SISTEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES

Prof. Isaías Correa M.2013

• Reconocer los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, estableciendo las diferencias entre un procedimiento y otro.

• Reconocer cuándo un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones y cuándo no tiene solución.

• Aplicar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones en problemas de planteo.

Sistemas de Ecuaciones

1. Sistemas de ecuaciones2. Métodos de resolución

• Igualación

• Sustitución

• Reducción

• Cramer

• Gráfico

• Cambio de Variables (variables auxiliares)

3. Aplicaciones

1. Sistemas de Ecuaciones Es un conjunto de ecuaciones donde hay más de una incógnita. Para determinar el valor numérico de cada una de ellas, debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas, es decir, si hay 3 incógnitas, debe haber 3 ecuaciones distintas. Geométricamente, corresponde a la intersección de dos rectas o dos curvas en el plano cartesiano.

Un sistema de ecuaciones lineales presenta la siguiente forma: 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

Donde: son constantes numéricas reales y 1 1 1 2 2 2; ; ; ; ;a b c a b c

“x” e “y” son las incógnitas

• Reducción:

Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema

Luego, se suman o restan ambas ecuaciones, de modo que se eliminen los términos cuyos coeficientes se igualaron.

Ejemplo:

1) 2x + 3y = 7

2) x – 4y = -2

2. Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

Son diferentes formas de resolver un sistema de ecuaciones. Existen varios métodos.

1) 2x + 3y = 7

2) x – 4y = -2

Para eliminar x, multiplicaremos la ecuación 2) por -2

/ · (– 2)

1) 2x + 3y = 7

2) – 2x + 8y = 4/ Sumando ambas ecuaciones

(+)

11y = 11

y = 1 / Reemplazando y=1 en la ec. 2)

2) x – 4y = – 2

x – 4 ·(1) = – 2

x = 2

x = – 2 + 4

/ Dividiendo por 11

• Igualación:

Una vez despejada, se igualan los resultados.

Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema.

El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema.

Ejemplo:

1) 2x + 3y = 7

2) x – 4y = – 2

Despejando x en ambas ecuaciones:

1) 2x + 3y = 7

2x = 7 – 3y

x = 7 – 3y

2

2) x – 4y = – 2

x = – 2 + 4y

Igualando ambas ecuaciones:

7 – 3y

2= – 2 + 4y

7 – 3y

2= – 2 + 4y

7 – 3y = – 4 + 8y

7 – 3y + 3y = – 4 + 8y + 3y

7 = – 4 + 11y

7 + 4= – 4 + 11y + 4

11= 11y

1= y

/ Multiplicando por 2

/ + 3y

/ + 4

/ :11

Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x.

x = – 2 + 4y

Reemplazando y = 1 en la ecuación 2) :

x = – 2 + 4 · (1)

x = – 2 + 4

x = 2

• Sustitución:Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del sistema.

Una vez despejada, se reemplaza en la otra ecuación, despejando la única variable que queda.

El resultado que se obtiene se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema.

Ejemplo:

1) 2x + 3y = 7

2) x – 4y = – 2

Despejando x en la ecuación 2)

x = – 2 + 4y

2) x – 4y = – 2

Reemplazando x en la ecuación 1)

1) 2x + 3y = 7

2(– 2 + 4y) + 3y = 7

– 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

Como x = – 2 + 4y x = – 2 + 4 ·(1)

x = 2

/ Multiplicando

/ Sumando 4

/ Dividiendo por 11

• Cramer Este método utiliza el concepto de “determinante”para resolver el sistema.

a ba d c b

c d Ejemplo: 2 3

2 4 1 3 8 3 111 4

Ejemplo de Aplicación: Resolver el siguiente sistema:

3 4 5

2 5 11

x y

x y

3 4

2 5p

3 5 2 4 15 8 23

5 425 44 69

11 5x

3 533 10 23

2 11y

693

23x

p

x

231

23y

p

y

P(3,1)

• Gráfico Este método utiliza el gráfico como forma de determinarel punto de intersección de dos rectas.

P(2,4)

13

2y x

3 10y x

•

• Cambio de Variables:Este caso considera el uso de otras variables para resolver un sistema, que por los métodos tradicionales sería mas complicado.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema:

3 514

2 1

2 15

2 1

x y

x y

Haremos el siguiente arreglo

1 13 5 14

2 1

1 12 1 5

2 1

x y

x y

Llamaremos:

12xu 1

1yv

Al remplazarlo obtenemos el nuevo sistema:

3 5 14

2 5

u v

u v

y se puede resolver por cualquier método anterior, obteniéndose y .

Para obtener igualamos los valores obtenidos con las fórmulas anteriores:

123 x

111 y

Despejamos y obtenemos:1( 1) 1y 1 1y 0y

3( 2) 1x 3 6 1x 3 7x 73x

73( ,0)P

3u 1v

" " " "x e y

La solución de un sistema de ecuaciones, corresponde

- a la intersección de 2 rectas en el punto (x,y).

- a infinitas soluciones si y sólo si las rectas son coincidentes.

- a NO tener solución si y sólo si las rectas son paralelas.

3. Ejercicios de Aplicación

1. Se tienen avestruces y koalas, si hay 55 cabezas y 170 patas, ¿cuántas avestruces y koalas hay?

Sea a: N° de avestruces y k: N° de koalas

Solución:

Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4, la cantidad total de patas de avestruz será 2a y el total de patas de koala 4k.

1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Con estas dos ecuaciones se forma el siguiente sistema de ecuaciones:

1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

/·(– 2)

1) -2a - 2k = -110

2) 2a + 4k = 170/ Sumando ambas ecuaciones

(+)

2k = 60

k = 30 / Reemplazando K=30 en la ec. 1)

1) a + k = 55

a + 30 = 55 a = 55 - 30 a = 25

Por lo tanto, hay 25 avestruces y 30 koalas.

2. 3x + 2y = 4

9x + 6y = 12

Solución:

3x + 2y = 4

9x + 6y = 12

/·(-3)

-9x + -6y = -12

9x + 6y = 12/ Sumando ambas ecuaciones

(+)

0 = 0

Se eliminaron las incógnitas y llegamos a una igualdad, por lo tanto, el sistema tiene INFINITAS SOLUCIONES.

Determinar x e y.

3. Determinar: a + b + c.

a + 2b + 3c = 51

2a + 3b + c = 72

3a + b + 2c = 57 / Sumando las tres ecuaciones(+)

6a + 6b + 6c = 180

6(a + b + c) = 180

(a + b + c) = 1806

(a + b + c) = 30

/ Factorizando por 6

/ Dividiendo por 6