tiempo real.

El reloj de simulacin trabaja en conjunto con el calendario de eventos

En el calendario de eventos se almacena la hora en que cada evento debe ocurrir

El reloj de simulacin revisa cual es el prximo evento en la lista y avanza hasta la hora que est programada su ocurrencia


Acumuladores Estadsticos

Variables que miran (watch) lo que pasa

Dependen de la ejecucin de la medida de output deseada

Pasivos en el modelo no participan, slo miran

En los diferentes software hay varias automticas, otras pueden ser programadas

Al final de la experimentacin se usan para calcular el output definitivo


Dinmica de los eventos discretos:

El Event-Scheduling World View

Identifica eventos caractersticos

Decide la lgica para cada evento con el fin de:

Realizar cambios de estado (state changes) para cada tipo de evento

Observar estadsticas

Actualizar tiempos de eventos futuros.

Mantiene un reloj, clock, y un calendario de eventos futuros (event calendar)

Salto de un evento al otro, procesa, observa estadsticas, actualiza el calendario de eventos

Se debe especificar una regla de detencin (stopping rule)

A menudo se utilizan lenguajes multipropsito (C++, Matlab, FORTRAN, etc.)


Sistema de Procesamiento Simple Llegada (Arrival) de una nueva entidad al sistema

Actualiza acumuladores estadsticos time-persistent.

rea bajo Q(t)

Mx de Q(t)

rea bajo B(t)

Marca tiempo de llegada con tiempo actual

Si la mquina est ociosa:

Inicie procesamiento (Partida por horario (schedule departure)), Cambiar a ocupada, Contabilizar tiempo de espera en cola (0)

Adems (mquina ocupada (machine is busy)):

Al haber una pieza al final de la cola, incremente la variable longitud de cola (increasequeue-length variable)

Programar el prximo evento de llegada (Schedule the next arrival event)


Sistema de Procesamiento Simple Salida (cuando un servicio es completado)

Incrementar nmero de productos en el acumulador estadstico

Computar & contar tiempo en el sistema (ahora tiempo de llegada)

Actualizar tiempos estadsticos (como en un arrival event)

Si la cola est no-vaca:

Tomar la primera pieza fuera de la cola, computar & contar su tiempo de espera en cola, iniciar servicio (schedule departure event)

Adems (cola vaca):

Determina la mquina como desocupada (Nota: No habr evento de partida programado en el calendario de eventos futuros, el cual se organiza como usted desee)


Sistema de Procesamiento Simple El Fin

Actualizar estadsticas (para finalizar la simulacin)

Computar la medida de ejecucin final de las salidas (output) usando valores actuales (= final) de acumuladores estadsticos

Despus cada evento, el registro del calendario de eventos es removido para ver qu tiempo es y qu hacer a continuacin

Todo debe volver a inicializarse


Aleatoridad Lo de antes fue slo una replica una muestra de tamao uno (no muy valiosa)

Se hicieron 5 replicas en total (IID):


Intervalos de confianza para valores

esperados:

En general, X tn -1,1- / 2s / n(se asume normalidad?)

Para una produccin total esperada,

3.80 (2.776)(1.64 / 5) = 3.80 2.04

Pasos de una Simulacin

Formulacin del Problema

Construir un Modelo Conceptual y Obtener

Informacin/Datos

Es Vlido el Modelo Conceptual?

Construir el Modelo

Verif. y Validar Mod. Programado?

Disear, Conducir y Analizar Experimentos

Documentar e Informar los Resultados de la Simulacin

Si

Si

No

No

1

2

3

4

5

6

7

25-50% del trabajo


53

Generacin de Nmeros Aleatorios

Los nmeros aleatorios son observaciones independientes tomadas de una distribucin uniforme entre 0 y 1 (0,1).

Propiedad: Uniformidad e Independencia

Variables aleatorio son observaciones independientes tomadas desde una distribucin especfica.

Una vez que se ha escogido la distribucin que mejor se acomoda a los datos de entrada, la simulacin comenzar agenerar muestras aleatorias desde esa distribucin.

Esto se realiza generando nmeros aleatorias y aplicando tcnicas de transformacin.

1;1)(

;10;)(

;00)(

12/1;5.0)(

.;0

;10;1)(

2

xxF

xxxF

xifxF

xE

elsewhere

xifxf


54

Mtodos de Generacin de Muestras

Mtodo de Transformacin Inversa

Mtodo de Aceptacin/Rechazo

Mtodo Composicin

Empleo de propiedades especiales


55

Mtodo de Transformacin Inversa

Dos pasos:

Generar 1 o mas muestras de nmeros a travs de una U(0,1)

Transformar la muestra de uniformes en una nueva muestra con la distribucin deseada, por ejemplo x = F-1(r),

Donde

r = muestra aleatoria

F-1 = la distribucin inversa de la muestra deseada

x = la muestra deseada


56

Ejemplo Mtodo de Transformacin Inversa

Discreta

Considere la funcin de distribucin de probabilidades discreta que describe el nmero de clientes, x, en un grupo que entra a un restaurant

x: 1 2 3 4 5 or more

probabilidad: .1 .4 .1 .3 .1

Para generar una muestra de esta distribucin usando el mtodo de la

transformacin inversa:

Paso 1: Encuentre una funcin de distribucin acumulada, F (x), para la

variable aleatoria en cuestin

Paso 2: generar la inversa de F, F-1(r)

57


Discreta

0.1

0.5

F(x)

x

1 2 3

0.6

0.9

4 5

Paso 3: Generar una secuencia de nmeros aleatorios (independientes, unifrme

idnticamente distribuidos [0,1]). Ejemplo : ri: .23 .71 .54

Paso 4: entonces xi=F-1(ri). Los xis son las variaciones

aleatorias.

x1 = F-1(r1) = F

-1(.23) = 2

x2 = F-1(r2) = F

-1(.71) = 4

x3 = F-1(r3) = F

-1(.54) = 3

Nota: si r.v. es continua (0

58

Ejemplo Mtodo de Transformacin Inversa Continua

Considere la funcin de distribucin de probabilidades continua, x, la que

entrega el tiempo (minutos) requerido para reparar una mquina

particular:

Utilizar el mtodo de transformacin inversa para generar nmeros aleatorios.

f x

x

x

x

( )

0 for 0,

.003x for 0 10,

0 for 10 .

2

f x( )

10 x

59


Continua

Paso1: encuentre la funcin de distribucin acumulada, F (x), para la variable

aleatorio en anlisis, donde:

Paso 2: Encontrar la inversa de F(x).

Paso 3: Generar una secuencia de nmeros aleatorios (independientes,

uniforme idnticamente distribuidos [0,1].

Ejemplo: ri: .21 .52 .34 .07 .92 .62

Paso 4: Defina xi = F-1(ri). Los xis son las variaciones aleatorias.

F(x) (X x) f(y)dy

.x

. x

x

Pr

0 0033

0 0013

3

x1

3 1000 0 21 594 ( )( . ) .

60

Funcin Exponencial

2221

//

, tambin que Note

011)(01

)(

=

teetFteetf tttt

)ln()1ln(1

tiene,Se

)1ln(y )1( Entonces

1)( Sea

rrt

rter

etFr

t

t

Pasos: 1. Generar ri

2. Calcular ti = - ln (ri)

3. Repetir como sea necesario

Otras Distribuciones

f tb a

a t b F tt a

b a

r F tt a

b at a b a r

( )( )

; ( )

( ) ( )

1

Let then

Uniform

Weibull

f t t e t

F t e r t r

t

t

( )

( ) , ln

/

//

1

1

0

1 1hence

Simulación Unidad 01

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