situaciOn adidaetica de 'ValidaciOn situaci6n adidactica de...
34
caso la situacion adidactica provoca un aprendizaje por adaptacion (de acuerdo con la teona de Piaget). Los modelos implicitos aparecen como elecciones preferentes an- tes de que el alumno sea capaz de formularlos y mucho antes de que este convencido de su veracidad. En la clase, el estatuto de las nocio- nes que aparecen en un modelo implicito es el de nociones protomate- maticas, esto es, nociones cuyas propiedades son utilizadas en la / practica para resolver ciertos problemas, pero de forma que la nocion misma no es reconocida ni como objeto de estudio ni siquiera como instrumento util para el estudio de otros objetos. Primera fase de /a «carrera aI20·. fuego entre dos jNgadores. Cada jNgador prodNce linicamente Nna sene de decisiones, no tiene ninglin interes en indicar SNSestrategias. Toma el juego en Nn amo estado y 10 deja en otro. Para que el alumno pueda explicitar su modelo implicito y para que esta formulacion tenga sentido para el, es necesario que pueda utilizar dicha formulacion para obtener el mismo 0 hacer obtener a alguien un resultado. En una situaci6n adidactica de formulaci6n el alumno intercambia informaciones con una 0 varias personas. Comunica 10 que ha encontrado a un interlocutor 0 grupo de alum- nos que Ie devuelve la informacion. Los dos interlocutores, emisor y receptor se intercambian mensajes escritos u orales que son redacta- dos en lenguaje matematico segUn las posibilidades de cada emisor. El resultado de esta diaIectica permite crear un modelo explicito que puede ser formulado con la ayuda de signos y de reglas conocidos 0 nuevos. El estatuto que tienen en clase las nociones de un modelo expHci- to es el de nociones paramatematicas: esto significa que se utilizan SegNnda fase de /a «carrera al 20·. Los alNmnos son agrNpados en dos eqNipos qNe compiten el Nno contra elotro. En cada grNpo se asignan ktras a los alNmnos. A /a l/a- mada del profesor Losdos alNmnos designados por /a letra nombrada van a dispNtar Nna partida en /a pizarr4- Los restantes alNmnos no tienen derecho a intervenir ni a hab/ar. EI eqNipo del jNgador ganador se adjNdica Nn punto. Entre partida y partida los alNmnos de Nn mismo eqNipo discuten entre ellos /as mejores estrategias. EI exito de cada eqNipo depende de /a accion y de /a comprensiOn que cada jugador manifies- ta de /as estrategias que se discuten. conscientemente (son reconocidas y designadas) como instrumentos que sieven para describir otros objetos matematicos, pero no se les considera como objetos de estudio en sf mismas. La validacion empfrica obtenida en las fases precedentes es insufi- dente. En la dialectica de la validacion el alumno debe demostrar por que el modelo que ha creado es valido. Pero para que el alumno construya una demostracion y esta tenga sentido para el es necesario que la construya en una situacion, Hamada de validacion, en la que debe convencer a alguna otra persona. Una situaciOn adidaetica de 'ValidaciOn es la ocasion para un alumno (proponente) de someter el mensaje matematico (modelo expHcito de la situacion) como una ase- veracion a un interlocutor (oponente). El proponente debe probarla exactitud y la pertinencia de su modelo y proporcionar, si es posible, una validacion semantica y una validacion sincictica. El oponente puede pedir explicaciones suplementarias, rechazar las que no com- prende 0 aquellas con las que no esci de acuerdo Gustificando su de- sacuerdo). El estatuto que tienen en clase las nociones que se utilizaran en una situacion de validacion, especialmente despues de la instituciona- lizadon por parte del profesor, es e1de nociones matematicas, esto es, objetos de conocimiento construidos, susceptibles de ser enseiiados y utilizados en las aplicaciones practicas. Las nociones matematicas son, por tanto, objeto de estudio en sf mismas, ademas de servir co- mo instrumento para el estudio de otros objetos. Como puede observarse una dialectica de la validacion puede in- cluir diversas dialecticas particulares de la accion, 0 de la formulacion (por ejemplo, para establecer una terminologfa). Esta claro, ademas, que una dialectica de la validacion es en sf misma una dialectica de la formulacion y, en consecuencia una dialectica de la accion. Tercera fase de /a «carrera aI20·. EI profesor cambia el jNego. Cada eqNipo, despues de /a discusiOn,pNede proponer Nna declaraci6n 0 Nn metodo para ganarj puede criti- car Nna declaraciOn delotro eqNipo e intentar probar que esfalsa y, por liltimo, puede obligar a jNgar una partida Ntilizando·el metoda qNe ha propNesto. En esta liltima fa- se Losalumnos aprenden sin inteTvendOn del profesor: a enNnciar «teoremas- (como, por ejemplo, «esnecesario jNgar lr), adiscutir SNvalidez (<<yohejNgadO 17Y he per- dido·), y a prodNcir demostraciones (<<si el juega 17, yo solo pNedo jugar 18 019, en los dos casos el podra dear 20-).
Transcript of situaciOn adidaetica de 'ValidaciOn situaci6n adidactica de...
caso la situacion adidactica provoca un aprendizaje por adaptacion(de acuerdo con la teona de Piaget).
Los modelos implicitos aparecen como elecciones preferentes an-tes de que el alumno sea capaz de formularlos y mucho antes de queeste convencido de su veracidad. En la clase, el estatuto de las nocio-nes que aparecen en un modelo implicito es el de nociones protomate-maticas, esto es, nociones cuyas propiedades son utilizadas en la /practica para resolver ciertos problemas, pero de forma que la nocionmisma no es reconocida ni como objeto de estudio ni siquiera comoinstrumento util para el estudio de otros objetos.
Primera fase de /a «carrera aI20·. fuego entre dos jNgadores. Cada jNgador prodNcelinicamente Nna sene de decisiones, no tiene ninglin interes en indicar SNSestrategias.Toma el juego en Nn amo estado y 10 deja en otro.
Para que el alumno pueda explicitar su modelo implicito y paraque esta formulacion tenga sentido para el, es necesario que puedautilizar dicha formulacion para obtener el mismo 0 hacer obtener aalguien un resultado. En una situaci6n adidactica de formulaci6n elalumno intercambia informaciones con una 0 varias personas.Comunica 10 que ha encontrado a un interlocutor 0 grupo de alum-nos que Ie devuelve la informacion. Los dos interlocutores, emisor yreceptor se intercambian mensajes escritos u orales que son redacta-dos en lenguaje matematico segUn las posibilidades de cada emisor.El resultado de esta diaIectica permite crear un modelo explicito quepuede ser formulado con la ayuda de signos y de reglas conocidos 0
nuevos.El estatuto que tienen en clase las nociones de un modelo expHci-
to es el de nociones paramatematicas: esto significa que se utilizan
SegNnda fase de /a «carrera al 20·. Los alNmnos son agrNpados en dos eqNipos qNecompiten el Nno contra elotro. En cada grNpo se asignan ktras a los alNmnos. A /a l/a-mada del profesor Losdos alNmnos designados por /a letra nombrada van a dispNtarNna partida en /a pizarr4- Los restantes alNmnos no tienen derecho a intervenir ni ahab/ar. EI eqNipo del jNgador ganador se adjNdica Nnpunto. Entre partida y partidalos alNmnos de Nn mismo eqNipo discuten entre ellos /as mejores estrategias. EI exitode cada eqNipo depende de /a accion y de /a comprensiOn que cada jugador manifies-ta de /as estrategias que se discuten.
conscientemente (son reconocidas y designadas) como instrumentosque sieven para describir otros objetos matematicos, pero no se lesconsidera como objetos de estudio en sf mismas.
La validacion empfrica obtenida en las fases precedentes es insufi-dente. En la dialectica de la validacion el alumno debe demostrarpor que el modelo que ha creado es valido. Pero para que el alumnoconstruya una demostracion y esta tenga sentido para el es necesarioque la construya en una situacion, Hamada de validacion, en la quedebe convencer a alguna otra persona. Una situaciOn adidaetica de'ValidaciOnes la ocasion para un alumno (proponente) de someter elmensaje matematico (modelo expHcito de la situacion) como una ase-veracion a un interlocutor (oponente). El proponente debe probarlaexactitud y la pertinencia de su modelo y proporcionar, si es posible,una validacion semantica y una validacion sincictica. El oponentepuede pedir explicaciones suplementarias, rechazar las que no com-prende 0 aquellas con las que no esci de acuerdo Gustificando su de-sacuerdo).
El estatuto que tienen en clase las nociones que se utilizaran enuna situacion de validacion, especialmente despues de la instituciona-lizadon por parte del profesor, es e1de nociones matematicas, esto es,objetos de conocimiento construidos, susceptibles de ser enseiiados yutilizados en las aplicaciones practicas. Las nociones matematicasson, por tanto, objeto de estudio en sf mismas, ademas de servir co-mo instrumento para el estudio de otros objetos.
Como puede observarse una dialectica de la validacion puede in-cluir diversas dialecticas particulares de la accion, 0 de la formulacion(por ejemplo, para establecer una terminologfa). Esta claro, ademas,que una dialectica de la validacion es en sf misma una dialectica de laformulacion y, en consecuencia una dialectica de la accion.
Tercera fase de /a «carrera aI20·. EI profesor cambia el jNego. Cada eqNipo, despuesde /a discusiOn,pNede proponer Nna declaraci6n 0 Nn metodo para ganarj puede criti-car Nna declaraciOn delotro eqNipo e intentar probar que esfalsa y, por liltimo, puedeobligar a jNgar una partida Ntilizando·el metoda qNe ha propNesto. En esta liltima fa-se Losalumnos aprenden sin inteTvendOn del profesor: a enNnciar «teoremas- (como,por ejemplo, «esnecesario jNgar lr), a discutir SNvalidez (<<yohe jNgadO 17Y he per-dido·), y a prodNcir demostraciones (<<siel juega 17, yo solo pNedo jugar 18 019, enlos dos casos el podra dear 20-).
En la bibliografia actual es facil encontrar diferentes maneras deemplear la nocion de "obstaculo" a fin de explicar, describir 0 estu-diar diversos fenomenos didacticos. Incluso es posible encontrar unautilizacion "ingenua" de la nocion de "obstaculo" proxima a la de"dificultad" para que el alumno aprenda ciertas nociones matemati,-cas, aunque no toda dificultad sea considerada como un obsciculo.
Suele haber cierta unan.imidad en que los obstaculos se manifies-tan mediante errores reproducibles, con cierta coherencia interna (nose trata de errores impredecibles y arbitrarios), persistentes (siguenapareciendo despues de que el sujeto haya rechazado conscientemen-te el "modelo" defectuoso), resistentes (muy dificiles de modificar) yrelativamente universales. En el caso de los que tienen origen episte-mologico, se postula que se pueden rastrear ademasen la genesis his-torica de los conceptos en cuestion. A pesar de 10 anterior, para lamayona de los autores y, en particular, para Guy Brousseau que fueel introductor de la nocion de obstaculo en didactica de las matemati-cas, un obstaculo es un conocimiento que tiene su propio dominio devalidez y que fuera de ese dominio es ineficaz y puede ser fuente deerrores y dificultades.
lCual es la nocion de "obstaculo" en el marco de la teona de lassituaciones en el que nacio? Para definirla utilizaremos, naturalmen-te, las elementos basicos de dicha teona. De la nocion de "aprenderun conocimiento matematico C" tal como ha sido definida en la teo-ria de las situaciones se desprenden dos consecuencias principales:
(a) Aprender un conocimiento matematico C se correspondesiempre con un cambio de estrategia: todo conocimiento surge aso-ciado a una nueva estrategia capaz de resolver un problema que la es-trategia de base se habia mostrado incapaz de resolver.
(b) La estabilidad de la estrategia ganadora es siempre relativa res-.pecto al cambio de los valores que pueden tomar las variables didacti-cas. Es necesario cambiar sucesivamente las respectivas estrategiasoptimas que van apareciendo.
Si definimos el "coste de cada estrategia" a partir del "precio del. aprendizaje", "el precio de la ejecucion" (que depende de la comple-jidad de la tarea) y el "precio del riesgo de error" (que depende delproducto de los riesgos de error de las tareas elementales), entoncespara cada variable didactica podemos considerar la curva que nos dala variacion del coste de cada estrategia optima en funcion de los va-lores de dicha variable didactica.
Supongamos que se da el caso en que los intervalos de eficacia op-tima de las diferentes estrategias sean muy caracteristicos de cada una
de ellas y esten muy separados entre si respe ·t· <'"d··;·'1 ,(. bl did' . ., co e -Iavana e actlca en cuestlon. En este caso·l. . - ., ' .. ·.'a'. . 1 ' as Sltuaclon. ac:-tlcas suceslvas que se p antean al dar valores' su •...........""...!"..).. !"'.l.:..'!:.'<""' ....•.. bl d'd" d lif' , d ceSlVosa'wcnava-~a e 1 a~tlCa e~ca lCaran e. manera evidente la "est'lit'e'''ffl<£6 "'::tlma antenor, haclendo necesana la invencion deu .....,..~~.l~nueva. ..•....... '. t~la
'I~J"
, ~n la teoria de las situaci?nes se dice que apar~c~:un ~bstiCultJ'ai-daazco cuando son necesanos estos cambios bruscos d "\." • .,. RIal' eestrategIaoptima. esu ta, por tanto, que mvel de anaIisis en el que' .••'. ·1' d 1 .. b ' 1 seSb ••a ateona e as sltuaclOnes, un 0 stacu 0 es relativo a una Sl'tu ., ....,. d . . , . aClon ca-ractenstlca e un conoclmlento matematlco concreto y a un . . bld'd' . d d' h' ., a vana eI actlca e IC a sltuaclon.
Asi, si se ~iseiia una situacion que p.retende apoyarse en una pri-me~a estrategla y hacer que aparezcan clertas limitaciones para intro-duclr u?,a segunda estrategia mas eficaz, puede obtenerse un efeetoc<;>ntra~lO~l ~eseado, ref~~~do la estrategia que se pretendia cam-blar e Impldlendo la apanClOn de la nueva. Tendriamos en este casoun refuerzo didaaico de un obstdculo.
En resumen, tenemos que un obsciculo siempre va asociado a uncambio de estrategia necesario y, por tanto, al desarrollo del conoci-miento matematico. Si 10 miramos desde el punto de vista del profe-s?r (0, en general, ~e! director de e~tudio), podri~ decirse que el obs-taculo es el conOClmlento de la pnmera estrategla que "dificulta" laaparicion de la nueva. Pero desde la optica del conocimiento mate-matico mismo 10 que caracteriza un obsciculo concreto no es la anti-gua ni la nueva estrategia, es el cambio de estrategia y su necesidad enel proceso de adaptacion a la situacion adidactica.
BROUSSEAU,G. (1981). "Problemes de didactique des decimaux", Re-cherches en Didaaique des Mathematiques 2.1, La Pensee Sau-vage, Grenoble.
BROUSSEAU,G. (1983). "Les obstacles epistemologiques et les pro-blemes en didactique", Recherches en Didactique des Mathe-matiques 4.2, La Pensee Sauvage, Grenoble .
BROUSSEAU,G. (1986). "Fundamentos y metodos de didactica de lamatematica", Publicaciones del Seminario Garda de Galdeano.Universidad de Zaragoza. (Traduccion de "Fondements et me-thodes de la didactique des mathematiques", Recherches en Di-dactique des Mathematiques, 7.2, La Pensee Sauvage, Grenoble.)
BROUSSEAU,G. (1989). "Utilidad e interes de la didactica para unprofesor (1a parte)", SUMA, 4, 5-12.
BROUSSEAU,G. (1991). "(Que pueden aportar a los enseiiantes los di-ferentes enfoques de la didietica de las matemiticas? (2- pane)",Ensenanza de /as Ciencias, 9 (1), 10-21.
BROUSSEAU,G., BROUSSEAU,N. (1987). Rationnels et decimaux dansfa scofarite obligatoire. Publicaciones del IREM de Bordeaux.
BROUSSEAU,N. (1987). La mesure en Cours Moyen Ire annee. IREMde l'Universite de Bordeaux, 1992.
LA ESTRUCTURA DEL PROCESO DEESTUDIO
LAS MATEMATICAS "EN VIVO"
EPISOD,J04
En clase de practicas
Habia que dado para visitar una c/ase de Luis con sus alumnos de 4°de ESO. Pero he Uegado muy tarde y solo puedo asistir a Losultimos20 minutos.
Los alumnos estan trabajando. Luis me trae una hoja con 35 ejer-cicios (I) titu/ada "Calculo con radicales". Los ejercicios son todos muyparecidos y tienen un enunciado comun: ••Eliminar Losradicales deldenominador de /as siguientes eipresiones".
Luis.- Vamos aver, habeis dicho que la mayoria de los 35 ejerci-cios no planteaban ninglin problema:- (No es eso? .
Algunos alumnos asienten, pero todos siguen trabajando.
Algunos alumnos mueven /a cabeza sin interrumpir su trabajo.El ejercicio 23 consiste en ••Eliminar Los radicales de /a eipre-sion V5 ~ .» Luis ha escrito esta eipresion en /a pizarra.
5- 3+1 .
Han pasado 5 minutos. Pt;t.receuna eternidad. Luis estaba sentado ensu mesa. Se ha levantado y sepasea por el aula. Luego vuelve a /a piza-rra y se dirige a sus alumnos. Dos 0 tres de eUoshan dejado de trabajar.
Luis. - jVamos aver! Creo que es hora de hacer una pequefia pues-taencomun.
Espera unos instantes y se acerca a una alumna que sigue traba-jando.
L.- A ver, Andrea, (que has encontrado?Andrea.- Nada ...
. L.- (No te ha salido nada?
Los alumnos inteTTumpen su trabajo para seguir el dialogo entreLuis y Andrea.
L.- Aver, (y 105 demas? (Alguien ha encontrado algo? (Una ideao un amago de idea?
La mayoria de los alumnos no se atreven a contestar. Uno parecedecidirse.
L.- Miguel quiere decir algo. jAdelante!MigueL- Si, bueno ... Habia pensado en hacer desaparecer la V3 deldenominador. Con la tecnica de antes ...L.- 0 sea, como si solo hubiera una V3, (no es eso? Ignoras quehay una VS.MigueL- Sf... Escribo en el denominador VS mas 1, menos V3.Poniendo VS mas 1 entre parentesis. (Hace un gesto con la mano.)L.- Vamos aver, si te entiendo bien, has hecho esto. (Escribe en lapizaTTa.)
22VS-V3+1
22= (VS+ 1)-Y3
M.-Eso es.L.- (Y a partir de aquL.? ...M.- Pues 10 de siempre: multiplico porIa expresion conjugada.L.- (Y que encuentras? .M.- No 10 se, aun no 10 he hecho.L.- (Como que no?M.- No, porque me seguira quedando alguna VS en el denomina-dor.L.- Ya, claro. Pero, hombre, en lugar de ver que seguira guedandoalguna VS, jes mejor decirse que ya no habra ninguna v3! jEs co-mo aquello de la botella medio vada 0 medio lIenal (Risas de losalumnos.) Bueno, volvamos al principio. Si hacemos 10 que dice
Miguel, nos quedani alguna VS que tendremos que hacer desapa-recer ... Pues hagamoslo. Pensar esti bien, pero de nada sirve pen-sar si despues no actuamos. (Lo entendeis? Primero hay que ha-cerlo, y despues ya veremos. Asf, el primer paso es... (Miguel?M.- Multiplicar por la expresion conjugada: por '1/5 + 1, mas V3.
Luis aflade en la pizaTTa:
22 22VS-V3 + 1 - (VS+ 1)-V3
22 X «VS + 1) + V3)«VS + 1) - V3) X «'1/5+ 1) + V3).
L.- Isabel, (estas de acuerdo?Isabel (tfmidamente).- Sf, si.L.- Pues, ahora hay que hacer los cilculos. Os doy 2 minutos.
Luis deja la tiza y sepasea en silenciopor el aula. Los alumnos tra-bajan. Luis se detiene ante una alumna, mira 10que bace, ba.bla unpoco con ella. Despues repite 10 mismo con un alumno de la primerafila. Ya ban transcurrido Los2 minutos. Luis consulta su reloj, 'Vuelvea la pizaTTa y mira a la clase.
Espera un poco mas..• Despues se dirige a la alumna con la que babablado antes.
Maite se levanta y va a lapizaTTa. Escribe el calcu10sin pronunciarpa.labra. Luis y los demas la observan en silencio.
22 = 22 X «VS + 1) + v'3)VS- V3 + 1 «VS + 1) - V3) x «VS + 1) + V3)
22 (VS+ 1 + V3) 22 (1 + V3 + VS)=-------=-------(VS+l)2-3 3+2VS
L.- Gracias Maite. Pues bien, esto es 10 que se obtiene. Como veis,ya no queda ninguna V3 en el denominadorUn alumno.- jPero sigue habiendo una V3 en el numerador!Una alumna.- jDa igual!
L.- Bueno, Carlos, dices que queda alguna V3 en el numerador.Tienes toda la razon. Pero recuerda cual es el objetivo delma: eliminar las ralces del denominador. Lo que ocurra en el nu-merador no importa, nos limitamos a constatarlo: queda una ex-presion con V3y VS.La alumna de antes.- Por cierto, cuando habia un solo radical, pa~saba 10 mismo. Si en el denominador habia 4 - V3, al multiplicarpor 4 + V3 seguia quedando alguna V3 en el numerador.L.- Sf. No es nada raro que quede alguna V3 0 VSen el numerador.Lo que importa es el denominador. Miguel, (querias decir algo?MigueL- Sf. Que 10 que ha escrito Maite es uno de los ejerciciosde la lista.L.- (Que quieres decir?
M.- Que sale 22VS ,como en el ejercici07.3 +2 5
Luis y algunos alumnos consultan Lalista de ejerooos.
L.- Es verdad, fijaos en el ejercicio 7: habfa que racionalizar la ex-
presion 22VS . (Por 10 tanto ...?3 +2 5
M.- En el ejercicio 7 hemos encontrado una expresion del tipoa + bVS. Si ahora hacemos 10 mismo con la e!presion de la piza-rra, tendremos a + bVS multiplicado por 1 + "3 + VS.L.- Muy bien. (Y a partir de aqui que harias?M.- Nada. jYa no quedaran rakes en el denominador! De hecho,jni siquiera habra denominador!Una alumna.- Podemos desarrollar el producto.Algunos alumnos.- jLuis, me he perdido! jVas muy deprisa!L.- Vale, vale. Voy a recapitular. Mirad la expresion que ha escritoMaite en la pizarra. Podemos escribir esta expresion asl. (Escribe.)
__ 22__IF
_(1 + V3 + VS)3 + 2v5
Y, llegado aquf, Miguel se ha dado cuenta de que esta expresion
(rodea con el dedo Laexpresi6n 22~ ) es la del ejercicio 7 que3 + 2 5
ya hemos racionalizado antes. Sabemos que la podemos escribiren la forma a + bVS. Es 10que hemos hecho en los ejercicios ante-riores. Si 10hacemos, llegaremos a una expresion del tipo:
(a + bVS)(l + V3 + VS)
232
Y entonces Nuria ha propuesto que desarrollemos el producto.Pero ya se ve que no queda nada en el denominador.Un a!umno:: jPero para des~rr~ll.ar hay q~e conocer a y b!L.- SI. (Qulen ha hecho el eJerC1CI07? (Tu, Marcos?Marcos- No, este no 10he hecho.L.- (Y ro, Carlos?Carlos.- Sf. He hallado ... 4VS- 6. (Luis escribe esta expresi6n en Lapizarra.)L. - Marcos (10 puedes comprobar con la calculadora?
Marcos teclea su calcuLadora. Todo el mundo lo espera.
Marcos- Sf, esta bien. En los dos casos sale 2,94427191.L.- Bueno ... (Mira su reloj.) Vaya ... Lo tendremos que dejar aqufpor hoy. La expresion del ejercicio 23 es igual a... (escribe en Lapi-zarra)
Para. manana, me desarrolIais este producto, como proponfaNuna. c.V~is10 que ocurriri? Hallare~ una expresion con algunaV!.multlplicada por alguna VS,es deCK, con alguna V1S. No olvi-dels comprobar el resultado con la calculadora. Y mirad tambienel ejercicio 24. Manana volveremos a hablar de todo esto.
Tecnicas, tecnologias y teorias matematicas
E.- Buenos dfas, Profesora.P.- Buenos dfas. jTe veo muy en forma! .E.- Sf. (Te has mirado el episodio? E~ el de la clase de LU~s~el de
la racionalizaci6n de expresiones con radlcales. Creo que nos Ira muybien para contrastar nuestros amilisis sobre la clase de Marta.
P.- Son episodios realmente muy distintos ...E.- jY tan distintos! A mf la clase de ~~~ me gust6 mu~ho. Pero
esta de Luis ya es otra cosa ... jTantos eJerclclos Y tan parecldos! Nose...
P._ Vaya. Asf que no te entusiasma 10 que hace Luis. Y eso queahora ya deberias disponer de algUn que otro elemento para poderanalizar y entender 10 que hace.
E.- Quiza sf, pero ...P._ Vamos aver, empecemos eliminan?o una primera dific'!ltad.
Una cosa que te disgusta, por 10q'!e has dlCho antes~ es 9,!e LUISha-ya distribuido a sus alumnos una lista con muchos eJerclclos. (No eseso?
E.- Sf. Muchos y muy iguales. Porque, a pes~ de .~s enseiianz~,sigo sin entender para que sirve proponer tantos eJerclclos tan parecI-dos.
P._ No son tan parecidos como a ti te parece: hay expresiones conun solo radical y expresiones con dos radicales.
E.- Sf, ~laro. Lo que se quie~e es .que los alumn?~ se enfrenten.aun nuevo tlpO de problemas: raclOnahzar una expreSlon con ~os radl-cales. Y antes se les dan muchos ejercicios con uno solo radical para
que, a partir de la tecnica de que disponeD, creen una tecnica para lasexpresiones con dos radicales. (Es eso, no?
P.- Yo diria que 10 que Luis quiere en primer lugar es que susalumnos dominen la tecnica de racionalizaci6n de expresiones con unsolo radical en el denominador.
E.- Entonces (por que incluye en la lista expresiones con dosra-dicales?
P.- No conozco exactamente las razones de Luis. Pero me puedoimaginar muchos y buenos motivos para ello. Por ejemplo, porquequiere que sus alumnos pongan a prueba la tecnica de que disponen.
E. - La de multiplicar por la expresi6n conjugada.P.- Sf, eso mismo. Si 10salumnos ya dominan esta tecnica y la han
puesto a prueba con un numero bastante importante de ejercicios,entonces no hace falta que hagan 10s otros de la lista. A cada uno Iecorresponde juzgar 10que es util y necesario para su estudio.
E.- Ya veo. Si alguien cree que ya domina bastante la tecnica,entonces puede repasar rapidamente la lista, hacer algUn ejerciciopara asegurarse de que no se equivoca y centrarse en los que parecenun poco mas diffciles para asf poder enfrentarse a nuevas dificulta-des.
P.-Esoes.E.- Pero sigo sin entender por que ha mezclado Luis en una mis-
ma lista ejercicios de dos tipos diferentes: con un radical y con dos.P.- Seguro que hay un motivo, 0 mas de uno. En primer lugar, y
como tli deefas muy bien, esta "mezc1a" plasma la idea de elaboraruna tecnica para expresiones con dos radicales a partir de la tecnicapara expresiones con un radical.
E.- Sf, c;laro, pero ...P.- Hay algo mas. Porque esto, en el fondo, es una creaci6n tecni-
ca por continuidad. Al mismo tiempo tambien hay una ruptura queno se sitlia exactamente en el plano de la propia tecnica.
E.- A ver, aver ... Ya no te sigo. .P.- Claro que el episodio termina justo en el momento en el que
se va a pl'oducir 10que yo pienso. Quiza ocurri6 en la siguiente clase.E.- (Que quieres decir? (D6nde hay una ruptura?P.- En el tipo de resultado que se encuentra en cada caso. En eso
se diferencian las expresiones con un radical de las de dos.E.- jAh, ya se a que te refieres! Lo pense al leer el episodio.
Cuando los alumnos calculan la expresi6n V5 2~ ' obtienen un. 5- 3+1
resultado con tres radicales: ademas de V5 y V3 tambien hay algunaill, (no? En cambio, al racionalizar expresiones con un solo radical,se encuentran siempre expresiones con el mismo radical.
P.- Eso es 10 fundamentalmente nuevo. Por 10 tanto, la novedad
no es solo la manera de proceder, la tecnica. Lo nuevo es la forma delresultado que se obtiene.
E.- Por 10 tanto, no todo se reduce a la tecnica. Hay algo mas.(Pero que? (Me 10 puedes explicar?
P._ Claro que sf. Mira, imaginate a uno de los alumnos de Luiscuando Hega a casa y se pone a resolver el ejercicio que has indicado.Va a desarroHar el producto ... (Mira fa ultima hoja del episodio y es-cribe en fa pizarra.)
22V5 V3 - (4V5- 6)(1 + V3+ V5).5- 3+1E.- Vale.P._ Encontrara... (Hace el calculo rapitlamente) 14 - 6V3- 2V5 +
4Vl5. Este alumno sabe que, al dia siguiente, Luis Ie puede pedir quesalga a la pizarra para presentar su solucion. Y tendni que afirmar,delante del profesor y de toda la clase, que:
V5 2~ = 14 - 6V3- 2V5+ 4v155- 3+1
Pero, claro, (como puede estar seguro de que esta es la respuestaque espera Luis?
E.- jHombre, porque ha obtenido una expresion sin radicales enel denominador! En este caso, jni siquiera hay denominador!
P._ Es verdad. Pero a 10 mejor el alumno piensa que tiene que pre-sentar la solucion en su forma mas simple, en su forma canonica, es-tindar. Y no sabe si aun debe simplificar mas la expresion 0 si ya haHegado al final.
E.- 5i llegara a una expresion del tipo a + bV3 + eV5seria diferen-te, (es eso?
P._ 5i. En el resultado de antes, podria ser que el alumno quisieraeliminar la ill. Y como no sabe como hacerlo, piensa que no sabe re-solver el problema, que hay alguna manipulacion que se Ie escapa. Endefinitiva, no esta seguro de haberrealizado el ejercicio correctamen-te.. E.- (5e puede decir entonces que la tecnica que manipula aun noesta a punto, que no la domina del todo?
P._ 5i quieres. De hecho, 10 que Ie falta es un criterio de parada.E.- Como en un algoritmo, en informatica.P._ Exacto. Y esto no forma parte de la tecnica sino, por decirlo de
alguna manera, de un saber relativo a la tecnica. Forma parte de latecnologfa de la tecnica.
E.- (La tecnologia? (Que quieres decir?
P.- Mira, tecnol~gia significa, literalmente, un discurso razonado(logos) sobre un obJeto que es una techne, una tecnica.
E.- (Y que seria aqui ese discurso razonado sobre la tecnica?P.- Pues seria algo asi como: "una expresion del tiPo considerado
se puede escribir de manera unica como a + bV3+ cV5+ dill".E.- Asi q~e, cuando el alumno encuentra 14- 6V3- 2V5+ 4ill Y
no se ha equlvocado, puede estar seguro de que esa es la solucion queespera Luis, puesto que solo hay una.
P.- Eso es.E.- Entonces, 10 que has Hamado tecnologia, sera algo asi como
un teorema.P.- Aqui si, es un teorema. Aunque este teorema es solo una parte
de la tecnologia.E.- (Que mas habria?
.. P.- En gen.eral, una tecn~logia e,su!l discurso matematicoque jus-t1flca y permlte e!l~ender clerta tecmca. EI teorema que he citadocumple estas condiCIOnes puesto que nos asegura que, si hacemos loscalculos apropiados para quitar los radicales del denominador, en-tonces hallaremos la forma canonica deseada.
E.- Ya veo. En la clase de Luis han empezado por quitar la V3 deldenominador. Y el teorema dice que si se empieza quitando la V5 seHega al mismo resultado -puesto que es uniCD-.
P.- 5i, ~so es. Podriamos pensar que, si empezamos quitando laV5, a 10 meJo~ nos en;contramos con algo que bloquea el calculo, queno nos permne segulr. Pero esto no puede ser, porque una vez qui-tada la V5 ya solo quedara una {jque, segUn la tecnologia que rigela .tecnica para expresiones con un radical, siempre podremos eli-mmar.
E.- jUf! jQue complicado! Lo que quieres decir es que, en la tec-nologia de la tecnica de dos radicales, hay que incluir la de un radical.(Es eso?
P.- j5i, efectivamente ...!E.- Peeo hay algo mas. El teorema 9.ue has citado dice que una vez
Hegados ala expresion 14 - 6V3- 2'15 + 4ill ya no podemos sim-plificar mas. Pero no dice por ~e, no dice por que con un radical seobtiene algo de la forma a + bv3 y con dos radicales algo de la formaa + bV3 + d5 + cill. La tecnologia no explica de donde sale ese ter-mino con una ill.
P.- jEres muy exigente! (Que por que es asi? Esto 10 tendria queexplicar la tecnologia de la tecnologia.
E.- (Un discurso que explicaria por que el teorema afirma 10 queafirma?
P.- 5i, y que justifique por que es asi.E.- (Y donde estoiesa tecnologia de la tecnologia?
P.- En primer lugar, hay que decir que ala tecnologfa de la tecno-10gla la llamamos una teoria, la teoria de la tecnica.
E.- jEs verdad que todo esto se vuelve cada vez mas te6rico!P.- Y aiiadire esto: puede ocurrir que una tecnologfa justifique sin
dar a entender.E. - Antes has dicho que hacfa las dos cosas a la vez.P.- No, he dicho que una tecnologfa tenfa a priori esas dos funcio-
nes. Pero muchas veces, en matematicas, se demuestra que algo es co-mo es sin poder explicar por que es as£.Por ejemplo, puedes intentardemostrar el teorema de antes. Ahora bien, explicar el fen6meno quedescribe este teorema, eso ya es otra cosa. jY de una dificultad muysuperior! Para empezar, te podrfas preguntar en que podria consistiresa explicaci6n. La respuesta no es trivial. Pero asf es como se progre-sa en matematicas.
E.- Vale, ya 10pensare. Pero aun hay otra cosa~ (Tu crees que losa1umnos van a ir tan lejos? A mf me da la impresi6n de que, en lapractica, todo es mucho mas sencillo: el alumno enseiiara su resulta-do aI profesor, este Ie dira si esta bien 0 mal, a 10 sumo Ie hara notarque hay tres radicales en lugar de dos, y poco mas. (No basta coneso? jMientras los a1umnos "racionalicen" bien!
P.- Basta y no basta. Para cualquier matematico, y para los mate-maticos en general en una epoca determinada, siempre existen cues-tiones oscuras, que te diran que no entienden.
E.- Esa es la tarea de los investigadores: difundir las luces del sa-ber para disminuir la oscuridad.
P.- Sf. Pero creo que para contestar mejor a tu pregunta, empeza-re planteandote yo una a ti.
E. - Te escucho.P.- Imagfnate una c1aseen la que 10sa1umnos tienen que hacer su-
mas de fracciones. Un alumno enseiia su resultado al profesor: ha en-
contrado -!!.. EI profesor Ie dice que se ha equivocado, que el resul-28tado correcto no es ese; (Que es 10que Ie permite dar esta respuesta?
E.- jPues, supongo que el profesor habra hecho los calculos y Ie
saldra otra cosa! A 10 mejor eI resultado exacto no es 19 sino 20 0,28 28
mejor dicho, simplificando, 2... Y eso es 10que Ie dice el profesor a su7
a1umno.P.- En otras palabras, jel resultado correcto s610 puede ser el que
ha encontrado el profesor!E.- Sf. A menos, claro, que el profesorse haya equivocado. Pero
supongo que la probabilidad de error del profesor es menor quela desus a1umnos.
P.- Pues, supan ahora que los a1umnos tienen que haeer un ealcu-10 algebraico y que un a1umno ha encontrado (x - 1)2+1. En eambioel profesor ha encontrado x;2 - 2x + 2.
E.- jEs 10mismo!
P S' .p to ' 19 , b" I' 5.- t. ( ero en nces por que - no Sertatam ten 0 mtsmo que-?28 7E.- Porque son fraeeiones distintas ... e irreductible~ .•.P.- Sf. Cuando se escriben dos fracciones en su forma irreductible,
para ser iguales tienen que ser identicas, es decir, deben tener eI mis-mo numerador y el mismo denominador. Claro que 5i una de las dosfraceiones no esta redueida, el criterio no funeiona.
20 5E.- Como eon - y -. Pero, e5pera un momento. Lo que me e5-
28 7t:is diciendo es que, en general, 5e intentan escribir los objetos mate-maticos en una forma que tenga la propiedad de 5er unica.
P.- E~~ mismo. ~e procura que los objetos del mismo tipo se pue-dan escnbu de la rmsma forma. Es 10 que 5e llama la forma canonic a.
. E.- Ya, ya 10se: las !rac~iones se simplifican, 105polinomios se es-cnben ordenando los termtnos por grado5 decrecientes ... y las expre-5iones como las de antes con un radical 5e escriben de 1aforma a + bvn.
P.- Muy bien. Uno se pasa mucho tiempo aprendiendo a poneruna expresi6n dada en su forma ean6niea, simplificando fraceionespor ejemplo. Pero ahora quiero que volvamos a mi pregunta.
E.- jSi ya la hemos contestado!P.- Matematieamente sl. El profesor puede ·deeirle a su alumno
que se ha equivocado porque 5Uresultado, en forma can6nica, es dis~tinto del que ha encontrado el profesor. Y tambien porque el profe-sor sabe que la expresi6n del resultado en forma ean6niea e5 uniea.
E.- Ya,ya veo por d6nde vas. Porque el teorema de unicidad nose ha demostrado en c1ase. Y es precisamente 10 que justifica la res-puesta del profesor.
P.- jEs mueho peor! No es que el teorema no se haya demostra-do, je5 que ni siquiera se ha enunciado! Ni siquiera se ha planteado lacu~st~6n. Se da por sentado, eomo si fuera evidente que la respue5taes umea.
E.- Eso debe ser porque en la escuela siempre se trabaja con ex-presiones en forma can6nica, para las que hay unicidad.
P.- Seguramente. Pero, despues, mira 10 que ocurre. Los alumnospasan mucho tiempo aprendiendo a escribir ciertas expresiones mate-matieas en su forma can6nica (simplificando fraeciones, desarrollan-~o y ordenando los terminos de un polinomio, etc.) y, aI mismottempo, se les esconde la raz6n de todo este trabajo y el porque detanto esfuerzo.
E.- (Estis criticando a Luis?P.- No, no, en absoluto. De hecho no sabemos 10 que ocurre des-
pues de la clase del episodio.E.- Vale, de acuerdo. Pero aun tengo otra pregunta.P.- Pues venga, planteala.E.- Entiendo que 10de poner una expresi6n en una forma can.6ni-
ca para poder identificar tal 0 cual objeto sea importante. Por eJem-plo, hay que poder saber si tal fracci6n es 0 no igual que tal otra, 0 sital polinomio es igual que tal otro, etc.
P.- Eso es.E.- Pero 10que no entiendo es que, con todo esto de los radicales
y de racionalizar los denominadores de ciertas expresiones ... Todoeste trabajo ... En el fondo es una obra matematica, (no?
P.- S£.E.- Y si es una obra, responde a alguna cuesti6n.P.- Si, claro, se justifica por el hecho de que, en matematicas, a ve-
ces hay que manipular expresiones con radicales.E.- Esto seria 10 mas natural. Pero no 10 acabo de tener muy cla-
ro ... (Que hace que se tengan que manipular, expresiones. con. radi~a-les? (Seguro que los alumnos de ESO ,tendran ~ue estudlar slt~aclo-nes matematicas en las que apareceran expreSlones con radlcales?Mira 10que te digo: si la respuesta es que no, entonces me parece unaestupidez, e incluso poco etico, el ha~erles estudi~ una obra ma~ema-tica que, para elIos, no responde a mnguna cuestlo?, que. no satlsfaceninguna necesidad. Creo que habria que crear al mlsmo tlempo la ne-cesidad y la manera de satisfacerla. (No te parece~ . .,.
P.- La cuesti6n que planteas es en efecto esenclal. Y SItu hlPOteslSes cierta, entonces creo que deberiamos concluir que, en el curriculode secundaria, esta obra matematica es una obra muerta. Esta aM? seestudia, pero nadie sabe por que esci ahi ni por que hay que estudlar-Ia.
E.- (Y seguro que no es 10que ocurre con 10de I~s .radicales?P.- Pues depende ... Recuerda que nos estamos refmendo aun cu-
rriculo abierto.E.- (Y eso que tiene que ver?P.- Puede ocurrir que los alumnos se encuentren con problemas
que conduzcan a manipular expresiones con radicales 0 ?O, depen-diendo del instituto. Y, claro, en el Instituto Juan de Matrena no seestudiarian las expresiones con radicales si no respondieran a una ne-cesidad matematica concreta.
E.- Eso es 10que queria saber. (A que necesidad responden?P.- jAh! jBonito problema! Podrias intentar re.solverlo tu m~smo.
Piensa un poco ... <. C6mo pueden aparecer expreSlOnes con radicalesen las matematicas elementales? 0, mejor dicho, (d6nde?
E. - Vamos aver ... (En geometria, tal vez? Debido al teorema dePitigoras, (es eso?
P.- Exactamente.E.- Pero sig~ sin ver concretamente en que tipo de problemas
aparecen expreslones como las de antes.P.- Mira, como ya es hora de terminar, 10dejaremos para el pr6xi-
mo dia. Asi tendras tiempo -y yo tambien, por cierto- para buscar unejemplo. A ver que pasa.
E.- Me parece bien. Buscare en los manuales que tengo en casa, aver si encuentro algo. Gracias, Profesora.
Creaci6n y dominio de tecnicas matemiticas
P.- jHola, Estudiante! (C6mo te ha ido conaquello de los radica-les? (Has hallado alg6n ejemplo geometrico.
E.- He buscado, pero sin exito. No he encontrado nada en losmanuales. Claro que no he mirado en todos ... S610 los que tengo encasa. Y no he tenido tiempo de pensar un ejemplo por mi cuenta.
P.- Bueno, entonces te propondre yo un ejemplo sencillo.E.- (Tienes uno? Muy bien, cuentame..P.- Aver ... Considera esta figura (va a Lapizarra y dibuja Losi-
guzente):
Hay dos circulos que delimitan una corona y, en el circulo peque-~o, hay un cuadrado inscrito. Podria tratarse, por ejemplo, de un mo-tlvo en un cuadro abstracto.
E.- Vale.P.- Ahora sup6n que tenemos una foto de este motivo y que que-
remos conocer sus dimensiones exactas. Por ejemplo, cuanto mide,en centimetros, el radio r del circulo exterior. (De acuerdo?
E.- Si. Pero tal como 10presentas, el objeto puede ser de cualquiertamano, (no?
P.- Si no tenemos ning6n dato mas, si. Pero imagina que, ademas,ellado del cuadrado divide el radio del circulo mayor por la mitad.Algo as!:
E.- Vale, pero sigue pasando 10 mismo. La figura real puede sermuy grande 0 muy pequeiia, no 10 podemos saber.
P._ De acuerdo, de acuerdo. Pero supon que conocemos algunamedida de la figura real. Por ejemplo la amplitud de la corona, 0 seala diferencia entre los radios de los dos circulos. Supongamos qu.e esde unos 45 em. (Podemos determinar ahora el ~aiio real de la flgu-ra? (Podemos hallar el radio r del drculo extenor?
E.- Vamos aver ... Supongo que la figura debe ser bastante grande.Aunque, la verdad, no se ..,
P.- (Tu que harias?E.- (Para hallar la r? Pues ... (Va a la pizarra y escribe.) Sabemos
que esto (seiiala el segmento OA) vale ;. Bueno. Luego esto (seiiala
el radio OC) vale OAVi, es decir ; Vi. Por otra parte, OC vale tam-
bien r - 45. Asf que tenemos (escribe):
!-Vi=r-452
P._ Bueno. Y ahora solo falta resolver esta ecuacion.jY de eso sfque sabemos un rato! . . ., .
E.- jSi no, preg6ntaselo a Marta! (Rzsas.) Venga. SI multlphco losdos miembros por 2, sale (escribe):
90r= 2-Vi'
242
P.- Muy bien. Pero supon que alguien ha resuelto la ecuacion de
la manera siguiente. Como ..!.. Vi es igual a _~, multiplico los dos2 v2
miembros por Vi y obtengo (escribe):
r= Vir-45Vi
45Vir= .
Vi-1
E.- Ya. De esta manera salen dos expresiones distintas para unamisma solucion.
P.- Eso mismo. Y tambien hubieramos podido resolver la ecua-cion e1evando los dos miembros al cuadrado, y recordando que la rdebe ser mayor que 45. Llegariamos a:
r2-x 2 = (r-45)24
r2 = 2(r - 45)2r2 - 290r + 2x452= 0(r - 2x45)2- 2x452 = 0r = 2x45 + 45Vi = 45(2 + Vi)
E.- jHuy! jEso ya es mucho mas complicado!P.- Sf, pero en cambio se obtiene directamente la expresion cano-
nica de r. Y asf llegamos a tres resultados formal mente distintos:
90 45Vir = vi; r = Vi ; r = 45(2 + Vi).2- 2 2-1
(CuaI es el bueno? Aquf es donde entra en juego todo el trabajomatematico sobre las expresiones con radicales. Porque es importan-te poder demostrar que las tres expresiones representan en realidadun mismo numero: el radio r de la figura.
E.- Muy bien. Ya tenemos 10 que buscabamos. Para resolver esteproblema, hay que ver que las tres soluciones son iguales y, para ello,hay que saber manipular expresiones con un radical. Muy bien. Perocreo que el ejemplo no es tan bueno como parece.
P.- (Ahno?E.- No. Porque 10 que querfamos al principio era encontrar el ta-
maiio del objeto. Por 10 tanto, 10 que nos interesa no es la expresion
con radicales, sino su valor numerico. Y con la calculadora tenemosenseguida una aproximaci6n decimal de r. (C?ge su calc,,!fadoray te-clea unos instantes.) El drculo mayor mlde, aproxlmadamente,154 cm de radio. Pongamos un metro y medio. Eso es 10 que queria-mos saber, (no?
P.- No del todo ...E.- jMe 10 esperaba!P.- Tu comentario me parece correcto: a priori queremos un valor
aproximado del tamano del objeto. Qu~remos saber si r v~e 80 ~m, 02 m, 0 1 cm, etc. Desde este punto de vIsta, las tres expreslones SIrvenigual, jsiempre que tengamos una calculadora ~,mano, clar~! Pero an-tes de calcular el valor numerico de la r, hublesemos POdldo querercontrofar nuestra soluci6n. Y una buena manera de comprobar que elresultado es correcto consiste en ir por un camino diferente y ver si sellega al mismo resultado. Al final hay que asegurarse de que las dosexpresiones son iguales. Y, como hemos visto, pueden ser formal-mente muy distintas. .' .
E.- Ya. Y para ver ~e son 10 mismo, 10 meJor es escnblrlas en suforma can6nica a + b '12.
P.- Asi es. Tambien puedes intentar pasar de una a otr~ pero paraello ya hay que ser un poco mas "manitas" (escribe en fa pJzarra):
90 _ 2x45 _ (V2)2x45 _ 45V22 - V2 - 2 - V2 (V2)2- V2 ..fi - 1 .
E.- Vale, estoy de acuerdo. Pero si uno supone que no se ha equi-vocado, no sirve de nada reducirse a la forma can6nica para llegar aun valor aproximado de la r. .
P.- Tienes algo de raz6n ... Pero no toda la raz6n. Lo que dIces noes del todo cierto.
E.•- (Por que no? .P._ Ffjate bien. Sup6n que quieres un valor. aproxlmado de la r
con un error maximo de algunos centimetros. DIgamos ~ue, como lar vale unos 150 cm, te contentarias con un valor aproxlmado entre150y 160 cm.
E.- Vale.P._ Sup6n tambien que no tienes calculadora. In!entaras hacer el
calculo a mano y simplificando algo las cosas. Por eJemplo, en lugar
1., 90 ,
de V2 vas a tomar 1,5. Si 10 haces con a expreslon 2 _ V2' (a que
resultado llegas? .E.- Pues 90 dividido entre 2 menos 1,5, es declr, 90 entre 0,5, que
es 10 mismo que 90 multiplicado por 2, 0 sea 180.
P.- jYa esw fuera de la zona 150 -160!E.- Si, pero porque he tornado un valor de V2 muy poco aproxi-
mado. V2 es 1,414 y algo mas.P.- Bueno, pero no me negaras que 1,5 es una aproximaci6n muy
practica para hacer caIculos mentales. Por ejemplo, prueba ahora con
1 d·' 45V2a segun a expreSlon: .M •v2-1
E.- jDara 10 mismo!P.- jHazlo por favor!E.- De acuerdo. 45 por 1,5 y dividido entre 0,5, 0 sea 45 por 3,...
135. Es verdad, no da 10 mismo.P.- No. Y tam£.oco da 10 mismo con la expresi6n can6nica. Mira:
teniamos 45(2 + '12), es decir, con la aproximaci6n, 45 por 3,5. 45 por3 dan 135, y si Ie sumamos la mitad de 45, es decir 22,5, llegamos a157,5.
E.- jVaya! jY esta aproximaci6n si que entraen la franja 150 -160! Que curioso ... (Por que hallamos cosas tan distintas? No 10 en-tiendo ...
P.- (No 10 entiendes? Entonces es que estas en un tipo de situa-ci6n de la que ya hemos hablado: necesitas una tecnologia matemati-ca que te permita entenderlo.
E.- (Que quieres decir?P.- Pues, simplemente que te encuentras ante un fen6meno mate-
matico que no entiendes, a saber, por que la expresi6n 45(2 + V2) daun valor aproximado mejor que las otras dos.
E.- Muy bien. (Pero en este caso que seria una tecnologia mate-matica apropiada?
P.- sera algo que te permita entender -el fen6meno. Aqui, porejemplo, puede consistir en un modelo matematico.
E.- (Un modelo matematico de un fen6meno matematico? Mesuena un poco raro ...
P.- No 10 es en absoluto. Para nada. Siempre ocurre algo pareci-do: para entender un fen6meno matematico, se construye un modelomatematico. Las matematicas progresan de esta manera. Para enten-der un fen6meno matematico que no se entiende, 10 primero que senecesita son mas matematicas.
E.- Vale, vale. (Y que se necesita aqui?P.- Mira, podemos modelizar la situaci6n de la siguiente manera.
Tenemos tres expresiones numericas (escribe):
902-V2
45V2..fi -1
A cada una Ie haremos corresponder una funci6n, sustituyen.do Vi por la variable x. Para la primera, tendremos la funci6n
90 .f(x) = 2 .-x
E.- Ya veo. Para la segunda, sera g(x) = 45x y para la tercerax-I
hex) = 45(2 + x).P.- 51,0 hex) = 90 + 45x. Muy bien. Ahora considera la funci6n h.
Es una funci6n afin creciente.E.- 51,y 10 que nos interesa es h(Vi).P.- Eso es. Si tomamos 1,5 como valor aproximado de Vi, tendre·
mos que calcular h(l,S). Y como 1,5 es mayor .9.ueVi, hallaremos unvalor de h(1,5) mayor que el valor buscado h(v2).
E.- Es veroad. Teniamos que h(Vi) ~ 154 Y h(1,5) = 157,5.P.- {Y con las dem:is funciones?
E.- Vamos a ver. La funci6n.!tx) = ~ es una funci6n hiperb6-2-x
lica... Cuando x crece siendo Menor que 2, el denominador 2 - x de·crece y, por 10 tanto, la funci6n crece.
P.- {Por 10 tanto?E.- Por 10 tanto, el valor aproximado .!tl,5) sera mayor que .!tV2).
Creo que era 180, {no?
P.- 51. Y ahora s610 falta la funci6n g(x) = 45x . {Es creciente 0x-I
decreciente?E.- Aver ... (Piensa unos instantes.) Asi de pronto, no 10se.P.-{No 10sabes? Pero te acuerdas del resultado numerico, {no?E.- 51.Era g(1,5) = 135, 0 sea, Menor que g(Vi). ASI que supongo
que la funci6n sera decreciente. Vaya, eso creo. Pero tendria que ver-10 mejor, calculando la derivada y todo eso.
P.- jVenga! jNo es necesaria tanta complicaci6n! Mira esto (escri-be en Lapizarra):
g(x) = 4Sx = 45(x- 1) + 45 = 45 +~.x-I' x-I x-I
E.- jClaro! jQue ingenioso! Y ahora se ve que cuando x crece y es
mayor que 1, ~ decrece. Por 10tanto, la funci6n g(x) tambien de-x-I
crece. Lo que deciamos antes.P.- Bueno. Me imagino que ya entiendes por que, cuando toma-
mos 1,5 como aproximaci6n de Vi, la primera y tercera expresiones
nos dan valores mayores que el que buscamos, y la segunda nos 10daMenor.
E.- 51,perfectamente.P.- Pues la tecnologia matematica que te permite entenderlo pro-
viene de haber modelizado expresiones numericas con funciones. Apartir de aqul, podemos utilizar las propiedades mas elementales delas funciones, como su crecimiento 0 decrecimiento, por ejemplo.Cosa que no podiamos hacer con las expresiones numericas que sonvalores constantes: ni crecen ni decrecen.
E. - Vale. Estoy de acuerdo. Pero aun no hemos acabado. Lo quequeriamos saber era por que la tercera expresi6n da una mejor apro-ximaci6n por exceso.
P.- {A ti que te parece?E.- No 10veo muy claro .•.P.- Te dejare buscarlo por ti mismo.E. - Vale, como quieras. Ya 10 hare. Pues entonces ... {Podriamos
volver a Luis?P.- Claro que sl.E. - Sigo pregunt:indome por que da a sus alumnos una lisla tan
larga de ejercicios.P.- Veamos.Supongo que los alumnos de Luis habran abordado,
durante las clases anteriores a la del episodio, un nuevo tipo de pro-blemas matematicos: dada una expresi6n numerica con un radical Vii,c6mo escribirla sin que haya radicales en el denominador. Tambienhemos visto, hace un rato, que podia justificar el estudio de este tipode problemas.
E.- 51.P.- Por 10 tanto, durante las clases anteriores, tendra que haber
surgido, en Manos de los alumnos, una determinada tecnica que per-mita abordar este tipo de tareas matematicas.
E.- La tecnica de la expresi6n conjugada. ,P.- Eso mismo. AI principio, las tareas matematicis del tipo con-
siderado eran, sin duda, para los alumnos, totalmente problematicas.Lo que Luis debe conseguir es que, despues de cierto trabajo, estastareas se vuelvan casi rotinarias para sus alumnos. 0, si quieres, quecuando esten ante una expresi6n del tipo considerado, por ejemplo ...(escribe en Lapizarra)
la utilizaci6n de la tecnica de multiplicar por el conjugado sea algocasi auto matico. Que 10hagan como por rotina.
E.- Permlteme un comentario, Profesora.
P.- Adelante.E.- (Por que se quiere que los alumnos lleguen a dominar esta tec-
nica hasta tal punto que se convierta en algo natural? j50n alumnos,no profesionales! jNo se supone que se tengan que pasar la vida ra-cionalizando este tipo de expresiones!
P.- °sea, tU preferirfas que este tipo de tarea se mantuviera siem-pre un poco problematica para ellos. (Es eso? jTienes unos placeresmuy refinados!
E.- Yo no digo eso. Digo simplemente que quiza sea una exigen-cia didactica un tanto excesiva ... Ademas, de todos modos, su domi-nio de la tecnica solo durara un tiempo limitado. Tres meses mastarde ya 10 habnin olvidado y el tipo de tarea volvera a ser proble-matica.
P.- 5eguramente. Es verdad. Ahora sf que has dado con el verda-dero problema. (Por que se quiere que este tipo detarea T se vuelvarutinaria para los alumnos? Hay una respuesta muy simple. To-memos otro tipo de tarea T' que contenga las tareas anteriores.
E.- Por ejemplo tu problema de geometrfa. 5e l~a a una expre-sion con un radical y se quiere escribir como a + b 'In.
P.- Muy bien. Cuando los alumnos se enfrenten por vez primeracon tareas del tipo T, tendra que emerger cierta tecnica. 5i supone-mos que para utilizar esta tecnica hay que poder realizar las tareas deltipo T, y si estas tareas no son rutinarias, entonces sera aun mas diff-cil que emerja una tecnica para resolver las tareas del tipo T. En cam ...bio, si se han creado previamente algunos automatismos relativos alas tareas del tipo T, el esfuerzo para aprender a realizar T sera me-nor. ,-Ves 10 que quiero decir?
E.- Hay que convertir en rutina 10 que se ha creado, para poderseguir creando. (Es eso, no?
P.- 5f, eso mismo.E.- Pero no has contestado del todo a mi objecion. 5i los alumnos
van a enfrentarse aT' tres meses despues de haber estudiado las tareasdel tipo T, ya no sabran como realizarlas. Quiza no seran tan proble-maticas como al principio, pero ya no seran rutinarias.
P.- Estis en 10cierto. 5e trata de un fenomeno que todo el mundoconoce. Cuando has sabido hacer algo muy bien, pero· que, con eltiempo, has dejado un poco de lado, es generalmente bastante facilvolver a encontrar el dominio que se tuvo en su dfa. Vuelves a vivir elproceso de aprendizaje, pero de manera muy acelerada. (Como era?(Como se hacia? Esto es 10 que se pregunta aquel que 10 supo hacerun dfa. Y muy pronto volved a encontrar los gestos basicos, es decir,la tecnica que dominaba y que, en poco tiempo, se convertira otra vezen una manera de hacer casi automatica.
E.- Vale, ya 10 entiendo.
P.- C::laroque, aparte de esto, hay otra razon que explica 10 quehace LUIS. No se trata solo de que los alumnos dominen la tecnica, setrata tambien de que dispongan de una buena tecnica.
E.- (Que quieres decir?P.- Esto: cuando crees tener un principio de tecnica, cuando has
intentado utilizar esta manera de hacer con uno, dos 0 tres ejemplos,no es muy seguro que la tecnica de que dispones funcione con uncuuto ejemplo: Tienes que ponerla a prueba con otros ejemplos, pa-ra ver Sl es reslstente. En general, te daras cuenta de que tu tecnicainicial era muy rudimentaria y que hay que complicarla un poco paraaumentar su alcance, para que sea realmente eficaz.
E.- Por ejemplo, los alumnos han empezado trabajando con ex-presiones que contienen un solo radical y, en el episodio que hemosvisto, tienen que abordar el caso de expresiones con dos radicales. Yaquf hay que complicar un poco la tecnica inicial para que funcione.
P.- 51.Pero no hace falta ir tan lejos. El fenomeno tambien se pro-duce cuando uno se limita a las expresiones con un solo radical. Mira,considera la expresion de antes ... (Va ala pizarra.) Pero ahora con uncuadrado en el denominador:
5-V3(2 +V3)2
5i los alumnos no han visto hasta el momenta expresiones con unexponente, aparecera aqul una pequeiia ruptura tecnica: tendran quepasar a otro nivel. 0, mejor dicho, la tecnica que utilizan debera ab-sorber esta nueva dificultad.
E.- (Multiplicando dos veces por el conjugado?P.- Multiplicando dos veces, dices ... °sea, si multiplico una vez
me dara (escribe):
5-V3(2 + -./3)2
(5 - V3)(2 - V3) _ 13 - 7V3(2 + ..fS)2(2 -..fS) - 2 + ..fS
13 - 7..fS
2 +V3(13 - 3..fS)(2 -..fS) _ 47 _ 27V3
1
E.- jEso estP.- 5f. Pero a 10 mejor a los alumnos les conviene descubrir
una variante de este calculo que consiste en multiplicar de entradapor (2 - V3)2. En el denominador, quedara (2 + V3)2(2 - V3)2, es
249
decir, (4 - 3)2, 0 sea, 1. Y solo habra que calcular el numerador:(5 - V3)(2 - V3)2.
E. - Y para ello hay que desarrollar el factor (2 - V3)2 •••P.- Bueno. Creo que nos estamos entendiendo. En cualquier caso,
yes que no se trata solo de dominar una tcknica, sino de crearla. Y pa-ra ello hay que hacerla trabajar sobre muchos problemas distintos,para asegurarse de que sera operativa cuando la pongamos realmente .en practica.
E.- 0 sea que 10 que hacen los alumnos de Luis es poner a puntouna tecnica relativa al tipo de tareas T.
P.- Sf. Ademas creo que se trata de la ultima puesta a punto. Por10 menos en 10 que respecta alas expresiones con un radical.
E.- Tambien hay el principio de un trabajo nuevo para hacer evo-lucionar la tecnica y adaptarla a las expresiones con dos radicales.
P.- Eso es. Se trabaja la ttknica para evitar que su aplicacion se re-duzca a un tipo restringido de problemas, para poder utilizarla demanera flexible, adaptandola a nuevos problemas. En eso consiste larutinizacion.
E.- Pero, Profesora, jen matematicas no solo hay tecnicas!P.- Tienes toda la razon. Tambien hay tecnologfas y teonas. Pero
de eso ya hablamos el otro dfa, {no?E.- Sf. De todas formas, a mf me da la impresion que, para Luis, 10
unico importante sea la tecnica.P.- Hablas sin conocimiento de causa. EI episodio que hemos exa-
minado es tan solo un momenta del trabajo. Y habra, en la clase, mu-chos oteos momentos dedicados a otras partes de la organizacion ma-tematica que Luis quiere construir con sus alumnos. De eso tambienhablamos el otro dfa, creo.
E.- Sf. .P.- Queda, sin embargo, algo por aclarar. Me da la impresion de
que, para ti, existen en el trabajo matematico momentos nobles y mo-mentos menos nobles. Cuando yes a los alumnos descubrir de repen-te una tecnica, aunque sea en un estado naciente, 10 encuentras exci-tante y muy interesante. En cambio, cuando los yes trabajar conpaciencia una tecnica para ponerla a punto y, al mismo tiempo, con-seguir dominarla, 10 encuentras pesado, carente de interes. {No esas!?
E. - Quiza sf.P.- Dejame decirte algo. En la actividad matematica, como en
cualquier otra actividad, hay dos partes que no pueden vivir la unasin la otra. Estan, por un lado, las tareas y las tecnicas y, por otro la-do, las tecnologfas y teorlas. La primera parte es 10 que podemos lla-mar la "practica" 0, en griego, lapraxis. La segunda esci hecha de ele-mentos que permiten justificar y entender 10 que se hace, es el ambito
del di~curso ~onado -implfcito 0 explfcito- sobre la practica, 10 quelos gnegos huble~an.llamado ellogos. Y 10 que tienes que recordar esque no hay p'raxJS.Sln logos, pero que tainpoco hay logos sin praxis.Los dos estan umdos como las dos caras de una hoja de papel.Cuando juntamos las palabras griegas praxis y logos, sale, en castella-no, la palabra praxeologia. Una organizacion matematica, como laque Luis inten~~ hacer vivir en su clase, es una praxeologia matemati-ca. Debe permltlr a los ~umn,?s actuar con eficacia para resolver pro-blemas, y entender al ffilsmo tlempo 10 que hacen de manera racional.Reflexiona un poco sobre todo esto. Volveremos a hablar de ello elproximo dfa. Pero ahora hay que "plegar", como dicen los catalanes.
E.- Muy bien. Hasta el proximo dfa. Y gracias.
Lo didactico es inseparable de 10 matematico
E.- Buenos was, Profesora.P.- Hola, (como estcis? (Has pensado en 10 que dijimos la ultima
vez?E.- Por supuesto. Ademas hay algo que me molesta un poco, que
no acabo de entender.P.- (Y que es?E.- Es algo relativo a la praxeologfa.P.- A ver, (que es 10 que no entiendes?E.- He pensado en 10 que dijimos, hace ya alg6n tiempo, acerca de
las obras. ?e I~ obras ma~ematicas, claro. Dijimos, por ejemplo, quelas expreslOnes con un radical son una obra matematica. 0 una obri-~ como quie~. Es algo qu~ responde a una cuestion: (como escri-bIr una expreSIon con un radIcal en la forma a +. b ..rn? Y tambien vi-mos en que tipos de situaciones surgfa la necesidad de responder aesta cuestion. Por 10 tanto, es una obra.
P.- Hasta aquf, estoy totalmente de acuerdo.E.- Pero la ultima vez ya no hablabas de obra sino de praxeologfa.
Ademas tambien hablaste en alg6n momenta de organizacion mate-matica. Obra, praxeologfa, organizacion matematica, (no son muchaspalabras? (De verdad que se necesitan tantos terminos?
1'.'-. ~f, son muc~as palabras. Y es que a veces, en aras del rigor y lap~ecIsIon, se necesItan muchas palabras. (Como has venido hoy, apIe?
E.- No, en coche.P.- (En coche 0 en automovil?E. - Como quieras, es 10 mismo.P.- Me alegra que 10 digas. Tambien hubieras podido venir en
tren, (no?
E.- Sf, ya veo: en tren 0 en ferrocarril.P.- jMuy bien, esw progresando!E.- jVenga, Profesora! (Entonces una praxeologfa y una obra es
10 mismo?P.- Sf, es 10 mismo. 0 casi. Lo que hemos dicho es que una obra
surge como respuesta a una cuesti6n 0 a un conjunto de cuestiones.E.- Sf.P.- Decir que surge como respuesta a una cuesti6n es una manera
de hablar. Una manera un poco metaf6rica, imaginaria. Lo quehayque preguntarse despues es: (en que consiste esta respuesta? Y el ulti-mo dfa dijimos que la respuesta que aporta la obra a la cuesti6n que lamotiva no es nada mas que una determinada ...
E.- Praxeologfa.P.- Eso mismo. Por 10 tanto, al pasar de la palabra "obra" ala pa-
labra "praxeologfa", hemos ganado algo. Nuestra descripci6n inicialen terminos de cuestiones y respuestas se quedaba un poco en la su-perficie de las cosas. Con la noci6n de praxeologfa podemos aden-trarnos un poco mas en la "carne" de la obra. (De que se componeuna obra? De cierta praxeologfa. 0, mejor dicho, de un sistema depraxeologfas, de un conjunto estructurado de praxeologfas.
E.- Ya veo, ya veo. Y este conjunto estructurado tendra algo quever con la expresi6n ••organizaci6n matematica" que tambien em-pleaste. (Me equivoco?
P.- Ffjate que la expresi6n "organizaci6n matematica" es un pocofloja, es un termino neutro. Una obra matematica es un conjunto or-ganizado de objetos, es una organizaci6n de objetos ligados entre sfpor diversas interrelaciones. La expresi6n no dice gran cosa por sfmisma, pero es ut;l a veces porque permite indicar que tal 0 cual ob-jetopertenece 0 no pertenece a tal 0 cual organizaci6n matematica.
E.- (Como 10 de los dos radicales del otro dfa, que al principio noformaban parte de la organizaci6n?
P.- Sf. Podemos decir ,que el trabajo que realiza Luis con susalumnos consiste en reorganizar ciecta obra matematica para quepueda integrar las expresiones con dos radicales. Cuando haya lleva-do a cabo este trabajo, 10 que obtendra es una nueva organizaci6nmatematica que incluye la anterior -la de las expresiones con un soloradical-.
. E.- (Yen esta nueva organizaci6n tambien habra tecnicas, tiposde problemas y todo eso? .
P.- Sf, claro. Para construir la nueva organizaci6n, habra que ela-borar una nueva,praxeologfa, con un tipo de problemas determinado,una 0 varias tecnicas, su tecnologia y la teoria correspondiente.Organizar es crear una praxeologfa. Una praxeologfa nueva 0 reno-vada. En realidad, habria que hablar de organizaci6n praxeol6gica.
E.- jUna expresi6n mas!P.- Mira, no hay que ir con reparos. Incluso se tendria que hablar
de organizaciones praxeol6gicas matematicas, para luego abreviarloen "or~~z"aci6n ma~ematica" 0, como decia antes, en ·praxeologfam~tema!lca.Eslo mlsmo. Todo depende de 10 que quieras poner eneVldencla.
E. - A mi me gustaba 10 de ••obra", se vela bien el caracter objetivode la cosa.
P.- Ya entiendo. Porque debes ser sensible a la idea ...E.- De alga que se construye, que construyen los hombres como
respuesta a ciertas necesidades.P.- A ciertas necesidades praxeol6gicas. Es decir, ala necesidad de
poder actuar mas y mejor, y tambien de manera mas justificada e in-teligible.
E.- Es verdad. Todo depende de 10 que se quiera poner en eviden-cia. Tambien creo que 10 de organizaci6n tiene un caracter mas dina-mico: algo que se organiza y reorganiza en funci6n de las necesida-des, como hace Luis, y que puede cambiar ... De todas formas, ahoratengo otra pregunta.
P.- Adelante.E.- Mira, supongamos que queremos construir una organizaci6n
matematica.P.- Vale.E.- Para hacer este trabajo, para realizar esta tarea, se necesitan
tecnicas y, por tanto, tecnologias y teorias. Por 10 tanto ... se necesitaalgo ... una praxeologfa (no? Para construir una organizaci6n mate-matica se necesita otra praxeologfa. Pero esta nueva praxeologfa, quesirve para construir otra, no es una praxeologfa matematica. (0 si?
P.- Acabas de tocar un punto muy delicado. Veamos. Elaborar 0reconstruir ciertas organizaciones matematicas,· esto 10 hacen tantolos profesores con sus alumnos como los investigadores en matemati-cas. Y cuando un matematico construye una nueva organizaci6n ma-tematica, 10 hace con ciertas tecnicas justificadas de cierta manera, 0
sea, recurriendo a ciecta praxeologia. (Vale?E.- Sf.P.- Hace un trabajo de matematico, un trabajo regulado por ciecta
praxeologia. (Y tU dirias que el trabajo de un matematico no es mate-matico?
E.- Pues, la verdad ...P.- Claro, es muy delicado. La praxeologfa del matematico es 10
que Ie permite hacer matematicas. Hacer matematicas, es decir, fabri-car matematicas, praxeologias matematicas. (Me sigues?
E.- Creo que sf.P.- Bueno, pues continuemos, aunque sea un poco diffcil. La pra-
xeologia matematica que quiere construir el matematico es el objeti-vo de su trabajo, el producto que quiere obtener. En cambio su pra-xeologia de matematico es 10que Ie proporciona los medias para rea-lizar este trabajo.
E.- Profesora, (te puedo interrumpir un momento? Al examinarel episodio de Marta y sus alumnos, tU hablaste de tecnica didtietica.Marta queria que sus alumnos construyeran cierta praxeologia mate-matica -relativa al algebra elemental- y recurria para ello a cierta tec-nica didactica.
P.- 5i, didactica en el sentido de relativa al estudio.E.- Precisamente. 5i "didactico" quiere decir "relativo al estudio",
entonces ... Mira, en general, cuando el matematico quiere construiruna praxeologia matematica, es porque qui ere resolver cierto tipo deproblemas. Yaqui tam bien se dice, en el lenguaje corriente, que elmatematico estudia los problemas que se plantea.
P.- Claro. El bi6logo estudia problemas de biologia, el quimicoproblemas de quimica, etc.
E.- Pues entonces, si estudia problemas, tambien diremos que latecnica que utiliza para estudiar problemas es una tecnica didactica. Yla praxeologia que Ie permite actuar sera, por 10 mismo, una praxeo-logia didactica.
P.- (Conclusi6n?E.- Resulta que para elaborar una praxeologia matematica, el ma-
tematico necesita una praxeologia didactica. (Es eso?P.- Eso mismo. Claro que aqui volveremos a encontrar una difi-
cultad. Y ademas una dificultad inevitable, que forma parte de la pro-pia naturaleza de las cosas.
E.- (Que quieres decir?P.- Pues, que la frontera entre 10didactico y 10matematico no es-
ta establecida una vez por todas. No se pueden separar facilmente."Hacer matematicas", err ellenguaje corriente, quiere decir a la vezoperar, actuar segl1n cierta praxeologia matematica -como cuandoresuelvo una ecuacion de segundo grado- y tambien quiere decir fa-bricar una praxeologia matematica nueva 0 parcialmente nueva. Ladificultad de la que te hablo aparece muy claramente en esta doblevertiente del verbo hacer: hacer en el sentido de fabricar y hacer en elsentido de actuar.
E.- Espera. (Para actuar se recurriria a una praxeologia matemati-ca y para fabricar se necesitaria una praxeologia didactica? No 10veomuy claro. Tambien has dicho que la frontera entre ambos no esta es-tablecida una vez por todas. (Que quieres decir exactamente?
P.- Esa es tambien una cuesti6n dificil. Mira, la historia de las ma-tematicas muestra que muchas tecnicas que se utilizaban para fabricarmatematicas se han acabado integrando, a la larga, en organizaciones
matemati~: 0, si prefieres, que ciertas "cosas didacticas" que sirvenpara estudlar problemas y crear nuevas matematicas se conviertenprogresivamente en "cosas matematicas", se acaban "matematizan-do". Vaya, que se produce historicamente cierta "matematizacion"de 10didactico.
E.- No 10entiendo. No me parece nada claro todo esto.P.- (Que es 10 que no yes nada claro?E.- Tomemos un ejemplo. Yo, cuando tengo que estudiar un tipo
de problemas ~e matematicas, suelo empezar examinando algunosproblemas senctllos, los mas simples que me pueda imaginar. (Es estouna tecnica didactica?
P.- 5i, por supuesto.E.- (Y tU cr~es que esta tecnica didactica, ala larga, se va a mate-
matizar y pasara a formar parte de una organizacion matematica?P.- La pregunta no es tonta. Pero antes hay que hacer algunas ob-
servaciones generales. Te dire primero que el proceso de matematiza-cion del que hablaba afecta en general a todo tipo de objeto, y no so-lo a los objetos didacticos. Es un fen6meno mucho mas amplio. Porejemplo, a partir de la idea comun de rectilinealidad, de nuestra no-cion de linea recta, el proceso de matematizacion va a fabricar la rectamatematica, con su ecuaci6n cartesiana y todo eso. Claro que, a la in-versa, el proceso de "matematizaci6n" deja de lado muchos objetos ysolo se va a apoderar de algunos de ellos, sean 0 no didacticos.
E.- Por 10 tanto la matematizaci6n de las cosas es un fen6menopoco frecuente.
P.- .5i,se puede decir esto. Aunque es mas frecuente de 10que pa-rece, Slempre que tengamos en cuenta que la matematizaci6n de unobjeto es algo parcial, que s610 se traduce matematicamente algunaspropiedades del objeto matematizado. Por ejemplo, en la tecnica di-dactica que has descrito ...
E.- 5i, (y bien?P.- Pues, podemos imaginar que, de la utilizaci6n de eSta tecnica,
surja la idea de que, cuando se estudia cierto tipo de problemas, esutil examinar un buen numero de especimenes para sacar a relucir laspro~iedades re~~ente i~teresantes que aparecen en cada problemade~ ttpo en cuestlon. En clertos contextos del trabajo matematico, es-ta Idea conduce a la noci6n de axiomatica: se reformulara el tipo deproblemas considerando unicamente aquellos casos en los que secumplen ciertas propiedades planteadas a priori -los axiomas-. Y en-tonces se estudian l~ propiedades de los "sistemas matematicos" quecumplen estas propledades ..
E.- Vale, pero construir una axiomatica en el sentido de explicitarciertos supuestos previos, jesto sigue siendo una tecnica de estudio,una tecnica didactical
P.- Efectivamente. Claro que, a partir de aquf, se produce unaevolucion historica muy importante en la que se va a matematizar latecnica de axiomatizacion que, como tU dices, es en principio una tck-niea didactica. A partir del siglo XIX y, sobre todo, de principios delXX, los matematicos han elaborado toda una teorfa matematica delas axiomaticas con el objetivo de entender mejor -y controlar tam-bien mejor- la herramienta axiomatica, que es un instrumento de tra-bajo para el matematico.
E.- jPero entoncesvolveremos a tener un instrumento didactico,puesto que esta herramienta servira para estudiar mejor nuevos tiposde problemas!
P.- Exactamente. Al principio hay una manera de hacer, una tec-nica para estudiar ciertos tipos de problemas. Esta tecnica se va a ma-tematizar parcialmente dando lugar a nuevos conocimientos mate-maticos que permitiran mejorarla, precisarla, darlemayor eficacia.Ese es el interes de toda matematizacion y no solo de la matematiza-cion de cosas didacticas. Por eso decfa que no se podfan separar.
E.- Ya 10 empiezo a entender ... Aunque preferirfa un ejemplo maselemental.
P.- jSiempre pidiendo mas! jNunca te das por satisfecho! Aver,un ejemplo mas elemental... Pues mira, sera un ejemplo un poco arti-ficial, pero en todo caso mas concreto.
E.- Vale.P.- Imaginemos un alumno muy interesado por las matematicas y
que dispone de una tecnica de estudio un poco particular: consiste ensuponer que existe un numero que cumple ciertas propiedades aun-que no sepa si el numero existe 0 no, 0 incluso aunque sepa que dichonumero no existe realmente.
E.- Como no 10 concr~tes un poco mas ...P.- Mira, toma el siguiente caso. Considera una obra matematica
que existe en todos los currfculos de secundaria y cuyo opjetivo esresponder a la cuestion: como resolver una ecuacion cuadratica.
E.- Vale. La resolucion de ecuaciones de segundo grado.P. - Nuestro alumno quiere reconstruir a su manera la organiza-
cion matematica que ha estudiado en clase bajo la direccion de suprofesor.
E.- 0 sea que conoce esta organizacion matematica.P.- Sf, es 10 que supondre. Sabe por ejemplo que la ecuacion
ax?-+ bx + C = 0 tiene dos soluciones distintas si y solo si b2 - 4ac > 0,una solucion si b2- 4ac = 0 y ninguna. solucion si b2 - 4ac < O.
E.- Vale. h2- 4ac es el discriminante de la ecuacion. Es 10 primeroque se aprende al estudiar las ecuaciones de segundo grado.
P.- Sf. Pero esta organizacion matematica no es de su agrado.E.- (Por que?
I!.- ~o~que no entiende el resultado anterior. No entiende por queel dl~cnrmnante deseID:peiiaun papel tan importante, por que aparecepreclsamente la expreslon b2- 4ac. (Tu Ie podrfas responder?
E.- No se... (Por que 10 decisivo es el signo del discriminante y nootra cosa? No se. Es 10 que se obtiene al resolver la ecuacion.
P.- Mira, imaginemos a nuestro alumno trabajando sobre la cues-tion que se plantea. Lo primero que hara sera utilizar su tecnica deestudio habitual para ver que ocurreen este caso.
E.- (Yen que consiste concretamente esa tecnica?P.- En suponer que la ecuacion tiene una solucion x de la ecua-., 0cIOn ...E.- Pero en principio no sabe si la ecuacion tiene 0 no solucion.P.- Exactamente. Esa es su tecnica: suponer que existe un numero
Xo que cumple la ecuacion ax02 + bxo + c = o. Y entonces 10 resta de la
ecuacion inicial, asf (va a La pizarra y escribe):
ax2+bx+c=Oax0
2 + bxo + C = 0a(x2-xo2) + b(x-xO> = 0
<=> a(x-xo)(x+xo) + b(x-xo) = 0
E.- Muy bien. (Y ahora que?P.- Ahora llega a la siguiente conclusion: simplificando por
a(x - xo) aparece otra solucion de la ecuacion que cumplea(x+xo) + b = o. Por 10 tanto, si Xo es una solucion, la otra solucion
b .esxt =-Xo--'
aE.- I. Y entonces?P.- Pues, se acaba de dar cuenta de que si la ecuacion tiene una so-
lucion, entonces tiene dos.E.- A menos que sea la misma.P.- Sf, claro. En realidad, 10 que acaba de demostrar-o casi- es
que una ecuacion de segundo grado tiene como mucho dos rafces, al-go que el profesor no habfa hecho en clase.
E.- Vale, vale. Pero I.Y 10 del discriminante?P.- A eso voy. Su tecnica consiste en suponer que siempre existen
los numeros que se buscan, es decir, en este caso, las soluciones de laecuacion. Supone que hay una, y demuestra que entonces tiene quehaber otra, aunque pueda ser igual a la anterior. Pero ello que quierees ver que se esconde detras de la ecuacion, ir en cierta forma a miraral otro lado del espejo.
E.- I. Que quieres decir?P.- Pues, aquf 10 que hara sera expresar los coeficientes a, b, c en
funcion de las soluciones y sustituirlo en la ecuacion inicial. Ya sabe,
porque 10 han visto en clase, que la suma y el producto de las solucio-nes de una ecuacion de segundo grado vienen dados por:
E.- Eso es. Suponiendo que la ecuacion tiene dos soluciones, cia-ifroo 2
P.- Ya, pero esa eSprecisamente su tecnica de estudio. Supone quehay dos soluciones, aunque no existan. Prosigo. Porque ahora se daracuenta de que estos resultados vistos en clase se desprenden facilmen-te de 10 que ya tenia.
E.- Sf. EI habia obtenido Xl = - Xo - !!..... Para la suma es evidentea
-bque Xl +xo=-.aP.- Y para el producto tambien. Lo voy a hacer, mira (escribe):
E.- Muy bien. Pero aun no hemos llegado al discriminante.P.- jPaciencia! Ya casi estamos. De las dos expresiones anteriores
saca que b = a(xl+xO) Y que c = axl·XO. Y llega entonces a:
E.- jAh! Ya entiendo. Si hay dos soluciones, entonces el discrimi-nante lr - 4ac que vale a2 (xo - Xl)2 es necesariamente positivo, y esigual a 0 cuando las soluciones son iguales. Si es negativo no puedehaber soluciones, jporque si las hubiera seria positivo!
P.- Perfecto. Pero aun no hemos acabado. Nuestro alumno haaprendido en clase una formula que tampoco entiende, que Ie pareceun tanto misteriosa: Iii.que da la expresion de las soluciones. Tela re-cordare (escribe):
-b ±Vb2 - 4acx=
2a
Si aplica aquf las mismas sustituciones que antes, llegara a
x= -b ± !b2-4ac=xO+Xl ± va2(xO-xl)2 =xO+x1 ±xO-x12a 2a 2 2a 2 2
X = Xo + Xl ± Xo - Xl2 2
Con el signa + se obtiene Xo Y con el signa -, Xl'E.- Muy bien. Creo que ya veo 10 que quieres decir. Pero tengo
algo que objetar.P.- Aver, (cuaI es tu objecion?E.- Pues mira, la tecnica de estudio que utiliza nuestro alumno es
en realidad una tecnica supercIasica. Consiste en estudiar las conse-cuencias que plantea la existencia de un objeto que no se conoce: si elobjeto existe, entonces debe ocurrir esto 0 aquello. A 10 mejor elalumno 10 ha descubierto el solo, y esto en sf ya tiene mucho mento,pero la tecnica utilizada sigue siendo una tecnica de estudio, una tec-nica didactica. No veo en que se ha matematizado. Ademas hay unerror en su argumentacion: ha demostrado que si el discnminante esnegativo, entonces no hay soluciones; pero no ha demostrado que sies positivo, hay efectivamente dos soluciones.
P.- Tienes razon. Aunque su error no es muy grave porque estoya 10 habian visto en clase.
E.- (Y mi objecion?P.- Ya voy, ya voy. En cierto sentido, vtielves a tener razon. Pero
10 que yo suponia es que el estudiante se imaginaba un universo denumeros mas amplio que el que conoce, numeros ficticios, si quieres.Son numeros que no existen aun para el, pero que sf existen para elmatematico.
E.- (Te refieres a los numeros complejos?P.- Exaetamente. De hecho la tecnica que utiliza est:! hoy dfa to-
talmente matematizada: consiste en situarse en el plano complejo. 0,si aun te queda alglin recuerdo de la teoria de cuerpos que has estu-diado en la licenciatura, en situarse en el cuerpo de descomposiciondel polinomio ax2 + bx + c = o.
E.- A ver, hay algo que no entiendo bien. Si digo "supongo queexiste una solucion etc.", estoy utilizando una tecnica didactica. Encambio si digo "me simo en el cuerpo de los numeros complejos,etc." es que recurro a una tecnica matematica. En los dos casos se tra-ta de tecnicas que utiliza el matematico. (Por que la pnmera seria di-dactica y la segunda matematica?
P.- Tienes razon. La diferencia es muy sutil. Por eso decfa antesque la frontera entre 10 matematico y 10 didactico es muy borrosa.De todas formas, sf hay una pequeiia diferencia.
E.- (CuaI?P.- Situemonos en el nivel de la justificacion de la tecnica, en el ni-
vel tecnol6gico. En el primer caso, cuando supongo que existe unasoluci6n y examino las consecuencias, 10 que hago se justifica en elambito de la 16gica. Incluso, en la mayona de los casos, estariamos enel ambito de la 16gica natural que aun no ha sido matematizada por el16gico 0 eI matematico. En cambio, en eI segundo caso, cuando con-sidero las soluciones complejas, 10 que justifica mi tecnica es eiertaorganizaci6n matematica que los matematicos han e1aborado alr.ede-dor de la noci6n de numero complejo. Lo puedo suponer, por eJem-plo, porque hay un teorema que dice que todo polinomio de gradon tiene n rakes complejas.
E.- Ya. En el primer caso tenemos una organizaci6n que no tienepor que ser matematica (aunque se pueda matematizar) y en elsegundo caso se trata de una organizaci6n indudablemente matema-tica.
P.- Eso mismo. Ademas la distinci6n que acabo de hacer no es enabsoluto "metafisica". De hecho provoca en el aula dificultades muyconcretas y dificiles de gestionar. Cuando los instrumentos del traba-jo matematico no tienen el estatuto de objetos matematicos, porejemplo, cuando forman parte de nuestra "praxeologia natural", laque se sup one que todos tenemos de manera esponcinea, entonces elprofesor no puede tomarlos como objetos de estudio oficiales.
E.- (Porque si no son objetos mate maticos, no los puede tener encuenta?
P.- Algo mas. Es como si tuviera que suponer que los alumnos losconocen y dominan, que disponen de ellos de manera natural, espon-tinea. Es 10que ocurre, por ejemplo, con la 16gica natural, la que per-mite hacer los primeros razonamientos, tomar las primeras decisio-nes, sacar las primeras conclusiones en el trabajo matematico.
E.- Creo que ya empiezo a entenderlo, pero me parece todo muyconfuso. (Te puedo hacer otra pregunta?
P.- Bueno, pero sera la ultima por hoy. Piensa ademas que las co-sas no se puedenentender siempre a la primera.
E.- Mira. Al principio,cuando examinamos eI episodio de Marta,me hablaste de tecnicas didacticas. Hace poco hablabamos de las tec-nicas que utiliza eI matematico y ahora me acabas de describir unatecnica didactica que utiliza un alumno. En todos los casos hablarnosde tecnica didactica.
P.- Si. 0, mas en general, de praxeologia didactica.E.- (Yes siempre 10mismo, en los tres casos ?P.- Si, esencialmente si. Aunque, claro, el matematico, eI profesor
y eI alumno no se enfrentan siempre a los mismos problemas didacti-cos. Pero en los tres casos 10 que hacen es poner en practica -a vecesincluso crear- una tecnica de estudio de las matematicas. Si, una tec-nica didactica.
E.- Pues, e~tonces, el matematico es a la vez el alumno y eI profe-sor, es su proplO profesor.
P.- Si.. E.- Por 10tanto, un gran matematico sera a la vez el mejor alumno
y el mejor profesor. jSera el mejor didacta!P.- Si y no. Es eI mejor alumno en eI ambito en el que trabaja.
Seguro que hay mejores alumnos que el en otros ambitos. Y, sobretodo, como profesor, s610 es un buen profesor respecto a un soloalumno: el ~s.m.o. S'! cie~cia didactica tiene un alcance muy limita-do: es en pnnClplO eflcaz, mcluso extremadamente eficaz, pero en unsolo caso.
E.- Cuando el es el profesor y tambien el alumno.P.- Entendeci.s entonces que la ciencia didactica que intentamos
e1aborar no se pueda basar en este tipo de proezas, sino que pretendatener un alcance mucho mayor, ser valida para la mayoria de profeso-res y de alumnos. Ocurre 10 mismo con la ciencia medica: no se desa-rrolla para la gente que goza de buena salud. Pero ahora 10tendremosque dejar aqui. Guardate las preguntas que te queden para eI pr6ximodia, y repasa bien 10 que hemos dicho hoy.
E.- Asi 10hare. Gracias, Profesora.
E.- Hola, Profesora.P.- Hola. (Has preparado algunas preguntas para hoy?E.- Si, claro. Me da la impresi6n de que cada vez tengo mas.P.- Pues adelante.E.- Mira, es otra vez acerca de Marta y de Luis. Dijiste que los dos
con~u~ian ~I estudi~ de un tipo de problemas y que los dos episodiosse dlstmgUlan, en pnmer lugar, porque no presentaban el mismo mo-mento del proceso de estudio. (No es eso? .
P.- Si, eso mismo.E.- Por 10 tanto, hay distintos momentos.P.- Si.E.- (No me 10 podnas explicar? Quiero decir, (no me podrias
contar cuales son los distintos momentos posibles? Esa es la preguntaque tra(a hoy.
P.- Es una gran pregunta. jY espero que no traigas muchas mascomo esa! Bueno. Empecemos por el principio, quiero decir por 10que ya hemos visto hasta ahora.
E.- Lo de Marta y Luis.P.- Eso es. En el caso de Marta, vimos el momenta en el que los
alumnos se encuentran por vez primera con un nuevo tipo de proble-
ma. Es 10 que se llama el momento del primer encuentro con el tipode problema. .
E.- Vale. Pero eso tambien ocurre en la clase de LUIs: los alumnosse encuentran por primera vezcon expresiones con dos radicales.
P._ Tienes razon. Pero tambien recordanis que no era esto 10 quete molestaba mas.
E.- Es verdad.P._ Lo que te molestaba era, de hecho, otro momento del proceso
de estudio. Cuando Luis pide a sus alumnos que resuelvan un granmimero de ejercicios sobre expresio?es con un radical, esta cla:o queya no se trata del momento del primer encuentro .con est~ tl~O. deproblemas. Ya ni siquiera se habla de problemas, smo de eJerClClOS:los alumnos se ejercitan en la resolucion de ejercicios de este tipo. Yadisponen de una tecnica, y 10 que est:in haciendo es mejorar su domi-nio de esta tecnica. Incluso, al final, se contentan concomprobar quela saben utilizar.
E.- (Y eso es un momento del proceso de estudio?P._ SI, es el momento del trabajo de La tecnica. Ya hablamos de
ello, (no te acuerdas?E.- Es verdad. Pero entonces ...P.- (Que pasa? .E.- Has dicho que, en el episodio de la clase de LUIS,hay el mo-
mento del primer encuentro con un nuevo tipo de p;oblemas -las ex-presiones con dos radicales- y ahora acabas de declr que hay el mo-mento del trabajo de la tecnica.
P.- Si.E.-jEntonces, hay dos momentos al mismo tiempo! .P._ Hay que precisar mas este punto ..Es verdad que en est~ epIso-
dio de clase los alumnos'y el profesor Vlven dos momentos dlstmtosal mismo tiempo. 0, por 10 menos, durante el mismo periodo detiempo.
E.- SI, es 10 que deda. . . .,P._ YaquI surge una pequefia dlflcultad. Porque la nOClOn de
"momento" que he utilizado no es una nocion estrictamente crono-logica.
E.- (Que quieres decir? . .. P._ Mira, cuando decimos que los alumnos de LUISVlven el mo-
mento del primer encuentro CO?U? n~evo tip~ de pr~bl~I:?as, 10 ~asprobable es que Luis Ies haya dlstrlbUldo Ia ~oJa de eJerclclOs al prm-cipio de la clase, 0 incluso antes. En cualquler caso, los ~umno~ h~estado trabajando, durante la sesion de clase, con esta hOJa de eJerCl-cios. Por 10 tanto, cada uno habra podido encontrarse con el nuevotipo de p.roblemas individualmente. Y no al mismo tiempo, claro.
E.- (Y que conclusion hay que sacar?
P.- Pues que, para estos alumnos, el momento del primer encuen-tro se realizara en dos instantes distintos. En primer lugar, hay un en-cuentro en el que est:in solos con la hoja de ejercicios. Despues hay elencuentro en el que les guia el profesor. Generalmente, los momen-tos no se viven una sola vez. Existen de manera dispersa. Se viven va-rias veces. Por ejemplo, es muy probable que algunos alumnos se ha-yan perdido esos dos instantes de la clase de Luis, como cuando tecruzas con alguien por la calle y no 10 Yes. Entonces puede ocurrirque el primer encuentro se produzca mas tarde, cuando, en casa, ten-gan que hacer el trabajo que les manda Luis.
E.- Ya veo. Y 10 mismo ocurrira con el momento del trabajo de latecnica, (no? Porque supongo que una tecnica no se debe trabajar enuna sola vez.
P.- Pues claro. Ademas, cuando un alumno se pone a hacer los de-beres en casa, a retomar 10 que se ha hecho en clase ...
E.- Volvera a vivir los distintos momentos: el del primer encuen-tro, el de la tecnica... .
P.- Eso es.E.- 0 sea, que un momento no es solo algo que se vive en clase,
con el profesor.P.- Exactamente. Incluso si no hubiera profesor, si el alumno tu-
viera que estudiar solo, por ejemplo porque ha faltado a clase, tam-bien tendria que pasar por los distintos momentos que componen elproceso de estudio: se trata de Ias grandes tareas didacticas que nopuede dejar de realizar. Dicho esto, cuando se dispone de un profesorpara dirigir el estudio, estas tareas didacticas sontareas cooperativas,en las que cooperan alumnos y profesor: el alumno cuenta con elprofesor para que Ie ayude a vivir estos distintos momentos y el pro-fesor cuenta con Ia energia de sus alumnos y con su involucracion en .el proceso de estudio (que incluye, como bien sabes, el trabajo en ca-sa) para que su ayuda sea eficaz.
E.- De acuerdo. (Pero solo hay estos dos momentos? (Quieresdecir que el proceso de estudio se reduce a encontrarse con un tipode problemas y en poner a punto una tecnica que permita resolver-los?
P.- (A ti que te parece?E.- Pues ... Por ejemplo, hemos dicho que toda tecnica debia ser
justificada. Por 10 tanto, habra necesariamente un momento... jAh,claro! jAhora ya se por que les llamas momentos! Es sencillamenteen el sentido de que "hay un momenta en el que ..." (Es eso?
P.- 51, muy bien. Es exactamente eso. Pero sigue con 10 que de-cias.
E.- Decia que hay un momento en el que habra que justificar latecnica. Debe ser el momento de la justificacion, 0 algo asi, (no?
P.- 5e podria decir asi'. Es el momento tecnologico-teorico. 5uenaID;issabio, pero ademas tiene la ventaja de poner enfasis en los dos ni-veles de justificacion: la tecnologia de la tecnica, que se mantiene mascerca de la tecnica, y la teoria, un poco mas alejada.
E.- Vale, vale. Por 10 tanto, hay tres momentos del estudio.P.- No vayas tan rapido. Es mas complicado de 10 que crees. Tal
vez sera mejor que dediquemos un poco de tiempo a crear una pe-queiia organizacion matematica alrededor de un tipo de problemaque no debes conocer muy bien. l Que te parece? Asi podremos con-cretar mejor los distintos momentos.
E.- Como quieras, Profesora.P.- Muy bien. Te propongo que estudiemos el siguiente proble-
ma: determinar si un numero dado es racional 0 irracional.E.-lComo Vi, por ejemplo? ,P.- Por ejemplo. Vies un numero irracional. Eso ya 10 sabes.E.- 5i, claro.P.-lY que mas sabes al respecto?E.- No ~an cosa. {3 tambien es irracional, y VS,etc.P.- <. Y "c,en general?E.-lCuando c es un numero natural? Creo que sf, a menos de que
sea un cuadrado perfecto, como 4 0 9.P.-lLo sabrias demostrar?E.- (Que es un numero irracional? Conozco una demostracion
para Vi, la clasica.P.- l Y para el caso general?E.- Supongo que ser(a mas 0 menos igual.P.- Bueno. Ahora te pr~pongo 10siguiente: no vamos a demostrar
en seguida que vc es irracional, sino que intentaremos construir unatecnica para determinar si un numero dado es 0 no irracional. Si 10conseguimos, y si la justificacion de esta tecnica exige .la demostra-cion de este resultado, entonces ya 10haremos. Pero primero hay queconcentrarse en la construccion de la tecnica.
E.- Vale. Por 10 tanto, vamos a diferir el momento tecnologico-teorico, el de la demostracion y justificacion de la tecnica. Porque yasabemos que un momento se vive varias veces.
P.- Exactamente. En realidad, se trata de algo muy banal en la ac-tividad matematica. Solo en algunos libros 0 en algunos cursos se em-pieza alineando todos los resultados necesarios sin que el lector 0 eloyente del curso pueda percibir su necesidad. Es una manera de pro-ceder bastante economica, pero tambien artificial. Bueno, pues ma-nos a la obra.
E.-lQue? lPerdon?P.- liay que estudiar el problema.lPor donde empiezas?E.- Ni idea.
PEs' d ... .- tas cayen 0 en un VlC10muy eseolar: esperas que el profesor tedlga 10que dehes hae~r. Y te 10voy a decir, si no, no aeabaremos nunea.
E.- N?, no. Ya se por donde empezar: tomando un caso particu-lar. Por ejemplo, 2 Vi.
P'-lY bien?E.- Es irracional.P'-lPor que?E.- Po~que si fuera rac~onal! entonces su mitad tambien 10 seria.
Pero su ffiltad es Vi que es lrracl0nal. jEstamos utilizando el teorema,Profesora!
. P.- Es ver,dad. Pero aun no basta para que 10 demostremos.Slgamos. <. Que otro caso?
E.- Tomemos ... 7 + Vi. Aqui tambien es faciI. 5i fuera raeionalentonces 7 + Vi - 7 tambien 10seria. Y esto es falso. '
P S' Y' , 3 +VS.- 1. SI tomaramos )4 .E.- Pues 10 mismo: si fuera racional, entonees 4 veces 3 + VS =
43 + VS tambien 10seria, y 10 mismo con 3 + VS - 3 = VS. Por 10 tanto ,. b ·fi="S • al 3 + VS
SI sa emos que v:>no es raCl0n ,entonces 4 tampoco 10sera.
P.- Bueno. ~ues ahor~ ya te.nemos una pequeiia tecnica de cortoalcan~e y esencla.!rne~te dlscurslva: 10 que hacfas ahora, cada vez, erarepetlr un pequeno dlscurso.
E.- Sf.P.- Y 10 que podem?s haeer es intentar aligerar esta tecnica para
que no tengas que repenr cada vez 10mismo.E. - <. Que quieres decir?P.- Podemos recurrir a una estrategia didaetica muy simple: enri-
quecemos el entorno tecnol6gieo de la tecnica para haeerla de utiliza-cion mas agil.
E.- No 10veo.P.- Te!o voy a enseiiar. Voy ~ inc1uir enla teenologfa eI siguiente
teore~a: SI ~ Y b.son numeros raclOnales, con b distinto de 0, y si a esun numero lrraclonal, entonces a + ba tambien es irracionaI.. E.- De acuerdo. Es muy facil de demostrar: si a + ba fuera ra-
ClOnal, entonces a + ba - a = ba tambien 10 seria, y 10 mismo conbal b = a. Y esto es falso.
P.- Exactamente. Acabas de repetir -una vez mas el pequeno dis-curso, pero ahora 10has hecho una vez por todas. 5i quisieras demos-t 11 - 3v'8 . . I drar que 7 es lrraclona, po rias escribir (va a Lapizarra y
escribe):
_ Ins • • al 11 - 3V8 11 3 -InS • • alv I) trraClon => 7 . - - - v I) trraClon .7 7E.- De acuerdo. Pero aquf tambien necesitamos saber que V8, ..f5,
etc. son irracionales. .P._ Sf. Y esto hace que el teorema sobre vc sea aun mas interesan-
te. Pero detengamonos en 10que acabamos de escribir. Se puede apli-car a cualquier numero del tipo a + bvc, pero tambien a cualquier nu-mero que se pueda escribir igual. (Ves 10que quiero decir?
CI S· • 3 -..f5
E.- j aro! 1tomamos un numero como _r.:- •••. 2 +v5P._ jVolvemos a nuestros numeros preferidos! Ese es el alcance de
la tecnica. Y, llegados a este pun to, nuestra organizaci6n matematicacomporta, de momento, un teorema demostrado y un teorema conje-turado que espera ser demostrado.
E.- Y la tecnica del discurso, y la de manipulaci6n de expresi6ncon radicales, y todo eso, (no?
P._ Claro, claro. Pero yo quena subrayar 10 siguiente: el discursi-to que hacfas antes ya no forma parte de la tecnica que consideran;'-0s.Nos podra seguir sirviendo durante la construcci6n de la ~rgamza-ci6n matematica que Ilevamos a cabo, pero se ha vuelto tecmcamenteinutil.
E.- No 10 entiendo.P._ Mira. Hasta ahora, ante un numero como 3 - Vi, decfas: "Si
3 - Vi fuera raeional, entonces ... ". Ahora diras: "Como fl.es irracio-nal,3 - Vi tambien es irracional." No se trata del mismo dlscurso, yano se utiliza la misma tecnica. En una clase, por ejemplo, los alumnospodran haber empezado haciendo los discursitos que tU.h~c~as,perotendra que Ilegar un momenta en el que el profesor dlra: Bueno,ahora ya no 10 teneis que hacer mas asi. Esto era al principio. Ahorahay que ir mas rapido, hacerlo directamente."
E.- Pero siempre habra alumnos que se mantendran en 10 delprincipio.
P._ Sf, alumnos de alguna manera reaccionarios, a los que les cos-tara desprenderse de la primera tecnica. Es normal. Pero el profesorles indica que, en esta instituci6nque es su clase, hay que ~acerl~ detal 0 cual manera. Por fuerza, en alglin momento, deb era preclsarcuaI sera la "buena tecnica".
E.- Dices que hay por fuerza un momento en el que ... (Es un nue-vo momento? (Quiero decir como los que ya hemos visto?
P.- Si. Es el momento de Lainstitucionalizaci6n.E.- (Y todos los profesores tienen que precisar este tipo de cosas?
(Por que no se deja que cada alumno utilice la tecnica que mejor Ieconvenga? -mientras este justificada, claro-.
.P.-.iB~ena J?re~.nta! En pri?1er lug~, debes tener en cuenta quela mstltuClonalizaclon no conCleme Umcamente a la tecnica. Con-cie~e a la organizaci6n matematica en su conjunto yen toda su com-pIeJldad. A Ia praxeologfa matematica. Tambien se institucionalizanelementos tecno16gicos y te6ricos, los subtipos de problemas, etc.Ademas, pie,?sa que !a institucionalizaci6n no es cosa de profesores.Se produce slempre, mcluso en el caso de un matematico que estudiasolo un tipo de problema.
E.- (Y c6mo puede institucionalizar algo eI solo? (Una personasola ya es una instituci6n? .
P.- Es un caso limite de instituci6n, claro que sf. Lo importante esver que el fen6meno es el mismo: si el matematico no quiere perderseen?"e ta<!0 Ie:>qu~ es~ haciendo, entonces, con cie~ regu.laridad, ten-d~ qu~ ?lstttuc~onal1Zar el producto de su trabaJo: preClsar que tec-mca uttliza, que elementos forman parte del entomo tecnoI6gico-te6rico -y cuaIes no-, a que subtipos de problemas se puede aplicar latecnica y a cuaIes no, etc. Si no, su propia actividad se volverfa ilegi-ble para el mismo.
E. - Ya 10 entiendo. Y todavfa sera mas importante si, en Iugar deun matematico, se trata de un grupo de matematicos 0 de alumnos.
P.- En efecto. Es mucho mas diffeil asegurar la legibilidad de unaactividad cooperativa, ponerse de acuerdo para saber que es 10 quehace cada uno, etc.
E. - Pues ahora, retrospectivamente, hemos visto un momenta tec-. noI6gico-te6rico, un momento de institucionalizaci6n y... y el mo-mento del primer encuentro 0, mejor dicho, del primer reencuentro,porque la cuesti6n de la irracionalidad no es nueva para mf.
P.- Nueva del todo no, pero casi.E.- De acuerdo. Pero, (y aparte de esto? Por ejemplo, entre todo
10 que hemos hecho hasta ahora, ha habido mas momentos?P.- Sf. Ffjate que estamos intentado que emerja una tecnica para
poder resolver e1problema que estudiamos.E. - <.Y esto es un momento?P.- Es el momento exploratorio, durante el cual.se explora el tipo
de problemas intentando construir una tecnica.E.- A prop6sito, se me habfa ocurrido algo antes, sobre la tecnica
que intentamos construir.P.- (Sf?E.- Tomemos ../3 + ..f5. Aquf puedo decir: si fuera racional, su
cuadrado sena racional, y entonces 3 + ..f5 sena racional, 10 Que esfalso. Y, por 10 mismo, tambien hubiera podido tomar 1,/3 + ..f5, 0cualquier otra rafz.
P.- Muy bien. Lo que has hecho es haIlar un subtipo de problemaal que se puede extender Ia tecnica.
E.- (Y esto forma parte del momenta del primer encuentro?P.- Como quieras. Todo depende de 10que tomes como punt~ de
referencia. Durante la exploracion del tipo de problemas de partida,es frecuente encontrarse con subtipos de problemas particulares. Y alhallar un nuevo subtipo, el proceso vuelve a empezar: se explora elsubtipo, se intenta adaptar la tecnica, justificar 0 explicar la adapta-cion, etc.
E.- Y, por 10tanto, se volved a institucionalizar.P.- Sf, por supuesto.E.- Pero, respecto al entorno tecnologico-teorico, con la variacion
que he introducido no hay que c.ambiar nada. ,. ,.P.- (Como que no? Debes muar las cosas con mas culdado. FIJate
que, en la tecnica que acabas de utilizar, el primer gesto consiste enelevar al cuadrado.
E.- Sf. Es logico, 10primero que se Ie ocurre a cualqui~r~. , .P.- Pues, acabas de utilizar un nuevo elemento tecnologIco-teon-
co: que si un numero es racional, su cuadrado tambien 10 es.E.- Claro. Es evidente.P.- Sf, pero hasta ahora era algo implfcito. .. " .E.- No es verdad. Cuando decimos que a + b a es IrraclOnal, utih~
zamos la suma y el producto. Y un cuadrado es un caso particular deproducto. . .
P.- Tienes razon. Pero en alg6n momento hay que exphcltarlo,decir que las sumas, restas, productos, divisiones, cuadrados, las po-tencias enesimas de numeros racionales son racionales.
E.- Y todoesto forma parte de la institucionalizacion.P.- Eso es. Y, al mismo tiempo, forma parte del momento tecno-
logico-teorico. Lo que acabo de decir formaria parte de la teona, da-do su lado fundamental: es 10mas basico, 10primero.
E.- (Que quieres decir? .P.- No se si te has dado cuenta que, hasta ahora, no hemos dlCho
en ningun momento 10 que es un numero racional. Solo hemo~ ad-mitido que si c es racional y no es un cuadrado, entonces vces lrra-cional. Por 10 tanto, en alg6n momento habra que precisar 10 queentendemos por numero racio?al. Por ej.emplo, cuando .que~amosdemostrar el teorema tecnologlco que aflrma que vc es lrracl0nal.Son los fundamentos de la tecnologfa de la organizacion matema-tica que estamos construyendo. 0 sea, la teona. Ademas, al abor-dar la teorfa de la organizacion, a 10 mejor nos daremos cu~nta deque estos resultados no son especfficos de los numeros raclOnales,sino de cualquier subcuerpo de los reales. Pero esto ya es otro can-tar.
E.- Bueno, bueno. Es mejor que nos quedemos en 10 tecnico, esmas facil...
!'.- Sf. Prec~samente te iba a proponer un nuevo ejemplo. ,Quehanas con el numero {3 + V5? cSlgue funcionando tu tecnica?
E.- No 10 se... Si elevamos al cuadrado ...P.- jAdelante! Hay que intentarlo. (Le cia la tiza y ie mula lapi-
zarra.)E.- Aver. (Escribe.)
(V3)+ V5) = {32 + V52 + 2V3V5 = 3 + 5 + 2V3V5 = 8 + ill.
Y ahora vuelve a ser igual que antes: si {3 + V5fuera racional sucuadrado tambien 10 serfa, pero esto no es verdad. La tecnica nd hacambiado mucho.
P.- D~ acuerdo. En cualq~ier caso, el.entorno tecnol~co-teoricono ~bla. Tomentos otro eJemplo. Considera ahora v2 + 13 + V5.(Que vas a hacer?
E.- Lo mismo. Elevar al cuadrado. Aquf tenemos ... Es algo del ti-po (a + b + c )2 ...
P.- (Te acuerdas de la fOrmula?E.- 5., claro. (Escribe.)
(Vi) + fJ + V5)2 = 2 + 3 + 5 + 2V6 + 2V1O) +'2v'i5= 10 + 2(V6+ V10+ ill)
P. - (Y a partir de aquf?E.- jOstras! Aquf no funciona: volvemos a tener tres radicales
como al principio. 'P.- Eso es. Ademas se ve muy bien por que funcionaba la tecnica
antes: porque permitfa pasar de dos radicales a uno solo. Sipudiera-mos pasar de tres ados, podnamos pasar de dos a uno y resolver elproblema, 10 que constituiria en realidad una modificacion muy sim-ple de la tecnica.
E.- (Y como se hace para pasar de tres ados?P.- Te recuerdo que el que estudia el problema eres tU.E.- Sf, pero se supone que tU me tienes que ayudar. (Lo sabes ha-
cero no?P.- Sf que se. Y tambien te voy a ayudar. Considera, por ejemplo
fS. (Es irracional? 'E.- Sf. Pero para demostrarlo ... Creo que necesitamos otro teore-
ma.P.- cCual?
E.- EI que dice que si un numero entero no es un cubo, su rafz cu-bica es irracional.
P.- Vale. (Yen general? Si consideraras, por ejemplo, ~ ...E.- Sf, sf. Hay que tomar un teore~a m~. general que afirma, que
si un numero entero no es una potencla n-eSlma, entonces su raIZ n-esima no es racional.. P.- Muy bien. Y ahora falta demostrarlo. Pero antes de lanz~rse
en la demostracion, veamos si se trata 0 no del teorema que neceslta-mos. Considera por ejemplo f5 + ..ft. Supongo que crees que es unnumero irracional, (no?
E.- SL Eso creo. Pero aquf no se que hay que hacer para ...P.- Como ves, 10 que queremos en primer l';lgar no es demostrar
el teorema, sino tener una tecnica que nos permlta demostrar que es-te numero es irracional. Y para ello no nos basta con el teorema ante-rior, por muy "general" que sea. , .
E.- (Entonces que hacer? (Co~o se construye una tecm,ca gene-ral? Y no me digas que el que estudla soy yo, que ,es~ ya 10 se..
P.- No, no. Te 10 voy a enseiiar. Porque una tecmca no se Inve~taasf como asf. La idea consiste en relacionar los numeros con un obJe-to matematico no numerico.
E.- (Con que?P.- Con ecuaciones.E.- (Y como se hace? .P.- Toma por ejemplo f5. Escribo x =.~. ~l elevo al cubc;>~me da:
x' = 5. Esta es la ecuacion. Y esta ecuaClon tlene un~ relaclOn muyclara con el numero de partida: f5 es una de sus soluclOnes. Eso es 10que nos interesa. . . . ,
E.- (Y como se uuhza esta ecuaclOn? , .P.- iJa! Aqui es donde necesitamos un elem.ento teonco nuevo
que nos diga que es -y que no es- ~n numero rac~onal.E.- Eso es facil: un numero raclonal es un numero q~e se puede
escribir como el cociente de dos enteros, como una fracclOn. .P.- Exactamente. Pues, ahora vamos a demostrar que J?Inguna
solucion de la ecuacion x' = 5 se puede escribi~ como el cc;>clentededos enteros. Para ello seguiremos un razonaml~nto parecldo al 9~ehabras visto en el caso de -.fi. Es un razonamlento por reducclO?al absurdo. Supondremos que la solucion de x3 = 5 se puede esc~l-bir como el cociente de dos enteros y llegaremos a una contradlc-cion.
E.- Vale.
P.- Pues, cojamos x = : y supongamos que es una fraccion irre-
ductible.E.- 0 sea, que p y q no tienen divisores comunes.
P.- Eso es. Ahora, como 1.. es solucion de la ecuacion tenemosq ,
que (1..)3 = 5 0,10 que es 10mismo, que p3 = 5ql. De esta igualdad seqdesprende que p divide a 5q3 y, como no divide a q, tiene que dividira 5. (Me sigues?
E.- Si. Est:is utilizando propiedades de la divisibilidad.P.- Bueno, pues sigamos. Como p divide a 5, por fuerza tenemos
que p = lop = 5.E.- Vale, porque 5 es un numero primo que no tiene otros diviso-
res.P.- Muy bien. Y ahora haremos 10 mismo con q. Es obvio que q
divide 5q3. Por 10 tanto, de la igualdad p3 = 5q' se desprende que q di-
vide a p'. Pero como la fraccion ..t es irreductible, q no divide a p y _q
por 10 tanto tiene que ser igual a 1.E.- iVaya! iQue sutil!P.- Lo importante aquf es la conclusion siguiente: si la fraccion
irreductible 1.. es solucion de la ecuacion x3 = 5, entonces por fuerzaqp = lop = 5 Y q = 1. En otras palabras, las unicas soluciones posiblesson ...!.- y 2, 0 sea 1 0 5. Y Como ni l' ni 53valen 5, la ecuacion no tie-
l 1ne ninguna solucion racional.
E.- Por 10 tanto, como f5 es solucion, no puede ser un num:eroracional.
P.- Exactamente. Es un poco complicado, pero 10 vamos a simpli-ficar recurriendo a una estrategia que ya conocemos. En lugar de re-petir este proceso cada vez que tengamos un numero solucion de unaecuacion, 10 haremos una vez por todas. .
E.- Ya. Demostraremos un teorema para no tener que hacer la de-mostracion cada vez. (Es eso?
P. Sf. Aquf el teorema es que si tienes una ecuacion con coeficien-tes enteros
an"" + ...+ ao = 0
y la fraccion irreductible 1.. es solucion de la ecuacion, entonces pqdivide a ao y q divide a all Este es el resultado tecnologico clave.
E.- A ver, aver ... i\ntes teniamos la ecuacion x3 = 5, es decirxR
- 5 = O. Luego aa= -5 Y an = 1.P.- Eso es.E.- Y conclufamos que p dividfa a 5 y que q dividfa a 1. Efecti-
vamente. Pero, antes de demostrar el teorema, hay que ver c6mo seutiliza en un caso general.
P.- Muy' bien. Veamos c6mo se utiliza. Habias demostrado antesque ..fj+ '15 es irracional. Hagamoslo ahora con la nueva tecnica. Seax =..fj + V5. Necesito una ecuaci6n polin6mica con coeficientes ente-ros que tenga a este numero por soluci6n.
E.- Vale. Lo elevamos al cuadrado. Resulta ... x2 = 8 + 2v'I5. Es 10que teniamos antes. Y ahora, xl - 8 = 2v'I5 Y 10 volvemos a elevar alcuadrado.
P.- Muy bien. Fijate 10 que tenemos (escribe en Lapizarra):
xl - 8 = 2v'I5(xl - 8)2 = 4·15 = 60x· - 16xl + 64 = 60x· - 16r + 4 = 0
E.- Por 10 tanto, tenemos que p divide a 4 y que q divide a 1, esdecir q = 1.
P.- 51. Y P puede ser 1, 2 6 4. Lo que nos da como posibles solu-
ciones Lias fracciones 1/1,2/1 64/1.q
E.- Y ahora es facil ver que ni 1 ni 2 ni 4 son soluciones. Luego{3 + V5no puede ser racional.
P.- Eso mismo. 0, sin sustituir en la ecuaci6n, demostrando que{3 + V5no es ni 1 ni 2 ni 4.
E.- Vale, vale. Asi que ahora ya tenemos una nueva tecnica. Peroadmitiras que en este ultimo caso mi tecnica del principio era muchomas rapida y sencilla.
P.- 51. Pero esta tiene mayor alcance. La puedes utilizar para ex-presiones con tres radicales 0 para rakes enesimas, etc.
E.- Claro. Por 10 tanto, en nuestra organizaci6n matematica habrados tecnicas distintas.
P.- Eso mismo, a utilizar en funci6n de las necesidades.E.- jY ya tenemos nuestra organizaci6n matematica totalmente
elaborada!P.- Lamento decirte que no. Todavia estamos lejos del final. Para
empezar, hay que poner un poco de orden en esta organizaci6n. Haycosas que hemos nombrado, incluso utilizado pero que, a la larga, de-jaremos totalmente de lado. Recuerda que estamos construyendo unapraxeologia matematica que nos debe permitir actuar de manera efi-caz y justificada. Hay que organizar las cosas para que se pueda vercon claridad que 10 que hacemos es eficaz y para poner en evidenciasu caracter justificado 0 justificable.
E.- jYa veo! jHay que institucionalizar!
P.- En efecto. Es inevitable.E.- Y despues de institucionalizar ya habremos acabado.
. P'~,No del t~~. Por9u~, aunq~e. supongamos que nuestra orga-DlzaClon matematlca esta bien defmlda, no estamos aun totalmenteseguros de que la sabemos utilizar, poner en practica. Yaqui aparece-ra otro momenta: el momento de Laevaluaci6n.
E.- Pero Profesora, jlo de la evaluaci6n es para los alumnos, enclase! Yo creia que hablabamos del trabajo del matematico.
P.- Querido Estudiante, creo que este sera tu ultimo error. Por-que hoy es nuestra ultima sesi6n de trabajo, como sabes bien.
E.- 5i, s1. (Pero d6nde esta mi error?P.- La evaluaci6n no es una invenci6n de la escuela. En absoluto.
Considera tu situaci6n real respecto a la organizaci6n matematicaque acabamos de construir. 5iquieres entrar de verdad en esta peque-iia obra matematica, si quieres apropiarte realmente de la praxeologiaque define, entonces aun queda mucho por hacer.
E.- Ya, tengo que trabajar la tecnica que me has enseiiado.P.- 5i. Y, para empezar, aprender a utilizarla. Porque aun no la has
puesto en practica por ti mismo.E.- Es verdad.P.- Ademas, despues de haberla practicado durante alg6n tiempo,
despues incluso de haberla mejorado en algunos casos concretos, ten-dras que preguntarte, en alg6n momento: ~domino bien esta obramatematica?
E.- Ya entiendo, me tendre que poner a prueba, evaluarme.P.- S1. Es un momento relativamente solemne y que, como los de-
mas momentos, no se vive de una vez por todas. Se trata del momen-to en el que pones a prueba tu dominio de la obra: conozco sus razo-nes de ser, se para que sirve, pero (seguro que se utilizarla? Como yate he dicho, una obra es una construccion humana. La construimosnosotros y somos tambien nosotros los que la hacemos vivir. Evaluartu relaci6n con una obra es importante para ti personalmente, perotambien 10 es para dar a la obra una oportunidad mas de seguir vi-viendo. Si muere para muchos de nosotros, si no somos capaces deseguir dandole vida, morira pronto para siempre.
E.- Lo entiendo, Profesora. Me acabas de decir que estudiar esuna manera de colaborar a dar vida a las obras.
P.- Si. Y tambien lamento decirte que, a partir de ahora, tendrasque seguir estudiando solo. El estudio no finaliza nunca, pero mi pa-pel de directora de estudio no puede ser eterno.
E.- Es una lastima, Profesora.P.- jO tal vez una suerte!
Una obra matematica surge siempre como respuesta a una cues-tion 0 a un conjunto de cuestiones. Pero (en que se materializa dicharespuesta? En una primera aproximacion podriamos decir que la ~es-puesta matematica a una cuestion cristaliza en un conjunto orgarnza-do de objetos ligados entre si por diversas interrelaciones, esto es, enuna organizaci6n matematica. Dicha organizacion es el resultado fi-nal de una actividad matematica que, como toda actividad humana,presenta dos aspectos inseparables: la practica matematica 0 "praxis"que consta de tareas y tecnicas, y el discurso razonado 0 "logos" so-bre dicha practica que esta constituido por tecnologfas y teorfas.
No es posible, ni para el matematico profesional ni para los alum-nos de una clase de secundaria, actuar matematicamente con verda-dera eficacia sin entender 10 que se esci haciendo. Pero tampoco sepuede entender en profundidad una organizacion matematica deter-minada si no se lIeva a cabo simultaneamente una practica matemati-ca eficaz. No hay praxis sin logos, pero tampoco hay logos sin praxis.AI unir las dos caras de la actividad matematica se obtiene la nocionde praxeologfa: para responder a un determi~ado tipo, ~ecuesti(:m~smatematicas hay que elaborar una praxeologw matematzca constltul-da por un tipo de problemas determinado, una 0 varias tecnicas, sutecnologia y la teona correspondiente.
(Que se necesita para elaborar una praxeologia matematica?(Cuales son 10s medios de los que dispone el matematico investiga-dor 0 10s alumnos de matematicas para construir una praxeologiamatematica que responda a ciertas cuestiones?
La Profesora explica en los Dialogos que tanto el investigador co-mo los alumnos, cada uno en su nivel, utilizan tecnicas didaeticas co-mo instrumentos para construir una praxeologia matematica: el pro-fesor utiliza ttknicas didacticas para reorganizar ciertas obrasmatematicas de manera que den respuesta a las cuestiones que losalumnos se plantean; los investigadores utilizan tecnicas de estudiode las matematicas que tambien son tecnicas didacticas si entendemos10 "didactico" en el sentido amplio de 10 "relativo al estudio delasmatematicas". De hecho, la frontera entre 10didcictico y 10 matemati-co es muy borrosa: historicamente se ha producido una matematiza-cion creciente de 10 didactico y, muy en particular, de las tecnicas deestudio de las matematicas.
Elaborar una praxeologia matematica supone para cualquier "es-tudiante", ya sea matematico investigador 0 alumno de matematicas,entrar en un proceso de estudio que, como tal, no es un proceso ho-mogeneo sino que esta estructurado en diferentes momentos. Cadamomenta del proceso de estudio hace referencia a una dimension 0aspecto de la actividad de estudio, mas que a un periodo cronol9gicopreciso. Por 10 tanto, los momentos escin distribuidos de una formadispersa a 10largo del proceso de estudio y no pueden ser vividos "deuna vez por todas".
La descripcion que hace la Profesora del proceso de estudio poneen relacion cada momento con los diferentes elementos que constitu-yen la obra matematica y con las relaciones que se establecen entreellos. EI momenta del primer encuentro hace referencia a los objetosmatematicos que constituyen un tipo de problemas; el momento ex-ploratorio relaciona un determinado tipo de problemas con la cons-truccion de una tecnica adecuada para abordarlos; el momenta deltrabajo de La tecnica se refiere al dominio, puesta a punto y nuevacreacion de tecnicas matematicas; el momenta tecnol6gico-te6rico ha-ce referencia, como indica su nombre, a 10s dos niveles de justifica-cion de la practica matematica; y los momentos de institucionaliza-ci6n y evaluaci6n se refieren, por fin, a la obra matematica en suconjunto.
En esta descripcion subyace un principio "democratizador" quela Profesora subraya en varias ocasiones: no hay momentos "nobles"y momentos "menos nobles", como tampoco hay momentos "masmatematicos" y momentos "mas didacticos". Precisamente el episo-dio de la clase de practicas y los comentarios didacticos subsiguientesponen de manifiesto la imponancia crucial de uno de los momentosmas desprestigiados -el momenta del trabajo de la tecnica- y la ne-
cesidad de que dicha dimension del proceso de estudio tenga cabidaen los dispositivos didacticos escolares.
Los DitUogos concluyen con un doble mensaje que hace referen-cia a la naturaleza del estudio y al sentido que tiene la actividad hu-mana de estudiar. La Profesora anuncia al Estudiante que debera se-guir estudiando solo, recordandole asi indirectamente que el objetivoal que debe tender todo sistema didactico es su propia desaparicion,dado que el conocimiento personal solo aparece despues de que desa-parezcan todos los artificios didacticos. En cuanto al sentido del es,:"tudio, la Profesora es muy clara: se estudia para colaborar a dar vida alas obras humanas, para darles una oportunidad de seguir viviendo; sie! teorema de Pitagoras muere para todos nosotros, morira paraslempre.
Si consideramos el proceso de estudio tal como 10 describe laProfesora en el ultimo Dialogo, vemos que hay momentos de dichoproceso que dificilmente se pueden llevar a cabo en la organizacionactual de la enseiianza de las matematicas. Surge entonces la necesi-dad de crear nuevos dispositivos de ayuda al estudio distintos de la"clase de matematicas" tradicional y capaces de asumir funciones queesta no puede asumir, ni siquiera cuando se desdobla en· "clase deteona" y "clase de problemas" tal como ocurre en la enseiianza de lasmatematicas a nivel universitario.
1. Clase de problemas, cIase de prac-ticas
Llamamos clase de practicas a undispositivo didactico en el. que puedadesarrollarse plenamente el momentadel proceso de estudio que la Profe-sora denomina "momento del trabajode la tecnica". Para describir las fun-ciones de este dispositivo cuyo fun-cionamiento se vislumbra en eI Epi-sodio, explicaremos las clausulas delcontrato didactico que 10 caracterizan.
En la clase de practicas e1 profesorproporciona a los alumnos un corpus
En general, un dispositivo escowrsera cualquier -mecanismo" dis-puesto para obtener determinadosobjetivos educativos. As!, porejemplo, Ia c1asede matematicas, lade lengua, eI libro de tato, la bi-blioteea, los examenes, las pregun-tas que hace el profesor en c1ase, lassesiones de tutoria y los descansosson dispositivos escolares. En lamedida en que cada uno de estosdispositivos incide sobre la estruc-turaei6n y el desarrollo del procesode estudio de las matematicas, fun-cionando como un dispositivo deayuda al estudio de Ws matemati-cas, diremos que se trata, ademas,de un dispositifJo didactico (en elsentido de didactico-matematico).
de problemas que, aparentemente, son bastante parecidos entre si.Cuando un estudiante se encuentra por primera vez en una clase depracticas, es muy probable que la relacione con una clase de proble-mas debido a que el tipo de actividad central que se lleva a cabo enambas pue~e describirse a primera vista como "resolver problemas".
En la clase de problemas, el estudiante intenta resolver por prime-ra vez problemas concretos de divers os tipos y manipula por primeravez ciertas tecnicas rnatematicas para resolverlos. La funcion princi-pal de la clase de problemas consiste precisamente en permitir que elestudiante tome contacto efectivo con ciertos tipos de problemas ycon las tecnicas correspondientes.
El contrato didaetico en LacLasede problemas asigna al profesor,en cuanto director de estudio, la responsabilidad de elegir adecuada-mente los representantes de cada uno de los tipos de problemas queconstituyen el curriculo y de ejemplificar en cada caso la manera deresolverlos. Por su parte, el estudiante es responsable de interpretarlas resoluciones propuestas por el profesor y resolver por su propia
Clase de matematicas: cuenta algunos problemas de cadalteoria, problemas 0 practicas? tipo.
La clase de matematicas es el prin-cipal dispositivo didactico en lasinstituciones escolares preuniversi-tarias. A nivel de enseiianza univer-sitaria, la cIase de matematicas sedesdobla en dos dispositivos dife-rentes: la clase de teoria y la clase deproblemas.Esta estructura responde basica-mente a la concepcion teoricista se-gUn la cualla actividad matematicapuede analizarse en dos momentos:un momenta principal, eI momen-to teorico, en el que se muestra lateom matematica acabada, y unmomento auxiliar en eI que seejemplifican, aplican, practican yconsolidan las nociones teoricaspreviamente aprendidas.Recientemente. y en respuesta a lasevidentes insuficiencias de esta es-tructura cIasica, ha sido creado, enalgunas universidades. un nuevodispositivo: el taller de practicasmatematicas.
Una de las cIausulas expHcitas delcontrato que se establece en la clasede problemas asigna al estudiante laobligacion de "pensar los proble-mas". Esta es una expresion muyarraigada en la cultura escolar y hacereferencia a la actividad matematicaexploratoria que se pide al estudiantecuanto aborda por primera vez unproblema. Esta clausula del contratosubraya que el estudiante no debedisponer, de entrada, de las tecnicasque Ie permitirian resolver el proble-ma de una forma rutinaria.
La actividad matematica que selleva a cabo en la clase de problemasse caracteriza por el cambio relativa-mente frecuente de un tipo de proble-mas a otro, 10 que comporta cierta ri-gidez en la utilizacion de las tecnicasmatematicas. Esta rigidez provoca
errores que los estudiantes solo pueden superar familiarizandose condichas tecnicas y fortaleciendo su dominio de las mismas. Pero estanecesidad no puede satisfacerse plenamente en la propia clase de pro-blemas en la que, por definici6n, se tiende constantemente a explorarnuevos tipos de problemas.
El contrato didaetico en Laclase de practicas cambia radicalmentealgunas de las clausulas vigentes en la clase de problemas. Los cam-bios mas importantes son los siguientes:
(a) E~ la clase de pra~tic:'S se da caracter "publico" a un aspectodel estudio --el trabaJo tecmco-- que, en la clase de problemas, teniaun caracter "privado". El estudiante tiene por primera vez la respon-sabilidad de rutinizar olicialmente ckrtas tecnicas. Esta nueva res-ponsabilidad se materializa en la obligaci6n de resolver en presenciade sus compaiieros y del profesor muchos problemas aparentementemuy parecidos entre si.
(b) Otra clausula del contrato que se establece' en la clase de prac-ticas exige que el estudiante se familiarice con ciertas tecnicas hastaalcanzar un dominio tan robusto de las mismas que llegue a utilizar-las como algo "natural". A partir de aqui, estas tecnicas podr:in serconsideradas de manera oficial como tecnicas "adquiridas" por losalumnos -pasando a formar parte del media matematico de la cla-se--.
Lo anterior significa que en la clase de practicas el estudiante debetratar con un tipo bastante restringido de problemas (los que se ob-tienen mediante pequeiias variaciones de algunos problemas inicial-mente estudiados en clase de problemas) poniendo a prueba la robus-tez de la tecnica frente a esos cambios. Mientras qu,e en la clase deproblemas el punto de partida y el punto de referencia de la actividaderan los problemas (en funci6n de los cuales se construian posiblestecnicas de estudio), en la clase de practicas se espera del estudianteque se centre en las tecnicas y utilice los problemas para pro bar la ro-bustez y flexibilidad de las mismas.
(c) El contrato didactico de la clase de practicas establece, por ul-timo, una nueva responsabilidad compartida en diferentes propor-ciones entre el profesor y los estudiantes. Se trata de la producci6n detecnicas nuevas, ya sea por variaci6n de la tecnica inicialmente utili-zada, ya sea 0 por combinaci6n de dos 0 mas tecnicas. En cualquiercaso, la producci6n se apoya en el dominio robusto de las tecnicasbasicas.
Mientras que en fa clase de problemas la actividad del estudiante se cen-tra en explorar tipos de problemas muy diferentes entre sf y en buscartecnicas para resolver dichos problemas, en.la dase de practicas se partede una tecnica dada y de un conjunto d. problemas del mismo tipoquese utilizan como instrumento para que los estudiantes alcancen un do-minio robusto de dicha tecnica. En la dase de problemas, fa actividadevofuciona al saltar de un tipo de problemas a otro. En la dase de prac-ticas, por contra, la evoluci6n viene dada por el desarrollo intemo delas tecmcas.
Es de esperar que si un alumno se encuentra por primera vez enuna dase de pnicticas, tenga dificultades para entrar en el nuevo con-trato y que este llegue a provocarle cierto desconcierto. Es previsibleasimismo que el alumno no entienda por que se Ie pide que resuelvaun gran numero de ejercicios muy parecidos y repetitivos, ni por quese Ie exige que realice publicamente, "en vivo", un trabajo que, hastala fecha, habfa realizado a 10 sumo en privado. ToJas estas dificulta-des son de indole matematica porque tienen que ver con la ignoranciadel papel del trabajo de la tecnica en la actividad matematica.
Como dice la Profesora en los Dialogos, la aparici6n de una tecni-ca nueva provoca la necesidad de interpretarla, justificarla y relacio-narla con las tecnicas ya existentes. En particular con la emergenciade una nueva tecnica surge la necesidad de analizar su alcance (el tipode problemas a los que se puede aplicar) y sus limitaciones (los subti-pos de problemas que plantean dificultades a la utilizaci6n de la tec-nica).
Supongamos, por ejemplo, que en la dase de practicas se ha en-sayado una nueva manera de resolver ecuaciones: partiendo de unaecuaci6n dada f(x) = 0, se intenta escribirla bajo la forma g(x) = ax + b,en la que y = g(x) es una curva "escindar" (por ejemplo, g(x) = x2,
g(x) = YX, g(x) = 1-, g(x) = x'). A partir de aquf, la ecuaci6nx
g(x) = ax + b resuelve mediante consideraciones graficas. En este con-texto, se puede suponer que haya emergido la siguiente tecnica pararesolver aproximadamente.ecuaciones cubicas:
Se ha observado que, en algunos casos, existe una traslaci6n de la in-cognita que permite eliminar el termino de segundo grado:
Ecuaci6n inicial:Cambio:Ec. equivalente:
Sistema equivalente:
x3+3.r-x+ 1=0x=z-lzJ-4z + 4 = 0
{y=zJy=4z-4
, . La reso~~ci6n grafica de este sistema permite afirmar que tiene unauruca soluclOn:
-3<z<-2.
Y, d~s~aciendo .e!cambio, resulta que la ecuaci6n inicial tiene asimis-mo una umca soluclon:
-4<x<-3.
En est~ pun~o s.e~a normal que se plantearan las siguientes pre-gu~tas: lcomo Justlflcar esta nueva tecnica? lcual es su alcance? .esapltcable a tod~ las ecu~cione~ ~bicas? lY a ecuaciones polin6mi~asde grado supenor? lque condiCiones debe cumplir una ecuaci6n decuarto gra~? para ~oder eli~inar. el termino de grado tres medianteuna traslaclon? (que ocurre Sl aplicamos la tecnica a una ecuaci6n desegundo grado?
. ~s e~ la cla~e de teor~ donde se suelen presentar los elementosJustl~cat1vos e tnterpretatlvos. Ademas el contrato didactico asignaesenclalm~~te al pro~esor, y de forma muy limitada al estudiante, laresp??Sablltdad de dlcha presentaci6n. Pero las demostraciones ma-te~at1cas que ~e d:m en la dase de teona no siempre satisfacen las ne-c~sldades expltcatlvas. ~ue aparecen en el trabajo tecnico. ASI, pore1emplo, la d~most;ac~on que se daria de la tecnica presentada ante-normente sena la slgulente:
Dada la ecuaci6n general de tercer grado xl + b;x2 + ,..,.+ d - 0 Ib' d . . ..••. -, e cam-w e Vuota:x = z - h/3, la convlerte en una ecuacion de Ja forma
zJ_pz -q = 0
{y = zJy=pz +q
pemostraci6n: sustituyendo en la ecuacion original x por z - h/3 seobnene:
(z - h/3)J + b(z :...b13)2 + C (z - h/3) + d = 0
Aho~a bien, esta demostracion no basta para constituir un entor-no tecnologico apropiado en el que situar la tecnica. Para tener unabuena comprension del fenomeno, sena util cerciorarse de que en to-da ecuaeion de grado' n se puede eliminar el termino de grado n - 1mediante una traslacion de la incognita; que en el caso de una ecua-cion de segundo grado, el cambio de variable anterior nos remit~ a latecnica cIasica; e incluso preguntarse que ocurre con las eeuaclOnesde primer grado.
Es obvio que el contrato didactico habitual en la clase ?e teoria nopermite dar cabida a este tipo de desarrollos que, su~endo de lapractica matemitica concreta, pueden llegar a estar relattvamente ale-jados de la "teona estandar" de un d~terminado ambito m~~ematico.Ademas es previsible que esta ausencta sea una fuente de dtftcultadespara el estudiante. Por un lado, en la clase de teoria' solo se recogenalgunos elementos tecnologicos particulares, ignorandose general-mente aquellos que el estudiante puede identificar por s~mismo por-que surgen de su propia practica. Por otro lado, el estudiante no asu-me nunca la responsabilidad de elegir, formular y plantear lascuestiones tecnologicas que se han de tratar en clase.
En estas condiciones, 10mas probable es que el estudiante no yeaque las dificultades con que se encuentr~ res~ltan m~ de la organiza-cion matematica escolar que de una postble mcapactdad personal. Enefecto, el contrato en el que opera no permite identificar su pr~blemacomo un problema didactico, es decir, un problema de estudzo y deorganizacion del estudio. La didactica La nocion de ·obstaculo·fundamental postula que, en ultimainstancia, es el conocimiento matema-tico el que puede resolver la "crisis"asi abierta: como dice la Profesora enlos Dialogos, "para entender un feno-meno matematico que no se entiende,10 primero que se necesita son masmatematicas". El problema radica enque no existe ningnn lugar en la or-ganizacion tradicional del procesodidactico para responder adecuada-mente a esta necesidad de "mas mate-maticas".
El paso de las justificaciones loca-les y puntuales propias de la clase deteoria a justificaciones de mayor al-
La noci6n de obstdculo epistemol6-giro la tom6 Guy Brousseau de laobra lA formation de l'esprit scien-tifzque (1938) del fisico y fil6sofode la ciencia frances Gaston Bache-lard. SegUn este autor, los obstacu-losepistemol6gicos son constitu-tivos del desarrollo de la ciencia:todo conocimiento cientifico seconstruye en contra de un conoci-miento anterior.En la teoria de las situaciones di-dacticas de Brousseau la nocion deobstaculo conserva plenamente es-te caracter constitutivo del desa-rrollo .dinamico del conocimientomatematico (ver Anexo D de laUnidad3).
cance sUfone ~n ~bio de actividad matematica y, como tal, consti-tuye un obstaeulo en el de~arrollo del proceso didactico. Por 10ge-n~r~l, en el proceso de estudto pueden aparecer obstaeulos epistemo-logu:os ,c~da vez que se hace necesario un cambio en la actividadmate~attca, 10que ocu~e regul~rment~ dado que el proceso didacti-co, leJos de ser homogeneo, esta orgamzado en diferentes momentosdent~o de cada uno de .10s cuales, tal como explica la Profesora, pre-domma un aspecto 0 dtmension de la actividad matematica.
Aunque habitUllIme1!tese iden~eatl 101obstacu1~COJt>la$ .~.~~tos.o concepaones movilizados pc)t' 'los~itqut no''''identifkaremos con nii1g6n objeto de la actividadrbatematiinidtlr·con un tipo"de pr~blem.as, ni con una ~ea con~ni:nnUt~e~emento t~o.I68JCo, m Mucho menos pJlcoI6~0) .q1leJ\1'pu~"difieulte ~ unPlda d pasaje a la nueva actividad Qla~a~~. Co"d~raremos sunpl~ente.que apar~e un obst4crdo epistemol6gicO cu~do dactor de la ~tiVl~ ti;Cne"nee:cs1dadde~biar iJe.momet&ioen el'~'so de estudio. El ad,etiyo eplStem.oI681cohacereferenCia a que et~o))s..:ti~Io p'!ede ser descnto .en termmos de la aetividadJt1atentati"'~sfmlSma, sm haeet referenda alas particularidades de los..•etores. .....
Dado que e-?el p~oceso de estud~o.podemos distinguir diferentesmomentos 0 dlmenslones de la act1vtdad consideraremos tambiendiferentes tipos de obs~aculos epistemolo~icos relativos a cada unode los camblos necesanos para llevar a cabo dicho estudio. En estaperspectiva, es importante subrayar que, como dice la Profesora enlos Dialogos, los "momentos" no pueden encerrarse en un periodo detiemp? detertn;inad~ ~no s.e~u~den llevar a cabo de una vez por to-d~) DI en U? dtspostttvo dtdacttco concreto. De ahi se deduce que losdtferentes ttpos de obstaculos epistemologicos tampoco serm 10cali-zables temporalmente a 10 largo del proceso didactico ni en disposi-tivos didacticos concretos. '
3. La necesidad de nuevos dispositivos didacticos
En la descrip~ion que realiza fa Profesora del proceso de estudioapar~cen hasta sets ~ome?tos distintos. Es previsible, por tanto, queen dlcho proceso ~urJan dtversos tipos de obsticulos epistemologicosen correspondencta con los multiples cambios de actividad matemati-ca determinados por la estructura heterogenea del proceso de estudio.
Supongamos que se pone de manifiesto que una parte importantede los alumnos J?rese?ta graves dificultades para entrar, por ejemplo,en el contrato dtdacttco de la clase de problemas. Esto se manifiestapor el hecho de que muchos alumnos, despues de tomar un primer
contacto con un determinado tipo de problemas, no llegan a realizarcon ellos la actividad exploratoria que les asigna una dausula del con-trato: los alumnos "no piensan" los problemas que el profesor lespropone. Este hecho tambien puede interpretarse diciendo que losalumnos presentan dificultades para superar el obsciculo ligado al pa-so del momento del primer encuentro al momento exploratorio, talcomo estos se escenifican en los dispositivos didacticos actuales.
Ante estos hechos, la institucionescolar responde generalmente igno-rando la naturaleza didactica delproblema (ignorando el proceso deestudio) y apelando a facto res psico-pedagogicos tales como el hecho deque el alumno no quiere 0 no puedehacerse cargo de sus responsabili-dades (ya sea por "desidia", "falta deinteres", "falta de motivacion", "pre-paracion inadecuada", "falta de capa-cidad", etc.) 0 bien que los "metodosde ensefianza" del profesor no facili-tan que el alumno lleve a cabo la acti-vidad matematica en cuestion.
Ellibro de texto utilizado comodispositivo pedag6gico
En la enseiianza secundaria, ellibrode texto de matematicas tiende a ju-gar un papel auxiliar y relativamen-te externo at ·curso" que ·dicta" elprofesor: sirve basicamente paraproporcionar listas de ejercicios,algunos problemas resueltos y elgr:ifico preciso de alguna figuracompleja. ASI, para el estudiante, ellibro de texto suele jugar un papelde dispositivo pedag6gico dado quesus funciones son esencialmente in-dependientes de la materia estudia-da y, 10 que es mas importante,porque no incide significativamente
L ., d l' . . , 1 sobre la estructuraci6n y desarrolloa reaccion e a mstttuclOn esco ar d I proceso de estudio.
seria la misma si los alumnos presenta- '--e ---'ran dificultades en cualquier otro punto del proceso didactico (como,por ejemplo, en el paso del momento exploratorio al momen~o del tra-bajo de Latecnica) 0 en el estudio de cualquier otra obra. Se 19nora asiel proceso de estudio de las matematicas y so.estructura intrinseca.
El analisis de la estruetura del proceso deestudio pone de ~anifiesto lanecesidad de crear nuevosdispositivos didac:ticoscapaces·de artieular·eltransito entre los diferentes momentos de dicho proceso. PerOla ignoran-cia del proceso de~o y la tendencia a interpretar e1!~nninosp$ico-pedag6gicos todas las dificult:adesque conlleva el·aprendii3Jede las mate-maticas impide a las instituciones eScalaresreconocer dicha necesidad.
Junto a la escasez de dispositivos didacticos, es interesante obser-var entonces la creciente proliferacion de dispositivos pedag6gicos,esto es, instrumentos (materiales 0 no) de ayuda a la ensefianza inde-pendientes del contenido a ensefiar y presuntamente facilitadores delaprendizaje de cualquiera de dichos contenidos, entre los que desta-can los medios audiovisuales y la informatica educativa.
Uno de los hechos mas llamativos en las instituciones escolaresactuales reside en la gran cantidad de alumnos de matematicas que nollegan nunca a "entrar" en el contrato didactico tal como este se plas-ma en los dispositivos actuales. Podemos suponer que ello se debe, engran medida, a la falta de dispositivos cuyos contratos didacticos es-pecificos articulen de manera adecuada el transito entre 105 diferentesmomentos del proceso de estudio. Pero, desde el interior de la insti-tuci6n, el abandono de los alumnos se interpreta como un afloja-miento de la necesaria sujecion del alumno y se reacciona aumentan-do la dependencia mutua entre el profesor y los alumnos: el profesorse ve llevado a explicitar LascLausuLasdel rontrato hasta extremos in-sospechados evitando cualquier transgresi6n de dichas dausulas.
Esta situacion tiene consecuencias paradojicas porque, al intentarproteger al alumno de toda desconcertaci6n y evitarle el encuentrocon los sucesivos obsciculos epistemo16gicos, se fracciona el procesode ensefianza hasta hacerlo desaparecer como proceso. Se pretendede esta manera paliar las dificultades que compona toda actividadmatematica sostenida y compleja. La ensefianza se convierte en unconjunto atomizado de actividades matematicas aisladas, de "anecdo-tas" matematicas encadenadas arbitrariamente e independientes entresi que no permiten al alumno llegar a dominar ninguna ttknica y 10convierten, de hecho, en un "incompetente".
Este tipo de ensefianza tiende a 10 que podriamos denominar una"ensefianza instancinea": una definicion matematica se aprende ins-tantineamente, un teorema, una demostracion 0 la utilizacion de unatecnica son objetos matematicos que se "ensefian" y se "aprenden"casi al mismo tiempo. La actividad de estudio del alumnono es con-siderada como un proceso complejo y duradero, sino como un auxi-liar puntual y local para "fijar" y "consolidar" aquello que ya seaprendio instantaneamente. lnduso al proceso de "entender", consi-derado culturalmente como el momento cumbre del aprendizaje, seconsidera como algo "instantaneo". En esta ensefianza instantaneadesaparecen los objetivos a largo plazo a favor de los objetivos relati-vos al funcionamiento diario de la dase.
Como ya hemos apuntado, esta situacion tiene consecuencias pa-rad6jicas porque, intentando proteger a los alumnos de toda descon-certaci6n, los lleva a un estado de desconcertaci6n permanente y lossitlia definitivamente fuera del contrato didactico. Los alumnos seinstalan entonces en el contrato pedagogico del que tambien acaba-
ran saliendo ya que este solo puede mantenerse con argumentos deautoridad. En el momenta en que los alumnos rompen las clausulasdel contrato pedagogico (y hasta del contrato escolar), el problematoma una dimension tal que desaparece todo rastro de su origen di-dactico.
La gravedad del problema se debe a que las cIausulas del contratopedagogico y, en un sentido mas radical, las del contrato escolar nopueden ser transgredidas porque de su cumplimiento depende laexistencia misma de la institucion escolar. Es comprensible que, lle-gados a este punto, se recurra a medidas de control de las clausulasdel contrato pedagogico, apelando por ejemplo al "control de la cali-dad de la ensefianza", y tambien es comprensible que dicho controlpueda llegar a degenerar en la aplicacion de simples medidas de "dis-ciplina escolar".
Para intentar mantener a los alumnos dentro del sistema escolar, lasinstituciones didacticas procuran protegerlos de toda desconcertaci6n yevitarles el enfrentamiento con cualquier obstaculo epistemol6gico.Esta tenclencia pedag6gica aumenta el peligro de la atomizaci6n de laensenanza y puede degerierar en una "ensefianza instantlinea" que con-duce a los alumnos a un estado de desconcertaci6n permanente que losexrulsa, parad6jicamente, del contrato didactico y, en ultima instanda,de .contrato escolar.
En el marco general que hemos descrito, queremos volver a consi-derar -para subrayar su importancia- este momenta particular delproceso de estudio que es el momento del trabajo de la tecnica. Enefecto, ante la tendencia a la atomizacion de la ensefianza, este mo-mento desempefia un papel integrador enla medida en que aparece a.la vez como el desarrollo natural del momenta exploratorio y comola fuente de las necesidades tecnologico-teoricas. Si, por la razon quesea, se elimina esta funcion integradora, el proceso didactico se ato-rniza muy rapidamente.
Para analizar mas a fondo esta funcion esencial del momenta deltrabajo de la tecnica, utilizaremos un ejemplo concreto. Considere-mos el estudio de la resolucion de sistemas de ecuaciones lineales, si-tuandonos en el momento exploratorio en el que aparecen tres tecni-cas simples (substitucion, reducci6n e igualaci6n) para sistemas de 2ecuaciones con 2 incognitas.
{3X+ 5y=-24x-y = 28,
existeD, en la ensefianza secundaria actual, 3 tecnicas para resolverlo apa-rentemente independientes entre si:
SubstituciOn
{3x+5y=-2y= 4x-28
=> 3x+5(4x-28) = -2
=> 3x+20x-140 =-2=>23x= 138=> x = 6 ; y = - 4 => x = 6 ;y = - 4 => x = 6;Y = - 4
Las actividades matematicas correspondientes a cada una de estastecnicas se proponen, a nivel exploratorio, como actividades inde-pendientes entre sl. La rigidez propia de la actividad exploratoriacomporta, de suyo, este fraccionamiento; y el caracter algoritmico delas tecnicas citadas refuerza la ilusion de la instantaneidad de suaprendizaje: la tecnica de substitucion, por ejemplo, "se sabe" 0 "nose sabe utilizar". No se concibe un proceso de estudio complejo a 10largo del cualla relacion del alumno a la tecnica de substitucion sufracambios progresivos importantes derivando hacia la tecnica de igua-lacion 0 de reduccion, y ampliandose para el estudio de sistemas contres 0 mas incognitas. Y se suele entonces tratar el subtipo de los sis-temas 2x2 como independiente del de los sistemas con ecuacionescon mas de 2 incognitas.
Igualaci6n
{y = (-2-3x)/5y=4x-28
=> -2-3x = 5(4x-28)
=>23x= 138
ReducciOn
{3X+5Y=-24x-y =28
{3x+ 5"'=-2_> J
- 20x -5y =140=> 23x= 138
~n este punto del proceso de estudio es cuando aparece la impor-~cla ~el momento del trabajo de la tecnica: es preciso poner en fun-Clonarmento repetidamente las tres tecnicas simples, analizar las se-mejanzas y las diferencias entre los gestos que cada una de ellas poneen ~:u-cha, trabajarlas hasta que dejen de ser problematicas y llegar aruuDlzarlas. Solo entonces se pone de manifiesto la relacion que hayentre elIas, que es 10 que tienen en comun (la eliminacion de unaecuacion y una incognita), cual es el mecanismo que cada una de ellaspone en marcha para alcanzar ese objetivo y cual es la forma mas ade-cuada de extenderlas al caso de mas de 2 incognitas.
La primera evidencia que surge del trabajo tecnico encaminado aeliminar una ecuacion y una incognita (para pasar de un sistema 3x3 aun sistem~ 2x2) es que el nombre de las incognitas puede ser obviadocon ventaJa a 10 largo del proceso de eliminaci6n. Emerge asl la no-cion de matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales como unode los primeros frutos de la "creatividad" del trabajo de la tcknica. AI
sistematizar el mecanismo de eliminacion emerge la regia del pivoteque es una tecnica nueva y muy potente que permite resolver muy ni-pidamente sistemas de ecuaciones lineales aunque estos tengan coefi-cientes no enteros.
En las tres tecnicas anteriores, el objetivo principal era eliminar una ecua-., ',' E d I . { 3x + 5] = -2cion y una mcogmta. n concreto, se parte e Sistema 4x _ ] = 28
Yse obtiene la ecuaci6n 23x = 138. Este procesode eliminaciOnpuede es-quematizarse mediante el paso:
x y x x([jk51-2) I\ 4' ~1128 -> (5·4-3'(-1) 15'28-{-2)'(-1» = (23 138)
x y z ] z
Sia-"O: (~ ; ~)->Caf-i~l ag-c~ lah-d.e)->etc.i j k 1 aJ- z ak-a al-dz
La utilizacion reiterada de la regIa del pivote muestra su alcance ygeneralizacion a sistemas de ecuaciones con mayor numero de incog-nitas y de ecuaciones. Pero, para realizar esta generalizacion efectiva-mente, es preciso ir mas aHa de la mera utilizacion puntual de la nue-va tecnica. Es preciso flexibilizar su uso, comprobar como quedancaracterizados los sistemas que no tienen solucion y los que tieneninfinitas soluciones, como se escribe el con;unte> de todas las solucio-nes, etc. Todo ello requiere, de nuevo, un importante traba;o de latecnica del que podran emerger las nociones de "rango de un sistemacompatible", "rango de una matriz" y "numero de grados de libertadde un sistema compatible", entre otras.El traba;o de la tecnica semuestra asi creador de ob;etes matematicos.
La emergencia de la tecnica "regIa del pivote" y de los demas ob;e~tos que hemos citado provoca necesidades tecnologico-teoricas evi-dentes. (Como interpretar la nocion de "rango de una matriz" que enel traba;o tecnico ha surgido como el numero de matrices no nulas queaparecen en un proceso de eliminacion? (Como ;ustificar la invarianciade dicho numero respecto al particular proceso de eliminacion? (Co-mo ;ustificar la caracterizacion empirica de los sistemas compatiblesdada por la igualdad entre el rango de la matriz y el de la matriz am-pliada? (Como interpretar el numero de grados de libertad de las solu-
Toda actividad matematica forma parte de un proceso a 10 largodel cual pueden emerger nuevos objetos matematicos -en particularnuevas tecnicas, nuevas nociones "teoricas" y nuevos problemas-,asf como nuevas relaciones entre tecnicas, teonas y tipos de proble-m~, con la consiguiente emergencia de "ideas generales". Podemosdeclr que, en este sentido, toda actividad matematica es potencial-mente creatwa.
La creatividad matematica asi entendida surge en el seno del proce-so de estudio, es decir, de un proceso ligado por fuertes restricciones:es el resultado de una actividad sostenida y estructurada, fuente denuevos problemas y de nuevas tareas matematicas. AI aplicar esta vi-sion de la "creatividad matematica" a las actividades que se realizan ac-tualmente en la escuela, nos encontramos ante una situacion paradojicaque provoca importantes disfunciones en las instituciones escolares:
(a) En las instituciones escolares acwales no existe ning6n dispo-sitivo didactico institucionalizado que permita hacer vivir con nor-malidad el momento del traba;o de la tecnica. Por razones divers as,en ning6n nivel de la enseiianza de las matematicas se ha materializa-do un dispositivo didactico en el que este momenta crucial del traba-;0 matematico pueda desarrollar las funciones que hemos descrito:"creacion" de nuevos objetos matematicos e "integracion" de los di-ferentes momentos del proceso de estudio.
(b) En las instituciones escolares actuales impera una fuerte ten-dencia a fraccionar la matematica enseiiada. El estudiante se encuen-tra con unos objetos matematicos poco relacionados entre si, con
