Sistemas de ecuaciones 2º ESO

Tema:

8 Sistemas de ecuaciones 1 Aritmos 2001 - Matemáticas 2º ESO

Recuerda• Ecuaciones equivalentes

Comprueba que x = 6 es solución de las siguientes ecuaciones: a) 4x – 12 = x + 6 b) 4x – 18 = x c) 3x = 18

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

• Regla de la suma y del producto

4x – 12 = x + 6 4x = x + 18 3x = 18 x = 6

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número o una expresión semejante (o se los multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero) se obtiene otra ecuación equivalente.

+12 – x : 3

• Suma de igualdades

x + 1 = 6 + y 2x – 3 = 2 + y (x + 1) + (2x – 3) = (6 + y) + (2 + y)+ =

Si dos igualdades se suman o restan miembro a miembro se obtiene otra igualdad.

U n p a r d e e c u a c io n e s c o m o e s ta s s e d e s ig n a c o n e l n o m b r e d e s i s t e m a d e d o s e c u a c io n e s .

T e m a :

8 S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s 2 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

E c u a c io n e s c o n d o s in c ó g n it a s . S is t e m a sE n u n a lb e r g u e d e m o n ta ñ a h a y h a b i ta c io n e s d o b le s ( c o n d o s c a m a s ) y s e n c i l la s ( c o n u n a c a m a ) . E n to ta l t i e n e 2 0 h a b i ta c io n e s y 3 3 c a m a s . ¿ C u á n ta s h a b i ta c io n e s h a y d e c a d a t ip o ?

S i d e s ig n a m o s p o r d e l n ú m e r o d e h a b i ta c io n e s d o b le s y p o r s e l n ú m e r o d e h a b i ta c io n e s s e n c i l l a s , e l n ú m e r o d e h a b i ta c io n e s q u e t ie n e e l a lb e r g u e p u e d e e x p r e s a r s e a s í :

33 s 2d

20 s d

d + s = 2 0

E s u n a e c u a c ió n q u e t ie n e d o s in c ó g n i ta s : d y s .

E l n ú m e r o d e c a m a s q u e t ie n e e l a lb e r g u e p u e d e e x p r e s a r s e a s í :

2 d + s = 3 3

E s o t r a e c u a c ió n c o n d o s in c ó g n i ta s : d y s .

L a in f o r m a c ió n d a d a p o r e s te p a r d e e c u a c io n e s s e s im b o l iz a a s í :

T e m a :

8 S is t e m a s d e e c u a c io n e s 3 A r i tm o s 2 0 0 1 - M a te m á t ic a s 2 º E S O

S istem as d e ecu acion es

U n sistem a de do s ecuaciones de p rim er g rado pued e escrib irse as í:

p ny mx

c by ax

L os nú m eros a , b , m y n se llam an coefic ien tes de las incógn itas .

L os nú m eros c y p se llam an té rm inos independ ien tes.

E jem plo :

64yx

82y3xC oefic ien tes:

3 2 1 4

T érm inos independ ien tes

8 6

Tema:


Resolución de sistemas por tablas

Si se designa por d el número de habitaciones dobles y por s el número de habitaciones sencillas, el sistema resultante es:

d + s = 20

Una manera de resolver problemas sencillos dados por dos ecuaciones es hacer una tabla de valores. Se da un valor a d, número de habitaciones, y a partir de él se calcula el número de habitaciones sencillas y de camas:

2d + s = 33

DoblesSencillasCamas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 ...21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 ...

La solución es 13 habitaciones dobles y 7 sencillas. (Compruébalo)Los demás valores no verifican las dos ecuaciones a la vez.

Resolver un sistema con dos incógnitas es hallar los valores delas incógnitas que verifican a la vez las dos ecuaciones.Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Resolver un sistema con dos incógnitas es hallar los valores delas incógnitas que verifican a la vez las dos ecuaciones.Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

En un albergue de montaña hay habitaciones dobles y sencillas. Tiene en total 20 habitaciones y 33 camas. ¿Cuántas habitaciones hay de cada tipo?

Tema:


Resolución de sistemas por sustituciónEn un albergue de montaña hay habitaciones dobles y sencillas. Tiene en total 20 habitaciones y 33 camas. ¿Cuántas habitaciones hay de cada tipo?

Si sustituimos este valor de s en la segunda ecuación, resulta una ecuación de primer grado con una sola incógnita: 2d + (20 – d) = 33.

Operamos:

De la primera ecuación, d + s = 20, se deduce que s = 20 – d.

2d + 20 – d = 33 d + 20 = 33

Restamos 20: d = 13

Si d = 13, entonces, s = 20 – 13 = 7.

Este modo de resolver sistemas de ecuaciones se llama método de sustitución.

Este modo de resolver sistemas de ecuaciones se llama método de sustitución.

Si se designa por d el número de habitaciones dobles y por s el número de habitaciones sencillas, el sistema resultante es:

d + s = 202d + s = 33

Número de habitaciones dobles: 13

Número de habitaciones sencillas: 7

P a r a p r a c t i c a r

T e m a :


M é t o d o d e s u s t i t u c i ó n

L a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a e s : x = 2 , y = 3 .

x = 8 – 2 y

3 ( 8 – 2 y ) – 4 y = – 6

2 4 – 6 y – 4 y = – 6 3 0 = 1 0 y

y = 3

x = 8 – 2 · 3 = 2

R e s o l v e r e l s i s t e m a

1 º D e s p e j a m o s x e n l a s e g u n d a e c u a c i ó n :

2 º S u s t i t u i m o s e n l a p r i m e r a e c u a c i ó n :

3 º R e s o l v e m o s l a e c u a c i ó n o b t e n i d a :

4 º S u s t i t u i m o s e s e v a l o r e n l a e c u a c i ó n d e s p e j a d a :

P a s o s a s e g u i r :1 . º D e s p e j a r u n a d e l a s i n c ó g n i t a s e n u n a d e l a s e c u a c i o n e s .

3 . º R e s o l v e r l a e c u a c i ó n d e p r i m e r g r a d o c o n u n a i n c ó g n i t a q u e s e o b t i e n e .2 . º S u s t i t u i r l a e x p r e s i ó n o b t e n i d a e n l a o t r a e c u a c i ó n .

4 . º C a l c u l a r l a o t r a i n c ó g n i t a e n l a e c u a c i ó n d e s p e j a d a .

O p e r a m o s :

82yx

64y3x

Tema:


Método de reducción. EjemplosPara resolver sistemas por el método de reducción es necesario que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales en las dos ecuaciones.

Ejemplo 1

Observa estos dos ejemplos.

d + s = 202d + s = 33

Restamos la segunda ecuación de la primera:

d + s = 202d + s = 33

d = 13 Si d = 13 d + s = 20 s = 7

Ejemplo 2 b + 2r = 4

3b + 4r = 10

Multiplicamos la segunda ecuación por 2 y restamos las ecuaciones obtenidas:

2b + 4r = 83b + 4r = 10

b = 2 Si b = 2 b + 2r = 4 r = 12 · (b + 2r) = 2 · 43b + 4r = 10

Tema:


Método de reducción–sustitución

Para resolver un sistema por el método de reducción–sustitución:

1.º Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo de ambos.

3.º Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.

2.º Se suman o restan las ecuaciones, según convenga, para eliminar esa incógnita.

4.º Se calcular la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.

Puede ser el producto de los coeficientes.

Al multiplicar una ecuaciónpor un número se transforma

en otra equivalente a ella.

Dos sistemas de ecuacionesson equivalentes cuando

tienen la misma solución.

ESTE MÉTODO SE FUNDAMENTA EN:

T e m a :


M é t o d o d e r e d u c c ió n - s u s t i t u c ió n

R e s o lv e m o s la e c u a c ió n :

x = 2

1 6 – 2 y = 1 0

R e s o lv e r e l s i s te m a d e e c u a c io n e s :

1 º V a m o s a e l im in a r la in c ó g n i ta y . P a r a e l lo t r a n s f o r m a m o s e l s i s te m a e n o t r o e q u iv a le n te q u e te n g a ig u a le s lo s c o e f ic ie n te s d e u n a in c ó g n i ta .

2 º

3 º R e s o lv e m o s la e c u a c ió n 5 2 x = 1 0 4 :

4 º S u s t i tu im o s x = 2 e n la 2 ª e c u a c ió n :

S u m a m o s la s e c u a c io n e s :

E l s i s te m a in ic ia l s e t r a n s f o r m a e n :1 2 x + 1 0 y = 5 44 0 x – 1 0 y = 5 0

5 2 x = 1 0 4

M u lt ip l ic a m o s la p r im e r a e c u a c ió n p o r 2 y la s e g u n d a p o r 5 :

L a s o lu c ió n d e l s i s te m a e s : x = 2 , y = 3 .

y = 3

102y8x

275y6x

Tema:


Técnicas y estrategias (I)

Designamos por C el número de cintas de Carla, y por B las de Berta.

Si Berta da tres cintas a Carla:Número de cintas de Carla ...…………………. C + 3Número de cintas de Berta ………………...…. B – 3Carla tendría el doble que Berta ..……....…….. C + 3 = 2(B – 3)

Si Carla da dos cintas a Berta:Número de cintas de Carla …...………………. C – 2Número de cintas de Berta ……………...……. B + 2Carla y Berta tendrían las mismas ……....….… C – 2 = B + 2

Lenguaje ordinario Lenguaje algebraico

Se tiene el sistema: 2(B – 3) = C + 3B + 2 = C – 2

Carla y Berta se han unido para escuchar música, cada una lleva sus cintas preferidas. Carla dice: “Si me das tres cintas tendría el doble que tú”.Berta responde: “Si tú me das dos cintas las dos tendríamos el mismo número”.¿Cuántas cintas tiene cada una?

PROBLEMA

Tema:


Técnicas y estrategias (II)

Carla y Berta se han unido para escuchar música, cada una lleva sus cintas preferidas.

Si C es el número de cintas de Carla, y B las de Berta, se obtiene el sistema:

• Si Berta da tres cintas a Carla:Número de cintas de Carla ...….… C + 3 = 17 + 3 = 20Número de cintas de Berta …....... B – 3 = 13 – 3 = 10

• Si Carla da dos cintas a Berta:Número de cintas de Carla …...…. C – 2 = 17 – 2 = 15Número de cintas de Berta ……… B + 2 = 13 + 2 = 15

2(B – 3) = C + 3B + 2 = C – 2

Carla dice: “Si me das tres cintas tendría el doble que tú”.Berta responde: “Si tú me das dos cintas las dos tendríamos el mismo número”.¿Cuántas cintas tiene cada una?

PROBLEMA

2B – 6 = C + 3B + 2 = C – 2

2B – C = 9B – C = –4

• Lo resolvemos por el método de reducción:

Carla tendría el doble de cintas que Berta.

Carla y Berta tendrían el mismo número de cintas.

Restando la segunda ecuación a la primera, queda: B = 13

Comprobación

Sustituimos el valor de B en la segunda ecuación: 13 – C = –4 C = 17

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