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MEC. SOLIDOS III, UNIDAD 7 1 J. M. HERNANDEZ

UNIDAD 7. DEFLEXIONES

7.1 Introducción

Cuando una viga se somete a cargas transversales, es decir es sometida a flexión, las

deformaciones que acompañan a la flexión son tales que se producen desviaciones con respecto a

la posición original de la viga descargada. A estas desviaciones se les llama deflexiones o flechas

(figura 7.1)

y y

Sin carga Sin carga

x x

y Con carga y Con carga

v(x) F F v(x)

x x

a) Viga en voladizo b) Viga simplemente apoyada

Figura 7.1 Ejemplos de vigas y sus deflexiones

Para el cálculo de las deflexiones se toma la desviación de la línea neutra. A la forma que toma la

línea neutra deformada se le conoce como curva elástica y se expresa analíticamente mediante la

función v(x).

Normalmente las deflexiones (o flechas) y las pendientes (o giros) de la curva elástica son

pequeños. En la figura 7.1 se indican las deformaciones producidas en forma exagerada para

mayor claridad.


7.2 Relación entre el momento flexionante y la curvatura.

En la Unidad 5 se dedujo la relación que se produce el momento flexionante (causa) y la

curvatura de la viga (el efecto). Dicha relación también se conoce en forma abreviada como

relación momento curvatura.

1

M

EI

z

z

(5.13)

o bien, prescindiendo de los subíndices cuando no hay confusiones posibles

(7.1)

Es de hacer notar que la ecuación (7.1) es válida en el rango elástico-lineal del material. El

producto EI se conoce como rigidez a la flexión. M debe conocerse como función de x, es decir

M = M(x). Si la viga es de sección variable también la rigidez a la flexión varía con x ya que en

este caso I = I(x)

La curvatura de una curva plana puede expresarse como

1

1

2

2

23

2

d v

dx

dv

dx

(7.2)

Combinando la ecuación (7.2) con la ecuación (7.1) se obtiene

1

1

2

2

23

2

d v

dx

dv

dx

M x

EI

( ) (7.3)

Así como está planteada la (7.3) no es muy adecuada para trabajarla matemáticamente. En la

práctica es necesario trabajar con una ecuación aproximada que se deduce a continuación.

1

M

EI


En la figura (7.2), por definición, la

curvatura es

1

0

lim

s s

d

ds

En la práctica, en deformaciones de

vigas en el rango elástico, las

deflexiones v(x) y las pendientes

(x) son pequeñas, por lo tanto

tan 'dv

dxv y x s

De modo que

1

0

2

2

lim

( ) ( )

x

x x x

x

d

dx

d

dx

dv

dx

d v

dx

1 2

2

d v

dxv (7.4)

.

A este mismo resultado se llega si en la (7.2) se pone dv

dx 1

Combinando (7.4) con (7.1)

d v

dx

M

EI

2

2 (7.5)

Resolviendo la ecuación diferencial de segundo orden (7.5) se puede encontrar v(x) y con ello la

forma de la curva elástica. Como es necesario resolver ecuaciones diferenciales, se requiere

conocer las condiciones de frontera, que generalmente se tendrán en los puntos de apoyo o

puntos de conexión de una viga con otra. En la figura (7.3) se indican las condiciones de frontera

en algunos casos típicos.

y

(x+x)

s

(x)

v(x) v(x+x)

x

x x

Figura 7.2 Curvatura



c) Dos vigas, articulación d) Viga continua, apoyo fijo

Figuira 7.3 Condiciones de frontera para ecuación de segundo orden

v = 0

v´= 0v = 0 v = 0

(v)izq = (v)der

v = 0

(v )́izq = (v )́der

7.3 Relación entre la carga distribuida y la curvatura

Se vio en la Unidad 5 que

dV

dxw x ( ) 0 (5.1)

y dM

dxV 0 (5.3)

de (5.3): VdM

dx y derivando:

dV

dx

d M

dx

2

2 y combinando con (5.1), resulta

d M

dxw

2

20 (7.6)

o bien


d M

dxw x

2

2 ( ) (7.7)

de la ecuación (7.5), se tiene que M EId v

dx

2

2

derivando con respecto a x

VdM

dx

d

dxEI

d v

dx

2

2 (7.8)

derivando nuevamente con respecto a x

dV

dx

d M

dx

d

dxEI

d v

dx

2

2

2

2

2

2

y sustituyendo en (7.7)

(7.9)

Si la viga es prismática y homogénea, es decir EI = constante, entonces

(7.10)

observe que si EI es constante entonces la (7.8) se puede expresar:

V EId v

dx

3

3 (7.11)

La ecuación (7.10) constituye la relación buscada. Se puede hallar la curva elástica a partir de la

carga distribuida por integraciones sucesivas. Por supuesto que se necesita conocer las

condiciones de frontera en puntos específicos y que ahora son en mayor número puesto que la

ecuación diferencial es dmayor orden

* Condiciones de frontera de tipo geométrico: v, v’ conocidos

* Condiciones de frontera de tipo de fuerza: M y V conocidos.

d

dxEI

d v

dxw x

2

2

2

2

( )

EId v

dxw x

4

4 ( )


Para el segindo caso, de (7.5) se tiene EIv´´= M, y si EI es constante, de (7.11) se tiene EIv’’’ =

V. De modo que

M conocido v’’ es conocido

V conocido v’’’ es conocido

Condiciones de frontera típicas necesarias para resolver (7.10)


c) Dos vigas, articulación d) Viga continua, apoyo fijo

Figura 7.4 Condiciones de frontera para

ecuación de cuarto orden

v = 0

v´= 0

v´́ = 0

v´́ ´= 0

v = 0

v´́ = 0v = 0

v´́ = 0

(v) izq = (v )der

(v´́ )izq = 0

(v´́ )der = 0

(v´́ ́)izq = (v´́ ́)der

(v) izq = 0

(v )der = 0

(v ́)izq = (v ́)der

(v´́ )izq = (v´́ )der

7.4 Deformaciones de vigas

Existen en la actualidad gran diversidad de métodos para calcular las deformaciones que se

producen en una viga cargada: método de “integración”, “superposición”, “Métodos de energía”,

“área momento”, “viga conjugada”, “tres momentos”, etc. Todos estos métodos se basan en la

ecuación (7.5).

En todos los métodos puede resolverse problemas con indeterminación estática, es decir, cuando

las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para resolver todas las reacciones en los apoyos.


El grado de indeterminación D es igual a la diferencia entre el número de reacciones

desconocidas NR y el número de ecuaciones de equilibrio NEQ, así:

D = NR – NEQ (7.12)

Al resolver problemas estáticamente indeterminados se escogen D reacciones que se introducen

como incógnitas y se llaman reacciones redundantes, las cuales se pueden resolver cuando se

aplican las condiciones de frontera.

7.4.1 Método de integración

Como su nombre lo indica, este método consiste en efectuar integraciones sucesivas. Esto puede

hacerse con la ecuación de segundo orden (7.5) o la de cuarto orden (7.10). En ambos casos se

necesita conocer la función M(x) o w(x), así como las condiciones de frontera correspondientes.

En los casos en que haya discontinuidad en w(x), cargas y/o momentos concentrados o debido a

los apoyos o conexiones intermedias de vigas, no es posible la solución mediante la integración

de una sola ecuación, sino que hay necesidad de resolver para los diferentes tramos la

correspondiente ecuación diferencial, y luego aplicar condiciones de frontera en los puntos de

unión o de discontinuidad de la viga. De mas está decir que este método se vuelve largo y

tedioso, ya que hay necesidad de evaluar un gran número de constantes de integración (como se

verá en el ejemplo 7.1). Esta dificultad se puede minimizar si se hace uso de las funciones

singulares (que se vieron en la Unidad 5). Estas funciones pueden emplearse para escribir M(x) o

w(x).

Este método de integración es especialmente útil cuando se desea conocer la flecha en función de

la posición: v(x).

Ejemplo 7.1

Para la viga que se indica en la

figura, hallar la expresión

analítica de la curva elástica, la

flecha y la pendiente en B, así

como la flecha máxima.

135 kN

20 kN/m

A C

B W12x65, acero

1.5 m 3.0 m


Solución:

Para plantear la ecuación diferencial (7.5) es necesario conocer M como función de x. Debido a

que existe discontinuidad en la carga (punto B) será necesario expresar M en dos tramos

diferentes: AB y BC.

Equilibrio de la viga completa:

90(4.5/2) + 135(3.0) – 4.5RA = 0

RA = 135 kN

4.5RC - 90(4.5/2) - 135(1.5) = 0

RC = 90 kN

Corte a-a entre A y B:

0 < x < 1.5 m.

Equilibrio de la porción:

M + 20x(x/2) – 135x = 0

M = 135x – 10x2

Corte b-b, entre B y C:

1.5 < x < 4.5 m

Equilibrio de la porción:

–M – 20(4.5–x)(4.5–x)/2+

90(4.5–x) = 0

M = 202.5 – 10x2

Mx x x

x x

135 10 0 15

202 5 10 15 4 5

2

2

, .

. , . .

4.5 m

y

135 kN 20x4.5 = 90 kN

a b

x

a b

RA RB

M M

V V

135 kN 90 kN

x

x 4.5 – x

M (kNm)

M = 202.5–10x2

M = 135x–10x2

DMF

x (m)

1.5 4.5

y, v

v(x) x (m)

Curva elástica


Para encontrar la solución se necesita resolver dos ecuaciones diferenciales

Tramo AB: 0 < x < 1.5 Tramo BC: 1.5 < x < 4.5

EIv’’=135x –10x2 EIv’’=202.5–10x

2

EIv’ = (135/2)x2-(10/3)x

3 + c1 EIv’=202.5x–(10/3)x

3 + c3

EIv = (135/6)x3–(10/12)x

4 + c1x + c2 EIv = (202.5/2)x

2–(10/12)x

4+c3x + c4

Se tiene que evaluar cuatro constantes, por lo tanto se necesitan cuatro condiciones de frontera,

que son:

1) La flecha en A es cero, v(0) = 0

2) La flecha en C es cero, v(4.5) = 0

Como la curva elástica debe ser continua, sin vértices o quiebres,

3) La flecha en B es la misma para ambos tramos: v(1.5–) = v(1.5

+)

donde v(1.5–) = (vB)izq, límite por la izquierda y v(1.5

+) = (vB)der, límite por la derecha.

4) La pendiente en B es la misma para ambos tramos: v’(1.5–) = v’(1.5

+)

donde v’(1.5–) = (v’B)izq, límite por la izquierda y v’(1.5

+) = (v’B)der, límite por la derecha.

Aplicando las condiciones

v(0) = 0:

0 = (135/6)(0)3-(10/12)(0)

4 + c1(0) + c2 c2 = 0

v(4.5) = 0:

0 = (202.5/2)(4.5)2

– (10/12)(4.5)4

+ c3(4.5) + c4 4.5c3+c4 = –1708.6 (1)

v´(1.5–) = v´(1.5

+):

(135/2)(1.5)2–(10/3)(1.5)

3 + c1 = 202.5(1.5)–(10/3)(1.5)

3 + c3 c1 – c3 = 151.875 (2)

v(1.5–) = v(1.5

+):

(135/6)(1.5)3

– (10/12)(1.5)4

+ c1(1.5) + c2 = (202.5/2)(1.5)2

– (10/12)(1.5)4

+ c3(1.5) + c4

1.5c1 –1.5c3 – c4 = 151.875 (3)


Resolviendo (1), (2) y (3) y recordando el valor de c2:

c1 = –244.7 c2 = 0 c3 = –396.6 c4 = 75.98

Expresión analítica

EIv

x x x x

x x x x

135

6

10

12244 7 0 15

202 5

2

10

12396 6 76 0 15 4 5

3 4

2 4

. , .

.. . , . .

m

m

Para calcular la flecha en B se evalúa en cualquiera de las expresiones anteriores

v(1.5) = (1/EI)[(135/6)(1.5)3–(10/12)(1.5)

4–244.7(1.5)] = –295.3/EI B = 295.3/EI

Perfil W12x65: I = 533 pul4 = 221.85x10

–6 m

4, E = 200 GPa

EI = 44.4x103 kNm

2

La pendiente en B se calcula evaluando v´(1.5)

v’(1.5) = B = (1/EI)[ (135/2)(1.5)2–(10/3)(1.5)

3–244.7] = –104/EI

B = 2.34x10–3

rad = 0.13°

Como en B la pendiente es negativa, la curva elástica continúa descendiendo, el valor de la flecha

máxima está en algún punto a la derecha de B. En el punto de flecha máxima: = 0, por lo tanto,

igualando a cero v’(x) para el tramo BC, se obtendrá el valor de xm en donde se produce la flecha

máxima.

EIv’ = 202.5xm – (10/3)xm3

– 396.6 = 0

Resolviendo: xm = 2.114 m

EIvmax = EIv(2.114) = (202.5/2)(2.114)2–(10/12)(2.114)

4–396.6(2.114)+76.0 = –326.6

max = vmax = 326.6/EI = 7.36x10–3

m

Sugerencia: Resolver este problema haciendo uso de funciones singulares

B = 6.6 mm

max = 7.36 mm


Ejemplo 7.2

Hallar la deflexión y la pendiente en

B.

w(x) = w0

EIviv

= –w0

EIv’’’ = –w0x + c1

EIv’’ = –w0x2/2 + c1x + c2

Condiciones de frontera:

En x = L, M = 0 EIv’’ = 0: 0 = –w0L2/2 + c1L + c2 (1)

En x = L, V = 0 EIv’’’ = 0: 0 = –w0L + c1 (2)

Resolviendo (1) y (2)

c1 = w0L c2 = –w0L2/2

Continuando la integración

EIv’’ = –w0x2/2 + w0Lx – w0L

2/2

EIv’ = –w0x3/6 + w0Lx

2/2 – (w0L

2/2)x + c3

EIv = –w0x4/24 + w0Lx

3/6 – (w0L

2/2)x

2/2 + c3x + c4

Condiciones de frontera:

En x = 0, v = 0 EIv = 0: 0 = 0 + 0 + 0 + c4 (3)

En x = 0, v’ = 0 EIv’ = 0: 0 = 0 + 0 + c3 (4)

c3 = 0 y c4 = 0

v(x) = (w0/EI)[–x4/24 + (L/6)x

3 – (L

2/4)x

2]

en x = L: v(x = L) = –w0L4/8EI v’(x = L) = –w0L

3/6EI

B = w0L4/8EI B = w0L

3/6EI

w0

A B

L

y

A B

v(x) x


Ejemplo 7.3

Hallar la flecha en C

Solución: La viga es estáticamente

indeterminada. Tomando RB como

reacción redundante (D = 1)

Tramo AB (corte a-a): 0 < x < 10

M = –20(15–x)(15–x)/2+RB(10–x)

M = –20(15–x)2/2 + RB(10–x)

M = –10(15–x)2 + RB(10–x)

M = (10RB–2250)+(300–RB)x –10x2

Tramo BC (corte b-b): 10 < x < 15

M = –20(15–x)(15–x)/2

M = –10(15–x)(15–x)

M = –2250 + 300x – 10x2

Integrando

Tramo AB Tramo BC

EIv’’ = (10RB–2250) + (300–RB)x –10x2 EIv’’ = –2250 + 300x – 10x

2

EIv’ = (10RB–2250)x+(300–RB)x2/2 –10x

3/3+c1 EIv’ = –2250x + 150x

2 – 10x

3/3 + c3

EIv = (10RB–2250)x2/2+(300–RB)x

3/6 –10x

4/12 EIv = –1125x

2 + 50x

3 – 10x

4/12 + c3x + c4

+ c1x + c2

20 kN/m

A W12x87, acero B C

10 m 5 m

y

a b

MA x

a b

RA RB 20(15–x)

x

M

V

x 15 – x

20(15–x)

M

V

RB

x 15 –x


x = 0, v = 0 c2 = 0 x = 10, v = 0 c3(10)+c4 = 70833.33

x = 0, v’ = 0 c1 = 0 x = 10, v’ = ?

x = 10, v = 0 Condición de frontera en tramo BC

0 = (10RB–2250)102/2 + (300–RB)10

3/6 x = 10, EI(v’)der = EI(v’)izq = –208.33,

–(10)104/12+ 0 + 0 EIv´(10

+) = –208.33

–208.33 = –2250(10)+150(10)2

RB = 212.5 kN –(10/3)(10)3+c3

c3 = 10625

EIv = –62.50x2+(43.75/3)x

3–(5/6)x

4

10625(10)+c4 = 70833.33

EIv’ = (–125)x + (43.75)x2 –(10/3)x

3

c4 = –35416.67

en x = 10–

EIv’ = (–125)(10) + (43.75)(10)2 –(10/3)(10)

3

EIv’izq = –208.33

v = (1/EI)[–62.50x2+(43.75/3)x

3–(5/6)x

4] v = (1/EI)[–1125x

2+50x

3–(5/6)x

4

+10625x – 35416.67]

0 < x < 10 10 < x < 15

En x = 15: vC = (1/EI)[–1125(15)2+50(15)

3 – (5/6)(15)

4 + 10625(15) – 35416.67]

vC = –2604.17/EI C = 2604.2/EI

I = 740 pul4x(0.0254 m/pul)

4 = 308 x 10

–6 m

4, E = 200 x 10

6 kN/m

2,

EI = 61.60 x 103 kNm

2

C = 2604.2/(61.60x103) = 0.0423 m, v´(10) = B = –208.33/(61.60x10

3) = –0.0034 rad

En la figura se esquematiza la solución mediante la elástica deformada.

C = 42.3 mm B = 0.0034 rad = 0.19°


7.4.2 Método de superposición

El método consiste en desglosar el sistema cargado en casos mas simples, los cuales aparecen

tabulados en la mayoría de libros que tratan el tema. El método es aplicable siempre que exista

una relación lineal entre la causa (M) y el efecto (v, v’) en el sistema. La ecuación (7.5) es una

ecuación diferencial lineal de segundo orden.

La carga 1: M1 produce v1(x)

La carga 2: M2 produce v2(x)

.

.

.

La carga n: Mn Produce vn(x)

Cargas: Mi Produce vi(x)

Demostración del principio

Sea M = M1(x) + M2(x) + . . . +Mn(x)

y sea v = v1(x) + v2(x) + . . . + vn(x)

de modo que EId y

dxM

2

2

Si solo se aplica la carga 1: EId v

dxM

2

1

2 1

y

x

B

C


Si solo se aplica la carga 2: EId v

dxM

2

2

2 2

.

.

.

Si solo se aplica la carga n: EId v

dxM

n

n

2

2

Sumando:

EId v

dx

d v

dx

d v

dxM M M

n

n

2

1

2

2

2

2

2

2 1 2

pero:

d v

dx

d

dxv v v

d v

dx

d v

dx

d v

dxn

n

2

2

2

2 1 2

2

1

2

2

2

2

2

2

de modo que:

EId v

dxM

2

2

Es decir, si se aplican las n cargas simultáneamente, la deflexión v(x) será la suma de deflexiones

que produciría cada carga actuando sola.


Ejemplo 7.4

Resolver el problema del ejemplo 7.3 utilizando superposición

De tabla Apéndice C de Hibbeler:

B1 = (20/24EI)(10)2[(10)

2 – 4(15)(10) + 6(15)

2] = 70833.33/EI

B2 = (1/3EI)RB(10)3 B2 = RB(10)

2/2EI

Se sabe que B = 0

pero B = B1 + B2 = 70833.33/EI – (1/3EI)RB(10)3 = 0

RB = 212.5 kN

C1 = 20(15)4/8EI = 126562.5/EI

Cálculo de C2: como el tramo B2C2 es recto

20 kN/m

= RB

20 kN/m

B1 C1

A B C

B1 C1

+C2

B2

A B C

RB B2 C2


C2 = CC2 = B2 + BC(B2) B2 = 212.5(10)2/2EI

C 2 = 212.5(10)3/3EI+5[212.5(10)

2/2EI] = 123958.3/EI

C = C1 + C2 = 126562.5/EI + 123958.3/EI = 2604.2/EI

C = 2604.2/EI (igual que antes)

7.4.3 Método de Area-Momento

Este método utiliza las propiedades del área del diagrama de momentos flexionantes. El método

es adecuado cuando se requiere la deflexión o el ángulo de rotación en un punto de la viga,

porque es posible encontrar tales cantidades sin necesidad de encontrar primero la ecuación

completa de la curva de deflexión.

C2

(BC)B2

B2 B2 C2

B2 B2

B C

5 m


Para explicar el método, considérese una porción AB de viga deformada, esto es, de la elástica en

una región en donde la curvatura sea positiva. En el punto A la tangente a la curva de deflexión

tiene un ángulo de rotación A a partir del eje x, y en el punto B, la tangente a la curva elástica

tiene un ángulo B.

El ángulo entre las tangentes, denotado por B/A, es igual a la diferencia B – A:

B/A = B – A

Luego, B/A representa el ángulo relativo de rotación de la tangente en B con respecto a la

tangente en A. El ángulo relativo B/A es positivo si B es mayor que A, como se muestra en la

figura.

Considérense dos puntos C y D sobre la curva elástica separados una distancia ds. Las tangentes

a la curva en tales puntos forman un ángulo d como se muestra en la figura. Las normales a esas

tangentes se intersectan en el centro de curvatura con un ángulo d (ver detalle en la figura), que

es igual a ds/, donde es el radio de curvatura. Por lo que el ángulo entre las dos tangentes es

también igual a d. El ángulo d puede obtenerse a partir de la ecuación

Carga

y

(a)

A B

y

d

B

(b) A A B

d dt tB/A

ds d

x

(c) xB

M/EI Centroide dx

Figura 7.5 Teoremas del área del diagrama de momentos


1

d

ds

M

EI (7.13)

pero ds dx, por lo que

dMdx

EI (7.14)

donde M es el momento flexionante en la viga y EI es la rigidez a la flexión.

La cantidad Mdx/EI tiene una interpretación geométrica, como sigue: En la figura 7.14(c) se

muestra el diagrama M/EI (Esto es, un diagrama en el que la ordenada es igual al momento

flexionante M dividido por la rigidez a la flexión EI en tal punto). El diagrama M/EI tiene la

misma forma que el diagrama de M únicamente cuando EI es constante. El término Mdx/EI

representa el área de la franja sombreada incluida en el diagrama M/EI.

Integrando (7.14) entre los puntos A y B, se tiene

dMdx

EIA

B

A

B

(7.15)

La integral de la izquierda es igual a B/A = B – A que es el ángulo relativo entre las tangentes

en B y en A. La integral de la derecha es igual al área del diagrama M/EI entre los puntos A y B.

Observe que esta área puede ser positiva o negativa dependiendo del signo del momento

flexionante. La cantidad B/A usualmente medida en radianes se conoce como desviación

angular.

Obsérvese también que la distancia entre el punto B de la curva elástica medida

perpendicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la tangente trazada a la curva por el

punto A, es la suma de los elementos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la

elástica en puntos sucesivos C y D. Cada uno de estos elementos dt puede considerarse como un

arco de radio x y ángulo d:

dt = xd

de donde

t dt xdB A/

sustituyendo d por su equivalente en la ecuación (7.14), se obtiene

t xMdx

EIB A x

x

A

B

/

(7.16)


La cantidad tB/A se mide en unidades de longitud se conoce como desviación tangencial de B con

respecto a A. El subíndice indica que va desde B hasta la tangente trazada en A. La figura 7.6

aclara la diferencia que existe entre la desviación tangencial tB/A de B con repecto de A y la

desviación tA/B de A con respecto a B. En general dichas desviaciones son distintas.

B B

A

A tB/A

tA/B B/A A/B

Tangente en B Tangente en A

Figura 7.6 Tangentes en A y B. Las desviaciones

tangenciales no serán iguales, en general

El significado geométrico de las ecuaciones (7.15) y (7.16) conduce a los dos teoremas

fundamentales del método de área-momento. En el diagrama de la figura 7.5 se puede ver que

(M/EI)dx es el área de la franja diferencial situada a una distancia x de la ordenada que pasa por

B. Ahora bien, como al sumar todos estos elementos de área, es decir integrando, (M/EI)dx, se

obtiene (7.15) por lo que esta ecuación puede escribirse

B/A = B – A = [Area del diagrama M/EI entre A y B] (7.17)

(7.17) es la expresión algebraica del Teorema I, que se puede enunciar como sigue:

Teorema I: La desviación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos

puntos cualesquiera A y B es igual al área del diagrama de M/EI entre esos dos puntos.

La Fig. 7.5 muestra como la expresión x(M/EI)dx en la ecuación (7.16) es el momento de primer

orden de la franja infinitesimal (M/EI)dx con respecto a la ordenada en B. Por lo tanto el

significado geométrico de la suma (o integral) de los elementos x(M/EI)dx es el momento con

respecto a la ordenada en B del área de la porción del diagrama M/EI comprendida entre A y B.

Con ello la expresión matemática del Teorema II es:

tB/A = [Area del diagrama M/EI entre A y B]*xB (7.18)

Este teorema se enuncia así:


Teorema II: La desviación tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la

elástica en otro punto cualquiera A, en dirección perpendicular a la inicial de la viga, es igual

al momento con respecto a B del área de la porción del diagrama M/EI entre los puntos A y B.

El momento del área se toma siempre con respecto a la ordenada del punto cuya desviación se

quiere obtener, por lo que conviene ponerle a x del centroide del área el subíndice

correspondiente, lo que indica que el brazo de momento se toma desde ese punto. Así, para

calcular tB/A x se mide desde B, luego x = xB. Para calcular tA/B x se mide desde A, luego

x = xA. Lo anterior se ilustra en la figura 7.7

tB/A = [Area del diagrama M/EI entre A y B]xB

tA/B = [Area del diagrama M/EI entre A y B]xA

El área bajo M/EI puede ser positiva o negativa, lo que definirá el signo de las desviaciones

angulares y tangenciales.

Criterio de signos:

La desviación tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la

tangente con respecto a la cual se toma esta desviación, y negativa si queda por debajo de dicha

tangente.

Un valor positivo de la desviación angular indica que la tangente en el punto situado a la derecha

se obtiene girando en sentido antihorario la tangente trazada en el punto a la izquierda.

A B B

A

tB/A

tA/B B/A

xA xB

Centroide

A B

Figura 7.7


En la figura 7.8: (a) positiva, B queda por encima de la tangente de referencia. (b) negativa, el

punto B queda por debajo de la tangente de referencia. (c) desviación positiva, B/A está en

sentido antihorario. (d) negativa, B/A está en sentido horario.

Diagrama de momentos por partes

En la práctica, para aplicar este método no es estrictamente necesario elaborar el diagrama de M

completo, ya que se puede hacer uso del principio de superposición y dividir el diagrama de

momentos en partes cuyas áreas y centroides sean conocidos.

Ejemplo 7.5 Encontrar la reacción y el giro

en el apoyo B así como la deflexión

máxima, usando el método de área momento

construyendo el diagrama de M por partes

tB/A

B

A A B

tB/A

(a) (b)

B/A

B

A A B

B/A

(c) (d)

Figura 7.8 Criterio de signos

1.5 klb/ft

A B

W8x15, acero

4 ft


Solución

Se toma RB como

reacción redundante y

se construyen los DMF

por separado de la

carga distribuida y de

la reacción RB. Se

determinan los

centroides de cada

porción, así como sus

áreas.

La tangente en A es

horizontal, de modo

que las desviación

tangencial de B con

respecto a A, tB/A es

cero. Note que

tA/B 0.

Aplicando el Teorema

II y tomando en cuenta

que EI es constante

EI = (30000 klb/in2)(48 in

4) = 1.44x10

6 klbin

2 = 10000 klbft

2

A1 = (RBL)(L)/2 = RBL2/2

A2 = (–wL2/2)(L)/3 = –wL

3/6

EItB/A = [Area de M entre A y B]xB =xB1A1 +xB2A2

EItB/A = (2L/3)(RBL2/2)+(3L/4)(–wL

3/6) = 0

RB = 3wL/8 = 3(1.5)(4)/8 = 2.25 klb

El giro en B de determina usando el Teorema I:

EI(B – A) = [Area de M entre A y B] Por condición de frontera se sabe que A = 0

EI(B – A) = A1+A2 = RBL2/2+( –wL

3/6) =(3wL/8)L

2/2+( –wL

3/6) = wL

3/48

w

A B

L

RB

Recta (debido a RB)

RBL 2L/3

–wL2/2

3L/4

Parábola (debido a w)

Tangente en A

B B

A

tA/B

Tangente en B


B = wBL3/48EI = (1.5 klb/ft)(4 ft)

3/(48x10000 klbft

2) = 200x10

–6 rad = 0.011°

Para hallar el máximo se localiza el punto en que la pendiente es cero con ayuda del Teorema I

Sea C el punto de la viga en

que se el valor máximo de

deflexión:

C = vC= tB/C

EI(B – C) = [Area de M

entre C y B]

C = 0.

EI(B) = (2.25u)(u)/2 + (–0.75u2)(u)/3 = (200x10

–6)(10000) = 2

1.125u2 – 0.25u

3 – 2 = 0

0.25u3 – 1.125u

2 + 2 = 0

Resolviendo: u = 1.6861

EItB/C = xBA = (2.25u)(u)/2(2u/3)+(–0.75u2)u/3(3u/4) = 0.75u

3 – 0.1875u

4

EItB/C = 0.75(1.6861)3 – 0.1875(1.6861)

4 = 2.07979 klbft

3

C = tB/C = 2.07979 klbft3/10000 klbft

2 = 2.07979 x10

–4 ft = 0.0025 in

max = 0.0025 in a 1.69 ft del apoyo B.

Sugerencia: encuentre el punto de inflexión de la elástica y la flecha correspondiente.

2u/3

9 klbft

2.25u

–0.75u2

–12 klbft 3u/4

u

A C B

C tB/C

Tangente en C

u

Tangente en B


7.4.4 Método de energía. Teorema de Castigliano

Energía de deformación por flexión.

Considerando solo esfuerzos flexionantes y deformaciones axiales debidas a los esfuerzos

flexionantes

U dV

2VOLUMEN

La integral se extiende en todo el volumen. Considerando comportamiento elástico lineal

My

I

My

EI

UMy

I

My

EIdV

M y

EIdV

1

2 2

2 2

2

VOLUMEN VOLUMEN

dA y y

y

dx

Figura 7.9 Consideración del volumen de integración

dV = dAdx, x2 – x1 = L longitud de la viga

UM y

EIdV

M y

EIdAdx

M

EIy dA dx

x

x

x

x

2 2

2

2 2

2

2

2

2

2 2 21

2

1

2

AREAVOLUMEN AREA

UM

EIIdx

M

EIdx

x

x

x

x

2

2

2

2 21

2

1

2

UM

EIdx

x

x

2

21

2

(7.19)


En (7.19), tanto M como I pueden ser función de la variable x, pero en el caso de M también debe

expresarse en función de las cargas para poder hacer uso del Teorema de Castigliano.

Aplicación de Segundo Teorema de Castigliano, ecuación (3.15)

En relación a la figura 7.10 y aplicando el

Teorema

k

k k

U

F F

M

EIdx

2

2

y derivando dentro del signo integral

k

k kF

M

EIdx

M

EI

M

Fdx

2

2

(7.20)

k

k k

U

M M

M

EIdx

2

2

y derivando dentro del signo integral

k

k kM

M

EIdx

M

EI

M

Mdx

2

2 (7.21)

En las ecuaciones (7.20) y (7.21) la función M es la acción interna función de x y de las cargas:

M = M(x, cargas) mientras que las variables Fk y Mk son cargas concentradas aplicadas

externamente tomadas como variables y se evalúan hasta que la derivación haya sido efectuada.

Si se necesita conocer k y/o k en algún punto en donde no exista carga concentrada, se ponen

cargas ficticias Fk y Mk las cuales se igualan a cero después de efectuar la derivación .

La utilidad de este método consiste en que es menos trabajoso desde el punto de vista

matemático y es especialmente útil cuando se quiere calcular la flecha y/o la pendiente en puntos

específicos y no como función de x. Además mediante este método se puede calcular sin ninguna

dificultad adicional las flechas y los giros en vigas no necesariamente rectas. (Ejemplo 7.7).

w(x) Fk

Mk

k

k

Figura 7.10 Aplicación del segundo

Teorema de Castigliano


Ejemplo 7.6

Para la viga del ejemplo 7.5, determinar la reacción y la pendiente en el apoyo B.

Solución

Como se necesita conocer la

pendiente en B se coloca un

momento concentrado ficticio (MB =

0) en dicho punto

Entonces M = M(x, w, RB, MB)

M = RBx – (w)(x)(x/2) – MB

M = RBx – (w/2)x2 – MB

M

Rx

B

M

M B

1

Usando (7.20)

B

B

B B BM

EI

M

Rdx

R x M

EIx dx

EI

R

( . )( )

( ) . ( )0 75 1 4

3

0 75 4

40

2

0

4 3 4

RB = 2.25 klb

Como el resultado es positivo, la fuerza va en el sentido asumido.

Usando (7.21)

B

B M B M

B BU

M

M

EI

M

Rdx

R x M

EIdx

B B

0 0

2

0

40 75

1( . )

( )

B

x x

EIdx

EI EI

( . . )( )

. ( ) . ( ) .2 25 0 751

1 2 25 4

2

0 75 4

3

2 02 2 3

0

4

rad = –2x10–4

rad

Como el resultado es negativo, la pendiente va en el sentido contrario al asignado a MB, así:

1.5 klb/ft

A B

W8x15, acero

4 ft

w

M MB

V

RB

x

B = 2x10–4

rad = 0.011°


Ejemplo 7.7 Calcular la flecha vertical en A

Solución:

A

U

F

M

EI

M

Fds

Tramo AB

M = FRsen

s = R, ds = Rd

M

FR sen

Tramo BC

M = FR

M

FR

A

M

EI

M

Fds

M

EI

M

Fds

M

EI

M

Fds

TRAMO AB TRAMO BC

A

RFR

EIR Rd

FR

EIRds

sen( sen )

/ .

0

2

0

1 5

A

RFR

EId

FR

EIds

FR

EI

FR

EIR

FR

EI

3

2

0

2 2

0

1 5 3 2 3

415 2 2854sen ( . ) .

/ .

A

FR

EI 2 2854

3

.

Sugerencia: Calcular el desplazamiento horizontal del punto A

F

A

R

B

EI = constante 1.5R

C

F

s

M

Rsen

F

R

s

M

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