Sistemas de ecuaciones

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Ana PolaIES Avempace

Ecuaciones lineales Una ecuación lineal con n incógnitas x1, x2, x3,.., xn es una ecuación de la forma:

a1x1 + a2x2 + a3x3 +....+ anxn = b donde a1, a2, a3,..., an y b son números reales fijos.

x1, x2, x3,..., xn son las incógnitas Las ai son los coeficientes de las incógnitas y b el término independiente.

Se llama solución de la ecuación lineal a los números x1=k1, x2=k2, ..., que sustituidos en la ecuación satisfacen la igualdad

Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto formado por m ecuaciones lineales, cada una de ellas con las mismas n incógnitas.

Los valores x1, x2, x3,.., xn son solución del sistema si son solución de todas las ecuaciones que lo forman.

Clasificación de sistemas

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Sistemas equivalentes Dos sistemas son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución

Ambos sistemas tienen como solución x = 1 y = -1

Criterios de equivalencia 1 Si sumamos a los dos miembros de alguna de las ecuaciones de un sistema, un número o una expresión algebraica, el sistema resultante es equivalente

x + 3y - z = 4es equivalente a

x + 3y - z - 4 = 4 - 4o a

x + 3y - z - 3y = 4 - 3y

Criterios de equivalencia 2 Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de alguna de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente

x + 3y - z = 4es equivalente a

2x + 6y - 2z = 8

Criterios de equivalencia 3 Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el resultado es otro sistema equivalente

es equivalente a

Criterios de equivalencia 4 Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números distintos de cero, resulta otro sistema equivalente al primero

y se obtiene el sistema

Criterios de equivalencia 5 Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es proporcional a otra o es combinación lineal de otras, se puede suprimir y el sistema obtenido es equivalente al inicial

puesto que la tercera ecuación es igual a la segunda multiplicada por 2

Y, por supuesto, … Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente