ENSEÑANZA REVISTA f\.1EXICANA DE FíSICA 47 (3) 299-302 JUNIO 2001

Solfeando con electronesR.W. Gómez González

Facilitad de Ciencias, Unil'crsidad Nacional Autónoma de MéxicoCircuito ExteriO/; C. V., 04510 México D.F., Mexico

Recibido el 23 de noviembre dc 2000; aceptado el 12 de marzo de 200 I

Se determinan los términos espectrales (términos energéticos) de átomos multic1cctrónicos utilizando un esquema simplificado derivado delmétodo de Slalcr.

lJescril,/ores: Física atómica; configuración electrónica; términos espectrales

The spectral terms (energy tcrms) assot.:ialcd with many-clcclron atoms are dctcrmincd using a simple schemc dcrivcd from Slatcr's method.

Keywords: Atomic physics; clectronic conl1guration; spcclrul terms

PAes: 31.1O.+z

lo Introducción

a) El espín de cada electrón se acopla con el movimientoorbital del resto de los electrones.

b) Los espines electrónicos se acoplan entre sí y ocurrelo mismo con los momentos angulares orbitales indivi-duales.

Cada combinación posible de L]' y ST da lugar a una energíadistinta. ya que estos vectores determinan la magnitud dela interacción espín-órbita: en consecuencia. se requiere sa-ber cuáles son sus valores posibles, para de ellos obtenerJ = LT + STo La respuesta, sin embargo. no es única, de-bido al hecho de que en las sumas para obtenerlos intervie-nen vectores que sólo son conocidos parcialmente; es decir,sólo conocemos su magnitud y su componente Z. Los resul-tados posibles son llamados términos espectrales, o términosenergéticos, y se designan con la notación propuesta por

2. Antecedentes

Por último, el caso e) corresponde a una situación en lacual la energía electrostática es pequeña comparada con ladel acoplamiento entre el espín s¡ y el momento orbitall¡ decada electrón. En tal caso, el momento angular total de ca-da electrón es ji = Si + l¡, Y después hay un acoplamientoentre los momentos angulares individuales. El momento an-gular total J se obtiene de L ji' A este tipo de acoplamientose le llama j j.

Es sabido que ninguno de estos dos tipos de acoplamientose cumple estrictamente: sin embargo, también se sabe que eltipo de acoplamiento en la mayoría de los átomos de la tablaperiódica es principalmento LS, y ése será el único caso queconsideraremos. El problema cuántico consiste entonces endeterminar cuáles son los eigenvalores de los operadores co-rrespondientes, para de ellos calcular las diferentes energíasde interacción. Sin embargo, el propósito de este trabajo noes el de hacer un desarrollo de la teoría del momento angu-lar, la cual se puede encontrar en muchos libros [1], sino elde utilizar los resultados del modelo vectorial del átomo (cu-ya justificación última está relacionada con las propiedadesde simetría de los operadores de momento angular a travésdel teorema de Wigner-Eckart), para determinar de manerasimple esos eigenvalores.

2.1. El método de Slater

( 1 )"1=1i=l

y donde li es el momento angular orbital del i-ésimo electróny Si es su correspondiente espín. Este tipo de acoplamientose conoce como LS, o Russell-Saunders.

e) Cada espín se acopla con su propio momento angularorbital, para dar lugar a un momento angular total decada electrón; en cada caso, los momentos angularesresultantes se acoplan entre sí para dar lugar al mo-mento angular total del sistema.

En el caso a) la energía asociada con la interacción delespín de un electrón con el movimiento orbital del resto delos electrones es muy pequeña y generalmente se ignora.

El caso b) corresponde a una situación en la que la energíade interacción electrostática es mucho mayor que la de aco-piamiento entre el momento angular del espín con el de sumovimiento orbital. En tal caso, los momentos orbitales elec-trónicos se acoplan entre sí, por una parte, y por la otra losespines electrónicos. El momento angular total J se obtieneentonces de la suma de £1' y S'J' (la T signilica total), endonde

Debido a la interacción espín-órbita, el cálculo de la energíade los estados electrónicos de átomos complejos requiere delconocimiento de los estados de momento angular orbital y deespín de los electrones individuales. así como de la forma enque éstos se acoplan entre sí. Tal acoplamiento puede ser detres formas distintas:

300 R.W. GOMÉZ GONZÁLEZ

TABLA 1.Configuración n¡¡2.

MI. \ M., O -1

2 (1,+)(1,-)1 (1,+)(0.+) (1,+)(0,-) (1,-)(0,-)

(1, -)(0, +)(1,+)(-1,-)

° (1,+)(-1,+) (O,+)(0,-) (1,-)(-1,-)(-1,+)(1,-)

-1 (-1,+)(0,+) (-1,+)(0,-) (-1,-)(0,-)(-1,-)(0,+)

-1 (-1,+)(-1,-)

Russell y Saunders: 25+1 LJ, en donde S. L y J son, res-pectivamente. los números cuánticos de espín, de momentoangular orbital y de momento angular totales del átomo y a25 + 1 se le llama muhiplicidad.

El problema resultu trivial en el caso de electrones noequivalentes (es decir, cuando los números cuánticos princi-pal y orbital1lf de los electrones difieran entre sí) pues bastaobtener

AfL,lllax = L TnR;.max y l\!S,max =L rlls;.lllax' (2)

en donde 7Hl.max es el mayor valor del número cuánticomagnético mi de cada electrón. ya que el máximo valor deL es igual al máximo de ¡\l¡,. y su valor, que determina lamagnitud ILI = JL(L + 1) Ii del momentn angular, varíade uno en uno desde Lmal( ::::;AlL,max (que es entero) hastacero. Análogamente, el número cuántico S del spín total varíade uno en uno desde ¡\fS,max' hasta un valor mínimo mayoro igual que cero. ya que AIS,lIIax puede ser semientero.

Sin embargo. cuando los elcctrones son equivalentes (esdecir. cuando sus valores nE. son iguales). el principio de ex-clusión impide algunas combinaciones posibles y el númerode términos espectrales se reduce.

Pocos son los libros elementales de física moderna quetratan este problema. Una excepción es el libro de M. Alonsoy E. Finn [2J. Más aún, la solución a este problema que pre-sentan muchos de los libros avanzados [3,4) es en muchoscasos confusa. En este trabajo se presenta un procedimien-to simple, derivado del método de Slater [5J, para determi-narlos. El procedimiento seguido es accesible para cualquiercurso introductorio de física moderna y, desde luego. paracualquier curso avanzado.

2.2. La confi~uración nJ12

A manera de ejemplo. en la Tabla 1, se reproduce el proce-dimiento que aparece en las Rcfs. 1 y 2 para la configura-ción llP'2. En la Tabla 1, se representan. dentro de un parén-tesis, los valores del número cuántico m, individual con suvalor y los del número cuántico 1Tls con un signo. + ó -.

según si 1Ils es +1/2 ó -1/2. Por el principio de Pauli, enningún caso debe ocurrir que dos paréntesis tengan la mismapareja de símbolos.

De esta l"bla se obtiene un término' D(L = 2 Y5 = O),para el cual se requieren cinco de las combinaciones de lacolumna central (1.\1<;; = O). De las diez combinaciones res-tantes. nueve de ellas intervienen para formar un término"P(L = I Y5 = 1). La última combinación tiene L = OY S = O, así que corresponde a un término IS. Por el prin-cipio de Pauli, ninguna combinación electrónica puede tener!-=2y5=1.

3. El método alternativo

La idea del método propuesto consiste en cambiar la nota-ción y simplificar este tipo de Tablas para que sólo inclu-ya los valores positivos de J\I L Yde 1.\15, ya que basta conellos para saber cuáles son los términos espectrales a los quedan lugar. El cambio de notación consiste en representar alos espines electrónicos con nechas (t si TTl •.,. = 1/2.r !si 1tls = -1/2) Ycolocarlos en una tabla cuyas columnasrepresenten todos los valores de In,. A continuación los espi-nes electrónicos se colocan como dos notas en un "pentagra-ma" observando las siguientes reglas:

• Para obtener las combinaciones que den el mayor va-lor de 11.1s' asociado con el término de mayor multi-plicidad (menor energía). en los primeros renglones dela Tabla se colocan tantos símbolos ¡como electroncstenga la configuración (uno en cada casilla). empezan-do por la combinación que dé el mayor valor posible de1\/1.' A continuación se realizan los movimientos posi-bles de estos símbolos disminuyendo el valor de M L

hasta llegar a cero.

• Como los términos de menor multiplicidad implicanque algunos espines son antiparalelos. ahora el valor dem( de los electrones correspondientes difiere y. en con-secuencia, pueden ocupar un mismo casillero de 1TI,.

La regla para obtener dichos términos es semejante ala anterior, cuidando que dos espines no apunten en lamisma dirección si ocupan el mismo casillero.

• El procedimiento de inversión de espines se continúahasta antes de obtener valores negativos de .H..,..

En la Tabla también se incluyen los valores de MI, y de1.\1s. los cuales se obtienen simplemente de la suma algebrai-ca de los valores de me y ms individuales.

Para ilustrar el procedimiento. en la Tabla 11 se muestra elesquema equivalente completo (sin simplificaciones: es decir.incluyendo valores negativos de ,\1" y de J\ls de la configu.

•• .1raClOnlIJ'-.El término ;~P esta formado por las combinaciones de la

parte alta de la 'I:1bla 11 (renglones con *), en tanto que altérmino ID lo forman las combinaciones de los renglonescon t de la parte media de la Tabla y al término 15 la com-binación del renglon con t de la pane baja. Ahora bien, como

RCI'. M,'x. PÚ. ~7 (3) (2001) 299-302

SOLFEANDO CON ELECTRONES 301

TABLA 11.Configuración np1., (*) y (n ver texto.

1 O -1 Ms ML términoi i 1 1 3p •i i 1 O

i i 1 -1

H O 2 ID ti t O 1 ti t O O t

i t O -1 tH O -2 t

t i O 1 •t i O O •

t i O -1 •H O O IS t

t t O 1 •t t -1 O •

t t -1 -1 •

TABLA 11r. Configuración "1'2. (*) y (t) ver texto.O -1 Ms AI,. término

i t 1 1 'p •t i 1 O •H O 2 ID tt t O 1 tt t O O tt i O 1 •t i O O •

H O O IS t

queda claro de la tabla tipo Slater, todas las combinacionescon AlL ó Al S negativos son "reflexiones" de las combina-ciones con valores positivos en torno a "ejes" con valor nulode AlL ó Afs (tercera columna y cuarto rcnglon de la Tabla 1)así que, para propósitos de saber cuáles son los términos es-pectrales, son superfluas. Entonces podemos construir una ta-bla sin valores negativos y obtener la Tabla 111.De nuevo. laparte alta con (*) corresponde al 3P Y los renglones con t alID yallS.

4. Las configuraciones np4 y nd2

Hasta aquí no parece haber Un¡l gran ganancia en el métodopropuesto, ya que la Tabla III no es mucho nHís simple que latradicional Tabla 1, basada en el método de Slater. Sin embar-go, al considerar configuraciones más complicadas, las venta.jas de este método se hacen evidentes. A manera de ejemplo,las Tablas IV y V muestran los casos de las configuraciones7lP' y 7Uf'.

Los renglones con * en ambas Tablas, por debajo de lalínea gruesa,corresponden a las combinaciones electrónicas

TABLA IV. Configuración 1l1'\ (*) Y(t) ver lex.to.1 O -1 Ms ML término

H i t 1 1 3p •t H t 1 O •H O 2 ID tH t t O 1 tH H O O tti t t O 1 •t ti t O O •t H t O O IS t

TABLA V. Configuración 1l(¡2. (*) y (O ver texto.2 1 O -1 -2 Ms ML términot t 1 3 'F •i t 1 2

i t 1 1

t t 1 [) •t t 1 1 3p •t t 1 O •

H O 4 le tt t O 3 tt t O 2 tt t O 1 tt t O O tt t O 3 •

ti O 2i t O 1i t [) O •

t t O 2 ID tt t O 1 t

H O O tt t O 1

t t O Ot t O O IS

necesarias para formar los términos de alta multiplicidad. Losrenglones con t determinan los términos de baja multiplici-dad. Aunque a primera vista pueda parecer extraño que lostérminos obtenidos para la configuración np4 sean igualesa los obtenidos para la configuración np2. no hay que per-der de vista que los valores de L y S quedan determinadospor la sumatoria de mi Y 7Tls Y éstos, a su vez, dependendel número de electrones desapareados en la configuraciónde que se trate. Como en ambos casos este número es el mis-mo, los términos espectrales tienen que ser iguales. De hecho,este resultado es general para cualquier pareja de configura-ciones en las cuales el número de electrones mI coincida conel número de "huecos" 2(2e + 1) - 7n2.(a)

Conviene resaltar que el método propuesto es aplicablea cualquier configuración de electrones equivalentes, aunquelos ejemplos aquí presentados se refieren a configuracionesdel tipo ne"

Rel'. /oIex. Fís. 47 (3) (2001) 299-302

302 R.W. GOMÉZ GONZÁLEZ

5. Conclusiones

Se ha desarrollado un método simple para obtener lostérminos espectrales (términos energéticos) de configuracio-nes electrónicas con electrones equivalentes. La simpleza

(al Como en una subcapa uE pueden entrar hasta 2(21 + 1) elec-trones, 2(2£ + 1) - Jn2 es el número de electrones fallanlcs parallenar la subcapa, al cLlal podemos llamar número de huecos.

1. E. Mcrzbachcr. Quantllm Mec!ulIlics. Sccond Edition, (101mWillcy & Sonso Ncw York, 1970).

2. tvl. Alonso and E. Finn. FlIlldalll('fllal Ul/iI'ersit)' Plly.\"Ü's.

(Addison-Weslcy, USA, 1968), VoIIII, Cap. 4.

del método permite que este tema sea abordado en cur-sos introductorios de física moderna. Más aún, los aspectos"pictóricos" del método pueden explotarse para discutir pro-blemas más complejos. como el de la degeneración de losestados electrónicos.

3. E.U. Condon and G.ll. Shortley. rile T!leor)"of Atomic Spectra.(Cambridge University Press. Landan. 1964). Cap. 7.

4. R.O. Cowan. T!le Theory of Alomic Struclllre ami Speclm.(Univcrsity or Calirornia Press. Bcrkclcy. 1981), Cap. 4.

5. l.e. Slatcr. QII{lllfllm Tlieor)' of Alomic SlructllYC, (r-..fcGraw.lIill. USA, 1960) Vol. 1, Cap. 13.

ReJ'.Mex. Fis. 47 (3) (2001) 299-302

ENSEÑANZA REVISTA MEXICANA DE FíSICA 47 (3) 303-.10X JUNIO 20()I

Elcctric ficld and cncrgy of a point clcctric chargc bctwccn confocal hypcrboloidalclcctrodcsE. Ley-Koo

JllsrirltIo de Ft'lica, Uni\'ersitlatl Nacional AltIólfoma de MéxicoAparrado Postal 20-364, 01000 México, D.":, Ml'xico

RCl:ibido el 18 de enero de 200 1: aceptadu el 22 de enero de 2001

The c1cctric potcn¡jal ami intellsily lIelds. as well as the cnergy 01' a poinl clectric chargc bctween confocal hypcrboloidal e1eclrodes iscvaluated as a superposilioll of prolate ~phcroidal harmonics using Ihe Grecn-funclion lcchniquc. This sllIdy is morivated by the need tomodcl thc electril' lIeld hct\Veen the tip ilnd the sample in a scanning ll111nclingmicroscopc, and it can also be applied to a conductor-

in!'lulator-conduclor junction.

Kl'YII'ords: Electric ficld and cnergy; scanning tunncling micro!'lcopyLos campos de pOlem:i,l1 y de intensidad eléctrica. así como la energía de una carga eléctrica puntual entre electrodos hipcrboloidalesl:onfocales se evalllan como superposiciones de armónicos esferoidales prolatos usando la técnica de la función de Grecn. Este eSludio hasido motivado por la necesidad de modelar el campo eléctrico entre la punta y la muestra de un microsl:Opio de tunc1amiento y b<lrrido. y sepuede aplicar también a una unión de conductor-<.\isl<lnte-condllcIOL

De!)'cr;l'lOrf'S: Campo y energía eléctricos; microscopía de barriúo y tunelamiento

PAes: 41.IO.l)q

l. Introduction

The wriling of this papa was l110tivated by the work "Tip-to-surface dislancc varialions vs \'oltugc in scanning tunnelingmicroscopy (STM)" of Seine el "l. [l]. Thc authars describethe STM junction gcol11etry in terl11S of a tip shaped as a hy-perboloid of rcvolution and of a salllple surface as an infiniteplane (that can bc rcgardcd as a particular case of a hyperbo-loid). The problcl11 then consists in determining the cleclricpOlential between both electrodes. Tile1' consider such a po~tential to be Ihe SUIll of c1cctrostatic and imuge potentials.The clcctroslatic potential is given in Ref. I as an analyli-cal expression citing [2], which is ineonsislenl in thcir use ofthe hyperboloidal coordinate ami in their application to non-confocal h1'perboloids as cOl1unented in Refs. 3 and 4. Theauthors 01' ReL I also introduce a Illodified three-dimensionalSimmons model for the image potential. reeognizing that theoriginal Sill1I1lons Illodel dcals \\'ith plane junetions [5. G]and making the Illodifkalions for thc h1'perboloidal geol11e-tr1'. They also slale "The exact fonn ofthe imagc potential forthis geometr1' has nol becn eomputed".

The purpose 01' this papel' is 10 show 110\\' the electric po-tential of a point charge between two con focal hyperboloi-dal electrodes. eaeh at a fixcd potential. can be constructcdas a superposition af prolate spheroidal harmanics using thestandard Green.function tcchnique [7]. The construction iscarried out by abtaining Ihe general solutions of the Lapla-ce equation and in particular the eleclrostatic potential ari-sing from the potcntial diffcrence bctwecn the electrodes. inSec. 2. Thc Dirichlet Grecn function. or ~otcntial of a unitpoint chargc bclwccn the grounded clcctrodcs, is construc-ted as a series of prolale spheroidal harmonics in Sec. 3. Theclectric potenlial and intensit1' llclds uf an electron betwccnthe grollodcd clcctrodes. ami the indllced charges on tlle elec-

trodes are c\'alualed in Sec. 4. The potential arising from lheindllccd charges and the energ1' of interaction of lhe electron\vith such charges are evaluated in Sec. 5. The closing sec.(ion conlains a discussion of several points af didactic valueand abollt the specific applicalions to STM and conductor~inslIlator-conductor junctioos.

2. Scparatioll and solutions of Laplace equationin pmlatc sphemidal coordinates

Thc prolalc sphcroidal coordinales (1/,~,'1') are definedthrough the transformation equations to cartesian coordina-les [8]

.r = e}(I!, - 1)(1 - el cosrp,11= e}('12 - 1)(1 - e) seu '1',

z=e'I~. (1)

The constant paramctcr e determines lhe positions of thefoeii (.1: = O. 11= (J. z = oJoe) on lhe z-axis. Each valueof 1 :5 '/ < 00 defines a prolalc spheroidal surface cenle-red al the origin with a major axis 20] along lhe ¡-axis andminor axes 2r:(IJ'2 - 1)1/2 in the x-y plane. Each value of- 1 :5 ~ :5 1 defines a hyperboloid of revolulion wilh cen-tcr at the origino a real axis 2c~ along the z-axis and ima-ginary axcs 2c(1 - (l)I/'2 in the x-y plane; the x-y planeeorresponds lo ~ = (J. and lhe hyperboloids wilh ~ > Oand ( < O open upwards and downwards, respectively. Thecoordinale O ::; 'P ::; 2rr is the usual azimuthal angle. andeach of its values defines a Illeridian half-plane. For example,(1 :5 '/ < 00, ~ '" 1, (J :5 '1' :5 21/) models the tip of lhe STMand (1 :5 '1 < 00, ~ = O, (J :5 '1' :5 21/) lhe plane surface ofthe samplc.