SISTEMAS DINÁMICOS

Ing. Fredy Ruiz Ph.D.ruizf@javeriana.edu.co

Carrera de Ingeniería Electrónica

Pontificia Universidad Javeriana

2013

Información general• Horario:

– Jueves 8 a 11 a.m., Ed. 54 – Salón 104• Inicio 8:10• Pausa 9:30 a 9:40• Fin 11:00

• Contacto– Via correo electrónico: ruizf@javeriana.edu.co– Oficina: Depto de electrónica, Of. 415-2B

– Horario de atención: lunes y miércoles 10am-12m.

• Monitor

– Ángela cuadros, a.cuadros@javeriana.edu.co

– Asesoría “por demanda”

PREREQUISITOS

• Análisis de circuitos– Teoría de sistemas: I-O, memoria, estabilidad.– Sistemas lineales: rta. impulso, función de

transferencia, rta. en frecuencia.

• Física de fluidos, termología y ondas– Variables hidráulicas– Variables térmicas– Conducción, convección

Asignaturas del área de control

NUCLEO FUNDAMENTAL• Circuitos eléctricos• Circuitos en frecuencia• Sistemas dinámicos• Controles• Máquinas eléctricas

Asignaturas del área de control

ÉNFASIS• Laboratorio de

control• Automatización de

edificios• Control de procesos• Control lógico y

secuencial

MAESTRÍA• Sistemas lineales• Técnicas de

optimización• Instrumentación

industrial• Automatización

industrial• …

PROGRAMA

Parte 1. Representación de sistemas1. Variables de estado2. Sistemas no lineales

Parte 2. Modelos de sistemas físicos1. Mecánicos2. Electromecánicos3. Térmicos4. Hidráulicos

PROGRAMA

Parte 3. Análisis de sistemas compuestos1. Interconexión 2. Estabilidad3. Retroalimentación

Parte 4. Sistemas en tiempo discreto1. Propiedades2. Solución3.Análisis

METODOLOGÍA• Preparación: lecturas previas como secciones

indicadas del texto guía o artículos.• Encuentros semanales: sesiones teóricas,

ejemplos de aplicación, sesiones prácticas (Matlab).

• Refuerzo: verificación de demostraciones, ejercicios simulados, lectura de artículos técnicos, …

BIBLIOGRAFÍA

Libro de texto:Modern control systems

Dorf, Richard Carl

Editor:Pearson/Prentice Hall

Fecha de pub: 2008.

EVALUACIÓN

• 2 exámenes parciales (25% c/u): exámenes escritos individuales con preguntas teóricas y problemas, duración 1,5 horas

• Examen final (25%): examen escrito comprensivo de toda la temática vista.

• Tareas y trabajos(25%): Tareascon demostraciones y solución de problemas. Simulaciones, verificación de lectura de artículos técnicos tipo IEEE.

Introducción

DINÁMICA: Análisis matemático del movimiento de los cuerpos y sus causas.

Introducción

Aristóteles (384 a. C. – 322 a. C.)

• Mundo sublunar corruptible

• Mundo celeste perfecto

• Movimientos sin aceleración

• Debil poder predictivo

Introducción

Predicción en las sociedades “antiguas”

IntroducciónGalileo Galilei (1564-1642) Método científico

• La naturaleza sigue leyes

• Las leyes de la naturaleza pueden

expresarse en lenguaje matemático

• Las mismas leyes rigen el mundo

sublunar y la esfera celeste

• Las cosas son lo que los sentidos perciben

“Conociendo la expresión matemática de una ley natural se tiene el mismo nivel de conocimento sobre ese

fenómeno que el del Dios creador”

Introducción

Sir Isaac Newton (1643 -1727) • Formulación de la cinemática

• Explica las causas del movimiento acelerado

• Crea el cálculo diferencial

• Plantea, mas no resuleve, la ecuación diferencial del movimiento de dos cuerpos (resuelta por Bernoulli)

Método de predecir el futuro: resolver las ecuaciones diferenciales que regulan los sistemas

dinámicos.

Introducción

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

• Estudió las ecuaciones diferenciales de la mecánica celeste

• Transformada de Laplace

.

Determinismo:si una mente pudiera realizar millones de operaciones en un instante y conociera las condiciones iniciales y las leyes que rigen un sistema, podria conocer la evolución futura del sistema, y en esta forma el presente y el futuro estarian simultaneos en su mente.

Introducción

Henri Poincaré (1854-1912)• Problema de los tres cuerpos

• Teoría del caos

• Topología

• Análisis cualitativo de los sistemas dinámicos

No es posible resolver analiticamente las ecuaciones que regulan la dinámica del sistema de tres cuerpos.

Introducción“Inferring models from observations and studying their

properties is really what science is about”

Lennart Ljung

• Se quiere estudiar un sistema real con un objetivo definido:

– Interpretación

– Diseño

– Predicción

– Control

– Detección de fallas

– ...

CAPÍTULO 1 GENERALIDADES DE SISTEMAS

SISTEMAS DINÁMICOS

¿Qué es un sistema dinámico?– Un péndulo oscilando– Una reacción química– El sistema solar– La población de zorros y conejos en un bosque

SISTEMAS DINÁMICOS

¿Qué es un sistema dinámico?– Un péndulo oscilando– Una reacción química– El sistema solar– La población de zorros y conejos en un bosque

¿QUÉ TIENE EN COMÚN ESTOS SISTEMAS?

SISTEMAS DINÁMICOS

• Sistema real– Parte del universo– Fronteras– Interacciones

• Sistema modelo– Invención humana– Construcción matemática– Representación simplificada– Capacidad predictiva

� Sistema es una colección de componentes que tienen dos propiedades fundamentales:

� Las componentes internas o subsistemas, interactúan entre si.

� Las fronteras del sistema separan a las componentes internas del mundo externo.

ENTRADA SISTEMA SALIDA

SISTEMA

• Estático

• Dinámico

SISTEMA

• Distribuido:

• Concentrado:

SISTEMA

• Causal

• No-causal

SISTEMA

• Tiempo invariante

• Variante con el tiempo

SISTEMA

• SISO

• MIMO

SISTEMA

ττ dtuety

tutytyetyt

t

t

)()(

)()()(3)(

0

−=

=++

∫−

− &&&

• Ejemplos

SISTEMA

• Lineal– Homogeneidad– Aditividad

• No-lineal– Alternativas de solución????

Propiedes de sistemas

• Ecuaciones diferenciales• Transformada de Laplace

– Solución de ecuaciones diferenciales– Cuándo se puede aplicar?– Propiedades fundamentales

• Función de transferencia– Significado– Condiciones iniciales ?

Representación de sistemas dinámicos

• Transformada de Laplace

• Existe si:

SISTEMAS LTI

- Dadas:– La ecuación dinámica

– La entrada u(t) para todo t– Un instante inicial t0– Las condiciones iniciales y(t0) , y'(t0), ...

La respuesta del sistema es una función y(t) que satisface la ecuación diferencial.

Solución - Respuesta

Solución - Respuesta

•Respuesta entrada cero

•Respuesta estado cero

Agosto de 2012

DESCRIPCIÓN DE SISTEMAS LTI

� Entrada – Salida:� Ecuación Integro – Diferencial lineal de

coeficientes constantes:

Respuesta a entrada cero se obtiene a partir de las n condiciones iniciales.

Solución homogénea

ubdt

udb

dt

udbya

dt

yda

dt

yda m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n 01

1

101

1

1 ......... +++=++ −

−

−−

−

−

36F. Ruiz

DESCRIPCION DE SISTEMAS LTI

� Respuesta en estado cero: depende únicamente de la entrada.

Solución particular� También se puede evaluar empleando la

integral de convolución

Agosto de 2012

∫∫ −=−=tt

dtuthduthty00

)()()()()( τττττ

37F. Ruiz

DESCRIPCION DE SISTEMAS LTI

� Para sistema MIMO:H(t) matriz de (qxp)

Para un sistema con p entradas y q salidas.

Agosto de 2012

∫ −=t

t

dtt0

)()()( τττ uHy

−−

−−−

=−

)()(

)()()(

)(

1

11211

ττ

τττ

τ

thth

ththth

tH

qpq

p

38F. Ruiz

Agosto de 2012

DESCRIPCION DE SISTEMAS LTI

� Función de transferencia – Transformada de Laplace

Respuestas estado cero

( )( )

011

1

011

1

011

1

011

1

.....

.....

)(

)()(

)(...

)(...

asasasa

bsbsbsb

sU

sYsH

sUbsbsbsb

sYasasasa

nn

nn

mm

mm

mm

mm

nn

nn

++++++++==

++++

=++++

−−

−−

−−

−−

39F. Ruiz

Solución - Respuesta

•Respuesta transitoria

•Respuesta en estado estable

Agosto de 2012

DESCRIPCION EN ELESPACIO DE ESTADO� Estado de un sistema [x]: en un instante to es

la mínima cantidad de información que junto con la entrada u[t0 , ∞) determina la respuesta del sistema para todo t ≥ t0.

� El estado resume la información pasada requerida para determinar el comportamiento futuro del sistema.

Se definen variables de estado en sistemas con almacenamiento de energía; no aplica para

sistemas instantáneos.

41F. Ruiz

Modelos en variables de estado

• Estado: conjunto de variables que, junto con la entrada, determinan la configuración futura y las salidas del sistema.

• Modelo matemático– Variable independiente “tiempo”, t o k– Parámetros, µ:=(µ1, µ2,...µp)

– Variables dependientes, x:=(x1, x2,...xn)

– Ecuaciones de movimiento:

SISTEMAS DINÁMICOS

dx/dt=F (x(t ) , t ;µ)

x(k+1)=G(x(k) , k ;µ)

Ejemplos

Agosto de 2012

DESCRIPCION EN ELESPACIO DE ESTADOUn sistema Lineal de parámetros concentrados se puede

representar como:

n ecuaciones diferenciales de primer orden

45F. Ruiz

Agosto de 2012

DESCRIPCION EN ELESPACIO DE ESTADOLas variables de salida se pueden representar como qcombinaciones lineales de los estados y las entradas:

q ecuaciones lineales INSTANTANEAS!!

46F. Ruiz

Agosto de 2012

DESCRIPCION EN ELESPACIO DE ESTADO

� X (t) vector de variables de estado del sistema (n x 1)� A (t) matriz del sistema (n x n)� B (t) matriz de entrada (n x p)� U (t) vector de variables de entrada (p x 1)� Y (t) vector de variables de salida (q x 1)� C (t) matriz de salida (q x n)� D (t) matriz de transmisión directa (q x p)

47F. Ruiz

Agosto de 2012

DESCRIPCION EN ELESPACIO DE ESTADO� Selección no es única� El conjunto de variables de estado debe ser

linealmente independiente .� Sistema invariante con el tiempo: A, B, C, D son

constantes� La representación de estado se puede emplear

para sistemas: lineales, no lineales, variantes, invariantes, continuos, discretos, SISO y MIMO

48F. Ruiz

Agosto de 2012

VARIABLES DE ESTADO CIRCUITOS ELECTRICOS

49F. Ruiz

Agosto de 2012

EJEMPLO

� Plantear el conjunto de ecuaciones de estado que describe al sistema. Tomar como salida 2Rv

50F. Ruiz

Agosto de 2012

EJEMPLO

Plantear el modelo en variables de estado tomando como variables de estado:

a. La carga b. El voltaje c. Encontrar la relación entre los dos modelos.

51F. Ruiz

Agosto de 2012

EJEMPLO: SISTEMA VARIANTE

� Plantear las ecuaciones de estado para un sistema Lineal Variante con el tiempo.

52F. Ruiz

Agosto de 2012

SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO

� Sistema LIT:

� Obtener la solución de la ecuación.

Al tablero!!!!!

BUAXX +=&

DUCXY +=

53F. Ruiz

Agosto de 2012

SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO

� Sistema LIT:

� Empleando transformada de Laplace:

BUAXX +=&

DUCXY +=

44 344 2144 344 21CERO ESTADO

1

CEROENTRADA

1 )()()0()()( ssss BUAIXAIX −− −+−=

54F. Ruiz

Agosto de 2012

SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO

� Solución en tiempo:

� Se define la matriz de transición de estados:

∫−+=

ttAAt dBUeXetX

0

)( )()0()( τττ

55F. Ruiz

{ }( ) 1

1

)(

)()(−

−

−=

Φ==

AIΦ

ΦA

ss

set tL

Agosto de 2012

SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO

� Comparando las soluciones en el tiempo y la frecuencia:

� relaciona el estado en cualquier tiempo t con el estado en el instante inicial.

444 3444 2143421

ceroestadoen oforzadaRespuesta

0cero)entrada ao natural oHomogenea (

forzadanoRespuesta

)()()0()()( ∫ −Φ+Φ=t

dBUtXttX τττ

)(tΦ

56F. Ruiz

Agosto de 2012

SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO

� La respuesta estado cero:

� En frecuencia equivale a la función de transferencia:

444 3444 21ceroestadoen oforzadaRespuesta

0

)()()( ∫ −=t

ceroestado dtt τττ BUΦX

57F. Ruiz

DBAsICsH +−= −1)()(

Agosto de 2012

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

� La función de transferencia es:

� det(sI – A) determina los polos� SISO: función escalar, racional� MIMO: arreglo matricial pxq, elementos

racionales

DBAsICsH +−= −1)()(

58F. Ruiz

Agosto de 2012

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

� Sólo existe una representación entrada –salida: la respuesta impulso y la función de transferencia son únicas.

� La función de transferencia que se obtiene es racional.

� Si D = 0, la función de transferencia es estrictamente propia

59F. Ruiz

Ejemplo

F. Ruiz 60Agosto de 2012

Consideremos la ecuación:

La solución está dada por la ecuación

Para calcular eAt, se evalúa la inversa de sI - A

Solución de la Ecuación de Estado

F. Ruiz 61Agosto de 2012

Empleando la expansión en fracciones simples y usando una tabla detransformada Laplace.

La solución completa es:

ANÁLISIS MODAL

� La solución homogénea del sistema es:

Donde:- vi Son los autovectores de la matriz A- λi los autovaloes de A- αi depende de las condiciones iniciales

Agosto de 2012 F. Ruiz62

∑=

=

Φ=n

i

tii

ietx

xttx

1

)(

)0()()(

λα v

Agosto de 2012

VARIABLES DE ESTADO

� Realizando un cambio de variable

� P es la relación entre los dos conjuntos de variables de

estado.� Sistema original:

¿Cómo resulta el sistema de ecuaciones para el nuevo vector de estado?

PZX =Z

CX Y

BUAXX

=+=

•

63F. Ruiz

Agosto de 2012

VARIABLES DE ESTADO

� Resulta

� Realizando las transformaciones similares:

¿Cuál es la relación entre las funciones de transferencia?

UZY

UBZAZ

DC +=

+=∧∧

ˆ

&

BPB AP;PA 11 −∧

−∧

== CPC =∧

64F. Ruiz

Agosto de 2012

CONTROLABILIDAD

� “La ecuación de estado de un sistema es completamente controlable si existe una entrada U(t), que pueda transferir cualquier estado inicial a cualquier estado final en un tiempo finito, en caso contrario no es controlable”

� Sistema controlable si y sólo si rango C = n,

( )BAABB n 1−= MKKMMC

65F. Ruiz

Agosto de 2012

OBSERVABILIDAD

� “Un sistema es completamente observable si y solo si existe un tiempo finito t, tal que el estado inicial se puede determinar a partir de las salidas y de las entradas .”

� Sistema observable si y sólo si rango Ô = n

=

−1nCA

CA

C

MO

66F. Ruiz

CONTROLABILIDAD & OBSERVABILIDAD

� Plantear las ecuaciones de estado. La entrada u(t) es una fuente de corriente y la salida y es le voltaje sobre el condensador. Tomar:

iL = x1 ; vc = x2.

� ¿Qué condiciones sobre R, L y C garantizan que el sistema es controlable?

� Qué condiciones sobre R, L y C garantizan que el sistema es observable?

� ¿Qué pasa con la función de transferencia en esos casos?

F. Ruiz 67Agosto de 2012

68Agosto de 2012

Realizaciones

Dada la función de transferencia, cómo obtener una representación en espacio de estados?

� Caso 1: Realización de la función G(s)=bo/D(s) o función “solo polos”.

)(

)(

)(

)(

)(...)(

01

12

21

1 sD

sN

sU

sY

sD

bo

asasasas

bosG

nn

nn

n==

++++= −

−−

−

F. Ruiz

69Agosto de 2012

Realizaciones

� Forma “Companion” – Variables tipo fase

)()()()(.........)()(

)()(

............

.............

)()(

)()(

)()(

01021321

11

1

22

2

3

12

1

tubtxatxatxatxadt

ydtx

txdt

ydtx

txdt

ydtx

txdt

dytx

tytx

nnn

n

n

nn

n

n

=−−−−−==

==

==

==

=

−

•

•

−−

−

•

•

F. Ruiz

70Agosto de 2012

Realizaciones

� Representación matricial:

[ ]

=

+

−−−

=

−

−

−•

•

−

•

•

n

n

n

n

nn

n

x

x

x

x

y

tu

bx

x

x

x

aaax

x

x

x

1

2

1

0

1

2

1

110

1

2

1

..

..0.001

)(

0

..

..

0

0

..

..

....

1.......

.......

...1...

0...1.0

0....10

..

..

F. Ruiz

71Agosto de 2012

Realizaciones

� Diagrama de bloques:

� Resolviendo las ecuaciones:

02

21

1

0

02

21

0

......1

1

)()(

asasas

b

s

a

s

a

s

as

b

sU

sYn

nn

nn

nnn

n

++++=

−−−−−

= −−

−−−−

F. Ruiz

72Agosto de 2012

Realizaciones

� Caso 2: Realización de la función propia n = m:

� El residuo es estrictamente propio, y el cociente corresponde al término d de la ecuación de salida

)(

)(')(

...

....

'

'

'...''

´....´´)(

01

1

02

21

1

01

1

01

1

sD

sNdsG

asas

bsbsb

a

b

asasa

bsbsbsG

nn

n

nn

nn

n

nn

nn

n

nn

nn

+=

++++++

+

=

++++++

= −−

−−

−−

−−

−−

( )[ ]'

)(

)('

limlim 1

dd

sD

sNd

sdASIc

s

=

+

∞→=+−

∞→−

F. Ruiz

73Agosto de 2012

Realizaciones

� Es necesario realizar la función estrictamente propia:

� Extensión forma Companion

� Fracciones parciales

01

1

02

21

1

......

.......

)(

)()(

asas

bsbsb

sD

sNsG

nn

n

nn

nn

++++

== −−

−−

−−

F. Ruiz

Ejemplos

�

F. Ruiz 74Agosto de 2012