Sistemas de EDO a coeficientes constantes no homogéneos

Un sistema de ecuaciones diferenciales lineal es una EDO (ecuación diferencial

ordinaria) del tipo:

x′(t)=A(t)⋅x+b(t)

Donde, A (t) es una matriz, n×n, de funciones en la variable t, b (t) s un vector de dimensión n de funciones en la variable t, y x es un vector de tamaño n que es la función que queremos encontrar.

Ejemplo

Un ejemplo de sistema de EDO's lineal sería:

(xy)′=(0−etlnt3cost)⋅(xy)+(et3et)

Un sistema lineal de dimensión n tiene n soluciones linealmente independientes y

resolver el sistema significa encontrarlas todas. Toda solución es una combinación

lineal de estas n soluciones. Así, dado un vector de condiciones iniciales (n),

determinaremos las n constantes encontrando una única solución.

Cuando resolvemos un sistema lineal colocaremos las n vectores solución

(linealmente independientes) en las columnas de una matriz, la llamada matriz

fundamental del sistema (n×n). Por lo tanto, entenderemos por resolver el sistema

encontrar una matriz fundamental. Multiplicando esta matriz por un vector de

constantes arbitrarias tendremos la solución general.

Una propiedad importante de las matrices fundamentales es que, si multiplicamos

una matriz fundamental por una matriz constante con determinante distinto de

cero, el resultado es otra matriz fundamental (es importante que la matriz

constante se multiplique por la derecha, si no, no es cierto).

Para resolver este tipo de ecuaciones, no existen métodos explícitos (sólo en

dimensión 1). Aun así, existen algunos casos particulares que sí sabremos

resolver: Sistemas de EDO's homogéneos a coeficientes constantes, Sistemas de

EDO's a coeficientes constantes no homogéneos, y Sistemas triangulares de

ecuaciones diferenciales.

En este tema vamos a explicar los Sistemas de EDO's a coeficientes constantes

no homogéneos.

Supongamos que tenemos el siguiente sistema a resolver:

x′=A⋅x+b(x)

Ejemplo

Un ejemplo de sistema seria:

(xy)′=(0−112)⋅(xy)+(et3et)

Para resolverlo, seguiremos los mismos pasos que en una ecuación lineal, es

decir, encontraremos la solución general de la parte homogénea y después

encontraremos una solución particular del sistema no homogéneo.

Consideremos el problema homogéneo:

x′=A⋅xSiguiendo los pasos del nivel anterior, encontramos la matriz principal del

sistema ϕh(t).

Sabemos que, entonces, la solución general de la parte homogénea es:

xh(t)=ϕh(t)⋅Cdonde C es un vector de constantes.

Ahora buscamos una solución particular de la forma

xp(t)=ϕh(t)⋅u(t)

Impongamos que sea solución:

x′p=A⋅xp+b(t)=A⋅ϕh(t)⋅u(t)+b(t)x′p=ϕh(t)⋅u(t)+ϕh(t)⋅u′(t)=A⋅ϕh(t)⋅u(t)+ϕh(t)⋅u′(t)}⇒ϕh(t)⋅u′(t)=b(t)⇒u(t)=∫(ϕh(t))−1⋅b(t)⋅dt

Así, la solución general es:

x(t)=xh(t)+xp(t)=ϕh(t)⋅C+ϕh(t)⋅∫(ϕh(t))−1⋅b(t)⋅dt

Ecuación no homogénea a coeficientes constantes: método de los coeficientes

indeterminados

Este método se aplica cuando la función f(t) es una combinación lineal de productos (finitos) de funciones tales que derivadas den el mismo tipo de función. Son ellas:

Polinomios en t

Función exponencial eht

Combinaciones lineales dedcos(t) y sen(t)

Para resolverla, se usa una función de prueba que es una combinación lineal del mismo tipo de funciones, cuyos coeficientes se determinarán reemplazándola en la EDO.

El caso más general es:

f ( t )=eht [ p ( t )cos (ωt )+q( t )sen (ωt )]donde h, 0 y p(t), q(t) polinomios de grado n.

La función de prueba general es:

y∗( t )=eht [(k1+k2 t+⋯k n+1 tn )cos(ωt )+( l1+l2 t+⋯ln+1 t

n )sen (ωt )]Donde k, l son los coeficientes a determinar. Si h + i es raíz de la homogénea asociada (lo que ocurre cuando esta función de prueba es solución del problema homogéneo), y*(t) debe multiplicarse por t.

Ecuación lineal no homogénea a coeficientes constantes: método de variación de los

parámetros

Es un método más general, y válido aun cuando los coeficientes de la EDO no sean constantes, sino funciones. En este caso la solución particular toma la forma

y∗¿v1 y1+v2 y2

donde v1 y v2 se obtienen del sistema:

{ v1' y1+v2

' y2=0

v1' y1

' +v2' y2

' =f ( t )a

donde y1 y y2 son las funciones de la base de soluciones de la EDO homogénea asociada. Estas funciones deben ser linealmente independientes, para lo cual deben cumplir con la condición

W=|y1 y 2y1' y 2

'|≠0

Esto es, su determinante Wronskiano no debe ser idénticamente nulo.