CON DOS INCOGNITAS

1. Sistema de ecuaciones con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tiene esta estructura:

ax +by= c dx +ey = f donde x e y son incógnitas. a, b, c, d, e y f son valores conocidos que

cumplen la siguiente condición: a o b ≠ 0 y d o e ≠ 0.

Ejemplo: 4x +3y = 5 x -2y = 4

Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

2. Resolver un sistema de ecuaciones

Decimos que un par de valores (u, v) es solución de un sistema de ecuaciones si las igualdades de ambas se cumplen cuando sustituimos x por u e y por v en cada ecuación.

Ejemplo: queremos comprobar si el par (2, –1) es una solución de este sistema: 4x +3y = 5

x -2y = 4 Sustituyendo x por 2 e y por –1, obtenemos: , es

decir, Las igualdades de ambas ecuaciones son ciertas,

por lo que podemos afirmar que el par (2, –1) es la solución de este sistema.

Métodos de resolución

1. Método de sustitución2. Método de reducción3. Método de igualación4. Método de determinantes

1. Método de sustitución

Se despeja la variable de una de las ecuaciones La expresión obtenida se sustituye en la otra ecuación y se resuelve la

ecuacion de una variable. Ejemplo. Resuelve este sistema de ecuaciones: X- 2Y = 3 4X-5Y = 9 —Tomamos una de las dos ecuaciones para expresar una de las

incógnitas en función de la otra. Por ejemplo, vamos a expresar la x en función de y usando la primera ecuación.

Despejando la x en la primera ecuación, el sistema quedaría así: X = 3 + 2Y

—A continuación, sustituimos la x de la segunda ecuación por el valor que hemos obtenido en la primera (2y + 3). Por eso llamamos a este método de “sustitución”. La solución de este sistema de ecuaciones es (1, –1).

Método de igualación

Se despeja la misma variable en las dos ecuaciones Se igualan las dos expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación

de una variable. Ejemplo. Resuelve este sistema de ecuaciones: 2X+ Y = 1 3X – 2Y = -9 —Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones. La que

queramos, por ejemplo la y: Y= 1-2X Y= -9-3X /-2 —Como las dos ecuaciones son iguales a y, igualamos el segundo

miembro de ambas y construimos así una ecuación de primer grado con una incógnita: 1-2X=-9-3X /-2

Simplificamos y resolvemos para hallar x: -1 —Solo nos queda sustituir este valor en cualquiera de las

ecuaciones del sistema y obtendremos el valor para y: 3 La solución del sistema es (–1, 3).

Método de reducción Se multiplica una o ambas ecuaciones por un número adecuado

para eliminar una variable. Se suma las ecuaciones y se resuelve la ecuación de una variable

obtenida. ejemplo. Resuelve este sistema de ecuaciones: 5x+ 2y = 20,5 3x+ 4y = 16,5 —Multiplicamos por 2 los dos miembros de la primera ecuación,

de manera que tengamos el mismo coeficiente para la y en ambas ecuaciones.

—Ahora, si restamos las dos ecuaciones, observaremos cómo la incógnita desaparece en ambas:

—Ya solo nos queda sustituir este valor en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales para obtener el resultado de la y.

Tomamos el sistema desde el principio y sustituimos la x en cualquiera de ellas :

La solución del sistema es (3,5, 1,5).

Historia de los sistemas de ecuaciones.Los sistemas de ecuaciones eran ya resueltos

por los babilonios los cuales llamaban alas incógnitas con palabras como longitud, anchura, o volumen sin que tuvieran relación con problemas de medida.

Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones pero utilizando métodos geométricos.

También aparecen en los documentos hindúes y chinos.