SistemaEcuacionesLineales

7/25/2019 SistemaEcuacionesLineales

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Matrices Elementales, Rango de

Matrices y Sistema de Ecuaciones

Lineales

Una gran cantidad de problemas que se presentan en las ciencias e ingeniería estan asociados a la soluciónde sistema de ecuaciones lineales, resolveremos este problema desde un enfoque matricial y decidiremos

el tipo de solución que presenta el sistema.

Matrices Elementales

Operaciones Elementales

Las operaciones elementales juegan un rol importante en el calculo del rango de una matriz y en la

soluciones de ecuaciones lineales.

Operaciones elementales por …las

Se de…nen tres operaciones elementales sobre las …las de una matriz que a continuación enunciamos

1. Intercambiar las …las i y j de la matriz

2. Multiplicar a una …la de la matriz por un escalar k 6= 0:

3. Añadir a la …la i de la matriz; k veces la …la j de la misma.

Resumimos estas operaciones elementales, así como su notación en la siguiente tabla

Operación elemental Notación

Intercambio de la …la i y j f i f j

Multiplicar una …la por un escalar k 6= 0 f i ! kf i

Añadir a la …la i; k-veces la …la j f i ! f i + kf j

Ejemplo

Dada la matriz A de…nida por

A =

266664

4 3 2 1 4

5 4 4 3 6

2 6 6 2 3

5 2 2 5 3

377775

realizamos las siguientes operaciones elementales por …las

1



1. Intercambiamos las …las 2 y 4 de la matriz

266664

4 3 2 1 4

5 4 4 3 6

2 6 6 2 3

5 2 2 5 3

377775

f 2 f 4

266664

4 3 2 1 4

5 2 2 5 3

2 6 6 2 3

5 4 4 3 6

377775

2. Luego a la …la 2 de la matriz le multiplicamos por 5

266664

4 3 2 1 4

5 2 2 5 3

2 6 6 2 3

5 4 4 3 6

377775

f 2 ! 5f 2

266664

4 3 2 1 4

25 10 10 25 15

2 6 6 2 3

5 4 4 3 6

377775

3. Seguidamente a la …la 4 le sumamos 2 veces la …la 1 de la matriz

266664

4 3 2 1 4

25 10 10 25 15

2 6 6 2 3

5 4 4 3 6

377775

f 4 ! f 4 + 2f 1

266664

4 3 2 1 4

25 10 10 25 15

2 6 6 2 3

13 2 8 5 2

377775

Operaciones elementales por columnas

De manera similar se de…nen las operaciones elementales por columna

1. Intercambiar las columnas i y j de la matriz.

2. Multiplicar una columna de la matriz por un escalar k 6= 0:

3. Añadir a la columna i de la matriz; k veces la columna j de la misma matriz

Resumimos estas operaciones elementales, así como su notación en la siguiente tabla

Operación elemental Notación

Intercambio de la columna i y j ci cj

Multiplicar una columna por un escalar k 6= 0 ci ! kci

Añadir a la columna i; k-veces la columna j ci ! ci + kcj

De…nición de una Matriz Elemental

Una operación elemental por …la o por columna, veine asociado a una matriz no-singular, llamada matriz

elemental el cual es de…nido como sigue.

De…nición

Una matriz E obtenido de la matriz identidad I realizando exactamente una operacion elemental es

llamada una matriz elemental.

Autor: J. César Barraza B. 2



Ejemplo

Las siguientes matrices son matrices elementales

264

0 0 1

0 1 0

1 0 0

375 : se obtiene intercambiando las …las 1 y 3 de I 3

" 1 0

0 8

# : se obtiene multiplicando por (8) la …la 2 de I 2

" 1 0

3 1

# : se obtiene sumando tres veces la …la 1 a la …la 2 de I 2

También podemos obtener matrices elementales asociadas a una operación elemental por columna

Ejemplo

Las siguientes matrices son matrices elementales

264

0 0 1

0 1 0

1 0 0

375 : se obtiene intercambiando las columnas 1 y 3 de I 3

" 1 0

0 8

# : se obtiene multiplicando por (8) la columna 2 de I 2

" 1 3

0 1

# : se obtiene sumando tres veces la columna 1 a la columna 2 de I 2

Proposición

Si E es la matriz obtenida por una operacion elemental por …la sobre la matriz identidad I m entonces,

para cualquier matriz A de orden m n; el producto EA es exactamente la matriz que se obtiene cuando

se aplica la misma operación elemental por …la sobre A

Prueba. Consideremos los tres caso sobre las operaciones elementales

Caso 1 E es la matriz obtenida al intercambiar las …las j y j de la matriz identidad I:

como la matriz I viene dada por

I =

2

66666666666664

e1...

ei...

ej

...

en

3

77777777777775




al aplicar la operación elemental f i f j tenemos

E =

266666666666664

e1...

ej

...

ei

...

en

377777777777775

por otro lado tenemos que

eiA = Af i

entonces el producto de la matriz EA viene dado por

EA =

266666666666664

e1A...

ej A

...

eiA

...

enA

377777777777775=

266666666666664

Af

1...

Af j

...

Af i

...

Af n

377777777777775

esto es, el producto es la matriz que se obtiene al intercambiar las …las i y j de A:

Caso 2 E es la matriz que se obtiene al multiplicar la …la i de la matriz identidad I por un escalar k 6= 0

E =

2666666664

e1...

kei

...

en

3777777775

entonces la matriz E A viene dado por

EA =

2666666664

e1A...

keiA

...

enA

3777777775=

2666666664

Af

1...

kAf i

...

Af n

3777777775

Esto es EA es la matriz que se obtiene al multiplicar la …la i de A por la constante k




Caso 3 E es la matriz que se obtiene al sumar a la …la i un múltiplo de la …la j a la matriz identidad.

E =

266666666666664

e1...

ei + kej

...

ej

...

en

377777777777775

entonces el producto de EA viene dado por

EA =

2

66666666666664

e1A

...

(e

i + ke

j )A

...

ej A

...

enA

3

77777777777775=

2

66666666666664

Af 1

...

eiA

+ ke

jA

...

Af j

...

Af n

3

77777777777775=

2

66666666666664

Af 1

...

Af

i + kA

f

j...

Af j

...

Af n

3

77777777777775

esto es E A es la matriz que se obtiene al sumar a la …la i de A un múltiplo de la …la j de A

Ejemplo

Sea la matriz

A =

264

1 2 3 5

1 5 4 1

0 1 0 3

375

apliquemos la operación elemental f 2 ! f 2 + 5f 3 sobre la matriz A

A =

264

1 2 3 5

1 5 4 1

0 1 0 3

375 f 2 ! f 2 + 5f 3

s

264

1 2 3 5

1 10 4 16

0 1 0 3

375 (1)

ahora si esta misma operación elemental por …la la aplicamos a la matriz identidad I 3 obtenemos

I =

264

1 0 0

0 1 0

0 0 1

375 f 2 ! f 2 + 5f 3

s

264

1 0 0

0 1 5

0 0 1

375 = E

luego el producto de la matriz E por la matriz A es:

EA =

264

1 2 3 5

1 10 4 16

0 1 0 3

375 (2)

como se ve tenemos que (2) es igual a (1)

El siguiente teorema determina la inversa de una matriz elemental




Teorema

Una matriz elemental es invertible y su inversa es tambien una matriz elemental del mismo tipo. Esto es

1. Si E intercambia dos …las, entonces, E 1 los intercambia tambien

2. Si E multiplica a una …la por k 6= 0, entonces E 1 multiplica a la misma …la por 1

k3. Si E añade un multiplo de una …la a otra, entonces E 1 resta el mismo multiplo desde la misma

…la a la otra

Prueba. Probaremos que la matriz es invertible y del mismo tipo según sea el caso

1. Si E se obtiene al intercambiar dos …las de la matriz identidad, entonces

det E = det I = 1

por lo tanto E es invertible, tenemos luego que

EA = B ! A = E 1B

de aqui concluimos que E 1 intercambia las mismas …las a la matriz B

2. Si E es la matriz que se obtiene al multiplicar por k 6= 0 a la …la i de la matriz identidad, entonces

por la linealidad de detrminantes en la …la i tenemos que

det E = k det I = k 6= 0

por lo tanto E es invertible. Considerando que E =h

e1 kei en

i y del hecho de que

E 1E = I

tenemos que la columna j-ésima de E 1 es ej excepto la columna i-ésima que viene dado por

kE 1ei = ei ! E 1ei = 1

kei

esto es la columna i-ésima de E 1 es 1k

ei. Por lo tanto la matriz elemental E 1 multiplica una …la

por 1k

3. Si E es la matriz que se obtiene al sumar a la …la i de A un múltiplo de la …la j de la matriz A,

entoncesdet E = det I

por tanto E es invertible. Analogamente al item anterior basta con ver lo que ocurre con la …la

i-ésima de E 1

EE 1 = I

tenemos que la ‡a i-ésima de E viene dado por

eT

i + keT j

E 1 = eT

i

eT i E 1 = eT

i keT j E 1

pero la …la j de E 1 es eT j

eT i E 1 = eT

i keT j




por lo tanto la matriz E 1 resta a la …la i el mismo múltiplo de la …la j.

Con lo cual concluimos que las matrices elementales son invertible

De acuerdo a este teorema tenemos que:

Si f i

f j de…ne a la matriz elemental E; entoncesf j f i de…ne a la matriz elemental E 1

Si f i ! cf i de…ne a la matriz elemental E; entonces

f i ! 1

cf i de…ne a la matriz elemental E 1

Si f i ! f i + cf j de…ne a la matriz elemental E; entonces

f i ! f i cf j de…ne a la matriz elemental E 1

Para aclara este punto veamos este ejemplo

Ejemplo

Sea la matriz

A =

264

1 2 3 1 0

2 8 1 0 3

1 1 0 1 1

375

Caso 1 La operación elemental consiste en intercambiar la segunda y tercera …la. (f 2 f 3)

Esta operación elemental asocia la matriz elemental

E =

2

641 0 0

0 0 1

0 1 0

3

75cuya inversa viene dada por

E 1 =

264

1 0 0

0 0 1

0 1 0

375

Debemos notar que la matriz E 1 viene de la operacion elemental f 2 f 3 aplicada a la matriz

identidad por lo que es una matriz elemental del mismo tipo.

Ahora el efecto de esta operación elemental sobre la matriz A es

EA =

264 1 2 3 1 0

1 1 0 1 1

2 8 1 0 3

375 y E 1A =

264 1 2 3 1 0

1 1 0 1 1

2 8 1 0 3

375

Caso 2 La operacion elemental consiste en multiplicar la segunda …la por 5 ( f 2 ! 5f 2)

Esta operación elemental asocia la matriz elemental E

E =

2

64

1 0 0

0 5 0

0 0 1

3

75




cuya inversa viene dada por

E 1 =

264

1 0 0

0 15 0

0 0 1

375

Debemos notar que la matriz E 1 viene de la operacion elemental f 2 ! 1

5f 2 aplicada a la matriz

identidad ; por lo tanto es una matriz elemental del mismo tipo.


EA =

264

1 2 3 1 0

10 40 5 0 15

1 1 0 1 1

375 y E 1A =

264

1 2 3 1 025 8

515 0 3

5

1 1 0 1 1

375

Caso 3 La operación elemental consiste en sumar a la …la 2, 3 veces la …la 3. (f 2 ! f 2 + 3f 3)

Esta operación elemental viene asociado con la matriz elemental

E =

264

1 0 0

0 1 3

0 0 1

375

cuya matriz inversa viene dada por

E 1 =

264

1 0 0

0 1 3

0 0 1

375

Debemos notar que la matriz E 1 viene de la operacion elemental f 2 ! f 2 3f 3 aplicada a la matriz identidad, por lo tanto es una matriz elemental del mismo tipo.


EA =

264

1 2 3 1 0

5 11 1 3 6

1 1 0 1 1

375 y E 1A =

264

1 0 0

0 1 3

0 0 1

375264

1 2 3 1 0

2 8 1 0 3

1 1 0 1 1

375

Ejercicios

Ejercicio 1 Sean A una matriz de orden 4 4

(a) Si despues de realizar las siguientes operaciones elementales por …las (en el orden indicado) se

obtuvo la matriz B

1) f 2 ! cf 2; 2) f 3 ! f 3 + kf 1; 3) f 4 f 1

Hallar una matriz R tal que A = RB

(b) Si despues de realizar las siguientes operaciones elementales por columna (en el orden indicado)

se obtuvo la matriz Q

1) c3 ! c3 kc2; 2) c4 ! rc4; 3) c2 c1

Hallar una matriz P tal que A = QP




Solution

a. Sean E 1; E 2; E 3 la sucesión de matrices elementales asociadas a las operaciones indicadas, entonces

se cumple

E 3E 2E 1A = B entonces A = E 11 E 1

2 E 13 B

de aqui se tiene que

R = E 11 E 1

2 E 13

donde las operaciones elementales asociadas a las matrices E 13 ; E 1

2 ; E 11 vienen dados por

1) f 4 f 1; 2) f 3 ! f 3 kf 1; 3)f 2 ! 1

cf 2

seguidamente aplicamos estas operaciones elementales a la matriz identidad de orden 4

2

666641 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

3

77775 f 4 f 1

2

666640 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

3

77775 f 3 ! f 3 kf 1

2

666640 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 k

1 0 0 0

3

77775

f 2 ! 1

cf 2

266664

0 0 0 1

0 1c

0 0

0 0 1 k

1 0 0 0

377775 = R

b. De manera análoga al item anterior, sean E 1; E 2; E 3 las matrices elementales asociadas a las opera-

ciones elementales indicadas, entonces

AE 1E 2E 3 = Q

de aqui se tiene que

A = QE 13 E 1

2 E 11

siendo las operaciones elementales asociadas de las matrices E 11 ; E 1

2 ; E 13

1) c2 c1 ; 2) c4 ! 1

rc4; 3)c3 ! c3 + kc2

y aplicandolo a la matriz identidad, se obtiene

P =

2666640 1 k 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1r

377775

0.1 Factorización de Matrices

Factorización LU

Toda matriz puede ser expresada como el producto de dos matrices, primero asumiremos que la matriz

A puede ser expresado como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular

superior U al cual se suele fallar factorización LU de A, esto es A = LU Antes de de…nir el procedimiento para el proceso de factorización primero debemos establecer lo siguiente




Problema

Sea A y B dos matrices triangulares inferiores (superiores) cuadradas del mismo orden. Probar que

1. El producto tambien es triangular inferior (superior)

2. Si A es invertible, entonces su inversa es triangular inferior (superior)

3. Si los elementos de la diagonal de A y B son iguales a uno, entonces el producto tambien tiene sus

elementos de la diagonal igual a uno

Procedimiento para la factorización LU

Asumiremos que no es necesario realizar permutaciones para llevar la matriz A a su forma escalonada

por …las, la cual es evidentemente una matriz triangular superior

para j = 1 n 1

para i = j + 1 n hacer f i ! f i ai;j

ajj

f i

de este modo hemos llevado la matriz A a una matriz triangular superior U , mediante un número …nito

de operaciones elementales, esto es

E mE m1 E 1A = U

como hemos asumido que no ha habido permutaciones entre …las entonces E 1; E 2; E m son matrices

triangulares.inferiores (debera probarlo) por lo tanto E 11 ; E 1

2 ; E 1m son tambien matrices triangulares

inferiores luego

A = E 11 E 1

2 E 1m U

haciendo L = E 11 E 1

2 E 1m ; tenemos que L es triangular inferior, y hemos obtenido la factorización

LU

A = LU

Ejemplo

Hallar la descomposición LU de la matriz

A =

264

1 1 0

1 2 1

0 1 2

375

Procedemos ha llevarlo a su forma escalonada

2641 1 0

1 2 10 1 2

375 f 2 ! f 2 11 f 1

E 1264

1 1 0

0 1 10 1 2

375 f 3 ! f 3 11 f 2

E 2264

1 1 0

0 1 10 0 1

375

de donde tenemos que

U =

264

1 1 0

0 1 1

0 0 1

375

la matriz L es obtenida de

L = E 11 E 1

2 =

2

641 0 0

1 1 0

0 1 1

3

75




puede veri…carse que

LU =

264

1 0 0

1 1 0

0 1 1

375

264

1 1 0

0 1 1

0 0 1

375

=

264

1 1 0

1 2 1

0 1 2

375

= A

Nota

En el proceso de factorización al término ai;j

ajj

se le llama multiplicadores y se denota como mij

Factorizacion PA = LU

Supongamos que durante la factorización LU de la matriz A es necesario intercambiar …las, En este caso,

podemos primero intercambiar todas las …las necesarias antes de hacer cualquier otra operación elemental

por …las, dado que el intercambio de …las puede ser hecho en cualquier momento, antes o despues de otra

operación, con el mismo efecto sobre la solución. Así no se necesitan mas intercambios de …las durante

el proceso de factorización y lo que conseguimos es la factorización LU de la matriz P A:

Ejemplo

Hallar la factorizacion LU de la matriz

A =

264

0 1 2

0 1 0

1 0 0

375

Es obvio que necesitamos intercambiar las …las 1 y 3 de la matriz A , asi necesitamos multiplicar por la

matriz

P =264

0 0 1

0 1 01 0 0

375entonces

P A =

264

1 0 0

0 1 0

0 1 2

375

y ahora para factorizar la matriz P A usamos el procedimento anterior y obtenemos

LU =

264

1 0 0

0 1 0

0 1 1

375264

1 0 0

0 1 0

0 0 2

375

A continuación describimos con un ejemplo, el método para determinar la matriz L.

Suponiendo que es posible la factorización sin intercambiar …las. Sea la mariz

A =

266664

2 4 3

1 3 0

2 6 2

3 3 5

377775




Paso 1.Hacemos que los elementos debajo de la diagonal de la primera columna sean iguales a cero

f 2 ! f 2 1

2f 1 (E 1)

f 3 ! f 3 2

2 f 1 = f 3 + f 1 (E 2)

f 4 ! f 4 32

f 1 (E 3)

Hasta este punto tenemos que

E 3E 2E 1A =

266664

2 4 3

0 1 32

0 2 5

0 3 12

377775 = A(1)

Luego la matriz L en este instante es de la forma

L =

266664

1 0 0 012 1 0 0

1 1 032 1

377775

Paso 2. Hacemos que los elementos de la segunda columna debajo de la diagonal de

A(1)

sean iguales

a cero

f 3 ! f 3 2

1 f 1 = f 3 (2) f 1 (E 4)

f 3 ! f 3

3

1 f 1 = f 3 (3) f 1 (E 5)

Hasta este punto tenemos que

E 5E 4A(1) = E 5E 4E 3E 2E 1A =

266664

2 4 3

0 1 32

0 0 2

0 0 4

377775 = A(2)

Luego la matriz L en este instante es de la forma

L =

2666641 0 0 012 1 0 0

1 2 1 032 3 1

377775

Paso 3. Por último hacemos que los elementos de la tercera columna debajo de la diagonal de

A(2)

sean iguales a cero

f 4 ! f 4 4

2 f 3 = f 4 (2) f 3




tenemos que

E 6A(2) = E 6E 5E 4E 3E 2E 1A =

266664

2 4 3

0 1 32

0 0 2

0 0 0

377775

= A(3) = U

y la matriz L es

L =

266664

1 0 0 012 1 0 0

1 2 1 032 3 2 1

377775

Compruebe que A = LU

Rango de una Matriz

El rango de una matriz es un concepto que esta relacionado con la inversa de una matriz y con los sistemasde ecuaciones y es tratado mas ampliamente en los espacios vectoriales.

Previamente de…niremos los conceptos de matriz escalonada y matriz escalonada reducida que son útiles

en la determinación del rango de una matriz, así como en la solución de sistemas de ecuaciones

Forma escalonada por …las de una matriz

Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por …las si satisface las siguientes tres propiedades

1. El primer elemento diferente de cero en cada …la es 1, llamado a veces el 1 principal o pivote

2. Una …la cuyos elementos son todos ceros aparecen debajo de todas las …las que contienen al menos

un elemento diferente de cero

3. Para dos …las sucesivas no nulas el pivote de la …la inferior aparece mas a la derecha

Ejemplo

Las siguientes matrices se encuentran en su forma escalonada por …las

264

1 0 2

0 1 1

0 0 1

375

264

1 0 0 0

0 0 1 2

0 0 0 1

375

266664

1 0 2 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0

377775

Forma escalonada reducida por …las de una matriz

Una matriz se dice que esta en su forma escalonada reducida por …las si

1. Esta en su forma escalonada por …las

2. Cada columna que contiene al pivote tiene sus otros elementos iguales a cero.

Ejemplo

Las siguientes matrices estan en su forma escalonada reducida por …las

A =264

1 3 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

375 B =266664

1 0 0 0

0 0 1 20 0 0 0

0 0 0 0

377775




el cual es diferente de cero, por tanto la matriz M es no singular, luego el rango de A es 2, esto es

R (A) = 2

Este forma de hallar el rango es muy costoso, mas adelante veremos otra manera de encontrar dicho

rango.

Proposición

El rango de una matriz A de orden m n es siempre menor o igual que el mínimo entre m y n; esto es

R (A) min fm; ng

Prueba. Como el orden de la matriz es m n, entonces el orden de la submatriz cuadrada mas grande

de A es aquel cuyo orden sea menor o igual al min fm; ng :

Por tanto el orden de la matriz a lo más puede ser igual a dicho valor, por tanto concluimos que

R (A) min fm; ng

Teorema

El rango de una matriz no cambia si aplicamos cualquiera de las operaciones elementales por …las.

La aplicación de este teorema es importante para el cálculo del rango, pues podemos realizar operaciones

elementales por …las a la matriz hasta llevarlo a su forma escalonada reducida, en el cual es fácil determinar

su rango.

Ejemplo

Calcular el rango de la matriz A de…nida por

A =

26666666664

0 1 1 1 0 01 0 1 1 1 0

1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 1 0

37777777775

mediante operaciones elementales A es transformada a la siguiente matriz

26666666664

1 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

37777777775

Podemos observar que el orden mas alto de la submatriz cuya determinate es diferente de cero es igual a

4.

Proposición (rango de una matriz)

El rango de una matriz es igual al numero de …las no nulas de su forma escalonada por …las.

Prueba. Por el teorema (22) tenemos que al aplicar operaciones elementales a una matriz el rango nocambia, entonces la forma escalonada de una matriz es el mismo que el rango de su forma escalonada, es




más es igual al de su forma escalonada reducida

A o:e

266664

1 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

377775

m < n

A o:e

266664

1 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

377775 m > n

. Como el rango de una matriz es igual al orden de la submatriz mas grande cuya determinante es

diferente de cero, no podemos considerar una …la que tenga todos sus elementos iguales a cero pues nos

llevaria a una submatriz con determinante igual a cero.

Considerando la submatriz al cual se le han quitado las …las nulas y sea r el número de …las no nulas

264

1 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

375

" 1 0

0 0 1

#

las columnas tienen r elementos. eligiendo la submatriz cuyas columnas contienen al pivote que son r en

total tenemos la submatriz que es igual a la identidad

2641 0 0

0 1 0

0 0 1

375"

1 0

0 1

#

cuya determinante es diferente de cero, por tanto el rango es igual a r: Con lo cual queda probado que el

rango de una matriz es igual al número de …las no nulas de la forma escalonada de la matriz A.

De…nición

Una matriz de permutación es una matriz cuadrada obtenido de la matriz identidad por permutación de

…las

Ejemplo

Sea la matriz

P =

266664

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

377775

es una matriz de permutación pues se obtiene de intercambiar f 1 f 2 y f 3 f 4

Problema

Probar que

1. Una matriz de permutación es el producto de un número …nito de matrices elementales las cuales

corresponden a la operación elemental por …las de "intercambio de …las"




2. Toda matriz de permutación es invertible y P 1 = P T

3. El producto de dos matrices de permutación es tambien una matriz de permutación

4. La transpuesta de una matria de permutación es tambien una matriz de permutación

ProblemaMostrar que si A es una matriz de orden m n y E es una matriz elemental al realizar una operación

elemental sobre columnas a la matriz identidad I n, entonces AE es exactamente la matriz que se obtiene

de A cuando realizamos la misma operacion elemental sobre la matriz A

Inversa de una Matriz por Operaciones Elementales

Estableceremos una relación entre una matriz invertible y las matrices elementales y tambien entre una

matrizh <i triangular y las matrices elementales

Teorema

Sea A una matriz de orden n n, entonces A es invertible si y solo si A es el producto de matrices

elementales.

Prueba. Primero supongamos que A es el producto de matrices elementales entonces

A = E 1E 2 E m

como las matrices elementales son invertibles entonces

AE 1m E 1

m1 E 11 = I

luego entonces

A1 = E 1m E 1

m1 E 11

por lo que A es invertible

Ahora supongamos que la matriz A es invertible, entonces

R (A) = n pues det(A) 6= 0

por otro lado del teorema (22) el rango no cambia si realizamos una operacion elemental, luego podemos

aplicar sucesivas operaciones elementales y llevar la matriz A hasta la identidad

E m E 2E 1A = I

entonces

A = E 11 E 1

2 E 1m

Ejemplo

Expresar la matriz A como un producto de matrices elementales

A =

" 2 1

1 2

#




Mediante operaciones elementales llevamos A a la matriz identidad

" 1 1

1 2

# f 2!f 2+f 1

!

" 1 1

0 3

# f 2!

1

3f 2

!

" 1 1

0 1

# f 1!f 1f 2

!

" 1 0

0 1

#

E i : " 1 0

1 1# " 1 0

0 13# " 1 1

0 1#

E 1i :

" 1 0

1 1

# " 1 0

0 3

# " 1 1

0 1

#

Entonces

A =

" 1 1

1 2

# =

" 1 0

1 1

#" 1 0

0 3

#" 1 1

0 1

#

Inversa por el método de Gauss-Jordan

El hecho de que toda matriz invertible es expresado como un producto de matrices invertibles nos conduce

al método planteado por Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa por medio de operaciones elementales.

Procedimiento para el calculo de la inversa por el método de Gauss-Jordan

1. Concatenamos la matriz A con la matriz identidad del mismo ordenA

... I

2. Mediante operaciones elementales por …las llevamos la matriz A a la matriz identidad, y aplicando

las mismas operaciones elementales a la matriz identidad

A

... I

op: elementales

por f ilas

I

... B

3. La matriz B obtenida viene a ser la matriz inversa de A.

Nota

El método se justi…ca debido a que en el proceso se tiene que

E nE n1 E 1A = I

esta expresión podemos tambien como el producto

(E nE n1 E 1I ) A = I

de la de…nición de matriz inversa tenemos que la inversa de A viene dado por

A1 = E nE n1 E 1I

esto es, A1 se obtiene al aplicar las mismas operaciones elementales a la matriz identidad

Ejemplo

Calculemos la inversa de A

A =

" 1 1

1 2

#




Formamos la matriz que contiene a A y a la matriz identidad, luego procedemos mediante operaciones

elementales a llevar a la matriz A a la identidad " 1 1

1 2

1 0

0 1

# f 2!f 2+f 1

!

" 1 1

0 3

1 0

1 1

# f 2!

1

3f 2

!

" 1 1

0 1

1 013

13

# f 1!f 1f 2

!

" 1 0

0 1

23 1

313

13

#

de donde tenemos que

A1 =

" 23 1

313

13

#

Sistema de Ecuaciones Lineales

Una de las principales motivaciones del algebra lineal es resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas presenta la siguiente forma

8>>>><>>>>:

a11x1 + a12x2 + a1nx1 = b1

a21x1 + a22x2 + a2nx1 = b2...

am1x1 + am2x2 + amnx1 = bm

(3)

donde aij ; bi denotan las constantes (reales o complejos) y x1; x2; ; xn son las incognitas

De…nición

Una sucesión de números (s1; s2; ; sn) es llamada solución del sistema si x1 = s1; x2 = s2; ; xn = sn

satisface cada ecuación simultaneamente.

Ejemplo

Sea el sistema

2x y + z = 2

3x 5y + z = 1

entonces la sucesión de puntos x = 1; y = 1; z = 1 es una solución del sistema, pues satisface ambas

ecuaciones.

De…nición (Solución Trivial)

Cuando el conjunto x1 = 0; x2 = 0; ; xn = 0 satisface el sistema de ecuaciones, se le llama solución

trivial.

Ejemplo

Sea la ecuación del sistema

2x y + z = 0

x 2y + 3z = 0

como el conjunto de puntos x = 0; y = 0; z = 0; satisface el sistema de ecuaciones, decimos que la

ecuación tiene como solución a la solución trivial.

Nuestro interes esta centrado en determinar cuando un sistema de ecuaciones tiene solución o no lo tiene

y encontrar la (las) solución (soluciones) si es que lo tiene.




Forma Matricial de un Sistema de Ecuaciones

Todo sistema de ecuaciones como el sistema (3) puede ser representado matricialmente, para ello es

su…ciente de…nir las matrices A y los vectores b;x como sigue

A =

266664a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

......

. . . ...

am1 am2 amn

377775

b =

266664

b1

b2...

bm

377775 x =

266664

x1

x2

...

xm

377775

entonces el sistema (3) es escrito en forma matricial como

Ax = b (4)

Donde:

A es llamado la matriz de coe…cientes

b el vector de constantes

x el vector incognita

De…nición (Sistema Consistente)

El sistema (4) se dice que es consistente cuando tiene al menos una solución

Ejemplo

El sistema

2x + 5y = 7

x 2y = 1

3x + y = 4

admite a (1; 1) como solución. por tanto es un sistema consistente

De…nición (Sistema Incosistente)El sistema (4) se dice que es inconsistente si no tiene solución

Ejemplo

El sistema

x y = 2

2x 2y = 5

no tiene solución

Sistema Homogéneo

Primero trataremos con un sistema de ecuaciones muy particular, el sistema homogéneo.




De…nición (Sistema homogéneo)

Si b = 0 se dice que el sistema (4), es un sistema homogéneo.

Proposición

Todo sistema homogéneo tiene al menos una solución, es decir es un sistema consistente.

Prueba. Del sistema homogéneoAx = 0

vemos claramente que x = 0 satisface el sistema, por tanto el sistema homogéneo admite al menos una

solución la cuál es la solución trivial.

Ahora la pregunta es ¿Cuando un sistema homogéneo tiene solución no trivial? y ¿Cual es?

Ahora vamos a desarrollar un método sistematico para encontrar todas las soluciones del sistema.

Sistemas Equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones

Ax = b (5)

~Ax = ~b (6)

se dice que son sistemas equivalentes si solo si toda solución de el sistema (5) es solución del sistema (6)

y toda solución de el sistema (6) es solución del sistema (5), esto se formaliza con el siguiente teorema

Teorema

Si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes por …las entonces ellos tienen el mismo conjunto de

soluciones.

Esta equivalencia de sistemas nos sugiere que partiendo de un sistema como Ax = b transformarlo a otro

sistema equivalente la cuál resulta ser mas conveniente para hallar su (sus) soluciones, si es que lo tiene.

Las operaciones que permiten llevar un sistema de ecuaciones a otro equivalente son las operaciones

elementales.

Ejemplo

Resolver el sistema

3x + 9y + 6z = 18

x + 3y z = 3

x z = 0

Si dividimos la primera ecuación entre 3 la solución no se altera como resultado tenemos el sistema

resultante

x + 3y + 2z = 6

x + 3y z = 3

x z = 0

ahora a la segunda y tercera ecuación le restamos la primera, entonces

x + 3y + 2z = 6

3z = 3

3y 3z = 6




intercambiamos la segunda con la tercera ecuación

x + 3y + 2z = 6

3y 3z = 6

3z = 3

este sistema y los anteriores son sistemas equivalentes, pero la última tiene una forma muy particular,

una forma triangular, que resulta comodo para hallar la solución

Resolviendo el último sistema tenemos que x = 1; y = 1; z = 1 es solución de este sistema y por ser un

sistema equivalente es solución del sistema original.

Como habrá notado solo los coe…cientes del sistema es involucrado en los calculos y no las variables o

incognitas y el signo de igualdad, esto nos sugiere que podemos formar una matriz

Aa =

266666664

a11 a12 a1n

... b1

a21 a22 a2n

..

. b2......

. . . ...

......

am1 am2 amn

... bm

377777775

llamada matriz aumentada, la cual a menudo se suele escribir como

Aa =

A

...b

De…nición

Dos matrices aumentadas son equivalentes por …las si uno puede ser transformada al otro mediante un

conjunto …nito de operaciones elementales por …las

De…nición (Variable básica)

Las variables en un sistema de ecuaciones que se encuentra en su forma escalonada por …las, correspon-

dientes a las columnas donde se encuentra el pivote, son llamadas variables básicas

Ejemplo

Sea el sistema de ecuaciones 264

1 0 3

0 0 1

0 0 0

375264

x1

x2

x3

375 =

264

0

2

0

375

en su forma aumentada esta en la forma escalonada por …las

Aa =

26664

1 0 3... 0

0 0 1... 2

0 0 0... 0

37775

de acuerdo a la de…nición, las variables x1 y x3 son las variables básicas

De…nición

Las variables en el sistema correspondiente a las columnas que no contienen a los pivotes son llamadas

variables libres.

Ejemplo

En el sistema anterior la variable x2 es la única variable libre.




Nota

respecto a las variables se cumple

# variables del sistema = # variables libres + # variables basicas

Métodos de Solución de Ecuaciones LinealesA continuación presentamos dos métodos clásicos de solución de sistemas de ecuaciones lineales

Eliminación gaussiana

Factorizacion LU

Método de Eliminación gaussiana

El método de eliminación Gaussiana consiste en resolver el sistema Ax = b llevando la matriz aumentada

Aa =

A

...b

a su forma escalonada por …las y luego resolver el sistema equivalente.

Ejemplo

Resolver el sistema

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24

3x1 + x2 6x3 = 18

Formamos la matriz aumentada

266642 4 6

... 18

4 5 6 ... 24

3 1 6... 18

37775 o: elem

266641 0 0

... 65

0 1 0 ... 425

0 0 1... 11

5

37775

de aqui tenemos que

x1 = 6

5 ; x2 =

42

5 ; x3 =

11

5

Ahora que sabemos una técnica para resolver un sistema, vamos a pasar a determinar cuando un sistema

es consistente y cuando no lo es.

Sabemos hasta el momento que el sistema homogéneo siempre es consistente, pero no hemos dicho nada

acerca de su número de soluciones.

De acuerdo a la proposición (24) el rango de una matriz es igual al número de …las no nulas de su formaescalonada, esta proposición nos da una herramienta muy útil para hallar el rango de una matriz, y es

de mucha importancia para determinar si un sistema es consistente o no lo es.

Dado el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas

8>>>><>>>>:

a11x1 + a12x2 + a1nx1 = b1

a21x1 + a22x2 + a2nx1 = b2...

am1x1 + am2x2 + amnx1 = bm

la cual expresado en su forma matricial viene dado por:

Ax = b




y su matriz aumentada de…nida por

Aa =

A

...b

entonces

1. Si el rango de A es igual al rango de Aa entonces el sistema es consistente, esto es

R (A) = R (Aa) implica sistema consistente

si además

(a)

R (A) = R (Aa) = n solución única

entonces tiene solución única

(b)

R (A) = R (Aa) < n in…nitas soluciones

entonces tiene in…nitas soluciones

2. Si el rango de A es menor que el rango de Aa entonces el sistema es incosistente, esto es

R (A) < R (Aa) implica sistema inconsistente

Ejemplo

Sea el sistema de ecuaciones

x y = 1

x y = 0

llevandolo a su forma matricial tenemos

" 1 1

1 1

#" x

y

# =

" 1

0

#

luego su matriz aumentada viene dado por

Aa =

24

1 1... 1

1 1

..

. 0

35

llevandolo a su forma escalonada obtenemos

24 1 1

... 1

0 0... 1

35

de aqui podemos deducir que el R (A) = 1 y que el rango de R (Aa) = 2; entonces

R(A) < R (Aa)

lo cual corresponde al caso que no tiene solución.

notar que este caso corresponde a tratar de hallar la intersección de 2 rectas, las cuales son paralelas




-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

x

y

Ejemplo


x + y = 1

x y = 0


" 1 1

1 1

#" x

y

# =

" 1

0

#

luego su matriz aumentada viene dado por

Aa =

24 1 1

... 1

1 1... 0

35


24 1 1

... 1

0 2... 1

35

de aqui podemos deducir que el R (A) = 2 y que el rango de R (Aa) = 2; entonces

R(A) = R (Aa)

lo cual corresponde al caso que tiene solución. Ademas como

R(A) = R (Aa) = 2 (# variables)

entonces tiene solución única y la solución es x = 12

; y = 12

Debemos notar que este caso corresponde a tratar de hallar la intersección de 2 rectas, las cuales que se

intersectan en un único punto




-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

x

y

Ejemplo


x y = 1

2x 2y = 2


" 1 1

2 2

#" x

y

# =

" 1

2

#

luego su matriz aumentada viene dada por

Aa =

24 1 1

... 1

2 2... 2

35


24 1 1

... 1

0 0... 0

35

podemos deducir que el R (A) = 1 y que el rango de R (Aa) = 1; entonces

R(A) = R (Aa) = 1

lo cual corresponde al caso que tiene solución. Ademas como

R(A) = R (Aa) = 1 < 2 (# variables)

entonces tiene in…nitas soluciones

notar que este caso corresponde a tratar de hallar la intersección de 2 rectas, las cuales son rectas

coincidentes. x y = 1




-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

x

y

Ahora lo que nos queda por tratar es como expresar las soluciones cuando un sistema tiene in…nitas

soluciones.Proposición

En un sistema consistente, el número de varibles libres es igual a el numero de variables menos el rango

de la matriz A (o Aa

) Esto es

# variables libres = n R (A)

Ejemplo

Hallar la solución del siguiente sistema

x1 + 3x2 2x3 = 3

2x1 + 6x2 2x3 + 4x4 = 18

x2 + x3 + 3x4 = 10

llevandolo a su forma matricial tenemos el sistema

264

1 3 2 0

2 6 2 4

0 1 1 3

375266664

x1

x2

x3

x4

377775 =

264

3

18

10

375

formando la matriz aumentada obtenemos

Aa =

26664

1 3 2 0... 3

2 6 2 4... 18

0 1 1 3... 10

37775

ahora lo llevamos a su forma escalonada y obtenemos

26664

1 0 0 1... 3

0 1 0 1... 4

0 0 1 2... 6

37775

entonces tenemos que R(A) = R(Aa) = 3 < n = 4 entonces estamos en el caso de un sistema consistente

con in…nitas soluciones.

Recordemos que el número de variables libres viene dado por:

# variables libres = 4 3 = 1




y que además

n = (# variables libres) + (# variables basicas)

entonces identi…camos las 3 variables básicas en la matriz

x1 x2 x3 x4

1 0 0 1... 3

0 1 0 1... 4

0 0 1 2... 6

estas son x1; x2; x3; por tanto la variable libre viene dado por x4: Ahora llevamos nuestro sistema matricial

a su forma de sistema de ecuacionesx1 + x4 = 3

x2 + x4 = 4

x3 + 2x4 = 6

Procedemos a despejar las variables básica en términos de las variables libres, esto es x4 = t; entonces dela tercera ecuación x3 = 6 2t

Ahora de la segunda ecuación x2 = 4 t y de la primera ecuación x1 = 3 t

luego formamos el vector solución

266664

x1

x2

x3

x4

377775 =

266664

3 t

4 t

6 2t

t

377775 =

266664

3

4

6

0

377775 + t

266664

1

1

2

1

377775 con t 2 R

Nota

Las variables libres toman todos los valores, por eso su denominación de variable libre.

Método de la factorización LU

Recordemos que la eliminación gaussiana es un método básico para resolver el sistema Ax = b; ahora

mostramos otro método basado en la factorización de la matriz A, para ello primero supondremos que

en el proceso de factorización no hay permutaciones.

Paso 1 Factorizamos la matriz A

A = LU

Paso 2 Calculamos el vector c mediante

c = L1b

Paso 3 Resolvemos el sistema

U x = c

Podemos resolver multiples sistemas donde la matriz A permanece constante, esto es, tenemos q sistemas

de ecuaciones lineales de…nidos por

Axi = bi i = 1 q

por el proceso anterior calculamos los vectores ci como sigue

ci = L1bi




y procedemos a resolver

U xi = ci

Ejemplo

Resolver los siguientes sistemas

x y = 2

x + 2y z = 1

y + 2z = 1

x y = 2

x + 2y z = 1

y + 2z = 2

Como notamos estos sistemas tienen la misma matriz de coe…cientes A, dado por

A =

264

1 1 0

1 2 1

0 1 2

375

luego tenemos los sistemas

Ax1 = b1

Ax2 = b2

donde

b1 =

264

2

1

1

375 ; b2 =

264

2

1

2

375

Ahora procedemos a factorizar la matriz A

A = LU =

264

1 0 0

1 1 0

0 1 1

375264

1 1 0

0 1 1

0 0 1

375

Seguidamente hallamos los vectores ci = L1bi

c1 =

264

1 0 0

1 1 0

1 1 1

375264

2

1

1

375 c2 =

264

1 0 0

1 1 0

1 1 1

375264

2

1

2

375

c1 =

264

2

3

4

375 c2 =

264

2

3

1

375

Finalmente resolvemos los sistemas U xi = ci

264 1 1 00 1 1

0 0 1

375x1 =

264 23

4

375 ;

264 1 1 00 1 1

0 0 1

375x2 =

264 23

1

375




Por el método de sustitución hacia atras, obtenemos

x1 =

264

9

7

4

375

x2 =

264 6

4

1

375

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