Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones

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Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas


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Federico y Alicia están jugando con monedas.

En un determinado momento, Federico le dice a Alicia:

“Si me das una de tus monedas, entonces tendré el

doble de monedas que tú”. Alicia se queda muy

pensativa, y le contesta: “Si tú me das una moneda,

entonces tendremos el mismo número de monedas”.

¿Cuántas tiene cada uno?


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Ecuaciones con dos incógnitas

Álex y Javi quieren comprar un regalo a Lola y tienen 15 pesos entre los dos

• Una ecuación de primer grado con dos incógnitas x e y se puede escribir así:

ax + by = c

a, b y c son números

a y b se llaman coeficientes de las incógnitas

c se llama término independiente


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Sistemas de ecuacionesAdemás, Álex tiene un peso más que Javi.

• Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos

incógnitas son dos ecuaciones en las que las incógnitas

representan los mismos valores. Los sistemas de ecuaciones se

escriben así:

ax + by = c

dx + ey = f


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Solución de un sistema

• Una solución de un sistema es un par de números que verifica las dos

soluciones simultáneamente.

• Resolver un sistema de ecuaciones es hallar las soluciones del sistema.

• Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

• Si un sistema tiene solución, se dice que es compatible.

• Si un sistema no tiene solución, se dice que es incompatible.


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Solución de un sistema

SistemaPosición de las rectas Solución

CompatiblesDeterminado Se cortan

Una solución

Indeterminado Coincidentes Infinitas

Incompatible Paralelas No tiene


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Los principales métodos de solución para éste sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas son:

Método de Adición o Sustracción (Reducción)

Método de Igualación

Método de Sustitución

Método Gráfico

Métodos de Solución de un sistema


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Método de ReducciónPROCEDIMIENTOa) Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por

una cantidad constante apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las incógnitas.

b) Por suma o resta se elimina una de las incógnitas.

c) Se resuelve la ecuación lineal resultante.

d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.


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Método de Reducción2x + 3y = 84x + y = 6

( -1 )

( 3 )

2x + 3y = 84x + y = 6

-2x - 3y = -812x + 3y =18

10 x = 10

x = 1010

x = 1

2 x + 3y = 8

2 .(1) + 3y = 8

Despejo y obtengo

y =2


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Método de Igualacióna) Se despeja la misma incógnita en cada una de las

ecuaciones del sistema dado.

b) Se igualan entre sí las expresiones obtenidas, consiguiendo eliminar una de las incógnitas y dando lugar a una ecuación con una incógnita.

c) Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.

d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.


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Método de Igualación2x + 3y = 84x + y = 6

2x + 3y = 8 Restando

3y = 8 - 2xDividiendo

y = 8 – 2x 3

4x + y = 6 Restando

y = 6 - 4x

Igualo las ecuaciones

8 – 2x

3 = 6 - 4x

Despejo x obtengo

x= 1


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Método de Igualación

Continuación…

y = 6 - 4x x= 1

y = 6 – 4 . (1)

y = 6 - 4

y = 2

Solución:

x = 1y = 2


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Método de Sustitucióna) Despejar en cualquiera de las ecuaciones del sistema una

de las incógnitas en términos de la otra.b) Se sustituye la expresión para la incógnita despejada en

la otra ecuación que no se ha utilizado, se obtiene una ecuación con una incógnita.

c) Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las

ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita, también se sustituye en la expresión de la primera incógnita despejada, obteniéndose el valor de la otra incógnita, ambos procesos conducen al mismo resultado.


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Método de Sustitución2x + 3y = 84x + y = 6

Restando

y = 6 - 4x

4x + y = 6

y = 6 - 4x

2x + 3. (6 - 4x) = 8

2x + 18 – 12 x= 8

x= 1

y = 6 – 4 .(1)

y = 6 - 4

y = 2


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Método de Gráfico2x + 3y = 84x + y = 6 y = 6 - 4x

y = 8 – 2x 3

y = 8/3 - 2/3x

Graficamos las ecuaciones lineales y el punto donde se cortan es la solución del sistema

Método de Gráfico


Solución

Ejemplo de aplicación


En una granja hay conejos y patos. Si entre todos

suman 18 cabezas y 52 patas, ¿cuántos conejos y

patos hay?

x: conejosy: patos

x+ y = 18 (puesto que tienen 1 cabeza)

4x+ 2y = 52 (puesto que tiene 4 patas los conejosy 2 patas los patos)

Resuelvo el sistema por alguno de los métodos

Ejemplo de aplicación


Solución

8 conejos 10 patos

Actividades


1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando dos de los los métodos vistos:

8x - 9y = 73x + 2y = 8

a.

b. 6a + 5b = - 8-3a + 4b = 17

c. 3x + 2y = 135x + 4y = 23

Actividades


2. Resuelve los siguientes problemas, planteando un sistema de ecuaciones lineales y encuentra la solución por alguno de los métodos vistos:

1. Adrián tiene 25 animales, entre ovejas y pavos. Un día se da cuenta de que las patas de todos ellos suman 72. ¿cuántas ovejas y cuántos pavos tiene?

2. La suma de 2 números es 150 y su diferencia es de 30, ¿cuáles son los números?

3. La suma de 2 números es 15 y su diferencia es de 3, ¿cuáles son esos números?

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