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PROGRAMA PUSH-OVER PARA EDIFICIOS A BASE DE MARCOS

Jaime De la Colina Martínez 1

RESUMEN Este trabajo muestra la organización de un programa de computadora para el análisis pushover de edificios a base de marcos. El programa integra el modelo de un componente propuesto por Giberson en 1969 con el método de rigidez. La principal hipótesis en la metodología consiste en suponer, en una primera etapa del programa, que el comportamiento no lineal de columnas es uniaxial y no multiaxial (flexión biaxial y carga axial). Al final de este trabajo se presenta el análisis de un edificio a base de marcos para ilustrar las posibilidades del programa.

ABSTRACT

This paper shows the organization of a computer program for the pushover analysis of frame buildings. The program integrates the one-component model proposed by Giberson in 1969 with the stiffness analysis. The main hypothesis of the methodology is the assumption that column nonlinear response is uniaxial instead of multiaxial (biaxial bending and axial load). At the end of this work the pushover analysis of a simple threedimensional frame building is shown to illustrate the current possibilities of the program.

INTRODUCCIÓN

En el diseño estructural, la estimación de la capacidad sísmica de edificios es importante y existen varias formas de realizarla. Para casos especiales o de investigación, generalmente un análisis dinámico no-lineal paso a paso es recomendado, aun cuando el trabajo de preparación de datos y de interpretación de resultados sea extenso. Sin embargo, para diseño y evaluación de estructuras comunes, el uso de procedimientos de análisis menos elaborados como el análisis pushover es preferible. Además, el uso del análisis pushover ha tomado cierta importancia debido a que se ha incorporado en las recomendaciones de algunas agencias reconocidas para la evaluación sísmica de estructuras (ATC, 1996; FEMA273, 1997). En ambos casos las ideas originales del método de evaluación se desprenden del trabajo de Freeman et al. (1975). Recientemente, algunas de las limitaciones de este tipo de análisis se están corrigiendo con la extensión del método para considerar modos superiores de vibración (Chopra y Goel, 2001). Actualmente, para llevar a cabo el análisis pushover de edificios (3D) existen programas de diversos tipos. Éstos van desde los muy generales hasta los simplificados que insertan suposiciones en el comportamiento estructural (a nivel global o a nivel de elemento estructural) que facilitan tanto la captura de datos como el análisis mismo. Un ejemplo de programa general es el propuesto por Li (1996) el cual incluso permite el análisis dinámico no lineal de estructuras tridimensionales. Este es un programa con muchas posibilidades de cómputo, sin embargo la formación del archivo de datos es muy elaborada y generalmente requiere de mucho trabajo de gabinete. Uno de los primeros programas simplificados para el análisis pushover de edificios fue el desarrollado por Kilar y Fajfar (1997), el cual utiliza macroelementos para reducir el trabajo de captura de información y de análisis. Estos macroelementos son subestructuras tales como marcos, muros o muros acoplados. En dicho programa cada subestructura es plana y sólo resiste carga en su plano. Por ello, la compatibilidad de deformaciones axiales en columnas comunes a más de un marco se desprecia. Los macroelementos se conectan a través de las losas del edificio, y éstas últimas se suponen como diafragmas rígidos. 1 Profesor, Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma del Estado de México. Cerro de Coatepec s/n, Toluca, Estado de México, Tel. (722) 214-0855, [email protected]

XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004

En este trabajo se presenta un programa para el análisis pushover de edificios a base de marcos. En términos generales, es un programa de análisis basado en el método de rigideces pero en donde los elementos (trabes y columnas) se idealizan como elementos no lineales de una componente (Giberson, 1969). El programa calcula la respuesta (desplazamientos y elementos mecánicos) para cada incremento de cargas deseado. También genera un archivo script a usar con un programa de dibujo (Autocad), el cual traza la distribución de comportamiento no lineal para cada uno de los marcos que forman el edificio. El uso del programa sólo requiere el ensamble de un archivo de datos. Aquí se presenta el análisis de un edificio de cinco niveles para ilustrar las posibilidades del programa. Se pretende que este programa de análisis sea útil en el estudio de los procedimientos de diseño y evaluación sísmica de edificios con torsión. Se muestra un ejemplo de aplicación.

DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA GENERALIDADES El programa de cálculo se ha desarrollado en lenguaje C (ANSI) y lleva a cabo un análisis pushover simplificado similar al del programa de Kilar y Fajfar (1997) el cual no toma en cuenta la interacción de flexión biaxial y carga axial en los elementos (trabes y columnas). Respecto a la cinemática del edificio, el movimiento de los marcos planos que forman la estructura queda limitado por el movimiento de cuerpo rígido de las losas. En esencia, el programa lleva a cabo una serie de análisis incrementales estáticos no lineales con base en el método de rigidez. En cada etapa de análisis se verifica el equilibrio del sistema con ayuda del método de Newton-Raphson hasta que se satisface el criterio de convergencia definido por un número máximo de iteraciones. SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL DEL EDIFICIO Para la ubicación de los marcos del edificio y la definición de las cargas, así como para facilidad en el procedimiento de análisis estructural, se emplea un sistema de referencia global (ver ejemplo de Figura 1). Por conveniencia, los ejes X e Y deben ser paralelos a cada uno de los bordes de las losas del edificio y a los marcos resistentes; además el eje Z debe ser paralelo a las columnas del modelo. Aun cuando no es necesario, sí es conveniente que las bases de las columnas del primer entrepiso del edificio estén contenidas en el plano XY.

3

Vx

s

X

Y

Vy

CS CM

e

1

2

1 2 3

y

x

y

x2

3

2

3

Figura 1. Sistema de referencia global Por lo que se refiere a las cargas laterales, éstas actúan de manera paralela a los ejes X e Y. El punto de aplicación de estas cargas se identifica con variables referidas al sistema de referencia global. El valor de cada fuerza a aplicar en los distintos niveles, para cada cortante basal, queda definido por el valor del cortante actuante multiplicado por factores de participación para cada nivel. Ya que no necesariamente estos factores deben sumar la unidad, los cortantes a lo largo de cada uno de los ejes X e Y pueden ser diferentes en magnitud para un mismo incremento de carga.


GRADOS DE LIBERTAD Los grados de libertad (gdl) empleados para el análisis estructural del modelo se agrupan en dos conjuntos. El primero contiene aquellos grados de libertad que se refieren al movimiento (de cuerpo rígido) de cada una de las losas. El segundo conjunto contiene los grados de libertad de los giros de los nodos. De esta manera, los desplazamientos laterales de los nodos quedan en función del movimiento (de cuerpo rígido) de las losas y de las posiciones de los marcos. Es claro que la hipótesis de movimiento de cuerpo rígido en el plano de las losas conduce a la consideración de que las barras (trabes y columnas) son inextensibles. Estas hipótesis son aceptables para edificios que no son altos y por ello son congruentes con el intervalo de aplicación del análisis pushover. En el programa, los gdl de las losas se numeran primero y después se numeran los gdl de los giros asociados a los nodos. De esta manera, los primeros grados de libertad (3 veces el número de losas) están reservados para describir los movimientos u, v y w de cada una de las losas respectivamente, contados de abajo hacia arriba del edificio, como se ejemplifica en la Figura 2. Los grados de libertad siguientes, empleados para identificar los giros de los nodos, son asignados por el usuario. Para esta numeración, los giros se consideran alrededor de los ejes X e Y. Además, debido a que las bases de las columnas del primer entrepiso son empotradas, no deben asignarse grados de libertad a estos nodos. Esta condición de las columnas no impide sin embargo que las columnas se puedan considerar (casi) articuladas; para ello basta asignar un momento de fluencia muy pequeño a las bases de estas columnas. Por ser un problema tridimensional, un nodo en particular tendrá dos giros diferentes (uno alrededor del eje X y otro alrededor del eje Y) y para cada uno de estos giros deberá especificarse un número de gdl diferente.

X

Y

Z

1

23

4

56

7

89

Figura 2. Grados de libertad para las losas.

MODELO DE GIBERSON Para considerar el comportamiento no lineal de los elementos (trabes y columnas) se empleó el modelo de un componente recomendado por Giberson (1969). En esta sección se describe de manera general dicho modelo,


presentando su matriz de rigidez que relaciona momentos flexionantes y giros en sus extremos. Asimismo, se describe la relación funcional entre el modelo de un componente y un modelo simple equivalente que permite obtener una curva no lineal válida para todos los estados de fluencia. Estos resultados hacen posible extender el modelo propuesto por Giberson a uno más general que considere, además del momento flexionante, el desplazamiento transversal en sus extremos. El modelo de viga presentado por Giberson (1969) tiene características no lineales de momento flexionante vs. giro en los extremos. Se asume que la viga tiene una sección transversal uniforme en toda su longitud y, que para rotaciones suficientemente pequeñas, el ángulo plástico α es igual a cero (Figura 7).

Figura 3. Modelo de un componente de una viga no lineal (Giberson, 1969). En el estado lineal el modelo de viga tiene rigidez

k = 4EI/L (1) en donde E = módulo de Young; I = momento de inercia; y L = longitud de la viga. No se considera la deformación por cortante del elemento. Como se aprecia en la Figura 3, los símbolos tienen el siguiente significado: Mi, Mj = momentos flexionantes en los extremos i y j de la viga, respectivamente. ωi, ωj = rotaciones de extremo de la viga. ωi’, ωj’ = rotaciones de extremo de la viga central. ai, aj = ángulos plásticos en los extremos de la viga.

Ecuaciones fundamentales de momento flexionante – rotación Para la viga central

Mi = k (wi’ + 0.5 wj’) (2a)

Mj = k (0.5wi’ + wj’) (2b)

De la Figura 3,

wi’ = wi - αi (3a)

wj’ = wj – αj (3b)

Sustituyendo las ecuaciones (3) en las ecuaciones (2):


Mi = k [ (wi – ai ) + 0.5(wj – aj )] (4a)

Mj = k [0.5 (wi – ai ) + (wj – aj )] (4b)

o, en forma incremental (forma que es útil para un esquema de solución como el de Newton-Raphson),

∆Mi = k [(∆wi – ∆ai ) + 0.5(∆wj – ∆aj )] (5a)

∆Mj = k [0.5 (∆wi – ∆ai ) + (∆wj – ∆aj )] (5b)

Asumiendo que el estado de fluencia permanece constante a través de cada incremento de tiempo, es posible establecer ecuaciones de la forma simbólica mostrada en la Ecuación 6, que relacionan el incremento de los ángulos plásticos al incremento de rotaciones en los extremos:

∆a = ∆a(∆wi,∆wj ) (6)

Con estas ecuaciones, se puede obtener una relación del tipo siguiente en donde no aparecen los ángulos plásticos.

∆M = ∆M(∆wi,∆wj ) (7)

Cuando el estado de fluencia es lineal en el extremo (i) o en el extremo (j) o en ambos, el incremento del ángulo plástico correspondiente debe ser cero:

en el extremo i, ∆ai = 0 (8)

en el extremo j, ∆aj = 0 (9)

Cuando el estado de fluencia es no lineal en el extremo (i) o en el extremo (j) o en ambos, el incremento del momento flexionante correspondiente es proporcional al incremento del ángulo plástico:

en el extremo i, DMi = ( kpl )i Dai = ( fi k )Dai (10) en el extremo j , DMj = ( kpl )j Daj = ( fj k )Daj (11)

donde (kpl) es la rigidez para el estado no lineal (plástico), y las literales fi y fj definen las características de fluencia de la viga y son independientes entre sí. Expresiones incrementales de momentos en términos de rotaciones ∆w∆w∆w∆wi y ∆w∆w∆w∆wj Se tienen cuatro posibles estados de fluencia para una viga denotados por (a), (b), (c) y (d), los cuales se describen a continuación.

Estado (a) – lineal en (i) y en (j):

∆αi = 0 (12a)

∆αj = 0 (12b)

Estado (b) – no lineal en (i), lineal en (j):

∆Mi = (fi k)∆αi (13a)

∆αj = 0 (13b)

Estado (c) – lineal en (i), no lineal en (j):

∆αi = 0 (14a)

∆Mj = (fj k)∆αj (14b)


Estado (d) – no lineal en (i) y en (j):

∆Mi = (fi k)∆αi (15a)

∆Mj = (fj k)∆αj (15b)

Las dependencias funcionales de los incrementos de ángulos plásticos sobre giros se encuentran usando las ecuaciones previas que describen los estados de fluencia con las ecuaciones (5). Las dependencias funcionales de los incrementos de ángulos plásticos sobre giros se encuentran usando las ecuaciones previas que describen los estados de fluencia con las Ecuaciones 5.


∆αi = 0 (16a)

∆αj = 0 (16b)


∆αi = (∆wi + 0.5∆wj)/(1+ fi ) (17a)

∆αj = 0 (17b)


∆αi = 0 (18a)

∆αj = (0.5∆wi + ∆wj)/(1+fj ) (18b)


∆αi = [(1+ (4/3)fj )∆wi + (2/3)fj∆wj ] / [1 + (4/3)( fi + fj + (fi � fj) ] (19a)

∆αi = [(2/3)fi∆wi + (1+ (4/3)fi )∆wj] / [1 + (4/3)( fi + fj + (fi � fj) ] (19b)

Por sustitución, los ∆α’s pueden ser eliminados de las ecuaciones incrementales momento-giro:


∆Mi = k (∆wi + 0.5∆wj) (20a)

∆Mj = k (0.5∆wi + ∆wj) (20b)


∆Mi = (k fi /(1 + fi)) (∆wi + 0.5∆wj) (21a)

∆Mj = k [0.5 (fi /(1 + fi))∆wi) + ( (3 + 4 fi )/(4(1+ fi)) )∆wj) ] (21b)



∆Mi = k [ ( (3 + 4 fj )/(4(1+ fj)) )∆wi) + 0.5 (fj /(1 + fj))∆wj)] (22a)

∆Mj =(k fj/(1 + fj)) (0.5∆wi + ∆wj) (22b)


∆Mi = fi k [(1+ (4/3)fj )∆wi + (2/3)fj∆wj ] / [1 + (4/3)( fi + fj + (fi � fj) ] (23a)

∆Mj = fj k [(2/3)fi∆wi + (1+ (4/3)fi )∆wj] / [1 + (4/3)( fi + fj + (fi � fj) ] (23b)

Matriz de rigidez del elemento Dado que las ecuaciones incrementales momento flexionante – giro en el extremo tienen un patrón regular para los cuatro estados de fluencia, se puede establecer la siguiente ecuación matricial que emplea los parámetros de rigidez efectiva, SA, SB y, SC los cuales se muestran en la Tabla 1.

i iA B

j jB C

M S SM S S

ωω

∆ ∆ = ∆ ∆ (24)

La Ecuación 24 muestra la matriz de rigidez del modelo, que relaciona momentos flexionantes y giros en sus extremos (ver representación simbólica en Ecuación 7).

Tabla 1. Parámetros de rigidez efectiva SA, SB y SC para cada estado de fluencia.

Estado de Fluencia SA SB SC

(a)

k 12

k

k

(b) ( )1i

i

f kf+

( )2 1i

i

f kf+

( )( )

3 44 1

i

i

f kf

++

(c) ( )( )

3 4

4 1j

j

f k

f

+

+ ( )2 1

j

j

f kf+

( )1j

j

f kf+

(d) 413i jf f k

D

+

23 i jf f k

D

413j if f k

D

+

donde ( )413 i j i jD f f f f = + + + ⋅

Viga simple equivalente Cuando se tiene una viga cuyo material tiene características no lineales, y es sometida a determinada historia de carga, para obtener la respuesta de este elemento es necesario el uso de modelos histeréticos para obtener la fuerza actuante en cualquier desplazamiento. Se requiere de una curva de histéresis que relacione el momento actuante con los giros en los extremos de la viga. No obstante, dadas las condiciones reales de apoyo de dicha viga, el tratar de determinar los momentos actuantes resulta complejo. Por tal motivo conviene recurrir a un modelo de viga no lineal más simple que se relacione de alguna manera con el modelo de un componente mencionado anteriormente.


El modelo que se recomienda para este efecto, es una viga simple (ver Figura 4), en el que uno de sus extremos tiene una articulación, mientras que el otro da lugar a un giro que es función de los giros y ángulos plásticos en ambos extremos de la viga. Este giro denominado giro efectivo en el extremo permite encontrar una relación funcional para el modelo de una componente como se indica más adelante. De esta manera se puede llegar a una curva de histéresis como la que se aprecia en la Figura 5 dibujada para el extremo (i) de la viga simple equivalente. Cabe señalar que al cumplirse dicha relación funcional, la curva de histéresis obtenida es válida para todos los estados de fluencia.

Figura 4. Modelo de viga simple equivalente para el extremo (i), (Giberson, 1969) De la Figura 4, los símbolos tienen el siguiente significado [similarmente para el extremo (j)]: Mi = momento flexionante en el extremo (i) del modelo de una componente ωi = rotación del extremo (i) del modelo de una componente αi = ángulo plástico en el extremo (i) del modelo de una componente ωii = rotación efectiva del extremo (i) del modelo de una componente, o rotación del extremo de la viga

simple equivalente. ωii’ = ωii -αi = rotación de un extremo de la viga central de la viga simple equivalente. ωji = ωi -ωii = ángulo que representa el efecto del extremo (j) en el extremo (i) del modelo de una

componente. Las ecuaciones de momento flexionante - giro en el extremo para la viga simple equivalente son

en el extremo (i): Mi = 1.5 k (ωi i - αi ) (25a)

en el extremo (j): Mj = 1.5 k (ωjj – αj ) (25b) Igualando las Ecuaciones 4a y 25a:

k [(ωi – αi ) + 0.5 (ωj – αj )] = 1.5 k (ωii - αi ) (26)

entonces ωii = (2/3)[ωi + 0.5αi + 0.5(ωj – αj )] (27)

Similarmente, igualando las Ecuaciones 4b y 25b:

ωjj = (2/3)[ 0.5(ωi -αi)+ωj + 0.5αj ] (28)

Las Ecuaciones 27 y 28 suponen que no hay desplazamiento transversal de los extremos (nodos) del elemento de la viga de una componente (ni de la viga simple equivalente).


Conocida la rotación efectiva en el extremo (i) [similarmente para el extremo (j)], se puede dibujar la curva de histéresis con un eje (abscisa) indicando la rotación efectiva ωii y otro eje (ordenada) señalando el momento flexionante Mi como se muestra en la Figura 5. La curva de histéresis de esta figura es válida para los cuatro estados de fluencia.

Figura 5. Relación bilineal de histéresis para el extremo (i) de la viga simple equivalente del modelo de una componente de Giberson.

Por estar orientado para estimar la capacidad lateral de edificios, el programa fue desarrollado esencialmente para estimar la respuesta ante cargas horizontales de intensidad creciente, pero aplicadas en las losas. Por ello, el programa en su estado actual no acepta la definición de cargas verticales aplicadas directamente en las barras, ya sean trabes o columnas. La carga vertical, sin embargo, puede modificar la distribución del comportamiento inelástico en cada uno de los marcos resistentes a carga lateral. En otras palabras, los mecanismos plásticos que se forman en un edificio con carga vertical (y lateral) serán en general, diferentes a aquellos obtenidos para el mismo edificio con la misma carga lateral pero sin carga vertical. Para tomar en cuenta el efecto de las cargas verticales, en el programa se ha previsto que la definición de los momentos de fluencia de una barra sean diferentes en cada uno de sus extremos. De esta manera, se puede tomar en cuenta el efecto de la carga axial como sigue, suponiendo que el comportamiento inelástico se localiza en los extremos de las barras. Si la carga vertical conduce a los momentos MA y MB que se presentan en los extremos de una barra, entonces sólo deberá restarse o sumarse la magnitud de estos momentos a los valores de los momentos de fluencia [(My)A y (My)B] de las secciones correspondientes de la barra y ensamblar el archivo de datos con estos valores modificados.

EJEMPLO DE APLICACIÓN Para mostrar la aplicación del programa, se presenta el análisis pushover de un par de edificios de cinco niveles con las plantas y elevaciones mostradas en la Figura 6. Observe que para el primer caso la planta es simétrica, mientras la segunda es asimétrica debido a que el marco 2 paralelo al eje Y se ha recorrido 2 m a la izquierda, respecto al del caso simétrico. Las secciones de trabes y columnas se muestran en la Tabla 2. El diseño de los elementos resistentes también considera los grupos indicados en la Tabla 2 y se limita a la selección de un momento flexionante de fluencia en los extremos de las barras que cubra los momentos flexionantes máximos que resulten del análisis. Para el modelo asimétrico en planta el diseño por torsión se


llevó a cabo con el método estático que recomienda el cálculo de excentricidades de diseño de acuerdo a las ecuaciones siguientes (ICBO, 1997):

excentricidad primaria: ed1 = αes + βb (29)excentricidad secundaria: ed2 = δes - βb (30)

Para este caso se seleccionó un factor de amplificación α = 1.0 y los factores δ=β=0.0 (no confundir α con αi o con αj). Para el Modelo B, la excentricidad que resulta es es = 0.67 m, lo que equivale a una excentricidad normalizada e = 0.04. La distribución vertical de cargas laterales se obtuvo de acuerdo a lo marcado por el Uniform Building Code (ICBO, 1997). No se incluyeron cargas verticales.

m8

m8

2 3

4

5

61

Vx

CM

X

6 m 10 m

2 31

Vy

2 m

CM

Vy

A

A

3 m

3 m

3 m

3 m

8 m

4 m

8 m

Corte A-A

a) Modelo A b) Modelo B

c) Corte

Y

X

Y

m8

m8

Figura 6. Modelo para ilustrar el uso del programa de análisis pushover.

Tabla 2. Secciones transversales de trabes y columnas [cm].

Columnas Trabes Grupo Entrepisos Dimensiones Grupo Niveles Dimensiones

1 1 50 x 50 1 1 30 x 50 2 2 y 3 45 x 45 2 2 yd 3 25 x 50 3 4 y 5 35 x 35 3 4 y 5 25 x 50


DESPLAZAMIENTOS La aplicación del programa pushover a estos edificios conduce a las curvas de cortante basal vs. desplazamiento lateral (en dirección X) de la losa de azotea [(Vb)n vs. (un)] que se muestra en la Figura 7a. Se puede observar que aun cuando el Modelo B tiene excentricidad, su diseño por torsión (con ayuda de las ecuaciones anteriores) lo lleva a un edificio con más resistencia que el Modelo A. Es claro que el desplazamiento del centro de masa (CM) de la losa de azotea para ambos modelos es prácticamente el mismo.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

Desplazamiento de azotea del CM, [m]

0

10000

20000

30000

40000

50000

Cor

tant

e ba

sal,

[kg]

Modelo AModelo B

0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004

Rotaci n de la losa de azotea, [rad]

0

12500

25000

37500

50000

Cor

tant

e ba

sal,

[kg]

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

1

2

3

4

5

Ent

repi

so

A (Marcos 1 y 3)B (Marco 1)B (Marco 3)

Desplazamiento relativo lateral de marcos, [m]

Con diseæo por torsi n

c) Desplazamiento relativo de entrepiso

a) Curva pushover de traslaci n b) Curva pushover de rotaci n

Sin diseæo por torsi n

Figura 7. Curvas pushover y desplazamientos laterales de marcos.

La Figura 7b muestra el giro de las losas de azotea para los mismos modelos. En esta figura es obvio que el giro del Modelo A es cero y sólo se observa el giro de la losa del Modelo B, el cual se ha calculado para dos condiciones. La línea interrumpida corresponde al Modelo B diseñado por torsión como se indicó antes y la línea continua corresponde al mismo Modelo B pero sin un diseño por torsión. Esta segunda figura muestra que el diseño por torsión conduce a una estructura más rígida torsionalmente. El mismo efecto (de un diseño por torsión) también se aprecia en la Figura 7c. Aquí se observa que aun cuando el Modelo B es asimétrico, el diseño por torsión conduce a marcos con menores desplazamientos laterales que los del mismo Modelo A.


ENERGÍA PLÁSTICA Y DISTRIBUCIÓN DE COMPORTAMIENTO NO LINEAL Otro parámetro que calcula el programa es la energía plástica que disipa cada uno de los marcos que forman el edificio. Esta energía, denotada aquí como Ep, se calcula como la suma de todos los incrementos de energía plástica de los extremos de todos los elementos que forman el marco en cuestión. Para cada extremo, la rotación plástica se estima como el área bajo la curva de rotación plástica vs. momento flexionante, como se ilustra en la Figura 8.

i-1∆Mii

Rotacion plastica

Mom

ento

flex

iona

nte

2 ∆ i= )(

Mi

M i-1

Mi-1

A

i-1∆

+

∆ i

( )

Figura 8. Energía plástica en el extremo de una barra.

Marco 1, Ep = 465.2 kg-m Marco 3, Ep = 465.2 kg-mMarco 2, Ep = 465.2 kg-m

a) Modelo A

b) Modelo B

Marco 1, Ep = 388.7 kg-m Marco 2, Ep = 403.5 kg-m Marco 3, Ep = 440.7 kg-m

Figura 9. Distribución de comportamiento no lineal.


El valor de la energía plástica disipada por cada marco se puede complementar con la distribución del comportamiento no lineal. Una forma usual de mostrar la magnitud de este comportamiento es mediante el empleo de círculos en los extremos de las barras cuyo diámetro es proporcional a la demanda de ductilidad, por ejemplo. El programa que aquí se presenta crea un archivo script el cual, al ejecutarse desde Autocad, se dibuja la distribución de comportamiento no lineal en cada uno de los marcos. Esto se observa en la Figura 9 para los marcos paralelos a las fuerzas laterales de ambos modelos. Puede observarse que para el Modelo A, la energía plástica y la distribución del comportamiento no lineal es la misma para los tres marcos por tratarse de un edificio simétrico. En contraste, para el Modelo B, el cual no es torsionalmente balanceado pero fue diseñado por torsión, las energías plásticas para los mismos marcos es diferente entre ellos. Además, las energías del Modelo B resultaron menores que las correspondientes energías del Modelo A. Esto sugiere que el diseño efectuado al Modelo B lo hace más resistente que el Modelo A, de tal forma que el Modelo B muestra menor comportamiento no lineal aun cuando la carga lateral se aplica de manera excéntrica. Esto soporta los resultados analíticos (De la Colina, 1999) y los medidos en edificios reales (Lu y Hall, 1992) que concluyen que los sistemas con poca excentricidad son más vulnerables que aquellos sistemas asimétricos pero diseñados para tomar el efecto de torsión.

COMENTARIOS FINALES Y CONCLUSIÓN Los programas de análisis pushover se han señalado recientemente como herramientas muy útiles para la evaluación de edificios. La apropiada aplicación del análisis pushover clásico, o su versión más reciente que es el pushover modal (Chopra y Goel, 2001), aun está en evaluación y deberá dedicarse trabajo adicional para valorar la extensión de su aplicabilidad. Un aspecto importante a considerar en el estudio del análisis pushover es la manera de cómo considerar el efecto no lineal de los elementos resistentes, particularmente en el caso de columnas que forman parte de edificios con posibilidades de torsión. El programa que se presenta muestra que este tipo de análisis también puede emplearse para estudiar el comportamiento estructural de edificios, por lo que su incorporación al proceso de diseño parece inminente.

Los resultados de modelos analíticos analizados con el programa de análisis pushover soportan las conclusiones obtenidas de de resultados analíticos y de mediciones en edificios que concluyen que los sistemas con poca excentricidad son más vulnerables que aquellos sistemas asimétricos pero diseñados para tomar el efecto de torsión.

REFERENCIAS

Applied Technology Council (ATC) (1976), “Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings”, Reporte ATC-40, Redwood City, California. Chopra, A.K. y Goel, R.K. (2001). “A modal pushover analysis procedure to estimate seismic demands for buildings: Theory and preliminary evaluation”, Reporte PEER 2001/03, Pacific Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley. De-la-Colina, J. (1999). “Effects of torsion factors on simple nonlinear systems using fully-bidirectional analyses”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 28, 691-706. Federal Emergency Management Agency (FEMA) (1997), “NEHRP guidelines for the seimsic rehabilitation of buildings, FEMA-273”, Washington, D. C. Freeman, S.A., Nicoletti, J.P: y Tyrrell, J.V. (1975), “Evaluation of existing buildings for seismic risk, A case study of Peuget Sound Naval Shipyard, Bremerton, Washington”, Memorias, First U. S. National Conference on Earthquake Engineering, EERI, Ann Arbor, Michigan, 113-112. Giberson, M. (1969), “Two nonlinear beams with definitions of ductility”, Journal of the Structural Division, Proc. ASCE, Vol. 95, No. 2, 137-157.


International Conference of Building Official (ICBO), “Uniform Building Code (UBC)”, Whittier, California, 1997. Kilar, V. y Fajfar, P. (1997), “Simple posh-over analysis of asymmetric buildings”. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 26, 233-249. Li K.N., (1996), “CANNY-E, Three-dimensional nonlinear dynamic structural analysis. Computer program package”, Canny Consultants PTE, Ltd, Singapur. Lu, S. and Hall, W. (1992). “Torsion in two buildings – 1987 Whittier narrows earthquake”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 21, 3871-407.

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