Sistemas Logicos y Conjuntos 2014 2015
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sistema de numeración binaria
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Tomado del libro mejorado Matemticas Elementales para Administracin, Computacin e Ingenieras Autor: Lcdo. Pedro A. Moya Bustillos. M.Sc.Unidad2
2. SISTEMAS LOGICOS Y CONJUNTOS
2.1 Lgica Proposicional
2.2 La conjuncin
2.3 La disyuncin
2.4 Disyuncin exclusiva
2.5 La condicional
2.6 La bicondicional
2.7 Diagramas de Karnaugh
2.8 Circuitos lgicos
2.9 Algebra de proposiciones y de conjuntos
2.10 Relaciones y dgrafos
Objetivos
Determinar si las proposiciones falsas o verdaderas pertenecen a la conjuncin, disyuncin, condicional o bicondicional.
Elaborar tablas de verdad, diagramas de Karnaugh y circuitos lgicos y relacionar con las operaciones de conjuntos.
Simplificar polinomios booleanos, utilizando propiedades de las proposiciones.
Lectura: lea el texto de Aristteles y la lgica, subraye palabras clave y busque el significado de cada una de ellas. Comente en grupo de tres estudiantes.
ARISTOTALES Y LA LGICA
En un pueblo de pastores y agricultores a orillas del mar Mediterrneo, en el pais que hoy conocemos como Grecia, naci una de la civilizaciones ms importantes de toda la historia de la humanidad, cuna de la cultura occidental. Maravillados por el conocimiento y por la esttica los griegos dedicaron mucho de su tiempo a la escultura, la poesa, el teatro, la filosofa y las matemticas.
En matemticas y particularmente en la lgica es inevitable mencionar a Aristteles (384 322 a. de C). Este griego naci en Macedonia, era ante todo un cientfico de vocacin y un observados meticuloso de la naturaleza. La gran importancia de Aristteles en la cultura occidental se debe al hecho de que fue l quien cre el lenguaje profesional que las distintas ciencias emplean hoy.
Para Aristteles, el moderador de todas las actividades humanas era el pensamiento. Consideraba que no bastaba con pensar de cualquier manera para que lo pensado sirviera para algo productivo, sino que si pensaba en un tema especfico, siguiendo lo que el llam Leyes Universales, lo pensado era realmente fructfero y contribua al desarrollo de las ciencias. A estas Leyes Universales las llam lgica. Desde entonces, y hasta hoy, la lgica juega un papel muy importante como apoyo en el desarrollo de diversos campos de conocimiento entre ellos la filosofa, la informtica y la matemtica misma.
2.1 LGICA PROPOSICIONAL
En el diario trajinar, la comunicacin es lo primero que encuentra en el hogar, en el trabajo, deportes, etc., para expresar ideas, nombrar objetos, manifestar sentimientos escribiendo o hablando para informar, cuestionar, exclamar, exteriorizar angustias o alegras sobre las cosas y actos que vivimos cada momento. Estas manifestaciones permiten expresar mediante oraciones enunciativas, interrogativas, imperativas y exclamativas.
En el campo matemtico, particularmente en la lgica de proposiciones le interesa las oraciones enunciativas.
Una proposicin es una oracin enunciativa o enunciado afirmativo o negativo.
Ejemplo 2.1 Dadas las oraciones siguientes determinar si son verdaderas o falsas:
El 24 de mayo de cada ao se celebra la Batalla del Pichincha.
12 es un nmero primo.
Manta es un cantn de la provincia de Manab.
ests triste!
Parece que va a llover
Solucin: la primera es verdadera, porque es una fecha cvica en el Calendario Histrico Ecuatoriano. La segunda es falsa, porque 12 es un nmero divisible. La tercera es verdadera porque Manta pertenece a la divisin poltica de la provincia de Manab. La cuarta y la quinta no se puede decir lo mismo que las anteriores, puesto que depende de la persona que lo diga, pues otra puede decir lo contrario. De lo expuesto se puede decir que:
Una proposicin es un enunciado con un solo valor de verdad.
Proposiciones simples y proposiciones compuestas.
Las proposiciones tienen dos elementos: el sujeto llamado trmino y el predicado o condicin que debe cumplir el trmino.
Proposicin simple es la que est formada por una sola afirmacin, es decir no tiene operador lgico: p: 2+2 = 4
Proposicin compuesta es la que tiene dos o ms enunciados con varios operadores lgicos:
Ejemplo 2.2. La Facultad de Ingeniera de Sistemas es una unidad acadmica de la Universidad Laica Eloy Alfaro de Manab. ULEAM.
Solucin:
El trmino es la Facultad de Ingeniera de Sistemas y el predicado es unidad acadmica de la ULEAM.En nuestras actividades diarias es comn expresar ideas como: Mara tiene ojos verdes y un rostro hermoso.
La proposicin dada se puede descomponer en dos:
Mara tiene un rostro hermosoMara tiene ojos verdes
y
ConectivoProposicin simpleProposicin simple
Este ejemplo demuestra una proposicin compuesta
GUA DE ESTUDIO 7
Objetivo
Identificar las proposiciones simples y compuestas en el campo de la lgica proposicional
Actividades
Lea cada uno de los literales, analice y discuta cada una de las proposiciones dadas:
1. Seale cules de los enunciados siguientes son proposiciones:
a. Portoviejo es capital de Manab.b. Hay mucho sol?c. a es la primera vocald. el cantante guayaquileo Julio Jaramillo L. es el rey de la balada.
2. Determinar cules de las siguientes proposiciones son verdaderas
a. Un da tiene 24 horas.b. La primera letra del alfabeto griego es c. Una hectrea tiene 8600 m2d. La semana tiene 7 das.3. En las siguientes proposiciones identifique el trmino y el predicado
a. El nmero 81 es divisible por 3b. La provincia de Manab tiene 22 cantonesc. El smbolo qumico del cloro es Cl.d. La moneda del Ecuador en 1998 fue el sucre.e. La ballena es un mamferof. Pedro naci en Latacunga y vive en Mantag.
h. 5 es mayor que 3i. 3 es menor que 2j. 7 es menor que 1 k. 2 es mayor que 1 y menor que 5
4. Escriba seis proposiciones simples y forme tres proposiciones compuestas con los conectivos y, o.
2.1.1 NEGACIN DE UNA PROPOSICIN
Matemticas es la ciencia abundante se signos y smbolos, lo que hace que tenga un carcter exacto tanto en su escritura como en su lenguaje. Las proposiciones se simbolizan con las letras minsculas, especialmente se usan p, q, r, s y t. No se descarta el uso de las letras maysculas A, B, C y D, cuando se trata del estudio del lgebra de proposiciones. Por el momento se utilizarn las letras minsculas.
Ejemplo 2.3:
p: Ecuador pas amaznico.q: El cobre es un metal r: Manta fue una poblacin de Montecristi.
Para negar estas proposiciones se utiliza el smbolo , escribiendo antes de la letra que representa la proposicin.Del ejemplo anterior r: Manta fue una poblacin de Montecristir: Manta no fue una poblacin de Montecristi.
Para la negacin tambin se utilizan los smbolos ~ y el signo ( - ) sobre la letra, de esta forma . Puede leerse: no es cierto que, es falso que, al principio de la oracin o tambin un no antes del predicado como en el caso anterior.
La tabla de verdad para la negacin es:
pp
VF
FV
Escribir la negacin en cada una de las proposiciones:
El metro es una medida de longitud. Jos Mara Velasco Ibarra fu 5 veces Presidente del Ecuador. 1998 es un ao devastador para el Litoral Ecuatoriano El mes no tiene 30 das. La longitud de la circunferencia es igual a El tiempo es una magnitud fundamental La aceleracin no es una magnitud derivada. La candela es la unidad de la magnitud fundamental intensidad luminosa. El kilogramo sobre metro cubico es el nombre de la unidad de densidad. El vatio es la unidad de potencia.
2.1.2 PROPOSICIONES ABIERTAS Y PROPOSICIONES CERRADAS
Dadas las proposiciones, analizar los contenidos.
p: El Dr. Fabin Alarcn es presidente interino del Ecuador en 1998.
q: f(x) = x + 5
La proposicin p se refiere a una persona que es Fabin Alarcn, quien determina como presidente interino del Ecuador en 1998, lo cual es cierto. Esta proposicin por lo tanto es cerrada.
La proposicin q es una funcin cuya variable es x; su valor no esta determinado con exactitud. Esta proposicin es abierta.
En resumen:
Una proposicin es cerrada cuando el trmino es constante
Una proposicin es abierta cuando su trmino es variable es decir cuando no est determinado.
Ejemplo 2.4: Identificar las proposiciones cerradas o abiertas:
p: x es capital del Ecuador. q: Guayaquil es conocida como la capital econmica del Ecuador. r: n es el primer puerto pesquero del Ecuador. s: f(2) = 2 + 3 t: el nmero 21 es divisible por 3. u: m es cantn de la provincia de Manab es la sultana del caf. v: Latacunga es capital de la provincia de Cotopaxi.
Solucin:
Las proposiciones p, r y u son abiertas
Las proposiciones q, s, t y v son proposiciones cerradas.
Las proposiciones abiertas pueden constituirse en cerradas sustituyendo por Quito, Manta y Jipijapa respectivamente en p, r y u.
2.1.3 PROPOSICIONES COMPUESTAS
2.1.3.1 Operadores lgicos
Los operadores lgicos son:
Conjuncin
y (AND)
Disyuncin
o ( OR)
Disyuncin exclusivao
Condicional
Si entonces
Bicondicional
Si y solo si
Negacin
No (NOT)
Cuadro 2.1
Ejemplo 2.5: Analice y busque los operadores lgicos de cada una de las expresiones siguientes:
voy a comer o a escribir.
El gato negro corre y malla
Si Mara estudia matemticas entonces va al cine.
Un animal bala si y solo si es oveja.
Solucin:
Las cuatro proposiciones estn formadas cada una por dos proposiciones simples y conectadas por la disyuncin o (OR), la conjuncin y (AND), el condicional entonces y la doble condicin (bicondicional) si y solo si. Estas constituyen las proposiciones compuestas, los smbolos estn en la tabla anterior.
2.2 CONJUNCIN
La conjuncin es una combinacin de dos o ms proposiciones unidas por el conectivo y. Tabla de verdad de una conjuncin, y (AND).
pq
VVV
VFF
FVF
FFF
Tabla 2.1
Negacin de la conjuncin NANDpq
VVVF
VFFV
FVFV
FFFV
Tabla 2.2
Punto de Apoyo: se lee p y q; p pero q
2.10.1 Conjuncin negativa
La conjuncin negativa de dos proposiciones p y q est representada por: p q y se lee ni p, ni q o no p y no q. 2.3 DISYUNCIN
La disyuncin es una combinacin de dos o ms proposiciones conectadas por o
Tabla de verdad de una disyuncin o, (OR)pq
VVV
VFV
FVV
FFF
Tabla 2.3
Negacin de la disyuncin, NORpq
VVVF
VFVF
FVVF
FFFV
Tabla 2.4
Analice la tabla siguiente y relacione con las anteriores
pq
VVFFFF
VFFVFV
FVVFFV
FFVVVV
Se establece que: , de igual manera
Punto de apoyo: La negacin de la negacin de una proposicin es la misma proposicin
Ejemplo 2.6: Sean p: Carlos es alto y q: Carlos es galn. Escribir los enunciados en forma simblica con p y q.
a. Carlos es alto y galn.
b. Carlos es alto pero no es galn.
c. Es falso que Carlos es bajo o galn.
d. Carlos no es alto ni galn.
e. Carlos es alto o Carlos es bajo y galn.
f. No es verdad que Carlos es bajo o que no es galn.
Solucin:a.
b.
c.
d.
e.
f.
Ejemplo 2.7: Hallar la negacin de cada proposicin
p: El monte ms elevado de Amrica del Sur es el Aconcagua y est ubicado en Chile.
q: El domingo prximo voy a nadar o voy a jugar futbol.
Solucin:
La primera conjuncin es verdadera, las dos proposiciones son ciertas y su negacin es: El monte ms elevado de Amrica del Sur no es el Aconcagua o ste no queda en Chile, esta disyuncin es falsa.
La segunda es una proposicin abierta, el valor de verdad est condicionada de lo que haga ese da; no es ni falsa ni verdadera por hoy, su negacin ser una conjuncin. El domingo prximo voy a nadar y no voy a jugar futbol.
Ejemplo 2.8: Analice el siguiente enunciado:
Es falso que juan es alto y Carlos es bajo
Solucin: Este enunciado se puede escribir o tambin
2.4 DISYUNCIN EXCLUSIVA
El operador lgico disyuncin exclusiva (o exclusivo), tiene como smbolos XOR, EOR, EXOR, o .
En la disyuncin exclusiva dos proposiciones p y q tienen un valor verdadero, si y solo si cuando:g. p tiene un valor verdadero y q tiene y valor falso.
h. p tiene un valor falso y q tiene un valor verdadero
Tabla de verdad de la disyuncin exclusiva XOR
pqp q
VVF
VFV
FVV
FFF
Tabla 2.5Una disyuncin exclusiva se puede representar utilizando disyunciones y conjunciones, de esta forma:
(pq) (q)
Observemos estas proposiciones
Estoy en Manta o estoy en Portoviejo
Trabajo o voy a jugar futbol
Pasado maana le presto el libro a Juana o le presto a Javier
Como se ve las oraciones son acciones que solo se puede realizar una a la vez, en el primer caso no se puede estar en dos lugares a la vez
El operador Disyuncin exclusiva es representado en el lenguaje java por el smbolo: ^.
Sintaxis: a ^ b
El uso de la Disyuncin Exclusiva en programacin
Ejemplo 2.9: La Empresa industrial ALES ofrecer descuentos a sus clientes minoristas de categora A y con residencia en Manta o a sus clientes de categora B con residencia en Chone.Como se puede ver un cliente de categora A solo tiene un lugar de residencia registrado en los datos de la empresa industrial ALES. La XOR o disyuncin exclusiva se puede relacionar con la operacin Unin exclusiva entre conjuntos; en el diagrama de Venn se representa, aspq
p q
Propiedades de las proposiciones conjuntivas y disyuntivas
Es necesario conocer desde aqu las leyes que se dan en el lgebra de proposiciones con el fin de familiarizar al estudiante en el manejo de las expresiones matemticas y relacionar con leyes de las operaciones aritmticas y la de los conjuntos.
No.PROPIEDADESCONJUNCINDISYUNCIN
1Idempotencia
2Asociativa
3Conmutativa
4Distributiva de la conjuncin con respecto a la disyuncin
5
Distributiva de disyuncin con respecto a la conjuncin
6Identidad
7Del complemento
;
8De Morgan
9Absorcin
10Equivalencia
Cuadro 2.2
CONEXIONES
1. El smbolo se puede emplear para definir la unin de dos conjuntos, as:
AB = {x | xAxB}
2. El smbolo se puede emplear para definir la interseccin de dos conjuntos, as:
AB = {x | xA xB}
3. En la diferencia de conjuntos se puede aplicar el smbolo por intermedio de la propiedad de equivalencia, as:
A B = {x | xA xBc}
4. Para definir el complemento de um conjunto A se utiliza tambin el smbolo , as:
Ac = {x | xRe x A}
5.
Coincidentemente muchas de las propiedades de las proposiciones llevan el mismo nombre en las operaciones de conjuntos, basta sustituir los smbolos: por , por , A por Ac, V por Re, F por , etc.
6. Tambin se puede escribir por * ; por +
Relacin entre proposiciones, conjuntos y aritmtica
Proposiciones Conjuntos Aritmtica
ABABA B
ABABA+B
Cuadro 2.3
A Ac
V (tautologa)Re (conjunto referencial)
F (falacia) (conjunto vaco)
(AB)(AB)c
AA = VAc A= Re
Cuadro 2.4
Ejemplo 2.10: dadas dos proposiciones abiertas. Encontrar la conjuncin y el valor de verdad.Sean las proposiciones:
q(x) = x es un nmero primo mayor que 5 y menor que 17;
Entonces,
es la proposicin.
Para cumplir con la proposicin conjuntiva es necesario que las dos proposiciones sea verdaderas, para lo cual, el conjunto solucin de ; el conjunto solucin de . Se concluye que es . Es el conjunto formado por los elementos comunes en P y Q
GUIA DE ESTUDIO 8Objetivo
Fundamentar las propiedades de las proposiciones para la aplicacin exitosa en problemas relacionados a la lgica matemtica.
Actividades
En el tiempo destinado al trabajo autnomo, desarrollar los ejercicios y en lo posible verifique los resultados.
1. En los cuatro enunciados, identifique el enunciado verdadero
Portoviejo est en Ecuador y 3 + 2 = 4
Portoviejo est en la provincia de Esmeraldas y 3 + 2 = 5
Portoviejo est en la provincia de esmeraldas y 3 + 2 = 4
Portoviejo est en Ecuador y 3 + 2 =5
2. Elabore una tabla de verdad en cada proposicin
a.
b.
c.
3. Construya dos proposiciones compuestas con las caractersticas parecidas del numeral anterior y elabore tablas de verdad, discuta con el estudiante ms cercano sobre su desarrollo y verifique sus resultados.
4. Realice un comentario personal o grupal sobre las propiedades de las proposiciones.5. Sean p: Hace calor y q: Est lloviendo. Describir con un enunciado verbal y escrito, las siguientes proposiciones:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
6. Encuentre el conjunto solucin de p(x) y q(x), dadas las proposiciones siguientes:
7. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a. No es verdad que 4 + 3 = 7 y 9 -2 = 7
b. 25 es un nmero divisible por 5 y 8 no es par
c. 15 7 = (5 3)(17 13) o (- 4)(2) es negativo
d. Un rectngulo tiene 3 ngulos rectos o un rombo tiene tres lados desiguales
Diversin
Una vez encontrado el asesino de Vera, comente con sus compaeros/as de grupo sobre las clases de proposiciones que se dan para llegar a conocer su resultado.
QUIN ASESIN A VERA?
Vera, una de las protagonistas de la obra de teatro ha sido asesinada en su camerino. Los datos que se administra se refiere a la distribucin de los camerinos de cada uno de los cinco actores que participan en la obra, a saber: Vera, Eusebio, Flora, Gustavo y Hortensia
1. El camerino del asesino y el de Vera, son contiguos al al mismo nmero de habitaciones.
2. El camerino de Vera se encuentra al lado de Eusebio y del de Flora.
3. El camerino de Gustavo y el de Hortensia tienen el mismo tamao.
4. El camerino de Flora no es contiguo al camerino de Gustavo
Tomado: Diario el Mercurio Manta Sptimo Da. Suplemento dominical N 1788 de marzo de 1998
2.5 CONDICIONAL
En matemticas generalmente encontramos expresiones como: si x e y son nmeros impares entonces x + y es un nmero par: si entonces
Como se ve las dos proposiciones simples o atmicas estn conectadas con la palabra entonces, si denominamos p: x e y son nmeros impares; q: x + y es un nmero par, se obtiene una nueva proposicin expresada por: si p entonces q, llamada proposicin condicional, cuyo smbolo es ; p es llamada antecedente, hiptesis o premisa y q consecuente, conclusin o tesis.
: Se lee: si p entonces q, p solamente si q, p solo si q, si p, q, q si p, q cuando p, q cada vez que p, q con la condicin de que p, q cuando p, q ya que p, q puesto que p, q debido a que p, q porque p, si tiene q se tiene p, solo si q, p, q pues p, cuando p, q, los p son q, p implica a q; generalmente cuando en una expresin se encuentre causa y efecto.
Qu es una condicional?
La condicional es una operacin entre dos proposiciones simples o atmicas enlazadas por el conectivo condicional si entonces cuyo resultado es una proposicin compuesta.
2.5.1 TABLA DE VERDAD DE LA CONDICIONALPUNTO DE APOYO:
pq
VVV
VFF
FVV
FFV
Tabla 2.6
Ejemplo 2.11: entre la relacin, nacionalidad nacimiento de una persona. Construir dos casos de proposiciones condicionales.
Al decir Pedro es ecuatoriano, se puede escribir: si Pedro naci en Ecuador entonces es ecuatoriano.
Al decir Juan es chileno, se puede escribir: si Juan naci en Chile entonces es chileno.
Ejemplo (Tomado de Matemticas Bsicas, ESPOL, pg. 35)
: Todos los hombres son mortales
: Scrates es hombre
C: Scrates es mortal
En este razonamiento conocido mucho tiempo, la ltima proposicin es la conclusin a partir de las premisas dadas. Para que un razonamiento sea vlido la comunicacin hipottica debe cumplir
(Una tautologa)
En casos de razonamiento en los que las premisas son predicados con cuantificadores diremos simplemente que son vlidos si los enunciados hipotticos:
Formada por las premisas y la conclusin C son expresiones vlidas. De nuestro ejemplo, podemos encontrar los predicados.
h(x) = x es hombrem(x) = x es mortal
Se considera que Re es el conjunto de personas y animales. Las premisas se traducen como sigue:PUNTO DE APOYO:
, se lee: para toda x
, se lee: para algn x
Y la conclusin
Por definicin, la conclusin ser lgicamente vlida si la expresin:
Es vlida; esto es, cualquiera sea la interpretacin Re escogida la enunciacin hipottica debe ser verdadera:
Para el conjunto Re decir que , equivale a decir que :
En el ejemplo, , por tanto:
Se conoce (segunda premisa , por lo que y de esta manera:
Es claro que significa que m(S) es verdad. Dicho de otra manera, si el antecedente es verdadero, el consecuente seguramente lo es.
2.5.2 VARIACIONES DE LA CONDICIONAL
La condicional o implicacin es una funcin importante en los razonamientos lgicos, los cuales son presentados en forma: directa, recproca, contraria o inversa y contrarecproca.
Ejemplo 12. Dada la proposicin: Todo hombre que es mantense, es manabita. Escribir la implicacin directa, recproca contraria y contrarecproca.
Solucin:
Todo hombre que es mantense, es manabita
La implicacin directa es: ; .
Todo hombre que es manabita, es mantense
Es implicacin recproca, simblicamente representada por ; .
Todo hombre que no es mantense, no es manabita.
Al negar los dos elementos de la implicacin directa, se obtiene la implicacin contraria o inversa: ;
Todo hombre que no es manabita, no es mantense
Al negar los elementos de la recproca, el resultado es una implicacin contrarecproca: ;
Conclusin:
Un enunciado condicional y su recproco o inverso no son lgicamente equivalentes.
Un enunciado condicional y su contrarecproca son lgicamente equivalentes.
Un enunciado recproco y su inverso son lgicamente equivalentes. Lea, analice y saque conclusiones en las tablas siguientes:
pqr
VVVVV
VVFFV
VFVVF
VFFFV
FVVFV
FVFFV
FFVFV
FFFFV
pqCondicional directaRecproca
Inversa
Contrarecproca
VVVVVV
VFFVVF
FVVFFV
FFVVVV
2.5.3 CONDICIN NECESARIA Y SUFICIENTE
Teniendo como partida el enunciado:
Un comerciante tiene cierto nmero de quintales de arroz, de tal forma que: si agrupa de 2 en 2, le sobra 1, si agrupa de 3 en 3, le sobra 1, pero si agrupa de 4 en 4, no le sobran. Entonces, Cul es el nmero de quintales de arroz?.
Razonamiento:
Se puede entender si el comerciante agrupa de 2 en 2, sobra 1, por lo cual no es mltiplo de 2, si agrupa de 3 en 3, le sobra 1, por lo tanto no es mltiplo de 3, pero si agrupa de 4 en 4, no le sobran, por lo tanto es mltiplo de 4.Parece que algo no anda bien, porque el nmero de quintales de arroz es mltiplo de 4, tambin debe ser mltiplo de 2, debido a que 4 es mltiplo de 2. Luego el problema no est correctamente planteado.
Esto quiere decir que las condiciones se contradicen y el problema no tiene condiciones claras, por lo consiguiente no se puede calcular el nmero de quintales de arroz que tiene el comerciante.
Desde el punto de vista lgico, suponiendo que n es un nmero positivo bien definido, se tendr la propiedad siguiente: si n es mltiplo de 4, entonces n es mltiplo de 2, lo cual se puede expresar , donde p: n es mltiplo de 4 y q: n es mltiplo de 2.
Al ser la proposicin verdadera, la condicin n es divisible para 4 es suficiente para que n sea divisible para 2; esto quiere decir, que basta que n sea divisible para 4, para que este mismo n sea divisible entre 2. Esto indica que p es condicin suficiente para q.
Por otra parte, la condicin n es divisible para 2 es necesaria para que n sea divisible para 4; esto dice, que se requiere que n sea divisible entre 2, para que ese mismo n sea divisible para 4. Esto significa que q es condicin necesaria para p
Ejemplo 2.13:
Las proposiciones siguientes son verdaderas:
Si n es divisible para 28, n es divisible para 2 Si n es divisible para 14, n es divisible para 2 Si n es divisible para 28, n es divisible para 14
Parafraseando las proposiciones, se tiene:
n es divisible para 28, es condicin suficiente para que n sea divisible para 2
n es divisible para 2, es condicin necesaria para que n sea divisible para 14
n es divisible para 14, es condicin necesaria para que n sea divisible para 28PUNTO DE APOYO:
Cuando una proposicin es verdadera, se puede parafrasear: se necesita p para que q, para que suceda p, es necesario que suceda a q, q con la condicin de que p, entre otras formas
FORMA SIMBLICATAUTOLOGA
Trivial
Adicin
Simplificacin
Modus Ponendo PonensSuposicin del Antecedente
Modus Tonendo TollensNegacin del Consecuente
Silogismo Disyuntivo
Dilemas Costructivos
Transitividad o Silogismo Hipottico
CUADRO 2.5: Leyes de las implicaciones lgicas
Para demostrar estas propiedades, se pueden utilizar tablas de verdad o mediante la simplificacin algebraica con la utilizacin de propiedades.
Ejemplo 2.14:
Demostrar la equivalencia lgica , utilizando algebra
=
=
=
=
=
=
=
Argumentos Argumento es un conjunto de premisas seguidas por una conclusin. Un argumento puede ser falso o verdadero, y es demostrado o verificado mediante la aplicacin de propiedades, tablas de verdad, diagramas de Veen, diagramas de Karnaugh, etc.
Ejemplo 2.15: Determinar si el argumento es verdadero o falso
Si Mara estudia Matemticas entonces Carlos estudia Fsica. Si Carlos no estudia Fsica entonces Manuel se dedica al atletismo. Manuel no se dedica al atletismo. Por lo tanto Mara no estudia Matemticas
Solucin:
p: Mara estudia Matemticas
q: Carlos estudia Fsica
r: Manuel se dedica al atletismo
El argumento en forma simblica es:
Propiedad de equivalencia
Propiedad de complemento
Propiedad distributiva
Propiedad distributiva
Idempotencia, compl.
propiedad de identidad
propiedad de equivalencia
Ley de Morgan
Ley de Morgan
Propiedad de absorcin
Propiedad asociativa
El argumento no es verdadero, puesto que realizando una tabla de valores, se tiene:
p
q
r
VFVFVV
VFVFFF
VFFVVV
V FFVFV
FVVFVV
FVVFFV
FVFVVV
FVFVFV
El resultado no es una tautologa por lo tanto el argumento es falso
GUA DE ESTUDIO 9
Objetivo Utilizar el conocimiento de las proposiciones condicionales para resolver ejercicios
Actividades.
El estudiante en su trabajo autnomo debe resolver los ejercicios siguientes:
1. Escriba la inversa o recproca de cada una de las siguientes expresiones:
a.
b.
c.
2. si 4 + 6 = 10, entonces 12 - 5 = 4 es una implicacin. Escriba las expresiones siguientes:
a. La recproca.b. La contraria o inversa.c. La Contrarecproca
3. Encontrar el valor de verdad, mediante la elaboracin de tablas, las expresiones siguientes:
a.
b.
c.
4. Determinar el valor de verdad de las condiciones siguientes, analizando sus cuatro posibilidades (ver tabla de la condicional):
a. Si Ecuador prospera, entonces el Fenmeno de El Nio es derrotado.
b. Si Barcelona Sporting Club gana en su estadio, entonces es campen de la Copa Toyota Libertadores de Amrica.
c. Si Irak respeta el anti armamentismo, entonces habr paz en Oriente.
d.
Si el smbolo dimensional de potencia es , entonces en vatio es .
5. Establecer si el siguiente razonamiento es verdadero.
: Todos los nmeros racionales son reales.
: Ningn nmero real es complejo
C: Ningn nmero real es complejo
6. Determine si los argumentos son falsos o verdaderos
a. Juan viaja a Portoviejo con la condicin de que Mara viaje a Quito, entonces Juan viaja a Portoviejo.
b. Ni Roberto ni Juana aprueban el semestre, por lo tanto Elena aprueba el semestre.7. Escriba en forma simblica los argumentos siguientes:
a. El Ecuador es pas amaznico y Chile es productor de cobre
b. Si Juan tiene dos dlares, se tiene que Zoila no va al cine. Zoila va al cine.
c. Portoviejo es la capital de Manab, cuando Manta es un puerto martimo.
d. Si Leonidas Proao es parroquia de Montecristi y Tarqui es parroquia de Manta, debido a que Manta es Puerto pesquero.
Facetas
UN ASTEROIDE SE APROXIMA A LA TIERRA
Un asteroide de 1.6 km de ancho pasar cerca de la Tierra en el 2028, advirtieron los astrnomos, podra caer sobre el planeta.
El asteroide que no haba sido detectado hasta ahora; pasar a unos 42.000 km del centro de la Tierra.
Orgenes
Se cree que el asteroide procede del cinturn Marte y Jpiter.
El asteroide ser visible sin gran dificultad desde el norte de Europa, pasar por la rbita de la Luna.
Llamado como asteroide 1997 XF11, estar ms cerca de la Tierra a las 18H30 del jueves 26 de octubre del 2028LunaAsteroideTierra
Distancia de la Luna a la Tierra 384.400 km
Qu ocurrira si cae sobre la Tierra?.
El impacto del asteroide equivaldra al de cientos de bombas atmicas.
Millones de toneladas de materia saldran disparadas a la atmsfera por el golpe.
Terremotos y oleajes masivos devastarn grandes reas.
Residuos derretidos desencadenaran incendios de bosques en todo el globo.
El humo tapara el Sol, lo que enfriara el planeta y formara lluvia cida.
REUTER EL UNIVERSON 178. 19-03-98
2.6 LA BICONDICIONAL
De la lectura anterior se puede extraer el siguiente razonamiento. El planeta Tierra se enfriara si y solo si el humo devastador tapa el Sol.
La expresin si y solo si representa a una equivalencia, cuya notacin es
Por lo tanto se puede decir que la equivalencia es una relacin bicondicional entre dos proposiciones atmicas o moleculares, en otros trminos existe una doble implicacin, as:
Punto de apoyo:Proposiciones atmicas o simples son las ms elementales sin conectivos de enlace. Las proposiciones moleculares o compuestas est formadas por dos o ms proposiciones atmicas
2.6.1 Tabla de verdad
pq
VVVVVV
VFFFVF
FVFVFF
FFVVVV
Tabla 2.7
Como se puede apreciar
Ejemplo 2.16: Analice cada caso y verifique si se trata de una doble implicacin. Establezca el valor de verdad con la respectiva notacin.
a.
b. Juan comete infracciones si y solo si es un mal conductor
Solucin:
a. , el valor de verdad v(p) es V;
, el valor de verdad c(q) es V
Por lo tanto, el valor de verdad de la proposicin molecular
b. Analicemos mediante las cuatro posibilidades:
Si Juan comete infracciones y es un mal conductor, la bicondicional es verdadera.
Si juan comete infracciones y es un buen conductor, la condicional es falsa.
Si Juan no comete infracciones y es mal conductor, la bicondicional es falsa.
Si juan no comete infracciones y es un buen conductor, la bicondicional es verdadera.
Por lo tanto el valor de verdad
Ejemplo 2.17: Construir la tabla de verdad de la proposicin
pq
y
VVFFVFF
VFFVVVV
FVVFVVV
FFVVFVV
Ejemplo 2.18: Simplificar el enunciado: No es verdad que los claveles no son rojos si y solo si las violetas son azules
Sean : los claveles no son rojos; las violetas son azules. El enunciado se puede escribir .
Esto equivale a decir que: los claveles son rojos si y solo si las violetas son azules. Tambin se puede comprobar algebraicamente.
2.6.2 ORDEN DE LOS OPERADORES
Reglas
1. la conectiva predominante es la disyuncin.2. Si la proposicin compuesta est escrita con signos de puntuacin, pueden ser sustituidos por signos.
5 + 2 = 7 o 2 + 5 = 7 y 5 + 1 = 6 se representa , la conectiva predominante es la conjuncin.
Si 3 + 5 = 9 entonces 2 + 7 = 9 y 4 2 = 1, se representa por , la conectiva predominante es la condicional.
3. Si no hay signos de puntuacin ni parntesis, se debe considerar con el orden de izquierda a derecha.
Si , se escribe .4. Si la proposicin no tiene signos de puntuacin, ni parntesis, hay dos casos:
4.1 se puede indicar el orden de los operadores, e indicar cul es el operador predominante, para escribir los signos de puntuacin correspondientes.
Si en , la conjuncin es el conector predominante; se representa .
Si en , la negacin es el operador predominante, se representa
4.2 si la proposicin tiene el mismo operador o de igual fuerza, se pueden dibujar los parntesis de izquierda a derecha.
Si , se escribe de esta forma
Si , se escribe
GUIA DE ESTUDIO 10Objetivo
Afianzar conocimiento relacionados a las proposiciones condicionales y bicondicionales para mantener el dominio lgico de proposiciones.
1. De la lectura UN ASTEROIDE SE APROXIMA A LA TIERRA, construya 3 proposiciones bicondicionales.
2. Demostrar mediante una tabla de verdad que:
Implica lgicamente o sea
3. Demostrar que `en una tabla de verdad.
4. Establezca el valor de verdad en las proposiciones moleculares siguientes:
a.
b.
c. .
5. Con un compaero/a de aula construya dos proposiciones moleculares y elabore una tabla de verdad.
6. Lea un artculo en uno de los peridicos (rotativos locales o nacionales, comente en una reunin de trabajo y construya tres proposiciones y analice la doble condicional en sus cuatro posibilidades.
7. En un taller de matemticas escriba una proposicin molecular en funcin de la conjuncin, disyuncin y la bicondicional. Elabore una tabla de verdad.
8. Identifique el conector preponderante y luego simplifique las expresiones siguientes:
a.
b.
c.
9. En las expresiones del ejercicio 8 demuestre con tablas de verdad los resultados obtenidos.
10. De su propia creacin escriba tres expresiones, tomando como modelo el ejercicio 8, simplifique y verifique los resultados con tablas de verdad.
ALFABETO GRIEGO
A partir del siglo IV, este alfabeto es empleado en general en toda Grecia, de ste se derivan los distintos alfabetos europeos.
Los trminos alfa y omega aparecen en el Apocalipsis, refirindose a Dios es: principio y fin de todo.
Muchas letras maysculas y minsculas son utilizadas en matemticas, estadstica y fsica para representar: planos, segmentos, frmulas algebraicas, etc.
Curiosidades
Cundo empez la era de las computadoras
Al iniciar el siglo XIX en 1822, el cientfico ingls Charles Babbage invento una mquina diferencial, que permita clculos de las funciones trigonomtricas y logartmicas usando tarjetas Jacquard.
En 1834, desarroll una mquina analtica para realizar operaciones aritmticas de suma, resta, multiplicacin y divisin, mediante el almacenamiento de datos en una memoria (de hasta 1000 nmeros de 50 dgitos) e imprimir los resultados.
El proyecto no pudo llevarse a la prctica por falta de medios. Al cabo de varios aos se consigui finalmente producir los relais, dispositivos electrnicos que permitieron clculos mil veces ms rpidos que los de las mquinas de Babbage. Un paso decisivo lo constituy el descubrimiento de las vlvulas, es decir, de los dispositivos electrnicos que permitieron aumentar ms aun la rapidez de los clculos. El invento de los transistores, en 1948, condujo al mejoramiento. Las velocidades a las que se efectan las operaciones sobrepasan hoy millones de millones de veces superiores a las de la mquina inventada por Babbage
2.7 DIAGRAMAS DE KARNAUGH
Al igual que en la Teora de Conjuntos, para la representacin grfica se utiliza los diagramas de Veen, el estudio de las proposiciones se ve ampliada con los polinomios booleanos. George Boole, lgico y matemtico ingls autor del Retculo distributivo complementado, llamado tambin algebra de Boole.
Estos polinomios pueden ser representados grficamente en los diagramas de Karnaugh que consisten en un conjunto de celdas, stas dependen del nmero de proposiciones. La distribucin de las celdas est contemplada, si:
Es una proposicin el nmero de celdas son 21 = 2
Hay dos proposiciones, el nmero de celdas son 22 = 4
Hay tres proposiciones, el nmero de celdas son 23 = 8
En general: si hay n proposiciones, el nmero de celdas son 2n.
El diagrama de Karnaugh conocido tambin como diagrama de Veitch o Mapa K (Mapa-KV) utilizado para simplificacin de expresiones booleanas, fue inventado por el fsico y matemtico Maurice Karnauh en 1950, fue integrante de los laboratorios Bell.
Los mapas o diagramas de Karnaugh , son herramientas utilizadas para la simplificacin de circuitos lgicos.
Una de las formas de representar los mapas diagramas es sta:A
B
C
Diagrama 2.1
Leyenda: A proposicin positiva; proposicin negativa.
B proposicin positiva; proposicin negativa.
C proposicin positiva; proposicin negativaA
Las proposiciones negativas como se observa estn representadas por un signo negativo sobre la letra.
Tratndose de cuatro proposicionesAB
C
D
Diagrama 2.2Otra forma de utilizar los diagramas o mapas de Karnaugh es: ABC
00011110
0
1
3
2
4
5
7
6
0
1
Diagrama 2.3
La primera fila A: corresponde a 0La segunda fila A: corresponde a 1La primera columna BC: B = 0 y C = 0La segunda columna BC: B = 0 y C = 1La tercera columna BC: B = 1 y C = 1La cuarta columna BC: B = 1 y C = 0Para la simplificacin se debe observar que el resultado de la tabla tenga el numeral 1, formar grupos con celdas adyacentes (no diagonales) en forma horizontal o vertical.Los polinomios booleanos pueden ser expresados como funciones en forma normal conjuntiva y forma normal disyuntiva.
Mapas con tres variables XYZ
Dado el polinomio , represente en el mapa de KarnaughYZX
111
1
Diagrama 2.4
En el mapa se observa que la primera columna de celdas de color verde no hay cambio de ; en las celdas pintadas de azul no hay cambio en , dando lugar a una simplificacin del polinomio.
El resultado es: Mapas con cuatro variables ABCDCDAB00011110
00
01
11
10
Diagrama 2.6
Cabe recordar las propiedades de las proposiciones y la relacin que tienen con los conjuntos y muy coincidentemente con algunas expresiones del lgebra. Se ilustra la relacin en la siguiente tabla:
PROPOSICIONESCONJUNTOSALGEBRA
Cuadro 2.7
Ejemplo 2.19: Dado el polinomio o .
a. Representar en el mapa de Karnaugh.b. Escribir como operacin de conjuntos.c. Representar en un diagrama de Venn
Solucin:a.
BCA
00
01
11
10
011
1 1
Explicacin Se observa que las celdas de color verde son las que representan al polinomio booleano:
0 0 0, correspondiente a la fila y columna de, es el valor de verdad es 1 o verdadero.
1 0 0, corresponde a la fila y columna de , el valor de verdad es 1 o verdadero.
0 1 1, corresponde a la fila y columna de , el valor de verdad es 1 o verdadero.
b.
Solucin:
2.7.1 RELACIN CON LOS CONJUNTOS
Se haba mencionado anteriormente que el estudio de las proposiciones tiene una relacin ntima con los conjuntos, para resaltar esta precisin se tom el polinomio booleano y se realiz las sustituciones respectivas de acuerdo a la tabla anterior.
Aplicando el mtodo grfico se puede establecer las reas correspondientes de esta operacin de conjuntos, cuyo signo preponderante es la unin, el resultado es:
Color amarillo
Color gris
Color verde
Su verificacin puede darse realizando la operacin de conjuntos paso a paso o dando elementos a los conjuntos A, B y C.
Ejemplo 2.20: dado el polinomio booleano . Encuentre:
1. La representacin grfica en el diagrama de Karnaugh.2. La expresin transformada en operacin de conjuntos.
Solucin:
BCA
00
01
11
10
0
1
BCA
00
01
11
10
0
1
a)
b)
BCA
00
01
11
10
0
1
BCA
00
01
11
10
0
1
c) d)
BCA
00
01
11
10
0
1
BCA
00
01
11
10
0
1
e) f)
BCA
00
01
11
10
0
1
BCA
00
01
11
10
01111
1 11
g) h) Solucin
2) La expresin transformada en operacin de conjuntos
GUA DE ESTUDIO 11Objetivo
Interpretar las propiedades de las proposiciones y de los conjuntos, observadas en los mapas de Karnaugh y en los diagramas de Veen.
Actividades
En el tiempo destinado para el trabajo autnomo, resuelva los ejercicios que se dan a continuacin:
1. Represente en los diagramas de Karnaugh, los polinomios booleanos siguientes:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
2. Transforme los polinomios booleanos de la pregunta 1 en operaciones de conjuntos. Resuelva grficamente en los diagramas de Veen.
3. Construya tres operaciones de conjuntos y transforme en polinomios booleanos. Compruebe los resultados.
4. En los mapas de Karnaugh siguientes: Identifique los trminos booleanos (celdas coloreadas) y construya polinomios.
BCA
00
01
11
10
0
1
BCA
00
01
11
10
0
1
a) b)
BCA
00
01
11
10
0
1
BCA
00
01
11
10
0
1
(c) (d)
BCA
00
01
11
10
0
1
BCA
00
01
11
10
0
1
(e) (f)
BCA
00
01
11
10
0
1
BCA
00
01
11
10
0
1
(g) ( h)
BCA
00
01
11
10
0
1
BCA
00
01
11
10
0
1
( i) ( j)
BCA
00
01
11
10
0
1
BCA
00
01
11
10
0
1
(k) ( l)
CDAB00011110
00
01
11
10
CDAB00011110
00
01
11
10
(ll) (m)
Facetas
EL CIRCUITO ELCTRICO
Segn Grayson Smith (1967) Los conceptos cambiantes de la CIENCIA, manifest que:
El circuito elctrico es el recorrido de la energa que es transportada por alambres especialmente de cobre por ser los mejores conductores de electricidad. Se utiliza para hacer trabajos en otros lugares.
Las fuentes de energa ms comunes son la pila voltaica y la batera de almacenamiento, mantienen el flujo de la corriente a expensas de la energa qumica de las reacciones que ocurren dentro de la pila.
En el generador mecnico o dnamo, la corriente se mantiene fluyendo a merced a una bobina que gira entre los polos de un imn. La fuente de energa es el trabajo mecnico, proporcionada por una cada de agua, una mquina de vapor u otro tipo de motor.
La corriente elctrica realiza un trabajo en el otro lado del circuito en muchas formas tales como:
La produccin de calor o luz, en un calentador, en una lmpara incandescente, y en un tubo de gas como el que utiliza en el alumbrado pblico y en los tubos fluorescentes de muchos domicilios.
Trabajo mecnico, en motores elctricos.
Electrolisis, en el cual la corriente efecta trabajo al descomponer diversos compuestos qumicos en reacciones que absorben energa, lo opuesto a la reaccin productora de energa de la pila voltaica
La ley fundamental de los circuitos es la ley de Ohm: R = V/I, donde R es la resistencia de circuito, V la diferencia de potencial en volts e I es la corriente en ampers. De la misma ley se deriva otras frmulas muy necesarias para el estudio de los circuitos elctricos, entre estas se tiene:
Existen dos formas de circuitos elctricos, cuyas resistencias estn conectadas en serie, en paralelo o combinadas entre ambas.
2.8 CIRCUITOS Y COMPUERTAS LGICOS
2.8.1 CIRCUITOS LGICOS
De la lectura CIRCUITOS ELCTRICOS, se puede identificar las dos formas de circuitos: en serie, en paralelo o combinados entre s, en la misma manera forma se encuentran los circuitos lgicos, para tener claridad obsrvese las ilustraciones siguientes: A
FuenteFuenteBBAFocoFoco
(1) (2)B`AB
BCA`FuenteA`AFocoFocoFuente
(3) (4)
Sean A y B interruptores abiertos, A y A` interruptores tales que el primero est activado y el segundo desactivado. Los interruptores A y B se pueden conectar con un alambre, logrando obtener circuitos en serie o en paralelo como demuestran los grficos 1 y 2.
El circuito 1, representa la conjuncin ; el circuito 2, representa la disyuncin , que son tratados en tablas de verdad con dos proposiciones A y B o estudiados en mapas de Karnaugh.
Un circuito conmutador booleano es un dispositivo de alambres e interruptores que forman mediante la combinacin de los circuitos en serie y en paralelo cuyos conectores son y . Tambin se interpreta por el signo de la multiplicacin y la suma en algn momento.
Los diagramas 3 y 4, representan una composicin mixta de circuitos en serie y en paralelo.
El circuito 3 se escribe , en otros trminos .
El circuito 4 se escribe , y de otra forma
Si se elabora en diagramas o mapas de Karnaugh para los circuitos 3 y 4 los resultados son los siguientes:
BA01
0
1
Para el circuito 4, desarrollando paso a paso la solucin es:
BCA
BCA
BCA
BCA
Ejemplo 2.21: Estudiar los circuitos siguientes:
(5) (6)En el circuito 5 los interruptores A, B, C y C`, estn conectados, mientras que A`, B` y, D est desconectados, el polinomio booleano resultante es:
Por la forma en que se encuentran los interruptores el circuito est activado por A, C y C`.
En el circuito 6 A y A` estn conectados o cerrados, mientras que B y C estn desconectados o abiertos; el polinomio resultante es:
.
El circuito est activado por los interruptores A y A`.
2.8.2 COMPUERTAS LGICAS
Los circuitos lgicos, forman la estructura de cualquier dispositivo para seleccionar o combinar seales de manera controlada. Entre los campos de aplicacin de estos tipos de circuitos pueden encontrarse en la conmutacin telefnica, transmisiones por satlite y en el funcionamiento de las computadoras digitales.
Las unidades elementales de un dispositivo lgico se llaman puertas lgicas digitales. Una puerta y (AND) tiene dos o ms entradas y una nica salida.
El resultado o salida de una puerta y es verdadera slo si todas las entradas son verdaderas. Una puerta O (OR) tiene dos o ms entradas y una sola salida.
El resultado o salida de una puerta o (OR) es verdadera si cualquiera de las entradas es verdadera, y los resultados es falso si todas las entradas son falsas. Una puerta inversora (INVERTER) tiene una sola entrada y una sola salida, y puede convertir una seal verdadera en falsa, constituyendo funcin negacin (NOT).
Con puertas elementales pueden construirse complicados circuitos lgicos, entre ellos los circuitos biestables llamados flip-flops, que son interruptores binarios, contadores, comparadores, sumadores y combinaciones ms complejas.
La simbologa que se va a emplear es:
CONECTOR/COMPUERTA,ENTRADA(S), SALIDACONNECTOR/GATE,INPUT(S), OUTPUTNOMBRENAMETABLA DE VERDADTRUTH TABLE
AMORTIGUADORBUFFERAZ
00
11
YANDABZ
000
100
010
111
O (O, en sentido inclusivo)ORABZ
000
101
011
111
OE (O, en sentido exclusivo)XOR (EXCLUSIVE-OR)ABZ
000
101
011
110
N, NEG o INVERSORNOT or INVERTERAZ
01
10
NY (N Y)NAND (NOT AND)ABZ
001
101
011
110
NO (N O)NOR (NOT OR)ABZ
001
100
010
110
NOE (N OE)NXOR (NOT EXCLUSIVE-OR)ABZ
001
100
010
111
Fuente: Dr. J.J Luetich. 10 de mayo 2003 Cuadro 2.8
Ejemplo 2.22: Representar el polinomio mediante compuertas lgicas
Solucin:
AAB
B
Ejemplo 2.23: Representar el polinomio booleano
A
yB
C
GUA DE ESTUDIO 12Objetivos
Construir circuitos lgicos conociendo polinomios booleanos y verificacin mediante tablas de verdad.
Simplificar polinomios booleanos mediante mapas de Karnaugh.
Identificar la simbologa de las puertas lgicas.
Actividades
Durante el tiempo para el trabajo autnomo, resuelva los ejercicios siguientes:
1. En cada uno de los polinomios booleanos aplique el mapa de Karnaugh
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
2. En los diagramas que estn a continuacin, estdielos y escriba el polinomio booleano correspondiente. Las celdas coloreadas son las que tienen valor de verdad.
CDAB00011110
00
01
11
10
CDAB00011110
00
01
11
10
(a) (b)
CDAB00011110
00
01
11
10
CDAB00011110
00
01
11
10
(d)
BCA
BCA
(e) ( f)
BCA
BCA
(g) (h)
BCA
BCA
(i) (j)
3. De los diagramas del ejercicio anterior, los polinomios booleanos identificados, represente en circuitos y compuertas lgicas. Recuerde que las celdas coloreadas tienen valor de verdad y habilitan la activacin del circuito.
4. Con un compaero/a de aula, construya dos polinomios booleanos de tres y cuatro variables y elabore tablas de verdad, mapas de Karnaugh, circuitos y compuertas lgicas. Verifique los resultados y escriba las conclusiones.
5. De su propia inversin escriba una operacin combinada con cuatro conjuntos, resuelva grficamente y transforme en un polinomio booleano. Compare resultados y conclusiones.
Curiosidades
Lea y comente con su compaera/o, sobre:
ORDENADORES, NUEVAS ARMAS TOPOGRFICAS.
La compaa SPOT Image Corporation con sede en Virginia, no tiene problema en reconocer que los archivos de la Academia Rusa de Ciencias y de la propia KGB le han permitido desarrollar una tcnica de imgenes pancromticas de gran resolucin.
Es un mercado puntero, copado de tres o cuatro empresas en todo el mundo, en el que la tecnologa digital por satlite permite lograr la ms perfecta cartografa con un error mnimo, ha sealado a Efe Gary Kuchel, gerente de ventas para Estados Unidos de SPOT Image.
Las nuevas armas de esta industria floreciente son los ordenadores, capaces de sintetizar la informacin del Sistema de Posicionamiento Global; GPS, las imgenes en falso color de los satlites -que ya no espan, sino que observan- y las cartografas ms precisas.
El resultado es un mapa en relieve, interactivo, rico en datos, que va apareciendo en las extraplanas pantallas de un PC multimedia.
La exhibicin del podero mundial ciberntico, en el mismo corazn del Departamento de Estado y a escasos 400 metros de la Casa Blanca en Washington, han dado lugar a escenas peculiares.
De esta manera los SATLITES ESPAS SE CONVIERTEN EN TOPOGRAFOS DE PAZ.
Como buenos amigos, expertos y especialistas de los departamentos de Estado y de Defensa estadounidenses compartieron informacin con los responsables de la ms avanzadas empresas rusas de datos recabados mediante satlites
EL UNIVERSO DOMINGO, Pg. 8, 29 de marzo de 1998
2.9 ALGEBRA DE PROPOSICIONES Y DE CONJUNTOS
Para entrar al estudio algebraico es necesario revisar las propiedades de las proposiciones con el fin de familiarizar con las expresiones que puedan darse ms adelante en las simplificaciones de polinomios.
2.9.1 RELACIN DE LAS PROPIEDADES DE PROPOSICIN Y CONJUNTOS
PROPOSICIONESCONJUNTOS
Cuadro 2.9
Ejemplo 2.24: Dado el polinomio:
a. Simplificar algebraicamente.b. Buscar otra alternativa de solucin.c. Resolver mediante diagramas o mapas de Karnaugh.d. Resolver mediante tablas
Solucin:
a. Propiedad conmutativa
Por la propiedad de absorcin
b. Aplicando otro procedimiento:
;
c. Mediante la aplicacin de diagramas de Karnaugh.
QP01
0
1
QP01
0
1
QP01
0
1
d. Tabla de verdad.
PQ
VVFFFFVVV
VFFVVFVFV
FVVFFVFVV
FFVVFFFFF
Ejemplo 2.25:
Simplificar el polinomio
Solucin:
, aplicando la ley De Morgan y asociativa.
, propiedad asociativa
, ley de complemento,
, por la ley de identidad,
Ejemplo 2.26: Dado el polinomio booleano
a. Simplificar algebraicamente.b. Elaborar una tabla de verdadc. Resolver grficamente por medio de diagramas de Karnaugh.d. Transformar en una operacin de conjuntos.e. Resolver grficamente la operacin de conjuntos.
Solucin:
a. , propiedad conmutativa, de complemento.
, distributiva, asociativa
, de complemento
, de identidad
,
, ley distributiva
, identidad, idempotencia
b. Tabla de verdad
y
VVVFFFFVFFVVV
VVFFFVFFFVFFF
VFVFVFVFFFVVV
VFFFVVVFFFVVV
FVVVFFVVVFVVV
FVFVFVVFFVFVV
FFVVVFVFFFVVV
FFFVVVVFFFVVV
c. Diagramas de KarnaughBCA
BCA
BCA
BCA
BCA
BCA
d. Operacin de conjuntos:
e. Resolucin grfica de conjuntos
Ejemplo 2.27: Dado el polinomio booleano
.
Encontrar:
a. La expresin simplificada algebraicamente
b. El circuito lgico del polinomio inicial
c. El circuito lgico de la expresin resultante.
d. Anlisis de los resultados de los literales a, b y c.
Solucin:
a. , escribiendo con otros signos el polinomio es:
, aplicando la ley De Morgan,
, usando la propiedad distributiva,
, aplicando la propiedad de idempotencia,
, por la propiedad distributiva,
por la ley de complemento
b. El circuito lgico es:
CB
A
c. El resultado del polinomio simplificado es una falsedad, esto es el circuito no se activa con ninguna alternativa. d. Mediante observacin en el circuito lgico, no se activa bajo ninguna circunstancia, esto quiere decir que al cerrar un interruptor A, automticamente el interruptor ; lo mismo ocurre con los interruptores B y C. Al realizar una tabla de valores con tres variables, el valor de verdad de las 8 alternativas ser falso.
Ejemplo 2.28: Utilizando las leyes del lgebra de proposiciones y los diagramas de Karnaugh como medio de verificacin, simplificar la expresin siguiente:
Solucin:
, equivalencia, ley De Morgan
, De Morgan, asociativa
, de complemento
, de identidad
(Tautologa)
Para verificar con los mapas o diagramas de Karnaugh, la expresin inicial debe escribirse en funcin de la conjuncin y la disyuncin, para esto se apoya en el primer paso de la solucin, adicionando la propiedad de equivalencia, la expresin se convierte:
Escribiendo con signos convencionales, se tiene:
BCA
BCA
BCA
BCA
BCA
BCA
BCA
BCA
BCA
Ejemplo 2.29: Dado el polinomio :
a. Simplificar algebraicamente.b. Resolver mediante diagramas de Karnaugh.c. Superando las proposiciones condicionales y bicondicionales, elabore un circuito lgico y su correspondiente compuerta lgica.
Utilizando signos convencionales, se tiene:Solucin:a.
ley de equivalencia
, ley de equivalencia, De Morgan
, ley de equivalencia, De Morgan
, De Morgan
, De Morgan
, distributiva
, de complemento
, distributiva, de complemento
, de absorcin
b. Diagramas de KarnaughBCA
BCA
BCA
BCA
BCA
c. Circuito y compuerta lgicos
A
B
A+Cy
C
CONCLUSIN
El estudio de la teora de conjuntos y de las proposiciones tiene una relacin innata en las y grficos, dan lugar a interrelaciones para lograr mejor conocimiento y adecuado adestramiento del campo lgico matemtico, ayuda al anlisis, reflexin y creacin de expresiones matemticas y algebraicas, para acumular destrezas en el rea de la informtica. Se sugiere a los estudiantes la invencin de polinomios booleanos y aplicar en operaciones de conjuntos en forma grfica y algebraica.
GUA DE ESTUDIO 13
Objetivo
Afianzar el conocimiento lgico en las operaciones de proposiciones y de conjuntos y su consecuente relacin con circuitos y compuertas lgicas.
Actividades
Para resolver cada uno de los ejercicios, puede realizar en equipo de tres estudiantes en el tiempo de trabajo autnomo.
1. Simplificar los polinomios booleanos siguientes:a.
b.
c.
d.
e.
2. Verificar los resultados de los polinomios a travs de tablas de verdad.
3. En cada una de las expresiones: simplificar algebraicamente, resolver grficamente con los mapas de Karnaugh, transformar en operaciones de conjuntos y resolver grficamente en los diagramas de Veen.a.
b.
c.
d.
4. Escriba un polinomio booleano y utilizando la simbologa ms adecuada simplifique algebraicamente, construya un circuito y compuerta lgicos, verifique con tablas de verdad y resuelva mediante mapas de Karnaugh.5. Las reas sombreadas de cada uno de los diagramas representa los valores de verdad de un polinomio. Escriba el polinomio booleano en cada uno de los diagramas.
YZX
YZX
1
(a) (b)
YZX
YZX
(d)
CDAB00011110
00
01
11
10
CDAB00011110
00
01
11
10
(e) (f)
CDAB00011110
00
01
11
10
CDAB00011110
00
01
11
10
(g) (h)
6. En cada una de las expresiones:
6.1
6.2
6.3
a. Resuelva la operacin de conjuntos en forma analtica y grficab. Simplificar algebraicamente.c. Transformar en un polinomio booleano.d. Construir un circuito lgico y la compuerta respectiva
7. Identifique y escriba la operacin de conjuntos en los diagramas de Veen, y luego trasforme a polinomios booleanos y construya circuitos y compuertas lgicas en las grficas siguientes:
(a) (b)
(d) (e) (f)
2.10 RELACIONES Y DGRAFOS
Para el estudio de este tema es fundamental recordar definiciones y teoremas de la teora de conjuntos que se tiene a continuacin:
2.10.1 Relaciones binarias
Las relaciones binarias son un conjunto de parejas ordenadas de objetos que tienen una caracterstica comn, es utilizada con frecuencia en computacin.
Una relacin es binaria cuando hay correspondencia entre los elementos de un conjunto A (conjunto de partida) con los elementos de un conjunto B (conjunto de llegada).
Par ordenado (a, b).- es la relacin entre dos elementos, en donde a es la primera componente y b es la segunda componente, escritos entre parntesis, separados por una coma.
Por definicin
Igualdad entre pares ordenados
Definicin:, si y solo si y
Cardinalidad
Definicin.- Es la cantidad de elementos de un conjunto A, se representa por el smbolo N(A).
Cardinalidad de conjuntos A = { x/x es un dgito par en el sistema de numeracin decimal}
N(A) = 4, porque A = {2, 4, 6, 8}
Teorema
Para dos conjuntos finitos no vacos A y B, se cumple que .El cardinal del producto es igual al producto de los cardinales
Conjuntos relevantes
En un conjunto A, se pueden encontrar los casos siguientes:
A es vaco si no tiene elementos, se representa por el smbolo , N(A) = 0 A es unitario, N(A) = 1. A es finito, si tiene cantidad finita de elementos. A es infinito, si tiene cantidad infinita de elementos. A es referencial o universo, se representa por los smbolos Re o .
Cuantificadores
El smbolo , se lee: para todo, cada, todo, para cada.
El smbolo , se lee: existe, algunos, algn, basta que uno, por lo menos uno
Subconjunto
Definicin:
Conjunto potencia
Definicin:, esto quiere decir que dado un conjunto A, su conjunto potencia est formado por todos los subconjuntos de A
Ejemplo 2.30:
Si A = {a, e, i}, entonces
P(A) = {, {a}, {e}, {i}, {a,e}, {a,i}, {e,i}, A}Se observan 8 conjuntos que se obtiene por el respaldo de N(P(A)) = 23 = 8
Producto cartesiano
Definicin: si A y B son conjuntos no vacos,
Ejemplo 2.30: Sean y . Encuentre A x B y B x A
Solucin:
En forma tabular
BAmn
1(1,m)(1,n)
2(2,m)(2,n)
3(3,m)(3,n)
AB123
m(m,1)(m,2)(m,3)
n(n,1)(n,2)(n,3)
N(A) = 3; N (B) = 2; N(A x B) = 6
Generalizando, la cardinalidad de A x B se tiene: N(A x B) = N(A) N(B)
Propiedades del producto cartesiano
Cuadro 2.10Particiones Sea el conjunto A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}y los subconjuntos
, , ,
, forman una familia de conjuntos
, tiene dos propiedades fundamentales:
1.
A es la unin de los conjuntos , o sea .
2.
Para cualesquiera conjuntos de y , o , o
Entonces una familia anloga o semejante de conjuntos que es una particin de A.
Definicin: Dada una familia no vaca de subconjuntos de A, es una particin de A si cumple:
1.
: 2.
: para cualquiera , o bien o tambin .
Entonces cada , es una clase de equivalencia de A
Lo manifestado se puede apreciar en la siguiente grfica: A
Grfica 2.1
2.10.2 RELACIONES
Una relacin R est conformada por:
1. Un conjunto A.
2. Un conjunto B.
3. Un enunciado formal P(x, y), tal que P(a, b) es verdadero o falso para todo par ordenado (a, b) de A x B.
Entonces se dice que R es una relacin entre A y B. su notacin es:
A esto se suma, si P(a, b) es verdadero, se escribe aRb, que se lee: a est relacionado con b.Si P(a, b) es falso se escribe a b, que se lee a no est relacionado con b
Ejemplo 2.31: Sea R = (Z, Z, P(x, y)), donde P(x, y) significa x es menor que y. queda claro que R es una relacin, porque P(a, b), o lo que es lo mismo a < b, es verdadero o falso para todo par ordenado (a, b) de los enteros. Con esto se puede decir que P (2,6) es verdadero, por lo que: 2R6, yP (4,2) es falso; 42Por otra parte se tiene un caso de la vida cotidiana al tratar las longitudes de una barra y la sombra en algn momento que el Sol proyecta.La longitud de la sombra que proyecta una barra depende de su longitud.
Los datos muestran las medidas de la longitud de una barra y la respectiva sombra en una hora determinada
VARIABLESMEDIDAS (cm)
Longitud de la barra1234
Longitud de la sombra2468
En la tabla se observa dos conjuntos la longitud de la barra y la longitud de la sombra; los elementos del primer conjunto se relacionan con los elementos del segundo conjunto, es decir existe una correspondencia entre las medidas de la longitud de la barra (conjunto de partida) y las medidas de la sombra (conjunto de llegada)
Definicin. Una relacin R entre A y B es un subconjunto de A x B
Simblicamente est representado por
Ejemplo 2.32: Si Carlos es to de Csar, se est levantando una relacin entre ambos.
Si Carlos es elemento del conjunto A = {Pedro, Carlos, Alberto} y Csar es elemento del conjunto B = {Mara, Csar, Elena}; el par ordenado (Carlos, Csar), constituye un elemento del producto cartesiano A x B y es parte de la relacin R: x es padre de y, siendo
Se pueden formar relaciones entre todos o algunos elementos del primer conjunto con uno o ms del segundo conjunto; hay la posibilidad de que ningn elemento del primer conjunto se relaciones con ningn elemento de segundo conjunto, esta relacin es VACA.
2.10.2.1 Cantidad de relaciones
El nmero de relaciones de A en B es
Ejemplo 2.33: Dados los conjuntos A = {3, 5} y , determinar analticamente el nmero de posibles relaciones, y grafique los diagramas sagitales para todas las relaciones posibles.
Solucin:
El nmero de relaciones de A en B es
Caso 1: Ningn elemento del conjunto de partida est relacionado con ningn elemento del conjunto de llegada. (Relacin vaca)
BA
35
5
Caso 2. Relaciones de un solo elemento del conjunto de partida con un solo elemento del conjunto de llegada.
A
BBA
35
5
35
5
A
BBA
35
5
35
5
Caso 3: Relaciones de un solo elemento del conjunto de partida con dos elementos de llegada.
BABA
35
5
35
5
Caso 4: Relaciones de dos elemento del conjunto de partida con uno de llegada
BAA
B
35
5 35
5
Caso 5: Relaciones de un elemento del conjunto de partida con uno de llegada
BAA
B
3
5 35
5
Caso 6: Relaciones de un elemento del conjunto de partida con dos del conjunto de llegada y el otro elemento de conjunto de partida con otro del conjunto de llegada.
BAA
B
35
5 35
5
BAA
B
35
5 35
5
Caso 7: Relacin de todos los elementos del conjunto de partida con todos los elementos del conjunto de llegada.
A
B
35
5
Dominio de una relacin: los elementos de A constituyen el dominio de una relacin. Simblicamente representada por:
Rango de una relacin: los elementos de B, constituyen el rango, simblicamente representado por:
Grafo de una relacin
El grafo de R de A en B es un subconjunto de A x B
Gr (R) = {(a, b) / R(a) = b
Ejemplo 2.34: Encuentre el grafo, dominio y rango de
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B ={1, 3, 5}
Aplicando la definicin de R
R(1) = 2(1) = 2; R(2) = 2(2) = 4; R(3) = 2(3) = 6; R(4) = 2(4) = 8; R(5) = 2(5) = 10
Gr ( R ) = { (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10}
dom R = {1, 2, 3, 4, 5}
rg R = {2, 4, 6, 8, 10}
2.10.3 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
Relacin recproca
Definicin: Toda relacin R de A en B tiene una relacin recproca , que definida por:
Ejemplo 2.35: Sean A ={ m, n, s} y B ={1, 2, 3} y
R = {(m,1), (n, 2), (s, 3), (m, 2), (s, 2)}
La relacin recproca es:
Relacin reflexiva o idntica
Todo elemento de A se relaciona consigo mismo, se denota:
Ejemplo 2.36: Dado el conjunto A ={1, 2, 3, 4, 5}
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)}, la relacin R es reflexiva. R12345
1
2
3
4
5
Relacin irreflexiva o anti reflexiva
Ningn elemento de A se relaciona consigo mismo, se denota:
Ejemplo 2,37: Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4}
R = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}. La relacin R no est relacionada consigo mismo.
R1234
1
2
3
4
5
Relacin simtrica
Una relacin es simtrica cuando un elemento se relaciona con un segundo elemento, y el segundo se relaciona con el primero. Simblicamente se representa:
o
Ejemplo 2.38: Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4} y, R = {(1,3), (4, 2), (2,4), (3,1), (2,3), (3,2)}
Es una relacin simtrica puesto que: 1R3 o 3R1; 2R4 o 4R2; 2R3 o 3R2Grficamente en el diagrama se observa la simetra.
R1234
1
2
3
4
Las celdas sombreadas dan testimonio de la relacin simtrica.
Relacin antisimtrica
La relacin es antisimtrica cuando cumple con la definicin:
Ejemplo 2.39: dado N = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y P(a,b) significa a divide a b, se obtiene:
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (2,4), (2,6), (3,6)}
La relacin es antisimtrica, puesto que cumple con la definicin.
Grficamente se verifica:
R123456
1
2
3
4
5
6
Relacin transitiva
Una relacin R en un conjunto A, se dice que es transitiva si:
Al decir a < b y b < c, entonces a < c, esta relacin es transitiva
Ejemplo 2.40: Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, y
R = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}
Demostrar que es una relacin transitiva.
3R2 y 2R1, entonces 3R1
4R2 y 2R1, entonces 4R1
4R3 y 3R2, entonces 4R2
4R3 y 3R1, entonces 4R1
Grficamente R1234
1
2
3
4
Las celdas sombreadas corresponden a la relacin transitiva
Relacin de equivalencia.
Una relacin es equivalente, si es reflexiva, simtrica y transitiva a la vez. Ejemplo 2.41. Dado el conjunto V = {a, e, i) y
R = {(a, e), (a, i), (a, a), (e, i), (i, e), (e, a), (e, e), (i, a), (i, i)}
De la relacin dada se desprende:
, es reflexiva
, es simtrica, y
La relacin R es transitiva porque:
Por lo tanto la relacin es de equivalencia
Grficamente la relacin se puede expresar:
Raei
a
e
i
2.10.4 MATRIZ DE UNA RELACIN
Sea y conjuntos finitos que contienen m y n elementos respectivamente y si R es una relacin de A en B.
La matriz de una relacin se representa por:
Definicin:
Es una matriz booleana
TEOREMA
Toda relacin definida en conjuntos finitos, tiene representacin matricial booleana y recprocamente toda matriz booleana representa una relacin
Ejemplo 2.42: Sea A ={5, 7 , 10, 12, 14} y sea R en A definida por .
La matriz est formada por:
R57101214
510100
701001
1000100
1200010
1400001
DGRAFO O GRAFO DIRIGIDO DE RSi A es un conjunto finito y R es una correspondencia o relacin definida en A, se puede representar grficamente. Los pasos que se dan son:1. En un crculo se representa cada elemento de A, estos se denominan vrtices o nodos.2.
De cada vrtice sale una flecha al vrtice si y solo si .Esta representacin grfica se llama Dgrafo o grafo dirigido de R.El grfico del ejemplo 2.42 es: 145
127
10
Dgrafo 2.1Grado interno y grado externo de un vrtice o nodo.El grado interno de un vrtice, es el nmero de arcos que terminan en el vrtice.
El grado externo de un vrtice, es el nmero de arcos que sale del vrtice, el grado externo de a es .Ejemplo 2.43: Sea A= {a, b, c, d, e}, y sea R la relacin sobre A que tiene la matriz:Rabcde
a11010
b01010
c01110
d00011
e10001
1. Encuentre la relacin R2. Construya el dgrafo correspondiente a la relacin R.3. Mediante una tabla encuentre el grado interno y externo de la relacin R.
Solucin:1. .
2. El dgrafo a
eb
cd
Dgrafo 2.23. Grado interno y externo
abcde
Grado interno23142
Grado externo22322
Trayectorias en relaciones y dgrafos
Una trayectoria de longitud n en R de a a b, es una secuencia finita de , que comienza en a y termina en b, de manera que:
Una trayectoria se puede identificar con mayor rapidez en el dgrafo siguiendo las direcciones que indica la flecha.La longitud de la trayectoria es el nmero de arcos que existen en la misma.
Ejemplo 2.44: Considrese el dgrafo que est a continuacin; se identifica : 1, 2, 3, es una trayectoria de longitud 2 del vrtice 1 al vrtice 3, : 1, 4, 5, 1, es una trayectoria de longitud 3, del vrtice 1 al mismo lugar; : 1, 2, 4, 5, 1, es una trayectoria de longitud 4, parte de 1, hacia el mismo lugar; : 1, 4, 3, es una trayectoria de longitud 2 del vrtice 1 al vrtice 3; : 2, 4, 3, es una trayectoria de longitud 2 del vrtice al vrtice 3.
321
45
Dgrafo 2.3
La trayectoria que inicia y termina en el mismo nodo, se llama ciclo, son ciclos de longitud 3 y 4 respectivamente
GUA DE ESTUDIO 14Objetivos Distinguir el grafo, dominio y rango en la relacin de dos conjuntos A y B.
Identificar las propiedades de las relaciones
Construir matrices de una relacin y los dgrafos o grafos dirigidos correspondientes.
Actividades En equipo de tres estudiantes o individualmente en el tiempo de esudio o trabajo autnomo dar respuesta a los ejercicios y en lo posible verificar los resultados para su comprobacin.1. Sea R una relacin de A = {1, 3, 5, 7} y B = {1, 2, 3}definida por los enunciados de la forma x mayor que y; x menor que y; x mayor o igual que y; x menor o gual que y.
a. Encuentre el conjunto solucin de cada uno de los eneunciados de R. (Conjunto de parejas ordenadas)
b. En diagramas de coordenadas A x B, represente cada una de las relaciones.
2. Dada la relacin , identifique el dominio, rango y la recproca.
3. Dado el conjunto A = {6, 7, 8, 9} y R = {(6, 7), (7, 8), (8, 9), (8, 7), (7, 6), (9, 8), la relacin es:______
a. Reflexiva.
b. Simtrica.
c. Transitiva.
d. Recproca.
4. Dado el conjunto A = {3, 4, 5} y la relacin o gradiente R = {(3,4), (4,3), (3,3), (4,5), (5,4), (4,4), (3,5), (5,3), (5,5)}. La relacin R, es: ______
a. Reflexiva b. Transitiviva.c. Simtrica d. De equivalencia
5. En el diagrama, la celdas coloreadas indican la relacin R
R123456
1
2
3
4
6
El diagrama representa una relacin:______a. Reflexiva.b. Simtrica.c. Antisimtrica,d. Recproca
6. Sea A = {x, y, z, w} y sea la relacin R sobre A que tiene la matriz:
Rxyzw
y1100
z0111
w0011
a. Escriba la relacin R.b. Construya el dgrafo de la relacin.c. Identifique el grado interno y externod. Determine la trayectoria
7. Del dgrafo siguiente:32
45
a. Identifique:
La relacin R
El tipo de relacin
b. El grado interno y externo
c. La longitud de las trayectorias.
8. Sea A = {a, b, c, d}, y sea R la relacin sobre A que tiene la matriz:
Rabcd
a1000
b0101
c1111
d0101
a. Escriba la matriz Rb. Identifique el dominio de Rc. Identifique el rango de Rd. Construya el dgrafoe. Identifique los grados interno y externo.f. Determine la longitud de las trayectorias.
