Sistemas experts

MotivaciónReglas difusas

Sistemas basados en técnicas de lógic difusa

Sistemas Expertos IIConf.9 Lógica difusa. Inferencia difusa

Facultad de Ciencias Informáticas

Universidad Laica "Eloy Alfaro" de Manabí

Dr. Rodolfo García, PhD Sistemas Expertos II



Estructura de la presentación

1 MotivaciónAlgunos elementos del tema anteriorTema de la clase

2 Reglas difusas

3 Sistemas basados en técnicas de lógic difusa




Algunos elementos del tema anteriorTema de la clase

Estructura de la presentación

1 MotivaciónAlgunos elementos del tema anteriorTema de la clase

2 Reglas difusas

3 Sistemas basados en técnicas de lógic difusa




Algunos elementos del tema anteriorTema de la clase

Conf.9 Lógica difusa. Inferencia difusa

Inferencia difusaTécnicas de lógica difusa




Reglas difusas

Se llama reglas difusas al conjunto de proposiciones IF-THENque modelan el problema que se quiere resolver. Una regladifusa simple tiene la forma:“si u es A entonces v es B“dónde A y B son conjuntos difusos definidos en los rangos de“u” y “v” respectivamente. Una regla expresa un tipo de relaciónentre los conjuntos A y B cuya función característica seríaµA → B(x , y) y representa lo que conocemos como implicaciónlógica. La elección apropiada de esta función característicaestá sujeta a las reglas de la lógica proposicional.Existe un isomorfismo entre la teoría de conjuntos, la lógicaproposicional y el álgebra booleana que garantiza que cadateorema enunciado en una de ellas tiene un homólogo en lasotras dos.




Fundamentos de lógica proposicional

Lógica clásica: una proposición sólo puede ser cierta o falsa,pueden combinarse usando tres operaciones fundamentales:

Conjunción (p ∧ q): las dos proposiciones son ciertassimultáneamenteDisyunción (p ∨ q): cualquiera de las dos proposiciones esciertaImplicación (p → q): el cumplimiento de una de lasproposiciones tiene como consecuencia el cumplimientode la otra; toma la forma de una regla si-entonces. La partede la regla ”si u es A“, es el antecedente o premisa de laregla, mientras que la parte encabezada por “entonces ves B“, es el consecuente o conclusión de la regla.negación (∼ p) que invierte el sentido de la proposición




Tabla de verdad




Equivalencia de operadores




Equivalencia con operadores algebraicos




Tautología

Una tautología se define como una proposición formada por lacombinación de otras proposiciones y cuya verdad esindependiente de la certeza o falsedad de las proposicionesque la forman. La tautología más importante para el ámbito enel que trabajamos es:

que también puede ser expresada como:

Las tautologías permiten expresar la función característica dela relación de implicación p → q en términos de las funcionescaracterísticas de p,q,∼ p y ∼ q.




Reglas de inferencia

En la teoría clásica proposicional existen dos importantesreglas de inferencia, el Modus Tollens y el Modus Ponens:

Modus Ponens o razonamiento directo:Premisa 1: “x es A ”Premisa 2: “SI x es A, ENTONCES y es B ”Consecuencia:“y es B ”El Modus Ponens está asociado a la implicación “A implicaB ”(A→ B) y en términos de lógica proposicional seexpresa: (p ∧ (p → q))→ q.




Reglas de inferencia

El Modus Tollens o razonamiento inverso que puederesumirse de siguiente forma:Premisa 1: “y es No B ”Premisa 2: “SI x es A ENTONCES y es B ”Consecuencia: “x es NO A ”En términos de lógica proposicional esto se expresa:(q̄ ∧ (p → q))→ p

El Modus Ponens es el utilizado en las aplicaciones de lalógica a la ingeniería ya que conserva la relación causa-efectomientras que el Modus Tollens apenas se utiliza.




Implicación difusa

La teoría de la lógica difusa parte y toma los conceptosfundamentales de la lógica clásica.En lógica difusa la proposición “SI u es A, ENTONCES v esB”donde u ∈ U y v ∈ V , tiene asociada una funcióncaracterística µA → B(x , y) que toma valores en el intervalo[0,1]Algunos ejemplos de esto son:




Implicación difusa

En lógica difusa el Modus Ponens se extiende a lo que sellama Modus Ponens Generalizado y que puede resumirse dela siguiente forma:Premisa 1: “u es A∗ ”Premisa 2: “SI u es A ENTONCES v es B ”Consecuencia: “v esA∗ ”En donde el conjunto difuso A∗ no tiene por qué sernecesariamente el mismo que el conjunto difuso A delantecedente de la regla y el conjunto difuso A∗ tampoco tienepor qué ser necesariamente el mismo que el conjunto difuso Bque aparece en el consecuente de la regla.




Implicación difusa

En lógica clásica una regla se ejecuta sólo si la primerapremisa es exactamente la misma que el antecedente dela regla y el resultado de cada regla ejecutada es exacto alconsecuenteEn lógica difusa, una regla se ejecuta si existe un grado desimilaridad distinto de cero entre la primera premisa y elantecedente de la regla y el resultado de la ejecución de laregla es un consecuente que tiene un grado de similaridaddistinto de cero con el consecuente de la regla.




Implicación difusa

El Modus Ponens generalizado es una composición difusa enla que la primera relación difusa es el conjunto difuso A∗ y quepuede expresarse:

En las aplicaciones de la lógica difusa a la ingeniería la funcióncaracterística de la implicación se construye con losoperadores mínimo y producto, los más simples y conservan larelación causa-efecto, tendremos dos opciones:




Reglas difusas

Una regla difusa base es un conjunto de reglas SI-ENTONCESque pueden ser expresadas de la siguiente forma:




Reglas difusas

Esta regla tiene además la particularidad de que es un reglamulti antecedente; este tipo de reglas, que combina variasvariables en el antecedente, es el más utilizado en el diseño desistemas difusos. Un sistema difuso estará formado por variasreglas difusas base con diferentes consecuentes , ya que unaregla con multi antecedente y multi consecuente siempre podráser descompuesta en un conjunto de reglas base con multiantecedente pero un solo consecuente.




Reglas difusas

Existen dos caminos para obtener el conjunto de reglascorrespondiente a un conjunto de datos numéricos:

Dejar que los datos establezcan los conjuntos difusos queaparecen en los antecedentes y los consecuentesPredefinir los conjuntos difusos para antecedentes yconsecuentes y luego asociar los datos a esos conjuntos




Reglas difusas

Para llegar a obtener el conjunto completo de reglas quemodelan un problema se puede partir de considerar todas lascombinaciones de reglas Pt que es posible establecerteóricamente, entre el número de antecedentes p y el númerode conjuntos difusos de entrada Ap considerados para cadaantecedente. Así, para cada consecuente, el número teórico dereglas posibles será:

Entre estas Pt reglas posibles para cada consecuente, habráalgunas sin sentido físico y otras que no se ajusten al problemaa resolver. Se deberán seleccionar aquellas reglas másadecuadas al problema que se considera.




Diagrama en bloques de un sistema de lógica difusa




Elementos del diagrama en bloques de un sistema delógica difusa

BLOQUE DIFUSOR: A cada variable de entrada se le asigna un gradode pertenencia a cada uno de los conjuntos difusos, mediante lasfunciones características asociadas a estos conjuntos.Entradas:valores concretos de las variables de entrada. Salidas: gradosde pertenencia a los conjuntos difusos considerados.

BLOQUE DE INFERENCIA: Relaciona conjuntos difusos de entrada yde salida, representa a las reglas del sistema. Entradas:conjuntosdifusos (grados de pertenencia), Salidas: conjuntos difusos, asociadosa la variable de salida.

DESDIFUSOR: A partir del conjunto difuso obtenido en el mecanismode inferencia y mediante los métodos matemáticos de desdifusión, seobtiene un valor concreto de la variable de salida, es decir, el resultado.




Mecanismos de inferenciaRealizar un mapeo de los conjuntos difusos de entrada a los conjuntos difusos de salida. Cada regla esinterpretada como una implicación difusa. Se realiza la “traducción matemática” de las reglas difusas: estas reglasmodelan el sistema. Las reglas más utilizadas toman la forma:

Donde la implicación de cada regla (el conectivo lógico ENTONCES) es un conjunto difuso cuya funcióncaracterística sería:

El resultado de evaluar el multi-antecedente también resultaría un conjunto difuso con función característica:

donde * representa una t-norma.




Mecanismos de inferencia

Y finalmente, el conjunto difuso de salidaB = Ax ◦ [R1,R2, ...,Rm], es el resultado de la agregación detodas las reglas que componen la regla base, es decir, de lacombinación de los conjuntos difusos Bm resultantes de todaslas reglas. Esta combinación se realiza generalmente medianteuna t-conorma ya que, aunque no hay una razón teóricaconvincente que argumente que sea ésta la única manera dehacerlo (de hecho existen y funcionan los sistemas difusosaditivos y la adición no es una t-conorma), en aplicaciones a laingeniería se obtienen resultados correctos y razonablesusando este tipo de operadores. Entonces concluimos que:B = B1 ⊕ B2 ⊕ ...⊕ BM .




Mecanismos de inferencia

Para procesar la información contenida en las reglas y obtenerun resultado se deben elegir los operadores matemáticos quecorresponden a los siguientes operadores lógicos:

Los conectivos lógicos entre antecedentes, es decir, losoperadores Y (AND, *), O (OR, ⊕) y No (NOT, )̄ “El operador lógico ENTONCES (→): implicación.Esto debe realizarse para un conjunto de reglas mediante:La unión del resultado de todas las reglas (⊕): agregación.B = B1 ⊕ B2 ⊕ ...⊕ BM




Conectivos lógicos entre antecedentes

Tablas clásicas de verdad de los operadores clásicos AND, ORy NOT




Equivalencias entre conectivos lógicos entreantecedentes

Se establece una equivalencia entre la lógica clásica y la lógicadifusa, teniendo en cuenta que, la equivalencia de estas tablasde verdad en lógica difusa debe preservar estos resultados yextender los demás valores a números reales entre 0 y 1.Como ya hemos visto anteriormente, una posibilidad para estaequivalencia consiste en la siguiente generalización de losconectivos lógicos:

AND⇒ t-normaOR⇒ t-conormaNOT⇒ operadores negación




Tablas de verdad para la lógica difusa




Expresión gráfica de las tablas de verdad





Se establece una equivalencia entre la lógica clásica y la lógicadifusa, teniendo en cuenta que, la equivalencia de estas tablasde verdad en lógica difusa debe preservar estos resultados yextender los demás valores a números reales entre 0 y 1.Como ya hemos visto anteriormente, una posibilidad para estaequivalencia consiste en la siguiente generalización de losconectivos lógicos:

AND⇒ t-norma (más sencillos y usados: mínimo yproducto algebraico)OR⇒ t-conorma (más usado el máximo)NOT⇒ operadores negación (el más usado lacomplementariedad aditiva)





Se establece una equivalencia entre la lógica clásica y la lógicadifusa, teniendo en cuenta que, la equivalencia de estas tablas deverdad en lógica difusa debe preservar estos resultados y extenderlos demás valores a números reales entre 0 y 1. Como ya hemosvisto anteriormente, una posibilidad para esta equivalencia consisteen la siguiente generalización de los conectivos lógicos:

AND⇒ t-norma (más sencillos y usados: mínimo y productoalgebraico)

OR⇒ t-conorma (más usado el máximo)

NOT⇒ operadores negación (el más usado lacomplementariedad aditiva)

Sustituyendo en cada regla los conectivos lógicos entreantecedentes por uno de sus operadores lógicos equivalentes, sepodrá operar con los escalares que representa cada antecedente yobtener como resultado del multi-antecedente un escalar.Dr. Rodolfo García, PhD Sistemas Expertos II




Considerando que el antecedente de una regla tiene la forma:“Si x1 es A1 y x2 es A2 y x3 es A3 ........si xp es Ap......”Traduciendo el operador lógico “y ”mediante la operaciónmínimo (min), el antecedente será el resultado de:

Traduciendo el operador lógico “y ”mediante el producto (prod),el antecedente será el resultado de:




Implicación difusa. Superficies de implicación

El conectivo lógico ENTONCES representa la implicación entreantecedente y consecuente. Para mantener la equivalenciaentre lógica clásica y lógica difusa, se debe traducir por unat-norma (las más usadas el mínimo y el producto algebraico yaque preservan la relación causa-efecto y el sentido físico) Encada regla, la implicación se realiza de la siguiente manera:

Para el operador mínimo :

Para el operador producto:

Gráficamente, la funcióncaracterística del conjunto difuso de salida quedará

escalada según el valor del antecedente.Dr. Rodolfo García, PhD Sistemas Expertos II



Implicación difusa. Superficies de implicación

Cada regla define una superficie de implicación: para cadaposible valor del antecedente, se puede obtener el conjuntodifuso que resulta de realizar la implicación; la superposiciónde todos estos conjuntos difusos forma la superficie deimplicación de esa regla.Todas las reglas que tienen el mismo consecuente, (elegido unoperador para realizar la implicación), definirán la mismasuperficie de implicación ya que la superficie se construye paratodos los valores que puede tomar el antecedente.Al particularizar la implicación para el antecedente resultantede cada regla, se obtiene el resultado concreto de esa regla,representado en la superficie de implicación por la intersecciónde esta superficie con el plano vertical que pasa por el valor delantecedente.




Agregación lógica

Una vez evaluadas todas las reglas y obtenidos los conjuntosdifusos de salida modificados, hay que realizar la agregaciónde todas las reglas para obtener un resultado único de laactuación de todas ellas [51]. Esta agregación es una uniónlógica y se traduce por una t-conorma: máximo o sumaalgebraica, y se obtiene el conjunto difuso de salida, asociadoa la variable de salida:

Para el operador máximo para realizar la agregación:

Para el operador suma:




Métodos de desdifusión

El bloque desdifusor realiza la función contraria al difusor.El difusor tiene como entradas valores concretos de lasvariables de entrada y como salidas grados depertenencia a conjuntos difusos (entre 0 y 1).La entrada al bloque desdifusor es el conjunto difuso desalida, resultado del bloque de inferencia y la salida es unvalor concreto de la variable de salida. Para obtener, apartir del conjunto difuso de salida que resulta de laagregación de todas las reglas, un resultado escalar, seaplican métodos matemáticos.





El bloque desdifusor realiza la función contraria al difusor.

Se elige como valor para la variable de salida aquel para el cualla función característica del conjunto difuso de salida esmáxima. En general no es un método óptimo, ya que este valormáximo puede ser alcanzado por varias salidas.

Método del centroide: utiliza como salida del sistema el centrode gravedad de la función característica de salida.Matemáticamente :

Es el más utilizado en aplicaciones de ingeniería, se obtieneuna solución única





Método de la altura: se calcula para cada regla el centro degravedad del conjunto difuso de salida Bm y después se calculala salida del sistema como la media ponderada:


Sistemas experts

Documents

Transcript of Sistemas experts