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SISTEMAS DE ECUACIONES EN DOS Y TRES VARIABLES.

Contenido

A. Resolución de un SEL2 ............................................................................................................... 3

2.1 Método por Igualación : ............................................................................................................................................ 4

2.2 Método por Sustitución : ........................................................................................................................................... 5

2.3 Método por Reducción ( Suma y Resta ) : .................................................................................................................. 7

2.4 Método por Determinantes...................................................................................................................................... 10

2.5 Método Gráfico ....................................................................................................................................................... 12

2.6 Resolución de Problemas con SEL2 .......................................................................................................................... 21

PROBLEMAS CON SEL2 ................................................................................................................................................... 24

3. Resolución de un SEL3 : ............................................................................................................ 26

3.1 Mètodo de Reducciòn .............................................................................................................................................. 26

3.2 Resolución de un SEL3 por Determinantes ............................................................................................................... 30

3.3. Problemas de Aplicación de un SEL3 ...................................................................................................................... 35

PROBLEMAS CON SEL3 ................................................................................................................................................... 37

3

INTRODUCCIO N.

Después de haber desarrollado las ecuaciones de primer grado con una incógnita y de haber hecho

ecuaciones con denominadores y visto procesos básicos de resolución, ahora nos adentraremos en

la solución de dos y tres variables a través de los Sistemas de Ecuaciones.

Es lógico pensar que ello podrá llevarnos un tiempo hacerlo, pero con ello lograremos una riqueza

en el quehacer y estaremos capacitados para resolver sistemas con dos ó tres incógnitas así como

sabremos resolver problemas que se resuelven mediante éstas. Vamos a iniciar el estudio con las

ecuaciones con dos variables y poco a poco nos iremos adentrando en los procesos que nos

conducirán hasta los sistemas con tres incógnitas y ver después qué problemas podemos resolver

con éstas. Iniciemos con nuestro estudio:

A. Resolución de un SEL2

Tú ya has resuelto ecuaciones lineales de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 con ó sin denominadores y haz

resuelto problemas de aplicación con esta ecuación. Ahora vamos a avanzar un poco y vamos a

resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.

Definición : Ecuación Lineal en Dos Variables :

Llamaremos así a toda ecuación que presenta dos variables con exponente uno.

Ejemplo : * 𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟕 * 𝟑𝒙 + 𝟖 = 𝟐𝒚 * 𝟏𝟏

𝟐 𝒙 + 𝒚 = − 𝟔

Definición : SEL2

Llamaremos Sistema de Ecuaciones Lineales en dos variables ( SEL2 ) al conjunto

formado por dos ecuaciones lineales en las mismas dos incógnitas:

{ 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 = 𝒄𝟏𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 = 𝒄𝟐

Ejemplos : * { 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟓 𝒙 − 𝟕𝒚 = − 𝟐

* {

𝟑

𝟒 𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 = 𝟓

𝟒𝒙 + 𝟏𝟏

𝟑 𝒚 = − 𝟏

4

Raíces ó Soluciones de un SEL2 :

Cada una de las soluciones de un SEL2 está constituida por una pareja de valores x, y que

satisfacen ambas ecuaciones . Sin embargo un SEL2 puede tener una solución, infinitas soluciones

ó puede que el sistema carezca de solución.

Ejemplo: 𝒙 = 𝟐 , 𝒚 = 𝟒 son soluciones del sistema {𝑥 + 𝑦 = 6 3𝑥 − 𝑦 = 2

pues satisfacen ambas

ecuaciones: * ( 2 ) + ( 4 ) = 6 6 = 6 3( 2 ) − ( 4 ) = 6 − 4 = 2

Técnicas de Resolución :

Para calcular la solución de un SEL2, vamos a utilizar los siguientes métodos sabiendo que todos

son muy importantes para el quehacer algebraico :

2.1 Método de Igualación 2.2 Método por Sustitución 2.3 Método por Reducción

2.4 Método por Determinantes 2.5 Método Gráfico

2.1 Método por Igualación :

Ejemplo #1 : Sea el sistema : { 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟔

Primero : Seleccionamos una variable y la despejamos en ambas ecuaciones. Preferiblemente

deben escogerse las variables que posean coeficiente uno.

** 3𝑥 − 𝑦 = 2 − 𝑦 = −3𝑥 + 2 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟐 ①

** 𝑥 + 𝑦 = 6 𝒚 = 𝟔 − 𝒙 ②

Segundo : Igualamos las expresiones encontradas : ① y ② :

3𝑥 − 2 = 6 − 𝑥 3𝑥 + 𝑥 = 6 + 2 4𝑥 = 8 𝒙 = 𝟐 ♠

Tercero : Sustituimos en cualquiera de los despejes efectuados en el paso primero :

𝑦 = 3𝑥 − 2 𝑦 = 3 ( 2 ) − 2 = 6 − 2 𝒚 = 𝟒 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟐 , 𝟒 ) Ⓡ

5

Ejemplo #2 : Resolver {𝟔𝒙 − 𝟓𝒚 = − 𝟗𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟑

Despejamos 𝑥 ∶ ** 6𝑥 − 5𝑦 = −9 6𝑥 = 5𝑦 − 9 𝒙 = 𝟓𝒚 − 𝟗

𝟔 𝑨.

** 4𝑥 + 3𝑦 = 13 4𝑥 = 13 − 3𝑦 𝒙 = 𝟏𝟑 − 𝟑𝒚

𝟒 𝑩.

Igualamos A y B : 5𝑦 − 9

6=

13 − 3𝑦

4 2 ( 5𝑦 − 9 ) = 3 ( 13 − 3𝑦 )

10𝑦 − 18 = 39 − 9𝑦 10𝑦 + 9𝑦 = 39 + 18 19𝑦 = 57 𝒚 = 𝟑

Sustituyendo en A :

𝑥 = 5𝑦 − 9

6=

5 ( 3 ) − 9

6 =

15 − 9

6 =

6

6 𝒙 = 𝟏 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟏 , 𝟑 ) Ⓡ

Ejemplo #3 : Resolver {𝟓𝒙 − 𝒚 = − 𝟖 𝟖𝒙 − 𝟕𝒚 = 𝟐𝟓

Despejamos 𝑦 ∶ ** 5𝑥 − 𝑦 = − 8 − 𝑦 = − 5𝑥 − 8 𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟖 𝑨.

** 8𝑥 − 7𝑦 = 25 − 7𝑦 = − 8𝑥 + 25 7𝑦 = 8𝑥 − 25 𝒚 = 𝟖𝒙 − 𝟐𝟓

𝟕 𝑩.

Igualamos A,B : 5𝑥 + 8 = 8𝑥 − 257

7 ( 5𝑥 + 8 ) = 8𝑥 − 25 35𝑥 + 56 = 8𝑥 − 25

35𝑥 − 8𝑥 = −56 − 25 27𝑥 = − 81 𝑥 = − 81

27 𝒙 = − 𝟑

Sustituyendo en A : 𝑦 = 5𝑥 + 8 = 5 ( −3 ) + 8 𝑦 = −15 + 8 𝒚 = −𝟕

𝑺𝒐𝒍 ∶ ( − 𝟑 , −𝟕 ) Ⓡ

2.2 Método por Sustitución :

Ejemplo #1 : Resolver por Sustitución {𝟕𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟑 𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟗

Primero : Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones. Seleccionamos

preferiblemente la variable que tenga coeficiente uno : 𝑥 − 2𝑦 = 19 𝒙 = 𝟐𝒚 + 𝟏𝟗 𝑨.

Segundo : Sustituimos la variable despejada en la otra ecuación :13 – 4x

7𝑥 + 4𝑦 = 13 7 ( 𝟐𝒚 + 𝟏𝟗 ) = 13 14𝑦 + 133 = 13 14𝑦 = 13 − 133 14𝑦 = −120

6

𝑦 = − 120

14 𝒚 = −

𝟔𝟎

𝟕 𝐂.

Tercero : Hallamos el valor de la otra variable sustituyendo la variable encontrada en la ecuación

que despejamos : 𝑥 = 2𝑦 + 19 𝑥 = 2 ( − 60

7 ) + 19 = −

120

7+ 19 𝒙 =

𝟏𝟑

𝟕

𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟏𝟑

𝟕 , −

𝟔𝟎

𝟕 ) Ⓡ

Ejemplo #2 : Resolver por Sustitución { 𝟔𝒙 − 𝟓𝒚 = − 𝟗 𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟑

Despejemos 𝑦 de la segunda ecuación: 4𝑥 + 3𝑦 = 13 3𝑦 = 13 − 4𝑥 𝒚 = 𝟏𝟑 − 𝟒𝒙

𝟑 𝑨.

Sustituimos en la Ecuación primera : 6𝑥 − 5𝑦 = − 9 6𝑥 − 5 ( 𝟏𝟑 − 𝟒𝒙

𝟑 ) = −9

6𝑥 − 65 − 20𝑥

3= − 9 18𝑥 − ( 65 − 20𝑥 ) = −27 18𝑥 − 65 + 20𝑥 = −27

18𝑥 + 20𝑥 = −27 + 65 38𝑥 = 38 𝑥 = 38

38 𝒙 = 𝟏

Sustituyendo en A :

𝑦 = 13 − 4 ( 1 )

3 =

13 − 4

3=

9

3 𝒚 = 𝟑 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟏 , 𝟑 ) Ⓡ

Ejemplo #3 : Resolver por Sustitución { 𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟏𝟎 𝟒𝒙 + 𝟗𝒚 = − 𝟏𝟑

Despejemos 𝑥 de la primer ecuación: 5𝑥 + 6𝑦 = 10 5𝑥 = 10 − 6𝑦 𝒙 = 𝟏𝟎 − 𝟔𝒚

𝟓 𝑨.

Sustituimos en la segunda ecuación : 4𝑥 + 9𝑦 = − 13 4 ( 𝟏𝟎 − 𝟔𝒚

𝟓 ) + 9𝑦 = −13

40 − 24𝑦

5+ 9𝑦 = − 13 40 − 24𝑦 + 45𝑦 = −65 − 24𝑦 + 45𝑦 = −65 − 40

21𝑦 = −105 𝑦 = − 105

21 𝒚 = −𝟓

Sustituyendo en A : 𝑥 = 10 − 6 ( − 5 )

5 =

10 + 30

5=

40

5 𝒙 = 𝟖 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟖 , −𝟓 ) Ⓡ

7

2.3 Método por Reducción ( Suma y Resta ) :

Ejemplo #1 : Resolver por Reducción { 𝟒𝒙 − 𝟗𝒚 = 𝟏𝟐 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 = − 𝟏

El método de Reducción consiste en multiplicar una ó ambas ecuaciones cuando es necesario, por

un número ( con lo cual la ecuación tiene una forma equivalente ) para eliminar una de las incógni –

tas: en nuestro caso si bien la variable 𝑦 tiene signos diferentes, para eliminarla es necesario que

multipliquemos ambas ecuaciones en cambio 𝑥 es mucho más sencillo por lo que transformamos

la segunda ecuación multiplicándola por − 𝟐 ∶ { 𝟒𝒙 − 𝟗𝒚 = 𝟏𝟐

𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 = − 𝟏 ( − 𝟐 )

{ 𝟒𝒙 − 𝟗𝒚 = 𝟏𝟐−𝟒𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 = 𝟐

− 21𝑦 = 14 21𝑦 = −14 𝑦 = − 14

21 𝒚 = −

𝟐

𝟑 𝑨.

Sustituimos el valor encontrado A , en una de las ecuaciones ( cualquiera ) :

4𝑥 − 9 ( − 2

3 ) = 12 4𝑥 + 6 = 12 4𝑥 = 12 − 6 4𝑥 = 6 𝑥 =

6

4=

3

2

𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟑

𝟐 , −

𝟐

𝟑 ) Ⓡ

Ejemplo # 2 : Resolver por Reducción { 𝟕𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟓 𝟗𝒙 + 𝟖𝒚 = 𝟏𝟑

Es claro que si nos fijamos un poco, basta multiplicar por 2 la primera ecuación con lo cual

eliminaremos y : { 𝟕𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟓 ( 𝟐 )

𝟗𝒙 + 𝟖𝒚 = 𝟏𝟑 {

14𝑥 − 8𝑦 = 10 9𝑥 + 8𝑦 = 13

23𝑥 = 23 𝑥 = 23

23 = 1

Sustituimos en la segunda ecuación : 9(1) + 8𝑦 = 13 8𝑦 = 13 − 9 8𝑦 = 4 𝑦 = 4

8=

1

2

𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟏 , 𝟏

𝟐 ) Ⓡ

Ejemplo # 3 : Resolver por Reducción : { 𝟕𝒙 + 𝟗𝒚 = 𝟒𝟐 𝟔𝒙 + 𝟓𝒚 = −𝟐

Está claro que tenemos que multiplicar ambas ecuaciones : { 𝟕𝒙 + 𝟗𝒚 = 𝟒𝟐 ( − 𝟔 ) 𝟔𝒙 + 𝟓𝒚 = −𝟐 ( 𝟕 )

{− 42𝑥 − 54𝑦 = −252 42𝑥 + 35𝑦 = −14

− 19𝑦 = −266 19𝑦 = 266 𝑦 = 266

19 𝒚 = 𝟏𝟒

8

** Sustituyendo en la segunda ecuación : 6𝑥 + 5 ( 14 ) = −2 6𝑥 + 70 = −2

6𝑥 = −2 − 70 6𝑥 = −72 𝑥 = − 72

6 𝒙 = −𝟏𝟐 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( −𝟏𝟐 , 𝟏𝟒 ) Ⓡ

Ejemplo # 4 : Resolver por Reducción : { 𝟐( 𝒙 + 𝟓𝒚 ) − 𝟑( 𝒙 − 𝟐𝒚 ) = 𝟏𝟎

𝟕 ( 𝒙 − 𝟒𝒚 ) + 𝟐( 𝒙 − 𝟑𝒚 ) = 𝟐𝟎

** Reduciendo la primera ecuación : 2𝑥 + 10𝑦 − 3𝑥 + 6𝑦 = 10 − 𝑥 + 16𝑦 = 10

** Reduciendo la segunda ecuación : 7𝑥 − 28𝑦 + 2𝑥 − 6𝑦 = 20 9𝑥 − 34𝑦 = 20

{− 𝑥 + 16𝑦 = 10 ( 9 ) 9𝑥 − 34𝑦 = 20

{− 9𝑥 + 144𝑦 = 90 9𝑥 − 34𝑦 = 20

110𝑦 = 110 𝒚 = 𝟏

** Sustituyendo en la segunda ecuación : 9𝑥 − 34( 1 ) = 20 9𝑥 − 34 = 20

9𝑥 = 20 + 34 9𝑥 = 54 𝑥 = 54

9 𝒙 = 𝟔 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟔 , 𝟏 ) Ⓡ

Ejemplo # 5 : Resolver por Reducción : {

𝟐𝒚 − 𝒙

𝟔 −

𝒙 + 𝟒𝒚

𝟐 =

𝟏

𝟑 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚

𝟒 −

𝟒𝒙 + 𝟑𝒚

𝟑 =

𝟑

𝟒

** Reduciendo 1a ecuación (𝑚𝑐𝑚 = 6) : 2𝑦 − 𝑥 − 3(𝑥 + 4𝑦) = 2 2𝑦 − 𝑥 − 3𝑥 − 12𝑦 = 2

− 4𝑥 − 10𝑦 = 2 4𝑥 + 10𝑦 = −2 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = −𝟏 𝑨.

** Reduciendo 2a ecuación (𝑚𝑐𝑚 = 12 ) : 3 (2𝑥 − 3𝑦) − 4(4𝑥 + 3𝑦) = 9

6𝑥 − 9𝑦 − 16𝑥 − 12𝑦 = 9 − 10𝑥 − 21𝑦 = 9 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 = 𝟗 𝑩.

** Luego : { 2𝑥 + 5𝑦 = −1 ( 5 ) − 10𝑥 − 21𝑦 = 9

{ 10𝑥 + 25𝑦 = −5 − 10𝑥 − 21𝑦 = 9

4𝑦 = 4 𝒚 = 𝟏

** Sustituyendo en la primera ecuación : 2𝑥 + 5( 1 ) = −1 2𝑥 + 5 = −1

2𝑥 = −1 − 5 2𝑥 = − 6 𝑥 = − 6

2 𝒙 = − 𝟑 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( −𝟑 , 𝟏 ) Ⓡ

Ejemplo # 6 : Resolver por Reducción : { 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏 − 𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐

** Multiplicamos 1ª Ec. por 2 : { 3𝑥 − 2𝑦 = −1 ( 2 ) − 6𝑥 + 4𝑦 = 2

{ 6𝑥 − 4𝑦 = − 2 − 6𝑥 + 4𝑦 = 2

𝟎 = 𝟎 𝑽

** Luego : Cuando las variables se eliminan y nos queda una igualdad verdadera , el

9

sistema tiene infinitas soluciones : 𝑺𝒐𝒍 ∶ ∀ ( 𝒙 , 𝒚 ) ∈ 𝑹𝟐 ∴ 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏 .

Ejemplo # 7 : Resolver por Reducción : { 𝒚 − 𝟐𝒙 = 𝟒

𝒙 − 𝟓

𝟑 −

𝒚 + 𝟏

𝟔 = 𝟏

∴ mcm =

6Escriba aquí la ecuación.

** Reducimos la 2da Ec. : 2 ( 𝑥 − 5 ) − ( 𝑦 + 1 ) = 6 2𝑥 − 10 − 𝑦 − 1 = 6 2𝑥 − 𝑦 = 17

** Luego : {−2𝑥 + 𝑦 = 4 2𝑥 − 𝑦 = 17

𝟎 = 𝟐𝟏 𝑭 ‼

** Luego : Cuando las variables se eliminan y nos queda una igualdad falsa , el sistema

carece de soluciones : 𝑺𝒐𝒍 ∶ .

Resolver los siguientes ejercicios :

A. Por Igualación :

1. { 𝑥 + 𝑦 = 22𝑥 − 𝑦 = 1

2. {3𝑥 − 𝑦 = 0 2𝑥 + 𝑦 = 5

3. {3𝑥 − 2𝑦 = 7 4𝑥 + 𝑦 = 24

4. {4𝑥 + 3𝑦 = 6 3𝑥 − 5𝑦 = 19

5. {4𝑥 − 9𝑦 = − 9 2𝑥 + 6𝑦 = 13

B. Por Sustitución :

1. { 𝑥 − 𝑦 = 12𝑥 + 𝑦 = 8

2. {5𝑥 + 𝑦 = 8 3𝑥 − 2𝑦 = 10

3. {3𝑥 + 𝑦 = −5 4𝑥 + 3𝑦 = 5

4. {4𝑥 + 3𝑦 = 5 3𝑥 + 2𝑦 = 3

5. {3𝑥 + 4𝑦 = 1 2𝑥 + 3𝑦 = −1

C. Por Reducción :

1. Resuelva los ejercicios anteriores ( por igualación y sustitución ) por Reducción.

2. { 3𝑥 − 2(𝑦 + 7) = 2

4(𝑥 + 6) + 7𝑦 = 26 3. {

2(3𝑥 − 4) + 3(2𝑦 − 7) = −35 2𝑥 − 3(𝑦 + 𝑥) = 7

4. {3(𝑥 − 2𝑦) + 2(𝑥 + 3) = 4

4(𝑥 + 𝑦) − 3(𝑥 + 2𝑦) = −2

5. {

2𝑥 + 3𝑦

3−𝑥

4=

1

12

𝑥 + 𝑦

5+𝑦

3 = −

1

15

6. {

𝑥 + 3𝑦

2+ 𝑥 − 𝑦

3=

1

6

𝑥 + 𝑦

2− 3𝑥 + 4𝑦

6 =

1

3

7. {

2𝑦 − 𝑥

6− 4𝑦 + 𝑥

2=

1

3

2𝑥 − 3𝑦

4− 4𝑥 + 3𝑦

3 =

3

4

SOLUCIONARIO :

A. Por Igualación :

1. ( 1 , 1 ) 2. ( 1 , 3 ) 3. ( 5 , 4 ) 4. ( 3 , −2 ) 5. ( 3

2 ,

5

3 )

B. Por sustitución :

1. ( 3 , 2 ) 2. ( 2 , −2 ) 3. ( − 4 , 7 ) 4. ( − 1 , 3 ) 5. ( 7 , − 5 )

10

C. Por Reducción :

1. Ver las soluciones de los ejercicios anteriores.

2. ( 4 , − 2 ) 3. ( 1 , −2 ) 4. ( 2 , 2 ) 5. ( − 3 , −4 ) 6. ( 6 , 3 ) 7. ( −2 , − 3 )

2.4 Método por Determinantes

A. Conceptos Básicos :

a) Matriz : es un arreglo rectangular de números reales. Se denota usando letras mayúsculas y se simboliza mediante el uso de corchetes : [ ] .

Ejemplos : **

C = [𝟐 −𝟏 𝟑

𝟒 𝟎 𝟓 ] La matriz es 2x3, es decir tiene 2 filas y 3 columnas : 𝑪𝟐𝒙𝟑

**

D = [− 𝟏 𝟒 𝟑𝟎 −𝟐 𝟔 𝟖 𝟕 𝟓

] La matriz es 3x3, tiene tres filas y tres columnas: 𝑫𝟑𝒙𝟑

**

M = [𝟗 𝟒 − 𝟔 −𝟑 𝟓 𝟑 𝟐 𝟎−𝟒 𝟓 − 𝟏 𝟐

] La matriz es 3x4, tiene tres filas y cuatro columnas: 𝑴𝟑𝒙𝟒

Nota : Cuando las matrices como en el ejemplo anterior, tienen igual número de filas que de

columnas reciben el nombre de Matrices Cuadradas , así la matriz 𝑫𝟑𝒙𝟑 es una matriz cuadrada. b) Determinante : se llama determinante al valor real asociado a una matriz cuadrada .

** detN = |− 𝟖 𝟑 𝟔 𝟎

| ** detS |𝟗 −𝟐 𝟑𝟒 𝟎 𝟔−𝟕 𝟒 −𝟏

| *** detG - 6

** Observa que cuando nos referimos al determinante de una matriz cuadrada, ya no se escriben los corchetes sino barras como en el valor absoluto.

B. Cálculo de un Determinante de Orden dos ( 2 ) :

Sea : |𝒂 𝒎 𝒃 𝒏

| = 𝒂𝒏 − 𝒃𝒎

Ejemplos :

a) | 𝟒 𝟔− 𝟖 − 𝟑

| − 12 + 48 = 36 b) | 𝟏𝟐 𝟑 𝟖 𝟐

| 24 − 24 = 0

11

c) | − 𝟕 − 𝟐 𝟓 𝟏

| − 7 + 10 = 3 d) | − 𝟏𝟏 − 𝟓 𝟔 𝟐

| − 22 + 30 = 8

e) | 𝟏𝟔 𝟒− 𝟑 𝟎

| 0 + 12 = 12 f) | 𝟒 𝟔− 𝟓 − 𝟕

| − 28 + 30 = 2

C. Resolución de un SEL2 por Determinantes :

Regla de Cramer ( Gabriel Cramer ,1704 1752 )

** Ejemplo #1 : Resolver { 𝟔𝒙 = 𝟓𝒚 − 𝟗

𝟑𝒚 − 𝟏𝟑 = − 𝟒𝒙 Ordenamos : {

𝟔𝒙 − 𝟓𝒚 = − 𝟗𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟑

➀ Primeramente ordenamos las variables que deben quedar una debajo de otra.

➁ Calculamos el determinante ∆ que está formado ∆ = | 6 − 5 4 3

| = 18 + 20 = 38

por los coeficientes que tienen las variables.

➂ Calculamos a continuación los determinantes ∆𝒙 , ∆𝒚 que resultan de sustituir cada

columna respectiva por la de los términos independientes .

∆𝒙 = | − 𝟗 − 5 𝟏𝟑 3

| = − 27 + 65 = 38 ∆𝒚 = | 6 − 𝟗 4 𝟏𝟑

| = 78 + 36 = 114

➃ Utilizaremos la Regla de Cramer para calcular el valor de cada variable :

𝒙 = ∆𝒙

∆ =

𝟑𝟖

𝟑𝟖= 𝟏 𝒚 =

∆𝒚

∆ =

𝟏𝟏𝟒

𝟑𝟖= 𝟑 Sol : ( 𝟏 , 𝟑 ) Ⓡ

** Ejemplo #2 : Resolver { 𝟕𝒙 = 𝟏𝟓𝒚 + 𝟏𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟖 = 𝟎

Ordenamos : { 𝟕𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 = 𝟏𝒙 + 𝟔𝒚 = − 𝟖

∆ = | 7 − 15 1 6

| = 42 + 15 = 57

∆𝒙= | 𝟏 − 15 − 𝟖 6

| = 6 − 120 = −114 ∆𝒚= | 7 𝟏 1 − 𝟖

| = −56 − 1 = − 57

𝒙 = ∆𝒙

∆ =

−𝟏𝟏𝟒

𝟓𝟕= − 𝟐 𝒚 =

∆𝒚

∆ =

−𝟓𝟕

𝟓𝟕= − 𝟏 Sol : ( − 𝟐 , − 𝟏 ) Ⓡ

** Ejemplo #3 : Resolver { 𝟏𝟐𝒙 = 𝟒𝒚 + 𝟕𝟐𝒚 + 𝟓 = 𝟖𝒙

Ordenamos : { 𝟏𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟕 𝟖𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟓

∆ = | 12 − 4 8 −2

| = −24 + 32 = 8

∆𝒙= | 𝟕 − 4 𝟓 − 2

| = − 14 + 20 = 6 ∆𝒚= | 12 𝟕 8 𝟓

| = 60 − 56 = 4

𝒙 = ∆𝒙

∆ =

𝟔

𝟖=

𝟑

𝟒 𝒚 =

∆𝒚

∆ =

𝟒

𝟖=

𝟏

𝟐 Sol : (

𝟑

𝟒 ,

𝟏

𝟐 ) Ⓡ

12

** Ejemplo #4 : Resolver { 𝟗𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟐𝟑𝟐𝒙 − 𝟏 = − 𝟔𝒚

Ordenamos : { 4𝑥 − 9𝑦 = 232𝑥 + 6𝑦 = 1

∆ = | 4 − 9 2 6

| = 24 + 18 = 42

∆𝒙= | 𝟐𝟑 − 9 𝟏 6

| = 138 + 9 = 147 ∆𝒚= | 4 𝟐𝟑 2 𝟏

| = 4 − 46 = − 42

𝒙 = ∆𝒙

∆ =

𝟏𝟒𝟕

𝟒𝟐=

𝟕

𝟐 𝒚 =

∆𝒚

∆ =

− 𝟒𝟐

𝟒𝟐= − 𝟏 Sol : (

𝟕

𝟐 , −𝟏 )

*** Resuelve los ejercicios A, B y C desde el #2 de la página 10.

2.5 Método Gráfico

El método gráfico consiste en obtener, para cada una de las ecuaciones, su gráfica en lo que se conoce como Plano Cartesiano ( compuesto por dos rectas perpendiculares que forman ángulo

recto).Se denominan 𝑪𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝑪𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔𝒊𝒂𝒏𝒂𝒔 en honor a 𝑹𝒆𝒏𝒂𝒕𝒐 𝑫𝒆𝒔𝒄𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔 ( 𝟏𝟓𝟗𝟔 − 𝟏𝟔𝟓𝟎 ), el célebre filósofo y Matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un “ punto de partida “ sobre el cual edificar todo el conocimiento:

13

a) El eje horizontal es llamado el 𝑬𝒋𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒙 ó Eje de las abcisas b) El eje vertical al que llamaremos 𝑬𝒋𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒚 ó Eje de las Ordenadas. c) Las regiones se dividen entonces en cuatro partes denominadas cuadrantes nombrándose en

sentido antihorario iniciando con el cuadrante superior derecho ó Primer Cuadrante. d) El punto de intersección de ambos ejes se conoce como el 𝑶𝒓𝒊𝒈𝒆𝒏 del sistema, de

coordenadas O ( 0,0 ) . e) Todo par ordenado que tiene una coordenada con valor 0, se encuentra ubicado sobre la línea

que representan los semiejes. f) Para ubicar los puntos, primero ubicaremos de acuerdo a la coordenada x en la horizontal, a la

derecha si es un valor positivo, a la izquierda si es un valor negativo ó en el centro si acaso el valor es 0.

g) Luego, ubicaremos en la vertical el valor de y que nos den: hacia arriba si es positivo ó hacia abajo si es negativo o nos quedamos sobre el eje x si el valor es 0.

h) El punto quedará ubicado donde coincidan los dos valores que hemos intentado graficar.

**** A manera de ejercicio, vamos a graficar los siguientes puntos en un plano cartesiano :

A ( 2, 2 ) G ( −1 , −2 ) M ( 8 , − 6 ) T ( 0 , − 6 ) B ( 2 , 3 ) H ( −1 , 0 ) N ( 7 , 5 ) U ( 4 , 8 ) C ( − 4 , −4 ) I ( 3 , − 1 ) P ( − 9 , 4 ) V ( − 6 , − 9 ) D ( −2 , 6 ) J ( 0 , − 5 ) Q ( − 7 , − 5 ) W ( 5 , 0 ) E ( 1 , 4 ) K ( − 3, 1 ) R ( 6 , 0 ) Z ( 5 , − 8 ) F ( 0 , 3 ) L ( 4 , 0 ) S ( − 6 , − 2 )

i) La gráfica de una ecuación lineal en dos variables es una 𝑳í𝒏𝒆𝒂 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂 , para lo cual graficaremos un mínimo de tres puntos para tener seguridad.

j) Como sabemos, dos rectas se intersecan en un punto; no se intersecan en el caso de ser paralelas y tienen infinitas soluciones si acaso estamos trabajando con la misma recta.

k) Si el sistema tiene solución, un punto en el cual se intersequen las dos rectas que graficaremos,

las coordenadas de ese punto 𝑷 ( 𝒙 , 𝒚 ) será por ende la solución que estamos buscando . l) Las coordenadas de ese punto serán la solución de ambas ecuaciones, por lo tanto, harán que

ambas rectas den una igualdad verdadera al sustituir los valores de x,y en ellas. m) Si acaso se tratase de rectas paralelas , el sistema carecerá de solución pues dos rectas

paralelas no se intersecan y por tanto la solución será vacía : 𝑺𝒐𝒍 ∶ ∅ . n) Si se tratase de dos rectas confundidas , tendremos como respuesta, infinitas soluciones,

pues se trata de una sola recta : 𝑺𝒐𝒍 ∶ 𝑷 ( 𝒙 , 𝒚 ) ∈ 𝟐 .

2.5 Resolución de un SEL2 en forma gráfica :

Vamos a intentar seguir los pasos que utilizaremos para graficar ambas rectas :

1) Despejaremos el valor de 𝒚 en cada una de las ecuaciones.

2) Asignaremos valores a 𝒙 para formar los pares ordenados. Los valores que daremos a 𝒙 los elegiremos de acuerdo como queramos, los valores de 𝒚 , se obtendrán en base al valor de 𝒙 que operaremos en la ecuación despejada, esto hace que a la variable 𝒙 le llamemos como

variable independiente y a la variable 𝒚 que depende su valor del que asignamos a 𝒙 le llamaremos variable dependiente .

14

3) Si la ecuación tiene solución, las rectas se intersecarán en un punto 𝑷 ( 𝒙 , 𝒚 ) que corresponde al punto de intersección de las dos rectas.

4) El sistema no tendrá solución ó infinitas soluciones, de acuerdo a lo mencionado en los

incisos 𝒎 , 𝒏 anteriormente .

Ejemplo #1 : Encuentre la solución del sistema : { 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟖

a) 2𝑥 − 3𝑦 = 2 ∴ − 3𝑦 = − 2𝑥 + 2 ∴ 3𝑦 = 2𝑥 − 2 ∴ 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟐

𝟑∴ 𝑃(4,2) 𝑃(1,0) 𝑃(−2,−2)

b) 𝑥 + 2𝑦 = 8 ∴ 2𝑦 = 8 − 𝑥 ∴ 𝒚 = 𝟖 − 𝒙

𝟐 ∴ 𝑃 (8,0), 𝑃 (4,2) , 𝑃 (−6, 7 ).

Sol : ( 𝟒 , 𝟐 ) Ⓡ

Ejemplo #2 : Encuentre la solución del sistema : { 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟓

a) 3𝑥 + 2𝑦 = 5 ∴ 2𝑦 = − 3𝑥 + 5 ∴ 𝒚 = − 𝟑𝒙 + 𝟓

𝟐 ∴ 𝑃 (1,1), 𝑃(3,−2), 𝑃(−5,10)

b) 𝑥 − 𝑦 = 5 ∴ − 𝑦 = − 𝑥 + 5 ∴ 𝒚 = 𝒙 − 𝟓 ∴ 𝑃 (0, −5), 𝑃(7,2), 𝑃(−5,−10)

15

Sol : ( 𝟑 , − 𝟐 ) Ⓡ

Ejemplo #3 : Encuentre la solución del sistema : { 𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟏𝟒𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟐

a) 5𝑥 + 2𝑦 = −14 ∴ 2𝑦 = − 5𝑥 − 14 ∴ 𝒚 = − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟒

𝟐 ∴ 𝑃 (−2,−2), 𝑃(−4,3), 𝑃(−6,8)

b) 3𝑥 − 4𝑦 = 2 ∴ − 4𝑦 = − 3𝑥 + 2 ∴ 4𝑦 = 3𝑥 − 2 ∴ 𝒚 = 𝟑𝒙−𝟐

𝟒 ∴ 𝑃(6,4), 𝑃(2,1), 𝑃(−6, −5)

16

Sol : ( − 𝟐 , − 𝟐 ) Ⓡ

Ejemplo #4 : Encuentre la solución del sistema : { 𝒙 − 𝟐 = 𝟎𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟒

a) La primera gráfica sólo tiene una variable, es decir, para cualquier valor de 𝒚 , el valor de la variable 𝒙 será siempre el mismo : 𝑥 − 2 = 0 ∴ 𝑥 = 2 ∴ 𝑃 ( 2,3) , 𝑃(2,5) , 𝑃( 2, −3)

b) 3𝑥 + 2𝑦 = 4 ∴ 2𝑦 = −3𝑥 + 4 ∴ 𝒚 = − 𝟑𝒙 + 𝟒

𝟐 ∴ 𝑃 (2, −1), 𝑃(−2,5), 𝑃(6,−7)

17

Sol : ( 𝟐 , −𝟏 ) Ⓡ

Ejemplo #5 : Encuentre la solución del sistema : { 𝒙 + 𝟏 = 𝟎𝒚 − 𝟑 = 𝟎

a) 𝑥 + 1 = 0 ∴ 𝑥 = − 1 ∴ 𝑃 (−1,8), 𝑃(−1,5), 𝑃(−1,−3) b) Aquí podemos decir igual que el anterior pero para la variable 𝒙 :

𝑦 − 3 = 0 ∴ 𝑦 = 3 ∴ 𝑃 (−4,3), 𝑃(0,3), 𝑃(7,3) Sol : ( − 𝟏 , 𝟑 ) Ⓡ

18

Ejemplo #6 : Encuentre la solución del sistema : { 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟔𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟑

a) 2𝑥 + 6𝑦 = 6 ∴ 𝑥 + 3𝑦 = 3 ∴ 𝒚 = − 𝒙 + 𝟑

𝟑 ∴ 𝑃 (6, −1), 𝑃(−3,2), 𝑃(9,−2)

b) Como podemos notar, la ecuación (2) es la misma a la que se redujo la ecuación 1, por lo tanto sólo tenemos una ecuación y el sistema tendrá por lo tanto infinitas soluciones:

𝑺𝒐𝒍 ∶ 𝑷 ( 𝒙 , 𝒚 ) ∈ 𝑹𝟐 ∴ 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟑 Ⓡ

19

Ejemplo #7 : Encuentre la solución del sistema : { 𝒙 + 𝒚 = 𝟓𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔

a) 𝑥 + 𝑦 = 5 ∴ 𝒚 = − 𝒙 + 𝟓 ∴ 𝑃 (6, −1), 𝑃(−3,8), 𝑃(5,0) b) Como podemos notar, la ecuación ( 2 ) la reducimos y obtenemos: c) 3𝑥 + 3𝑦 = 6 ∴ 𝑥 + 𝑦 = 2 ∴ 𝒚 = − 𝒙 + 𝟐 ∴ 𝑃 (3,−1), 𝑃(−5,7), 𝑃(7,−5)

Es la gráfica de dos rectas paralelas que no tendrán puntos en común por lo tanto su solución es el conjunto vacío : 𝑺𝒐𝒍 ∶ ∅ .

20

Ejercicios para resolver :

① { 𝒙 − 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟓

② { 𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟒𝒙 + 𝒚 = 𝟓

③ { 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔𝒙 − 𝒚 = 𝟑

④ { 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟑𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟐

⑤ { 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟔

𝒚 = 𝟑 ⑥ {

𝒙 = 𝟐𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟒

⑦ { 𝒙 = 𝟑𝒚 = −𝟐

⑧ { 𝒙 + 𝟏 = 𝟎𝒚 − 𝟑 = 𝟎

⑨ { 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝒚 = 𝟎

⑩ { 𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟏𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟓

⑪ { 𝟐𝒙 + 𝒚 = −𝟐𝟔𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔

⑫ { 𝒙 + 𝒚 = 𝟓𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔

⑬ { 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟒𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟐

⑭ { 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟔

𝒚 = −𝟏

𝟑𝒙 + 𝟏

⑮ { 𝒙 − 𝒚 = 𝟓𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟔

⑯ { 𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟎𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔

⑰ { 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟎𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟎

⑱ { 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟎

𝒚 = − 𝟏

𝟑𝒙

⑲ { 𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟑𝟐𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟏𝟐

⑳ { 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟏𝟐𝟔𝒙 + 𝟗𝒚 = 𝟏𝟖

21. { 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = − 𝟒𝒙 = 𝟐𝒚 + 𝟒

22. { 𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟏𝟒𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟐

23. { 𝟒𝒙 − 𝒚 = 𝟓𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟓

24. { 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟗𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = − 𝟗

25. { 𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟎𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔

26. { 𝒙 − 𝒚 = 𝟓𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒

27. { 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝒚 = − 𝟏

28. { 𝒙 − 𝟐𝒚 = − 𝟓𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = − 𝟏𝟓

29. { 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔

𝒚 = − 𝟐

𝟑𝒙 + 𝟏

30. { 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟏𝟎

𝒚 = 𝟐

𝟓𝒙 − 𝟐

21

Soluciones : ① ( 4 , 1 ) ② ( 3 , 2 ) ③ ( 4 , 1 ) ④ ( 1 , 0 ) ⑤ ( 4 , 3 ) ⑥ ( 2 , − 1 ) ⑦ ( 3 , − 2 ) ⑧ ( − 1 , 3 ) ⑨ ( 2 , − 2 ) ⑩ ( 1 , − 3 ) ⑪ ∅ ⑫ ∅ ⑬ Inf. Soluc. ⑭ Inf. Sol. ⑮ ( 1 , − 4 ) ⑯ ( 2 , 0 ) ⑰ ( 0 , 0 ) ⑱ ( 0 , 0 ) ⑲ ∅ ⑳ Inf. Sol. 21. ( 0 , − 2 ) 22. ( − 2 , − 2 ) 23. ( 1 , − 1 ) 24. ( 0 , − 3 ) 25. ( 2 , 0 ) 26. ( 3 , − 2 ) 27. ( − 3 , − 2 ) 28. ( − 5 , 0 ) 29. ∅ 30. Infinitas Soluciones.

2.6 Resolución de Problemas con SEL2

Nos toca ahora resolver problemas mediante el uso de SEL2 . Para ello vamos a recordar el proceso que vamos a seguir :

➀ Hacemos una primer lectura del problema cuyo objetivo será solamente el conocer de qué

trata.

➁ Sabiendo ya de lo concerniente al problema, haremos una lectura más detenida cuyo

objetivo será el saber de la ó las preguntas las cuales simbolizaremos con incógnitas :

𝒙, 𝒚, 𝒛,𝒘, exceptuando V ó F.

➂ Haremos una lectura más detenida del problema cuya razón será escribir simbólicamente

las ecuaciones que resulten. Es muy importante plantear las ecuaciones de forma correcta. No debe existir errores al plantearlas.

➃ Resolveremos el sistema que resulte por el método más rápido que elijamos. Básicamente te

recomiendo el Método de reducción.

➄ Verificamos si nuestras soluciones son correctas al problema. De no ser así, procedemos a

revisar nuestra resolución hasta encontrar dónde nos equivocamos.

➅ Habiendo revisado si todo es correcto, escribimos en palabras la solución del problema.

Resolver :

Ejemplo #1 : Encontrar el valor de dos ángulos de un triángulo sabiendo que su suma es

120〫 y si se restan, el resultado es 14. Cuánto miden los tres ángulos? De acuerdo a

estos valores, qué tipo de triángulo es ?

∗ 𝑥 = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ∗ 𝑦 = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟. ➀ 𝑥 + 𝑦 = 120 ➁ 𝑥 − 𝑦 = 14

Resolvemos el sistema : {𝑥 + 𝑦 = 120𝑥 − 𝑦 = 14

con lo cual 𝒙 = 𝟔𝟕 , 𝒚 = 𝟓𝟑 , 𝒛 = 𝟔𝟎

Ⓡ Sol : Los ángulos interiores del triángulo Acutángulo son 𝒙 = 𝟔𝟕 , 𝒚 = 𝟓𝟑 , 𝒛 = 𝟔𝟎

22

Ejemplo #2 : Suponga que va al Banco a cambiar $1500 en billetes de $50 y $100 pero pide que en total le entreguen 22 billetes. Cuántos billetes de cada denominación deberá recibir ?

∗ 𝑥 = 𝑏𝑖𝑙𝑙𝑒𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎 $50 ∗ 𝑦 = 𝑏𝑖𝑙𝑒𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 $100. ➀ 𝑥 + 𝑦 = 22 ➁ 100𝑥 + 50𝑦 = 1500

➁ 10𝑥 + 50𝑦 = 150 2𝑥 + 𝑦 = 30 Entonces : {𝑥 + 𝑦 = 222𝑥 + 𝑦 = 30

luego : 𝒙 = 𝟖 , 𝒚 = 𝟏𝟒

Ⓡ Sol : Me deben entregar 8 billetes de $100 y 14 billetes de $50.

Ejemplo #3 : María Belén desea invertir $8000 en dos cuentas de ahorro para sus gastos Universitarios. Una parte la invierte al 6% anual que le permite participar en la rifa anual de premios y la otra parte la invierte en otra cuenta al 8% anual. A su vez María Belén quiere que ambas cuentas le generen $520 en intereses. Cuál debe ser el monto de ambas cuentas ?

∗ 𝑥 = 𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝐵𝑒𝑙é𝑛 𝑎𝑙 6% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 ∗ 𝑦 = 𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝐵𝑒𝑙é𝑛 𝑎𝑙 8% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙.

➀ 𝑥 + 𝑦 = 8000 ➁ 6% 𝑥 + 8% 𝑦 = 520 6𝑥 + 8𝑦 = 52000 3𝑥 + 4𝑦 = 26000

Luego entonces : {𝑥 + 𝑦 = 8000

3𝑥 + 4𝑦 = 26000 con lo cual : 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎𝟎 , 𝒚 = 𝟐𝟎𝟎𝟎

Ⓡ Sol : María Belén tiene que invertir $6000 al 6% y $2000 al 8% .

Ejemplo #4 : Dulce María invirtió parte de su dinero al 8% anual y el resto al 12% anual. El ingreso obtenido por las dos cuentas totalizó $2440. Si Dulce María hubiese intercambiado sus cuentas de ingreso , totalizaría $2760. ¿Qué cantidad de dinero habría ingresado en cada

cuenta ?

∗ 𝑥 = 𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝐷𝑢𝑙𝑐𝑒 𝑎𝑙 8% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 ∗ 𝑦 = 𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝐷𝑢𝑙𝑐𝑒 𝑎𝑙 12% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙.

➀ 8%𝑥 + 12%𝑦 = 2440 2𝑥 + 3𝑦 = 61000 ➁ 12% 𝑥 + 8% 𝑦 = 2760 3𝑥 + 2𝑦 = 69000

Entonces : { 2𝑥 + 3𝑦 = 610003𝑥 + 2𝑦 = 69000

con lo cual : 𝒙 = 𝟏𝟕𝟎𝟎𝟎 , 𝒚 = 𝟗𝟎𝟎𝟎

Ⓡ Sol : Dulce María tiene que invertir $17000 al 8% y $9000 al 12% anual.

Ejemplo #5 : Una tostadora de café de Jinotega, desea mezclar café de $3 lb con cierto café

de $4.25 lb para obtener una mezcla de 50lbs que será vendida al público a un precio de

$3.5 lb . Cuántas libras deberá mezclar de cada una

23

∗ 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑓é 𝑎 $3 ∗ 𝑦 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑓é 𝑎 $4.25

➀ 𝑥 + 𝑦 = 50 ➁ 3𝑥 + 4.25𝑦 = 3.5 (50) 3𝑥 + 4.25𝑦 = 175 {𝑥 + 𝑦 = 50

3𝑥 + 4.25𝑦 = 175

Entonces : 𝒙 = 𝟑𝟎 , 𝒚 = 𝟐𝟎 Ⓡ Sol : La tostadora deberá mezclar 30lbs de café de

$3 la libra con 20lbs de café de $4.25 la libra .

Ejemplo #6 : A un matineé dominical asistieron un total de 120 personas entre adultos y niños.

Si los adultos pagaron su boleto de $3 y los niños de $2, hállese el número de adultos y el

número de niños que presenciaron la película si se recaudaron por entrada $290 en taquilla.

∗ 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜𝑠 ∗ 𝑦 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠

➀ 𝑥 + 𝑦 = 120 ➁ 3𝑥 + 2𝑦 = 290 {𝑥 + 𝑦 = 120 3𝑥 + 2𝑦 = 290

Entonces : 𝒙 = 𝟓𝟎, 𝒚 = 𝟕𝟎

Ⓡ Sol : Vieron la película un total de 50 adultos y 70 niños.

Ejemplo #7 : Enrique Josué es un ingeniero químico y tiene dos concentraciones de ácido

clorhídrico ( HCl ) : una solución al 50% ( 50% de soluto y 50gr de agua ) y otra al 80%. Cuántos

𝒄𝒎𝟑 (cc) deberá mezclarse si al final se obtienen 100cc al 68% ?

∗ 𝑥 = 𝑐𝑐 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝐻𝐶𝑙 𝑎𝑙 50% ∗ 𝑦 = 𝑐𝑐 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝐻𝐶𝑙 𝑎𝑙 80%

➀ 𝑥 + 𝑦 = 100 ➁ 50%𝑥 + 80%𝑦 = 68% ( 100 ) 50𝑥 + 80𝑦 = 6800 5𝑥 + 8𝑦 = 680

Luego entonces : {𝑥 + 𝑦 = 100 5𝑥 + 8𝑦 = 680

Con lo cual : 𝒙 = 𝟒𝟎, 𝒚 = 𝟔𝟎

Ⓡ Sol : Enrique Josué deberá mezclar 40cc de HCl al 50% y 60cc de HCl al 80%.

24

PROBLEMAS CON SEL2

* 1. Hallar dos números tales que la diferencia entre ellos sea 14 y el doble del menor tenga cinco

unidades menos que el mayor.

2. Un ganadero ha vendido 30 terneros y 120 ovejas por $2520. A otro comprador le vende 20

terneros y 90 ovejas por $1770. Hallar el precio de cada ternero y de cada oveja.

3. Una librería vende dos tipos de agenda personal a precios de 50 y 70 córdobas. Si un comprador

paga 2900 córdobas por un lote de 50 agendas que van combinadas ( de los dos tipos ),

cuántas compró de c/u?

* 4. Una mujer ha invertido $10 000 en dos cuentas bancarias, una al 8% y otra al 7% de interés

anual. Si ambas cuentas le generan $772 en intereses al año, cuánto dinero depositó en cada

una de las cuentas?

5. Un hombre tiene dos inversiones, una al 3% anual y otra al 4% anual, con un interés total anual

de $170. Si se intercambiaran las tasas de interés, recibiría $180. Encuentra el monto de cada

una de las inversiones.

* 6. Un comerciante desea mezclar maní que cuesta $2 la libra, con nueces de $3.50 la libra, para

obtener una mezcla de 60 libras y venderlas al público a $2.65 lb. Cuántas libras tuvo que

mezclar de c/u?

7. Un supermercado que vende café, desea mezclar café de $3.50 lb con café de $4.75 lb para

obtener un café que lo pueda vender a razón de $4 por libra. Si el total de la mezcla es de

100 lbs cuántas lbs tuvo que usar de cada tipo?

* 8. Cierto grupo teatral presentó varias obras en el Teatro "Rubén Darío”. Los boletos se vendieron

a $6 y $10. Si en total se vendieron 8000 boletos y se recogió $60 000, cuántos boletos de cada

precio se vendieron?

25

9. Un concierto musical produjo $7000 a cierto grupo, vendiéndose 300 boletos. Si los precios de

dichos boletos eran $20 y $30, cuántos se vendieron de c/u?

*10. Un químico tiene dos soluciones en un almacén, una es una solución ácida al 30% y otra al 70%

de concentración. Cuántos mililitros ( ml ) deberán mezclarse de cada tipo para obtener 100 ml

de solución al 40%?

11. Un almacén de productos químicos tiene una solución ácida al 20% y otra al 50%. Cuántos

centilitros ( cl ) deberán tomarse de cada una para obtener 90cl de una solución al 30%?

12. El equipo nacional de Baloncesto femenino, obtuvo 87 puntos por medio de canastas de 2 y de

3 puntos. Si las canastas de 2 puntos hubieran sido canastas de 3 puntos y viceversa, el equipo

hubiera acumulado un total de 93 puntos. Determina cuántas canastas de 2 y de 3 puntos hizo

el equipo.

SOLUCIONARIO

1. Sol : 9 y 23. 2. Sol : Terneros: $48, Ovejas: $9. 3. Sol : 30 de 50 córdobas y 20 de 70 córdobas.

4. Sol : $2800 al 7% y $7200 al 8%. 5. Sol : $3000 al 3% y $2000 al 4%. 5. Sol : maní: 34lbs, nueces: 26lbs. 7. Sol : 60lbs de $3.50 y 40lbs de $4.75 8. Sol : 5000 de $6 y 3000 de $10. 9. Sol : 200 de $20, 100 de $30.

10. Sol : 75ml al 30% y 25ml al 70%. 11. Sol : 60cl al 20% y 30cl al 50%.

12. Sol : 21 de 2 puntos y 15 de tres puntos.

26

3. Resolución de un SEL3 :

A. Definiciòn :

Un SEL3 es todo sistema de ecuaciones lineales con tres variables que puede ser

reducido a la forma :

{

𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 + 𝒄𝟏𝒛 = 𝒅𝟏𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 + 𝒄𝟐𝒛 = 𝒅𝟐𝒂𝟑𝒙 + 𝒃𝟑𝒚 + 𝒄𝟑𝒛 = 𝒅𝟑

donde a, b, c, d ∈ ℜ ; 𝑥, 𝑦, 𝑧 son las variables.

Ejemplos :

a) {

3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 102𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5

b) { 5𝑥 + 3𝑧 = 13𝑦2𝑥 + 𝑦 = 𝑧 − 63𝑦 − 4𝑧 = 12

c) {

𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 1 𝑥 − 𝑦

2 − 𝑧 = − 4

2𝑥 − 𝑦 − 𝑧

3 = 9

B. Tècnicas de Resoluciòn :

3.1 Mètodo de Reducciòn :

Ejemplo #1 : Resolver : {

𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝒛 = 𝟔 ①

𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟕𝒛 = − 𝟗 ②

𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟐 ③

Primer Paso : Se escogen dos parejas de ecuaciones ( para lo cual es necesario que

repitas una ecuación ) de acuerdo a aquella variable que has escogido eliminar. Aunque se

puede eliminar cualquiera, escogemos la que nos parece màs fácil de eliminar. Procedemos

a eliminar la misma incógnita de ambas parejas :

Con las ecuaciones ①③ elimino z : Con las ecuaciones ②③ elimino z :

{ 𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 63𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2

{ 2𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 = − 9

3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 ( 7 )

4𝑥 + 2𝑦 = 8 ÷ 2

𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒 ④ { 2𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 = − 921𝑥 − 14𝑦 + 7𝑧 = 14

𝟐𝟑𝒙 − 𝟗𝒚 = 𝟓 ⑤

Segundo Paso : Con las ecuaciones que encontramos en el paso anterior ④⑤ ,

formamos un SEL2 para calcular las dos primeras variables :

{ 2𝑥 + 𝑦 = 4 ( 9 )23𝑥 − 9𝑦 = 5

{ 18𝑥 + 9𝑦 = 3623𝑥 − 9𝑦 = 5

41𝑥 = 41 ∴ 𝒙 = 𝟏

27

Sustituyendo 𝒙 = 𝟏 en la ecuación ④ : 2( 1 ) + 𝑦 = 4 𝑦 = 4 − 2 𝒚 = 𝟐 Tercer Paso : Sustituimos el valor de las variables encontradas en la ecuación màs factible

del inicio, para calcular la tercer variable :

En la ecuación ① sustituimos los valores de 𝑥, 𝑦 ∶ 𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 6 ∴ (1) + 4(2) − 𝑧 = 6 ∴ 1 + 8 − 𝑧 = 6 9 − 6 = 𝑧 𝒛 = 𝟑

Sol : ( 𝟏 , 𝟐 , 𝟑 ) Ⓡ

Ejemplo #2 : Encuentre la solución del sistema : {

𝟔𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟑𝟗 ①

𝒙 + 𝟏𝟔𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟖𝟖 ②

𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟎 ③

Con las ecuaciones ①② elimino x : Con las ecuaciones ②③ elimino x :

{ 6𝑥 + 5𝑦 + 5𝑧 = 39

𝑥 + 16𝑦 − 2𝑧 = 88 ( −6) {

𝑥 + 16𝑦 − 2𝑧 = 88 ( −3 ) 3𝑥 − 4𝑦 − 4𝑧 = 0

{ 6𝑥 + 5𝑦 + 5𝑧 = 39

− 6𝑥 − 96𝑦 + 12𝑧 = −528 {

− 3𝑥 − 48𝑦 + 6𝑧 = −264 3𝑥 − 4𝑦 − 4𝑧 = 0

− 𝟗𝟏𝒚 + 𝟏𝟕𝒛 = − 𝟒𝟖𝟗 ➃ − 52𝑦 + 2𝑧 = − 264 52𝑦 − 2𝑧 = 264 ∴ 𝟐𝟔𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟑𝟐 ➄

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦, 𝑧 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ➃ ➄ ∶

{ − 91𝑦 + 17𝑧 = − 489

26𝑦 − 𝑧 = 132 ( 17 ) {

− 91𝑦 + 17𝑧 = − 489442𝑦 − 17𝑦 = 2244

351𝑦 = 1755 ∴

𝒚 = 𝟓 ∴ 26𝑦 − 𝑧 = 132 ∴ 26 ( 5 ) − 𝑧 = 132 ∴ 130 − 132 = 𝑧 ∴ 𝒛 = −𝟐

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ➁ ∶

𝑥 + 16𝑦 − 2𝑧 = 88 ∴ 𝑥 + 16 ( 5 ) − 2 ( − 2 ) = 88 ∴ 𝑥 = 88 − 80 − 4 ∴ 𝒙 = 𝟒

𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟒 , 𝟓 , − 𝟐 ) Ⓡ

Ejemplo #3 : Encuentre la solución del sistema : {

𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟑 ①

𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟖𝒛 = 𝟓 ②

𝟒𝒙 + 𝟗𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟒 ③

Con las ecuaciones ① ➂ elimino x : Con las ecuaciones ➀② elimino x :

{ 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 34𝑥 + 9𝑦 − 4𝑧 = 4

{ − 4𝑥 − 6𝑦 − 8𝑧 = − 6 2𝑥 + 6𝑦 + 8𝑧 = 5

28

𝟔𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 = 𝟕 ➃ − 2𝑥 = −1 ∴ 𝒙 = 𝟏

𝟐 ➄

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑥 𝑒𝑛 ➄ 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ➃ ∶

6𝑥 + 12𝑦 = 7 ∴ 6 ( 1

2 ) + 12𝑦 = 7 ∴ 12𝑦 = 7 − 3 ∴ 𝒚 =

𝟒

𝟏𝟐=

𝟏

𝟑

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑥, 𝑦 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ➀ ∶

2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 3 ∴ 2 ( 1

2 ) + 3 (

1

3 ) + 4𝑧 = 3 ∴ 1 + 1 + 4𝑧 = 3

4𝑧 = 3 − 2 ∴ 4𝑧 = 1 ∴ 𝒛 = 𝟏

𝟒 𝑺𝒐𝒍 ∶ (

𝟏

𝟐 , 𝟏

𝟑 , 𝟏

𝟒 ) Ⓡ

Ejemplo #4 : Encuentre la solución del sistema : {

𝟒𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟒𝟏 ①

𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟓𝟑 ②

𝟐𝒙 − 𝒛 = 𝟏𝟒 ③

Como la ecuación ➂ presenta ya dos incógnitas, la escogemos para formar el sistema de dos

y trabajamos las ecuaciones ➀ ➁ y eliminamos la variable 𝑦 :

Con las ecuaciones ①➁ elimino y : Con las ecuaciones ➃➂ elimino x,z :

{ 4𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 413𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 53

∴ 𝟕𝒙 + 𝟒𝒛 = 𝟗𝟒 ➃ { 2𝑥 − 𝑧 = 14 ( 4 ) 7𝑥 + 4𝑧 = 94

{ 8𝑥 − 4𝑧 = 56

7𝑥 + 4𝑧 = 94 ∴ 15𝑥 = 150 𝒙 = 𝟏𝟎 ➄

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑥 𝑒𝑛 ➄ 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ➂ ∶

2𝑥 − 𝑧 = 14 ∴ 𝑧 = 2 ( 10 ) − 14 ∴ 𝑧 = 20 − 14 = 6 ∴ 𝒛 = 𝟔

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑥, 𝑧 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ➀ ∶

4𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 41 ∴ 4 ( 10 ) + 𝑦 − ( 6 ) = 41 ∴ 𝑦 = 41 − 40 + 6 ∴ 𝒚 = 𝟕

𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟏𝟎 , 𝟕 , 𝟔 ) Ⓡ

Ejemplo #5 : Encuentre la solución del sistema : {

𝟑𝒛 − 𝟓𝒙 = 𝟏𝟎 ①

𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 = − 𝟕 ②

𝟑𝒚 − 𝟓𝒛 = −𝟏𝟑 ③

29

{

𝟓𝒙 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟎 ①

𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 = − 𝟕 ②

𝟑𝒚 − 𝟓𝒛 = −𝟏𝟑 ③

Con las ecuaciones ➁➂ elimino y :

{ 5𝑥 − 3𝑦 = −7

3𝑦 − 5𝑧 = −13 ∴ 𝟓𝒙 − 𝟓𝒛 = −𝟐𝟎 ➃

Con las ecuaciones ➃➀ elimino x,z : { − 5𝑥 + 3𝑧 = 10 5𝑥 − 5𝑧 = −20

{ − 5𝑥 + 3𝑧 = 10 5𝑥 − 5𝑧 = − 20

− 2𝑧 = −10 ∴ 2𝑧 = 10 ∴ 𝒛 = 𝟓 ➄

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑧 𝑒𝑛 ➄ 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ➂ ∶

3𝑦 − 5𝑧 = −13 ∴ 3𝑦 − 5 ( 5 ) = −13 ∴ 3𝑦 = −13 + 25 ∴ 𝒚 = 𝟒 ➅

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑦 , 𝑧 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ➀ ∶

5𝑥 + 3𝑧 = 10 ∴ 5𝑥 + 3( 5 ) = 10 ∴ 5𝑥 = 10 − 15 ∴ 5𝑥 = −5 ∴ 𝒙 = − 𝟏

𝑺𝒐𝒍 ∶ (− 𝟏 , 𝟒 , 𝟓 ) Ⓡ

Ejemplo #6 : Encuentre la solución del sistema :

{

𝒙

𝟑+

𝒚

𝟒 +

𝒛

𝟑 = 𝟐𝟏 ➀

𝒙

𝟓+

𝒚

𝟔−

𝒛

𝟑 = 𝟎 ➁

𝒙

𝟏𝟎+

𝒚

𝟑−

𝒛

𝟔 = 𝟑 ➂

Primeramente reducimos los denominadores de cada ecuación sacando mcm que son 12 en el caso de la primera ecuación, 30 en la segunda y 30 en la tercera, reduciéndose el sistema a la forma :

{

𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟐𝟓𝟐 ➀𝟔𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟎𝒛 = 𝟎 ➁𝟑𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 − 𝟓𝒛 = 𝟗𝟎 ➂

Combinando las ecuaciones ➁➂ y las ecuaciones ➀➂ :

** Con las ecs. ➁➂ : {6𝑥 + 5𝑦 − 10𝑧 = 0

3𝑥 + 10𝑦 − 5𝑧 = 90 (−2) {

6𝑥 + 5𝑦 − 10𝑧 = 0− 6𝑥 − 20𝑦 + 10𝑧 = −180

− 15𝑦 = − 180 ∴ 15𝑦 = 180 ∴ 𝑦 = 180

15 ∴ 𝒚 = 𝟏𝟐 ➃

** Con las ecs. ➀➂ : { 4𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 252 (5)3𝑥 + 10𝑦 − 5𝑧 = 90 (4)

{20𝑥 + 15𝑦 + 20𝑧 = 126012𝑥 + 40𝑦 − 20𝑧 = 360

𝟑𝟐𝒙 + 𝟓𝟓𝒚 = 𝟏𝟔𝟐𝟎 ➄ Sustituyendo : 32𝑥 + 55(12) = 1620 32𝑥 = 1620 − 660 32𝑥 = 960 𝒙 = 𝟑𝟎 Con lo cual : 6 (30) + 5(12) − 10𝑧 = 0 ∴ 180 + 60 − 10𝑧 = 0

240 = 10𝑧 ∴ 𝒛 = 𝟐𝟒 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟑𝟎 , 𝟏𝟐 , 𝟐𝟒 ) Ⓡ

30

Ejemplo #7 : Encuentre la solución del sistema :

{

𝒙 − 𝒚 +

𝒚 − 𝒛

𝟐 = 𝟑 ➀

𝒙 − 𝒚

𝟐 −

𝒙 − 𝒛

𝟒 = 𝟎 ➁

𝒚 − 𝒛

𝟐 − 𝒙 = − 𝟓 ➂

∗ 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑦 − 𝑧 = 6 ∴ 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟔 ➀ ∗ 2(𝑥 − 𝑦) − (𝑥 − 𝑧) = 0 ∴ 2𝑥 − 2𝑦 − 𝑥 + 𝑧 = 0 ∴ 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟎 ➁ ∗ 𝑦 − 𝑧 − 2𝑥 = − 10 ∴ − 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = − 𝟏𝟎 ➂

Luego entonces : {

𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟔 ➀ 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟎 ➁

− 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = − 𝟏𝟎 ➂

** Con las ecs. ➁➂ elimino 𝑧 : {𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0

−2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −10 − 𝑥 − 𝑦 = −10 ∴ 𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟎 ➃

** Con las ecs. ➀➁ elimino 𝑧 : {2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 6 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0

3𝑥 − 3𝑦 = 6 ∴ 𝒙 − 𝒚 = 𝟐 ➄

** Con las ecs. ➃➄ elimino 𝑥, 𝑦 : { 𝑥 + 𝑦 = 10𝑥 − 𝑦 = 2

∴ 2𝑥 = 12 𝒙 = 𝟔 Sustituyo en ➃ :

𝑥 + 𝑦 = 10 ∴ 6 + 𝑦 = 10 𝒚 = 𝟒

Reemplazando los valores encontrados de 𝑥, 𝑦 en la ecuación ➁ :

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 ∴ 𝑧 = 2(4) − 6 ∴ 𝒛 = 𝟐 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟔 , 𝟒 , 𝟐 ) Ⓡ

3.2 Resolución de un SEL3 por Determinantes

Vamos ahora a resolver los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante

Determinantes . Para ello, es necesario que sepamos cómo resolver un Determinante

de orden 3 . Vamos a hacerlo :

Ejemplo #1 : Encuentre la solución del sistema : {

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = − 𝟔 ①

𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = − 𝟏 ②

𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = − 𝟔 ③

Lo primero que hacemos es eliminar denominadores si los hubiere. Luego hay que ordenar las variables. Si todo esto ya estuviere, procedemos como sigue :

Calculamos primero ∆ ∶ 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔:

Procedemos a copiar los coeficientes de las variables y repetir las dos primeras filas al final. Luego procedemos a resolver como un determinante de orden dos en cuanto a la multiplicación de los números : de izquierda a derecha van multiplicados por el signo que resulte y de derecha a

31

izquierda se la cambiará el signo al resultado. Son en total seis productos cuyo resultado al final se suma y con ello obtenemos el valor del determinante :

∆ = ||

1 1 12 1 −11 −2 31 1 12 1 −1

|| = 3 − 4 − 1 − 1 − 2 − 6 = − 𝟏𝟏

∆𝒙∶ 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒍 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒙 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑.

∆𝒙 = ||

−6 1 1−1 1 −1−6 −2 3−6 1 1−1 1 −1

|| = − 18 + 2 + 6 + 6 + 12 + 3 = 𝟏𝟏

∆𝒚∶ 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒍 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒚 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑.

∆𝒚 = ||

1 − 6 12 −1 −11 −6 31 − 6 12 −1 −1

|| = − 3 − 12 + 6 + 1 − 6 + 36 = 𝟐𝟐

∆𝒛∶ 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒍 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒛 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑.

∆𝒛 = ||

1 1 −62 1 −11 −2 −61 1 −62 1 −1

|| = − 6 + 24 − 1 + 6 − 2 + 12 = 𝟑𝟑

Luego entonces :

𝑥 = 11

− 11= −1 ; 𝑦 =

22

− 11= −2 ; 𝑧 =

33

− 11= −3 ∴ 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( −𝟏,−𝟐 , −𝟑 ) Ⓡ

Ejemplo #2 : Encuentre la solución del sistema :

{

𝟏

𝟑𝒙 +

𝟏

𝟒𝒛 =

𝟏

𝟒𝒚 + 𝟏 ①

𝟏

𝟔𝒙 +

𝟏

𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟏 ②

𝟏

𝟐𝒙 −

𝟏

𝟐𝒛 =

𝟏

𝟖𝒚 ③

32

Sacando el mcm de cada ecuación, dividiendo por cada fracción y luego ordenando los

resultados tenemos : { 4𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 12𝑥 + 3𝑦 − 6𝑧 = 64𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 0

y los determinantes son :

∆ = ||

4 −3 31 3 − 64 −1 − 44 −3 31 3 −6

|| = −48 − 3 + 72 − 36 − 24 − 12 = − 𝟓𝟏

∆𝒙 = ||

12 −3 36 3 −60 −1 −412 −3 36 3 −6

|| = − 144 − 18 + 0 + 0 − 72 − 72 = − 𝟑𝟎𝟔

∆𝒚 = ||

4 12 31 6 −64 0 −44 12 31 3 −6

|| = − 96 + 0 − 288 − 72 + 0 + 48 = − 𝟒𝟎𝟖

∆𝒛 = ||

4 −3 121 3 64 −1 04 −3 121 3 6

|| = 0 − 12 − 72 − 144 + 24 + 0 = − 𝟐𝟎𝟒

Por tanto :

𝑥 = −306

− 51= 6 ; 𝑦 =

−408

− 51= 8 ; 𝑧 =

−204

− 51= 4 ∴ 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟔 , 𝟖 , 𝟒 ) Ⓡ

Ejemplo #3 : Encuentre la solución del sistema : {

𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟎 ①

𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟓 ②

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟖 ③

Ordenando las ecuaciones tenemos : {

𝑥 − 2𝑦 + 0𝑧 = 00𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 8

y los determinantes son :

∆ = ||

1 −2 00 1 − 21 1 11 −2 00 1 −2

|| = 1 + 0 + 4 − 0 + 2 + 0 = 𝟕

33

∆𝒙 = ||

0 −2 05 1 −28 1 10 −2 05 1 −2

|| = 0 + 0 + 32 + 0 + 0 + 10 = 𝟒𝟐

∆𝒚 = ||

1 0 00 5 −21 8 11 0 00 5 −2

|| = 5 + 0 + 0 + 0 + 16 + 0 = 𝟐𝟏

∆𝒛 = ||

1 −2 00 1 51 1 81 −2 00 1 5

|| = 8 + 0 − 10 + 0 − 5 + 0 = − 𝟕

Por tanto :

𝑥 = 42

7= 6 ; 𝑦 =

21

7= 3 ; 𝑧 =

−7

7= − 1 ∴ 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟔 , 𝟑 , −𝟏 ) Ⓡ

Ejercicios Propuestos.

Encuentra el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones :

➀ {

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4

2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −4 ➁ {

2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 16𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = −143𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1

➂ { 𝑥 + 2𝑦 = −12𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 + 2𝑧 = 11

➃ { 3𝑥 − 2𝑦 = 03𝑦 − 4𝑧 = 25𝑧 + 14 = 5𝑥

➄ { 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 + 1𝑧 + 𝑥 = 𝑦 + 3𝑧 + 𝑦 = 𝑥 + 7

➅ {

4𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 42𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 26𝑥 + 3𝑧 = 2𝑦 + 12

➆ { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 = 62𝑥 + 3𝑦 = 6

➇ {

3𝑥 − 2𝑦 = − 14𝑥 + 𝑧 = − 28

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = − 43 ➈

{

1

3𝑥 −

1

4𝑦 +

1

4𝑧 = 1

1

6𝑥 +

1

2𝑦 − 𝑧 = 1

1

2𝑥 −

1

8𝑦 −

1

2𝑧 = 0

➉ {

1

3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 3

𝑥 − 𝑦 = 1

𝑥 + 𝑧 −1

4𝑦 = 11

34

Hoja de Solución: Resolución de un SEL3 por Determinantes.

➀. ∆ = − 6 , ∆𝑥 = 6 , ∆𝑦 = − 6 , ∆𝑧 = −24 ……………………. 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( − 𝟏 , 𝟏 , 𝟒 )

➁. ∆ = 27 , ∆𝑥 = − 54 , ∆𝑦 = 81 , ∆𝑧 = −108 ………………… 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( − 𝟐 , 𝟑 , − 𝟒 )

➂. ∆ = 6 , ∆𝑥 = 18 , ∆𝑦 = − 12 , ∆𝑧 = 24 ………………….……. 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟑 , − 𝟐 , 𝟒 )

➃. ∆ = − 31 , ∆𝑥 = − 62 , ∆𝑦 = − 93 , ∆𝑧 = 124 ……………... 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟐 , 𝟑 , − 𝟒 )

➄. ∆ = − 4 , ∆𝑥 = − 8 , ∆𝑦 = − 16 , ∆𝑧 = −20 ………………… 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟐 , 𝟒 , 𝟓 )

➅. ∆ = 12 , ∆𝑥 = 6 , ∆𝑦 = 36 , ∆𝑧 = 60 …………………….…… 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟏

𝟐 , 𝟑 , 𝟓 )

➆. ∆ = −1 , ∆𝑥 = 6 , ∆𝑦 = − 6 , ∆𝑧 = − 3 ………………………... 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( − 𝟔 , 𝟔 , 𝟑 )

➇. ∆ = 16 , ∆𝑥 = − 80 , ∆𝑦 = − 112 , ∆𝑧 = −128 …………… 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( − 𝟓 , − 𝟕 , − 𝟖 )

➈. ∆ = − 51 , ∆𝑥 = − 306 , ∆𝑦 = − 408 , ∆𝑧 = − 204 …………… 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟔 , 𝟖 , 𝟒 )

➉. ∆ = − 34 , ∆𝑥 = − 306 , ∆𝑦 = − 272 , ∆𝑧 = −136 ……………. 𝑺𝒐𝒍 ∶ ( 𝟗 , 𝟖 , 𝟒 )

35

3.3. Problemas de Aplicación de un SEL3

Vamos ahora a resolver problemas mediante la resolución de un sistema de tres ecuaciones con

tres variables. Para ello es bueno que recuerdes los pasos que seguimos para resolver problemas

con sistemas de dos variables, para lo cual es bueno revisar el tema ( ver página #23 ).

Ejemplo#1 : La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180. Si el ángulo mayor excede

al ángulo menor en 35 y el ángulo menor excede en 20 a la diferencia entre el ángulo mayor

y el mediano, halle cuánto mide cada ángulo y diga qué tipo de triángulo es.

𝑥:𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ➀ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 180

𝑦 ∶ 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜 ➁ 𝑥 = 𝑧 + 35 𝑥 − 𝑧 = 35

𝑧 ∶ 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 ➂ 𝑧 = 20 + 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −20

{ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 180𝑥 − 𝑧 = 35

𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −20 𝒙 = 𝟖𝟎 ; 𝒚 = 𝟓𝟓 ; 𝒛 = 𝟒𝟓 ; 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒕𝒓𝒊á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒂𝒄𝒖𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐.

Ejemplo#2 : Rogelio es un ganadero que posee 110 animales entre vacas, caballos y

terneros.

Si 𝟏

𝟖 del número de vacas más

𝟏

𝟗 del número de caballos más

𝟏

𝟓 del número de

terneros equivalen a 15 y además, si sumamos el número de terneros con el número de vacas resultan sólo 15. Calcule cuántos animales de cada tipo tiene Rogelio.

𝑥: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑐𝑎𝑠 ➀ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 110

𝑦 ∶ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑏𝑎𝑙𝑙𝑜𝑠 ➁ 1

8𝑥 +

1

9𝑦 +

1

5𝑧 = 15 45𝑥 + 40𝑦 + 72𝑧 = 5400

𝑧 ∶ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒𝑟𝑜𝑠 ➂ 𝑧 + 𝑥 = 65 𝑥 + 𝑧 = 65

{ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 110

45𝑥 + 40𝑦 + 72𝑧 = 5400 𝑥 + 𝑧 = 65

𝒙 = 𝟒𝟎 ; 𝒚 = 𝟒𝟓 ; 𝒛 = 𝟐𝟓 ;

𝑹𝒐𝒈𝒆𝒍𝒊𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝟒𝟎 𝒗𝒂𝒄𝒂𝒔, 𝟒𝟓 𝒄𝒂𝒃𝒂𝒍𝒍𝒐𝒔 𝒚 𝟐𝟓 𝒕𝒆𝒓𝒏𝒆𝒓𝒐𝒔. Ⓡ Ejemplo#3 : La suma de las tres cifras de un número es 16. La suma de la cifra de las centenas con la cifra de las decenas es el triplo de la cifra de las unidades. Si al número le restamos 99 unidades, sus cifras se invierten. Hallar el número.

𝑥: 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ➀ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 16

36

𝑦 ∶ 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ➁ 𝑥 + 𝑦 = 3𝑧

𝑧 ∶ 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ➂ 100𝑥 + 10𝑦 + 𝑧 − 99 = 100𝑧 + 10𝑦 + 𝑥

{ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 16𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0 𝑥 − 𝑧 = 1

𝒙 = 𝟓 ; 𝒚 = 𝟕 ; 𝒛 = 𝟒 ; 𝑬𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒆𝒔 𝟓𝟕𝟒 Ⓡ

Ejemplo#4 : Josué compró una albarda, un caballo y sus arreos por los cuales pagó $2000. La albarda y los arreos costaron $200 menos que el caballo y los arreos costaron $400 menos que la albarda. Cuánto costaron cada uno ?

𝑥: 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑏𝑎𝑟𝑑𝑎 ➀ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2000

𝑦 ∶ 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑏𝑎𝑙𝑙𝑜 ➁ 𝑥 + 𝑧 = 𝑦 + 200 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 200

𝑧 ∶ 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑟𝑒𝑜𝑠 ➂ 𝑧 = 𝑥 − 400 𝑥 − 𝑧 = 400

{ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2000𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 200 𝑥 − 𝑧 = 400

𝒙 = 𝟕𝟓𝟎 ; 𝒚 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝒛 = 𝟑𝟓𝟎

𝑺𝒐𝒍 ∶ 𝑬𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒃𝒂𝒓𝒅𝒂 𝒇𝒖𝒆 𝒅𝒆 $𝟕𝟓𝟎, 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒃𝒂𝒍𝒍𝒐 $𝟗𝟎𝟎 𝒚 $𝟑𝟓𝟎 𝒍𝒐𝒔 𝒂𝒓𝒓𝒆𝒐𝒔. Ejemplo#5 : Un proveedor de productos de jardinería, cuenta con tres tipos de fertilizantes

para pastos : 𝑮𝟏, 𝑮𝟐 𝒚 𝑮𝟑 los que tienen un contenido de Nitrógeno de 30%, 20% y 15%. El proveedor piensa mezclarlos y obtener 600lbs de fertilizantes con un contenido de

Nitrógeno del 25%. La mezcla debe contener 100lbs más del tipo 𝑮𝟑 que del tipo 𝑮𝟐. Cuántas libras de cada fertilizante debe usar ?

𝑥: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐺1 ➀ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 600

𝑦 ∶ 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐺2 ➁ 30%𝑥 + 20%𝑦 + 15%𝑧 = 600 ( 25% )

𝑧 ∶ 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐺3 ➂ 𝑧 = 100 + 400𝑦

{ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 600

6𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 3000 − 𝑦 + 𝑧 = 100

𝒙 = 𝟑𝟖𝟎 ; 𝒚 = 𝟔𝟎 ; 𝒛 = 𝟏𝟔𝟎

𝑺𝒐𝒍 ∶ 𝑬𝒍 𝒋𝒂𝒓𝒅𝒊𝒏𝒆𝒓𝒐 𝒎𝒆𝒛𝒄𝒍𝒂𝒓á 𝟑𝟖𝟎𝒈𝒓 𝒅𝒆 𝑵𝒊𝒕𝒓ó𝒈𝒆𝒏𝒐 𝒂𝒍 𝟑𝟎% 𝒄𝒐𝒏 𝟔𝟎𝒈𝒓 𝒅𝒆 𝑵𝒊𝒕𝒓ó𝒈𝒆𝒏𝒐 𝒂𝒍 𝟐𝟎%

𝒚 𝟏𝟔𝟎𝒈𝒓 𝒅𝒆 𝑵𝒊𝒕𝒓ó𝒈𝒆𝒏𝒐 𝒂𝒍 𝟏𝟓% 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒛𝒄𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒂𝒅𝒂.

37

PROBLEMAS CON SEL3

1. Una alcancía contiene monedas de distinta denominación: $2, $5, $10 pesos para un monto de

$330 pesos. El doble de monedas de $5 más el número de monedas de $10 equivale al

quíntuplo de monedas de $2. Cuántas monedas de cada tipo tiene la alcancía si en total hay 60

?.

2. La suma de tres números es 160. Un cuarto de la suma del mayor y del medio, equivale al

menor disminuido en 20. Si a la mitad de la diferencia entre el mayor y el menor se le suma el

número del medio, la respuesta es 57. Hallar los números.

3. Se quiere repartir $500 a tres personas con las condiciones siguientes: la primera recibe el

doble de la segunda y la segunda debe recibir el triplo de lo que recibe la tercera. ¿Cuánto

recibe cada persona?

4. Juanita va al mercado con C$4 000 córdobas y lo gasta todo en víveres, carnes y ropa.

En víveres y carnes gasta C$3 000. ¿En víveres y ropa gasta C$2800. Cuánto gastó en

cada cosa?

5. María Belén vende revistas juveniles. El jueves, viernes y sábado vendió en total $66.

El jueves vendió $3 más que el viernes. El sábado vendió $6 más que el jueves.

Cuánto vendió María Belén cada día?

6. Dulce María obtuvo un total de 225 puntos en tres exámenes en la UCA. La suma de las

calificaciones del primero y tercero es 61 puntos mayor que su 2da. Calificación. Su primera nota

supera a la segunda en 6 puntos. Encuentra los puntajes respectivos de las notas de Dulce

María.

7. La suma de las edades de Tomás, Carmen, Daniel y Tania es de 42 años. La edad de

Tomás es la suma de las edades de Carmen y Daniel. La edad de Carmen es 2 años

más que la suma de las edades de Daniel y Tania. La edad de Daniel es 4 veces la

edad de Tania. ¿Qué edad tiene cada uno? Sug : sustituya la última condición en las tres

primeras ecuaciones para formar un SEL3.

38

8. En una fábrica hay tres máquinas A, B, C . Cuando las tres están funcionando, producen

222 trajes por día. Si sólo A y B funcionan, producen 159 trajes diarios. Si sólo B y C

funcionan, producen 147 trajes por día. Cuál es la producción diaria de cada máquina?

9. Las sierras de agua A, B, C pueden cortar tablas de pino para un total de 7400m² diarios.

Sólo funcionando A y B aserran 4700m² mientras que si sólo trabajan B y C aserran

5200m². ¿Cuántos metros aserran diariamente ?

10. La Tienda de José se especializa en mezclas de café para paladares exigentes

( gourmets ). El dueño desea preparar bolsas de una libra que se vendan en $8.50

combinando granos de Colombia, Brasil y Kenia. El costo por libra de estos

cafés es de $10, $6 y $8 respectivamente. El café de Colombia debe triplicar al de

Brasil. Encuentra la cantidad de cada tipo en la mezcla.

Soluciones :

➀ La alcancía tiene 15 monedas de $2, 30 monedas de $5, 15 monedas de $10.

➁ Los números son : 62, 48, 50.

➂ La primera persona recibe $300, la segunda $150 y la tercera $50.

➃ Juanita gastó C$1800 en víveres, C$1200 en carnes, C$1000 en ropa.

➄ María Belén vendió el Jueves: $21, Viernes : $18 y Sábado : $27.

➅ Los exámenes de Dulce María fueron de : 88, 82, 55 puntos.

➆ Las edades son : Tomás : 20 años, Carmen : 12 años, Daniel : 8 años, Tania : 2 años.

➇ Producen diariamente : la MáqA : 75 trajes, MáqB : 84 trajes, MáqC : 63 trajes.

➈ Aserran diariamente : Sierra A : 2200m², Sierra B : 2500m², Sierra C : 2700m² .

➉ 𝟑

𝟖 lbs de café Colombiano,

𝟏

𝟖 de café Brasileño,

𝟏

𝟐 lb de café Keniano.

39

profenrmor@hotmail.com

40